List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje. Peter Šemrl: LINEARNE PRESLIKAVE RAVNINE IN 2 x 2 MATRIKE

Σχετικά έγγραφα
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Tretja vaja iz matematike 1

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Kotne in krožne funkcije

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

VEKTORJI. Operacije z vektorji

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

Reševanje sistema linearnih

Osnove matematične analize 2016/17

Algebraične strukture

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

Kotni funkciji sinus in kosinus

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Splošno o interpolaciji

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

8. Diskretni LTI sistemi

Osnove elektrotehnike uvod

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

Funkcije več spremenljivk

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Afina in projektivna geometrija

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

1. Trikotniki hitrosti

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

( , 2. kolokvij)

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

1 Fibonaccijeva stevila

Za boljšo komunikacijo s študenti in med študenti se poslužujte Foruma, ki smo ga odprli posebno v ta namen:

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Računalniško vodeni procesi I

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko.

Teorija grafov in topologija poliedrov

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

IZVODI ZADACI (I deo)

1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

Funkcije dveh in več spremenljivk

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-ελληνικά

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

Naloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.

Žiga Virk REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOMETRIJO

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE

Transcript:

Lit za mlade matematike, fizike, atonome in ačunalnikaje ISSN 351-6652 Letnik 32 (24/25) Številka 4 Stani 9 12 Pete Šeml: LINEARNE PRESLIKAVE RAVNINE IN 2 2 MATRIKE Ključne beede: matematika, lineana algeba, matike, elikave avnine. Elektonka vezija: htt://www.eek.i/32/1593-seml.df c 25 Duštvo matematikov, fizikov in atonomov Slovenije c 21 DMFA založništvo Ve avice idžane. Razmnoževanje ali eoducianje celote ali oameznih delov bez oejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.

Lineane elikave avnine in 2 2 matike \ Uvod Ta etavek je namenjen dijakom ednjih šol, ki že oznajo vektoje. Ob eševanju uoabne matematične naloge e bomo eznanili z onovnimi idejami lineane algebe. Denimo, da avnino, oemljeno avokotnim koodinatnim itemom, najej zavtimo okoli izhodišča za kot 3 v ozitivni mei, jo nato avokotno ojiciamo na emico y = 2, otem jo ezcalimo čez imetalo dugega in čettega kvadanta te jo na koncu še zaukamo okoli izhodišča za avi kot v negativni mei. Kje konča točka (,y), ko oavimo ve štii oiane tanfomacije? Zakaj bi loh eševali tako zaletene naloge? Pi ačunalniških igicah je ogoto otebno zaotiati liko na zalonu okoli neke ediščne točke ali a jo ezcaliti eko emice, ki oteka kozi to ediščno točko. Včaih nam koiti tudi ojicianje otoa (ki je na zalonu edtavljen avninko) na kakšno teno (ki je na liki edtavljena z daljico, ta daljica a eveda določa emico). In eveda je ogoto otebno izveti več takih tanfomacij zaoedoma. Kaj e otem zgodi liko na zalonu? Pi ikanju odgovoa na tako vašanje nam omaga, če vemo, kaj e zgodi z vako točko na zalonu. To a omeni, da moamo ešiti nalogo, odobno zgoaj zatavljenemu oblemu. S oodnimi matematičnimi oblemi e ečujejo etavljalci ogamke oeme, namenjene ahitektom, oblikovalcem, odajnim alonom ohištva. 9 Tako kot i vaki zahtevnejši matematični nalogi bomo tudi voj uvodni oblem azbili v manjše, lažje obvladljive naloge. Vašali e bomo, kaj e zgodi oljubno točko (,y) i otaciji avnine okoli izhodišča za kot, kaj e zgodi točko i zcaljenju eko emice, ki oteka kozi izhodišče, in še kam e elika točka (,y) i avokotnem ojicianju na emico kozi izhodišče koodinatnega itema. Pi tem bomo oazili nekatee odobnoti med navedenimi azličnimi oblemi in te odobnoti izkoitili i njihovem eševanju. To na bo ieljalo do onovnih idej lineane algebe. Končali bomo z nekaj oombami o možnih ološitvah na toazežni oto in višje dimenzije. \ Matike V tem oglavju i bomo iavili oodje, ki bo oenotavilo ačunanje i eševanju zatavljenega oblema. Matika je tabela števil. Oglejmo i najej nekaj imeov: 1 1 1 3 1 2 1 1,, 7 3. π 1 2 2 1 1 1 1 Pva matika ima dve vtici in ti tolce, duga štii vtice in štii tolce, zadnja a eno amo vtico in dva tolca. Rečemo, da je velikot ve matike 2 3, dugi matiki ečemo 4 4 matika, zadnji a 1 2 matika. V tem članku bomo večinoma otebovali 2 2 in 2 1 matike. Matika velikoti 2 2 je tabela štiih števil, azoejenih v dve vtici in dva tolca: a 11 a 12 a 21 a 22. Število a ij imenujemo (i, j )-ti člen matike. Pvi indek ove, v katei vtici leži ta člen, dugi a v kateem tolcu. Matika y

je 2 1 matika členoma in y. Taki matiki bomo ekli tudi matični tolec. \ Lineane elikave avnine Naj bo avnina R oemljena avokotnim koodinatnim itemom. Potem vaki točki T v avnini iada uejen a koodinat (,y). V okviu tega etavka bomo nameto običajnega zaia (,y) koodinati točke T vedno iali v matičnem tolcu y. Vekto z začetno točko v izhodišču koodinatnega itema in končno točko T imenujemo kajevni vekto točke T. Koodinati tega vektoja ta y (glej liko 1). Slika 2. T ' ' T T(,y) (2 ) 2 Slika 1. Najej obavnavajmo otacijo avnine za kot okoli koodinatnega izhodišča. Pi tej otaciji e točka T koodinatama y tanfomia v točko T koodinatama ' y'. Ponavadi i avnino edtavljamo kot množico točk. Mi a jo aje obavnavajmo kot množico uteznih kajevnih vektojev. Potem je otacija avnine za kot okoli koodinatnega izhodišča tanfomacija, ki vak kajevni vekto zauka za kot (lika 2). Slika 3. 2 Označimo to otacijo z. Potem išemo = ' ali y = ' y'. Vekto najej odaljšamo faktojem 2 in ga otem zavtimo za kot (lika 3). Dobimo enak ezultat kot v imeu, ko vekto najej zavtimo za kot in ga otem odaljšamo faktojem 2 (lika 4). V vem imeu mo najej vekto tanfomiali v vekto 2 in otem o zauku dobili vekto (2 ). Slika 4. 1

V dugem imeu a mo v vem koaku išli do vektoja in tega otem odaljšali do vektoja 2. Ke mo obakat dobili ito, velja (2 ) = 2. Nameto kalajem 2 bi lahko vekto omnožili kateimkoli ozitivnim kalajem t in z enakim azmilekom ugotovili, da velja (t ) = t( ). (1) Vekto najej nadometimo z naotnim vektojem in otem tega zavtimo za kot (lika 5). dometimo z naotnim vektojem (lika 6). Zato velja ( ) = za vak vekto. Za vak vekto a je e tudi ( )==. S tem mo dognali, da fomula (1) velja za vako ealno število t in vak vekto. V nalednjem koaku a emilimo, kako otacija deluje na voto vektojev +. Vektoja in najej eštejemo in otem njuno voto zavtimo okoli izhodišča za kot (lika 7). ( +) ( ) + Slika 5. Slika 7. + Slika 6. Dobimo enak ezultat kot v imeu, ko vekto najej zavtimo za kot in otem dobljeni vekto na- 11 Slika 8.

Dobimo enak ezultat kot v imeu, ko najej zavtimo vektoja in in otem zavtena vektoja eštejemo (lika 8). Ugotovili mo, da za oljubna vektoja in velja ( + )= +. Tanfomacijo A : R R imenujemo lineana elikava, če za vako ealno število t in vak a vektojev in velja + Z Z A(t )= t(a ) in A( + )=A + A Pavka mo ugotovili, da je otacija za kot okoli izhodišča lineana elikava. Naj bo dana emica, ki oteka kozi izhodišče koodinatnega itema. Označimo z Z tanfomacijo avnine, ki vako točko ezcali eko emice. Slika 9 in lika 1 na eičata, da je tudi Z : R R lineana elikava. Slika 1. t Z +Z =Z (+) P tp =P (+ ) t Z tz =Z (t) Slika 11. Slika 9. In končno naj bo P : R R tanfomacija, ki vako točko avnine avokotno ojicia na emico. Tudi to je lineana tanfomacija avnine (lika 11 in lika 12). + P +P =P (+ ) Pete Šeml 12 Slika 12.