ΑΣΚΗΣΗ - ΔΙΚΤΥΩΤH KAAΣΚΕΥΗ Να επανεπιλυθεί η Ασκηση θεωρώντας και την επίδραση του ιδίου βάρους των ράβδων. Ε- στω ότι το ειδικό βάρος τους είναι γνωστό με τιμή γ, σε ΚΝ/m. Περαιτέρω, να σχεδιασθούν τα διαγράμματα των αναπτυσσόμενων εντατικών μεγεθών. Επίλυση Υλοποιείται η διαδικασία σύνδεσης και τάνυσης όπως περιγράφεται στην επίλυση της Ασκησης. Στο σχήμα φαίνεται η αρίθμηση μελών, κόμβων και βαθμών ελευθερίας τους για την εφαρμογή της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας. Σε κάθε ράβδο, η κατανομή g (σε ΚΝ/m) του ιδίου βάρους επενεργεί όπως φαίνεται στο σχήμα (α). Στο σχήμα (β) φαίνεται η ανάλυση των κατανομών των μελών και σε κάθετες και παράλληλες συνιστώσες στον άξονά τους.
Κατανεμημένα φορτία Αντιδράσεις αμφιπάκτων μελών και μητρώο Χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες δύο περιπτώσεις φόρτισης του Πίνακα. Καθ όσον πρόκειται για δικτύωμα, εννοείται ότι οι πακτώσεις αφορούν μόνο αξονικές και τέμνουσες δυνάμεις Ν και Q, αντίστοιχα. Οι καμπτικές ροπές αγνοούνται καθ όσον θεωρείται ότι οι αντίστοιχες αρθρώσεις συνεχίζουν να υφίστανται. Μέλος ()- κόμβοι -: Λόγω g αξονικές αντιδράσεις: l l 0, w g γα, L-δ στη θέση του L, οπότε: Μέλη () και () - κόμβοι - και -: Λόγω gsinθ αξονικές αντιδράσεις: l l 0, w gsinθ γα/, οπότε: Λόγω gcosθ τέμνουσες αντιδράσεις: q gcosθ γα/, οπότε:
() () () () Q Q Q Q γ AL / Συγκεντρωτικά, οι αντιδράσεις των αμφιπάκτων μελών, και προσημασμένες στα τοπικά συστήματά τους έχουν ως ακολούθως: Πίνακας Α. Aντιδράσεις αμφιπάκτων μελών Τοπικά συστήματα Kόμβος αρχής Κόμβος τέλους Μέλος Ν Q Ν Q γa(l δ) / 0 γa(l δ) / 0 γ AL/ γ AL / γ AL/ γ AL / γ AL/ γ AL / γ AL/ γ AL / Προκειμένου να σχηματισθεί το μητρώο στο απόλυτο σύτημα συντεταγμένων, οι παραπάνω αντιδράσεις μετασχηματίζονται στο σύστημα αυτό. Το μέλος είναι παράλληλο στον απόλυτο άξονα Υ, επομένως ο μετασχηματισμός είναι απλός. Για τα μέλη και που βρίσκονται υπό γωνίες θ 0 ο και θ 50 ο ως προς τον άξονα Χ είναι: Μέλος Κόμβοι και : Κατά Χ: X N cosθ Q sinθ cos 0 sin 0 0 Κατά Y: Y N sinθ Q cosθ sin 0 cos 0 Μέλος Κόμβοι και : Μπορούν απ ευθείας να προκύψουν από τις τιμές του μέλους λόγω συμμετρίας (γεωμετρίας και φόρτισης αναφορικά με την αμφίπακτη κατάσταση) των μελών και ως προς κατακόρυφο άξονα αυτόν του μέλους. Αρα: γ AL X 0, Y Βάσει των παραπάνω προκύπτει: Πίνακας Β. Aντιδράσεις αμφιπάκτων μελών Απόλυτο σύστημα Kόμβος αρχής Κόμβος τέλους Μέλος ΡΧ ΡΥ ΡΧ ΡΥ 0 γa(l δ) / 0 γa(l δ) / 0 γ AL / 0 γ AL / 0 γ AL / 0 γ AL /
Στον Πίνακα Β τα χρωματισμένα κελλιά αντιστοιχούν στο βαθμό ελευθερίας του κοινού κόμβου των τριών μελών, οπότε θα αθροισθούν. Ετσι προκύπτει: 5 6 γa( Lδ) γa( Lδ) 0 0 0 0 γ AL δ δ L L () Μητρώα και U 5 6 [ 0 0] 5 6, U 5 6 [ 0 δ 0 0 0 0 0 u ] () Μητρώα Κ Απόλυτο σύστημα ΧΥ Εχουν υπολογισθεί ως: 0 0 0 0 EA 0 0 K L δ 0 0 0 0 0 0 EA K K L 5 6 5 6 EA L 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lδ Lδ 0 0 0 0 L L L L 0 0 0 0 L L L L K EA 0 0 0 0 5 L L L L 0 0 0 0 6 L L L L 0 0 0 L L L L L Kfs 0 0 Lδ L L L L Lδ L kfs Kff kff () Η διαμέριση του Κ είχε προκύψει ως ακολούθως.
