ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ ΧΑΡΙΣ Α. ΓΕΩΡΓΟΥΝΤΖΟΥ Επιβλέπων: ΠΑΥΛΟΣ ΛΕΝΤΟΥΔΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΤΡΑ Ιανουάριος 2016

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ ΧΑΡΙΣ Α. ΓΕΩΡΓΟΥΝΤΖΟΥ Επιβλέπων: ΠΑΥΛΟΣ ΛΕΝΤΟΥΔΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 29 η Ιανουαρίου 2016. Π. Καραζέρης Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Π. Λεντούδης Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Π. Τζερμιάς Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Ιανουάριος 2016 1

Χάρις Α. Γεωργούντζου Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Χάρις Α. Γεωργούντζου 2016 Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος. 2

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή ασχολούμαστε με τους Noether και τοπικούς δακτύλιους, όπως και με μια υποκατηγορία αυτών τους ομαλούς (regular). Συγκεκριμένα αποδεικνύουμε δύο θεωρήματα που τους αφορούν: το θεώρημα διάστασης και το θεώρημα Auslander Buchsbaum Serre. Το θεώρημα διάστασης λέει ότι σε Noether και τοπικό δακτύλιο οι τρεις διαστάσεις που ορίζονται επ αυτού, δηλαδή η διάσταση Krull, η διάσταση Chevalley και η διάσταση Samuel, ισούνται. Το θεώρημα Auslander Buchsbaum Serre χαρακτηρίζει ομολογιακά (δηλαδή με τα μέσα της ομολογιακής άλγεβρας) τους ομαλούς δακτύλιους και λέει ότι: ένας δακτύλιος A Noether και τοπικός είναι ομαλός τότε και μόνο τότε, όταν η ολική διάστασή του, gl. dim A, είναι πεπερασμένη. Σε εισαγωγικό κεφάλαιο αναφέρουμε τα απαραίτητα προαπαιτούμενα για την κατανόηση των αποδείξεων των ανωτέρω θεωρημάτων. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Δακτύλιοι Noether, τοπικοί δακτύλιοι, ομαλοί δακτύλιοι, διάσταση δακτυλίου. 3

Χάρις Α. Γεωργούντζου ABSTRACT This thesis deals with noetherian local rings, as well as with a subcategory of those, namely regular rings. More specifically two theorems concerning them are being proved; the dimension theorem and the Auslander Buchsbaum Serre theorem. The dimension theorem states that the three dimensions defined on a noetherian local ring, namely its Krull dimension, its Chevalley dimension and its Samuel dimension, are equal. The Auslander Buchsbaum Serre theorem characterizes regular rings homologically (through the means of homological algebra) and states that a noetherian local ring A is regular if and only if its global dimension, gl. dim A, is finite. A preliminary chapter exhibits prerequisites and notation, required for the comprehension of the theorems proofs mentioned above. KEY WORDS Noetherian rings, local rings, regural rings, dimension of a ring. 4

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ θερμά τον κ. Παύλο Λεντούδη, επιβλέποντα καθηγητή μου, για την εξαιρετική συνεργασία μας κατά την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, αλλά και για τη στήριξη και την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε κατά τη διάρκεια τόσο των προπτυχιακών όσο και των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Παναγή Καραζέρη και τον κ. Παύλο Τζερμιά που δέχθηκαν να γίνουν μέλη της Τριμελούς Επιτροπής και για τα όσα με δίδαξαν, όπως και όλους τους καθηγητές μου. Ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στους γονείς μου και στα αδέρφια μου για τη στήριξή τους σε κάθε μου επιλογή και την κατανόηση που έδειξαν σε αυτή τη διαδρομή μου. Ένα ξεχωριστό ευχαριστώ στο θείο μου Τάσο Μπάρλα, που υπήρξε καθοδηγητής και πάντα διαθέσιμος σύμβουλος. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φίλους και συμφοιτητές μου για τη βοήθειά τους. 5

Χάρις Α. Γεωργούντζου 6

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ABSTRACT... 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 9 I. ΚΕΦΑΛΑΙΟ I... 13 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ... 13 I.1. Τοπικός δακτύλιος... 13 I.2. Ριζικό Jacobson... 13 I.3. Τοπικοποίηση (Localization)... 14 I.4. Δακτύλιοι και modules Noether... 16 I.5. Φάσμα του A: Spec(A)... 18 I.6. Προσαρτημένα πρώτα ιδεώδη (Associated)... 20 I.7. Πρωτογενή ιδεώδη δακτυλίου Noether... 28 I.8. Modules και δακτύλιοι Artin... 31 I.9. Φιλτράρισμα Βάθμωση... 40 I.10. Δύο κατασκευές βαθμωτών δομών... 44 I.11. Προβολικά modules Προβολική επίλυση - Ext Tor... 48 II. ΚΕΦΑΛΑΙΟ II... 57 ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΣ... 57 II.1. Πολυωνυμικές συναρτήσεις ακέραιας μεταβλητής... 57 II.2. Πολυώνυμο Hilbert... 58 II.3. Πολυώνυμο Hilbert Samuel... 60 II.4. Διάσταση στους Noether και τοπικούς δακτυλίους... 67 III. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ... 73 ΟΛΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ... 73 III.1. Ομολογιακή διάσταση... 73 III.2. Ολική διάσταση ενός Noether τοπικού δακτυλίου... 82 IV. ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV... 89 ΟΜΑΛΟΙ ΤΟΠΙΚΟΙ ΔΑΚΤΥΛΙΟΙ... 89 IV.1. Ομαλοί δακτύλιοι και A-ακολουθίες... 89 IV.2. Ομολογιακός χαρακτηρισμός ενός ομαλού τοπικού δακτυλίου:... 92 Θεώρημα Auslander Buchsbaum Serre... 92 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 100 7

Χάρις Α. Γεωργούντζου 8

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με αντιμεταθετικούς, Noether και τοπικούς δακτυλίους, επίσης με μια υποκατηγορία αυτών που είναι οι ομαλοί (regular) δακτύλιοι, όπως και με μοναδιαία modules επ αυτών. Συγκεκριμένα θα ασχοληθούμε με τη θεωρία διαστάσεως των Noether και τοπικών δακτυλίων (κεφάλαιο II), όπως επίσης και με έναν ομολογιακό χαρακτηρισμό, θεώρημα Auslander Buchsbaum Serre (A-B- S), των ομαλών δακτυλίων (κεφάλαια III και IV). Η εργασία μας χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια. Στο κεφάλαιο I αναφέρουμε τα προαπαιτούμενα, που χρειαζόμαστε. Πολλά απ αυτά τα αναφέρουμε χωρίς απόδειξη. Επιμένουμε στις αποδείξεις εκείνων που είναι πιο κοντά στις αποδείξεις που θα ακολουθήσουν, όπως των ιδιοτήτων των Ass, Supp, Spec, των δακτυλίων Artin, των βαθμωτών δομών και παρουσιάζονται σπανιότερα στα μεταπτυχιακά μαθήματα. Τα αποτελέσματα αυτά βρίσκουμε στα [2], [11] και [23] της βιβλιογραφίας. Το αποτέλεσμα που αποδεικνύουμε στο κεφάλαιο II είναι η ισοτητα, σε ένα δακτύλιο Noether και τοπικό τριών αριθμητικών ποσοτήτων: της διάστασης Krull, dim A, της διάστασης Chevalley, s(a) και της διάστασης Samuel, d(a). Οι διαστάσεις αυτές ορίσθηκαν από τους εν λόγω μαθηματικούς το 1928 [13], 1943 [10] και 1947 [18], [19] αντιστοίχως. Πρόκειται για ποσότητες διαφορετικής φύσεως. Η διάσταση Krull είναι το πλήθος κάποιων ιδεωδών, η διάσταση Chevalley το πλήθος κάποιων γεννητόρων και η διάσταση Samuel ο βαθμός κάποιου πολυωνύμου. Στην εργασία [10] του 1943 ο C. Chevalley αποδεικνύει την ισότητα s(a) = dim A, ενώ στις ανακοινώσεις [18] και [19] της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού ο P. Samuel αποδεικνύει τις ισότητες d(a) = dim A και d(a) = s(a). Στο κεφάλαιο III μελετάμε την ομολογιακή διάσταση hd A M ενός A-module M, όπως και την ολική διάσταση gl. dim A δακτυλίου A. Και οι δύο έννοιες εισήχθησαν από τους H. Cartan και S. Eilenberg στο βιβλίο τους Homological Algebra του 1956. Η ομολογιακή διάσταση hd A M είναι φυσικός αριθμός ή το + και η ανισότητα hd A M n σημαίνει ότι υπάρχει ακριβής ακολουθία: 9

