ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kours@fme.egen.gr Τηλ: 735468
ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες
Η διαφορά με τις Μ.Α.Δ.Χ. είναι ότι η μετάβαση αό μια κατάσταση σε μια άλλη μορεί να γίνει οοιαδήοτε χρονική στιγμή Διακριτός χώρος καταστάσεων. Έστω λοιόν Ε = {,,, 3, } Μια σ.δ.σ.χ.δ.χ. {Χ, } είναι Μ.Α. όταν για < < n < και r για r =,,, n ισχύει Pr X x X n xn, X n xn,, X x Pr X Η συμεριφορά της Χ χαρακτηρίζεται αό: Την αρχική κατανομή της Μ.Α.Σ.Χ. δεδομένης της σ.μ.. της Χ : PrΧ = k, k =,,, Τις ιθανότητες μετάβασης με x X x n n v, Pr X X v v,,,,,...,,, ά
Στην ομογενή ερίτωση, συμβολίζουμε E v, : v 3 Αφού η είναι δεσμευμένη σ.μ.. ικανοοιεί την σχέση: Pr X v X v v 4 Ορίζουμε τις ιθανότητες κατάστασης για οοιαδήοτε χρ. στιγμή : Pr X,,,... 5 και ισχύει E
Αό το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας για δοθέν > v, μορούμε να εκφράσουμε την σ.μ.. της Χ συναρτήσει των v, και της σ.μ.. της Χv: αό όου για v = αίρνουμε: δηλαδή η συμεριφορά της Χ είναι λήρως καθορισμένη αν γνωρίζουμε την αρχική κατανομή α = [α α ] και τις ιθανότητες μετάβασης, 7 6 E E v v v X v X X X, Pr Pr Pr E E,,
Οι ιθανότητες μετάβασης μιας Μ.Α.Σ.Χ. ικανοοιούν τις εξισώσεις Cmn-Kolmogorov: Η άμεση είλυση της 8 είναι δύσκολη και συνήθως βρίσκουμε τις ιθανότητες μετάβασης λύνοντας ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων Για τον λόγο αυτό μορούμε ν.δ.ο για κάθε υάρχει μια συνεχής μηαρνητική συνάρτηση α ου ορίζεται ως: v, ke k v,u v, v k u, lm - lm, - v u,, 8 9
Ομοίως για κάθε υάρχει μια συνεχής μη-αρνητική συνάρτηση α ου ονομάζεται ρυθμός μετάβασης και ορίζεται ως: Τότε μορούμε να συνδέσουμε τις ιθανότητες μετάβασης με τους ρυθμούς μετάβασης: lm lm v v,, -,, o α, o α,
Αό την εξίσωση Cmn Kolmogorov 8 για + έχουμε: και άρα : lm u v, v, v, v,u u, v, k k ke ke k k v,u v,u k k k u, v,u k u, Kolmogorov forwrd equons Ομοίως ροκύτουν και οι Kolmogorov bckword equons
Ορίζουμε τον ίνακα Α =[α ] με στοιχεία της διαγωνίου α = - α Προκύτει εύκολα ότι Αν τώρα ορίσουμε τον ίνακα Pv, =[ v,], τότε οι εξισώσεις Kolmogorov γράφονται ως: P v, P v, v P v, A A P v,
Αό τις σχέσεις 6 και ροκύτει: d d ή με την μορφή ινάκων k d A d Σε ολλές εριτώσεις οι ιθανότητες μετάβασης,+ δεν εξαρτώνται αό τον αρχικό χρόνο αλλά μόνο αό τον χρόνο ου έχει εράσει ομογενής Αυτό σημαίνει ότι οι ρυθμοί μετάβασης α και α είναι ανεξάρτητοι του 3
Σε αυτήν την ερίτωση οι ρυθμοί μετάβασης γίνονται α και α και οι ιθανότητες μετάβασης. Εομένως οι και γίνονται: ή με την μορφή ινάκων k k k k k d d d d 4 5 A A P P d d d d 6 7
Η είλυση της 7 για τον υολογισμό των είναι δύσκολη, ωστόσο υάρχουν εριτώσεις όου μορεί αυτό να γίνει σχετικά αλά Στις ερισσότερες εριτώσεις όμως θεωρούμε ότι η τείνει σε ένα καθώς. Θα μελετήσουμε κάτω αό οιες συνθήκες συμβαίνει αυτό Χρειάζεται και εδώ να ταξινομήσουμε τις καταστάσεις Μια κατάσταση ονομάζεται αορροφητική αν α = Μια κατάσταση ονομάζεται ροσιτή αό την αν για κάοιο > ισχύει > Μια Μ.Α.Σ.Χ. ονομάζεται μη-διαχωρίσιμη αμετάτωτη αν κάθε κατάσταση της είναι ροσιτή αό οοιαδήοτε άλλη
Θεώρημα: Για μια μη-διαχωρίσιμη ΜΑΣΧ το όριο lm lm υάρχει και είναι ανεξάρτητο αό την, E 8 Αν οι οριακές ιθανότητες υάρχουν τότε: lm d d και αντικαθιστώντας στην 5 αίρνουμε το ακόλουθο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων, ου ονομάζονται εξισώσεις ισορροίας: 9
Αν ορίσουμε την στάσιμη κατανομή = [ ] τότε οι οριακές ιθανότητες υάρχουν, και η 9 σε μορφή ινάκων μορεί να γραφεί ως: A Για ένα τέτοιο ομογενές σύστημα, μια ιθανή λύση είναι η =, Για να βρούμε μια μοναδική μη-μηδενική λύση χρησιμοοιούμε την συνθήκη: E
ΜΑΣΧ με αμοιβές Αν μορούμε να υολογίσουμε τα ή τα τότε μορούμε να υολογίσουμε αρκετά μέτρα ου μορεί να μας ενδιαφέρουν Έστω μια αμοιβή ή οινή r η οοία δίνεται σε κάθε κατάσταση. Έστω ακόμα Z = r X ο ρυθμός αμοιβής της ΜΑΣΧ στο χρόνο. Τότε, η αναμενόμενη αμοιβή στο χρόνο είναι: Για μια μη-διαχωρίσιμη ΜΑΣΧ ορίζεται η Y Z x dx Αν είναι η αθροιστική αμοιβή στο, ], τότε η αναμενόμενη τιμή της είναι: Z E r E Z lm EZ E r E E Y x dx E r
Πιθανότητες κατάστασης στην μεταβατική ερίοδο Α Llce α d f e f L s 3 b λ μ Εξισώσεις ισορροίας 3 3 3 3 d d b d d b d d Μετασχηματισμός Llce 3 3 3 s s s s s b s s s b s s s s Λύνω το σύστημα και στην συνέχεια εφαρμόζω τον αντίστροφο μετασχηματισμό Llce για να υολογίσω τα,, 3
Β Εκθετική του ίνακα Α A n P e I A n n n! α P α e A
- Παράδειγμα Σε ένα υολογιστικό σύστημα καταφτάνουν εργασίες για εξυηρέτηση συμφώνα με μια κατανομή Posson αραμέτρου λ. Κάθε εργασία εεξεργάζεται σύμφωνα με τον κανόνα FIFO. Ο χρόνος ου χρειάζεται για την εεξεργασία κάθε εργασίας ακολουθεί την εκθετική κατανομή με αράμετρο μ. Το σύστημα διαθέτει μια ενδιάμεση μνήμη buffer στην οοία μορεί να αοθηκεύονται μέχρι εργασίες οι οοίες αναμένουν να αρχίσει η εξυηρέτηση τους. Οι εργασίες ου φτάνουν στο σύστημα και βρίσκουν την ενδιάμεση μνήμη λήρη χάνονται. Να κατασκευαστεί το διάγραμμα καταστάσεων Να βρεθεί ο ίνακας ρυθμών μετάβασης Α Να βρεθεί ο ίνακας ιθανοτήτων μετάβασης P
Πίνακας ρυθμών μετάβασης Q P Μαρκοβιανές Αλυσίδες - Παράδειγμα λ μ 3 λ λ μ μ A Πίνακας ιθανοτήτων μετάβασης P και,
- Παράδειγμα Να βρεθεί η κατανομή ιθανοτήτων στον χρόνο α P α e A εισροή d d A d d μεταβολή στην ροή ιθανότητας α εκροή α k k k k εισροή εκροή
- Παράδειγμα Να βρεθεί η ασυμτωτική κατανομή ιθανοτήτων Q A 3 3
- Παράδειγμα 3 3 3 3 3