ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Φυσική ερμηνεία στατικής συμπύκνωσης. Ποιοτική διερεύνηση των δεικτών στιβαρότητας υπερστοιχείου. Μητρώο στιβαρότητας και δράσεις παγίωσης στοιχείου με ελαστικό κόμβο. Εφαρμογή Ανάλυση επίπεδου ολόσωμου φορέα με διαφορετικές θεωρήσεις Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διαδικασία απαλοιφής ορισμένων συνιστωσών μετακινήσεων των κόμβων φορέα έχει επικρατήσει να ονομάζεται "στατική συμπύκνωση". Στη στατική ανάλυση των κατασκευών, η στατική συμπύκνωση παρέχει σημαντικά υπολογιστικά πλεονεκτήματα, τόσο ως προς τον χρόνο εκτέλεσης της επίλυσης των εξισώσεων ισορροπίας, όσο και ως προς την απαιτούμενη μνήμη του υπολογιστή για την αποθήκευση των παραγόμενων μητρώων. Κατά την επίλυση της συμπυκνωμένης εξίσωσης υπολογίζονται μόνο οι παραμένουσες (condensed) μετακινήσεις, οι οποίες εκφράζουν τους ενεργούς βαθμούς ελευθερίας του συμπυκνωμένου φορέα. Το γεγονός ότι οι παραμένουσες μετακινήσεις του αρχικού και του συμπυκνωμένου φορέα ταυτίζονται σημαίνει ότι οι δύο φορείς είναι ισοδύναμοι ως προς τη στατική τους συμπεριφορά, χωρίς να επέρχεται καμιά τροποποίηση στον συμπυκνωμένο φορέα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ Αρχικός φορέας β.ε. Συμπυκνωμένος φορέας β.ε. υπερστοιχείο Δείκτες στιβαρότητας συμπυκνωμένου φορέα Ε.Ι. Σαπουντζάκης K ci c τα στοιχεία και του αρχικού φορέα θεωρούνται ως ένα υπερστοιχείο του συμπυκνωμένου φορέα. Ως υπερστοιχείο θεωρείται ένα σύνθετο στοιχείο αποτελούμενο από περισσότερα του ενός απλά στοιχεία με ακραίους μόνο ενεργούς βαθμούς ελευθερίας. ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ () () () c,,,,,, T

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα Αρχικός Φορέας Παγιωμένος Φορέας Ισοδύναμος Φορέας = + Το σχήμα παριστάνει τη διαδικασία της αντικατάστασης των ενδιάμεσων φορτίων, μέσω του παγιωμένου φορέα, στα επικόμβια φορτία του ισοδύναμου φορέα. Ο φορέας του σχήματος αποτελείται από τα στοιχεία (,), (,) και (,) και φορτίζεται με τα σημειούμενα εσωτερικά φορτία και τις επικόμβιες δράσεις. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα προς απαλοιφή β.ε.,, παραμένοντες β.ε. c,,,,,, Ο συμπυκνωμένος φορέας αποτελείται από το υπερστοιχείο (,,) και το στοιχείο () (,) και φορτίζεται με τις εσωτερικές δράσεις P,, (λόγω της συμπύκνωσης των () βαθμών ελευθερίας του κόμβου ) και τις επικόμβιες δράσεις P,,. Oι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του συμπυκνωμένου φορέα είναι εκείνοι που αντιστοιχούν μόνο στους () βαθμούς ελευθερίας του κόμβου. Κατά συνέπεια οι δράσεις P,, θεωρούνται εσωτερική φόρτιση, η οποία πρέπει να μεταβιβαστεί στους ενεργούς βαθμούς ελευθερίας και τις στηρίξεις. ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης = υπερστοιχείο + R R,, R R,,,, S,,,, S,, () () () () e T

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα () () P,,,, Επίλυση ως προς απαλοιφή β.ε. () Kee Kec () () Αρχική R,,,,,, (αναδιατ.) () () () () () P,, Kce Kcc,,,, ee P,, ec εξίσωση,, ισορροπίας () () () R,,,,,, () () R,,,, () () Αντικατάσταση () P,, ce ee P,, Kcc Kce ee ec,, (συμπυκνωμένη () () εξίσωση ισοροπίας) R,,,, Συμπυκνωμένη εξίσωση ισοροπίας Pc Kc c () () () R,, S,,,, ο δεύτερος όρος του πρώτου μέλους της σχέσης είναι () () () οι δράσεις παγίωσης του παγιωμένου φορέα, ενώ η P,, S,, c,, διαφορά των δύο όρων του πρώτου μέλους αντιστοιχεί () () () με τις ισοδύναμες δράσεις του ισοδύναμου φορέα. R,, S,,,, Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗΣ Σύγκριση στατικής συμπύκνωσης (ως προς τα επικόμβια φορτία) με την αρχή της επαλληλίας του αρχικού με τον παγιωμένο και τον ισοδύναμο φορέα Κατά συνέπεια οι δράσεις που αντιστοιχούν στους υπό συμπύκνωση βαθμούς ελευθερίας παίζουν τον ρόλο των εσωτερικών δράσεων σε ένα φορέα με ενεργούς βαθμούς ελευθερίας τους παραμένοντες μετά τη στατική συμπύκνωση. Έτσι, οι τελικές δράσεις της στατικής συμπύκνωσης που υπολογίζονται αλγεβρικά από τη παρακάτω σχέση, αντιστοιχούν με την επικόμβια φόρτιση ενός ισοδύναμου φορέα με βαθμούς ελευθερίας τους παραμένοντες μετά τη στατική συμπύκνωση. P P K K P c cc ce ee e Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Το μητρώο στιβαρότητας του υπερστοιχείου μπορεί να προκύψει με τέσσερεις διαφορετικές θεωρήσεις: i. θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο, ii. θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο ή στο στοιχείο, iii. θεώρηση τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας και στα δύο στοιχεία και, iv. εφαρμογή στατικής συμπύκνωσης και θεώρηση ενός υπερστοιχείου (,,). Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

i) ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Δείκτες στιβαρότητας με θεώρηση συνδυασμένου κόμβου Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ii) ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Δείκτες στιβαρότητας με θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

iii) ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ θεώρηση τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας και στα δύο στοιχεία και Δείκτες στιβαρότητας με θεώρηση τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας και στα δύο στοιχεία και Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΣΤΟΙΧΕΙΟΥ iv) θεώρηση ενός υπερστοιχείου (,,) Δείκτες στιβαρότητας με θεώρηση ενός υπερστοιχείου (,,) Το τελικό μητρώο στιβαρότητας του υπερστοιχείου μπορεί να προκύψει είτε από τη στατική συμπύκνωση των τεσσάρων βαθμών ελευθερίας του κόμβου στο μητρώο στιβαρότητας με τον συνδυασμένο κόμβο, είτε από τη στατική συμπύκνωση των βαθμών ελευθερίας, του κόμβου στο μητρώο στιβαρότητας που προκύπτει από τη σύνθεση των τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας των στοιχείων,. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΚΟΜΒΟ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΚΟΜΒΟ Yπολογισμός του μητρώου στιβαρότητας στοιχείου με ελαστικούς κόμβους στα άκρα του με τη διαδικασία της στατικής συμπύκνωσης Αρχική εξίσωση ισορροπίας P k 0 k k k M 0 kc k 0 0 Συμπυκνωμένο μητρώο (α) στιβαρότητας c M k kc k kc k k P k 0 k k k k 0 k k k M k 0 k k k 0 k 0 0 c k (Αρχικός c Kc k kc k k Φορέας) k 0 k k k k kc K K K K K k 0 k k k Ε.Ι. Σαπουντζάκης c cc ce ee ec Αναδιάταξη - Στατική συμπύκνωση β.ε. K K K K cc ce ee (Παγιωμένος Φορέας) k kc k kk kck k kc k kk k kc k kk kck kck kck kck k k k kk k k k k kk k k k kk k k k kk k k k k kk k k k kk k kc c c c c c c c c (Ισοδύναμος ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ Φορέας) ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ec

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΜΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΚΟΜΒΟ Yπολογισμός των δράσεων παγίωσης στοιχείου με ελαστικούς κόμβους στα άκρα του με τη διαδικασία της στατικής συμπύκνωσης Αρχική εξίσωση ισορροπίας P k 0 k k k M 0 kc kc 0 0 M k kc k kc k k P k 0 k k k M k 0 k k k (Αρχικός Φορέας) S c Kce Kee Pe Αναδιάταξη - Στατική συμπύκνωση β.ε. (Παγιωμένος Pe Se Kee Kec Φορέας) e Pcc Kce Kcc c 0 (α) Συμπυκνωμένες δράσεις παγίωσης c S P c k k k k k K K ce k ee c e Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ (Ισοδύναμος

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ EI EI.0.0.0 Εξεταζόμενο πλαίσιο A0.0 0.0m E.0 kn / m Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών 0 Αρίθμηση κόμβων, μελών, καθολικό και τοπικά συστήματα αξόνων, βαθμοί ελευθερίας Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 k EI. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 0 0. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 k EI. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 0 Τοπικά μητρώα στιβαρότητας μελών Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ Μητρώα μετασχηματισμού μελών 0.0 0. 0 0. 0.0 0 0 0 0 PF 0.0 0. 0 0 0. 0.0 0 0 0 Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών I PF j k o, i PF 0 k.0. 0..0. 0... 0... 0. 0. 0. 0.00 0. 0. 0.00 EI.0. 0..0. 0... 0... 0. 0. 0. 0.00 0. 0. 0.00 Ε.Ι. Σαπουντζάκης 0. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 k EI. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 0 ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ Η ανάλυση του επίπεδου ολόσωμου φορέα μπορεί να επιτευχθεί με τέσσερεις διαφορετικές θεωρήσεις: i. θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο, ii. iii. iv. θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο ή στο στοιχείο, θεώρηση τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας και στα δύο στοιχεία και, εφαρμογή στατικής συμπύκνωσης και θεώρηση ενός υπερστοιχείου (,,). Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου Στο εξεταζόμενο πλαίσιο, λόγω της παρουσίας του συνδυασμένου κόμβου, η σύνθεση των υπομητρώων των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των μελών για τον προσδιορισμό του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα καθίσταται δυσχερής και η σύνθεση αυτή θα γίνει στοιχείο στοιχείο. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας στους οποίους αντιστοιχούν τα στοιχεία των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των μελών, το καθολικό μητρώο στιβαρότητας του πλαισίου προκύπτει ως 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο # # # 0 K EI Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου, 0, 0,, 0, 0, 000 0, 0, 000 0, 000 0, 000,, 0,,, 0, 000 0, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0, 0, 00 0, 0, 0, 000 0, 00 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 0, 0,, 0, 000 0,, 0, 000 0, 000,, 0,,, 0, 000 0, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 0 0, 0 0, 0, 0, 00 0, 0, 0, 0, 00 0, 000 0, 0 0, 00 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 00 0, 000 0, 0 0,00 # # # 0 0 Καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης ύ ί ( free ) έ ί (sup ported ) Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Μητρώο 0 0 0 0 0 0 0 0 0 αναδιάταξης 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [V] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K ff K fs T K m V K V K sf K ss

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Αναδιατεταγμένο καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου ( η τροποποίηση) 0 K ff K fs T K m V K V Ksf K ss 0 EI, 0, 0, 0, 000 0,, 0, 0, 000 0, 000 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0, 000, 0 0,, 0, 000 0,, 0,, 0, 000 0, 000,,, 0, 000 0,, 0, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 00 0, 0, 00 0, 000 0, 0 0, 00,,, 0, 000 0,, 0, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0, 0, 0, 000 0, 00 0, 0, 00 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 00 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0,00 0

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών EI.0 EI.0.0 0 Μέλος : α=. o A 0. 0. j F j F j A r j M r k k Ar F k F k M Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών Μέλος : EI.0,kN EI.0 q=0kn/m 00kN.0 00kN,kN 0 j F j F j A r j M Ar k k Ar F k F k M 0 00. 0 00. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Καθολικές ακραίες δράσεις μελών EI.0 EI.0.0 0 Μέλος : α=. o 0.00 0 0. 0.00 0 0. T A r PF Ar Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Καθολικές ακραίες δράσεις μελών EI.0 EI.0.0 0 Μέλος :,kn q=0kn/m 00kN 00kN,kN 0.00 00. 0.00 00.0 T A r PF Ar Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Υπολογισμός δράσεων παγίωσης EI.0 EI.0.0 0 Κόμβος : 0.00 0 0. () j S A r Κόμβος : Κόμβος :. 0 00 0 () k j S Ar Ar 0.00 00. 0 () k S A r Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0 0 0 0 0 0 f m s 0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ - Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Αναδιατεταγμένα μητρώα επικόμβιων δράσεων και μετακινήσεων πλαισίου () () () () () 0.00.0 0 00 0 0 0. 00. nodal f m m m s P P P S R P R R R R 0

