Άσκηση Δείξτε ότι εάν ~ G (, b v για, τότε έχουμε ότι οι τ.μ u και είναι ανεξάρτητες και u ~ G (, b, v ~ Be(, Η από κοινού των και είναι (, π e e e ( b b b. Ορίζουμε τον ένα-προς-ένα μετασχηματισμό T u uv v u( v : T : με < u <. < v < Η Ιακωβιανή του αντιστρόφου είναι Jc ( T Έτσι η από κοινού των u και v είναι v u u, v u { } bu ( bu { } π u, v uv u v e Jc T u e v v (, (, G u b Be v Δηλαδή οι τ.μ. u και v είναι ανεξάρτητες ( u, v ( u ( v G ( u, b Be( v, π π π Άσκηση Δείξτε ότι εάν ~ G (, b u ~ G (, b για,, τότε, Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes Sttstcs (ΠΜΣ
v v v, v, vv ~ D,, v και,(, u v v ανεξάρτητα. u T : v T : uv ( uv u vv v και < u < < v < < v < v Jc T v u u u v v u u (,, b b b b π e e e e ( bu π u, v, v uv uv u v v e Jc T { } bu { u e } v v ( v v (, (,,, G u b D v v Η κατανομή Drchlet είναι το ultvrte ανάλογο της bet κατανομής. ια έχουμε:,,,, Drchlet v v v v v v I v S, { (,, :, } S v v v v v v v < v < the esol robblty sle (πολύεδρο. Η σταθερά κανονικοποίησης C για είναι Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes Sttstcs (ΠΜΣ
C v v v v v v v v v v v v v ( S v v Θέτοντας ( v v t παίρνουμε C v v t v v t v v t v t (( ( ( (( ( ( v t v v v t t t Έτσι για παίρνουμε την o-l αναπαράσταση της Drchlet κατανομής σαν μια sgulr (ιδιάζουσα κατανομή με suort το πολύεδρο πιθανότητας S (,,,, ( ( ( ( D v v v v v v I v S v v v I v S Η l αναπαράσταση της Drchlet είναι: ( ( ( ( D v, v,, v v v v (,, I < v v < < v < < v < Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes Sttstcs (ΠΜΣ
( (,, v v v v I < v v < < v < < v < Οι περιθώριες κατανομές της Drchlet αρχίζοντας από την l αναπαράσταση είναι v π v C v v v v v C v t v v t v v t v t ( ( ( t ( Cv v t t t Cv v v v ( ( ( ( ( ( (, v v Be v και λόγω συμμετρίας π v ( v C v v ( v v v Be( v, v, ια η o-l αναπαράσταση της Drchlet είναι ( ( ( D v, v, v v I v, v S ( και η l αναπαράσταση ( ( ( D v, Be v, v v I < v < που είναι η Bet κατανομή. Θα συμβολίζουμε την o-l αναπαράσταση της Drchlet με (,,,, ( D v v v v I v S, και την l με (,,,, ( ( D v v v v v v I v S Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes 4Sttstcs (ΠΜΣ
Άσκηση Εάν v~ D ( δείξτε ότι για,, k έχουμε ( v ( ( k ( ( k v S v v k k k ( (,, ( E v v D v v v v B v v v v v v Θέτοντας ( v v t παίρνουμε k k ( (,, (( ( ( ( ( E v B v v t v v t v v t v t t v k (,, ( ( B t t t v v v k k k k ( ( k ( ( k Λόγω συμμετρίας παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα και για,. Άσκηση 4 Δείξτε ότι εάν ~ (, G b για,, τότε u ~, G b, v, v,, v, v v ~ Drchlet,, v και u, ( v,, v ανεξάρτητα. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes 5Sttstcs (ΠΜΣ
T u : T : v uv, ( u και < u < < v <, Jc T ( v v u v v u u b π (,, e e b π ( u, v,, v ( uv u ( v v e Jc T bu u e v v v v bu (, (,,,,,, G u b Drchlet v v v u Έχουμε δηλαδή ότι (,,,,, ( Drchlet v v C v v v v (, I < v v < < v <. Δείχνουμε τώρα με επαγωγή ότι το orlzg costt C για γενικό είναι ( C v v B (,,, S { } με S v ( v,, v : v v, < v < το ( sle. -robblty Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes 6Sttstcs (ΠΜΣ
