ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων. Ας θεωρήσουμε έναν αριθμό χ, ο οποίος περιέχεται στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης. Λέγοντας παράγωγο της στο χ εννοούμε έναν αριθμό ο οποίος εξαρτάται: (α) από τον τύπο της και (β) από το συγκεκριμένο αριθμό χ (δηλαδή, για την ίδια συνάρτηση, οι παράγωγοι σε διαφορετικούς αριθμούς, δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα). Ορισμός Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο χ όταν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) lim. Στην περίπτωση αυτή, το παραπάνω όριο συμβολίζεται με () και λέγεται παράγωγος της ( + ) ( ) στο χ, δηλαδή () lim. Παράδειγμα () Θεωρούμε τη συνάρτηση (). Η ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό χ. Επιλέγουμε το χ και υπολογίζουμε διαδοχικά τα: ( ) () ( + ) (+ ) (+ ) + + + + ( + ) ( ) ( + ) () ( + + ) + ( + ) + ( + ) () οπότε το όριο γίνεται: () lim lim( + ) + Παρατηρήσεις Όταν δοθεί ο τύπος της συνάρτησης και επιλεγεί ένας αριθμός χ, υπολογίζουμε την παράγωγο () για ευκολία, υπολογίζοντας διαδοχικά: Τις τιμές (), ( +) από τον τύπο της ( + ) ( ) Το κλάσμα, το οποίο απλοποιούμε πάντα, με κοινό παράγοντα το Το όριο ( + ) ( ) lim, δηλαδή το (), στο οποίο μεταβλητή (που τείνει στο ) είναι το, και όχι το χ (όπως έχουμε συνηθίσει στα όρια) Μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο χ, όταν δεν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( + ) ( ) lim lim. Δηλαδή, όταν τα πλευρικά όρια δεν συμπίπτουν ( + ) ( ) lim + Αυτό μπορεί να συμβεί σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου.

6 Παράδειγμα (),... < Για τη συνάρτηση () στο χ, έχουμε:,... () (+ ) () ( ) ( ) ( ) + ( + ) () ( ) + Για <: () - άρα lim lim lim, ενώ ( + ) () ( ) + Για >: () - άρα lim lim + + lim lim + + ( + ) () Επειδή τα πλευρικά όρια προέκυψαν διαφορετικά, το όριο lim δεν υπάρχει, οπότε η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η παραγωγισιμότητα, όπως η συνέχεια, είναι μια ιδιότητα που μπορεί να έχει μια συνάρτηση σε ορισμένα σημεία του πεδίου ορισμού της. Τι γίνεται όμως, όταν θέλουμε να μελετήσουμε την παραγωγισιμότητα σε οποιοδήποτε σημείο χ του πεδίου ορισμού της; Ορισμός Για μια συνάρτηση : ( a, b) R ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση ( ) : ( a, b) R, αν και μόνο αν η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ του πεδίου ορισμού της ( a, b). Για μια συνάρτηση :[ a, b] R ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση :[ a, b] R, αν και ( b+ ) ( b) lim και είναι πραγματι- μόνο αν: Η είναι παραγωγίσιμη για κάθε χ є ( a, b) ( a+ ) ( a) Υπάρχουν τα πλευρικά όρια lim, κοί αριθμοί +

7 Παράδειγμα () Να μελετηθεί αν η συνάρτηση : R R με τύπο ( ) + είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Λυση Έχουμε: ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + + + + + + + ( + ) + ( + ) ( ) Επομένως, () lim lim ( + ) χ. Η νέα αυτή συνάρτηση που ορίζεται, ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση της. Παράδειγμα () Να εξεταστεί αν για τη συνάρτηση :[, ] R με τύπο συνάρτηση και να βρεθεί ο τύπος της + ( ) ορίζεται η παράγωγος Έστω τυχαίο σημείο (, ). Τότε είναι ( + ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) Και lim ( ) Στη συνέχεια, εργαζόμαστε ανάλογα για χ (με χ>) και χ (με χ<), οπότε προκύπτει: ( + ) ( ) ( + ) ( ) lim R και lim R. + 9 ( ) ( ) Συνεπώς, ορίζεται η η παράγωγος συνάρτηση στο [,]. Επειδή για τυχαίο (,) είναι ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) και τα όρια lim + η είναι παραγωγίσιμη για κάθε [, ], lim με παράγωγο συνάρτηση ( ). είναι πραγματικοί αριθμοί, ( ).

8 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αποδεικνύεται εύκολα, με τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου, ότι οι παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων είναι οι ακόλουθοι: Συνάρτηση c (σταθερά) χ, χ, χ> Παράγωγος χ α, α αχ α- ημχ συνχ συνχ -ημχ e ln, > e Παράδειγμα () Να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση για τις παρακάτω συναρτήσεις: a. ( ) d. ( ) Λυση Έχουμε: b. ( ) c. ( ) a. Η συνάρτηση ( ) e. ( ). ( ) ln είναι της μορφής χ α για α, που είναι φυσικός αριθμός, άρα η είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο συνάρτηση ( ) ( ) είναι της μορφής χ α για α-, που είναι φυσικός αριθ- b. Η συνάρτηση ( ) μός, άρα η είναι παραγωγίσιμη στο * R με παράγωγο συνάρτηση 6 ( ) 6 6 ( )

9 c. Η συνάρτηση ( ) είναι της μορφής χ α για a, που είναι φυσικός αριθμός, άρα η είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο συνάρτηση ( ) ( ) ( ) d. Η συνάρτηση ( ) είναι της μορφής χ α για a, που είναι φυσικός α- ριθμός, άρα η είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο συνάρτηση ( ) ( ) ( ) e. Η συνάρτηση ( ) είναι της μορφής χ α για a, που είναι φυσικός αριθμός, άρα η είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο συνάρτηση ( ) ( ) ( ). Η συνάρτηση ( ) ln είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με παράγωγο συνάρτηση ( ) ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Σε περίπτωση που θέλουμε να βρούμε την παράγωγο συνάρτησης που προκύπτει από πράξεις μεταξύ των συναρτήσεων, ακολουθούμε τους κανόνες παραγώγισης: ( ± g)( ) ( ) ± g ( ) ( c ) ( ) c ( ) ( g)( ) ( ) g( ) + ( ) g ( ) ( ) g( ) ( ) g ( ) ( ), g( ) g g ( ) Παράδειγμα (6) Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: a. ( ) ηµχ + χ, χ > b. ( ) συνχ ( ) ln c. ( ) d. ( ) +

Λυση Έχουμε: a. Οι συναρτήσεις ημχ και είναι παραγωγίσιμες στο (, + ), άρα και η συνάρτηση ( ) ηµχ + χ είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρ- τήσεων με ( ) ( ) ( ) ( ) ηµχ + χ ηµχ + χ συνχ + b. Η συνάρτηση συνχ είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και η συνάρτηση συνχ είναι πα- ραγωγίσιμη στο R με ( ) ( ) ( ) ( ) συνχ συνχ ηµχ ηµχ c. Οι συναρτήσεις (χ -χ) και ln είναι παραγωγίσιμες στο (, + ) και η παράγωγος συνάρ- τηση είναι η ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) ( ln ) + ( ) ln + ln + ln + ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d. Οι συναρτήσεις χ - και χ + (με + για κάθε R) είναι παραγωγίσιμες στο R, άρα και η συνάρτηση ( ) είναι παραγωγίσιμη στο R και η παράγωγος συνάρτηση είναι + η ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) χ ( ) ( ) ( + ) + ( ) + + + + 8 ( + ) ( + )

