. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) = f ( ) =. ii) υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθµός R, ώστε f ( ) =. iii) Η εξίσωση f ( ) f ( ) f ( ) = έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο R. iv) Η εξίσωση [ ] f ( ) f ( ) =, έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο R. i) Αφού η f έχει σύνολο τιµών [ a, β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει R ώστε f ( ) = a () και µέγιστη τιµή β, δηλαδή υπάρχει R ώστε f ( ) = β (). Επειδή η f είναι παραγωγίσιµη στο R, από το θεώρηµα Frmat έχουµε f ( ) = και f =. Άρα,. ii) Έστω π.χ. <. Η f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ) το θεώρηµα Roll, υπάρχει (, ) ώστε f ( ) =. = =. Από µε f f iii) Η συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ) f ( ) = είναι συνεχής στο [, ] µε: g( ) = f ( ) f ( ) f ( ) = a< και g( ) = f ( ) f ( ) f ( ) = β > Από το θεώρηµα Bolzano υπάρχει (, ) ξ µε g( ξ ) =. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. iv) Η συνάρτηση f ( ) = είναι συνεχής στο [, ] h( ) f ( ) και παραγωγίσιµη στο (, ) µε f ( ) f ( ) f ( ) h ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) ( f ( ) ) f ( ) h = f = και h( ) = f ( ) = f ( ) ( ) Από το θεώρηµα Roll, υπάρχει ξ (, ), ώστε: h ξ f ξ ( f ξ ) = =. ίνεται η συνάρτηση f, µε 5 f ( ) 5 a, a = R. α) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f. γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( ) =, όταν 4< a< 4.
α) f = 4 5 5 f = = = = =± 4 4 4 5 5 5 5 Η f είναι γνησίως αύξουσα στα (, ] και [, ), ενώ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] Η f παρουσιάζει στο = τοπικό µέγιστο την τιµή: 5 f ( ) = ( ) 5( ) a= 5 a= a 4. Η f παρουσιάζει στο = τοπικό ελάχιστο την τιµή: 5 f () = 5 a= a 4. β) Στο = (, ] η f είναι γνησίως αύξουσα 5 5 lim f ( ) = lim 5 a = lim = f ( ) = a 4 Άρα, f (, a 4] =. Στο = (,) η f είναι γνησίως φθίνουσα lim f ( ) = f ( ) = a 4( f συνεχής ) ( συνεχ ς) lim f ( ) = f () = a 4 f ή Άρα, f ( a 4, a 4) =. Στο [ ), = η f είναι γνησίως αύξουσα f () = a 4 5 5 lim f ( ) = lim 5 a = lim = Άρα, f [ a 4, ) =. Το σύνολο τιµών της είναι το f ( A ) = (, ) γ) a 4< < a 4, άρα f ( ), f ( ) και f ( ) Η f ( ) = έχει ακριβώς µία ρίζα σε καθένα από τα, και. Άρα, η f ( ) = έχει ακριβώς ρίζες στο R.. ίνεται η συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει α) Να αποδειχθεί ότι η f στερείται ακροτάτων. β) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f. =, για κάθε R. 5 f f f
γ) Αν η f από την C διέρχεται από τα σηµεία A( a,) και (,) C f και τις ευθείες = a και = β. B β, να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται α) Παραγωγίζοντας κατά µέλη έχουµε: = 4 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f f = f = > 5 f ( ) f ( ) 4 5 4 ( 5 f 4 ( ) f ( ), ) > R. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα και στερείται ακροτάτων. β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα η f είναι, άρα η f είναι αντιστρέψιµη. Θέτω όπου το f ( ), άρα: 5 f ( ) f ( ) f ( ) = 5 5 f f f f f f f f = = Άρα, 5 f ( ) =. γ) f ( a) f f ր < β a< β fր a β f ( a) f ( ) f ( β ) f ( ) f >, για κάθε [ a, β] Άρα,. β 4 5 ( 5 ) ( 5 ) E= f d= u u u du= u u u du= α 6 4 6 4 6 4 5u u u 5 5 = = = 6 4 6 4 6 4 5 78 = = τ. µ. 6 6 4 4. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα y y στο A (,) και ισχύει: =, για κάθε R. f ( ) f ( ) f ( ) α) Να αποδειχθεί ότι f ( ) =. β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να βρεθεί η f. γ) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον άξονα και τις ευθείες = και =.
