Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση :. Γι ν κάνουμε τη γρφική πράστση, θεωρούμε τον πίνκ : f 0 f 7 9 9 7 κι έχουμε : Γι τη συνάρτηση υτή κι γι κάθε συνάρτηση της γενικής μορφής : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
έχουμε : f, με Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημ Γνησίως ύξουσ, διότι γι κάθε 0, των θετικών πργμτικών ριθμών., επειδή ισχύει :, ν Τέμνει τον άξον yy στο σημείο A 0, κι έχει σύμπτωτη τον ρνητικό ημιάξον. Θεωρούμε τη συνάρτηση : f κι προκειμένου ν κάνουμε τη γρφική της πράστση, θεωρούμε τον πίνκ : 0 f 7 9 9 7 κι έχουμε : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
Γι τη συνάρτηση υτή κι γι κάθε συνάρτηση της μορφής : με 0 έχουμε : Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημ των θετικών πργμτικών ριθμών. Γνησίως φθίνουσ, διότι γι κάθε, επειδή 0 ισχύει : f 0,, ν Τέμνει τον άξον yy στο σημείο A 0, κι έχει σύμπτωτη τον θετικό ημιάξον. Πρτηρήσεις :. Επειδή η εκθετική συνάρτηση : μονότονη, ισχύει : f ν. με 0 είνι γνησίως Επομένως με την επγωγή σε άτοπο, μπορούμε ν έχουμε : ν. Με την βοήθει της συνεπγωγής υτής, μπορούμε ν λύνουμε εκθετικές εξισώσεις, δηλδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο στον εκθέτη.. Γι τις συνρτήσεις : πρτηρούμε ότι ισχύει : f, g, 0 g f, Επομένως οι γρφικές πρστάσεις τους, είνι συμμετρικές ως προς τον άξον yy. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) iii) iv) 8 8 4 6 5 5 i) 4 8 4 ii) 4 8 4 4 4 4 4 6 4 iii) iv) 5 5 5 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις : i) 9 ii) e e iii) 8 4 iv) 5 i) 9 9 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -
ii) e 4 iii) e e e 8 4 4 6 iv) 7 9 0 5 5 5 0 ή.. Ν λυθεί η εξίσωση : 54. 54 54 Θέτω κι η εξίσωση γίνετι : y y y 4y 54 7y 6 y 8 4 οπότε 8. y 4. Ν λυθεί η εξίσωση : 9 4 0. 9 4 0 4 0 4 0 Θέτω y κι η εξίσωση γίνετι : y y 4 0 που έχει ρίζες y κι y 4. 0 Γι y έχω : 0 Γι y 4 έχω : 4 δύντη γιτί 0. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -
5. Ν λυθεί η εξίσωση : 8 0 9 0 () Η () ορίζετι ότν είνι φυσικός μεγλύτερος του. Έτσι Θέτω 9 0 9 0 9 0 9 0 9 y άρ έχω : y 0y 0 y ή Αν y τότε 9 Αν y τότε 9 Απορρίπτετι y. 6. Ν λυθεί το σύστημ : y 4 y 9. y y 0 y 0 () y y 9 y () Αφιρώντς πό τη () την () προκύπτει : y στην () έχουμε. κι ντικθιστώντς 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) 5 4 0 ii) 5 4 iii) 8 9 0 iv) v) 4 0 i) 5 4 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσ της () είνι η : t 5t 4 0 (). Η δικρίνουσ του τριωνύμου της σχέσης () είνι : 5 4 5 5 4 4 5 6 9 κι επομένως οι ρίζες είνι : t 5 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -
Αν Αν t 4 4 4 0 t 0 0 ii) 5 5 5 8 iii) 8 9 0 8 9 0 8 9 0 () Θέτουμε, οπότε η επιλύουσ της () είνι η : t 8t 9 0 (). Η δικρίνουσ του τριωνύμου της σχέσης () είνι : 8 4 9 4 7 4 7 4 4 49 7 4 96 7 4 69 6 t 8 6 54 9 8 6 6 6 κι επομένως οι ρίζες είνι : t 8 6 6 6 Αν t 9 9 Αν t 4 4 iv) 0 0 0 4 7 8 8 4 8 7 8 4 8 7 8 4 6 4 8 8 8 v) 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 6 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -
8. Ν λύσετε τις εξισώσεις ημ ημ ημ συν i) ii) 9 ημ ημ συν 5 ημ iii) 4 i) ημ ημ ημ π ημ ημ ημ 6 π ημ ημ 6. Άρ ii) iii) κπ π π κπ 6 κπ 7π 7π κπ 6 ημ ημ 4ημ ημ συν ημ συν ημ συν 9 ημ συν 4ημ ημ συν ημ ημ συν συν συν ημ συν συν 0 συν ημ 0 συν 0 κπ ημ (δύντη) ημ ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ συν 5 5 4 ημ ημ συν ημ ημ ημ συν ημ ημ ημ ημ ημ 0 ημ συν ημ συν ημ συν συν 0 συν συν π Από την σχέση () πίρνουμε: κπ ημ 0 κπ κπ, κ. Από την σχέση () πίρνουμε : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -
συν συν κπ 4κπ 4κπ 4κπ 4κπ 4 4κπ 9. Ν λυθεί η εξίσωση : 6 9 56. 6 6 6 6 56 56 6 y Θέτω y έχουμε : y y 56 y 56 y 64 8 Άρ 6 64 6 6 6 6 0 ή 4 0. i) Ν βρείτε το ύξουσ. ii) Ν βρείτε το, φθίνουσ. 5 0 ώστε η ώστε η f 5 ν είνι γνησίως 5 g ν είνι γνησίως i) Γι ν είνι η f γνησίως ύξουσ θ πρέπει: 5 6 0 0 5 5 5 5 0 6 5 0 5 0 5 0,5. ii) Γι ν είνι η g γνησίως φθίνουσ θ πρέπει: 5 5 0 0 5 0,0 5, 5 0 5 5 0 5 0 0 Επομένως πρέπει 5.. Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f k. i) Γι ποιες τιμές του k ορίζετι η f ; ii) Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές k γι τις οποίες η f είνι γνησίως ύξουσ. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -
iii) Ν βρείτε το k ώστε η γρφική πράστση της f το σημείο,. ν περνάει πό iv) Ν βρείτε τις τιμές του k ώστε η γρφική πράστση της f περνάει πό το σημείο,. ν i) Πρέπει: k 0 k k k, () ii) Γι ν είνι η f γνησίως ύξουσ πρέπει: k k 0 k 0 () Η () όμως είνι δύντη στο, άρ δεν υπάρχουν τιμές του k, γι τις οποίες η f ν είνι γνησίως ύξουσ. iii) Πρέπει ν ισχύει: f k k k iv) Πρέπει ν ισχύει: f k k k k 0 k 0 k δύντη. Ν λύσετε τις νισώσεις : i) 9 ii) 8 0 iii) e 0 i) 9 (γιτί >). ii) 8 0 (γιτί >). iii) ή 0 e e e e 0 0 (γιτί e ).. Ν λύσετε την νίσωση 5 5 6. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 0 -
5 5 5 6 5 6 5 5 6 5 5 6 5 5 0 5 Θέτω Άρ η νίσωση γίνετι y 6y 5 0. Είνι y 6y 5 0 y ή y 5 5 y 5 + _ + Άρ 0 y 5 5 5 5 5 5 0 (γιτί 5>). 4. Ν λύσετε τ συστήμτ. y 9 i) y 4 8 ii) 5 6 y 8 iii) y 4 y 9 iv) y 5 4 9 y 5 6 i) y y y 9 y 4 8 y y y y y 4 y 5 5 y y y y ii) 5 6 5 6 0 ή y 8 y 8 5 6 0 y 8 y 8 y 6 y 5 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
iii) y y 0 y 0 4 y 0 9 y y y y y y y y y y y 5 iv) 5 4 y y,5 β y 9 5 6 β 4 β 4 9 9 β 4 β 6 0 0 9 0 β 4 β 4 β y,5 β y 5 δύντη y ή 9,5 β y y β 4 5 5 5 5 y 9 9 5. Αν η ημιζωή ενός ρδιενεργού υλικού είνι 0 χρόνι κι η ρχική ποσότητ είνι 0 γρμμάρι : i) ν βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική πόσβεση υτού ii) ν υπολογίσετε την ποσότητ που έχει πομείνει μετά πό 0 χρόνι iii) ν βρείτε μετά πό πόσ χρόνι θ έχουν πομείνει του ρδιενεργού υλικού. 5 56 γρμμάρι i) Επειδή η ποσότητ Q του ρδιενεργού υλικού κολουθεί τον νόμο της ct εκθετικής πόσβεσης έχουμε: Q t Q e ct Επειδή Q0 0 γρμμάρι είνι Q t 0 e Αφού η ημιζωή είνι t 0 0 χρόνι έχουμε: Q 0c c 0 0 0 c Q t 0 0 Q 0 0 e 0 e e 0 c c 0 e e t ct c t 0 0 Άρ Q t 0 e 0 e 0 0 0 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
ii) Η ποσότητ που θ έχει πομείνει μετά πό 0 χρόνι είνι: 0 0 Q 0 0 e 0 5 γρμμάρι iii) Έστω ότι μετά πό t χρόνι θ έχουν πομείνει Είνι 5 5 56 56 5 56 t t Q t 0 0 0 0 t 00 γρμμάρι. χρόνι..ισχύει ότι: i) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ii) 5 γι κάθε Σ Λ iii) γι κάθε Σ Λ iv) ν χ κέριος Σ Λ v) ν χ κέριος Σ Λ.Ισχύει ότι: i) ν χ= Σ Λ ii) ν χ=0 Σ Λ iii) ν χ= Σ Λ.Ισχύει ότι: 0,8 y 0,8 ν <y Σ Λ i) ii),5,5 iii) y e e y ν <y Σ Λ ν >y Σ Λ Σ Λ EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
4.Δίνετι η f( ) 5 i) H f έχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ ii)h f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii)h f είνι γνησίως ύξουσ στο R Σ Λ iv) Ισχύει ότι f()>f(/5) Σ Λ v) Ισχύει ότι 999 000 f( ) f( ) Σ Λ EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν f()= a a είνι γνησίως ύξουσ, Q, ν βρεθεί το ώστε η συνάρτηση f()ν a.δίνετι η συνάρτηση f( ) a Α)Ν βρείτε τις τιμές του ώστε η f : i)ν ορίζετι σ όλο το R. ii)ν είνι γνησίως φθίνουσ στο R.. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) + =8 δ) β) γ) 4 = 6 8 5 ε) 9 = =5 η) e + = ζ) 8 - =4 -χ ι) 5 4. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) 49 7 ii) 4 iii) 4 v) 8 iv) 9 7 vi) 5Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 ii)4 5 45 ) 5 5 iii iv)4 9 9 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 4-5 =4 γ) 5 5-4= 5 e κ) 6 χ- = θ) 5 -χ+ = λ) =4 8+5 0 β) 5 - + 5 + -80=0 δ) e + e = 5 4 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -
7. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 6 ii) 9 6 iii) 0 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) γ) 5 4 8 = 8 β) 5-7 55 +57 + =0 = +4 δ) + - = - + + 9.Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) e e e 0 ii ) 8 iii) 4 0 iv)4 9 56 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 5 - =0-5 + β) + 5 =00 γ) + 6 - - =9 δ) 7 + -5 + = +4-5 +. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) - +5-6 +5-5 =5-4 + -4 β) 5 - -= 5 γ) 5 - -5 - = δ) + =9 χ- ε)7 + +4 + =7 +4 +4 + ζ) -4 +65 - = - +5 - η) 5 + + -5 + = +4. Ν λυθούν οι εξισώσεις. ) 4-54 +4=0 β) γ) 4 - =. Ν λυθούν οι εξισώσεις : ) + + +.+ =4094 β) 6 6 4 6 6..6 =6 8 γ) 4. + =7 δ) 5 - = EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 - -65 +5=0
4. Ν λυθούν οι εξισώσεις : ) 5 ημχ-ημχ = β) ημχ +8 -ημχ =6 γ) 4 ημ χ +4 συνχ =5 δ) ημχ +7 -ημχ = ε) e συνχ + e -συνχ = 5. Ν λυθούν οι νισώσεις: ) 7-5 < ε) > β) 4 ++5 < ζ) 5 5 +7 > 5 - γ) 5+ > 7 η) 75 >5 +6 δ) 7 > θ) 6-74 +6 >0 6. Ν λύσετε τις νισώσεις : i) 4 9 8 0 9 4 0 e e 0 ii) iii) 7.Δίνετι η εξίσωση: f( ) Α)Ν βρείτε τη μέγιστη τιμή της f. Β)Ν δείξετε ότι 0 0 f (0) Γ)Ν λύσετε την εξίσωση 0 0 f (0) 8. Ν λύσετε την νίσωση : 8 8 7 9. Ν λύσετε την νίσωση : ημ συν 4 4 5. 0. Ν λυθούν τ συστήμτ : ) +5 y =4 β) - y =7 9 5 y =56 4-9 y =75 γ) 4 y- = δ) y =54 + y-4 =7 y =4 ε) - y+ =5 ζ) 4 - y- =8 y - - = - y-4 = EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -
. N λυθούν τ συστήμτ: ) 4 8 y =56 β) 5 4 y+ =9 644-8 y =0 5 - +4=69 γ) =8 y+ δ) 5 5 4y =5 8 9 y = -9 5 5 7 y = 5 7. Δίνετι η συνάρτηση f()=e. Δείξτε ότι γι κάθε, R με ισχύει f( )+f( )>f.. Αν η ημιζωή ενός ρδιενεργού υλικού είνι 8 χρόνι, δείξτε ότι η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική πόσβεση είνι:q(t)=q 0 t 8. ln Π.4. Δίνετι η f ln i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Ν λυθεί η εξίσωση f Π.5. Δίνετι η συνάρτηση : συν 4ημ f 4 i) Γι ποιες τιμές του η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ ii) Ν λυθεί η εξίσωση f ν 0 4 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ Γενικά η λύση της εξίσωσης : θ () όπου 0 με κι θ 0 είνι μονδική, φού η εκθετική συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη κι το θ νήκει στο σύνολο τιμών της. Την μονδική λύση της (), ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση κι τη συμβολίζουμε : f log θ Δηλδή ότν είνι 0 με κι θ 0, ισχύει η ισοδυνμί : θ log θ Σύμφων με τ πρπάνω, μπορούμε ν διτυπώσουμε ότι : Ο λογάριθμος με βάση του θ log θ, είνι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουμε το, γι ν πάρουμε το θ. Χρκτηριστικά είνι τ πρδείγμτ : log9 διότι 9 6 log 4 διότι 6 6 4 4 log0 0,000 4 διότι 0 0,000 log 9 4 διότι 4 9 Σύμφων με τον ορισμό που δώσμε, ν 0 με γι κάθε κι γι κάθε θ 0, έχουμε: κι log θ log θ Μη ξεχνάτε: θ EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -
Ακόμη επειδή 0 κι log 0 κι, ισχύουν : log Ιδιότητες των λογρίθμων. Γι 0 με, γι οποιουσδήποτε θ,θ,θ 0 κι γι κάθε k ισχύουν:,. log θ θ log θ log θ Απόδειξη: Έστω ότι είνι : log θ κι log θ y () πό τις οποίες προκύπτουν : y θ κι θ Πολλπλσιάζοντς υτές κτά μέλη, έχουμε: θ θ θ θ y y Από την πρπάνω σχέση, σύμφων με τον ορισμό του λογρίθμου, έχουμε : log θ θ y πό την οποί λόγω των ισοτήτων (), προκύπτει: log θ θ log θ log θ θ. log log θ log θ θ Η πόδειξη γίνετι όπως κι στην προηγούμενη ιδιότητ, με συνέπει ν έχουμε: θ log log θ log θ θ EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 0 -
k. logθ Απόδειξη: k log θ Έστω ότι : Αυτό σημίνει: Σύμφων με τον ορισμό, έχουμε: log θ () k k θ θ log θ με συνέπει πό την (), ν προκύπτει: k k log θ k k log θ Δεκδικοί λογάριθμοι. Ότν η βάση του λογρίθμου ενός θετικού ριθμού θ είνι το 0, τότε λέμε ότι έχουμε τον δεκδικό λογάριθμο του θ ή πλά τον λογάριθμο του θ κι συμβολίζουμε: Φυσικά ισχύει η ισοδυνμί: logθ logθ 0 θ Χρκτηριστικά είνι τ πρδείγμτ: log000 διότι 0 000 4 log0,000 4 διότι 0 0,000 Φυσικοί λογάριθμοι Είνι γνωστός ο ριθμός e κι η χρησιμότητ του στην περιγρφή διφόρων φινομένων. Εξίσου χρήσιμοι είνι κι οι λογάριθμοι με βάση τον e, που ονομάζοντι φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι κι γι κάθε θετικό ριθμό θ, συμβολίζοντι ln θ. Δηλδή έχουμε: ln θ e θ EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
Λογριθμική συνάρτηση Θεωρούμε τον 0,. Γνωρίζουμε ότι γι κάθε 0, ορίζετι ο ριθμός με τύπο: log log. Αυτό σημίνει ότι σε κάθε 0, ντιστοιχίζετι ο, επομένως έχουμε τη συνάρτηση : f : 0, f log Η συνάρτηση υτή ονομάζετι λογριθμική συνάρτηση με βάση το. Επειδή ισχύει η ισοδυνμί : y log y () Αν είνι γι τη συνάρτηση y log έχουμε ν πρτηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημ : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πργμτικών ριθμών. Έχει γρφική πράστση που τέμνει τον άξον στο σημείο A,0 κι έχει σύμπτωτο τον ρνητικό ημιάξον του yy. Είνι γνησίως ύξουσ, δηλδή ισχύει: ν τότε ισχύει log log Όπως εμφνίζετι κι στο σχήμ που κολουθεί, είνι log 0 ν 0 κι log 0 ν EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
Αν είνι 0 τότε γι τη συνάρτηση πρτηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημ : A 0, y log, έχουμε ν Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πργμτικών ριθμών. Έχει γρφική της πράστση τέμνει τον άξον στο σημείο κι έχει σύμπτωτη τον θετικό ημιάξον του yy. A,0 Είνι γνησίως φθίνουσ, δηλδή ισχύει: ν log log. Όπως εμφνίζετι κι στο σχήμ, έχουμε: κι log 0 ν 0 log 0 ν, τότε είνι Επειδή η λογριθμική συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη, ισχύει:, τότε είνι κι log log ν Από την συνεπγωγή υτή με την πγωγή σε άτοπο, κτλήγουμε στην ισοδυνμί: y log log y EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ποδείξετε ότι : i) log 4 log 0 log ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln i) 80 log 4 log 0 log log 4 0 log log80 log8 log log0 8 ii) ln 4 ln 7 ln6 ln 4 ln 7 ln6 ln 4 ln 7 ln6 6 ln ln ln 6 ln ln ln 6 ln ln 9 ln 6 8 ln 9 ln 6 ln8 ln 6 ln ln 6. Έστω η συνάρτηση 5 f ln 5. i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Ν δείξετε ότι η f είνι περιττή. i) Πρέπει 5 0 5 5 0 5 5 5 Άρ A 5,5 ii) Γι κάθε A είνι ) A β) f 5 5 5 5 ln ln ln ln 5 5 5 5 f Άρ η f είνι περιττή.. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -
. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) log log ii) log log iii) log log log 4 log iv) ln ln 0 i) Πρέπει: 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφετι : log log log: 0 0 (δεκτή). 0 ii) Πρέπει: 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφετι : log log log log0 log log: log log 0 0 0 0 9 9 iii) Πρέπει: (δεκτή). 0 0 0 0, 0 4 0 4 Η δοσμένη σχέση γράφετι :, 4 log log log 4 log log log 4 0 (). 4 4... 6 5 0 () EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -
Οι ρίζες της () είνι : (δεκτή) ή 5 6 (δεκτή). iv) Πρέπει ν είνι: 0 0, κι η δοσμένη γράφετι: ln 0 (πορρίπτετι) ln ln ln ln ln 4 4 (δεκτή) 4. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) log0 log5 log 4 ii) iii) log 9 i) Πρέπει: log 4 4 log log log4 log4 0 4 0 4 log 4 log log 4 log log 4 Η δοσμένη εξίσωση γράφετι: 0 0 log0 log 5 log 4 log log 4 log log 5 5 0 0 7 8 4 άρ 4 (δεκτή) 7 6 άρ (άτοπο) * (*) Είνι : log 46 log 4 log 4 ii) Πρέπει: 0 log log log log log log () log Η δοσμένη εξίσωση γράφετι : log 0 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -
log 4 4 log log 4 4 log log log 4 4 log 4 4 4 4 4 4 0 4 0 5 8 4 άρ 4 (δεκτή) 5 άρ (άτοπο) * (*) Είνι : log 6 log log 5. Δίνοντι οι συνρτήσεις : f ln e e κι g ln ln e i) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού τους ii) Ν λύσετε την εξίσωση: f iii) Ν λύσετε την νίσωση : f g g (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00) i) Η συνάρτηση f ln e e ορίζετι γι τους πργμτικούς ριθμούς γι τους οποίους ισχύει: e e 0 e e 0 Θέτοντς e y 0, η προηγούμενη νίσωση γράφετι : y y 0 () Πρτηρούμε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου είνι : 4 4 8 0 Επομένως η () ισχύει κι κάθε y. Άρ κι η νίσωση : ισχύει γι κάθε συνάρτησης f είνι : e e 0. Αυτό σημίνει ότι το πεδίο ορισμού της A EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -
Η συνάρτηση g ln ln e ορίζετι γι τους πργμτικούς ριθμούς γι τους οποίους ισχύει : 0 e 0 e e e Δεδομένου ότι η συνάρτηση e είνι γνησίως ύξουσ, προκύπτει: 0 Άρ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, είνι : A 0, ii) Από τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f,g προκύπτει ότι οι ρίζες της εξίσωσης : f g () πρέπει ν περιέχοντι στο A 0,, φού πρέπει ν έχουν νόημ κι οι δύο συνρτήσεις. Πρτηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυνμίες : f g ln e e ln ln e ln e e ln e e e e e 5e 6 0 e 5e 6 0 Θέτοντς e ω 0, προκειμένου ν λύσουμε την προηγούμενη, ρκεί ν λύσουμε την εξίσωση : ω 5ω 6 0 της οποίς οι ρίζες είνι : ω ή ω Επομένως οι ρίζες της (), είνι : Γι Γι ω e ln ω e ln iii) Πρτηρούμε ότι γι κάθε 0 ισχύουν οι ισοδυνμίες: f g ln e e ln e ln e e ln e e e e Η e είνι γνησίως ύξουσ. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -
e e 9e 9 8e 4 8e 6e 6 0 e e 0 Θέτοντς e ω 0, έχουμε την νίσωση : ω ω 0 4 () Η δικρίνουσ του τριωνύμου ω ω 4 είνι : Επομένως έχει τις ρίζες: ω, Άρ οι λύσεις της (), είνι : 4 4 4 ω ω ω Συνεπώς οι τιμές του που ικνοποιούν την νίσωση f g είνι : e ln ln ln ln Η συνάρτηση ln είνι γνησίως ύξουσ Επειδή πρέπει 0, συνεπάγετι ότι οι λύσεις της νίσωσης : f g είνι : 0 ln 6. Ν λυθεί η νίσωση: log log 5 (). EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -
Οι ρίζες της νίσωσης (), πρέπει ν ικνοποιούν τις συνθήκες : 0 ή 5 0 5 5 5 Γι τον προσδιορισμό των λύσεων του πρπάνω συστήμτος, μς βοηθά η ευθεί των πργμτικών ριθμών: - 5 Άρ οι λύσεις του πρπάνω συστήμτος, επομένως κι οι τιμές του που μπορούν ν ικνοποιούν την (), είνι : ή 5 () Η βάση του λογάριθμου είνι 0, άρ η λογριθμική συνάρτηση είνι ύξουσ, με συνέπει ισοδύνμ της () ν έχουμε : 5 6 0 ή Από τις λύσεις υτές θ κάνουμε δεκτές εκείνες που ικνοποιούν κι τις συνθήκες (). Η επιλογή θ γίνει κι πάλι με την βοήθει των πργμτικών ριθμών: - - 5 Επομένως οι λύσεις της νίσωσης είνι : ή 5 log 7. i) Ν υπολογίσετε τον ριθμό 00 log log log ii) Ν λύσετε την εξίσωση: 00 0 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 0 -
log log log log log i) Έχουμε: 00 0 0 0 0 ii) Πρέπει 0, οπότε η δοσμένη σχέση γράφετι: i) log log log log log log log 00 0 0 0 () Θέτουμε στην σχέση () log t, οπότε η επιλύουσ της () είνι : t t 0 () Η δικρίνουσ του τριωνύμου της σχέσης () είνι : 4 4 6 κι οι ρίζες είνι : t 4 6 4 (Η τιμή 4 δίοτι Έτσι είνι : t log log 0 0. t 0 ) t πορρίπτετι 8. Ν λύσετε την εξίσωση : log 00. Πρέπει 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσ της δοσμένης εξίσωσης είνι : log t log00 t 00t log t 00t log t log t 00 log t t log t log t log t log t log t log t log t 0 () Θέτουμε log t ω, οπότε η επιλύουσ της () είνι η : ω ω 0 () Το τριώνυμο της σχέσης () έχει δικρίνουσ : 4 8 9 κι ρίζες: ω 4, οπότε έχουμε τις λύσεις : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
Αν ω log t t 0 00 99 (δεκτή) 9 Αν ω log t t 0 t 0 0 0 (δεκτή) 0. Ν βρείτε τον θετικό ριθμό ώστε ν ισχύει: 5 ν log log log... log ν 5 ν Είνι : log log log... log ν log ν 0 5 ν 5 ν ν 5... ν ν ν ν 0 0 00 Σημείωση Υπολογισμός του θροίσμτος : 5... ν () Αν ο όρος ν κτέχει την κ τάξη, τότε: κ ω ν κ ν κ ν κ ν κ κ Δηλδή το πλήθος των όρων στο άθροισμ () είνι ν. ν Άρ : 5... ν ν ν ν ν. logy log 0. i) Ν ποδείξετε ότι y με, y 0. log y log y 0 ii) Ν λύσετε το σύστημ: log y iii) Αν οι λύσεις του ii) είνι ρίζες της εξίσωσης: * log log log θ 0 0 ν βρείτε το θ. i) ος Τρόπος log y Έστω ότι : log y log y log log log y log y log log log y (ληθής). EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
ος Τρόπος Είνι : log log y log y log y logy logy logy log y log y y y y. ος Τρόπος Έστω ότι : t log t 0 () Τότε: log y 0 y () () log y t t 0 0 () log t t y 0 0 log y y log ii) Πρέπει 0 κι y 0 log y log log y log y i) log y y 0 0 0 0 () log y log y log0 y 0 Η σχέση () γράφετι : y 00 () () log 00 log y log00 log log log 0 0 0 0 log log0 log log log log log 0 log 0 log 0 Η σχέση () γι 0 δίνει : y 0. Άρ, y 0,0. iii) Γι 0 η δοσμένη εξίσωση γράφετι: log log 00 0log θ 0 0 log log 00 0log θ 0 log log 00 0log θ 0 log 00 0log θ 0 log0 00 0log θ 0 0 0log θ 0 log θ θ 0 θ 00 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ a.αν 0 κι θ>0 ισχύει η ισοδυνμί log a a Σ Λ. Αν 0a ισχύει ότι:log a a Σ Λ. Αν 0 ισχύει ότι: a log a Σ Λ 4. Αν 0a ισχύει ότι: loga Σ Λ 5.Αν 0a ισχύει ότι: log a Σ Λ 6.Ισχύει ότι i) log ln e γι κάθε χ>0 Σ Λ ii) log a ln e γι κάθε χ>0 Σ Λ iii) log0 Σ Λ iv) log e Σ Λ 0 v) log log e e Σ Λ 7.Αν <y τότε log<logy Σ Λ 8.Αν <y τότε ln>lny Σ Λ 9.Αν <y τότε log log y Σ Λ 0.Αν <y τότε log log y Σ Λ EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε ότι: ) log +log-log=log β) log 6+ log8 + 4 log 8=log+log. Δείξτε ότι: log+log( +)+log(+ )+log(- )=log. Δείξτε ότι: ) log00=log+log5 log 5 log 7 log β) log5 log 8 4. Δείξτε ότι οι ριθμοί, a,β με,β>0 είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ότν κι μόνο ότν οι ριθμοί log, log είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. a,logβ 5. Ν προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f()= κι την λογριθμική συνάρτηση g()=log χ, των οποίων οι γρφικές πρστάσεις περνούν πό το σημείο ) (,9) β) (-4, 6 ) γ)( 6. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων : ) f ln β) f log γ) δ) f ln 8 ε) f ln e στ) 7,-) δ) (-5,-6) f ln 5 e f ln e 7. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) log( -)=log(+5) β) log( +)-log(+)=log EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -
γ) log(-)+log(-)=log δ) 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) γ) log(+4)=-log log(-)=log-log ε) ln+ln(+5)=ln50 log-log4=log(+)- β) log( +6)-log=log5 δ) log9+log=log+log 9.Ν λύσετε τις εξισώσεις: )ln ln 5 )ln ln 0 )ln 4 ln ln )ln ln )ln ln ln 5 ln 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) log(+)=-log β) 5 log(+)+log =+log. Ν λύσετε τις εξισώσεις : ) ln ln β) ln ln ln 4 γ) log log δ) log 9 log ε) log log log. Ν λύσετε τις εξισώσεις : ) log 0 β) log log 0 γ) 4ln 0 δ) log 5log 0. N συγκριθούν οι ριθμοί: ) log(-4) κι log(-) β) log(+ ) κι log. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -
4. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) log + 5-log = β) log + 4 log =5 γ) log- = δ) +log =0 ε) log- =00 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις : ) ln ln ln 4 e 0 β) γ) ημ ημ ημ συν ημ ln ln ln ln 5 6 4 0 δ) 5 5 00 6.Δίνετι το πολυώνυμο P 4 Α)Ν κάνετε τη διίρεση του P() με το Β)Ν λύσετε την εξίσωση Ρ()=0 Γ)Ν λύσετε την εξίσωση : ln 4ln ln 8 7. Ν λυθούν οι νισώσεις : ) log+ <0 5 β) log[log( -4-)]0 γ) log[log( -)]>0 δ) log- 0 6 8. Ν λύσετε τις νισώσεις : ) log log β) γ) ln 5ln 6 0 δ) ln ln ln ln 9. Ν λυθούν τ συστήμτ: ) log-logy=log β) log+logy= log(-y)= 9 -y y =8 γ) logy =00 δ) log +5 logy =4 y=000 9 log -5 logy =56 0. Ν λυθούν τ συστήμτ: ) log-logy=log β) log+logy= log(+y)= log -logy 4 = EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -
γ) +y=65 δ) log(y)= log+logy= log-logy= ε) log + logy = ζ) log - logy = 9 log -4 logy =77 4 log +9 logy =5. Ν λυθούν τ συστήμτ: log y 000 ) log log y 4 β) y y 7 4 6 4 log log y. N λυθεί η εξίσωση: log[log(0 - +)+]=log+log. ) Αν,y>0,δείξτε ότι logy =y log β) Ν λυθεί το σύστημ: logy +y log =0 log y = 4. Ν λυθεί η εξίσωση: log log8 log78 log 5.Δίνοντι οι συνρτήσεις: f ( ) ln e κι g ln Α)Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f κι g. Β)Ν λύσετε τις νισώσεις f()>0 κι g()<0 Γ)Ν συγρίνετε τους ριθμούς f (ln) κι g e Δ)Ν λύσετε την εξίσωση f f g e 6.Δίνετι η συνάρτηση f ( ) log Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f log 6 Β)Ν υπολογίσετε τον ριθμό 00 ( ) ( ) log 6 Γ)Ν λύσετε την εξίσωση f f 44 9 00 4 0 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -
7.Δίνετι η συνάρτηση f e e ( ) ln Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Ν λύσετε την εξίσωση f()=0 log Π.8. i) Ν ποδείξετε ότι: 00 log ii) Ν λύσετε την εξίσωση: log log 00 0 Π.9 Δίνοντι οι συνρτήσεις f ln e κι g ln 5e. i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των f κι g ii) Ν λύσετε την εξίσωση f g Π.0. Α. Ν λυθούν οι νισώσεις i) ln ln 0 ii) ln ln 0 Β. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ln ln ln ln Π.. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f log 4 log i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ii) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν τέμνει τον άξον ψψ iii) Ν λύσετε την εξίσωση f 0 Π.. Α. Δίνοντι οι συνρτήσεις: f ln e e κι g ln ln e. Β. Ν λύσετε την εξίσωση f g. Π.. Ν λυθεί η εξίσωση : log log 4. ν Π.4. Δίνετι η κολουθί ν, 0 i) Ν υπολογιστεί το άθροισμ Sν ln ln... ln ν ii) Ν λυθεί η εξίσωση Sν ν ln EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -
Π.5. Ο τρίτος όρος μις ριθμητικής προόδου ( ν ) είνι log5 κι η διφορά της είνι ω log5. i) Ν δείξετε ότι ο πρώτος όρος είνι.605 με τη διφορά ω. ii) Ν υπολογίσετε το άθροισμ A... 9. Π.6. Δίνετι η συνάρτηση f ln ln, όπου πργμτικός ριθμός. i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii) Ν βρείτε σε ποι σημεί η συνάρτηση f τέμνει τους άξονες. iii) Ν λύσετε την νίσωση f f e. yy κι Π.7. Δίνετι η συνάρτηση f i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii) Ν λυθεί η εξίσωση f ln ln 5. iii) Αν 6 ν λυθεί η νίσωση f Π.8. Δίνετι η συνάρτηση : f log 4 8. i) Ν βρείτε γι ποιες τιμές του ορίζετι η συνάρτηση. ii) Ν λύσετε την εξίσωση: f log 7 log. y 8 Π.9. Α. Ν λυθεί το σύστημ : y 9 9 Β. Ν λυθεί η νίσωση : log 6 log 4. Π.40. Δίνοντι οι συνρτήσεις: f log κι g log log Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των f κι g. Β. Ν λύσετε την εξίσωση f g. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 40 -
Π.4. Αν f ln ln, ν λυθεί η εξίσωση 0 f f. Π.4. Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων log0 log5 log 4 κι ln log e 0. Π.4. Δίνετι η ριθμητική πρόοδος με. i) Ν βρείτε την διφορά ω της προόδου. ii) Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ S ν των ν πρώτων όρων της, δίνετι πό τον τύπο Sν ν ln. ν ln 4 κι ln 4 5 Π.44. Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f log 5 6 log Β. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης Γ. Γι λ = 5, ν λύσετε την νίσωση e λ e 6 0. λ 0. Π.45. Α. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ln 5ln 6. Β. Ν λυθεί η εξίσωση : 5 00 005 log log log... log log 00. Π.46. Δίνετι η e f ln e 5. i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της κι ν λυθεί η εξίσωση f ln. ii) Ν λυθεί η νίσωση f 0. Π.47. Έστω f ln g 5, g 5 i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Ν βρείτε τ σημεί τομής της γρφικής πράστσης της f με τους άξονες. iii) Ν λυθεί στο η εξίσωση : 6 g g 4 g 6...g 0,04. Π.48. Α. Ν λυθεί η εξίσωση : log log log. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -
Β. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : f 4 log 4 5. Π.49. Έστω η συνάρτηση f log 5 5 4 κι η ευθεί ε : y log. Α. Ν βρείτε τις πργμτικές τιμές του γι τις οποίες ορίζετι η f. Β. Ν βρείτε τ κοινά σημεί της γρφικής πράστσης της f κι της ευθείς (ε Π.50. Έστω η f με f log 0, i) Ν ποδείξετε ότι f log γι κάθε ii) Ν ποδείξετε ότι f log log. iii) Ν λύσετε την εξίσωση: f.. Π.5. Ν λύσετε την εξίσωση : 00 log00 0 8 0. Π.5. Δίνετι η συνάρτηση : f ln. Α. i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii) Ν λύσετε την εξίσωση: f ln 4. Β. Ν λυθεί η νίσωση : 6 004 005 005 004. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -