ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συγγρφή Επιµέλει: Πνγιώτης Φ Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 11 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έν φυσικό µέγεθος ονοµάζετι δινυσµτικό ότν εκτός π το µέτρο του πιτείτι κι η κτεύθυνση του στο χώρο έτσι ώστε ν περιγρφεί (πχ η µεττόπιση, η τχύτητ κι η επιτάχυνση ) Κάθε διάνυσµ µπορεί ν γρφεί µε τη βοήθει των συνιστωσών του κι των µονδιίων δινυσµάτων ως εξής : ˆ Τ µονδιί δινύσµτ ˆ,, είνι διάσττ δινύσµτ, που έχουν µέτρο ίσο µε τη µονάδ κι ντικειµενικός τους σκοπός είνι ν περιγράψουν τις κτευθύνσεις στο χώρο Συνεπώς σ έν τρισορθογώνιο σύστηµ συντετγµένων ορίζουµε έν µονδιίο διάνυσµ ˆ ( ή i), που έχει την κτεύθυνση του θετικού άξον, έν µονδιίο διάνυσµ ( ή j), που έχει την κτεύθυνση του θετικού άξον ή k, που έχει την κτεύθυνση του θετικού άξον κι έν µονδιίο διάνυσµ ( ) Άθροιση δινυσµάτων : 1) Γεωµετρική µέθοδος : Έστω τ δινύσµτ,, το άθροισµ τους είνι το διάνυσµ, που κτσκευάζετι µε µεττόπιση της ρχής του στο πέρς του κι σύνδεση της ρχής του µε το πέρς του, όπως φίνετι στο κόλουθο σχήµ : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ή υπολογίζετι σύµφων µε τον κνόν του πρλληλογράµµου : ) Ανλυτική µέθοδος : Αν ˆ, ˆ θ Μέτρο δινύσµτος : ˆ Γωνί που σχηµτίζει το µε τον άξον : tanθ Ισχύουν η µετθετική ιδιότητ : ( ) ˆ ( ) κι η προσετιριστική ιδιότητ : ( c) ( ) c ˆ τότε ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων : Έστω ˆ κι ˆ, ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο των, το βθµωτό µέγεθος : Επίσης είνι : cosφ, όπου φ η γωνί των, δηλ το εσωτερικό γινόµενο είνι ίσο µε το µέτρο του ενός δινύσµτος επί την προβολή του άλλου πάνω σ υτό Άρ τ δινύσµτ, είνι κάθετ ν κι µόνο ν 0 φ Γι έν διάνυσµ ˆ τ συνηµίτον κτεύθυνσης είνι τ συνηµίτον των γωνιών που σχηµτίζει το διάνυσµ µε τους άξονες των συντετγµένων Συνεπώς γι ν υπολογίσουµε τ συνηµίτον κτεύθυνσης ενός δινύσµτος πίρνουµε το εσωτερικό του γινόµενο µε τ µονδιί δινύσµτ ˆ, κι ντίστοιχ Εξωτερικό γινόµενο δινυσµάτων : Αν ˆ κι ˆ εξωτερικό γινόµενο των, κι συµβολίζουµε µε τότε ορίζουµε ως το διάνυσµ : ˆ ( ) ˆ -( ) ( ) Επίσης το εξωτερικό γινόµενο δίνετι κι π τη σχέση : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ( sinφ)n όπου φ είνι η γωνί των, κι n το κάθετο µονδιίο διάνυσµ στο επίπεδο που ορίζουν τ, κι έχει φορά έτσι ώστε το σύστηµ,, n ν είνι δεξιόστροφο n φ 1 ΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΝΑ ΕΛΤΑ ΤΕΛΕΣΤΗΣ LALACE Βθµωτή λέγετι κάθε συνάρτηση (,,) που ντιστοιχεί σε κάθε σηµείο του χώρου (,,) ένς ριθµός (πχ η θερµοκρσί Τ(,,) είνι περίπτωση βθµωτής συνάρτησης) F F, F, F που ντιστοιχεί σε ινυσµτική λέγετι κάθε συνάρτηση ( ) κάθε σηµείο του χώρου (,,) έν διάνυσµ (πχ η τχύτητ είνι περίπτωση δινυσµτικής συνάρτησης ) Ο διφορικός δινυσµτικός τελεστής νάδελτ είνι σε κρτεσινές συντετγµένες : ˆ Αν F(,,) βθµωτή συνάρτηση τότε : gad F ή F ˆ F F F ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom είνι η κλίση της F Αν ( ) ( ) ( ) [ ],,, Q, ˆ,, F δινυσµτική συνάρτηση τότε : είνι η πόκλιση της F κι Q Q ˆ Q ˆ F F ot είνι ο στροβιλισµός ή περιστροφή της F Ως Λπλσινή ορίζουµε τον τελεστή, ο οποίος σε κρτεσινές συντετγµένες γράφετι ως : Άρ η δράση του τελεστή Laplace σε µι βθµωτή συνρτηση (,,) δίνει : ( ) div F ή Q F
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 11 Υπολογίστε τ πρκάτω γινόµεν : i i, i k, k j, j ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( i - 3j k), ( i - j) ( 3i k) 1 ίνοντι τ δινύσµτ Α ˆ 3, B -ˆ Ν βρεθεί το διάνυσµ Α Β κθώς κι το µέτρο Α Β Ν υπολογισθεί η γωνί µετξύ του Α Β κι των µονδιίων δινυσµάτων ˆ, κι Επίσης ν βρεθεί το διάνυσµ C έτσι ώστε ΑΒC O 13 ίνοντι τ δινύσµτ Α 3 ˆ 4-5, B -ˆ 6 Υπολογίστε : (i) το µέτρο κάθε δινύσµτος, (ii) το εσωτερικό γινόµενο Α Β, (iii) τη γωνί µετξύ των δινυσµάτων Α κι Β, (iv) τ διευθύνοντ συνηµίτον κάθε δινύσµτος κι (v) το εξωτερικό γινόµενο Α Β 14 Ν βρεθεί το µονδιίο διάνυσµ κάθετο τόσο στο 4 ˆ 3 όσο κι στο ˆ - 3 15 Αν φ 3 κι Α i - j k, βρείτε τις () φ, () Α, (c) Α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 16 Υπολογίστε το εσωτερικό γινόµενο v w κι το εξωτερικό γινόµενο v w γι τ επόµεν ζεύγη δινυσµάτων : ) v -i j, w k β) v i j - k, w 3i j γ) v -i - j k, w 3i j - k 17 Υπολογίστε το στροβιλισµό F κάθε µις πό τις πρκάτω δινυσµτικές συνρτήσεις ) F (,,) i j k β) F (,,) i j k γ) F (,,) ( ) (3 i 4 j 5 k ) δ) F (,,)3 i ( 3 3 ) j 18 Αν φ - 3, βρείτε τις ) φ κι β) φ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom