KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha määramisel punktiks. Kuna iga reaalne keha omab massi, siis sellest ka nimetus punktmass. Ühtlase liikumise kiirus, läbitud teepikkuse arutamine Ühtlane liikumine on selline liikumine, kus keha mistahes õrdsetes ajaahemikes läbib õrdsed teepikkused. Sel juhul on läbitud teepikkuse s ja selleks kulunud aja t suhe jää suurus. Ühtlase liikumise kiirus s =. t Lähtudes ühtlase liikumise kiiruse mõistest, õime öelda, et ühtlame liikumine on jääa kiirusega liikumine, sest läbitud teepikkuse ja selleks kulunud aja suhe on jää suurus. Kiirus on aruliselt õrdne ajaühikus läbitud teepikkusega. Kiiruse ühikuks SIsüsteemis on m/s (meeter sekundis). Praktilises elus kasutatakse kiirusühikuna ka suurust km/h (kilomeetrit tunnis). Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arutada alemist s= t. NB! Ülaltoodud alemid kehtiad ainult ühtlase liikumise korral. Juhul kui liikumine ei ole ühtlane, iseloomustab liikumist hetkkiirus, mille arutamine läheb koolifüüsika raamest älja. Järgneas anname kiiruse ja teepikkuse arutamise alemid eel teise erikujulise liikumise jaoks, ühtlaselt muutua liikumise jaoks. Ühtlane liikumine õib olla nii sirgjooneline kui ka kõerjooneline. Viimase liikumise üheks erijuhuks on ühtlane ringliikumine.
Näidisülesanne. Ühtlasel sirgliikumisel läbib keha 0 sekundiga 50 meetrit. Kui suur on keha kiirus? Teeme joonise, mis näitab ülesande algandmeid. s = 50 m t = 0 s =? Kuna tegemist on ühtlase liikumisega ja ühtlase liikumise korral on kiirus õrdne antud aja jooksul läbitud teepikkuse ja aja suhtega, siis s 50 = = ( ) m/s = 5 m/s. t 0 Vastus: keha kiirus on 5 m/s. Liiklusahendite korral antakse kiirus enamasti kilomeetrites tunnis. Selleks tuleks antud tulemust korrutada 3600-ga (tunnis on 3600 sekundit) ja jagada 000-ga (kilomeetris on 000 meetrit). Tulemuseks saame 54 km/h. NB! Ülesande juurde on kasulik alati teha lihtne joonis õi skeem, mis illustreeriks antud ülesannet ja annaks selle algandmed. Ka siis kui ülesanne tundub lihtne, õiks teha joonise, sest praktika näitab, et paljudel juhtudel on ka lihtne joonis abiks õige lahenduskäigu õi õige alemi leidmisel. Näidisülesanne. jalgrattur sõidab ühtlaselt kiirusega 4,5 m/s. Kui pika tee ta läbib minuti jooksul? = 4,5 m/s t = min = 0 s s =? Kuna tegemist on ühtlase liikumisega, siis saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arutada alemist s= t= ( 4,5 0) m = 540 m. Vastus:jalgrattur läbib kahe minutiga 540 m. NB! Nii, nagu eelmises ülesandes, teisendame arutamiseks kõik suurused SI-süsteemi. Numbrilisel arutamisel kirjutame ainult lõpptulemuse ühiku, jättes kasutataate füüsikaliste suuruste ühikud älja kirjutamata. Nii kirjutame me iimases ülesandes (4,5 0) m, jättes pikema (4,5 m/s) (0 s) = 540 m kirjutamata. Sama kokkulepet kasutame ka edaspidi. Kui aga tekib probleeme, siis tasub ka arutuste käigus kirjutada iga suuruse taha sellele asta ühik.
Näidisülesanne 3. Lennuk lendab ühtlaselt kiirusega 450 km/h. Kui palju aega kulub lennukil 50 km läbimiseks? = 450 km/h s = 50 km t =? Lahendus: kuna tegemist on ühtlase liikumisega, siis kiirus arutatakse alemist = s/t. Teades kiirust ja läbitud teepikkust saab selleks kulunud aja t arutada alemist s 50 t = = ( ) h = 5 h 450 Vastus: lennukil kulub 50 km läbimiseks 5 tundi. NB! Antud ülesandes jätsime me ühikud teisendamata, sest kiirus oli kilomeetrites tunnis ja läbitud teepikkus kilomeetrites. Jagamisel taanduad kilomeetrid älja, tulemuse saame tundides.. Üldine liikumine, trajektoor, kiirusektor Üldine liikumine on enamasti kõerjooneline, kus muutub nii keha kiirus kui ka keha liikumise suund: Keha liikumist ruumis kujutatakse kõerana, mis koosneb punktidest, mida keha üksteisele järgneatel ajahetkedel läbib. Sellist kõerat nimetame keha trajektooriks (t kõraloleat joonist). Trajektoor kujutatakse alati kindlas koordinaatsüsteemis, näiteks ristkoordinaadistikus. Teades keha trajektoori, saab igal ajahetkel määrata tema asukoha ja arutada ka tema kiiruse antud ajahetkel (keha hetkkiiruse). Keha kiirus on ektor, mille suund näitab keha liikumise suunda, ektori pikkus ehk moodul aga annab keha hetkkiiruse. Keha kiirusektor on alati trajektoori puutuja suunas (tõestatakse üldfüüsika kursuses). Joonisel on kujutatud keha liikumise trajektoor, keha asukoht mingil ajahetkel t ja kiirusektor r. [Nagu mainitud, on ülal esitatud äited sellised, mida koolikursuses ei saa tõestada ja neid käsitletakse põhjalikumalt alles ülikooli füüsikakursuses. Küll on aga aja teada, et kiirus on ektor ja ta on alati suunatud trajektoori puutuja suunas.] 3
.3 Ühtlane sirgliikumine x-teljel. Juhul kui on tegemist ühtlase sirgliikumisega ja liikumist kujutatakse x-teljel, on ühtlase liikumise üldkuju järgmine x = x 0 + t, kus x 0 on keha algkoordinaat (keha asukoht ajahetkel t = 0 s) ja on keha kiirus. Erinealt eelneast, kus kiirus on alati positiine suurus (läbitud teepikkus jagatud ajaga), õib nüüd olla kiirus nii positiine kui ka negatiine. Juhul kui keha liigub x-telje positiises suunas (joonisel asakult paremale), on kiirus positiine, liikumisel aga x-telje negatiises suunas on kiirus negatiine (joonisel paremalt asakule). Asi on selles, et kiirus on tegelikult suunaga suurus, ehk ektor, mistõttu teda iseloomustab nii suund kui ka suurus (kiiruse äärtus). Kuna sirgjoonelisel liikumisel saab kiirusektori suund olla, kas x-telje suunas õi sellega astupidine, on antud juhul tegemist kiiruse projektsiooniga x-teljele ja selle märk annab liikumise suuna.. Näidisülesanne 4. Kahe keha liikumisõrrandid on astaalt x = 6+ 4t ja x = 0+ 8t, kus aeg on antud sekundites ja koordinaat meetrites. Määrata kehade algkoordinaat, kiirus ja koordinaat ajahetkel t = s. Millises punktis kehad kohtuad? x = 6+ 4t m x = 0+ 8t m t = s x =?, x0 =?, =?, x =?, x =?, x=? 0 = kiirus on?, Siin kasutame ühtlase liikumise õrrandi üldkuju x = x 0 + t, kus x 0 on keha algkoordinaat (keha asukoht ajahetkel 0 s) ja aja t ees ole kordaja on keha kiirus. Võrreldes seda algandmetes toodud kehade liikumisõrranditega, saame, et esimese keha algkoordinaat ja x = 6 0 m, = 4 m/s, teise keha algkoordinaat ja kiirus x 0 = 0 m, 8 m/s. = Kuna algtingimuste kohaselt oli koordinaat meetrites ja aeg sekundites, siis on ka algkoordinaat meetrites ja kiirus meetrites sekundis. Kahe sekundi möödudes on kehad punktides koordinaatidega 4
x = (6+ 4 ) m = 4 m,. x = ( 0+ 8 ) m = 6 m. Kui kehad kohtuad, on nende koordinaadid õrdsed. Teisisõnu x = x x. Koordinaatide õrdsustamisest saame leida kohtumise aja t, millest omakorda leiame kohtumispunkti. Seega, kohtumise aja saame õrrandist 6 + 4t = 0+ 8t, millest lihtsa algebralise teisendusega, iies ajaga liikmed ühele ja algkoordinaatide liikmed teisele poole, saame 4 t = 6 ehk t= 4 s. Kasutades nüüd ühte liikumisõrranditest, saame kehade kohtumispunktiks x x = (6+ 4 4) m = m. (Ilmselt annab ka teine õrrand sama tulemuse. Kontrolli!) Esitame eel kehade liikumise graafiliselt, kandes horisontaalteljele aja ja ertikaalteljele x- koordinaadi. Sirge x kujutab liikumist kiirusega = 4 m/s, sirge x kujutab liikumist kiirusega 8 m/s. Sirgete lõikumispunktis kehad kohtuad. = NB! Joonisel kujutatud sirged annaad kehade liikumise abstraktsel x-t (koordinaataeg) tasandil. Kehad ise liiguad x-telje sihis, antud ülesandes mõlemad alt üles (x-telje positiises suunas). Selline kujutamine annab liikumisest parema üleaate, sest siin saab igal ajahetkel näha, milline keha on ees, milline taga ja millal nad kohtuad. Vastus: kehade algkoordinaadid on astaalt 6 m ja 0 m, kiiruse astaalt 4 m/s ja 8 m/s, ajahetkel s on kehad astaalt punktides koordinaatidega 4 m ja 6 m ning kehad kohtuad punktis koordinaadiga m. 5
.4 Kiirus kahe teineteisest sõltumatu liikumise korral Juhul kui keha õtab osa kahest teineteisest sõltumatust liikumisest, on keha kiirus (kogukiirus) õrdne kiiruste ektorsummaga r r r = +, kus r ja r astaate liikumiste kiirused. Vaadates näiteks paadi liikumist jõel, õime liikumise lahutada kaheks, millest üks on paadi liikumine oolu sihis ja mida iseloomustab eeoolu kiirus jões, teine aga paadi liikumine jõe suhtes, mida iseloomustab paadi kiirus paigalseisa ee suhtes. Nende kahe liikumise mõjul toimu tegelik liikumine kaldal olea aatleja suhtes on suunatud kogukiiruse sihis, mis on astaate kiiruste kogusumma. Vektorite liitmine Paljud füüsikalised suurused on ektoriaalsed (näiteks kiirus, kiirendus, impulss ja jõud). Selliseid suurusi iseloomustab lisaks astaa füüsikalise suuruse äärtusele ka kindel suund. Vektoreid kujutame graafiliselt suunatud nooltena, mille suund annab ektori suuna ja ektori pikkus (kindlates mõõtühikutes) ektori pikkuse. Vektoritega õib teha matemaatilisi operatsioone, näiteks liita ja lahutada. Vektorite liitmine. Enne kui asume näidisülesannete juurde, tuletame kõigepealt meelde, kuidas toimub kahe ektori liitmine. Olgu meil kaks ühest punktist joonestatud ektorit a r ja b r. Nende ektorite summa r r r c = a+ b on ektor, mille saame, joonistades ektori mööda liidetaatele ektoritele kujutatud rööpküliku diagonaali. Seda liitmist nimetatakse rööpküliku meetodiks. Vektoreid saab liita ka nn kolmnurga meetodil. Selle meetodi korral kasutatakse asjaolu, et ektorit õib alati nihutada paralleelselt iseendaga (ektori pikkus ja suund ei muutu, st ektor jääb samaks). Nüüd liidame ektoreid selliselt, et kanname ektori b r alguspunkti ektori a r lõpppunkti. Vektori c r saame, ühendades ektori a r alguspunkti ektori b r lõpppunktiga. Järgne joonis kujutab ektorite liitmist: asakpooolne pildil on kujutatud liidetaad a r ja b r, keskmisel pildil on toodud liitmine rööpküliku meetodil ja parempoolsel pildil liitmine kolmnurga meetodil (ektoriga b r on tehtud paralleelnihe)parempoolne pilt). 6
Vektorite lahutamine. Juhul kui on antud ektorite summa ja üks ektoritest, siis teise ektori ehk ektorite ahe saame leida analoogiliselt. Kui aja leida ektorit r r r b = c a, siis rööpkülikumeetodit kasutades moodustame ektoritele c r ja a r joonistatud kolmnurgast rööpküliku, mille diagonaaliks on c r. Selle rööpküliku teine külg annab meile ektorite ahe ehk otsitaa ektori b r. Kolmnurga meetodil on ahe leidmine lihtsam, tuleb joonistada ektor, mille alguspunkt ühtib ektori a r lõpppunktiga ja lõpppunkt ektori c r lõpppunktiga. Vektorite lahutamist illustreerib järgmine joonis, kus asakul on ektorid a r ja c r, keskel leitakse ektor b r rööpküliku meetodil, paremal aga kolmnurgameetodil. Vektorite liitmisel huitab meid summat kujutaa ektori pikkus (moodul). Selle leidmine sõltub ektorite a r ja b r pikkusest, samuti ka ektorite ahelisest nurgast ja ei ole seetõttu lihtne ülesanne. Lihtne on arutus siis, kui kaks ektoritest on täisnurga all. Kui näiteks ektorite a r ja b r aheline nurk on täisnurk, siis ilmselt (aata joonist) c + = a b, kus c on ektori c r pikkus ning a ja b on astaalt ektorite a r ja b r pikkus. Tasub teada, et füüsikas liidetakse alati samale füüsikalisele suurusele astaaid ektoreid (kiirusektorit kiirusektoriga, jõuektorit jõuektoriga, jne) 7
Näidisülesanne 5. Paadi kiirus seisas ees on 4 m/s. Mitme meetri õrra kannab ool paati edasi kui sõudjad hoiaad paadi suunda kogu aeg risti ooluga, mille kiirus on m/s? Jõe laius on 00 m. Antud; = 4 m / s = m / s s = 00 m s =? Paadi liikumise kujutamiseks teeme joonise, millel ektor r.kujutab paadi kiirusektorit ja mis algtingimuste kohaselt on kaldaga (samuti ka jõe ooluga) risti, ektor r aga oolu kiirust. Antud juhul on tegemist liitliikumisega, mis on aadelda kahe teineteisest sõltumatu samaaegse ühtlase liikumisena, millest üks on paadi ristsihiline liikumine jõe ooluga ja teine paadi liikumine oolu sihis. Et mõlemad liikumised on ühtlased, õime kirjutada s = = t ja s t, kus t on jõe ületamiseks kulu aeg. Tegemist on lihtsa matemaatikaülesandega, kus s leidmiseks tuleb esimesest õrrandist aaldada aeg t ja asendada see teise õrrandisse s t = = s. s Asendades algandmed, saame 00 s = ( ) m= 5 m. 4 Vastus: ool kannab paati edasi 5 m. Kommentaar. Juhul kui liikumine ei toimu mingit kindlat sirget õi kõerat mööda ehk teisisõnu, kui tegu ei ole ühedimensionaalse liikumisega, on keerukama liikumise lahutamine mitmeks sõltumatuks liikumiseks alati kasulik, kui need liikumised on eraldi õttes lihtsalt kirjeldataad. Ka antud näites me aatasime paadi liikumist risti ooluga ja liikumist oolu sihis eraldi. Nende kahe liikumise mõjul toimu tegelik liikumine kaldal olea aatleja suhtes on joonisel kujutatud punktiirjoone sihis, kusjuures paadi tegelik kiirus on ristsihiliste kiiruste ektorsumma r r r = +. Vaatamata sellele, et sõudjad hoiaad paati kogu aeg ooluga risti, liigub paat tegelikult kiiruse r suunas. Juhul kui meid huitab paadi tegelik kiirus, saame selle ristsihiliste kiiruste korral arutada alemist = +. 8
Näidisülesanne 6. Jõel, mille laius on 80 meetrit, liigub paat astaskaldale lühimat teed pidi. Paadi kiirus ee suhtes on,5 m/s, oolu kiirus on, m/s. Kui palju aega kulub jõe ületamiseks? s = 80 m =,5 m/s =, m/s t =? Paadi liikumise kirjeldamiseks teeme joonise. Joonise tegemisel arestame asjaolu, et lühimaks teeks astaskaldale on kaldaga risti ole sirge. Et paat liiguks kaldaga risti, peab tema kogukiirus olema samuti risti kaldaga. Kuna aga paadi kogukiirus on paadi kiiruse ja oolu kiiruse ektorsumma r r r = +, tulebki joonis teha nii, et ülalöeldu kehtiks. Teisisõnu, paadi kiiruse r suund tuleb alida selline, et paadi kogukiirus r oleks risti jõega kaldaga (teataasti on kahe ektori summa nendele ektoritele ehitatud rööpküliku diagonaali sihis). Nagu jooniselt on näha, on kiirusektorid täisnurkse kolmnurga külgedeks. Kaatetite pikkused õrduad kiirustega ja, hüpotenuusi pikkus aga kiirusega, seetõttu saame Pythagorase teoreemi kasutades järgmise seose kiiruste ahel = +. Seega = ja kiiruseks saame = = (,5, ) m / s= ( 0,8) m / s 0,9 m / s. = Kuna liikumine on ühtlane, saame alemist s = t arutada liikumisaja s 7 t = = ( ) s= 80 s. 0,9 Vastus: jõe ületamiseks ristsihis kulub aega 80 s ehk min 0 s. Kommentaar: Järgneas me aatame eel sellist liitliikumist, kus üks liikumine on ühtlane, sellega ristisuunas liikumine aga ühtlaselt muutu (kiirene õi aeglustu) liikumine. 9