Στην άσκηση το δείξαμε για. Έστω ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει, δηλαδή ότι v v v B(,, για, τότε S v v v v v v v v ( v v v v v S v v v v θέτοντας ( v v v t το ολοκλήρωμα γίνεται v v v ( ( v v v t v v v v v t t t ( B(,,, B(, ( ( ( B (,, Άσκηση 5 Δίνεται το μοντέλο, β ~ Po( β ϑ (, β, όπου (,, και es των,, και β? Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι για,. Να γίνει εκτίμηση του, < <,,. Ποία τα osteror (, (, Po( ( β β! π β π β β β { ( β }, β β e e β θέτοντας -ror q γ δβ π(, β π( π( β Drchlet( q G ( βγδ, { β e },,,, γδ, hyerreters, θα έχουμε την osteror όπου q ( q q e Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes 7Sttstcs (ΠΜΣ
π, β π π β π, β β e e β q γ δβ β { } ( δ β γ q ( (, e β Drchlet q G βγ δ Δηλαδή π (, β π ( π ( β ( Drchlet ( q π με ( G (, π β βγ δ. Επειδή ~ Be q, ( q E E q q ( β παίρνουμε ( q ( q ( q γ δ Παρατηρήστε ότι,, το scle reter της G κάνει ute από δ σε δ που σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από τις παρατηρήσεις. Δηλαδή θα μπορούσαμε εξ αρχής να θέσουμε, ας πούμε, δ. Άσκηση 6 Να δειχθεί ότι το cougte ror της Multol (πολυωνυμικής κατανομής είναι η κατανομή Drchlet Ας θεωρήσουμε μια πολυωνυμική παρατήρηση τέτοια ώστε ( M,, με, όπου ο αριθμός των αποτελεσμάτων τύπου για σε M πολυωνυμικές δοκιμές. Τότε ~ Multol ( M, πιθανότητας ( π ( Multol (,, M,(,, M ( ϑ,, και M γνωστό, δηλαδή,, για διάνυσμα Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes 8Sttstcs (ΠΜΣ
, M M!, όπου (! ο πολυωνυμικός συντελεστής για τον οποίο ξέρουμε M ότι ισχύει ( M M y y y y. Σημειώστε ότι η,, παραπάνω έκφραση για την ultol είναι ιδιάζουσα. Θέτοντας σαν ror π Drchlet, η osteror γίνεται π ( Drchlet ( Άσκηση 7 Δείξτε ότι στην προηγούμενη άσκηση, το osteror e ( E είναι κυρτός γραμμικός συνδυασμός του ror e E( και u lkelhoo esttor για κάθε MLE νωρίζουμε ότι E Το MLE και E( M για. μπορούμε να το υπολογίσούμε από τις σχέσεις { π ( } log,, r, M r r r { } M r r r r log log log Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes 9Sttstcs (ΠΜΣ
M r r r r, MLE, M Ζητάμε τέτοιο ώστε γ ( ( γ γ E E MLE γ M M για κάθε Άσκηση 8 Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης g u u e u u δείξτε ότι bet ολοκλήρωμα (, ( αναπαράσταση B( q, Λύση q, για B q ( ( q ( q. u q v q u e u v e v u v θέτοντας u και v y παίρνουμε > και q >, έχει την q y ( y q q 4 e y e y 4 e y y y y θέτοντας rcos( ϑ και y rs ( ϑ παίρνουμε r 4 cos q q s ( q e r ϑ r ϑ Jc T rϑ r (, π/ ϑ r (, π/ ϑ ( q r q 4 e r cos ϑ s ϑ rϑ r ( q π q 4 e r r cos ϑ s ϑ ϑ r (, / ϑ Θέτοντας r / παίρνουμε Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes Sttstcs (ΠΜΣ
( q e r r r e r q r q r Θέτοντας cos( ϑ παίρνουμε s ϑ και ϑ ( q q cos( ϑ s ( ϑ ϑ ( (, π/ ϑ, Έτσι η εξίσωση για το ( ( q γίνεται q ( ( q 4 ( q ( (, Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Byes Sttstcs (ΠΜΣ