f ( ) = = α) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( )... f ( ) ΘΜΤ f ( ) f ( ) = f ( ) = c f f c = Για : () () = f f = c = c = c c= Άρα, f f f f ( ) = = ( ) = 4 = 4 4 8 = 4 = 4 = > ( ) ± f ( ) = = ± ( ) Άρα, f ( ) = ή f ( ) = Όµως, f () = εποµένως f ( ) = β) f ( ) = και f ( ) = >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, εποµένως η f είναι «-», δηλαδή η f αντιστρέφεται. y= = y = ln y, y> Άρα, f ( ) = ln( ), > γ) f ( ) > ln( ) > > > E= f ( ) d= f ( ) d f ( ) d= = ln( ) d ln( ) d= = ln( ) d ln( ) d= ( ) ln( ) [ ] [ ] ( ) ln( ) 4 τ. µ. = ln( ) d ln( ) d = = = = 5. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ a, β ], έχει σύνολο τιµών το [,] f ( β ) =. και f ( a ) =,
α) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( a β), τέτοιο ώστε: f ( ) =., β) Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιµη στο ( a, β ), i) να αποδειχθεί ότι η C fδέχεται δύο τουλάχιστον οριζόντιες εφαπτοµένες. ii) Αν επιπλέον η f είναι συνεχής στο ( a, β ), να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( a, β) ώστε: f ξ f ξ f ξ 8 = iii) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ξ, ξ ( a, β) aβ =. f ( ξ ) f ( ξ )., µε ξ ξ, τέτοιο ώστε:, τέτοιο α) Από θεώρηµα µέγιστης-ελάχιστης τιµής και επειδή = f < f ( β ) = < f ( a) = < f =, τότε υπάρχουν: min ( β) min ma a, : f ( ) = f = ( β) a, : f ( ) = f ma= Θεώρηµα Bolzano στο [, ] ή [, ] ( a, β), υπάρχει ένα τουλάχιστον ( β) a, : f ( ) = β) i) τα, είναι εσωτερικά σηµεία του ( a, β ) η f είναι παραγωγίσιµη στα, η f παρουσιάζει ακρότατα στα, Θεώρηµα Frmat: f ( ) = f ( ) = Άρα, η C δέχεται δύο τουλάχιστον οριζόντιες εφαπτοµένες στα A(, f ( )) και (, ) f B f. 8 ii) Θεωρούµε τη συνάρτηση g, µε g( ) = f ( ) f ( ) f ( ) Η g είναι συνεχής στο [, ] ή [, ] ( a, β) 8 8 g( ) = f ( ) f ( ) f ( ) = < 8 8 g( ) = f ( ) f ( ) f ( ) = > Θεώρηµα Bolzano: ένα τουλάχιστον ξ ( a, β) g ξ = f ξ f ξ f ξ = 8, τέτοιο ώστε:
iii) Εφαρµόζουµε Θ.Μ.Τ. στα [ a, ] και [ β ] ένα τουλάχιστον ένα τουλάχιστον ξ ( β ), f ( ) f ( a) a ξ a, : f ( ξ) = = = () a a f ( ξ ), : f ( β ) f ( ) β f = = = ( ξ) () β β f ( ξ) ( ) a β aβ (),() = = f ( ξ ) f ( ξ ) 6. f παραγωγίσιµη στο (, ) α) είξτε ότι η β) ξ ( a, β) a β µε lim f ( ) = lim f ( ) = λ. a β ( α β) f ( ),, g( ) = είναι συνεχής. λ, = aή = β τέτοιο ώστε: f ( ξ ) = α) lim g ( ) = lim f ( ) = λ a a lim g( ) = g( a), άρα g συνεχής στο α a g( a) = λ lim g( ) = lim f ( ) = λ β β lim g( ) = g( β ), άρα g συνεχής στο β β g( β ) = λ Αφού f παραγωγίσιµη στο ( a, β ), τότε g παραγωγίσιµη στο ( a, β) gσυν a gσυνεχής στο [ a, β ]. gσυνβ gσυνεχής στο ( a, β ) g( a) = λ β) g( a) = g( β ), g ( ) = f ( ) ( a, β) g( β ) = λ g συνεχής στο α β [, ] Roll g παραγωγίσιµη στο α, β τουλάχιστονένα ξ a, β : g ( ξ ) = f ( ξ ) = g( a) = g( β ) 7. f, g παραγωγίσιµες και f, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σηµείο. f ( ) f ( ) g ( ) g( ) = f ( ) g( ). είξτε ότι: f ( ) = g( ).
Αφού f, g έχουν ένα κοινό σηµείο, τότε: R : f ( ) = g( ) () f ( ) f ( ) g ( ) g( ) = f ( ) g( ) = () f ( ) f ( ) g ( ) g( ) = f ( ) g( ) ( f ( ) ) ( g ( ) ) ( f ( ) g( ) ) = ( f ( ) g ( ) ) ( f ( ) g( ) ) = f ( ) g ( ) f ( ) g( ) c = f ( ) g ( ) = f ( ) g( ) c g ( ) g ( ) = g( ) g( ) c c= Άρα, f g f g f g f g = = f ( ) g( ) = f ( ) = g( ) 8. f παραγωγίσιµη στο [ ] i) f () f () f ( ) f ( ) (), µε ii) Η f έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο (, ). για κάθε [,]. i) () για = : f () f () f () f () = : f () f () ii) Έστω ότι η f ( ) δεν έχει ρίζα στο (, ), δηλαδή f ( ) (, ) f ( ), [,] : f ( ) f ( ) f ( ) () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( i) Θεωρώ g( ) f ( ), µε = παραγωγίσιµη στο [ ] g ( ) = () f ( ) g() = g() = g() g() = g συν [,] Roll g παρ,, : g ( ) = άτοπο g() = g() ()
Άρα η f ( ) έχει τουλάχιστον µία ρίζα. 9. Η f φορές παραγωγίσιµη στο R, µε f () f () εξίσωση f ( ) = έχει τουλάχιστον µία λύση. = και f ( ) f ( ) για κάθε R (). είξτε ότι η Θέτω: h( ) = f ( ) f ( ) h() = f () f () h() = h ( ) = f f h ( ) = f f () Όµως, h( ) h( ) h() R Από Frmat f συν () h () = f () = f () [,] Roll f παρ, ξ, : f ( ξ ) = f () = f (). ίνεται η συνάρτηση: ln, < f() =, =, = i) Να βρείτε τα όρια: limf(), limf(), lim f() ii) Να δείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο, ). β) f'() = γ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, ). π( ) δ) (π ) < lnπ ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f και να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης iii) α) Να δείξετε ότι f () β) Να υπολογίσετε το όριο < για κάθε (,) 9 L= lim f () 6() = στο (, ).
ln ln ln (ln)' i) lim f() = lim = lim = lim = lim = lim = lim = D.H ( )' ln (ln)' ln lim f() = lim = lim = lim = = D.H ()' ln (ln)' ln lim f() = lim = lim = lim = ()' D.H ii) α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήµατα (, ) και (, ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.επίσης είναι : lim f() = lim f() = = f() και lim f() = = f() Άρα η f είναι συνεχής και στα σηµεία = και =, οπότε είναι συνεχής στο, ). ln ln f() f() β) ln (ln )' f'() = lim = lim = lim = lim = lim = D.H () (() )' ln ln = lim = lim = lim = lim = () () D.H γ) Η f είναι συνεχής στο, ) και για κάθε (,) (, ) ln ln f'() = ' =... = () () Θεωρούµε συνάρτηση φ() = ln,>, φ'() = =,έχουµε φ'() =... = φ'() <... < φ'() >... > Άρα η φ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =,δηλαδή για κάθε > :φ() φ() φ() ln ή (,) (, ) : ln> Οπότε από την () προκύπτει f'() ),. > στο (,) (, ) και f'() = >.Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο δ) fր π ln πlnπ lnπ < π f() < f(π) < < (π ) < lnπ π π π() ii) Η εξίσωση παίρνει την µορφή: 6() > 6() 6() ln = ln = ln = ln = 6 f() = 6, > fր A =, f(a ) = lim f(), lim f() =, ενδιαµέσων τιµών υπάρχει (, ) iii) α) Αρκεί να δείξουµε για κάθε (,) βλέπουµε ότι 6 f(a ) (, ) = άρα από το θεώρηµα των ( µοναδικό λoγω της µονοτονίας της f) τέτοιο ώστε f( ) = 6. : f () <
fր ln Έτσι: f () < f () < f(f ()) < f() < f() < ln ln ln h() < ( ) < < < που ισχύει διότι για κάθε <. (,) : h() >, ( ερώτηµα ) επίσης >, iii) β) 9 9 9 L= lim = lim = lim f () (f () ) (f () ) lim(f () ) =, < κοντά στο από θετικές τιµές άρα lim = (f () ) f () 9 9 9 9 u= u = u = u u lim = lim = lim = lim = 9 8 7 6 8 7 6 οταν τοτε u u u u (u )(u u u.. ) u u u u.. 9 9 L= lim = ( ) = (f () ) 9. ίνονται οι συναρτήσεις f() = ln, > και g() = ln i) Να µελετήσετε τις f,g ως προς την κυρτότητα στο(, ). ii) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινή εφαπτοµένη στο =, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. iii) Για κάθε > να δείξετε ότι iv) Να λύσετε στο ln 4 ( ), την εξίσωση = ln v) Να δείξετε ότι f() f() ( )d= f'() = ln ' =,f''() = ' = > i) g'() = ln ' =... = για κάθε > άρα η f είναι κυρτή στο (, ) g''() = '... = = < ( ) άρα η g είναι κοίλη στο (, ) ii) f() = ln =, f'() = = g() = ln = ln= g'() = =,
ηλαδή f() = g(),f'() = g'() συνεπώς οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινή εφαπτοµένη στο =,µε εξίσωση y g() = g'()()... y= iii)από το την κυρτότητα των f και g και την κοινή εφαπτοµένη προκύπτει f() y g() για κάθε (, ) δηλαδή Cf f() g() µε την ισότητα όταν = Άρα f() g() ln ln Cg 4 ln ln ln ln ( ) 4 ln ( ) = = = = iv) ln ln ln ln ln = ln ln ln ln f() g() = = Από το σχήµα προκύπτει ότι =. v) f() f() ln ln ln ln I = ( )d = ( )d = ( )d= ln ln ln ln = d d I= d d () Θέτουµε d ( ln ln ln lnu u=, οπότε u= lnu= ln lnu= ln =, lnu = )'du, = τότε u= = τότε u= Άρα ln lnu lnu lnu d= u( )' du= u du Άρα η () παίρνει την µορφή: ln ln lnu lnu ln lnu ln ln I= d d= u du d= u = =
. Έστω f : R R µία συνάρτηση µε f()=, για την οποία ισχύει i) Να δείξετε ότι f = ln, R. =, για κάθε R f f ( ) f f f f f f f f = = = = = = f f f f = c = = Άρα f c c f f( ) f( ) = = = = f f ( ) = ln. Έστω f : R R µία συνάρτηση µε f()=, f ()=, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και ισχύει ( ) =, για κάθε R. f f f i) Να δείξετε ότι f( ) ln( ) =. ( ( )) ( ) ( ) ( ) f f f = f f = f h = f h h h h f = h f = f = = h f = c = c c= = = = = h h h h f f h...