5 6 0 0 L δ L ff Lδ L L L L fs 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L δ L δ 0 0 0 0 L L L L K ff K fs K EA K sf K ss 0 0 0 0 L L L L 0 0 0 0 L L L L 0 0 0 0 L L L L 0 0 0 L L L L L sf ss 0 5 6 () Ο ανάλογος διαμερισμός των μητρώων Ρ, και U έχει ως ακολούθως. 5 6 δ δ 0 0 0 L L f γ AL 0 s 5 6 [ 0] [ 5 6 0] f s (5) 5 6 U [ u ] [ 0 δ 0 0 0 0 0] f s Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων Εφαρμόζεται η σχέση (66) των σημειώσεων. Στα μητρώα Ρ,, Κ και U των σχέσεων () και (5) φαίνονται σκιασμένες οι περιοχές που εμπλέκονται στη σχέση αυτή. ( ) γl γl u δ δ - ή u δ δ άν E E ( Lδ) EA EA γa EA f ff f f fs s u 0 δ U K K U Lδ L Lδ (6) Υπολογισμός δυνάμεων ράβδων Απόλυτο σύστημα Οι δυνάμεις των ράβδων υπολογίζονται στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ μέσω των σχέσεων K U, i,,, όπου: i i i i 5
U δ γl [ 0 u ( δ ) 0 u ( δ) ] 0 ( - δ / 0 δ δ / L E U δ γl δ / L E [ 0 0 0 u ( δ )] 0 0 0 ( - δ / 5 6 5 6 U δ γl δ / L E [ 0 0 0 u ( δ )] 0 0 0 ( - δ / δ δ 0 0 L L () [ 0 / 0 /] 5 6 [ 0 / 0 /] Ετσι, προκύπτουν (οι άνω δείκτες σε παρενθέσεις δηλώνουν τους αριθμούς των μελών): () () () () 0 0 K U L L 0 0 L L () () () () K U / / / L δ L δ L L δ L L L 6L 6L 6L 6L (α) 6
() () () () 5 6 K U 5 6 / / / L δ L δ L L δ L L L 5 6 EA δ γ AL EA δ γ AL EA δ γ AL EA δ γ AL 6L 6L 6L 6L (β) Ελεγχος ισορροπίας ελεύθερου κόμβου () () () X 0 ( δ / ( δ / 0 L( δ / L( δ / () () () Y ( δ / ( δ / L( δ / L( δ / ( δ / 0 L( δ / Δυνάμεις ράβδων σε απόλυτο και τοπικά συστήματα συντεταγμένων Κατόπιν μεταφοράς των δυνάμεων των σχέσεων () (στο παρακάτω σχήμα με κόκκινο χρώμα) στα τοπικά συστήματα κάθε μέλους (στο επόμενο σχήμα με μπλέ χρώμα), είναι: () EA / L / δ ( δ () / L / ( δ () L / γ AL ( δ / () EA / L / γ AL - δ / L () ( δ / L / δ () L / ( δ ( ) () EA L / δ γ AL ( δ / () / L / () 6 / L / () 5 ( δ L / γ AL ( δ ( δ /
() () () () / L 0 / L 0 0 0 δ δ L L L L () () () () L L L L (9) () () () () L L L L () / L / ( δ () / L / ( δ () / L / ( δ () / L / ( δ () ( δ / L γ LA ( δ / () γ LA () γ LA () γ LA () () γ LA EA δ L( δ / γ LA ( δ / Διαγράμματα εσωτερικών εντατικών μεγεθών στα τοπικά συστήματα συντεταγμένων Εφαρμόζονται οι σχέσεις (5) των σημειώσεων (βλ. φυλλάδιο Νο. ).
Μέλος q Ν (x) q Ν -g -γα σταθ., άρα: () N N( x) q x N( x) ( δ / γax, x [0, Lδ] L / Μέλος q Ν (x) q Ν -gsinθ -γαsin0 ο -γα/ σταθ., και q Q (x) q Q -gcosθ -γαcos0 ο - γα/ σταθ., άρα: () N γa N( x) q x N( x) ( δ / x, x [0, L] L / () Q γa Qx ( ) q x Qx ( ) x, x [0, L] Για τη ροπή υπολογίζονται οι ακόλουθοι όροι: x x q ( x) dx q x, q ( x) xdx q άρα: x q( x) dx q( x) xdx q x L x L x L x L Q Q Q Q Q 0 0 0 0 άρα: Q () q γa M( x) x x M( x) x x, x [0, L] Μέλος Τα διαγράμματα είναι όμοια με αυτά του μέλους λόγω συμμετρίας, γεωμετρικής και φόρτισης. Ωστόσο εφαρμόζονται ξανά οι σχέσεις (5) και επαναϋπολογίζονται λόγω του διαφορετικού προσανατολισμού των τοπικών συστημάτων xy και xy σε σχέση με τους άξονες των δύο μελών, και μόνο. Ετσι, θα είναι: q Ν (x) q Ν -gsinθ -γαsin50 ο -γα/ σταθ., και q Q (x) q Q -gcosθ -γαcos50 ο γα/ σταθ., άρα: () N γa N( x) q x N( x) ( δ / x, x [0, L] L / () Q γa Qx ( ) q x Qx ( ) x, x [0, L] 9
Για τη ροπή έχει υπολογισθεί ότι: x L x L Q x x q( x) dx q( x) xdx q 0 0, άρα: Q () q LA A M( x) x x M( x) γ γ x x, x [0, L] Βάσει αυτών των σχέσεων συντάσσονται τα διαγράμματα που παρουσιάζονται κατωτέρω, όπως προκύπτουν και από το πρόγραμμα SA000 (βλ. σχετ. αρχείο). - [Ν] - [Q] [M] - H διαφορετική προσήμανση των διαγραμμάτων [Q] και [Μ] των μελών και οφείλεται στο διαφορετικό προσανατολισμό των τοπικών αξόνων y και y των μελών αυτών σε σχέση με τους άξονές τους x και x, αντίστοιχα. 0