.5 Veelkord ühikutest Igal füüsikalisel suurusel on alati kindel ühik, ainuüksi numbriline äärtus teda ei iseloomusta. Seetõttu tuleb iga füüsikalise suuruse aräärtusele alati lisada ka asta ühik. Selleks, et arutustel ei tekiks probleeme eri ühikutega, kasutatakse kindla ühikute süsteemi ühikuid. Üldkasutataaks ühikute süsteemiks on teataasti rahusaheline ühikute süsteem ehk SI-süsteem. Ülesannete lahendamisel on otstarbekas teisendada ülesande algandmetes kõik suurused omaahel sobiateks ühikuteks, enamasti SI-süsteemi ühikuteks. Mehaanika osas on põhiühikuteks pikkusühik meeter (m), ajaühik sekund (s) ja massiühik kilogramm (kg). Kõik muud ühikud, nagu näiteks kiirusühik m/s, kiirendusühik m/s, jõuühik N = kg m/s ja teised, aalduad nende kaudu. Seda, et ühikutega tuleb hoolikalt ümber käia, selgitame antud lihtsa ülesande näitel. Olgu keha kiirus 0 m/s ja leida on aja keha poolt kahe tunni jooksul läbitud teepikkus. Kui me nüüd teepikkuse arutamise alemis s = t korrutame algandmed (kiirus meetrites sekundis ja aeg tundides), saame tulemuseks s = 0 = 0. Mida saadud tulemus endast kujutab, näeme siis, kui teeme arutused koos ühikutega m m h s= 0 h= 0. s s Tulemuseks pole hoopiski mitte teepikkus meie kasutataates taaühikutes (m, cm, km, ), aid ühikuks on meetertundi sekundis, mis ilma edasise analüüsita, tehes kas tunnid sekunditeks õi sekundid tundideks, ei ütle läbitud teepikkuse kohta midagi. Kasutades aga omaahel sobiaid ühikuid, teisendades kiiruse 0 m/s ümber kiiruseks 36 km/h, saame kohe mõistliku tulemuse km km h s= 36 h= 7 = 7 h h km, sest lugejas ja nimetajas olead tunnid taanduad älja. Kui tekib probleeme ühikutega, õi pole kindel, kas ikka ühikud omaahel sobiad, tasub arutused läbi teha nii, nagu ülal koos ühikutega. 0
.6 Keskmine kiirus Keskmiseks kiiruseks mingil teelõigul õi teel nimetatakse füüsikalist suurust, mis on õrdne keha poolt läbitud teepikkuse s ja selleks kulunud koguaja t suhtega s =. t Keskmine kiirus on sellise ühtlase liikumise kiirus, mille korral antud teepikkus s läbitakse antud ajaga t. Keskmise kiiruse ülesannete lahendamine on praktiliselt sama, mis ühtlase liikumise ülesannete lahendamine, sest keskmise kiiruse kasutamisel me eeldame, et kogu läbitud teepikkus läbitakse ühtlaselt jääa kiirusega (keskmise kiirusega). Tegelik liikumine pole praktiliselt kunagi ühtlane, kuid paljudel juhtudel huitab meid keha liikumine terikuna algpunktist lõpppunkti, seetõttu ka kogu läbitud teepikkus ja selleks kulunud aeg. Näidisülesanne 7. Veerand tunniga läbib auto 5 kilomeetrit ja järgnea kolmeerand tunniga 75 kilomeetrit. Milline on auto keskmine kiirus? t = 5 min s= 5 km t = 45 min s = 75 km =? = = 0,5 h 0,75 h Lähtume keskmise kiiruse definitsioonalemist, mille kohaselt tuleb leida kogu läbitud teepikkus ja jagada see liikumiseks kulunud koguajaga. Liikumist kujutame järgmise joonisena. Kogu läbitud teepikkus s= s + s = ( 5 75) km = 90 km. + Selle läbimiseks kulunud aeg t = t + t = (0,5 0,75) h = h. + Keskmine kiirus s 90 = = ( ) km/h = 90 km/h. t
Vastus: auto keskmine kiirus on 90 km/h. Kui õrrelda auto liikumist eri teelõikudel, siis esimesel lõigul on kiiruseks = s t 60 km / h ja teisel lõigul = s t 00 km / h. / = / = Näidisülesanne 8. Auto sõidab pool tundi kiirusega 80 km/h ja pool tundi kiirusega 0 km/h. Leida auto keskmine kiirus. t = 30 min= 0,5 h = 80 km/h t = 30 min= 0,5 h = 0 km/h Leida: =? Kujutame liikumist järgmise skeemiga. Kuna liikumise koguaja saab algandmetest kohe leida, tuleb meil arutada läbitud teepikkus. Arestades, et liikumine on ühtlane, on aja t jooksul läbitud teepikkus s = t ja aja t jooksul läbitud teepikkus s =. t Keskmise kiiruse arutamiseks saame nüüd alemi s t + = =. t t+ t t Asendades arud, saame 80 0,5+ 0 0,5 = ( ) km/h = 00 km/h. 0,5+ 0,5 Vastus: keskmine kiirus on 00 km/h. Siin ülesandes me kasutasime üldleinud kiiruse ühikut km/h ja erinealt eelnenud ülesannetest teisendasime aja seetõttu tundideks (mitte sekunditeks). Kommentaar. Siin ülesandes tuletatud keskmise kiiruse arutusalem kehtib sualiste t ja t korral. Antud ülesandes on tegemist erijuhuga ( t = t ), mis on huita selle poolest, et keskmine kiirus langeb kokku kiiruste aritmeetilise keskmisega = ( 80+ 0) / = 00 km / h. Üldjuhul on aga keskmine kiirus ja kiiruste aritmeetiline keskmine erinead ning neid ei tohi segi ajada. Toome siin lihtsa näite, olgu meil samade kiirustega liikumine, aga ajad erinead, näiteks t = 5 min= 0, 5 h ja t = 45 min= 0, 75 h. Sel juhul annab ülemine alem keskmiseks kiiruseks 0 km/h, mis ilmselt erineb aritmeetilisest kiiruste keskmisest 00 km/h. Et mitte eksida, tuleb alati kasutada üldist alemit: leida läbitud teepikkus ja jagada see selleks kulunud koguajaga.
Näidisülesanne 9. Poole teest läbib auto kiirusega 80 km/h, teise poole teest kiirusega 0 km/h. Leida keskmine kiirus. = 80 km/h = 0 km/h =? Keskmise kiiruse arutamiseks tuleks jälle leida läbitud teepikkus ja selleks kulunud aeg. Antud on liikumiskiirused ja teame, et pool teest läbiti ühe, pool teise kiirusega. Liikumist kujutame järgmise skeemina. Siin on meil esimest korda tegemist juhuga, kus ülesande lahendamiseks tuleb sisse tuua suurusi, mis küll algandmetes pole otseselt antud, kuid mis esinead meie poolt kasutataates alemites. Nendega on taaliselt nii, et nad lõppalemis taanduad älja, tuletuse käigus on aga ajalikud. Nii on ka antud juhul. Läbitud teepikkus pole antud, küll aga sisaldab kiiruse arutamise alem teepikkust. Olgu pool läbitud teest õrdne l km, st s = s = l. Kogu läbitud tee on seega s= l km. Esimese poole läbimiseks kulub aeg l l t = = h, 80 teise poole läbimiseks aga l l t = = h. 0 Keskmine kiirus arutamise alem aaldub antud juhul kujul = s t = l l + l = + = + Nagu näha, taandus meie poolt sisse toodud suurus l lõppalemist älja. Asendades algandmed, saame 80 0 = ( ) km/h = 96 km/h. 80+ 0 Vastus: keskmine kiirus on 96 km/h. Lihtne on eenduda, et antud juhul keskmine kiirus ei õrdu kiiruste aritmeetilise keskmisega ( 80+ 0) / km/h = 00 km/h. Miks me seda siin järjekordselt rõhutame? Selleks, et tihti peetakse keskmiseks kiiruseks ekslikult kiiruste aritmeetilist keskmist. 3
.7. Mitteühtlane liikumine. Kehade liikumine on enamasti mitteühtlane, st õrdsetes ajaahemikes läbitaad teepikkused on sellisel juhul erinead. Teisiti äljendades on mitteühtlane liikumine selline liikumine, kus keha liigub muutua kiirusega. Mitteühtlase liikumise korral tuleb lisaks kiiruse mõistele sisse tuua kiirenduse mõiste, mis iseloomustab keha kiiruse muutumist ajas. Sellise liikumise kirjeldamine on oluliselt keerukam ja kuulub ülikooli füüsika kursusesse. Järgnealt aatame ühte lihtsat, kuid ajalikku erijuhtu - ühtlaselt muutuat sirgjoonelist liikumist. Nagu me järgneas näeme, on kiirenduse mõiste sissetoomine ajalik seetõttu, et kehadele mõjuad liikumisel jõud (mis tegelikkuses paneadki kehad liikuma), jõud aga määraad ära kehade kiirenduse. Ühtlaselt muutu sirgjooneline liikumine Ühtlaselt muutu sirgjooneline liikumine on selline liikumine, mille korral keha kiirus muutub mistahes õrdsetes ajaahemikus õrdse suuruse õrra. Sellisel juhul on kiiruse muudu ja aja suhe konstantne suurus, mida nimetatakse keha kiirenduseks a=. t Kui keha kiirus liikumise alghetkel oli ja aja t möödudes, siis kiiruse muut =. Ühtlaselt muutu liikumine on seega konstantse kiirendusega liikumine. Ühtlaselt kiireneal liikumisel on kiirendus positiine (kiiruse suunaline), ühtlaselt aeglustual liikumisel aga negatiine (kiirusele astassuunaline). Kiirus ja läbitud teepikkus ühtlaselt muutual liikumisel Ühtlaselt muutua liikumise korral on kiiruse ja läbitud teepikkuse alemid järgmised = 0 + a t, a t s = 0t+, 4
kus 0 on keha algkiirus (kiirus hetkel t = 0 s) ja a on keha kiirendus. (Tuletame eelkord meelde: ühtlaselt muutual liikumisel on kiirendus konstantne.) NB! Ühtlane liikumine on aadata ühtlaselt muutua liikumise erijuhuna kui kiirendus on õrdne nulliga (a = 0). Näidisülesanne 0. Auto saautab 0 sekundiga paigalseisust kiiruseks 00 km/h. Arutada auto kiirendus ja auto poolt läbitud teepikkus, eeldades et liikumine on ühtlaselt kiirene. t = 0 s = 00 km / h= 7,8 m/s a =?, s =? Teeme joonise. Kuna tegemist on ühtlaselt kiirenea liikumisega, siis kasutame ühtlaselt muutua liikumise kiiruse ja läbitud teepikkuse alemeid = 0 + a t, at s = 0t+ Et auto alustab paigalseisust, on algkiirus õrdne nulliga ja alemid lihtsustuad = a t, at s=. Esimesest alemist saamegi kohe leida kiirenduse 7,8 a= = ( ) m/s =,8 m/s t 0 ja saadud kiirenduse äärtust kasutades teisest alemist läbitud teepikkuse,8 00 s = at = ( ) m = 40 m. Vastus: auto kiirendus on,8 m/s ja auto läbib kiiruseni 00 km/h jõudmiseks 40 m. 5
Näidisülesanne. Auto, alustades sõitu, saautab 50 meetri peal kiiruseks 08 km/h. Milline on auto kiirendus ja 50 m läbimiseks kulunud aeg? s = 50 m = 08 km / h= 30 a =?, t =? m/s Vaata eelmist joonist. Kuna auto alustab paigalseisust ja liigub ühtlaselt kiirenealt, siis kasutame ühtlaselt muutua liikumise alemeid = a t ja at s=. Et meil aeg ega kiirendus antud ei ole, aid on otsitaad, tuleb saadud alemeid teisendada, aaldades kiiruse alemist kas aja õi kiirenduse ja asendades saadud aaldise teepikkuse arutamise alemisse. Aaldame näiteks aja t =. a Asendades selle teise alemisse, saame a s= =. a a Olemegi saanud alemi, milles on kiirus, teepikkus ja kiirendus ning millest õimegi arutada kiirenduse a=. s Asendades algandmed, saame tulemuseks 30 a = ( ) m/s =,8 m/s. 50 Kiirenduse äärtust kasutades saame omakorda liikumise aja 30 t = = ( ) s = 6,7 s. a,8 Vastus: auto kiirendus antud liikumisel on,8 m/s ja 50 m läbimiseks kulub 6,7 s. 6
Näidisülesanne. Auto liigub kiirusega 36 km/h. Järsul pidurdamisel jääb auto seisma sekundi pärast. Leia pidurdamise kiirendus ja pidurdusteekonna pikkus. 0 = 36 km/h = 0 m/s t = s = 0 a =?, s =? Liikumise illustreerimiseks teeme joonise. Tegemist on mitteühtlase liikumisega. Eeldame, et pidurdamisel on auto liikumine ühtlaselt aeglustu, sest siis saame kasutada selle liikumise kiirenduse ja läbitud teepikkuse arutamise alemeid a = at 0 ja s= 0t+. t Nagu algandmetest on näha, saab kohe älja arutada kiirenduse ja selle abil kohe ka pidurdusteekonna pikkuse 0 0 5 a= ( ) m/s = - 5 m/s, s= (0 ) m = 0 m. Vastus: auto kiirendus pidurdamisel on 5 m/s ja pidurdusteekonna pikkus on 0 meetrit. Kuna see pidurduskiirendus astab suhteliselt järsule pidurdamisele, siis siit on näha, et ka auto kohta äikese kiiruse korral on pidurdusteekond piisaalt pikk, mis tähendab, et auto silmapilkne peatamine pole kunagi õimalik. Kommentaar. Kuna mitteühtlase liikumise korral me enamasti eeldame, et tegemist on ühtlaselt muutua liikumisega, st. kas ühtlaselt kiirenea õi ühtlaselt aeglustua liikumisega, siis tasub sealjuures kasutataaid alemeid eelkord aadata. Ühtlaselt muutua liikumise korral on kiiruse ja läbitud teepikkuse alemid järgmised = 0 + a t, a t s = 0t+. Siin 0 on keha kiirus alghetkel (ehk ajahetkel t =0), aja t möödudes on keha kiirus ja keha poolt selle aja jooksul läbitud teepikkus on s. Sõltualt sellest, mis meil liikumise kohta on antud, tuleb nendest alemitest arutada ülejäänud suurusi, kusjuures arutuse lõppalemid sõltuad nendest suurustest, mis on antud. Seetõttu tasub need kaks alemit meelde jätta, sest kõik ülejäänud saab nendest sõltualt algandmetest tuletada. Näidisülesandes oli antud läbitud teepikkus ja kiirus. Kui meid 7
huitab kiirendus, siis selle saab arutada alemiga a=. Nagu me nägime, pole seda aja s meeles pidada, selle alemi saame lihtsalt tuletada ülaltoodud kahest alemist. Vaba langemine Maa pinna lähedal langead kõik kehad raskuskiirendusega (aba langemise kiirendusega) g = 9,8 m/s. Näidisülesanne 3. Keha kukub 0 m kõrguselt maapinnale. Milline on keha kiirus maapinnale kukkumise hetkel? Kui kaua keha kukkus? h = 0 m = 0 0 m/s g = 9,8 m/s =?, t =? = g t ja Teeme joonise. Kuna keha algkiirus on õrdne nulliga, kukub keha ertikaalselt alla. Liikumine on ühtlaselt kiirene, kusjuures kiirendus on õrdne raskuskiirendusega g. Lähtudes ühtlaselt kiirenea liikumise alemitest õime antud juhu jaoks kirjutada g t h=. Kuna langemise kõrgus ja raskuskiirendus on antud, saame kõigepealt leida kukkumise aja h 0 t = = ( ) s =,4 s. g 9,8 Teades aega, saame arutada keha lõppkiiruse = g t = (9,8,4) m/s = 4 m/s. Vastus: keha kiirus maapinnale kukkumise hetkel on 4 m/s, keha kukub,4 sekundit. 8
.8 Üldine liikumine Keha üldine liikumine on enamasti selline, kus muutuad nii keha kiirus kui ka kiirendus. Keha liikumist kirjelda trajektoor on samuti üldjuhul kõerjooneline (st mitte sirgjooneline). Sellisel juhul, nagu me juba arem mainisime, tuleb kiirust aadata ektoriaalse suurusena r r = (t), mis on alati trajektoori puutuja sihiline (suunatud keha liikumise suunas). Kiiruse äärtus on samuti üldjuhul ajas muutu suurus = (t). Üldisel liikumisel tuleb ka kiirendust aadata ektoriaalse suurusena a r r = a(t), mis iseloomustab kiirusektori muutust ajas. Kuna kiirusektor õib muuta liikumisel nii oma suunda (kõerjooneline liikumine) kui ka pikkust (kiiruse äärtus muutub), on kiirenduse mõiste märksa üldisem sellest, mida me aatasime ühtlaselt muutua sirgjoonelise liikumise korral. Ühtlaselt muutual sirgliikumisel muutus ainult kiiruse äärtus, suund aga mitte (liikumine on mingi kindla sirge sihis). Kiirendusega liikumisega on tegemist ka sel juhul kui muutub kiiruse suund, kiiruse äärtus aga ei muutu. Üheks erijuhuks on siin ühtlane kõerjooneline liikumine, kus kiiruse äärtus liikumisel ei muutu, muutub aga kiiruse suund. Viimase erijuhuks on omakorda ühtlane ringliikumine, mille korral kiirendus (nn kesktõmbekiirendus) on alati suunatud ringjoone keskpunkti suunas. Ühtlane ringliikumine, kesktõmbekiirendus Ühtlane ringliikumine on selline liikumine, kus keha liigub ühtlase kiirusega mööda ringjoont. Liikumise trajektooriks on seega ringjoon. Kuna kiirus on ringjoone puutuja sihiline, siis kiiruse suund pidealt muutub, kiirusektori pikkus (kiiruse äärtus) aga mitte. Nagu eespool öeldud, on tegemist kiirendusega liikumisega (kiiruse suund liikumisel muutub) See on erijuht üldisest liikumisest, mille korral kiirendusektor on kiirusektoriga risti ja suunatud kogu aeg ringi keskpunti suunas. Sellist kiirendust nimetatakse kesktõmbekiirenduseks ja see aaldub keha kiiruse ning ringjoone raadiuse kaudu järgmiselt 9
a=. r (Üldisel liikumisel nimetatakse kiirusega risti oleat kiirenduse komponenti normaalkiirenduseks.) Näidisülesanne 4. Auto liigub teekuris kõerusraadiusega 50 m ühtlase kiirusega 54 km/h. Kui suur on auto kesktõmbekiirendus? = 54 km/h = 5 m/s r = 50 m a =? alemist Liikumise illustreerimiseks teeme joonise. Teekuri lõigul liikumist õib aadata kui liikumist ringi kaart mööda, mille raadius on õrdne kuri kõerusraadiusega r. Kuna kesktõmbekiirendus arutatakse a=, r saame peale arandmete asendamist tulemuseks 5 a = ( ) m/s = 4,5 m/s. 50 Vastus: auto kesktõmbekiirendus on 4,5 m/s..9 Horisontaalselt isatud keha liikumine NB! Selle osa õib esimesel lugemisel ahele jätta. Kasutades erijuhuliste liikumiste jaoks kirja pandud alemeid, on õimalik kirjeldada ka mitmeid keerukamaid liikumisi. Ühe näitena aatame siin Maa pinna lähedal horisontaalselt isatud keha liikumist. Seda liikumist saab käsitleda liitliikumisena kahest sõltumatust liikumisest: ühtlasest horisontaalsuunalisest liikumisest ja ühtlaselt muutuast ertikaalsuunalisest liikumisest. Põhjenduse sellele saame Newtoni seadustest, sest isatud kehale mõjub ertikaalsihiline raskusjõud, mis tingib keha ertikaalsihilise aba langemise raskuskiirendusega 0
g, horisontaalsihis aga raskusjõud kiirendust ei tekita ja isatud keha jätkab antud algkiirusega liikumist. Vaatame siin ainult keha kiiruse leidmist. Kahe sõltumatu liikumise korral on kiirus õrdne astaate kiiruste ektorsummaga. Antud juhul on tegemist horisontaalsuunalise ja ertikaalsuunalise liikumisega. Tähistades astaaid kiirusi r ja r, õime horisontaalsuunalise kiiruse jaoks kirjutada = 0, sest see kiirus liikumisel ei muutu, ja ertikaalsihilise kiiruse jaoks = g t, sest tegemist on aba langemisega (ühtlaselt muutua liikumisega, mille kiirendus on õrdne raskuskiirendusega, kusjuures ertikaalsihiline algkiirus on õrdne nulliga, sest keha isatakse horisontaalselt). Kuna antud juhul on eri liikumisi kirjeldaad ektorid risti on kogukiirus arutata järgmiselt = +. 0 ( g t) Teades, et horisontaalliikumine on ühtlane ja ertikaalliikumine ühtlaselt muutu (raskuskiirendusega g), saab arutada ka muid antud liikumisega seotud füüsikalisi suurusi. Visatud keha trajektooriks on parabool. Sama mõttekaäiku saab rakendada ka siis, kui keha isatakse algkiirusega r 0, mis on suunatud horisontaalsihi suhtes nurga α all. Sel juhul tuleb algkiirus lahutada kaheks teineteisega risti oleaks komponendiks horisontaalsihiliseks kiiruseks cosα h = 0 ja ertikaalsihiliseks kiiruseks = 0 sinα. Horisontaalsihis liigub keha ühtlaselt kiirusega h, ertikaalsihis aga ühtlaselt muutualt (raskuskiirendusega g), kusjuures on keha ertikaalsihilise liikumise algkiiruseks. Keha trajektooriks tuleb jällegi parabool.
Näidisülesanne 5. Torni otsast kõrgusega 40 m isatakse horisontaalsuunas kii algkiirusega 0 m/s. Kui kaugel torni jalamist kukub kii maapinnale? Milline on kii kiirus maapinnale kukkumise hetkel? h= 40 m 0 = 0 m/s g = 9,8 m/s s=?, =? Teeme kii liikumise kirjeldamiseks joonise, millel on kujutatud kii kiirus kukkumisel mingil sualisel ajahetkel t ja selle lõpphetkel. Antud juhul on kii liikumine aadata kahe teineteisest sõltumatu liikumisena. Horisontaalsuunas liigub kii kogu aeg ühtlaselt esialgse algkiirusega 0. (Miks see nii on, põhjendatakse dünaamika osas. Siin ütleme ainult seda, et keha liikumist mõjutab maa raskusjõud, mis on suunatud ertikaalselt alla ja seetõttu horisontaalsuunalist liikumist ei mõjuta.) Seetõttu on kii kaugus torni jalamist arutata igal ajahetkel t lihtsa ühtlase liikumise alemiga s 0 = t Vertikaalsuunas aga langeb keha ühtlaselt kiirenealt raskuskiirendusega g. Kuna keha isati horisontaalsuunalise algkiirusega, siis ertikaalsuunaline algkiirus on õrdne nulliga ja langemise kõrgus arutatakse alemiga g t h=. Kuna torni kõrgus h on antud, saame siit arutada kukkumisaja h t = g ja asendades selle ülemisse alemisse, kauguse jalamist, kuhu kii kukub h 40 s= 0 = (0 ) m= 8, 6 m. g 9,8
Esimene pool ülesandest on lahendatud. Asume nüüd uurima kii kiirust. Horisontaalsihile kiirus jääb kogu aeg ühesuguseks ja õrdub algkiirusega. Vertikaalsihiline kiirus aga arutatakse nii, nagu ühtlaselt kiireneal liikumisel (algkiirus õrdub nulliga) alemiga = g t. r r r Kii tegelik kiirus on nende ektorsumma = 0 +. Arestades, et liidetaad kiirused on omaahel risti ja joonisel kujutatud kiiruste diagrammil täisnurkse kolmnurga kaatetiteks, kogukiirus aga sama täisnurkse kolmnurga hüpotenuusiks, saame Pythagorase teoreemi kasutades kirjutada = +. 0 + = 0 g t Valem õimaldab arutada kogukiirust mistahes ajahetkel. Meil oli aja leida kiirus maapinnale kukkumise hetkel.. Asendades ülal arutatud kukkumise aja, saame h = 0 + g = 0 + g h. g Arutus annab lõppkiiruseks = ( 0 + 9,8 40 ) m / s= 9,7 m / s. Vastus: kii kukub torni jalamist 8,6 meetri kaugusele, kii kiirus maapinnale kukkumise hetkel on 9,7 m/s. 3
NB! Valemid, mis on aja kindlasti meeles pidada. Ühtlase liikumise kiirus s =. t Ühtlaselt muutua liikumise kiirendus = =. t t a Kiirus ja keha poolt läbitud teepikkus ühtlaselt muutual liikumisel = 0 + a t, a t s = 0t+. Kesktõmbekiirendus a=. r 4
Ülesandeid iseseisaks lahendamiseks... Kumb auto liigub kiiremini, kas see, mille kiirus on 90 km/h, õi see, mis liigub kiirusega 30 m/s? (Auto, mis liigub kiirusega 30 m/s.).. Maa pinna lähedal tiirlea tehiskaaslase kiirus on 7,9 km/s. Kui palju aega kulub tehiskaaslasel ühe täistiiru tegemiseks (st milline on tehiskaaslase tiirlemisperiood)? Maa keskmine raadius on 6370 km. ( h 4 min).3. Maa ekatoriaalümbermõõt on 40 tuhat kilomeetrit. Kui suur on ekaatoril asetsea maapinna punkti kiirus? (460 m/s).4. Kaks autot sõidaad teineteisele astu, kumbki kiirusega 80 km/h. Mitme sekundi pärast nad kohtuad kui algul olid autod km kaugusel? (,5 s).5. Esimene auto alustas sõitu kiirusega 7 km/h, iie minuti pärast stardib samas suunas teine auto, liikudes kiirusega 90 km/h. Kui kaugel sihtkohast jõuab teine auto esimesele järele? (30 km).6. Kergejõustiku õistlusel olid õiduajad 00 m, 400 m ja 800 m jooksus astaalt 0,0 s, 44, s ja min 44 s. Millised olid õitjate keskmised kiirused? (0,0 m/s, 9, m/s, 7,7 m/s).7. Matkajad läbisid kolmel järjestikusel päeal astaalt 60 km, 95 km ja 70 km. Kui suur oli matkajate keskmine kiirus? (75 km päeas).8. Auto sõidab pool tundi kiirusega 90 km/h ja on sunnitud järgnead 0 minutit sõitma teeremondist tingituna kiirusega 30 km/h. Kui suur on auto keskmine kiirus? (66 km/h).9. Poiss, sõites kiirusega 7 km/h sõitas rongis, tahab kiiga tabada tee ääres seisat posti?. Kui kaugel postist peab kii iskama, kui kii isatakse rongi liikumisega risti? Kii kiirus on 5 m/s ja kii tabab posti,4 s pärast. (9 m).0. Lennuk peab stardirajal saautama 45 sekundiga õhku tõusmiseks ajaliku algkiiruse 80 m/s. Eeldades, et liikumine oli ühtlaselt kiirene, leida lennuki kiirendus ja stardiraja pikkus. (,8 m/s ).. Auto algkiirus on 8 m/s ja kiirendus 0, m/s. Kui suur on auto kiirus kui läbitud on 500 m? (6 m/s).. Mootorratas, alustades liikumist, saautab 0 m peal kiiruseks 30 m/s. Eeldades, et liikumine oli ühtlaselt kiirene, leida mootorratta kiirendus ja kiirendamisele kulunud aeg. (3,8 m/s, 8 s).3. Veoautolt, mille kiirus on 90 km/h kukub koormast teele raske kast, mis enne peatumist lohiseb asfaldil 45 meetrit. Leida kasti kiirendus ja peatumiseks kulu aeg. (- 6,9 m/s, 3,6 s).4. Auto, alustades liikumist, liigub esimesed 0 s kiirendusega m/s ja järgmised 0 s kiirendusega m/s. Kui pika tee läbis auto 0 s jooksul ja millise kiiruse ta saautas? (350 m, 30 m/s) 5
.5. Sprinter läbib 00 m distantsi ajaga 9,8 s. Oletades, et sprinter saautab maksimaalse kiiruse esimese 0 m peal ja edasi jookseb ühtlase kiirusega, leida see kiirus. (, m/s).6. Kui suur peab olema ertikaalselt üles isatud kii minimaalne algkiirus, et tõusta m kõrgusele? (0 m/s).7. Kui suur on ekaatoril asetsea maapinna punkti kesktõmbekiirendus? Maa keskmine raadius on 6370 km. (0,03 m/s ) 6