Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων
Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Γενική περίπτωση Δυναμικές Εξισώσεις Σύστημα μη-γραμμικών συνήθη διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ) ΜΜ qq qq + CC qq qq + KK qq = ξξ ggggggvv (qq) + ξξ nnnnnnnnnnnn (qq, qq ) + ξξ Γραμμικά δυναμικά συστήματα Σύστημα Γραμμικών ΣΔΕ με σταθερούς συντελεστές ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ Συνήθως πολύπλοκα δυναμικά συστήματα απλοποιούνται σε αυτή τη μορφή διότι μπορούν να αναλυθούν αναλυτικά Αυτό το μάθημα εστιάζει σε γραμμικά δυναμικά συστήματα 3
Δυναμικές Εξισώσεις Μορφή Μητρώων Μάζας-Ελαστικότητας Κλασσική θεωρεία ταλαντώσεων ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ Μητρώο αδράνειας Μητρώο απόσβεσης Μητρώο ελαστικότητας Εξωτερική διέγερση 9 4
Δυναμικές Εξισώσεις Μορφή μεταβλητών κατάστασης Αριθμητική ολοκλήρωση Αυτόματος Έλεγχος xx = AA xx + bb uu xx = qq qq uu = ξξ Μεταβλητές κατάστασης Διεγέρσεις συστήματος AA = bb = OO MM 1 KK OO MM 1 II MM 1 CC 5
Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων H κατάσταση του συστήματος xx(tt) (ισοδύναμα οι Β.Ε. qq(tt)) μεταβάλεται ως συνάρτηση του χρόνου Υπολογισμός απόκρισης: Πρόβλημα ΣΔΕ αρχικών συνθηκών ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ(tt) qq() = qq qq () = qq qq(tt) xx = AA xx + bb uu xx() = xx uu(tt) = ξξ(tt) xx(tt) 6
Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) Απόκριση Ειδική λύση Ομογενής λύση Ομογενής λύση Απόκριση όταν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (ξξ = ) Απόκριση σε «αρχικές συνθήκες» Ιδιότητα του συστήματος! Ειδική λύση Απόκριση σε εξωτερικές δυνάμεις ξξ Εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της διέγερσης 12 7
Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) Απόκριση Ειδική λύση Ομογενής λύση ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ(tt) qq() = qq qq () = qq ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = qq qq () = qq ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ(tt) qq() = qq () = qq h (tt) qq pp (tt) 8
Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Αρχή της επαλληλίας (ομογενής λύση) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = qq 1 qq () = qq 1 ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = qq 2 qq () = qq 2 qq h1 (tt) qq h2 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq = qq 1 + qq 2 qq = qq 1 + qq 2 qq h1 (tt) + qq h2 (tt) 9
Επίλυση ομογενούς ΣΔΕ Παράδειγμα (1 Β.Ε.) qq + 3qq + 2qq = qq() = 2 qq () = 1 qq + 3qq + 2qq = qq() = 1 qq () = 1 qq h tt = 5ee tt 3ee 2tt qq h tt = 3ee tt 2ee 2tt qq + 3qq + 2qq = qq = 3 qq = 2 qq h tt = 8ee tt 5ee 2tt 1
Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Αρχή της επαλληλίας (ειδική λύση) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt) qq() = qq () = qq pp1 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 2 (tt) qq() = qq () = qq pp2 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 tt + ξξ 2 tt qq() = qq () = qq pp1 (tt)+ qq pp2 (tt) 11
Παράδειγμα (1 Β.Ε.) qq + 3qq + 2qq = uu ss (tt) qq() = qq () = qq + 3qq + 2qq = qq() = qq () = 1 qq tt =.5uu ss tt ee tt +.5ee 2tt qq tt = 2ee tt ee 2tt qq + 3qq + 2qq = uu ss (tt) qq = qq = 1 qq tt =.5uu ss tt + ee tt.5ee 2tt 12
Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Χρονική ανεξαρτησία ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt) qq() = qq () = qq pp (tt) = qq pp1 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt ττ) qq(ττ) = qq (ττ) = qq pp tt = qq pp1 (tt ττ) 13
Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Παραγώγιση & ολοκλήρωση ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt) qq() = qq () = qq pp (tt) = qq pp1 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ddξξ 1(tt) dddd qq(ττ) = qq (ττ) = qq pp tt = ddqq pp1(tt) dddd tt ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = ττ= ξξ 1 ττ dτ qq pp tt = tt ττ= qq pp1 ττ ddττ qq () = 19 14
Βηματική διέγερση (heavyside) Εξωτερικές Διεγέρσεις πχ: ανάρτηση που συναντά ένα πεζούλι Κρουστική διέγερση (impulse) πχ: σφυρί που χτυπά μια κατασκευή 15
Αρμονική διέγερση Εξωτερικές Διεγέρσεις πχ: αρμονική δύναμη λόγω αζυγοσταθμίας Τυχαία διέγερση πχ: διέγερση σε σκάφος λόγω κυμματισμού 16
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Μοντέλο: m xx + cc xx + kk xx = ff(tt) xx + cc mm xx + kk mm xx = Αδιάστατοποιημένο μοντέλο xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = ωω = kk mm Λόγος απόσβεσης Φυσική κυκλική συχνότητα 2 ζζ ωω = cc mm 22 17
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Ομογενής λύση xx + 2ζζζζxx + ωω 2 xx = xx() = xx xx () = uu xx h tt = cc 1 ee λλ 1tt + cc 2 ee λλ 2tt λλ 1, λλ 2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λλ 2 + 2ζζζζλλ + ωω 2 = Οι σταθερές cc 1, cc 2 προκύπτουν από αρχικές συνθήκες xx, uu 23 18
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση λλ 1, λλ 2 είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί xx h tt = λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω ζζ 2 1 1 [xx λλ 1 λλ ( λλ 2 ee λλ1tt + λλ 1 ee λλ 2tt )+vv (ee λλ1tt ee λλ 2tt )] 2 24 19
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj xx h tt = ee ζζζζtt [xx cos (ωω nn tt)+ vv + ζζωω nn xx ωω nn sin(ωω nn tt)] ωω nn = ωω 1 ζζ 2 Συχνότητα αποσβενόμενων ταλαντώσεων 25 2
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Η απόκριση γράφεται και ως: xx h tt = Αee ζζζζtt sin(ωω nn tt+φ) Μέτρο απόσβεσης 26 21
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Εκτίμηση m, c, k 27 22
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ=: Κίνηση χωρίς απόσβεση λλ 1, λλ 2 είναι φανταστικοί αριθμοί λλ 1,2 = ±ωωjj xx h tt = xx cos (ωωtt)+ vv ωω sin(ωωtt) Θεωρητικό ενδιαφέρον μόνο! Στην πράξη όλα τα συστήματα έχουν κάποια απόσβεση 28 23
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ<: Ασταθές δυναμικό σύστημα Ρίζες λλ 1, λλ 2 είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί Το σύστημα τείνει να απομακρυνθεί από την θέση ισορροπίας xx = xx = 29 24
Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο <ζ<1 Im(s) x ζ= ζ< ζ>1 x x x x x x Re(s) x Ευστάθεια Αστάθεια 3 25
Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο Im(s) Ταχύτερο ω Re(s) Ταχύτερο ω Ευστάθεια Αστάθεια 31 26
Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο Λιγότερη απόσβεση Im(s) Re(s) Λιγότερη απόσβεση Ευστάθεια Αστάθεια 32 27
Δυναμικές Εξισώσεις Εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης με εξόδους xx = AA xx + ΒΒ uu yy = CC xx + DD uu xx = qq qq Μεταβλητές κατάστασης uu = ξξ Διεγέρσεις συστήματος yy Διάνυσμα εξόδου (οποιαδήποτε σύνολο μεταβλητών ενδιαφέροντος) 6 28
Συνάρτηση Μεταφοράς Για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Περιγραφή του συστήματος μέσω του μητρώου μεταφοράς HH(ss) YY(s) = HH(ss) UU(ss) Στην περίπτωση μιας εισόδου και μιας εξόδου HH ss = ββ mm ss mm + ββ mm 1 ss mm 1 + + ββ 1 ss + ββ ss nn + αα nn 1 ss nn 1 + + αα 1 ss + αα Υπολογίζεται μέσω του μ/χ Laplace Περισσότερα σε επόμενη παράδοση 29
Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Επαλληλία qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) Απόκριση Ειδική λύση (διέγερση, μηδενικές αρχικές συνθήκες) Χρονική ανεξαρτησία Η απόκριση δεν εξαρτάται από πότε έγινε η διέγερση Ευστάθεια Ομογενής λύση (χωρίς διέγερση, αρχικές συνθήκες) Απόκριση σε αρχικές συνθήκες καταλήγει στο qq tt = 3
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Μοντέλο: m xx + cc xx + kk xx = ff(tt) xx + cc mm xx + kk mm xx = Αδιάστατοποιημένο μοντέλο xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = ωω = kk mm Λόγος απόσβεσης Φυσική κυκλική συχνότητα 2 ζζ ωω = cc mm 9 31
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. xx + 2ζζζζxx + ωω 2 xx = xx() = xx xx () = uu xx h tt = cc 1 ee λλ 1tt + cc 2 ee λλ 2tt λλ 1, λλ 2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λλ 2 + 2ζζζζλλ + ωω 2 = Σταθερές cc 1, cc 2 προκύπτουν από αρχικές συνθήκες xx, uu Το σημείο ισορροπίας του συστήματος είναι το xx = Η μοναδική λύση που προκύπτει θέτοντας xx = xx = 1 32
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση 1.9.8 Τα λλ 1, λλ 2 είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί = 1.2, = 1 = 1.2, = 2 = 1.2, = 4 1.5 λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω ζζ 2 1 = 1.2, = 1 = 1.2, = 2 = 1.2, = 4 x(t).7.6.5.4.3.2.1 xx (tt) u(t) -.5-1 -1.5 2 4 6 8 1 time -2-1 -.5.5 1 Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη (χρειάζεται λιγότερος χρόνος για να καταλήξει το σύστημα στο σημείο ισορροπίας x=) x(t) 11 33
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση x(t) 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 5 1 15 2 25 3 time = 1, = 1 = 1.5, = 1 = 3, = 1 u(t).1 -.1 -.2 -.3 -.4 -.5 -.6 -.7 -.8 -.9-1.2.4.6.8 1 x(t) = 1, = 1 = 1.5, = 1 = 3, = 1 Καθώς αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στο σημείο ισορροπίας x=) xx (tt) 12 34
Βηματική Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση 4 x(t) 3.5 3 2.5 2 = 1.2, =.5 = 1.2, = 1 = 1.2, = 2 x(t) 1.8.6 = 1.2, = 1 = 1.5, = 1 = 3., = 1 1.5.4 1.5.2 5 1 15 2 25 3 time 5 1 15 2 25 3 Καθώς αυξάνεται ο ζ ή ελατώνεται η ω, η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στην τελική τιμή). Η τελική τιμή xx ssss = ωω 2 υπολογίζεται θέτωντας xx = xx = στην ΣΔΕ που περιγράφει την απόκριση xx + 2ζζζζxx + ωω 2 xx = 1 time 13 35