Χάρις Α. Γεωργούντζου 0 P n P n 1 P 1 P 0 M 0 όπου P i προβολικά A-modules (δηλαδή ευθείς προσθεταίοι ελεύθερων). Η ολική διάσταση gl. dim A είναι το supremum, πεπερασμένο ή άπειρο, των hd A M, όταν το M διατρέχει όλα τα A-modules. Η διάσταση hd A M συμβολίστηκε στο [9] με dim A M και ονομάστηκε προβολική διάσταση. Στο κεφάλαιο III περιλαμβάνονται τα εξής αποτελέσματα: 1) Ομολογιακός χαρακτηρισμός της hd A M, σαν το supremum των ακεραίων p τέτοιων, ώστε Ext A p (M, N) 0 για τουλάχιστον ένα A-module N. 2) Εξ αυτού άμεσος χαρακτηρισμός και της gl. dim A, σαν το suprepmum των ακεραίων p τέτοιων, ώστε Ext A p (M, N) 0 για τουλάχιστον ένα ζεύγος A-modules. 3) Μέσω της εναλλαγής συντεταγμένων στο συναρτητή Ext A p ορίζεται η ενριπτική (injective) διάσταση και στη συνέχεια ακολουθώντας τον J. P. Serre [23], αποδεικνύεται το αποτέλεσμα Auslander, που αναφέρει ότι η gl. dim A λαμβάνεται όταν το hd A M διατρέχει τα πεπερασμένα γενόμενα A-modules. 4) Στην περίπτωση που ο δακτύλιος A είναι Noether και τοπικός με μοναδικό maximal ιδεώδες m και σώμα υπολοίπων k = A m, θεωρούμε το k σαν A-module, άρα τα Tor p A (M, k) ορίζονται για κάθε p 0 και κάθε A-module M. Αποδεικνύουμε (III.2.4.1) την ισοδυναμία (που υπάρχει και στο βιβλίο των H. Cartan S. Eilenberg στο κεφάλαιο VIII): Tor p A (M, k) = 0 hd A M < p 5) Μέσω του αποτελέσματος Auslander, που αναφέραμε πιο πάνω, αποδεικνύουμε ((III.2.4.3) και (III.2.4.4)) ότι η gl. dim A ισούται με την hd A k, που ισούται με το μικρότερο ακέραιο q τέτοιον, ώστε Tor A q+1 (k, k) = 0. Στο κεφάλαιο IV μελετάμε τους ομαλούς δακτύλιους. Μέσω πολλαπλών χαρακτηρισμών αυτών καταλήγουμε στο τελικό θεώρημα (A-B-S): Θεώρημα: Έστω A δακτύλιος Noether και τοπικός. Ο δακτύλιος A είναι ομαλός τότε και μόνο τότε, όταν gl. dim A < και όταν οι ισοδύναμες αυτές συνθήκες πληρούνται έχουμε την ισότητα: gl. dim A = dim A. 10

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων Η συνεπαγωγή A ομαλός gl. dim A < απεδείχθη από τους M. Auslander και D. A. Buchsbaum [3], [4]. Η συνεπαγωγή gl. dim A < Α ομαλός απεδείχθη από τον J. P. Serre [21]. Το κεφάλαιο IV κλείνει με μια σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος, που απεδείχθη από τον J. P. Serre [21] και λέει ότι: Αν p είναι ένα πρώτο ιδεώδες του ομαλού δακτυλίου A, τότε ο αντίστοιχος τοπικός δακτύλιος A p είναι επίσης ομαλός. Στη συνέχεια το 1959 οι M. Auslander και D. A. Buchsbaum [6], εφαρμόζοντας το θεώρημα (A-B-S) απέδειξαν ότι ένας ομαλός δακτύλιος είναι δακτύλιος μονοσήμαντης παραγοντοποίησης (επομένως και ακέραια κλειστός). Το θεώρημα (A-B- S) όπως και οι εφαρμογές που αναφέραμε, είναι σημαντικές και στην αλγεβρική γεωμετρία. Εκεί, οι ομαλοί δακτύλιοι εμφανίζονται σαν οι αντίστοιχοι τοπικοί δακτύλιοι των ομαλών (απλών) σημείων μιας αλγεβρικής πολλαπλότητας. Την απόδειξη του θεωρήματος (A-B-S) βρίσκουμε σε αρκετά βιβλία της βιβλιογραφίας: [15], [16], [20], [22], [23]. Σε όλα αυτά οι πορείες των αποδείξεων είναι παρόμοιες και χρησιμοποιούν όλες στοιχειώδεις ιδιότητες των συναρτητών Ext και Tor. Ιδιαιτέρως χρησιμοποιούν τους ομομορφισμούς σύνδεσης που προκύπτουν από τη δράση των συναρτητών Ext και Tor επί των σύντομων ακριβών ακολουθιών. Το 1958 σε μάθημά του στο Σικάγο ο I. Kaplansky εξέθεσε μια απόδειξη του θεωρήματος (A-B-S) χωρίς τη χρήση των Ext και Tor. Η απόδειξη αυτή βρίσκεται στο τρίτο μέρος του [12]. Κατά μήκος του κειμένου χρησιμοποιούμε δύο ειδών παραπομπές: α) στο ίδιο μας το κείμενο με τη μορφή παραδείγματος χάριν (III.1.8.1), οπότε η θέση στο κείμενό μας είναι σαφής και β) στη βιβλιογραφία με τη μορφή παραδείγματος χάριν ([2], σελ. 9, πρότ. 1.14) όπου ο αριθμός εντός της αγκύλης αντιστοιχεί στην αρίθμηση εντός της βιβλιογραφίας μας, τα υπόλοιπα στοιχεία της παρένθεσης προσδιορίζουν τη θέση του παραπεμπόμενου. 11

Χάρις Α. Γεωργούντζου 12

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων I. ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Οι δακτύλιοι της εργασίας αυτής είναι αντιμεταθετικοί, μοναδιαίοι, οι ομομορφισμοί δακτυλίων μοναδιαίοι (f(1) = 1) και τα modules επί των δακτυλίων αυτών μοναδιαία (1 x = x). Έστω λοιπόν, A δακτύλιος και M ένα A-module. I.1. Τοπικός δακτύλιος I.1.1. Ο δακτύλιος A ονομάζεται τοπικός, αν δέχεται ένα μοναδικό maximal ιδεώδες m. Στην περίπτωση αυτή το συμπλήρωμα A = A m αποτελεί την πολλαπλασιαστική ομάδα του A και το σώμα A m ονομάζεται σώμα υπολοίπων του A. I.2. Ριζικό Jacobson I.2.1. Ονομάζουμε ριζικό Jacobson του δακτυλίου A και συμβολίζουμε με J(A), την τομή όλων των maximal ιδεωδών του A. I.2.2. Πρόταση. Ισχύει η ισοδυναμία ([2], σελ. 9): x J(A) 1 xy A, για κάθε y A I.2.3. Λήμμα (Nakayama). Έστω M πεπερασμένα γενόμενο A-module και q ιδεώδες του A που περιέχεται στο ριζικό Jacobson J(A) του A. Αν qm = M, τότε M = 0. Απόδειξη. Έστω {x 1,, x p } ένα minimal σύστημα γεννητόρων του M. Εκ της συνθήκης M = qm συνάγουμε ότι υπάρχουν στοιχεία a 1,, a p q τέτοια, ώστε: x p = a 1 x 1 + + a p x p Εφόσον a i J(A), έχουμε (I.2.2) x p = a 1 1 a p x 1 + + a p 1 1 a p x p 1 που είναι αντίθετο προς την υπόθεση. 13

Χάρις Α. Γεωργούντζου I.2.4. Με τις προϋποθέσεις του (I.2.3), αν N είναι ένα υπό-module του M τέτοιο, ώστε το M N να είναι πεπερασμένα γενόμενο και M = N + qm, τότε M = N. Πράγματι, q(m N) (qm + N) N = M N. I.2.5. Πρόταση. Έστω M, N πεπερασμένα γενόμενα A-modules και A τοπικός δακτύλιος. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) M A N = 0 (ii) M = 0 ή N = 0. Απόδειξη. (i) (ii) Έστω m το μοναδικό maximal ιδεώδες του A. Θεωρούμε την κανονική προβολή του M A N επί του T = (M mm) A m (N mn). Η συνθήκη (i) συνεπάγεται ότι και το τανυστικό γινόμενο T ισούται με μηδέν. Επειδή το A m είναι σώμα, έχουμε ότι M mm = 0 ή N mn = 0. Δεδομένου ότι το m ισούται με το ριζικό Jacobson J(A) του τοπικού δακτυλίου A και τα M, N έχουν υποτεθεί πεπερασμένα γενόμενα, το λήμμα Nakayama (I.2.3) μας δίδει ότι M = 0 ή N = 0. I.3. Τοπικοποίηση (Localization) I.3.1. Έστω S ένα υποσύνολο του A κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό τέτοιο, ώστε 1 S. Το ονομάζουμε πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του A. Συμβολίζουμε με S 1 M (όπως και με M S ) το σύνολο των «κλασμάτων» m s, m M, s S. Δύο κλάσματα m s και m s ταυτίζονται, αν: ( s S) s (s m sm ) = 0 I.3.2. Ο προηγούμενος ορισμός εφαρμόζεται στην περίπτωση M = A και ορίζεται το S 1 A. Επ αυτού μέσω των πράξεων (συνηθισμένες πράξεις των κλασμάτων): a s + a s = s a + sa ss a s a s = aa ss 14

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων ορίζουμε δομή δακτυλίου. Το μηδέν του δακτυλίου S 1 A είναι το 0 και η μονάδα το 1. 1 1 Ο δακτύλιος S 1 A ονομάζεται δακτύλιος των κλασμάτων του A δια του πολλαπλασιαστικού υποσυνόλου S. Προφανώς: S 1 A = 0 0 S I.3.3. Αναλόγως επί του S 1 M δια των πράξεων (που είναι καλά ορισμένες): m s + m s = s m + sm ss a s m s = am ss ορίζεται μια δομή S 1 A-module και το S 1 M ονομάζεται module των κλασμάτων του M δια του πολλαπλασιαστικού υποσυνόλου S. I.3.4. Έστω i M : M S 1 M τέτοια, ώστε i M (m) = m 1. Ο πυρήνας της i M ισούται με: Ann M (S) = {m M / ( s S) sm = 0} και ονομάζεται μηδενιστής του S. Η απεικόνιση i A : A S 1 A είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Μέσω αυτού κάθε S 1 A-module μπορούμε να το θεωρήσουμε και σαν A-module. Ειδικότερα, το S 1 M είναι ένα A-module και ο i M ένας A-ομομορφισμός. I.3.5. Πρόταση. Έχουμε έναν κανονικό S 1 A-ισομορφισμό S 1 A A M S 1 M που ορίζεται (καλώς) δια της αντιστοιχίας a m φ am. s s I.3.6. Πρόταση. Έστω M και N δύο A-modules και f Hom A (M, N). Ορίζουμε (καλώς) τον S 1 A-ομομορφισμό S 1 f: S 1 M S 1 N δια της σχέσης (S 1 f) ( m ) = f(m). Οι s αντιστοιχίες M S 1 M και f S 1 f ορίζουν έναν ακριβή συναρτητή από τα Amodules στα S 1 A-modules. Επομένως το S 1 A είναι ένα επίπεδο A-module (I.11.4.2). Αν η ακολουθία των modules M f M g M είναι ακριβής στο M, τότε η ακολουθία S 1 M S 1 f S 1 M S 1 g S 1 M είναι ακριβής στο S 1 M. s 15

Χάρις Α. Γεωργούντζου I.3.7. Πρόταση. Υπάρχει μοναδικός S 1 A-ισομορφισμός f: S 1 M S 1 AS 1 N S 1 (M A N) τέτοιος, ώστε: f (( m s ) (n m n )) = t st I.3.8. Έστω a ένα ιδεώδες του A. Συμβολίζουμε με a S 1 A (= S 1 a) το ιδεώδες του S 1 A που γεννιέται από την i A (a). Αν a S, τότε as 1 A = S 1 A (διότι πράγματι, αν s a S, τότε 1 = s 1 s as 1 A). I.3.9. Θεώρημα (αντιστοιχίας). Η αντιστοιχία φ: p S 1 p είναι μια αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία που διατηρεί το περιέχεσθαι, ανάμεσα στα πρώτα ιδεώδη του A που δεν τέμνουν το S (p S = ) και στα πρώτα ιδεώδη του S 1 A. I.3.10. Αν p είναι ένα πρώτο ιδεώδες του A, τότε το συμπλήρωμα του p, A p, είναι ένα πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του A. Τα αντίστοιχα σύνολα κλασμάτων των A και M δια του A p τα συμβολίζουμε με A p και M p αντιστοίχως. Αν ο A είναι ακέραιος δακτύλιος, τότε A (0) είναι το σώμα των κλασμάτων του A. Πρόταση. Ο δακτύλιος A p είναι ένας τοπικός δακτύλιος με maximal ιδεώδες το pa p και σώμα υπολοίπων A p pa p το σώμα των κλασμάτων του A p. Τα πρώτα ιδεώδη του A p αντιστοιχούν, αμφί και επί, με τα πρώτα ιδεώδη του A που περιέχονται στο p (I.3.9). I.3.11. Πρόταση. Ο ισομορφισμός (I.3.7) γίνεται: Πρόκειται για ισομορφισμό A p -modules. M p Ap N p = (M A N) p I.4. Δακτύλιοι και modules Noether I.4.1. Ένα A-module M ονομάζεται module Noether, αν ικανοποιεί τις τρεις ισοδύναμες συνθήκες: (i) Κάθε υπό-module του M είναι πεπερασμένα γενόμενο (άρα και το ίδιο το M). (ii) Κάθε αύξουσα ακολουθία από υπό-modules του M είναι στάσιμη. (iii) Κάθε διάφορη του κενού οικογένεια από υπό-modules του M δέχεται maximal στοιχείο. 16

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων I.4.2. Πρόταση. Έστω 0 M M M 0 μια ακριβής ακολουθία από A-modules. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) (ii) M είναι module Noether M και M είναι modules Noether. Επομένως, κάθε υπό-module και module πηλίκο ενός module Noether είναι Noether. I.4.3. Πρόταση. Κάθε πεπερασμένο ευθύ άθροισμα από modules Noether είναι module Noether. I.4.4. Ένας δακτύλιος A ονομάζεται δακτύλιος Noether, όταν είναι Noether θεωρούμενος ως module επί του εαυτού του (I.4.1). Στην περίπτωση αυτή τα υπό-modules αυτού είναι τα ιδεώδη του. I.4.4.1. Πόρισμα. Αν A δακτύλιος Noether και a ιδεώδες του, τότε ο δακτύλιος πηλίκο A a είναι (I.4.2) ένα A-module Noether, επομένως και ένα A a-module Noether. I.4.5. Αν A είναι ένας δακτύλιος Noether, τότε οι τρεις ισοδύναμες συνθήκες του (I.4.1) είναι ισοδύναμες με την: (iv) M είναι πεπερασμένα γενόμενο. I.4.6. Πρόταση. Έστω A δακτύλιος Noether και S πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του A. Τότε το S 1 A είναι δακτύλιος Noether. Απόδειξη. Έστω I ιδεώδες του S 1 A και a 1,, a r γεννήτορες του ιδεώδους i A 1 (I) του A. Προφανώς, τα στοιχεία a 1,, a r 1 1 γεννούν το ιδεώδες I. I.4.6.1. Πόρισμα. Αν p είναι ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου Noether A, τότε ο τοπικός δακτύλιος A p είναι δακτύλιος Noether. I.4.7. Θεώρημα (Hilbert). Αν A δακτύλιος Noether και X μια μεταβλητή, τότε ο δακτύλιος των πολυωνύμων A[X] είναι Noether. I.4.7.1. Πόρισμα. Αν A δακτύλιος Noether και X 1,, X n μεταβλητές, τότε ο δακτύλιος των πολυωνύμων A[X 1, X n ] είναι Noether. 17

Χάρις Α. Γεωργούντζου I.4.7.2. Πρόταση. Έστω A δακτύλιος Noether και B μια πεπερασμένα γενόμενη Aάλγεβρα. Τότε ο B είναι δακτύλιος Noether. Απόδειξη. Πράγματι, κάθε πεπερασμένα γενόμενη A-άλγεβρα είναι πηλίκο ενός δακτυλίου πολυωνύμων A[X 1,, X n ]. Η απόδειξη προκύπτει ως συνέπεια των (I.4.7.1) και (I.4.2). I.5. Φάσμα του A: Spec(A) [23] I.5.1. Ονομάζουμε φάσμα του δακτυλίου A και συμβολίζουμε με Spec(A), το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του A. Αν Ι ιδεώδες του A, συμβολίζουμε με V(I) το σύνολο: V(I) = {p Spec(A) / Ι p} Έχουμε τις σχέσεις: V(I J) = V(IJ) = V(I) V(J) V( Ι ι ) = V(I i ) I.5.2. Τα σύνολα V(I) αποτελούν τα κλειστά μιας τοπολογίας επί του Spec(A), που καλείται τοπολογία Zariski. Είναι ιδιαιτέρως χρήσιμη στη γεωμετρία. Αν ο δακτύλιος A είναι Noether, τότε ο τοπολογικός χώρος Spec(A) είναι Noether, δηλαδή: Κάθε αύξουσα ακολουθία ανοιχτών υποσυνόλων του είναι στάσιμη. I.5.2.1. Πρόταση. Αν F είναι ένα κλειστό υποσύνολο του Spec(A), οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) Το F είναι ανάγωγο υποσύνολο, δηλαδή δεν είναι ένωση δύο κλειστών υποσυνόλων διάφορων του F. (ii) Υπάρχει p Spec(A) τέτοιο, ώστε F = V(p) ή ισοδύναμα το F είναι η τοπολογική θήκη του {p}. I.5.3. Έστω M ένα πεπερασμένα γενόμενο A-module. Αν a A, συμβολίζουμε με a M την ομοιοθεσία του M λόγου a και θέτουμε Ann A (M) = {a A / a M = 0}. Ονομάζουμε 18

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων το Ann A (M) μηδενιστή (annihilator) του M. Το συμβολίζουμε με Ann(M) αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης. I.5.3.1. Πρόταση. Έστω p πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου A. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) M p 0 (ii) p V(Ann(M)) Απόδειξη. Η υπόθεση ότι το M είναι πεπερασμένα γενόμενο A-module, συνεπάγεται ότι ο μηδενιστής του A p -module M p είναι ο (Ann(M)) p. I.5.3.2. Το σύνολο των p Spec(A) που ικανοποιούν τις ισοδύναμες συνθήκες του (I.5.3.1) συμβολίζεται με Supp(M) και ονομάζεται στήριγμα (support) του M. Είναι ένα κλειστό υποσύνολο του Spec(A). I.5.3.3. Ιδιότητες του Supp. α. Έστω 0 M M M 0 μια ακριβής ακολουθία πεπερασμένα γενόμενων Amodules. Τότε: Supp(M) = Supp(M ) Supp(M ) β. Έστω P και Q υπό-modules ενός πεπερασμένα γενόμενου A-module M. Τότε: Supp(M P Q) = Supp(M P) Supp(M Q) γ. Αν M, N είναι πεπερασμένα γενόμενα A-modules, τότε: Supp(M A N) = Supp(M) Supp(N) Απόδειξη. Εφαρμόζουμε τα (I.2.5) και (I.3.11) στις τοπικοποιήσεις M p και N p των M και N, αντιστοίχως, δια του p. δ. Αν M είναι ένα πεπερασμένα γενόμενο A-module και I ένα ιδεώδες του A, τότε: Supp(M IM) = Supp(M) V(I) 19