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Επίλυση Επικόμβιες μετακινήσεις κατά τους ελεύθερους και επικόμβιες δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους δεσμευμένους β.ε. 0. 0.00.. f. 0 Ps () R 0.00 () R. () R 0.00 () 00.00 R. () R Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση συνδυασμένου κόμβου στον κόμβο Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών πλαισίου Διαγράμματα εντατικών μεγεθών r PF A A k D j F. j F 0 j M 0. 0. k 0 k PF F 0 0 k F. 0 k M 0... A Ar k PF D Μέλος : Μέλος : j F 0 0 0 j F 00. 0 M... 0 0 0 00 0 00. 0. j 0 k k I F k F k M kn -.kn -kn Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0kN 0kN.kN [Q] [Ν] [Μ] -00kN -.kn

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Τα βήματα μέχρι τη μόρφωση των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των μελών του πλαισίου είναι ίδια. 0 Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών k.0. 0..0. 0... 0... 0. 0. 0. 0.00 0. 0. 0.00 EI.0. 0..0. 0... 0... 0. 0. 0. 0.00 0. 0. 0.00 0. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 k EI. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Απαλοιφή καθολικού βαθμού ελευθερίας Κατά τη θεώρηση αυτή, η αντιμετώπιση της εσωτερικής διατμητικής ελευθέρωσης γίνεται με απαλοιφή του καθολικού βαθμού ελευθερίας (μετατόπιση), έτσι ώστε οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του κόμβου να περιοριστούν στους, δηλαδή τους (μετατόπιση), (μετατόπιση) και (στροφή) K K Αναδιατεταγμένη εξίσωση ισορροπίας του μέλους στο καθολικό σύστημα αξόνων ee Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ P P e,,, 0,, 0, P,,0, 0,,0 0, P,,, 0,, 0, EI PccP 0, 0, 0, 0,00 0, 0, 00 P,,0, 0,,0 0, 0, 0, 0, 0, 00 0, 0,00 P K K ec ce cc 0 e c

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Υπολογισμός τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας μέλους, λόγω απαλοιφής του καθολικού βαθμού ελευθερίας Αντικαθιστώντας τα υπομητρώα της 0 προηγούμενης σχέσης στη σχέση το τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας του μέλους προκύπτει ως Η σύνθεση των μητρώων στιβαρότητας των μελών του πλαισίου, όπως και στην πρώτη θεώρηση, θα γίνει στοιχείο στοιχείο K K K K K c cc ce ee ec 0, 0 0 0,0 0, 0 0,0 0 0 0 0 0 k c EI 0,0 0 0, 0,0 0, 0, 0 0 0,0 0, 0 0,0 0,0 0 0, 0,0 0, (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος) Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου # # # 0 0.0 0.000 0.0 0.0 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 # 0.0 0.000 0. 0.0 0.000 0. 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.0. 0.000 0.0. 0.000 0.000 K EI 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.0 0.0 0.0 0.000 0. 0.0 0.0. 0.000 0.0 0.00 # 0.000 0.000 0.000. 0.000 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.0 0.0 # 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.00 0.000 0.0 0.00 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0 0 Καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος)

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης 0 ύ ί ( free ) έ ί (sup ported ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Μητρώο 0 0 0 0 0 0 0 0 αναδιάταξης 0 0 0 0 0 0 0 0 [V] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K ff K fs T K m V K V K sf K ss Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Αναδιατεταγμένο καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου ( η τροποποίηση) K ff K fs T K m V K V Ksf Kss 0 0.0 0.0 0.000 0.0 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.0. 0.000 0.0 0.000 0.0. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0. 0.000 0. 0.000 0.0 0.00 EI 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0. 0.000 0. 0.000 0.000 0.000 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.0 0.00 0.000 0.000 0.000 0.0 0.00 0 (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της πέμπτης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος) Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών EI.0 Μέλος : kn q=0kn/m EI.0.0 kn 0 A 0. 0. j F j F j A r j M r k k Ar F k F k M Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών Μέλος : EI.0,kN EI.0 q=0kn/m 00kN.0 00kN,kN 0 j F j F j A r j M Ar k k Ar F k F k M 0 00. 0 00. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Καθολικές ακραίες δράσεις μελών EI.0 Μέλος : kn q=0kn/m EI.0.0 kn 0 0.00 0 0. 0.00 0 0. T A r PF Ar Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Καθολικές ακραίες δράσεις μελών EI.0 EI.0.0 0 Μέλος :,kn q=0kn/m 00kN 00kN,kN 0.00 00. 0.00 00.0 T A r PF Ar Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Υπολογισμός τροποποιημένου μητρώου καθολικών ακραίων δράσεων μέλους, λόγω απαλοιφής του καθολικού βαθμού ελευθερίας Η προαναφερθείσα απαλοιφή του καθολικού βαθμού ελευθερίας επηρεάζει το καθολικό μητρώο των ακραίων δράσεων του μέλους του πλαισίου. Αναδιατεταγμένο μητρώο καθολικών ακραίων δράσεων μέλους έτσι ώστε να προηγούνται οι μετακινήσεις προς Τροποποιημένο μητρώο απαλοιφή {Δ e } και να έπονται οι καθολικών ακραίων δράσεων παραμένουσες μετακινήσεις {Δ c }. μέλους 0 0 P e j A 0.00 0 r c Ar. 0 c Ar k r A 0 m 0. Pc c c. 0.00 Ar Pcc KceKee P c e 0. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Ανάλυση παγιωμένου φορέα Υπολογισμός δράσεων παγίωσης Κόμβος : 0 () j S Ar 0 c. Κόμβος : 0 00 c. () k j S Ar Ar Κόμβος : 0.00 00. 0 () k S A r Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Οι δράσεις παγίωσης σε κάθε κόμβο του παγιωμένου φορέα του πλαισίου είναι ίσες με το άθροισμα των καθολικών ακραίων δράσεων των άκρων των μελών που καταλήγουν στον κόμβο αυτόν, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στον κόμβο (όπου η άθροιση θα πρέπει να γίνει στοιχείο-στοιχείο) 0

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο Αναδιατεταγμένα 0 0 0 μητρώα επικόμβιων δράσεων και 00 μετακινήσεων. πλαισίου () P f R 0 nodal Pm Pm S () m R () Ps. R 0.00 () R (). R () Ps R () 0.00 R 00 () 00.00 () R. 0 R f (). m R 0 Επίλυση s 0 Επικόμβιες μετακινήσεις. 0 0.00 κατά τους ελεύθερους και 0 f επικόμβιες δράσεις 0. (αντιδράσεις) κατά τους 0. 0 δεσμευμένους β.ε. ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης

Θεώρηση τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας στο στοιχείο προκύπτει η μετατόπιση κατά τον καθολικό β.ε. ως Ακολουθεί ο υπολογισμός των τοπικών ακραίων δράσεων και η χάραξη των διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών των μελών του πλαισίου (ίδια με τα προηγούμενα) 0 ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης 0 Υπολογισμός μετατόπισης κατά τον καθολικό βαθμό ελευθερίας που απαλείφθηκε σε προηγούμενο βήμα Με τη βοήθεια της σχέσης K P K. 0 e e ee e ec c των μετακινήσεων κατά τους β.ε., που υπολογίστηκαν προηγουμένως και των υπομητρώων των σχέσεων που αναφέρθηκαν σε προηγούμενο βήμα K K ee P P e,,, 0,, 0, P,, 0, 0,, 0 0, P,,, 0,, 0, EI PccP 0, 0, 0, 0,00 0, 0, 00 P,, 0, 0,, 0 0, 0, 0, 0, 0, 00 0, 0,00 P K K ec ce cc e c 0 0.00 0 Ar m 0. 0.00 0. P P e cc

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Τα βήματα μέχρι τη μόρφωση των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των μελών του πλαισίου είναι ίδια. 0 Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών k.0. 0..0. 0... 0... 0. 0. 0. 0.00 0. 0. 0.00 EI.0. 0..0. 0... 0... 0. 0. 0. 0.00 0. 0. 0.00 0. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 k EI. 0 0. 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.00 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Απαλοιφή καθολικών βαθμών ελευθερίας, Κατά τη θεώρηση αυτή, η αντιμετώπιση της εσωτερικής διατμητικής ελευθέρωσης γίνεται με απαλοιφή των καθολικών βαθμών ελευθερίας, (μετατοπίσεις), έτσι ώστε οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του κόμβου να περιοριστούν στους, δηλαδή τους (μετατόπιση) και (στροφή) 0 Η απαλοιφή του καθολικού β.ε. έχει περιγραφεί στην προηγούμενη θεώρηση, ενώ για τον β.ε. : K K Αναδιατεταγμένη εξίσωση ισορροπίας του μέλους στο καθολικό σύστημα αξόνων Ε.Ι. Σαπουντζάκης P P e P P PccP P P 0 ee 0 0.0 0.000 0.0 0.000 0.0 0.0 0.000. 0.000. 0.000 0.000 0.0 0.000 0.00 0.000 0.0 0.00 EI 0.000. 0.000. 0.000 0.000 0.0 0.000 0.0 0.000 0.0 0.0 0.0 0.000 0.00 0.000 0.0 0.000 0 Kce Kcc ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ec e c

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ - Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και 0 για το μέλος όπως πριν Υπολογισμός τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας μελών, λόγω απαλοιφής των καθολικών βαθμών ελευθερίας, για το μέλος Η σύνθεση των μητρώων στιβαρότητας των μελών του πλαισίου, μπορεί να γίνει είτε υπομητρώο-υπομητρώο είτε στοιχείο στοιχείο Αντικαθιστώντας τα υπομητρώα της καθολικής σχέσης στιβαρότητας του μέλους στη σχέση 0, 0 0 0,0 0, 0 0,0 0 0 0 0 0 Kc Kcc Kce Kee Kec k c EI 0,0 0 0, 0,0 0, 0 0, 0 0 0,0 0, 0 0,0. 0.000. 0.000 0.000 0,0 0 0, 0,0 0, 0.000 0.00 0.000 0.000 0.00 το τροποποιημένο μητρώο k c EI. 0.000. 0.000 0.000 στιβαρότητας του μέλους 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 προκύπτει ως 0.000 0.00 0.000 0.000 0.00 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου # # # 0 0 0.0 0.000 0.0 0.0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 # 0.0 0.000 0. 0.0 0. 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.0. 0.0. 0.000 0.000 K EI # 0.0 0.000 0. 0.0 0. 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000. 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 # 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.00 0 (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης και έβδομης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος) Καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης 0 ύ ί ( free ) έ ί (sup ported ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Μητρώο αναδιάταξης [V] K ff K fs T K m V K V K sf K ss

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Αναδιατεταγμένο καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου ( η τροποποίηση) K ff K fs T K m V K V Ksf Kss 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0.0 0.0 0.0 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.0. 0.0 0.000 0.0. 0.000 0.000 0.0 0.0 0. 0.000 0. 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 EI 0.0 0.0 0. 0.000 0. 0.000 0.000 0.000 0.000. 0.000 0.000 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0 (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της τέταρτης και έβδομης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος) 0

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Ανάλυση παγιωμένου φορέα Ο υπολογισμός των τοπικών και καθολικών ακραίων δράσεων των μελών,, γίνεται όπως στα προηγούμενα. Ακολουθεί ο υπολογισμός των τροποποιημένων μητρώων καθολικών ακραίων δράσεων των μελών, λόγω απαλοιφής των καθολικών β.ε., για το μέλος, όπως πριν Αναδιατεταγμένο μητρώο καθολικών ακραίων δράσεων μέλους j 0 Ar c Ar. c k 0 Ar c Ε.Ι. Σαπουντζάκης 0. για το μέλος 00 0 Τροποποιημένο μητρώο καθολικών ακραίων δράσεων μέλους 0 ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ P e. j A r. Ar m 0 Pcc c Ar 0 00 c k 00 Ar.0 c. Ar c Pcc KceKee Pe 0 0

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Ανάλυση παγιωμένου φορέα Υπολογισμός δράσεων παγίωσης Κόμβος : 0 0 c. () j S Ar Κόμβος : k j S Ar Ar () 0 c. Κόμβος : 0 00. 0 () k S A r Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Οι δράσεις παγίωσης σε κάθε κόμβο του παγιωμένου φορέα του πλαισίου είναι ίσες με το άθροισμα των καθολικών ακραίων δράσεων των άκρων των μελών που καταλήγουν στον κόμβο αυτόν 0

Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και Αναδιατεταγμένα μητρώα επικόμβιων δράσεων και μετακινήσεων πλαισίου 0 0. () P R 0 f () R P. s () R () R 00 () R. 0 f 0 m s 0 0 0 00 nodal Pm Pm Sm Ε.Ι. Σαπουντζάκης Επίλυση Επικόμβιες μετακινήσεις κατά τους ελεύθερους και επικόμβιες δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους δεσμευμένους β.ε. ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0. f 0.00 0. () R 0.00 () R. () Ps R 0.00 () 00.00 R. () R