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση 1.8.6 Τα λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: =.4, = 1 =.4, = 2 =.4, = 4 1.5 λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj =.4, = 1 =.4, = 2 =.4, = 4 x(t).4.2 xx (tt) u(t) -.5-1 -1.5 -.2-2 -.4 5 1 15 time -2.5 -.4 -.2.2.4.6.8 1 Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερα xx ) x(t) 14 36
Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj 1 =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = 1.6.4 =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = 1.5.2 x(t) xx (tt) u(t) -.2 -.4 -.6 -.5 5 1 15 2 25 3 time -.8 -.5.5 1 Καθώς μειώνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερη υπερακόντηση, μεγαλύτερα xx x(t) 15 37
Βηματική Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj 6 5 =.4, =.5 =.4, = 1 =.4, = 2 1.5 =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = 1 4 1 xx(tt) u(t) 3 xx(tt) u(t) 2.5 1 5 1 15 2 25 3 x(t) tttttttt 5 1 15 2 25 3 x(t) tttttttt 16 38
Συνολική Απόκριση qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) 2 = 1, =.25 1.5 1 x(t).5 -.5-1 x()=u()=, step input x()=1 u()=2, no input x()=1 u()=2, step input -1.5 5 1 15 2 time 17 39
Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο 1.9.8.7 = 1, = 1 = 1.5, = 1 = 3, = 1 <ζ<1 Im(s).6 x(t).5.4.3.2 x.1 5 1 15 2 25 3 time ζ>1 x x Re(s) 1.5 =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = 1 x x(t) -.5 5 1 15 2 25 3 time Ευστάθεια Αστάθεια 18 4
Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Ο μοναδιαίος παλμός διάρκειας Τ ορίζεται ως uu pp,tt tt = Ιδίοτητες:, tt < 1, tt < TT TT, tt TT 1/T Μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμική επαλληλία δύο βηματικών εισόδων τις στιγμές t= και t=t Καθώς Τ τότε η uu pp,tt tt τείνει στην συνάρτηση Dirac (κρουστική είσοδο) To χρονικό ολοκλήρωμα απο - έως ισούται με 1 uu pp,tt tt = 1 TT uu ss tt 1 TT uu ss tt TT uu pp,tt ττ dτ T lim uu pp,tt tt Τ + = uu pp,tt ττ dτ t = δδ tt = 1 19 41
Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Λόγω επαλληλίας, η απόκριση h pp,tt tt ενός γραμμικού συστήματος σε μοναδιαίο παλμό εύρους Τ μπορεί να εκφραστεί μέσω της απόκρισης h ss tt του ίδιου συστήματος σε βηματική είσοδο h pp,tt tt = 1 TT h ss tt 1 TT h ss tt TT Καθώς Τ τότε η απόκριση h pp,tt tt τείνει στην απόκριση h tt του συστήματος σε κρουστική είσοδο Η h tt υπολογίζετε ως η παράγωγος της απόκρισης h ss tt σε βηματική είσοδο lim Τ h pp,tt tt = 1 TT h ss tt h ss tt TT 1 TT ddh ss tt dddd TT = ddh ss tt dddd = h(tt) 42
Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο Η απόκριση h tt σε κρουστική είσοδο είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος Μπορεί να μετρηθεί πειραματικά Σε πραγματικά συστήματα h tt = για t< Μπορεί να εκφραστεί σαν (για 2 ο -βάθμιο σύστημα) h tt = cc 1 ee λλ1tt + cc 1 ee λλ 2tt όπου λ 1,2 : ρίζες χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος Ο μετασχηματισμός Laplace της h tt είναι η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος LL{h tt } = H(s) 43
Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο.5.4 T = 4 sec T = 2 sec T = 1 sec T =.2 sec T =.5 sec h p,t (t).3.2.1 -.1 5 1 15 Απόκριση του συστήματος xx + 1.4xx + xx = ff (ζζ =.7, ωω = 1) σε μοναδιαίους παλμούς ff = uu pp,tt (tt). Καθώς η διάρκεια Τ μικραίνει κάτω από κάποιο όριο (το οποίο εξαρτάται από το σύστημα) η απόκριση h pp,tt (tt) δεν μεταβάλεται, και ταυτίζεται με την απόκριση σε κρουστική είσοδο h(tt) time 44
Απόκριση σε τυχαία είσοδο H απόκριση yy tt ενός γραμμικού συστήματος σε μια οποιαδήποτε είσοδο u tt μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης yy tt = h tt uu tt = uu tt h tt = Απόκριση συστήματος σε κρουστική είσοδο Τυχαία είσοδος h ττ uu tt ττ ddττ = h tt ττ uu ττ ddττ 45
Ολοκλήρωμα Συνέλιξης: Φυσική Σημασία Oποιαδήποτε είσοδος u(t) μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα παλμών πλάτους Τ (το Τ είναι αρκετά μικρό) uu tt = TT uu pp,tt (tt kk TT) uu(kk TT) kk= Αναγκαίο διότι το u p,t περιέχει το 1/Τ ώστε το εμβαδόν του να είναι 1 Η απόκριση του συστήματος σε αυτή την είσοδο (λόγω επαλληλίας) είναι το άθροισμα αποκρίσεων σε παλμούς: yy tt = TT h pp,tt (tt kk TT) uu(kk TT) kk= Όταν η διάρκεια T είναι αρκετά μικρή, τότε h pp,tt h ενώ το άθροισμα καταλήγει σε ολοκλήρωμα yy tt = h tt ττ uu ττ ddττ 24 46
Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης To ολοκλήρωμα της συνέλιξης μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: tt yy tt = h tt uu tt = h ττ uu tt ττ ddττ = h ττ uu tt ττ ddττ Η αλλαγή στα όρια της ολοκλήρωσης προκύπτει διότι h(t)=u(t)= για t< Διαδικασία υπολογισμού της yy tt Ξεκινώντας από την u(τ), η u(t-τ) προκύπτει γραφικά σε δύο βήματα 1. Η u(-τ) είναι ο «καθρέπτης» της u(τ) ως προς τον άξονα t= 2. Η u(t-τ) προκύπτει μετακινώντας την u(-τ) δεξιά κατά t Υπολογισμός της φφ ττ = uu(tt ττ) h ττ Η τιμή yy tt υπολογίαζεται ως το ολοκλήρωνα της φφ ττ από τ= έως τ=t 47
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί αναλυτικά η απόκριση του συστήματος xx + xx + xx = uu (ζζ =.5, ωω = 1) στην είσοδο u(t) όταν xx = xx = uu(tt) =, tt < sin ππ uu(tt) 1 tt, tt < 1 1, tt DD 1 t Λύση O υπολογισμός της απόκρισης μέσω συνέλιξης χρειάζεται την απόκριση h(tt) σε κρουστική είσοδο. Η απόκριση h(tt) θα υπολογιστεί μέσω της απόκρισης σε βηματική είσοδο h ss (tt) 48
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε βηματική είσοδο h ss (tt) h ss (tt) ονομάζουμε την απόκριση xx(tt) σε βηματική είσοδο x tt = xx h tt + xx pp tt Η ειδική λύση xx pp tt, είναι η λύση της ΣΔΕ xx + xx + xx = 1 Δοκιμάζουμε (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ) λύσεις της μορφής xx pp tt = cc Αντικαθιστώντας την xx pp tt στην ΣΔΕ προκύπτει cc = 1 οπότε η ειδική λύση είναι xx pp tt = 1 49
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η ομογενής λύση xx h tt ισούται με (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ): xx h tt = cc 1 ee λλ 1tt + cc 2 ee λλ 2tt Όπου τα λλ 1,2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λλ 2 + λλ + 1 = Επειδή <ζ<1, οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω nn jj =.5 ± 3 2 jj Επειδή οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί, η ομογενής λύση γράφεται ως xx h tt = ee.5tt AA sin ( 3 2 tt + φφ) 5
