4 Ιουνίου Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 46 Α4. α. Σωστό β. Σωστό Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Λάθος Θέμα Β B. z z z z wi w w zzzz z z z z zz z z z zz z zz zz z z
Β. Από B z zz z () z Θα αποδείξω ότι 4 4 4 z z z z z z Β Τρόπος 4 4 4 () 4 4 z z z z z z z z z z z zz z () τότε z 4 () 4 4 4 4 4 z z z Im zi Im z i Im z z Β. Αφού z,z είναι δύο μιγαδικοί που πληρούν τις προϋποθέσεις των προηγούμενων ερωτημάτων ισχύει z z z () και ομοίως z () τότε z z () zz4zzzz4zzzz4 zz 4 ό z z () zz z z z z z z z z 4 z z 4 B4 Έστω u yi αφού w I είναι w iτότε η δοσμένη σχέση γίνεται: i i uui w yiyii i yiiy i w i yyi i Οπότε y y yy y y y Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου
Άρα οι εικόνες των μιγαδικών u κινούνται στην ισοσκελή υπερβολή με εξίσωση y Θέμα Γ Γ. f () e για κάθε f () e e οπότε για : f() Αφού η f είναι συνεχής στο, είναι συνεχής και για = άρα f() limf() () e Για τα κοντά στο f() () e e e d e lim f () lim lim e f () d άρα f(), e, Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου Γ. Για e e e e e f() Για να βρω το πρόσημο της f() αρκεί να βρω το πρόσημο του αριθμητή. παρατηρώ ότι Θέτω g() e, στο g() e e e e g + g Άρα ισχύει Ελάχιστο στο g() e, και g() στο,
g() g() g() g() για κάθε τότε f(),, όμως η f είναι συνεχής και στο άρα f γνησίως αύξουσα στο οπότε είναι και. Για να βρω το πεδίο ορισμού της f.. f, lim f (), lim f (), () e για κάθε f αρκεί να βρω το σύνολο τιμών της f. () lim f () lim lim e e () lim DLH e lim lim e + () () e lim e lim f () lim,e παρ/μες Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το, Γ. Ελέγχω αν η f είναι παραγωγίσιμη στο e f() f() e lim lim lim lim lim e e DLH e e e lim lim lim,e παρ/μες κοντά στο κοντά στο f() f () Αφού η f παραγωγίζεται στο η f() και εξίσωση C στο A,f() A, f yf() f () y y δέχεται εφαπτομένη με κλίση αφού η f είναι κυρτή η C βρίσκεται πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της εκτός από το f Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου 4
σημείο επαφής οπότε και ταυτίζονται άρα ισχύει f() f() για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για οπότε η εξίσωση f () έχει μοναδική λύση την. Γ4. Ισχύει Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου lim f () f () uf() lim ln f () lim ln u () u u lim lim ln ln DLH lim ln lim lim,ln παρ/μες κοντά στο κοντά στο lim lim () () ln lim ln ln f () lim ln f () () Άρα Θέμα. f() f(t) f () e e f (t) t dt, () t H f είναι παραγωγίσιμη στο, από υπόθεση ln f() e είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων
είναι παραγωγίσιμη στο * άρα και στο, Οπότε f () e f() f() είναι συνεχής στο είναι παραγωγίσιμη στο,,, e f() είναι συνεχής στο,άρα και στο, οπότε e f () f(t) e f (t) t dt t f() * συνεχής στο άρα και στο,, συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών, άρα έχει αρχική την που είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε παραγωγίζοντας την () έχω: f() f(t) f () e e f (t) t dt t f() f() f () e e f () f() f() f() f () e e f () e f () f f() f() f() () e e f () e f () f() f() f() e f () e οπότε e c, () f() () f () e f(t) f() f() e f (t) t dt f () e f () e () t Θεωρώ την συνάρτηση ge,d g Παρατηρώ ότι ge. g e άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε είναι και - τότε η σχέση γράφεται g f g και επειδή η g είναι - έχω f Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου 6
Η σχέση () για = δίνει f f e c e c c Τότε f f e e, f f ln, e Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου. ftdt είναι η αρχική της παραγωγίσιμης άρα και συνεχούς f στο F είναι παραγωγίσιμη με F f tdt f παραγωγίσιμη στο,,, οπότε F f ln, F Η F + - F F αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του άρα έχει ένα μόνο σημείο καμπής το (,F())=(,) διότι F f t dt. Επομένως το o είναι το. Η ευθεία ε F : F y έχει κλίση λ Η F είναι παρ/μη στο, άρα και στο,, δέχεται εφαπτομένη με κλίση F. Θεωρώ την συνάρτηση F και το [,β] οπότε η C F στο Μ(ξ,f(ξ)) 7
Η F ως παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής στο, άρα η F είναι συνεχής στο [,β] και παραγωγίσιμη στο (,β). Επομένως ισχύει γι αυτήν Θ.Μ.Τ άρα υπάρχει Fβ F F() Fβ, β τ.ω F F β β () () () έχω λ Μ = λ ε άρα υπάρχει σημείο Μ(ξ,F(ξ)) στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία ε. Όμως στο F στο, άρα και στο,,η F() είναι συνεχής στο, άρα η F,β επομένως το ξ που βρήκαμε είναι μοναδικό. είναι. ώ τη ά : () h() F β ( β)f (β) β () και το διάστημα, Η h είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική άρα και στο, h() F β (β)f (β) F β ( β)f (β) Όμως από Δ λόγω εφαρμογής ΘΜΤ για την F στο, β είχαμε δείξει ότι Fβ F(ξ) () και η F είναι στο,, άρα για β β F(ξ) F(β) () Fβ β Fβ Fβ (β )F β Fβ (β )F β Fβ (β)fβ β οπότε h() F β (β)fβ () h() β 4 β Άρα h()h() οπότε ισχύει Θ.Bolzano για την h οπότε η h() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ρ (,) τέτοια ώστε h( ) () Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου 8
ρ ρ F β (β)f (β) β ρ F β ( β)f (β) β ρ F β ( β)f (β) β, άρα το ρ, ρ F β ( β)f (β) β είναι ρίζα και της εξίσωσης 4. t f dt t Θέτω u, dt du dt du, t t u Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου t f dt f udu f udu άρα αρκεί να δείξω ότι f u du t f t dt f t dt tf t dt f t dt tf t dt Θέτω G() f t dt tf t dt () που είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) διότι: f t dt αρχική της συνεχούς f() στο (,+ ) οπότε παραγωγίσιμη και tf t dt αρχική της συνεχούς f() στο (,+ ) οπότε παραγωγίσιμη άρα G παραγωγίσιμη στο (,+ ) ως πράξη παραγωγισίμων 9
G () f t dt tf t dt f t dt f t dt tf t dt f t dt f f f t dt Δηλ. G () f t dt () Από υπόθεση f t, στο (,+ ) f t για t. Διακρίνω περιπτώσεις: ) f t για t άρα f(t) για t, οπότε () f t dt f t dt f t dt G () στο (, ) και G(). ) f(t) για t άρα f(t) για t, οπότε () f t dt f t dt f t dt G στο, και G έχω τον πίνακα: G + - G Μέγιστο Οπότε η G() στο παρουσιάζει μέγιστο το G G για κάθε G για κάθε άρα ισχύει: G f tdt tf tdt f t dt t f t dt f t dt t f t dt για κάθε Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4 Ιουνίου