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ - Θεώρηση τροποποιημένων μ.σ. και στα δύο στοιχεία και 0.00. 0. προκύπτουν οι μετατοπίσεις κατά τους καθολ. β.ε., ως e 0. Ακολουθεί ο υπολογισμός των τοπικών ακραίων δράσεων και η χάραξη των διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών των μελών του πλαισίου (ίδια με τα προηγούμενα) 0 ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης 0 Υπολογισμός μετατοπίσεων κατά τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας, που απαλείφθηκαν σε προηγούμενο βήμα Με τη βοήθεια της σχέσης K P K e ee e ec c των μετακινήσεων κατά τους β.ε., που υπολογίστηκαν προηγουμένως και των υπομητρώων των σχέσεων που αναφέρθηκαν σε προηγούμενο βήμα K K ee ec P P e,,, 0,, 0, e P,,0, 0,,0 0, P,,, 0,, 0, EI PccP 0, 0, 0, 0,00 0, 0, 00 c P,,0, 0,,0 0, 0, 0, 0, 0, 00 0, 0,00 P ce cc Ar K K 0 0.00 0 m 0. P P e cc K K ee ec 0 P P e 0.0 0.000 0.0 0.000 0.0 0.0 e P 0.000. 0.000. 0.000 0.000 P 0.0 0.000 0.00 0.000 0.0 0.00 00 EI PccP 0.000. 0.000. 0.000 0.000 c 0 P 0.0 0.000 0.0 0.000 0.0 0.0. 0.0 0.000 0.00 0.000 0.0 0.00 P 0 Ar 0 0 m 0 00 Kce Kcc.0 P e Pcc

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Ακολουθούνται τα βήματα της θεώρησης συνδυασμένων κόμβων μέχρι τη μόρφωση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα του πλαισίου. # # # 0 K EI Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου, 0, 0,, 0, 0, 000 0, 0, 000 0, 000 0, 000,, 0,,, 0, 000 0, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0, 0, 00 0, 0, 0, 000 0, 00 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 0, 0,, 0, 000 0,, 0, 000 0, 000,, 0,,, 0, 000 0, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 0 0, 0 0, 0, 0, 00 0, 0, 0, 0, 00 0, 000 0, 0 0, 00 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 000 0, 000 0, 000, 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 0 0, 0 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 0 0, 00 0, 000 0, 0 0,00 # # # 0 0 Καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Μόρφωση αναδιατεταγμένης καθολικής εξίσωσης ισορροπίας πλαισίου Εφαρμόζεται στατική συμπύκνωση των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας, δηλαδή των βαθμών ελευθερίας του κόμβου (). Έτσι, προκειμένου να επιτευχθεί η απαλοιφή των βαθμών ελευθερίας,,, του κόμβου μορφώνεται για το σύνολο του φορέα η αναδιατεταγμένη καθολική εξίσωση ισορροπίας Αναδιατεταγμένη καθολική εξίσωση ισορροπίας του φορέα Ε.Ι. Σαπουντζάκης K K ee ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ec 0 0 P 0.. 0.000 0..0. 0.. 0.000 0.000 P P e.. 0.000 0... 0. 0.000 0.000 0.000 P 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 P 0. 0. 0.0.00 0. 0. 0.00 0.000 0.0 0.00 P.0. 0.000 0..0. 0. 0.000 0.000 0.000 EI P.. 0.000 0... 0. 0.000 0.000 P cc P 0. 0. 0.000 0.00 0. 0. 0.00 0.000 0.000 0.000 P. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 P 0.000 0.000 0.0 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 P 0 0 Kce Kcc e c

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου το συμπυκνωμένο μητρώο στιβαρότητας του φορέα προκύπτει ως 0 K c Υπολογισμός συμπυκνωμένου καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα λόγω συμπύκνωσης των καθολικών βαθμών ελευθερίας,,, Αντικαθιστώντας τα υπομητρώα της προηγούμενης σχέσης στη σχέση K K K K K c cc ce ee ec 0 0.0 0.000 0. 0.0 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0. 0.000 0. 0. 0.000 0.0 EI 0.0 0.000 0. 0.0 0.000 0.0 0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.0 0.0 0.000 0. (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης και πέμπτης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος) Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Τροποποίηση καθολικού συμπυκνωμένου μητρώου στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης 0 ύ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 έ 0 0 0 0 0 ί 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Μητρώο αναδιάταξης [V] δηλαδή το μητρώο αναδιάταξης είναι το μοναδιαίο μητρώο V I και επομένως K ff K fs T K m V K c V K c Ksf K ss Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Αναδιατεταγμένο συμπυκνωμένο καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου ( η τροποποίηση) K ff K fs T K m V K c V K c Ksf K ss 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0.0 0.000 0. 0.0 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0. 0.000 0. 0. 0.000 0.0 EI 0.0 0.000 0. 0.0 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.0 0.0 0.000 0.0 (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της δεύτερης και πέμπτης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος) 0

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Ανάλυση παγιωμένου φορέα Ο υπολογισμός των τοπικών και καθολικών ακραίων δράσεων των μελών,, και η μόρφωση των μητρώων επικόμβιων δράσεων και μετακινήσεων του συνόλου του πλαισίου γίνεται όπως και στη θεώρηση συνδυασμένου κόμβου κατά την πρώτη θεώρηση. Κόμβος : 0.00 0 0. () j S A r Ε.Ι. Σαπουντζάκης Έτσι, ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφηκε στα προηγούμενα, οι δράσεις παγίωσης των κόμβων του φορέα προκύπτουν ως. 0 00 0 () k j S Ar Ar ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ () k S A r Κόμβος : Κόμβος : 0 0.00 00. 0 και επομένως τα αρχικά διανύσματα επικόμβιων δράσεων και μετακινήσεων γράφονται ως

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Ανάλυση παγιωμένου φορέα Ο υπολογισμός των τοπικών και καθολικών ακραίων δράσεων των μελών,, και η μόρφωση των μητρώων επικόμβιων δράσεων και μετακινήσεων του συνόλου του πλαισίου γίνεται όπως και στη θεώρηση συνδυασμένου κόμβου κατά την πρώτη θεώρηση. 0 () R 0 () R 0. 0.00 0 00 0 () R () R 00 () R 0. 0 nodal P P S 0 0 0 0 0 0 Ακολουθεί στατική συμπύκνωση των βαθμών ελευθερίας του κόμβου (αφού προηγηθεί αναδιάταξη) 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Υπολογισμός καθολικών μητρώων ολικών ακραίων δράσεων και μετακινήσεων του υπερστοιχείου -- (λόγω συμπύκνωσης των εσωτερικών καθολικών βαθμών ελευθερίας,,,) P c P cc K ce K ee P e 0 P c. () R 0 () P f R. () P s R. () R 00 () R. 0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0 f 0 c s 0 0 0 0

Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου (τα αναδιατεταγμένα μητρώα ακραίων δράσεων και μετακινήσεων του υπερστοιχείου ταυτίζονται με τα αρχικά) 0 Επίλυση Επικόμβιες μετακινήσεις κατά τους ελεύθερους και επικόμβιες δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους δεσμευμένους β.ε. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ P s. 0 f () R 0.00 () R. () R 0.00 () 00.00 R. () R

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΛΟΣΩΜΟΥ ΦΟΡΕΑ - Στατική συμπύκνωση και θεώρηση ενός υπερστοιχείου Ε.Ι. Σαπουντζάκης 0 Υπολογισμός μετακινήσεων κατά τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας,,, που συμπυκνώθηκαν σε προηγούμενο βήμα Με τη βοήθεια της σχέσης K P K ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ e ee e ec c της μετατόπισης κατά τον β.ε. που υπολογίστηκε προηγουμένως και των υπομητρώων των σχέσεων που αναφέρθηκαν σε προηγούμενο βήμα K K ee P 0.. 0.000 0..0. 0.. 0.000 0.000 P P e.. 0.000 0... 0. 0.000 0.000 0.000 e P 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 P 0. 0. 0.0.00 0. 0. 0.00 0.000 0.0 0.00 P.0. 0.000 0..0. 0. 0.000 0.000 0.000 EI P.. 0.000 0... 0. 0.000 0.000 P cc P 0. 0. 0.000 0.00 0. 0. 0.00 0.000 0.000 0.000 c P. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 P 0.000 0.000 0.0 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 P 0 0 Kce Kcc ec 0 προκύπτουν οι μετατοπίσεις κατά τους καθολ. β.ε.,,, ως Ακολουθεί ο υπολογισμός των τοπικών ακραίων δράσεων και η χάραξη των διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών των μελών του πλαισίου (ίδια με τα προηγούμενα) nodal P P S 0 () R 0 () R 0. 0.00 0 00 0 () R () R 00 () R 0. 0 0.00. e 0.. 0