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η συνολική λύση (ομογενής + ειδική) είναι: xx tt = ee.5tt AA sin 3 2 tt + φφ + 1 Οι σταθερές Α και φ υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες: xx = AA sin φφ = 1 xx =.5 AA sin φφ + 3 2 AA cos φφ Συνδιάζοντας της δύο συνθήκες προκύπτει το σύστημα: AA sin φφ = 1 AA cos φφ = 3 3 Eπειδή το πλάτος Α>, τότε τα sin φφ και cos φφ είναι αρνητικοί αριθμοί, οπότε η γωνία φφ βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο. H λύση δίνει AA = 1.135 και φφ = 2ππ/3 51
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Οπότε η ομογενής λύση είναι: xx h (tt) = ee tt/2 1.135 sin ( 3 2 tt 2ππ/3) Η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης xx tt = xx pp tt + xx h tt = 1 + ee tt/2 1.135 sin ( 3 2 tt 2ππ/3) Η απόκριση ενός συστήματος σε βηματική είσοδο (μηδενικές αρχικές συνθήκες) ονομάζεται (για λόγους συμβολισμού) h ss (tt): h ss tt = 1 + ee tt/2 1.135 sin ( 3 2 tt 2ππ/3) 52
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε κρουστική είσοδο h(tt) Η απόκριση σε κρουστική είσοδο h(tt) προκύπτει από την χρονική παράγωγο της απόκρισης h ss (tt) h tt = ddh ss tt dddd =.5 1.135 ee tt 2 sin 3 2 tt 2ππ 3 + +1.135 3 2 ee tt 2 cos 3 2 tt 2ππ 3 Οπότε προκύπτει η έκφραση για την h(tt) h tt = ee tt 2 [.568 sin 3 2 tt 2ππ 3 +.983 cos 3 2 tt 2ππ 3 ] 53
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης Τα επόμενα σχήματα δείχνουν τις γραφικές παραστάσεις για τις απόκρισεις h ss (tt), h(tt) του συστήματος σε βηματική και κρουστική είσοδο αντίστοιχα 1.4.6 1.2 1.8 h s (t).5.4.3 h(t).6.2.4.1.2 5 1 15 2 time -.1 5 1 15 2 time Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση 32 54
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η απόκριση xx tt την στιγμή t> μπορεί να υπολογιστεί μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης xx tt = h ττ uu tt ττ ddττ tt για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος διακρίνουμε 2 περιπτώσεις Κάθε περίπτωση διαφέρει στο εύρος του ολοκληρώματος, δηλαδή στο εύρος των τιμών του τ όπου το γινόμενο h ττ uu tt ττ είναι μη-μηδενικό Βλέπε επόμενα 2 slides 55
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν tt < 1, το γινόμενο h ττ uu tt ττ είναι μη-μηδενικό για ττ < tt Η απόκριση xx tt για οποιαδήποτε tt < 1 μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: tt xx tt = h ττ uu tt ττ ddττ tt h ττ sin ( ππ (tt ττ))ddττ 1 Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(4) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(4) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) = 1.5 1.5 1.5 1.5 u( ) -1-5 5 1 15 u(- ) -1-5 5 1 15 h( ) u(4- ) -1-5 5 1 15 h( )*u(4- ) -1-5 5 1 15 time 34 56
Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν tt 1, το γινόμενο h ττ uu tt ττ είναι μημηδενικό για t 1 ττ < tt Η απόκριση xx tt για οποιαδήποτε tt 1 μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: tt xx tt = h ττ uu tt ττ ddττ tt tt 1 tt 1 h ττ sin ( ππ (tt ττ))ddττ 1 Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(15) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(15) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) = 1.5 1.5 1.5.2 -.2 u( ) -1-5 5 1 15 u(- ) -1-5 5 1 15 h( ) u(15- ) -1-5 5 1 15-1 -5 5 1 15 time h( )*u(15- ) 35 57
Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.