ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Ορισμοί-παραδείγματα για τα ακόλουθα: Αύξουσα / Φθίνουσα/ Γνησίως Μονότονη συνάρτηση Ολικό Μέγιστο / Ολικό Ελάχιστο Συνάρτηση 1-1 / Αντίστροφη Συνάρτηση 4
ΘΕΩΡΙΑ
ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μία συνάρτηση καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x, x με ισχύει ότι 1 2 x1 x f ( x 2 1) f ( x2) Μία συνάρτηση καλείται αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x, x με x1 x 1 2 2 ισχύει ότι f ( x1) f ( x2)
ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μία συνάρτηση καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x, x με ισχύει ότι 1 2 x1 x f ( x 2 1) f ( x2) Μία συνάρτηση καλείται φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x, x 1 2 με x ισχύει ότι f ( x1) f ( x2) 1 x 2
ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Γενικά λοιπόν μία συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα.
ΟΛΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο μέγιστο, όταν f ( x) f ( x0 x A 0 ) ολικό
ΟΛΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ελάχιστο, όταν f x A 0 ( x ) f ( x) 0 ολικό
ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο καλούνται ολικά ακρότατα της συνάρτησης.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 Μια συνάρτηση f : A R καλείται συνάρτηση 1-1, όταν για κάθε x 1, x 2 A ισχύει ότι: x x f x f x 1 2 ( ) ( ) 1 2 Θα μπορούσαμε εναλλακτικά να αποδείξουμε ότι: f ( x f x x x ) ( ) 1 2 1 2
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ 1-1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για κάθε y f(a) η εξίσωση y=f(x) θα έχει ακριβώς μία λύση ως προς x. Κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1-1. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν μια συνάρτηση f : A B, η οποία είναι 1-1. Ορίζουμε ως αντίστροφη της f την f ( y) τέτοια ώστε, για κάθε, με y f (x) για κάποιο x f 1 : f ( A) 1 y f (A ) x R
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f 1 H f, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f. f ( x) Ισχύει η ισοδυναμία Για κάθε x A ισχύει ότι: Οι γραφικές παραστάσεις C f και C f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x f y ( f f 1 ( x) y 1 x f 1 ( )) ( f ( x )) ( A) x
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ (1) Μονοτονία συναρτήσεως και επίλυση ανίσωσης Επειδή συνήθως για την απόδειξη της μονοτονίας απαιτείται η επίλυση μιας ανίσωσης θα πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη μας τα ακόλουθα: Αν η ανίσωση είναι απλή δεν έχουμε κάποιο θέμα στην επίλυσή της. Διαφορετικά μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1 ο μέλος
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ (2) Θέτω το 1 ο μέλος της ανίσωσης ως f(x) και έχουμε f(x)>0 ή f(x)<0. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Βρίσκουμε μια ρίζα της εξίσωσης f(x)=0. Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της συνάρτησης και επιλύουμε την ανίσωση που προκύπτει.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ (3) Συναρτήσεις 1-1 Για την απόδειξη του ότι μια συνάρτηση είναι 1-1, θεωρούμε x 1, x 2 μέσα από το πεδίο ορισμού της. Ξεκινάμε από την εξίσωση f(x 1 )=f(x 2 ) και προσπαθούμε να δείξουμε ότι x 1= x 2. Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν είναι 1-1, αρκεί να βρούμε 2 x 1, x 2 μέσα από το πεδίο ορισμού, για τα οποία ισχύει x 1 x 2 και βρίσκουμε ότι f(x 1 )=f(x 2 )
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ (4) Μπορούμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι μονότονη, οπότε τότε θα είναι και 1-1. Προσοχή! το αντίστροφο δεν ισχύει.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τη μονοτονία της 2. Να βρείτε τη μονοτονία της 3. Να βρείτε τη μονοτονία της 4. Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για x=3. 4. Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για x=1. f ( x) f ( x) 2 x 1 f ( x) 2 x 1 x f ( x) e 3 x x 2 f ( x) 6 x 10 2 x x 2 1
ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