Χάρις Α. Γεωργούντζου Απόδειξη. Συνέπεια του (γ) και της ισομορφίας M IM M A (A I), που επάγεται από την (καλά ορισμένη) A-διγραμμική σχέση (A I) M ( a, x) ax M IM. ε. Σαν εφαρμογή του προηγούμενου (δ) προκύπτει Supp(A a) = V(a). I.6. Προσαρτημένα πρώτα ιδεώδη (Associated) [23] Στο παρόν εδάφιο A είναι ένας δακτύλιος Noether και M ένα A-module πεπερασμένα γενόμενο. I.6.1. Πρόταση. Έστω p Spec(A). Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) Υπάρχει στοιχείο m M του οποίου ο μηδενιστής: ισούται με p. Ann(m) = {a A / a m = 0} (ii) Το M περιέχει ένα υπό-module N ισόμορφο με το A p: N A p. Απόδειξη. (i) (ii) Ο μηδενιστής Ann(m) είναι ο πυρήνας του A-ομομορφισμού: A a a m M (ii) (i) Έστω N A p υπό-module του M και f: N A p M ένας A-ισομορφισμός. Τότε το p είναι ο μηδενιστής του στοιχείου f(1 + p) M. Πράγματι, αν a p, τότε: a f(1 + p) = f(a(1 + p)) = f(a + p) = f(p) = 0 M ενώ, αν a p, a f(1 + p) f(p). I.6.2. Ένα στοιχείο p Spec(A) που ικανοποιεί τις ισοδύναμες συνθήκες του (I.6.1), το ονομάζουμε προσαρτημένο του M (associated to M). Το σύνολο των προσαρτημένων ιδεωδών του M το συμβολίζουμε με Ass(M). I.6.3. Πρόταση. Έστω T το σύνολο των μηδενιστών των διάφορων του μηδενός στοιχείων του M. Τότε τα maximal στοιχεία του συνόλου T είναι τα πρώτα ιδεώδη του δακτυλίου A. 20

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων Απόδειξη. Έστω 0 m M με p = Ann(m) maximal στοιχείο του T (με τη διάταξη περιέχεσθαι). Θα δείξουμε ότι το p είναι πρώτο ιδεώδες του A. Έστω x, y A με xy p και x p. Έχουμε x m 0, επομένως ο μηδενιστής του x m περιέχει το p, κατά συνέπεια ισούται με το ιδεώδες p. Αφού yx m = 0, έχουμε y Ann(x m) = p. Άρα το p είναι πρώτο. I.6.4. Πόρισμα. Αν M 0, τότε Ass(M). Απόδειξη. Το σύνολο των ιδεωδών T (I.6.3) είναι. Επειδή ο A είναι Noether, το T δέχεται maximal στοιχείο, το οποίο σύμφωνα με το (I.6.3) είναι πρώτο ιδεώδες του A, άρα ανήκει στο Ass(M). I.6.5. Πρόταση. Έστω S πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του A (1 S) και p πρώτο ιδεώδες του A τέτοιο, ώστε p S =. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) p προσαρτημένο του M (ii) p S 1 A = S 1 p προσαρτημένο του S 1 M. Απόδειξη. Το ιδεώδες S 1 p είναι πρώτο ιδεώδες του S 1 A (I.3.9). (i) (ii) Έστω p Ass(M) και m M τέτοιο, ώστε p = Ann A (m). Τότε Ann S 1 A ( m 1 ) = S 1 p, επομένως S 1 p Ass(S 1 M). (ii) (i) Έστω S 1 p = Ann S 1 A ( m s ) με m M και s S. Αν a = Ann A(m), τότε S 1 a = Ann S 1 A ( m s ), επομένως S 1 a = S 1 p. Εξ αυτού έχουμε ότι: a p και ( s S) s p a Πράγματι, S 1 a = S 1 p a S = (I.3.7). Αν a a, τότε υπάρχουν b p και s S τέτοια, ώστε a = b. Επομένως υπάχει s S, ώστε 1 s s (as b) = 0. Άρα s as = s b p. Έχουμε ότι ss S, άρα ss p (διότι p S = ) και επειδή το p είναι πρώτο ιδεώδες, έχουμε ότι a p. Άρα a p. Ανάλογος συλλογισμός με αυτόν παραπάνω μας δίδει: ( β p)( s S)( a a)( s S): β s = a s 21

Χάρις Α. Γεωργούντζου Άρα ( s S): s (βs as) = 0 s βs = s as a. Επομένως ( β p)( s(= s s )): sβ a. Ο δακτύλιος A είναι Noether, επομένως το p είναι πεπερασμένα γενόμενο, άρα: ( s S) sp a Έχουμε τέλος: Ass(s m) = p Ass(M). I.6.6. Θεώρημα. Έστω A δακτύλιος Noether και M πεπερασμένα γενόμενο A-module. Τότε: (i) Υπάρχει αύξουσα ακολουθία από υπό-modules του M {0} = M 0 M 1 M i 1 M i = M τέτοια, ώστε M i M i 1 A p i όπου p i Spec(A). (ii) Αν p i (1 i n) είναι τα πρώτα ιδεώδη που εμφανίζονται στο (i), τότε έχουμε: Ass(M) {p 1,, p n } Supp(M) (1) και τα τρία αυτά σύνολα έχουν τα ίδια minimal στοιχεία. Απόδειξη. (i) Έστω M 0, τότε Ass(M) (I.6.4). Επομένως υπάρχει υπό-module M 1 του M με M 1 A p 1, όπου p 1 πρώτο ιδεώδες του A. Αν M 1 M, επαναλαμβάνουμε το ίδιο με το M M 1 και εξασφαλίζουμε M 1 M 2 M με M 2 M 1 A p 2, όπου p 2 πρώτο ιδεώδες του A (μέσω θεωρήματος αντιστοίχισης των ιδεωδών). Άρα επαγωγικά κατασκευάζουμε αύξουσα ακολουθία: M 1 M 2. Επειδή το M είναι ένα A-module Noether (I.4.5), η ακολουθία αυτή είναι στάσιμη. (ii) Πρώτα θα δείξουμε τα του δεξιά περιέχεσθαι της (1). Λόγω των (I.5.3.3.α) και (I.5.3.3.ε) έχουμε: p i V(p i ) = Supp(A p i ) = Supp(M i M i 1 ) Supp(M M i 1 ) Supp(M) Άρα {p 1,, p n } Supp(M). Θα δείξουμε ότι τα δύο αυτά σύνολα έχουν τα ίδια minimal στοιχεία. Έστω p Spec(A). Έχουμε ότι: p Supp(M) M p 0 ( i)(a p i ) p 0 ( i) p i p 22

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων Πράγματι, έστω ότι για κάθε i (1 i n) ισχύει p i p. Τότε (A p i ) p = (M i M i 1 ) p = 0. Έχουμε επομένως: A p 1 = M 1, (A p 1 ) p = (M 1 ) p = 0, (M 2 M 1 ) p = (A p 2 ) p = 0 Θεωρούμε τη σύντομη ακριβή ακολουθία 0 M 1 M 2 M 2 M 1 0. Λόγω της (I.5.3.3.α) p Supp(M 2 ). Άρα, επαγωγικά προκύπτει ότι p Supp(M). Τώρα θα δείξουμε τα του αριστερά περιέχεσθαι της (1). Έστω p Ass(M). Το M περιέχει υπό-module N A p (I.6.1). Θεωρούμε το μικρότερο δείκτη i τέτοιον, ώστε N M i 0 και θεωρούμε διάφορο του μηδενός στοιχείο m N M i. Για το υπόmodule A m N M i θα δείξουμε ότι: α) είναι ισόμορφο με το A p και β) απεικονίζεται ισομορφικά εντός του M i M i 1 A p i. Απόδειξη του α). Ο δακτύλιος A p είναι ακέραιος, άρα ο μηδενιστής ενός στοιχείου 0 του A p είναι το p, επομένως επίσης Ass(A m) = {p}. Άρα έχουμε: A m = A Ann(m) = A p Απόδειξη του β). Θεωρούμε την κανονική προβολή του A p A m M i εντός του πηλίκου M i M i 1 A p i. Λόγω της σχέσης A m M i 1 = {0} η προβολή αυτή είναι αμφιμονοσήμαντη. Πράγματι, προκύπτει για την απεικόνιση: και έχουμε: A m a m φ a m + M i 1 (a 1 a 2 )m = a 1 m a 2 m M i 1 (a 1 a 2 )m = 0 (a 1 a 2 ) p a 1 m = a 2 m modulo έναν A-αυτομορφισμό του A p, ο ομομορφισμός φ είναι η αντιστοιχία a + p a + p 1 που συνεπάγεται ότι p = p 1. Σαν συνέπεια του β) έχουμε ότι Ass(M) {p 1,, p n }. 23

Χάρις Α. Γεωργούντζου Τελευταίο βήμα. Θα δείξουμε ότι τα δύο αυτά σύνολα έχουν τα ίδια minimal στοιχεία. Έστω p minimal στοιχείο του Supp(M), άρα M p 0. Έχουμε ότι ((I.6.4) και το προηγούμενο περιέχεσθαι): 0 Ass(M p ) Supp(M p ) = {pa p } Άρα pa p Ass(M p ) και λόγω της (I.6.5). I.6.6.2. Πόρισμα. Το σύνολο Ass(M) είναι πεπερασμένο. I.6.7. Πρόταση. Έστω I ιδεώδες του δακτυλίου A. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) ( m M): m 0 και I m = 0 (ii) ( x I)( m M): m 0 και x m = 0 (iii) ( p Ass(M)): I p (iv) I p Ass(M) p Απόδειξη. Έστω T το σύνολο των μηδενιστών των διάφορων του μηδενός στοιχείων του M (όπως στο (I.6.3)). Η απόδειξη ακολουθεί το σχήμα: (iv) (ii) (i) (iii) (iv) (i) (iii) Έχουμε ότι I Ann(m) p, όπου p κάποιο maximal στοιχείο του συνόλου T. Λόγω του (I.6.3) το p είναι πρώτο ιδεώδες του A, επομένως ανήκει στο Ass(M). Άρα ισχύει η (iii). (iii) (i) Αφού p Ass(M), σημαίνει ότι είναι μηδενιστής κάποιου μη μηδενικού στοιχείου m M. (iii) (iv) Προφανές. (iv) (iii) Σύμφωνα με γνωστή ιδιότητα των πρώτων ιδεωδών, αν ένα ιδεώδες περιέχεται στην ένωση κάποιων ιδεωδών, τότε περιέχεται σε τουλάχιστον ένα εξ αυτών ([2], σελ. 11) και η συνεπαγωγή είναι αληθής. (i) (ii) Προφανής και τετριμμένη. 24

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων (ii) (iv) Σύμφωνα με τη συνθήκη (ii) κάθε κύριο ιδεώδες (x) I, βρίσκεται μέσα σε ένα ιδεώδες p Ass(M) (ίδιος συλλογισμός με αυτόν που κάναμε στην απόδειξη (i) (iii)). Επειδή ο A είναι δακτύλιος Noether, το ιδεώδες I είναι πεπερασμένα γενόμενο και η συνθήκη (iv) έπεται άμεσα. I.6.7.2. Πόρισμα. Το σύνολο των διαιρετών του μηδενός του δακτυλίου A ισούται με την ένωση: p p Ass(A) Απόδειξη. Εφαρμόζουμε το προηγούμενο (I.6.7) για M = A, δηλαδή θεωρώντας τον A σαν module επί του εαυτού του. Η συνθήκη (ii) του (I.6.7) γίνεται: ( x I)( m A): x 0 και x m = 0 και η ισοδυναμία της με την (iv) μας δίδει τους διαιρέτες του μηδενός του δακτυλίου A. I.6.7.3. Έστω x A. Συμβολίζουμε με x M την ομοιοθεσία του M λόγου x (x M : t M x t M). Πρόκειται, προφανώς, για έναν A-ενδομορφισμό του M. Άμεση συνέπεια του (I.6.7) είναι η ισοδυναμία των κάτωθι συνθηκών: (i) x M αμφιμονοσήμαντος (ii) x p Ass(M) I.6.8. Έστω x A και x M οπως το (I.6.7.3). p Πρόταση. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) x M μηδενοδύναμος ενδομορφισμός (ii) x p Ass(M) p = p Supp(M) p Απόδειξη. Οι δύο τομές της συνθήκης (ii) είναι πράγματι ίσες, διότι τα σύνολα Ass(M) και Supp(M) έχουν τα ίδια minimal στοιχεία (και είναι τα ίδια με τα minimal στοιχεία του συνόλου {p 1,, p n } της εκφώνησης του θεωρήματος (I.6.6)). 25

Χάρις Α. Γεωργούντζου (i) (ii) Έστω p Ass(M), επομένως το M περιέχει υπό-module N A p (I.6.1). Σημειώνουμε την ισομορφία αυτή δια της αντιστοιχίας: N t φ a t + p A p, (a A) Επομένως, για t 0 έχουμε ότι a t p και η A-γραμμικότητα της φ δίδει: φ(x M (t)) = φ(xt) = a xt + p = x φ(t) = x(a t + p) = xa t + p Ο ενδομορφισμός x M έχει υποτεθεί μηδενοδύναμος, επομένως και ο περιορισμός του στο υπό-module N θα είναι μηδενοδύναμος ενδομορφισμός του N. Άρα υπάρχει φυσικός n τέτοιος, ώστε x n a t p, για κάθε t N. Δεδομένου ότι για t 0 το a t p και ότι το p είναι πρώτο ιδεώδες, έχουμε ότι x p. Αυτό συμβαίνει για κάθε p Ass(M) και η συνθήκη (ii) πληρούται. (ii) (i) Θεωρούμε την αύξουσα ακολουθία: {0} = M 0 M 1 M n 1 M n = M (1) του θεωρήματος (I.6.6). Η υπόθεσή μας, λόγω της αρχικής παρατήρησης, συνεπάγεται ότι το x ανήκει σε όλα τα πρώτα ιδεώδη p i του A που εμφανίζονται στα πηλίκα M i M i 1 A p i της ακολουθίας (1). Θα δείξουμε ότι x(m i ) M i 1. Συμβολίζουμε με Φ την ισομορφία M i M i 1 A p i. Θέτουμε: Φ M i M i 1 m + M i 1 am + p i A p i Έχουμε ότι Φ(M i 1 ) = p i, a m+m1 a m + a m1 (mod p i ), ba m a bm (mod p i ) και m 1 m 2 (mod M i 1 ) a m1 a m2 (mod p i ). Δεδομένου ότι x p i, αν m M i, τότε xa m p i. Επομένως xm M i 1. Άρα πράγματι x(m i ) M i 1, για κάθε 1 i n. Έχουμε διαδοχικά: x(m) M n 1, x 2 (M) x(m n 1 ) M n 2,, x n (M) = 0 Επομένως ο x M είναι μηδενοδύναμος και η συνθήκη (i) απεδείχθη. I.6.8.2. Σαν άμεση συνέπεια των (I.6.7) και (I.6.8) έχουμε την ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση. 26

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων Πόρισμα. Έστω p Spec(A), M 0 και για x A, x M συμβολίζει την ομοιοθεσία λόγου x (I.6.7.3). Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) Ass(M) = {p} (ii) Κάθε ομοιοθεσία x M του M είναι μηδενοδύναμη για x p ή αμφιμονοσήμαντη για x p. Απόδειξη. (i) (ii) Έστω Ass(M) = {p}, τότε: p = p = p (1) p Ass(M) p Supp(M) Αν λοιπόν, x p, λόγω του (I.6.8) ο x M είναι μηδενοδύναμος, ενώ αν x p, λόγω του (I.6.7.3) ο x M είναι αμφιμονοσήμαντος. (ii) (i) Συνέπεια της συνθήκης (ii) είναι το p να ικανοποιεί τις ανωτέρω ισότητες (λόγω και πάλι (I.6.8) και (I.6.7.3)). Επομένως Ass(M) = {p}. I.6.9. Πρόταση. Έστω N υπό-module του M. Τότε: Ass(N) Ass(M) Ass(N) Ass(M N) Απόδειξη. Η σχέση Ass(N) Ass(M) είναι προφανής. Έστω p Ass(M) και E ένα υπό-module του M ισόμορφο με το A p. Αν E N = {0}, τότε: E E E N E, N N M N Επομένως p Ass(M N). Αν E N {0} και x E N ένα μη μηδενικό στοιχείο, τότε το υπό-module A x είναι ένα υπό-module του N ισόμορφο με το A p (έχουμε ξαναδεί το φαινόμενο στην απόδειξη του (I.6.6)), άρα το p ανήκει στο Ass(N). Επομένως: Ass(M) Ass(N) Ass(M N) I.6.10. Αναφέρουμε χωρίς απόδειξη το θεώρημα πρωτογενούς ανάλυσης (primary decomposition) εντός module Noether. Στην παρουσίαση των αποτελεσμάτων του εδαφίου (I.6) επί των Ass και Supp, εκ του βιβλίου του J. P. Serre [23], το θεώρημα της πρωτογενούς ανάλυσης δεν προαπαιτείται. Είναι δυνατή και διαφορετική παρουσίαση 27

Χάρις Α. Γεωργούντζου των ίδιων αποτελεσμάτων, η οποία να χρησιμοποιεί (και επομένως προαπαιτεί) το εν λόγω θεώρημα [22], [15]. Έστω A και M όπως σε όλο το εδάφιο (I.6), δηλαδή A δακτύλιος Noether και M πεπερασμένα γενόμενο A-module. I.6.10.1. Έστω p Spec(A). Ένα υπό-module Q του M ονομάζεται p-πρωτογενές (pprimary) υπό-module του M, αν Ass(M Q) = {p}. I.6.10.2. Θεώρημα (πρωτογενούς ανάλυσης). Κάθε υπό-module N του M μπορεί να γραφεί σαν τομή: N = Q(p) p Ass(M N) όπου Q(p) είναι ένα p-πρωτογενές υπό-module του ([8], 2). I.6.10.3. Παρατηρήσεις. α. Μια τέτοια ανάλυση N = p Ass(M N) Q(p) ονομάζεται ανηγμένη (ή minimal) πρωτογενής ανάλυση του N εντός του M. Τα στοιχεία του Ass(M N) ονομάζονται από κάποιους συγγραφείς ουσιώδη πρώτα ιδεώδη του N εντός του M. β. Οι προϋποθέσεις, ο A να είναι δακτύλιος Noether και το M πεπερασμένα γενόμενο Amodule, είναι ουσιώδεις προϋποθέσεις του θεωρήματος. Εν γένει, πρωτογενής ανάλυση μπορεί να μην υπάρχει ([2], σελ. 51). γ. Η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι εκείνη για την οποία M = A (module επί του εαυτού του) και N = q ένα ιδεώδες του A. Τα p-πρωτογενή ιδεώδη q του A είναι εκείνα, για τα οποία υπάρχει n φυσικός 1 τέτοιος, ώστε: p n q p και κάθε στοιχείο του A q που δεν ανήκει στο p q δεν είναι διαιρέτης του μηδενός. Έτσι θα παρουσιασθούν και σε μας στη συνέχεια στη μελέτη της διάστασης ενός τοπικού δακτυλίου (II.3.1), γι αυτό τα μελετάμε διεξοδικότερα. I.7. Πρωτογενή ιδεώδη δακτυλίου Noether ([2], σελ. 50 & 83) Ξεκινάμε το εδάφιο υποθέτοντας ότι ο δακτύλιος A είναι αντιμεταθετικός και μοναδιαίος. 28

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων I.7.1. Συμβολίζουμε με nil(a) το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων του A. Το σύνολο nil(a) αποτελεί ιδεώδες του A και ισούται με την τομή των πρώτων ιδεωδών του A. Το πηλίκο A nil(a) δεν έχει μηδενοδύναμο στοιχείο 0 ([2], σελ. 5). I.7.2. Έστω I ιδεώδες του δακτυλίου A. Θέτουμε: r(i) = {x A / x n I για κάποιο n 1} Ονομάζουμε το r(i) ριζικό του ιδεώδους I. Αν π: A A I είναι η κανονική προβολή, τότε r(i) = π 1 (nil(a I)) (I.7.1). Το r(i) είναι ιδεώδες του A και ισούται με την τομή των πρώτων ιδεωδών του A που περιέχουν το I ([2], πρότ. 1.14). Για I = (0), έχουμε r(i) = nil(a). I.7.3. Ένα ιδεώδες I του δακτυλίου A ονομάζεται πρωτογενές, αν: (i) I A και (ii) xy I x I ή y n I για κάποιο n > 0 ή ισοδύναμα πληρεί τις συνθήκες: (iii) A I 0 και (iv) κάθε διαιρέτης του μηδενός του πηλίκου A I είναι μηδενοδύναμος. I.7.4. Πρόταση. Έστω I πρωτογενές ιδεώδες του A. Τότε το ριζικό r(i) είναι το μικρότερο πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου A που περιέχει το I. Απόδειξη. Λόγω του (I.7.2) αρκεί να δείξουμε ότι το r(i) είναι πρώτο. Έστω xy r(i). Τότε (xy) m = x m y m I, για κάποιο m > 0. Επομένως, (I.7.3) x n I ή y mn I για κάποιο m > 0. Άρα (I.7.2) x r(i) ή y r(i). I.7.4.1. Αν I είναι πρωτογενές ιδεώδες του δακτυλίου A και p = r(i), τότε λέμε ότι το I είναι p-πρωτογενές. (Στην έκφραση λοιπόν I = p-πρωτογενές ιδεώδες του A, το p είναι πρώτο ιδεώδες, ίσο με το ριζικό (I.7.4) του ιδεώδους I.) I.7.5. Πρόταση. Αν το ριζικό r(i) είναι maximal ιδεώδες του δακτυλίου A, τότε το I είναι πρωτογενές ιδεώδες του. 29

Χάρις Α. Γεωργούντζου Απόδειξη. Θεωρούμε την προβολή π: A A I μέσω της οποίας, ως γνωστόν, εγκαθίσταται αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία μεταξύ των ιδεωδών του A I και των ιδεωδών του A που περιέχουν το I. Επίσης, γνωρίζουμε ότι η αντίστροφη εικόνα πρώτου ιδεώδους μέσω της π είναι πρώτο ιδεώδες. Η εικόνα π(r(i)) = nil(a I) (I.7.1), (I.7.2). Το r(i) είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του A που περιέχουν το I (I.7.2) και επειδή έχουμε στην υπόθεση ότι το r(i) είναι maximal ιδεώδες του A, έπεται ότι υπάρχει ένα και μοναδικό πρώτο ιδεώδες του A που περιέχει το I. Λόγω των ιδιοτήτων της αντιστοιχίας των ιδεωδών μέσω της π που προαναφέραμε, έχουμε σαν συνέπεια, ότι ο δακτύλιος A I περιέχει ένα μοναδικό πρώτο ιδεώδες, που ισούται με το nil(a I) και είναι φυσικά και το μοναδικό maximal ιδεώδες του A I. Στο δακτύλιο, λοιπόν, A I ό,τι είναι εκτός του nil(a I) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του A I (διότι είναι εκτός του μοναδικού του maximal) και ό,τι είναι εντός αυτού (επομένως και οι διαιρέτες του μηδενός του A I) είναι μηδενοδύναμο στοιχείο του A I. Επομένως το I ικανοποιεί τις συνθήκες (I.7.3(iii)) και (I.7.3(iv)), άρα είναι πρωτογενές ιδεώδες. I.7.5.1. Πόρισμα. Οι δυνάμεις ενός maximal ιδεώδους m δακτυλίου A είναι mπρωτογενείς. Απόδειξη. Έχουμε ότι r(m n ) = m, για κάθε n > 0 ([2], σελ. 9), το οποίο (I.7.5) αποδεικνύει το ζητούμενο. Από εδώ και κάτω και σε όλο το εδάφιο (I.7.6) ο A γίνεται δακτύλιος Noether. I.7.6. Πρόταση. Έστω A δακτύλιος Noether, τότε κάθε ιδεώδες I του A περιέχει μια δύναμη του ριζικού του. Απόδειξη. Τα ιδεώδη του A είναι πεπερασμένα γενόμενα (I.4.4) και (I.4.5). Έστω ότι τα x 1,, x k γεννούν το r(i). Επομένως (I.7.2) κάποιες δυνάμεις αυτών ανήκουν στο I. n Έστω λοιπόν x i k i I (1 i k). Θέτουμε m = i=1 (n i 1) + 1. Θα δείξουμε ότι r(i) m I. Πράγματι, το ιδεώδες r(i) m γεννιέται από τα γινόμενα της μορφής x 1 r 1 x 2 r 2 x k r k με k i=1 ri = m. Από τον ορισμό του ακέραιου m προκύπτει ότι θα ισχύει η ανισότητα r i n i τουλάχιστον για έναν δείκτη i. Έτσι κάθε μονώνυμο x 1 r 1 x 2 r 2 x k r k ανήκει στο I, επομένως r(i) m I. 30

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων I.7.6.1. Πόρισμα. Αν A είναι δακτύλιος Noether, τότε το ιδεώδες nil(a) (I.7.1) είναι μηδενοδύναμο. Απόδειξη. Εφαρμόζουμε το (I.7.6) για I = 0 (I.7.2). I.7.6.2. Πόρισμα. Έστω A δακτύλιος Noether, m ένα maximal ιδεώδες του A και I τυχόν ιδεώδες του A. Οι κάτωθι τρεις συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) I είναι m-πρωτογενές (I.7.4.1) (ii) r(i) = m (I.7.2) (iii) m n I m για κάποιο n > 0. Απόδειξη. (i) (ii) Η συνεπαγωγή είναι συνέπεια του (I.7.5). (ii) (iii) Η συνεπαγωγή είναι συνέπεια του (I.7.6). (iii) (i) Η συνεπαγωγή είναι συνέπεια της ιδιότητας: r(p n ) = p, για κάθε πρώτο ιδεώδες p και κάθε n > 0 ([2], σελ. 9). Έχουμε λοιπόν m = r(m n ) r(i) r(m) = m. I.8. Modules και δακτύλιοι Artin ([2], σελ. 74) Στο εδάφιο αυτό A συμβολίζει έναν αντιμεταθετικό και μοναδιαίο δακτύλιο και M ένα A-module. I.8.1. Αντιστρέφοντας τη διάταξη στις συνθήκες (I.4.1(ii)) και (I.4.1(iii)) λαμβάνουμε (με συμμετρικό τρόπο) τις εξής δύο ισοδύναμες συνθήκες: (ii) Κάθε φθίνουσα ακολουθία από υπό-modules του M είναι στάσιμη. (iii) Κάθε διάφορη του κενού οικογένεια από υπό-modules του M δέχεται minimal στοιχείο. Ένα module το οποίο πληρεί τις ισοδύναμες αυτές συνθήκες ονομάζεται module Artin. I.8.1.1. Η απόδειξη της ισοδυναμίας των (I.8.1(ii) ) και (I.8.1(iii) ) είναι αντίστοιχη με αυτήν των (I.4.1(ii)) και (I.4.1(iii)) και είναι συνολοθεωρητικού χαρακτήρα. 31

Χάρις Α. Γεωργούντζου I.8.1.2. Ο δακτύλιος A θα ονομάζεται Artin, αν είναι Artin, όταν τον θεωρούμε module επί του εαυτού του. Τα υπό-modules του δεν είναι άλλα από τα ιδεώδη του. I.8.1.3. Αντίστοιχη ισοδύναμη συνθήκη με την (I.4.1(i)) στην παρούσα περίπτωση δεν υπάρχει. Επίσης, ισοδύναμη συνθήκη αντίστοιχη της (I.4.5) δεν μπορεί να υπάρξει. Η σημαντικότητα των modules Noether οφείλεται στις συνθήκες (I.4.1(i)) και (I.4.5). Οι δακτύλιοι Artin, όπως θα δούμε πιο κάτω (I.8.4.6), είναι επίσης Noether ενός ειδικού τύπου. I.8.2. Αντίστοιχες ιδιότητες των (I.4.2) ισχύουν και στα modules Artin. I.8.2.1. Πρόταση. Αν 0 M M M 0 είναι μια ακριβής ακολουθία από υπόmodules, τότε οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) M είναι module Artin (ii) M και M είναι modules Artin. Επομένως, κάθε υπό-module και κάθε module πηλίκο ενός module Artin είναι Artin. I.8.2.2. Πρόταση. Κάθε πεπερασμένο ευθύ άθροισμα από modules Artin είναι module Artin. I.8.2.3. Πρόταση. Αν A είναι ένας δακτύλιος Artin και M πεπερασμένα γενόμενο Amodule, τότε το M είναι A-module Artin. I.8.2.4. Πόρισμα. Αν A είναι δακτύλιος Artin και a ένα ιδεώδες του A, τότε το πηλίκο A a είναι Artin σαν A-module, επομένως και σαν A a-module. I.8.3. Modules πεπερασμένου μήκους I.8.3.1. Μία αλυσίδα από υπό-modules του M της μορφής: 0 = M n M 2 M 1 = M ονομάζεται Jordan-Hölder, γράφουμε J-H, αν τα πηλίκα M i+1 M i (1 i n 1) είναι απλά A-modules (δηλαδή είναι διάφορα του μηδενός και δέχονται σαν υπό-modules μόνο το {0} και τον εαυτό τους). Το n ονομάζεται μήκος της αλυσίδας. 32

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων I.8.3.2. Θεώρημα (Jordan-Hölder-Schreier). Αν ένα A-module δέχεται αλυσίδα J-H, τότε: (i) Όλες οι αλυσίδες J-H έχουν το ίδιο μήκος. (ii) Κάθε αλυσίδα από υπό-modules του M μπορεί να να εκλεπτυνθεί (δια προσθήκης υπό-modules) και να γίνει J-H. (iii) Οι αλυσίδες J-H έχουν (κατά προσέγγιση μετάθεσης δεικτών) πηλίκα ισόμορφα. Το κοινό μήκος όλων των αλυσίδων J-H ονομάζεται μήκος του M, συμβολίζεται με l A (M) (ή και l(m)) και το M ονομάζεται πεπερασμένου μήκους (γράφουμε l(m) < ). Η απόδειξη του θεωρήματος γίνεται όπως και στις πεπερασμένες ομάδες. (Ας επαναλάβουμε ότι προϋπόθεση του θεωρήματος είναι το M να δέχεται τουλάχιστον μία αλυσίδα J-H). I.8.3.3. Πρόταση. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) l(μ) < (ii) Μ είναι A-module Noether, όπως και Artin. Απόδειξη. (i) (ii) Τα μήκη όλων των αλυσίδων του M φράσσονται από το μήκος του M, επομένως ικανοποιούνται οι συνθήκες των (I.4.1) και (I.8.1). (ii) (i) Κατασκευάζουμε μία αλυσίδα J-H ως ακολούθως. Επειδή το M έχει υποτεθεί Noether, το σύνολο των υπό-modules του M που είναι M, ικανοποιεί τη συνθήκη (I.4.1(iii)), άρα το M δέχεται maximal υπό-module M 1 M. Ομοίως, αναλόγως, το M 1 δέχεται ένα maximal υπό-module M 2 M 1. Έτσι φτιάχνουμε μία γνησίως φθίνουσα ακολουθία από υπό-modules: M M 1 M 2. Επειδή το M έχει υποτεθεί Artin (I.8.1), η ακολουθία αυτή είναι στάσιμη. Η ακολουθία λοιπόν αυτή είναι J-H (θεώρημα αντιστοιχίας), άρα το M είναι πεπερασμένου μήκους. I.8.3.4. Το μήκος των modules έχει την προσθετική ιδιότητα. Συγκεκριμένα: Πρόταση. Έστω 0 M α M β M 0 ακριβής ακολουθία. α. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: 33

Χάρις Α. Γεωργούντζου (i) M είναι πεπερασμένου μήκους (ii) M και M είναι πεπερασμένου μήκους. β. Αν οι ισοδύναμες συνθήκες πληρούνται, τότε: l(m) = l(m ) + l(m ) Απόδειξη. Λαμβάνουμε την εικόνα μέσω του a μιας αλυσίδας J-H του M και την αντίστροφη εικόνα μέσω της β μιας αλυσίδας J-H του M. Αυτές οι δύο κολλάνε (fit together) και μας δίδουν μία J-H του M. I.8.3.5. Πόρισμα. Έστω ακριβής ακολουθία 0 M 1 M 2 M 3 M n 0 από A-modules πεπερασμένου μήκους. Τότε: n ( 1) i l(m i ) = 0 i=1 I.8.3.6. Παρατήρηση. Αν V είναι διανυσματικός χώρος επί σώματος k, τότε οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) V πεπερασμένης διάστασης k-module (ii) V πεπερασμένου μήκους k-module (iii) V Noether k-module (iv) V Artin k-module. I.8.3.7. Πόρισμα. Έστω A δακτύλιος εντός του οποίου το μηδενικό ιδεώδες είναι γινόμενο m 1 m s maximal ιδεωδών (όχι υποχρεωτικά διακεκριμένων). Τότε οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) A είναι δακτύλιος Noether (ii) A είναι δακτύλιος Artin (iii) Το A, σαν A-module, είναι πεπερασμένου μήκους. Απόδειξη. (i) (ii) Υποθέτουμε ότι τα m 1,, m s είναι maximal ιδεώδη του A με m 1 m s = 0. Θεωρούμε την ακολουθία ιδεωδών: 34

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων A m 1 m 1 m 2 m 1 m s = 0 Κάθε πηλίκο m 1 m i 1 m1 m i είναι διανυσματικός χώρος επί του σώματος A m ι (2 i s) όπως και το A m 1 επί του εαυτού του. Επομένως, σύμφωνα με το (I.8.3.6) κάθε τέτοιο πηλίκο πληρεί την ισοδυναμία Noether Artin. Επαναληπτική εφαρμογή των (I.4.2) και (I.8.2.1) μας δίδει την ισοδυναμία για το δακτύλιο A. Η ισοδυναμία της συνθήκης (iii) με τις (i) και (ii) προκύπτει από την (I.8.3.3). I.8.3.8. Η προϋπόθεση του (I.8.3.7) θα δούμε ότι πληρούται στους δακτυλίους Artin (I.8.4.6). Μέσω αυτής θα επιτύχουμε ένα χαρακτηρισμό των εν λόγω δακτυλίων (I.8.4.10). I.8.4. Δακτύλιοι Artin ([2], σελ. 89) I.8.4.1. Πρόταση. Έστω A δακτύλιος Artin. Τότε κάθε πρώτο ιδεώδες του A είναι maximal. Απόδειξη. Έστω p πρώτο ιδεώδες του A. Το πηλίκο B = A p είναι ένας Artin ακέραιος δακτύλιος. Έστω 0 x B. Λόγω της συνθήκης (ii) του (I.8.1), για κάποιο n θα έχουμε την ισότητα των ιδεωδών (x n ) = (x n+1 ). Επομένως x n = x n+1 y, για κάποιο y B. Αφού B ακέραιος και x 0, διαγράφονται τα x n και έχουμε ότι xy = 1. Επομένως το x είναι αντιστρέψιμο, δηλαδή το B σώμα, άρα το p maximal ιδεώδες του A. I.8.4.2. Πόρισμα. Αν A δακτύλιος Artin, τότε nil(a) = J(A). Απόδειξη. Προκύπτει από τις (I.7.1) και (I.2). I.8.4.3. Πρόταση. Κάθε δακτύλιος Artin έχει πεπερασμένο πλήθος maximal ιδεωδών. Απόδειξη. Θεωρούμε το σύνολο όλων των τομών maximal ιδεωδών του A. Το σύνολο αυτό έχει ένα minimal στοιχείο, ας πούμε το m 1 m 2 m n. Έτσι, για κάθε maximal ιδεώδες m του A έχουμε: m m 1 m 2 m n = m 1 m 2 m n 35

Χάρις Α. Γεωργούντζου Επομένως m m 1 m 2 m n. Από ιδιότητα των πρώτων ιδεωδών ([2], σελ. 8) έχουμε ότι m m i, για κάποιο i. Επομένως m = m i, αφού πρόκειται για maximal ιδεώδη. I.8.4.4. Πρόταση. Αν A είναι δακτύλιος Artin, τότε το ιδεώδες nil(a) (I.7.1) του A είναι μηδενοδύναμο. Απόδειξη. Θέτουμε R = nil(a) = J(A). Η συνθήκη (ii) του (I.8.1) μας δίδει ότι R κ = R κ+1 = = I, για κάποιο κ > 0. Έχουμε επίσης ότι I = I 2 =. Θα αποδείξουμε ότι I = 0. Έστω I 0. Θεωρούμε το σύνολο T των ιδεωδών J του A τέτοιων, ώστε I J 0. Το T είναι, διότι περιέχει το I, άρα δέχεται minimal στοιχείο (I.8.1), συμβολίζουμε με K ένα τέτοιο. Επομένως υπάρχει x K τέτοιο, ώστε x I 0. Έχουμε (x) K, σχέση που συνεπάγεται ότι (x) = K (επειδή το K είναι minimal του T και (x) T). Επίσης (xi)i = xi 2 = xi 0, άρα xi T όπως και xi (x) = K, που συνεπάγεται και πάλι ότι xi = (x). Επομένως x = x y, για κάποιο y I. Η τελευταία σχέση συνεπάγεται τις διαδοχικές ισότητες: x = xy = xy 2 = = xy n =. Επειδή το στοιχείο y I = R κ R, έπεται ότι είναι μηδενοδύναμο στοιχείο του A (I.7.1), άρα κάποια δύναμή του ισούται με μηδέν, οπότε και x = 0, κάτι που αντιφάσκει προς την επιλογή του x. I.8.4.5. Αν p 0 p 1 p 2 p n είναι μια αυστηρώς αύξουσα ακολουθία πρώτων ιδεωδών του A, ορίζουμε με n το μήκος της ακολουθίας. Το supremum των μηκών όλων των αλυσίδων πρώτων ιδεωδών του A το ονομάζουμε διάσταση Krull του A και το συμβολίζουμε με dim A. (Η διάσταση αυτή θα μελετηθεί στο κεφάλαιο II της εργασίας για τους Noether τοπικούς δακτυλίους). Ο ακέραιος dim A είναι 0 (υποθέτοντας ότι A 0). Ένα σώμα έχει διάσταση 0, ο δακτύλιος των ακεραίων Z έχει διάσταση 1. Το σύμβολο dim χρησιμοποιείται επίσης για να δηλώσει τη διάσταση διανυσματικού χώρου. I.8.4.6. Πρόταση. Αν A είναι δακτύλιος Artin, τότε ο A είναι δακτύλιος Noether και dim A = 0. Απόδειξη. Σαν συνέπεια του (I.8.4.1) έχουμε ότι dim A = 0. Έστω m 1,, m n τα διακεκριμένα maximal ιδεώδη του A (I.8.4.3). Τότε υπάρχει κ > 0 τέτοιος, ώστε (I.8.4.2) και (I.8.4.4): 36

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων n m i κ i=1 n κ ( m i ) i=1 = nil(a) κ = 0 Σύμφωνα με το (I.8.3.7) ο A είναι Noether. I.8.4.7. Παρατήρηση. Της προηγούμενης πρότασης ισχύει και το αντίστροφο ([2], πρότ. 8.5): A δακτύλιος Noether και dim A = 0 A δακτύλιος Artin Η απόδειξη της συνεπαγωγής αυτής χρησιμοποιεί την πρωτογενή ανάλυση (I.6.10.2) εντός δακτυλίου Noether. I.8.4.8. Έστω A δακτύλιος Artin και m 1,, m n τα maximal ιδεώδη αυτού (ταυτίζονται με τα πρώτα ιδεώδη του A (I.8.4.1) και είναι πεπερασμένου πλήθους (I.8.4.3)). Έχουμε ότι r(m κ i ) = m i, όπως επίσης m κ i + m κ j = (1) = A για κάθε κ > 0 και 1 i, j n ([2], προτ. 1.13 & 1.16) και κατά συνέπεια ισχύει η σχέση: (m 1 m n ) κ = (m 1 m n ) κ = m κ 1 m κ 2 m κ n = m κ 1 m κ κ 2 m n Επομένως, όπως και στην απόδειξη του (I.8.4.6), υπάρχει κάποιο s > 0: (m 1 m n ) s = m 1 s m 2 s m n s = 0 Μέσω του κινέζικου θεωρήματος έχουμε ότι το A είναι ισόμορφο με το γινόμενο n i=1 s A m i s. Κάθε ένας από τους παράγοντες A m i είναι δακτύλιος Artin (I.8.2.4) και λόγω της αντιστοιχίας των ιδεωδών, δέχεται σαν μοναδικό πρώτο (άρα και maximal) ιδεώδες το m i. Πρόκειται επομένως για τοπικό δακτύλιο. Δείξαμε επομένως το m i s κάτωθι θεώρημα (περιγραφής της δομής ενός δακτυλίου Artin). Θεώρημα. Κάθε δακτύλιος Artin είναι ένα πεπερασμένο ευθύ γινόμενο τοπικών δακτυλίων Artin. Παρατήρηση. Η ανάλυση του εν λόγω θεωρήματος είναι επίσης μοναδική (κατά προσέγγιση ισομορφισμού) ([2], θεώρ. 8.7). I.8.4.9. Πρόταση. Έστω A δακτύλιος Noether. Τότε: 37

Χάρις Α. Γεωργούντζου (i) Κάθε ιδεώδες του A περιέχει ένα γινόμενο πρώτων ιδεωδών του A. (ii) Ειδικότερα, το (0) είναι γινόμενο πρώτων ιδεωδών του A. Απόδειξη. (i) Έστω F το σύνολο των ιδεωδών του A που δεν περιέχουν κάποιο γινόμενο πρώτων ιδεωδών. Θα δείξουμε ότι το F =. Έστω F. Τότε το F περιέχει maximal στοιχείο (I.4.1) και έστω α ένα τέτοιο στοιχείο. Το ιδεώδες α δεν είναι πρώτο, διότι διαφορετικά δεν θα ανήκε στο σύνολο F. Επομένως υπάρχουν στοιχεία x, y A τέτοια, ώστε x y α, ενώ x α και y α. Τα ιδεώδη I = α + (x) και J = α + (y) περιέχουν γνησίως το a, επομένως δεν ανήκουν στο F, άρα περιέχουν γινόμενα πρώτων ιδεωδών. Το ίδιο συμβαίνει και με το γινόμενό τους I J. Όμως I J α, κάτι που αντιφάσκει με την επιλογή του α εντός του F. Επομένως F = και το (i) απεδείχθη. (ii) Το (ii) είναι προφανώς ειδική περίπτωση του (i). I.8.4.10. Τα (I.8.3.7) και (I.8.4.9) μας επιτρέπουν να δώσουμε ένα χαρακτηρισμό των δακτυλίων Artin. Πρόταση. Έστω A ένας δακτύλιος. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) A δακτύλιος Noether και κάθε πρώτο ιδεώδες του A είναι maximal (ii) A δακτύλιος Artin (iii) Το A, σαν A-module, είναι πεπερασμένου μήκους. Απόδειξη. (ii) (i) Η συνεπαγωγή είναι συνέπεια των (I.8.4.1) και (I.8.4.6). (i) (ii) Η συνθήκη (i) και το (I.8.4.9(ii)) μας δίδουν ότι το (0) είναι γινόμενο maximal ιδεωδών. Άρα το (I.8.3.7) συνεπάγεται ότι ο δακτύλιος A είναι Artin. Η συνθήκη (iii) είναι ισοδύναμη με τις (i) και (ii) λόγω των (I.8.3.3) και (I.8.4.1). I.8.4.11. Πόρισμα. Έστω A δακτύλιος Noether, m 1, m 2,, m n maximal ιδεώδη του A, I = m 1 m n και q ιδεώδες του A τέτοιο, ώστε I s q I, για κάποιο s 1. Τότε ο δακτύλιος A q είναι Artin. Απόδειξη. Ο δακτύλιος A q είναι πηλίκο του A I s : 38

Ομολογιακός χαρακτηρισμός ομαλών δακτυλίων A (A Is q ) (q I s ) Άρα, αρκεί να δείξουμε ότι ο δακτύλιος A I s είναι Artin. Ικανοποιείται η συνθήκη (I.8.4.10(i)), διότι ο A I s είναι Noether (σαν πηλίκο του A που υποτίθεται Noether). Τέλος, τα πρώτα ιδεώδη του A I s είναι τα maximal ιδεώδη m i I s, i = 1,2,, n). Πράγματι, έστω p πρώτο ιδεώδες του A που περιέχει το I s = m 1 s m n s, όπως στο (I.8.4.8). Επειδή το p είναι πρώτο, θα περιέχει ένα εκ των m i s και άρα θα ταυτίζεται με το m i ([2], πρότ. 1.11). I.8.5. Πρόταση. Έστω A δακτύλιος Noether και M πεπερασμένα γενόμενο A-module. Οι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) M πεπερασμένου μήκους (ii) Κάθε πρώτο ιδεώδες p Supp(M) είναι maximal. Απόδειξη. ([22], πρότ. 1.13) (i) (ii) Έστω M πεπερασμένου μήκους. Τότε κάθε υπόmodule του N είναι πεπερασμένα γενόμενο και ισχύει η σχέση (I.8.3.4): l(m) = l(n) + l(m N) Έστω, λοιπό,ν p Supp(M) και N ένα υπό-module ισόμορφο με το A p (I.6.1). Υποθέτουμε ότι το p δεν είναι maximal, επομένως υπάρχει maximal ιδεώδες m που το περιέχει αυστηρά. Τότε η ακολουθία m n (p m n ) θα ήταν μια άπειρη ακολουθία J-H και το A p θα ήταν άπειρου μήκους. (ii) (i) Κάθε πεπερασμένα γενόμενο module M δέχεται ακολουθία (I.6.6): M 0 = {0} M 1 M n = M τέτοια, ώστε: M i M i 1 A p i με p i Supp(M) Δεδομένου ότι τα p i Supp(M) είναι maximal, τα modules M i M i 1 είναι απλά και η ανωτέρω ακολουθία είναι J-H. 39