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρούμε δυο συναρτήσεις () και g(). Αν στον τύπο της () θέσουμε όπου χ το g(), προκύπτει μια νέα συνάρτηση y(g()) που λέγεται σύνθεση της g με την. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y ηµ (χ 7) είναι σύνθεση της y 7 με την y ηµχ. Η σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση για την ( g( )) ( g( )) g ( ). οποία ισχύει ( ) Άμεσες συνέπειες του τύπου αυτού είναι οι εξής: ηµ g( ) συν g( ) g ( ). ( ) Για παράδειγμα ( ) ( ) συν g( ) ηµ g( ) g ( ). ( ) ηµ χ συν χ χ συν χ ηµ χ συν χ ηµ χ χ ηµ χ χ χ εφ g( ) g ( ) συν g( ) Για παράδειγμα ( ) ( ). ( ) χ χ Για παράδειγμα εφ χ χ χ συν συν συν σφ g( ) g ( ) ηµ g( ). ( ) Για παράδειγμα χ ( σφ( χ + ) ) ( χ + ) χ ηµ ( χ + ) ηµ ( χ + ) ηµ ( χ + ) g( ) g ( ) g( ) Για παράδειγμα ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) g ( ) e e g ( ) g 6. ( ) Για παράδειγμα ( ) ( ) ( ) ln g( ) g ( ) g( ) 7. ( ) e e e 8 8 e Για παράδειγμα + ( ln( + + ) ) ( + + ) (+ ) + + + + + + ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΟρισμόςΑν μια συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιμη στο Α και η παράγωγος συνάρτηση : A R είναι και αυτή παραγωγίσιμη στο Α, τότε ορίζεται η δεύτερη παράγωγος : A R της συνάρτησης ώστε ( ) ( ( ))

Ανάλογα ορίζονται και μεγαλύτερης τάξης παράγωγοι, τις οποίες συμβολίζουμε () () ( ), ( )... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΥΘΕΙΑΣ Όπως ξέρουμε η εξίσωσηy λ+ β παρι- στάνει ευθεία γραμμή. Ο συντελεστής λ ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ή αλλιώς κλίση της ευθείας. Συντελεστής διεύθυνσης (λ) (καθαρός αριθμός) μιας ευθείας ε ονομάζεται η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα, όταν αυτός στραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από ένα σημείο, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε. λ εφω Για τη γωνία ω ισχύει ω < 8 ή ω < π Αν ω τότεεφω τότε λ τότεε// ( ήε yy ) Ανω < 9 τότεεφω > τότε λ > Ανω > 9 τότεεφω < τότε λ < ΠΡΟΣΟΧΗ ανω 9 στον. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ λ > β τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης και η ευθεία ε είναι κάθετη λ < β λ β y άξονας λ > β > λ < β > λ > β < λ < β < λ β > y β λ β < y β δεν υπάρχει συντελεστής διεύθυνσης

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγισιμη χ A τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της καμπύλης της στο σημείο A( χ, ( χ )) (σημείο επαφής ) είναι ίσος με ( χ ). y ( χ) ε ( ) A(, ) o o ω Ο o Αν η ευθεία ε : y πρέπει να θυμόμαστε : λ ( χ ) εϕω ( χ ) ε / / ( χ ) ( χ ) aχ + β λχ + β είναι εφαπτομένη της καμπύλης της στο σημείο χ τότε Παρατηρήσεις Οι τετμημένες των σημείων της καμπύλης της που οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα χχ είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( χ ) παράλληλες στην ευθεία : η : y κχ + λ είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( χ) κ Αν ( χ) η εξίσωση ( χ ) είναι αδύνατη, τότε δεν υπάρχουν σημεία της καμπύλης της ώστε οι εφαπτόμενες σε αυτά να είναι παράλληλες στον άξονα χχ Έστω δύο ευθείες στη μορφή ( ε ) :y λ+ β ( ε ):y λ + β

Ισχύει: ε //ε λ λ. Δύο ευθείες με ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλες. ε ε λ λ. Δύο ευθείες με αντιθετοαντίστροφους συντελεστές διεύθυνσης ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο Α (,( )) είναι η ( ) Α. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑ- ΦΗΣ (, ) το γνωστό σημείο επαφής, η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση της μορ- Αν είναι Α o ( o ) φής y λ+β ( ) Υπολογίζω το ( o ) και το ( ο) Η παράμετρος α είναι το ( ο ), λ ( ο ) Το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη οπότε οι συντεταγμένες την επαληθεύουν, έτσι βρίσκω την παράμετρο β Αντικαθιστώ τα λ και β στην () και βρίσκω την ζητούμενη εξίσωση Παρατήρηση: Αν γνωρίζω το σημείο επαφής τότε αντικαθιστώ στην εξίσωση της εφαπτομένης: y ( ) ( ) ( ) o o o Έστω ότι το σημείο επαφής έχει συντεταγμένες της μορφής Α ( ) Β. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ (, ) αναζητώ την τιμή ή τις τιμές του o από τα δεδομένα της άσκησης σε ασκήσεις που είναι γνωστή η γωνία ω που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον χρησιμοποιώ τη σχέση ( o ) εφω και υπολογίζω το o σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον χρησιμοποιώ τη σχέση ( ) και υπολογίζω το o σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε κάποια άλλη ευθεία (ε) χρησιμοποιώ τη σχέση ( o ) λ ε και υπολογίζω το o σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη σε κάποια άλλη ευθεία (ε) χρησιμοποιώ τη σχέση ( o ) λ ε και υπολογίζω το o σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ από γνωστό σημείο γράφω την εξίσωση της εφαπτομένης και οι συντεταγμένες του σημείου την επαληθεύουν, έτσι δημιουργείται εξίσωση με άγνωστο το o σε κάθε άλλη περίπτωση προσπαθώ από τα δεδομένα να δημιουργήσω εξίσωση με άγνωστο το o η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση της μορφής y λ+β ( ) Υπολογίζω το ( ) και το ( ) o Η παράμετρος λ είναι το ( ο ), λ ( ο ) ο Το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη οπότε οι συντεταγμένες την επαληθεύουν, έτσι βρίσκω την παράμετρο β Αντικαθιστώ τα α και β στην () και βρίσκω την ζητούμενη εξίσωση ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΤΟΝ ΟΡΟ ( ) o o o o o o (ΑΡΙΘΜΟΣ) ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΟ ( ) (ΣΥ- ΝΑΡΤΗΣΗ) Γ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΏΣΤΕ ΜΙΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙΑ ΝΑ ΕΊΝΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΜΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Φέρνω την ευθεία στην μορφή y α+β Φέρνω την εφαπτομένη στη μορφή y α+β

α α Απαιτώ να συμπίπτουν :. β β Λύνω το σύστημα και υπολογίζω τις παραμέτρους Για να έχουν δυο καμπύλες κοινή εφαπτομένη θα πρέπει να έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης και ένα κοινό σημείο. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) (βασική άσκηση)δίνεται η συνάρτηση ( ) +.Να βρεθεί : i) ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C στο τυχαίο σημείο Α( A(, ( )). ii) την εφαπτομένη της της γραφικής παράστασης της : π α) που σχηματίζει με τον άξονα χχ γωνία ϕ. β)που είναι παράλληλη στον χχ. γ)που είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y +. δ) που είναι κάθετη στην ευθεία η : y χ + 97. ε)που διέρχεται από το σημείο Μ(-,-). Λύση i) Έστω λ ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης.είναι: λ ( ) o ii) Έστω A(, ( )) το σημείο επαφής. α) πρέπει : π λ εϕϕ ( ) εϕ o o Οπότε ( ) () +.Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η εξής : y () ()( ) y ( ) y β)πρέπει: λ ( ) o o 9 Επειδή ( ) ( ) + 6 8 Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : y ( ) ( )( ) y ( ) ( ) y ( ) 8 8 γ) Πρέπει: λ λ ε ( ) Οπότε ( ) () + Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η εξής : y ( ) ( )( ) y () ()( ) y ( ) y 7 δ) Πρέπει:

6 λ λ η ( ) ( ) οπότε ( ) ( ) + Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η εξής : y ( ) ( )( ) y ( ) y + ε)η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y ( ) ( )( ) y ( + ) ( )( ) () Όμως η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ(-,-), οπότε η σχέση () επαληθεύεται για χ - και y-.έτσι: ( + ) ( )( ) + 8 (, ) Για προκύπτει ( ) () και ( ) (), οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y () ()( ) y ( ) y 7 Για προκύπτει ( ) ( ) και ( ) ( ) 9, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y ( ) ( )( + ) y 9. )Έστω ( ) και τυχαίο σημείο Α(χo,(o)) της γραφικής παράστασης i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της C στο Α. C της. ii) Να βρεθεί το o, αν η εφαπτόμενη του ερωτήματος (i) διέρχεται από το σημείο Β(,6). Λύση i) Η εφαπτόμενη ε : y ( o ) + β δηλαδή y o + β.επειδή η εφαπτόμενη διέρχεται από το σημείο Α((χo,(o)) τότε έχουμε : ( ) + β β χο χο β χο o o o Άρα ε : y o o ii)από το ερώτημα (i) βρίσκουμε : ε 6 χο χο χο 8χο + 6 χο χο + B(,6) χ, ή, χ ο ο )Έστω η συνάρτηση ( ) 9 + +.Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης C της στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα χ χ. Λυση Πρέπει ( ), δηλαδή :6 9 + + χ χ + χ, ήχ Άρα τα σημεία είναι Α(,()) και B(,()),δηλαδή Α(,) και Β(,9).

7 ) Αν ( ) + χ 6χ,να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης C της σχηματίζει με τον άξονα αμβλεια γωνία. Λυση Αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ο ) < για κάθε ο R, διότι τότε για την γωνια ω που σχηματίζει η εφαπτόμενη της C στο Μ(χo,(o)) με τον άξονα χ χ θα ισχύει : εφω ( ) < π με < ω < π δηλαδή ω αμβλεία. Πράγματι έχουμε έχει διακρινούσα χ + χ < για κάθε R, αφού το τριώνυμο + ( ) 6 ( )( 6) 6 < και αρνητικό συντελεστή - του )Δίνεται η συνάρτηση με ( ) χ + χ R. Να βρείτε: i) Την ( ) χ. χ χ 6 ii) Την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της, που σχηματίζει με τον άξονα γωνία. Λυση i)έχουμε ( ) ( χ + χ ) ( χ ) + ( χ) () χ + ii) Υποθέτουμε ότι ε : y λχ + β είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της στο σημείο (χ, ()). Τότε: λ () (). Αλλά λ εφ λ εφ(8 - ) λ -εφ λ - και ( ) χο + οπότε η () γράφεται: χο + χο + χο + χο. Είναι ( ) χ + χ () + () ο ο ο Αφού λ -, η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται ε : y χ + β. Επειδή το σημείο (, ()) (, ) ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της. Έ- χουμε λοιπόν: + β + β β Επομένως η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι: ε : y χ + 6)Δίνεται η συνάρτηση με ( ) χ + χ + χ + R i) Την ( ) ii) Τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ αυτήν, είναι παράλληλες στον άξονα χχ. Λυση i) Έχουμε: ( ) ( χ + χ + χ + ) ( χ ) + ( χ ) + () χ + ( χ) + χ + χ + ii) Υποθέτουμε ότι τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ αυτήν, είναι παράλληλες στον άξονα χχ, έχουν συντεταγμένες της μορφής (, (Q)). Αφού οι εφαπτόμενες αυτές είναι παράλληλες στον χχ, θα χουν συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν. Δηλαδή θα ισχύει: ( ) χ + χ + Δ - 6 - > Ο Οπότε: + χο χο ή χο χο

8 Ότανχ ο τότε ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) Όταν χ - τότε ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( 7) + 9 9+ ( ) Επομένως τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ αυτήν είναι παράλληλες στον άξονα χχ, είναι τα Α(-,-) και Β(-,) 8)Δίνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης (χ) αχ εφάπτεται στην ευθεία y 8χ - 6 στο σημείο Α(, ( ). Να βρεθεί το α και το. Απάντηση Από την υπόθεση έχουμε: a 8 6 και ( ) 8 δηλαδή a 8 6..() 6 a 8 a..() τις σχέσεις () και () έχουμε: 6 8 6 6 8 6 Και από τη σχέση () βρίσκουμε α 6. 9) (Θέμα πανελλήνιων ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) +, R. Να υπολογίσετε το lim ()-. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της με τετμημένη. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα Λυση.

9 () - - + - - - + - lim lim lim - - - - + - - + - - + + lim lim - ( - ) - + + ( - + - ) ( - ) lim lim ( - ) - + + ( - ) - + + ( - ) lim lim ( - ) - + + - + + - + +.Η παράγωγος της συνάρτησης ( ) +, R είναι: ( ) ( ) ( ) + + ( + ), R + + Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της με τετμημένη είναι: ( ) +.Αφού ο συντελεστής διεύθυνσης της παραπάνω εφαπτομένης είναι ίσος με - θα πρέπει η γωνία που σχηματίζει αυτή με τον άξονα να είναι ίση με ο, αφού εφ- ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η εύρεση της μονοτονίας και των ακροτάτων μιας συνάρτησης συνδέεται με την παράγωγο με το ακόλουθο θεώρημα: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Έστω η συνάρτηση :(α, β) R η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν ()> για κάθε χ (α,β), τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) Αν ()< για κάθε χ (α,β), τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β) Αν () για κάθε χ (α,β), τότε η είναι σταθερή στο (α,β) Αν ()> για κάθε χ (α,χ), και ()< για κάθε χ (χ,β), τότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ Αν ()< για κάθε χ (α,χ), και ()> για κάθε χ (χ,β), τότε η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

6 Αν A είναι ένα κρίσιμο σημείο της, τότε το () είναι: τοπικό μέγιστο της όταν (, β ) Α τοπικό ελάχιστο της όταν ( ) > σε διάστημα a (, ) ( ) < σε διάστημα a (, ) A και A και ( ) < σε διάστημα ( ) > σε διάστημα (, β ) Α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ- ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία και τα ακρότατα συνάρτησης ακολουθούμε τα βήματα:. Υπολογίζουμε την παράγωγο (). Προσέχουμε μήπως ()> ή ()< για κάθε χ, οπότε προκύπτει η μονοτονία της συνάρτησης άμεσα. Σε διαφορετική περίπτωση λύνουμε την εξίσωση (), οπότε βρίσκουμε τις λύσεις της. Κατασκευάζουμε πίνακα με τις λύσεις της () και τα άκρα των διαστημάτων που φτιάχνουν το πεδίο ορισμού της. Συμπληρώνουμε τα πρόσημα της (). Η μονοτονία της συμπληρώνεται στην τελευταία γραμμή, σύμφωνα με το κριτήριο της ης παραγώγου. Από τη μονοτονία προκύπτουν και τα τοπικά ακρότατα (αν υπάρχουν) Παράδειγμα Να μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) + ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Η είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) ( ) + + Λύνουμε την εξίσωση ( ) + Ο πίνακας μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης είναι: + () + - () ր ց τ.μ Από τον πίνακα, φαίνεται ότι η είναι γν. αύξουσα στο διάστημα (,] και γν. φθίνουσα στο διάστημα [, + ). Επιπλέον, παρουσιάζει τοπ. μέγιστο στο χ, το () + + 8 Η συνάρτηση έχει, επομένως, μέγιστη τιμή το (). ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT Αν παρατηρήσουμε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζονται τα ακρότατα, βλέπουμε ότι ισχύει: (). Συγκεκριμένα, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα Θεώρημα Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο χ του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε (). Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων Για μια συνεχή συνάρτηση, ως πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μπορούν να θεωρηθούν:

6 Τα άκρα των διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού της Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος. Τα σημεία αυτά λέγονται γωνιακά σημεία της Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία υπάρχει η παράγωγος και είναι ίση με μηδέν. Τα σημεία αυτά λέγονται στάσιμα σημεία της Τα γωνιακά και τα στάσιμα σημεία της λέγονται κρίσιμα σημεία Παράδειγμα () Δίνεται η συνάρτηση ( ) + a+ β. Να βρεθούν οι τιμές των a, β R αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση έχει στο χ τοπικό ελάχιστο ίσο με 8. Λυση Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο R και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο (ελάχιστο) στο χ,. σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει ( ) ( ) + a+ β χ + α, οπότε Είναι ( ) () + a 6+ a a 6 Επιπλέον, στο χ το τοπικό ελάχιστο είναι ίσο με 8, επομένως: 8 + 6 + β 8 9 8+ β 8 β 9 8 β 8+ 9 β 7 ( ) ( ) Τελικά α-6 και β7. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Το κριτήριο αυτό χρησιμοποιείται για συναρτήσεις που είναι τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσιμες και δεν είναι εύκολο να προσδιορίσουμε το είδος των τοπικών ακροτάτων από το προηγούμενο κριτήριο Κριτήριο της ης παραγώγου Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση : (α, β) R και χ ένα στάσιμο σημείο της. Αν η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο χ, τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ όταν ()<, ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ όταν ()> Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΩΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Αν δυο μεταβλητά μεγέθη και y συνδέονται με τον τύπο y ( ), όπου είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο, τότε η παράγωγος ( ) λέγεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς στο σημείο χ. Στιγμιαία ταχύτητα Θεωρούμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα χ χ και έστω S(t) η συνάρτηση θέσης του κινητού, δηλ. η συνάρτηση που δίνει τη θέση του κινητού κάθε χρονική στιγμή. Ως στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης τη χρονική S( t + ) S( t) στιγμή t, δηλαδή: υ( t) S ( t) lim Ως επιτάχυνση ορίζεται ο ρυθμός μεταβολής (αύξησης ή ελάττωσης) της ταχύτητας του υ( t + ) υ( t) κινητού, δηλαδή: a( t) S ( t) υ ( t) lim

6 Παράδειγμα () Το διάστημα S (σε μέτρα) που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t sec δίνεται από τον τύπο: S( t) t t + t +, t 6. Ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης S(t) δηλ. η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού είναι υ( t) S ( t) t t + t + t t + και τη χρονική στιγμή tsec είναι υ () + m sec Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ( t), δηλ. η επιτάχυνση του κινητού είναι: ( ) a( t) υ ( t) t t + t και τη χρονική στιγμή tsec είναι a( t ) Κόστος Παραγωγής Κατά την παραγωγή χ μονάδων ενός προϊόντος, το κόστος παραγωγής Κ, η τιμή πώλησης Ε και το κέρδος ΤΕ-Κ εκφράζονται ως συνάρτηση του χ. Σε μια μεταβολή μονάδων προϊόντος, το πηλίκο εκφράζει το μέσο κόστος ενώ το lim είναι το οριακό κό- K( ) K ( + ) K( ) στος στο χ. Επομένως, το οριακό κόστος στο χ είναι η παράγωγος Κ (χ), δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης Κ(χ) στο σημείο χ. Παράδειγμα () Κατά την παραγωγή χ μονάδων ενός προϊόντος, το κόστος παραγωγής Κ(χ) και η τιμή πώλησης Π(χ) είναι αντίστοιχα K( ) 8+ + και Π ( χ) χ. Η συνάρτηση κέρδους είναι η T ( ) ( ) K( ) Π 8+ + 8 + ενώ ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι T ( ) + 8 + ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ )Δίνεται η συνάρτηση Λύση ( ) + +. Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο o Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν, + < < τότε ( ) + +, οπότε η γράφεται: ( ) ( ) + +, ()

6 Αν +, τότε + +, οπότε η γράφεται: ( ) ( ) + + + +, () Από τις σχέσεις () και () έχουμε ότι ( ) <, + +, Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν < είναι < και + + + lim lim 9 9 lim lim 9 9 lim () Αν > είναι > και + + + + + + + lim + lim + + + lim lim + + lim + + () Από τις σχέσεις () και (), έχουμε ότι + + lim lim +. Επομένως, η δεν είναι παραγωγίσιμη στο )Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ- a β +,... ( ) ( a ) + β,... χ > να Λύση Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο χ-, θα είναι και συνεχής στο χ-. Είναι

6 ( β ) lim ( ) lim a + a β lim ( ) lim ( a ) + β a + β + ( ) a β Η είναι συνεχής στο χ- όταν lim ( ) lim ( ) ( ) a β a + β β α () + Επίσης: Για χ<- είναι <, οπότε ( + ) ( ) a( ) ( ) lim lim + β + α β + a lim a () Για χ>- είναι >, οπότε ( + ) ( ) ( a )( + ) + β α ( ) β + lim lim + + ( α )( + ) + β + α lim+ {από τη σχέση ()} ( a )( + ) + ( a) + a lim+ ( a ) ( ) lim ( a )( ) ( a) + Η είναι παραγωγίσιμη στο χ- όταν ( + ) ( ) lim ( + ) ( ) lim a ( a) a + Για a, από την () έχουμε ότι β 6 )Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει (). ( ) lim, να αποδείξετε ότι Λύση Αν θέσουμε [ g ] ( ) g( ) τότε έχουμε ( ) g( ) και lim ( ) lim ( ). Η, ως παραγωγίσιμη συνάρτηση, είναι και συνεχής στο χ, και επομένως () lim ( ). Έτσι, έχουμε: ( ) () ( ) () lim lim. )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ηµχ

6 ii) ( ) + iii) ( ) ηµχ συνχ ηµ χ iv) ( ) ( )( ) + 8 + 6 v)( ( ) + + + ηµ ( π χ) Λύση i. Είναι ηµχ ηµχ ln χ ηµχ ln ( ) χ e e και επομένως ηµχ ( ηµχ ηµχ ) ( ηµχ ) χ ηµχ ηµχ συνχ ln + ηµχ χ συνχ ln + χ χ ln ln ( ) e e ln ii. Είναι ln + ln + ( ) + e e και έχουμε ln ln ( ) + e + e ln + + ln + + + + + ln + + + ln + + + + + ln + + + iii. Είναι + ln + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ηµχ συνχ ηµ χ ηµχ συνχ ηµ χ ( ( )) ( ) ( ) συνχ συνχ + ηµχ ηµχ συν χ χ συν χ ηµ χ συν χ συν χ συν χ συν χ {γιατί συν χ ηµ χ συν χ} iv. Είναι ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + 8 + + 8 + + + 8 + ( )( + ) + + ( )( ) ( 8) + + + 8

66 v. Είναι + 6+ ( ) + 6+ ( ) + ηµ π χ ( + 6+ ) ln + συν ( π χ) ( π χ) 6 ( ) συν ( π χ) + + + 6 ln )Αν ( ) ae e + β (α,β σταθεροί αριθμοί), να αποδείξετε ότι ( ) + ( ) + ( ) Λύση Έχουμε: ( ) ( ae βe ) ( ae ) ( βe ) ae ( ) βe ( ) + + + ( ) β ( ) ae + e ae βe ( ) ( ae βe ) ( ae ) ( βe ) ae ( ) βe ( ) ( ) β ( ) ae e ae + βe Άρα έχουμε: ( β ) ( β ) ( β ) ( ) + ( ) + ( ) ae + e + ae e + ae + e ( ) ( β β β ) ae ae + ae + e 6 e + e e + e 6)(βασική άσκηση)να μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) 6 + 9 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Λύση Η είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 + 9 + 9 + Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης είναι: + () + - + () ր ց ր τ.μ τ.ε Από τον πίνακα, φαίνεται ότι η είναι γν. αύξουσα στα διαστήματα (,] [, + ) και γν. φθίνουσα στο διάστημα [,]. Επιπλέον, παρουσιάζει τοπ. μέγιστο στο χ, το () 6 + 9 6+ 9 και τοπ, ελάχιστο στο χ, το () 6 + 9 7 + 7 7)Δίνεται η συνάρτηση ( ). + i. Υπολογίστε την παράγωγο ( ) και τους αριθμούς ii. Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (), ( )

67 iii. Αποδείξτε ότι για κάθε χ + Λύση i. Έχουμε: ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) + + ( +. ) + Και ( ) () ενώ ( + ) ii. Λύνουμε την εξίσωση Επειδή ( ) ( ) [( ) + ] ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) + > για κάθε χ, το πρόσημο της () εξαρτάται μόνο από το πρόσημο του αριθμητή, δηλαδή: + () - + () ց ր τ.ελ Η είναι γν. φθίνουσα στο (,] και γν. αύξουσα στο [, + ). Η παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο, το + () iii. Αφού η παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο, συμπεραίνουμε ότι ( ) () για κάθε R. Επομένως, για κάθε χ. + χ 8)Να δείξετε ότι ηµχ χ για κάθε R 6 Λύση χ + Θα αποδείξουμε ότι ηµχ χ + για κάθε R 6 χ + Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ηµχ χ + που είναι παραγωγίσιμη στο R με 6 χ ( ) συνχ + συνχ + χ. 6 Επίσης είναι ( ) ηµχ + χ και ( ) συνχ {αφού συνχ } και () ηµ +, + () συν +, () ηµ + 6

68 + Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι η () είναι γνησίως αύξουσα στο R, και επομένως για κάθε είναι ( ) () ( ). Άρα και η είναι γν. αύξουσα στο R +, και επομένως για κάθε είναι ( ) () ( ). Άρα και η είναι γν. αύξουσα + στο R, και επομένως για κάθε έχουμε χ χ ( ) () ( ) ηµχ χ + ηµχ χ 6 6 9)Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) αχ + βχ + γ όπου α, β, γ R και a. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ έτσι ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει, για την τιμή, ελάχιστο ίσο με - και η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο (, ) Λύση Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο R και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει. Είναι ( ) ( ) a + β + γ αχ + β, οπότε α a + β + β a β () Επιπλέον, στο χ το τοπικό ελάχιστο είναι ίσο με -, επομένως: α β a + β + γ + + γ α + β + 6γ () 6 Τέλος, η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (,), δηλαδή () a + β + γ γ () Έτσι, έχουμε: γ γ γ γ α β α β α β α β α β 6γ β β 6 β + + + + + β 6 γ γ α β α 6 β β )Η Θέση ενός σώματος που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση εκφράζεται με τη συνάρτηση: S( t) t t + t + όπου το t μετριέται σε sec και το S(t) σε m. α) Nα βρείτε την ταχύτητα του σώματος για κάθε χρονική στιγμή t. β) Πότε το σώμα παραμένει ακίνητο; γ) Πότε το σώμα κινείται θετικά και πότε αρνητικά; δ) Πόση απόσταση έχει διανύσει το σώμα στα πρώτα sec;

69 Λύση α)η ταχύτητα του σώματος είναι : u t S t t t t t t β)το σώμα παραμένει ακίνητο όταν ( ) ( ) ( ) ( + + ) + ( ) + u t t t β αγ t, ( ) 9 8 β ± ( ) ± ± α u t δήλα t t γ)το σώμα κινείται θετικά όταν: u( t) > t t + > t <, t > Το σώμα κινείται αρνητικά όταν: u( t) < t t + < < t < δ)η απόσταση που έχει διανύσει το σώμα στα πρώτα sec είναι: S S() S() + S() S() + S() S() 9 87 + + m 6 6 6 6 )Ένας πληθυσμός από βακτηρίδια μεταβάλλεται με το χρόνο, σύμφωνα με τη σχέση: + 6t t Q( t) e e, t χιλιάδες βακτηρίδια. α) Nα βρείτε πόσα βακτηρίδια υπάρχουν τη χρονική στιγμή t. β) Μετά από πόσο χρόνο τα βακτηρίδια θα έχουν αφανιστεί; γ) Ο ρυθμός μεταβολής του παραπάνω πλήθους αυξάνεται ή μειώνεται; Λύση α)την χρονική στιγμή t θα υπάρχουν Q() χιλιάδες βακτηρίδια, δηλ. + 6 Q() e e e e χιλιάδες β) Τα βακτηρίδια θα αφανιστούν όταν : Q( t) e e e e 6t t + 6t t + 6t t + + + 6t t t 6t 9 ( t ) t γ)ο ρυθμός μεταβολής είναι : + t t + t t Q t e e e t t + 6 6 ( ) ( ) ( 6 ) + 6t t + 6t t e t e t (6 ) ( 6), άρα : t 6 t 6. Είναι : t Άρα, ο ρυθμός μεταβολής Q ( t), δήλαδη μειώνεται. )Οι διαστάσεις σε cm του παρακάτω ορθογωνίου είναι:

7 ( AB) ( ΒΓ ) Να βρείτε το χ ώστε το εμβαδό του να γίνει μέγιστο Λύση Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι: Ε ( χ) ( AB)( ΒΓ ) ( )( ) + + Για να μεγιστοποιήσω το εμβαδό υπολογίζω την Ε ( χ), Ε ( χ) ( + ) + Ε ( χ) + Ο παρακάτω πίνακας μεταβολών δείχνει ότι η Ε ( χ) μεγιστοποιείται για χ )Μια βιομηχανία παραγωγής αναψυκτικών θέλει να κατασκευάσει κυλινδρικά μεταλλικά δοχεία περιεκτικότητας cm. Να βρείτε το ύφος και την ακτίνα R της βάσης τον δοχείου, ώστε το κόστος κατασκευής να είναι το μικρότερο δυνατό. Λύση Ο όγκος του δοχείου είναι V π R οπότε θα πρέπει π R και το εμβαδό της συνολικής επιφανείας του π R κυλίνδρου είναι χ Ε ( χ) + + - Ε ( χ) + ր Τ Μ ց E π R + π R

7 Το κόστος κατασκευές γίνεται ελάχιστο όταν το Ε είναι ελάχιστο. Είναι: π R E ( R) π R R R Έτσι το Ε είναι ελάχιστο όταν R π π, οπότε ( π ) 6 π R π π π ( π ) )Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 6 cm να βρείτε εκείνο που έχει την μικρότερη περίμετρο. Λύση Έστω χ και y οι διαστάσεις ενός τέτοιου ορθογωνίου με χ> και y>. R π Ε ( R) - + Ε ( R) ποίου η περίμετρος είναι ελάχιστη. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι: ց Τ E ր Είναι: E y y 6 Θέλουμε από όλα τα ορθογώνια να βρούμε ( δηλαδή να υπολογίσουμε τα χ και y ) εκείνο του ο- + y ( + y) Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τους χ και y για τους οποίους το Εκφράζουμε το + y ως συνάρτηση μιας μονό μεταβλητής. Είναι 6 y 6 y οπότε το άθροισμα + y δίνεται ως συνάρτηση του χ από τον τύπο + y γίνεται ελάχιστο.

7 ( ) 6 Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (,+ ) Η παραγωγός της είναι 6 ( ), > Λύνουμε την εξίσωση ( ) και έχουμε: 6 6 8, χ 8( απορριπτεται ) Για το πρόσημο της παρατηρούμε ότι: 6 πρεπειχ ( ) > > > 6 > 8,( > ) Άρα όπως φαίνεται και από τον διπλανό πίνακα πρόσημων, η δηλαδή η παράσταση + y παρουσιάζει ελάχιστο στο 8. Άρα οι ζητούμενες διαστάσεις είναι 8και 6 y 8 8 cm )Το πλήθος των εγκληματών τα τελευταία χρονιά σε μια πόλη (989-999) δίνονται κατά προσέγγιση από την συνάρτηση : 68, 6 ( t).t + δεκάδες εγκλήματα, < t t Λύση

7 68, 6 ( t).t + υπολογίζω την t 68, 6 68, 6 ( t) (. t + ).t t t 68, 6 68, 6 ( t).t.t t t Για να βρω το ελάχιστο της συνάρτησης t t t t t ( t 8, απορριπτεται) 8.9 68, 6.9 68, 6 96 96 ± 8. Ο διπλανός πίνακας μας δίνει το πρόσημο της καθώς και ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο χ8 Άρα την όγδοη χρονιά είχαμε την ελάχιστη εγκληματικότητα. 6)Να προσδιορισθούν οι διαστάσεις ορθογωνίου μέγιστου εμβαδού, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς cm, αν η μια πλευρά t του ορθογωνίου περιέχεται σε μια πλευρά του τριγώνου Λύση ( t ) - + ( t ) Αν χλμ και yκλ, αν θεωρήσουμε το υψος ΑΔ του τριγώνου τότε τα (φθίνουσα) τρίγωνα ΑΕΛ και ΑΔΓ είναι όμοια έχουμε τους παρακάτω λογούς ομοιότητας ց Τ E (αύξουσα) ր ΑΕ Α χ ΕΛ Γ y με τους περιορισμούς < y < ΒΓ και < χ < Α Το εμβαδό του ορθογωνίου δίνεται από το γινόμενο Η συνάρτηση χ y ( ) :, R ( χ)

7 έχει παράγωγο και στάσιμο σημείο ( χ ) χ ( χ) ( ) Η παρουσιάζει μέγιστο στο cm και εμβαδό 8 cm χ οπότε το ορθογώνιο έχει διαστάσεις cm και 7) Από ένα χαρτόνι ορθογωνίου σχήματος με πλευρές 6cm και 8 cm να κατασκευασθεί ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου,ανοιχτό στο επάνω μέρος έτσι ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό όγκο. Λύση Κόβουμε τέσσερα τετράγωνα κομμάτια από τις γωνιές του χαρτονιού πλευράς χ και σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο όγκου V ( ) (6 )(8 ) ( )( ) για < < τότε έχουμε ότι V ( ) ( ( )( )) ( + ) 7 7 V ( ) ( + ), + Αφού > απορρίπτεται. Από τον πίνακα μεταβολών της V διαπιστώνουμε ότι η V παρουσιάζει μέγιστο στο 7 8) Ένας κατασκευαστής θέλει να σχεδιάσει ένα ορθογώνιο κουτί ανοικτό στο πάνω μέρος και με συνολική επιφάνεια 8 cm. Η βάση του κουτιού είναι τετράγωνο.. i) Nα εκφραστεί ο όγκος του κουτιού ως συνάρτηση του μήκους της πλευράς της βάσης του κουτιού ii)ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του κουτιού, ώστε αυτό να έχει τη μέγιστη χωρητικότητα;

7 iii)πόση θα είναι η μέγιστη χωρητικότητα του κουτιού; Λύση i )Έστω χ η πλευρά της βάσης του κουτιού σε cm η επιφάνεια του κουτιού θα είναι σε cm ίση με +, αφού στο πάνω μέρος είναι ανοικτό και κάθε παράπλευρη έδρα του έχει εμβαδό, οπού το ύψους του κουτιού. Όμως 8 + 8 Ο όγκος V ( ) του κουτιού είναι το λοιπόν: 8 V ( ) 7, > ii)έχουμε : V ( ) (7 ) 7 με V (6 ) Επειδή λοιπόν V ( ), είναι ( ) 7 (9 ) 6 6 V ( ) > < 6, V ( ) < > 6 Έτσι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,6 ] και γνησίως φθίνουσα στο ( 6,+ ). Συνεπώς ο μέγιστος όγκος επιτυγχάνεται για χ6, οπότε 8 8 6 οι διαστάσεις λοιπόν του κουτιού είναι 6 6 iii) Ο μέγιστος όγκος είναι 6 V (6) 7 6 8cm

76 9)Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει και η ακτίνα της ελαττώνεται σύμφωνα 9 με τον τύπο R 9 t, όπου t ο χρόνος σε sec και t. Να βρείτε το ρυθμό μείωσης του όγκου και της επιφάνειας της μπάλας, όταν t sec. Λύση Ο όγκος V και η επιφάνεια Ε της μπάλας εκφράζονται ως συνάρτηση του χρόνου t από τους τύπους: V V t R t ( ) π π ( 9 ) και E E( t) π R π ( 9 t). Ο ρυθμός μεταβολής των V(t) και E(t) ως προς το χρόνο t είναι αντίστοιχα: V ( t) π 9 t π 9 t π 9 t 9 t ( ) ( ) ( ) ( ) π ( 9 t) ( ) 6π ( 9 t) και ( ) ( ) ( ) ( ) 8π ( 9 t) ( ) π ( 9 t) E ( t ) π 9 t π 9 t π 9 t 9 t Επομένως, για sec t έχουμε: ( ) ( ) E () π 9 π 6 π )Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει V () 6π 9 6π π της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων Λύση Μια αρχική συνάρτηση της και ( ) ( ) είναι η ( ) ( ) +, και η γραφική ( ) και επομένως, έχουμε: ( ) + ( ) + + c () Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το (,) επομένως () () + + c c Έτσι, η () γράφεται: ( ) + ( ) + Για είναι + και ( ) +

77 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ (ΑΝΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ) (ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ) )Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης i) ()+ στο ii) g() + στο - )Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο, όταν: α. ( ) -,στο σημείο. β. ( ),στο σημείο. )Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) στο 8 και στο. )Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) στο. )Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει υπολογίσετε το ( ). ( ) lim. Να αποδείξετε ότι ( ) και να 6)Δίνεται η συνάρτηση ( ) +. Να εξετάσετε αν η είναι: α. παραγωγίσιμη στο - β. συνεχής στο -. Στη συνέχεια να διατυπώσετε σχετικό κανόνα, όπου το (α) να είναι η υπόθεση και το (β) να είναι το συμπέρασμα του κανόνα 7)Δίνεται η συνάρτηση ( ). - α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β. Είναι η συνεχής στο ; γ. Είναι η παραγωγίσιμη στο ; Να διατυπώσετε σχετικό κανόνα, όπου το (β) να είναι η υπόθεση και το (γ) το συμπέρασμα του κανόνα ( ) -( ) 8)Αν ( ) e, να βρείτε το όριο: lim. - (ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) 9)Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός κύκλου ως προς την ακτίνα του όταν η ακτίνα του είναι ίση με. (θεωρήστε π ) 7 )Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει πλευρές με μήκη και +. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ως προς όταν. (τα μήκη μετρώνται σε m) )Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς ως προς όταν. )Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 6. Να βρεθεί: α. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β. η απόσταση d( ) του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων ως συνάρτηση του

78 γ. ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης d( ) ως προς όταν. )Η θερμοκρασία ενός ασθενούς (σε o C) δίνεται από τη συνάρτηση θ( t ) - t( t- ) +7, όπου t [,] είναι ο χρόνος (σε ώρες). Να εξετάσετε αν τη χρονική στιγμή t7 ο πυρετός του ασθενούς ανεβαίνει ή πέφτει. (ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ) )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: - α. ( ) - β. ( ) - γ. ( ) - δ. ( ) ε. ( ) στ. ( ) ζ. ( ) η. θ. ( ) ι. ( ) - )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: 7 - α. ( ) - +- β. ( ) ++ γ. ( ) - + δ. ( ) - +. 6)Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ()8 -ημ+ ii) ()6συν-8( +). 7)Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:. α. ( ) β. ( θ ) θ + γ. θ ( t ) t +συνt-e. 8)Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln+ και g( ) ln+ - -. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των και g β. Να βρεθούν οι παράγωγοι των και g γ. Να λυθούν οι εξισώσεις ( ) και g ( ) δ. Να βρεθεί το πρόσημο των και g. 9)Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ()συν+(+)(-) ii) () ημ- συν. )Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) ( ) -ln ii) ( ) ln iii) ( ) ημ )Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης όταν: - 9 ln i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) + iv) ( ),>. + -+ )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) () ii) ()( -) + )Να βρεθεί η συνάρτηση ( ) iii) +ημ () +συν. ()( +)( +) ii) ()ημ(-συν). iv) ( ) ( - ) ( + ) και οι ρίζες της εξίσωσης ( ) όταν: 8 i) ( ) + ii) ( ) ( 6-) iii) ( ) ( ) + 9- iv) ( ). e )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) () ii) (). +συν (+) 6)Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων ( ) εφ και g( ) σφ. 7)Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων ημ + e + ln+ i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) iv) ( ). +συν - e - ln+.

79 8)Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ln () ii) ()(+). 9)Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης όταν: + e ii) ( ) ( +) ln i) ( ) ( ) iv) ( ) ( ημ+συν) v) ( ) t e - )Δίνεται η συνάρτηση ( ). e + α. Να βρείτε την ( ) β. Να δείξετε ότι ( ) >, για κάθε R. iii) ( ) ( ) ( ) ( ημ+συν) ( ) ( ). +ημ +συν -ημ-συν 8 )Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( -) -6. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της β. Να υπολογιστεί η παράγωγος της και το πρόσημό της γ. Να βρεθεί η συνάρτηση ( ). )Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) ( ) ( +συν) (ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΤΥΠΟΙ) )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ()(-) ii) ()(+) iii) ()( -). )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: α) ( ) ( -) β) ( ) ( +) ( -) γ) ( ) ( ) )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) () - ii) () +ημ iii) ( ) + +ημ +συν -ημ-συν ii) ( ) - ++ 6)Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) ( ) ημ ii) ( ) ημ iii) ( ) συν iv) ( ) συν 7)Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ()ημ ii) ()ημ iii) () ημ iv) ()εφ. 9)Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ()e ii) - ()e iii) α+β ()e e iv) (). e +e - )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) ()ln ii) ()ln iii) ()ln(α+β) iv) ()ln -. )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων i) ( ) ( -) iv) ( ) ( ) ii) συν - v) ( ) -+ iii) ( ) ημ( +6+ ) ++ e vi) ( ) ln( + + ). )Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων στο : i) ()( +) - ( + ), - ii) ()ημ+συν, π π iii) ()ημ συν, iv) () ln-, e. )Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων - i) ( ) e ii) ( ) ln e +. e iii) ( ) ( ) )Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

8 +7 i) ( ) ημ( + ) ii) ( ) -7 )Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων στο iii) ( ) ( ) εφ- iv) ( ) ( ) ημπ-συνπ. i) ( ) + ++ +, ii) ( ) ( -) ( - ), iii) ( ) -- +, -. 6)Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) ( ) συν ln + iv) ( ) +. ημ ii) ( ) ( + ) iii) ( ) ( ) 7)Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) ( ) - - ln -+ iii) ( ) e iv) ( ). ( + ) -+ e ii) ( ) ( ) 8)Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i) ( ) ++ln( + + ) ii) ( ) ( ) ln + + - + 6 iii) ( ) ln + iv) ( ) ημ( ln) -συν( ln) + +. 9)Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: +ημ -ημ i) ( ) ln ii) ( ). -ημ -συν )Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R, να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) g( ) ( ημ ) ( +) ii) ( ) ln( ( ) + ) iii) φ( ) e. - )Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( +) e. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η παράγωγός της β. Να λυθεί η εξίσωση ( ) γ. Να βρεθεί το πρόσημο της. )Να βρείτε τις δεύτερες παραγώγους των συναρτήσεων: i) ( ) e ii) ( ) + iii) ( ) ln. )Να βρείτε τις δεύτερες παραγώγους των συναρτήσεων: i) ( ) εφ ii) ( ) iii) ( ) +7. + -+ )Δίνεται η συνάρτηση ( ). - α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της β. Να βρείτε την και, και να λύσετε τις εξισώσεις ( ) καιg ( ) γ. Να βρείτε το πρόσημο των και. (ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΕΩΝ) 6)Αν ( ), να βρείτε τα σημεία A( α,( α )) για τα οποία είναι ( α ) ( α). 7)Αν ( ) ( +) ( +α ) και ( ), να βρείτε το α. 8)Δίνεται η συνάρτηση ( ) +α+. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε ( ). 9)Δίνεται η συνάρτηση ( ) + -8+ α. Να βρείτε τις παραγώγους ( ), ( ) β. Να βρείτε τα θετικά για τα οποία ισχύει: ( ) + ( ) -. 6)Να βρείτε πολυώνυμο P( ) ου βαθμού τέτοιο ώστε να ισχύει: P( ),P( ) 6,P ( ) -,P ( ) -7καιP ( ). μ 6)Αν ()e, να βρείτε το μ ώστε να ισχύει ()-()-(). - 6)Αν ( ),, να δείξετε ότι: ( ) + ( ) +.

8 6)Αν ( ) α( -ρ)( -ρ )( -ρ ) και οι αριθμοί ρ,ρ,ρ είναι διαφορετικοί ανά δύο τότε να αποδείξετε ότι ρ ρ ρ + +. ρ ρ ρ ( ) ( ) ( ) 6)Αν ( ) ημ, να αποδείξετε ότι ( ) + ( ). g( ) 6)Αν ( ), g( ) και g ( ) -, να βρείτε το ( ). + 66)Αν ( ) 7 και g( ) ( ++), να βρείτε την τιμή g ( ). 67)Αν ( ) ln( ) -+, να βρείτε την e. 68)Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R. Α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( -), R β. Αν η είναι άρτια, να αποδείξετε ότι ( ). (ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ) 69)Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση. Η θέση του κινητού δίνεται από τη συνάρτηση ( t ) t -t -t, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. α. Σε ποια θέση βρίσκεται το κινητό πριν αρχίσει να κινείται; β. Ποια είναι η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t s; γ. Να βρεθεί η στιγμιαία ταχύτητα την κάθε χρονική στιγμή t δ. Ποιες χρονικές στιγμές η ταχύτητα είναι ίση με μηδέν; ε. Γνωρίζοντας ότι το σώμα κινείται προς τα δεξιά αν η ταχύτητά του είναι θετική και προς τα αριστερά αν η ταχύτητά του είναι αρνητική, να βρεθεί σε ποιο χρονικό διάστημα το σώμα κινείται προς τα αριστερά στ. Ποια είναι η μεγαλύτερη απομάκρυνση του κινητού προς τα αριστερά; 7)Η θέση ενός υλικού σημείου που κινείται πάνω σε έναν άξονα δίνεται από την συνάρτηση ( t ) t +t+, όπου t ο χρόνος σε sec. α. Να βρείτε τη μέση ταχύτητα στο διάστημα [, ] β. Ποια είναι η θέση του σημείου πριν αρχίσει να κινείται; γ. Με τι ταχύτητα ξεκινάει το κινητό; δ. Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου μετά από sec; 7)Ένα σώμα κινείται σε έναν άξονα έτσι ώστε η θέση του σε χρόνο t να δίνεται από τον τύπο (t)t -t +t. Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος σε χρόνο t και να προσδιορίσετε πότε το σώμα είναι ακίνητο. Ποια είναι η επιτάχυνση του σώματος στις χρονικές αυτές στιγμές; 7)Η θέση ενός κινητού ( t ) το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο ( t ) t + όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρεθεί: α. η ταχύτητα του κινητού για t β. η επιτάχυνση του κινητού για t. 7)Ένα σώμα κινείται πάνω στον άξονα ώστε η θέση του κάθε χρονική στιγμή t να δίνεται από τη συνάρτηση ( t ) e t-t. Να εξετάσετε αν τις χρονικές στιγμές t, t το σώμα κι- t 7 νείται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. (θεωρήστε e ).

8 7)Από την πώληση μονάδων ενός προϊόντος, το κέρδος σε δίνεται από τη συνάρτηση R( ),. Να βρείτε το οριακό κέρδος αν πουληθούν 6 μονάδες του προϊόντος. 7)Το κόστος σε εκατοντάδες για την παραγωγή εκατοντάδων λίτρων αναψυκτικού ανά έ- τος δίνεται από τη συνάρτηση C( ) +-,. α. Να βρείτε το οριακό κόστος για την παραγωγή λίτρων β. Αν το οριακό κόστος για την παραγωγή α εκατοντάδων λίτρων είναι ίσο με το μισό του οριακού κόστους για την παραγωγή μιας εκατοντάδας λίτρων, να βρείτε το α. 76)Το κόστος παραγωγής K( ) και η τιμή πώλησης Π( ), μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις K( ) - +6+ και Π( ) αντίστοιχα. Να βρεθεί: α. η συνάρτηση E( ) που δίνει το κέρδος από την πώληση μονάδων του συγκεκριμένου προϊόντος β. πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι θετικός. 77)Το βάρος Β σε γραμμάρια ενός θηλυκού ποντικιού ύστερα από t εβδομάδες δίνεται προσεγγιστικά από τη συνάρτηση B(t)+ (t+), όπου t 8. Να βρείτε το ρυθμό ανάπτυξης του ποντι- κιού: i) Ύστερα από t εβδομάδες και ii) ύστερα από, και 8 εβδομάδες. 78)Η θερμοκρασία σε μια περιοχή δίνεται κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετραώρου από τη συνάρτηση Θ( t ) t- t (σε o C) όπου t [,] είναι ο χρόνος (σε ώρες). Να βρείτε αν τις χρονικές στιγμές t και t6 η θερμοκρασία ανεβαίνει ή πέφτει. 79)Έστω ( ) ( ) g t -t η ποσότητα (σε λίτρα) του νερού που παρέχεται όταν ανοίξει μια βρύση σε χρόνο t (σε min). α. Να βρείτε τη μέση τιμή της ποσότητας που παρέχεται στα πρώτα λεπτά β. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ποσότητας g( t ), τη χρονική στιγμή t min (ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ) 8)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: i) () στο A(,()) (), στο A(,()). 8)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cστο όταν: α. ( ) και β. ( ) + και - γ. ( ) + + και. 8)Δίνεται η συνάρτηση ( ) -. α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της A,( ). ( )

8 8)Δίνεται η συνάρτηση ( ) +. α. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στα σημεία A( -,(-)) και B(,( )) β. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των παραπάνω εφαπτόμενων. 8)Δίνεται η συνάρτηση ( ) +λ+,λ R. α. Να βρεθεί το ( ) β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της Α με τετμημένη γ. Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε η παραπάνω εφαπτομένη να διέρχεται από το σημείο B(,- ) δ. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο Α διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ R. 8)Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να βρεθεί: + α. το πεδίο ορισμού της. β. η παράγωγος της στο -. γ. η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της με τετμημένη -. δ. ο ρυθμός μεταβολής του y( ) ως προς όταν -. 86)Δίνεται η συνάρτηση ( ) ++. Να βρείτε: α. την παράγωγο της στο β. τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε, της C στο σημείο A(,( )). γ. την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η παραπάνω ευθεία ε με τον άξονα. δ. την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης. 87)i) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης t (t) στο σημείο τηςa(,()). t + ημθ π π ii) Ομοίως της καμπύλης της συνάρτησης (θ) στο σημείο τηςα, ημθ+συνθ. 88)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης ()ημ συν στο σημείο της με π. 89)Δίνεται η συνάρτηση ( ) - + +. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο (,) και να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες των συντεταγμένων. + 9)Δίνεται η συνάρτηση ( ). - α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β. Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο M(,( )). 9)Δίνεται η συνάρτηση ( ) συν. Να βρείτε: α. την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης

8 π π β. την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A,. γ. τα σημεία στα οποία η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τους άξονες καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τους άξονες. 9)Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R ισχύει ότι ( ημ ) e συν, R. α. Να βρείτε την τιμή ( ) ( ) β. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο A,( ) σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 9)Έστω : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση με ( ) α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της β. Να βρείτε το g ( ) και ( ) ( ) C στο σημείο A(,( )) γ. Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται της C g στο σημείο B,g( ). g ++ -, R. ( ) 9)Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Rείναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα ++ 7 -, για κάθε R. Να βρείτε: ( ) α. την παράγωγο της στο β. την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A(,( )). 9)Δίνεται η συνάρτηση ( ) α +α +, α R. α. Να βρείτε το (-) β. Αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο της με τετμημένη - είναι -, να βρείτε το α. 96)Το σημείο A(,y ) είναι πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) -. Αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α υπερβαίνει την τετμημένη του Α κατά, να βρείτε το σημείο Α. 97)Σε ποια σημεία της καμπύλης της συνάρτησης () η εφαπτομένη της είναι παράλληλη + στην ευθεία y+; 98)Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης () -6 +9+ στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα. 99)Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας ˆ y. () + που είναι )Δίνεται η παραβολή ( ) -+6. Να βρείτε το σημείο της C στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία y+κ. )Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln. Να βρεθεί: α. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β. η παράγωγος της γ. η τιμή ( ) δ. η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A(,( )), καθώς και η γωνία που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα. ε. σε ποιο σημείο η εφαπτομένη της C είναι παράλληλη στην ευθεία η:y +;

8 - - e -e )Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτη- e +e σης στο σημείο με τετμημένη είναι παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων. )Δίνεται η συνάρτηση ( ) -+. Να βρεθεί η εφαπτόμενη της C που είναι κάθετη στην ευθεία η:+y-7 )Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της στο οποίο η εφαπτομένη της σχηματίζει με τον άξονα γωνία. )Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ()α(-) στο σημείο της O(,()) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 6. 6)Δίνεται η συνάρτηση ( ) +. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C που σχηματίζει με τον άξονα γωνία π. 7)Δίνεται η συνάρτηση ( ) -+. Να βρεθεί η εφαπτόμενη της C η οποία διέρχεται από το σημείο A(,- ). 8)Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι εφαπτόμενες της C διέρχονται από το σημείο M(,- ). 9)Δίνεται η συνάρτηση ( ). α. Να βρεθεί η τιμή β. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της y( ) ως προς όταν 9 γ. Να βρεθούν τα σημεία της C, στα οποία οι εφαπτόμενες διέρχονται από το σημείο A( 8, ) καθώς και οι εξισώσεις των εφαπτόμενων αυτών. )Δίνεται η συνάρτηση ( ) α +β. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο είναι η ευθεία y -, να βρείτε το α. )Δίνεται η συνάρτηση ( ). Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της C στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες. Πως ερμηνεύεται γεωμετρικά το αποτέλεσμα αυτό; )Δίνεται η συνάρτηση y( ). Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης y( ) στο σημείο με τετμημένη - είναι: +y+ να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης g( ) στο σημείο με τετμημένη -. ( ) )Δίνεται η συνάρτηση ( ) α +β+γ με α. Να προσδιοριστούν οι α, β, γ έτσι, ώστε η C να περνά από το σημείο A(, ) και η εφαπτομένη της C στο σημείο B(, ) να είναι παράλληλη με την ευθεία ε:+y8. Ποιος είναι τότε ο τύπος της συνάρτησης; )Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln( -+) και g( ) -α+β. Να βρεθούν: α. οι και g ( ) β. η εξίσωση της εφαπτομένης ε της C στο σημείο A,( ) γ. οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η ευθεία ε να εφάπτεται επίσης στη C g στο σημείο B,g( ). ( ) )Να βρείτε τις πραγματικές τιμές των α και β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g με ( ) +α+ και g( ) ++β να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη.

86 6)Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) -+ και g( ). α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C g β. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η C βρίσκεται κάτω από τη C g γ. Να αποδείξετε ότι στο κοινό τους σημείο οι C και C g έχουν κοινή εφαπτομένη. 7)Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : R R στο σημείο της A,( ) είναι παράλληλη με την ευθεία η:-y+, τότε: ( ) α. Να βρείτε την τιμή ( ). β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g με g ++ -, στο σημείο της B,g( ). ( ) ( ) ( ) 8)Θεωρούμε δυο σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) +6+. α. Αν οι τετμημένες των Α και Β είναι και αντίστοιχα, να υπολογίσετε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ β. Αν το σημείο Γ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης βρίσκεται μεταξύ των Α και Β και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο Γ είναι παράλληλη στην ΑΒ, να βρείτε την τετμημένη του Γ γ. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα οποία οι εφαπτόμενες έχουν συντελεστές διεύθυνσης που είναι εννιαπλάσιοι των τετμημένων των σημείων αυτών. (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ) 9)Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( -) ( +). Να μελετήσετε τη μονοτονία της. )Δίνεται η συνάρτηση ( ) e ( -) - +. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. )Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i) ( ) -+ ii) ( ) - +- iii) ( ) -+ - iv) ( ) - - v) ( ) e ++ vi) ( ) ln++. 6 )Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln + + +. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. -+ β. Να αποδειχθεί ότι ( ). ( + ) γ. Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της. )Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση ( ) ( - ) στο διάστημα [, ]. (ΑΚΡΟΤΑΤΑ) )Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: i) ( ) - ii) g( ) +. )Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις συναρτήσεις: i) ( ) -+ ii) ( ) +- iii) ( ) ( ). - iv) ( ) ( ) 6)Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις συναρτήσεις: +6 i) ( ) + -+ ii) ( ). 7)Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις συναρτήσεις: i) ( ) + -6+ ii) ( ) -6 +9-8 iii) ( ) + --8 iv) ( ) ( -) ( + ).