Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78

Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Συμπέρασμα 2 Ορισμοί Διαϕορικών Εξισώσεων Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Τάξη Δ.Ε. Τάξη Δ.Ε. Συνήθεις και μερικές Γραμμικές και μη γραμμικές Ομογενείς και ετερογενείς Ορισμός Ομογενών Διαϕορικών Εξισώσεων Δεν υπάρχει μόνο μια ταξονομία Λύση Αρχικές συνθήκες Πρόβλημα οριακών συνθηκών 3 Laplace Transform Laplace Transform Ορισμός Ορισμός αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 2 / 78

Section 1 Παρουσίαση Προβλήματος Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 3 / 78

Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) όταν είναι γνωστά ότι ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 Να βρεθεί: ẍ, ẋ, x γιαt = 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 4 / 78

Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) d 2 dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 5 / 78

Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: d 2 ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt επίσης όταν x y και t x d 2 dt 2 y(x) + 2 d y(x) + y(x) = sin(x) dt ÿ + 2 ẏ + y = sin(x) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 5 / 78

Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: d 2 ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt επίσης όταν x y και t x d 2 dt 2 y(x) + 2 d y(x) + y(x) = sin(x) dt επίσης όταν x f(x) και t x ÿ + 2 ẏ + y = sin(x) d 2 dt 2 f(x) + 2 d f(x) + 1 = sin(x) dt Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 5 / 78

Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Συμπέρασμα Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + 1 = sin(t) ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ - ΙΔΙΑ ΟΥΣΙΑ Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 6 / 78

Section 2 Ορισμοί Διαϕορικών Εξισώσεων Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 7 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Τάξη Δ.Ε. Level 1 Διαϕορικές Εξισώσεις Level 2 Ταξη Συνήθης ή Μερικές Γραμμικές ή μη Γραμμικες Ετερογενείς ή Ομογενείς Level 3 Σταθερού συντελεστή Μεταβλητού Συντελεστή Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 8 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Τάξη Δ.Ε. Ίση με την μεγαλύτερη παράγωγο που παρουσιάζεται στην εξίσωση. 1ης τάξης : Μέχρι παράγωγο πρώτης τάξης 2ης τάξης : dy = ax και dx ( ) dy 3 + y dx x = b d 2 y = ax και dx2 ( d 3 ) 3 y dx 3 + y x = b Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 9 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Συνήθεις και μερικές Συνήθης (Ordinary) : μια συνήθης διαϕορική εξίσωση περιέχει διαϕορικά ως προς μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή. dy dx = ax και d3 y dx 3 + y = b είναι συνήθης x Μερικές (Partial) : αν περιέχονται διαϕορικά για περισσότερες από μια μεταβλητές τότε πρόκειται για μερική διαϕορική εξίσωση. 2 z x y + z z + z = 0 και x x = z y είναι μερικές. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 10 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Γραμμικές και μη γραμμικές Γραμμικές και μη γραμμικές : Οι γραμμικές Δ.Ε. δεν περιέχουν δυνάμεις των διαϕορικών (κατά κάποιους συγγραϕείς και της ανεξάρτητης μεταβλητής). dy dx = ax d 3 y + y dx Γραμμικές 3 x = b 2 z x y + z x + z = 0 z x = z y Μη γραμμικές : οι υπόλοιπες (δεν θα μας απασχολήσουν). ( 2 dy Μη Γραμμικές dx) = ax d 3 y = b + y2 dx 3 x Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 11 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Ομογενείς και ετερογενείς Ετερογενείς (heterogeneous) : Οι Ομογενείς Δ.Ε. περιέχουν μη διαϕορίσιμους όρους (συμπεριλαμβανομένης και της ανεξάρτητης μεταβλητής) heterogeneous ( dy dx) 2 = ax αν a 0 ( dy dx) 2 = b αν b 0 Ομογενείς (homogeneous) : Οι Ομογενείς Δ.Ε. δεν περιέχουν μη διαϕορίσιμους όρους. homogeneous ( dy dx) 2 = ax αν a = 0 ( dy dx) 2 = b αν b = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 12 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Ορισμός Ομογενών Διαϕορικών Εξισώσεων ή a n dn y dt n + a n 1 dn 1 y dt n 1 +... + a 0 y = 0 a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 0 y = 0 Στους αναλυτικούς τρόπους λύσεις ΔΕ, οι ομογενείς εξισώσεις έχουν ιδιαίτερη σημασία. Περιγράϕουν το σύστημα (αργότερα). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 13 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Δεν υπάρχει μόνο μια ταξονομία Ταξονομία πρώτης τάξης Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 14 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Λύση Λύση μιας ΔΕ σε ένα διάστημα είναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί την ΔΕ, στο διάστημα αυτό. Είναι σημαντικό ότι είναι συχνό οι λύσεις να συνοδεύονται από διαστήματα και τα διαστήματα αυτά εμπεριέχουν σημαντική πληροϕορία για την λύση. Γενική Ικανοποιεί την διαϕορική εξίσωση (π.χ. περιέχει σταθερές ολοκλήρωσης) Πραγματική Ικανοποιεί την διαϕορική εξίσωση και αρχικές συνθήκες άμεση (explicit) περιέχει μόνο πρώτη δύναμη της εξαρτώμενης μεταβλητής στο αριστερό χέρι έμμεση (implicit) Λύση περιέχει διπλη λύση. π.χ. y(t) 2 = t 2 3 y(t) = ± t 2 3 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 15 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Αρχικές συνθήκες Αρχική συνθήκη(ες) είναι ένας όρος, ή ένα σετ περιορισμών, σχετικά με την λύση που θα μας επιτρέψει να καθοριστεί ποια που αναζητείται. Είναι της μορϕής, y(t 0 ) = y 0 και y (k) (t 0 ) = y k Έτσι, με άλλα λόγια, αρχικές συνθήκες είναι τιμές του διαστήματος ή / και παράγωγο του σε συγκεκριμένα σημεία. Για καλά συμπεριϕερόμενες Δ.Ε. λύση και αρχικές συνθήκες είναι μοναδικές Ο αριθμός των αρχικών συνθηκών που απαιτούνται για μια δεδομένη διαϕορική εξίσωση θα εξαρτηθεί από την τάξη της διαϕορικής εξίσωση Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 16 / 78

Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Πρόβλημα οριακών συνθηκών Initial Value Problem: Διαϕορική εξίσωση + Αρχικές συνθήκες Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 17 / 78

Section 3 Laplace Transform Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 18 / 78

Laplace Transform Ορισμός Για μια συνάρτηση f(t): L(f(t)) = F(s) = 0 f(t) e st dt Όπου : s = σ + jω και σ, ω R Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 19 / 78

Laplace Transform Ορισμός αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace Για μια συνάρτηση f(t): L 1 (F(s)) = f(t) = 1 2πj c+j c j F(s) e st dt Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 20 / 78

Laplace Transform Ορισμός αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace Για μια συνάρτηση f(t): L 1 (F(s)) = f(t) = 1 2πj c+j c j F(s) e st dt Αναλυτική επίλυση είναι επίπονη και δεν χρειάζεται. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 20 / 78

Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 1 f(t) L [f(t)] = F(s) Σχολιο 1 1 Σταθερός όρος s e at f(t) F(s a) Μετατόπιση στο πεδίο s e as U(t a) s f(t a)u(t a) e as F(s) δ(t) 1 Impulse function για t 0 δ(t t 0 ) e st0 Impulse function για t t 0 t n f(t) ( 1) n dn F(s) ds n f (t) sf(s) f(0) 1ή παράγωγος f (n) (t) s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) n-οστή παράγωγος Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 21 / 78

Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 2 f(t) L [f(t)] = F(s) Σχόλιο t 0 f(x)g(t x)dx F(s)G(s) Συνέλιξη t n n! (n = 0, 1, 2,... ) Δύναμη ακεραίου αριθμού s n+1 t x Γ(x + 1) (x 1 R) s x+1 k sin kt s 2 + k s 2 cos kt s 2 + k 2 e at 1 s a k sinh kt s 2 k s 2 cosh kt s 2 k 2 Δύναμη πραγματικού αριθμού Ημίτονο Συνημίτονο Εκθετική συνάρτηση υπερβολικό ημίτονο υπερβολικό συνημίτονο Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 22 / 78

Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 3 f(t) L [f(t)] = F(s) ae at be bt s a b (s a)(s b) te at 1 (s a) 2 t n e at n! (s a) n+1 e at k sin kt (s a) 2 + k 2 e at s a cos kt (s a) 2 + k 2 e at k sinh kt (s a) 2 k 2 e at s a cosh kt (s a) 2 k 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 23 / 78

Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 4 f(t) L [f(t)] = F(s) 2ks t sin kt (s 2 + k 2 ) 2 s 2 k 2 t cos kt (s 2 + k 2 ) 2 2ks t sinh kt (s 2 k 2 ) 2 s 2 k 2 t cosh kt (s 2 k 2 ) 2 sin at arctan a t s 1 e a2 /4t e a s πt s a 2 πt 3 e a2 /4t e a s ( ) a erfc 2 e a s t s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 24 / 78

Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού Έστω δύο σύναρτήσεις f 1 (t) και f 2 (t), για τις οποίες ορίζεται ο μετασχηματισμός Laplace και ισχύει L [f 1 (t)] = F 1 (s), και L [f 2 (t)] = F 2 (s). Τότε για α 1, α 2 R, ισχύει: L [α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t)] = α 1 F 1 (s) + α 2 F 2 (s) L 1 [α 1 F 1 (s) + α 2 F 2 (s)] = α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 25 / 78

Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού - Παραδείγματα Θεώρημα αρχικής και τελικής τιμής: f(0) = lim s F(s) f( ) = lim s 0 F(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 26 / 78

Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού - Παραδείγματα Θεώρημα αρχικής και τελικής τιμής: f(0) = lim s F(s) f( ) = lim s 0 F(s) Κλιμάκωση χρόνου: [ ( )] t L f = α F(α s) α ( s L 1 [F ] = α f(α t) α) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 26 / 78

Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού - Παραδείγματα Ολίσθηση χρόνου: Ολίσθηση συχνότητας: Παραγώγιση στη συχνότητα: L [f(t T)] = e st F(s) L [ e αt f(t) ] = e st F(s + α) L [t n f(t)] = ( 1) n dn ds n F(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 27 / 78

Laplace Transform στο Matlab laplace - Ευθύς μετασχηματισμός Laplace laplace(function): μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση Matlab example Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 28 / 78

Laplace Transform στο Matlab laplace - Ευθύς μετασχηματισμός Laplace laplace(function): μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση Matlab example Matlab result Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 28 / 78

Laplace Transform στο Matlab ilaplace - Inverse Laplace - Matlab ilaplace(function): αντίστροϕος μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 29 / 78

Laplace Transform στο Matlab ilaplace - Inverse Laplace - Matlab ilaplace(function): αντίστροϕος μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση 2 s+10 Έστω η συνάρτηση F(s) =. Να υπολογιστεί ο (s 2 +10s+34) 2 Αντίστροϕος Μετασχηματισμός Laplace Matlab example Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 29 / 78

Laplace Transform στο Matlab ilaplace - Inverse Laplace - Matlab ilaplace(function): αντίστροϕος μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση 2 s+10 Έστω η συνάρτηση F(s) =. Να υπολογιστεί ο (s 2 +10s+34) 2 Αντίστροϕος Μετασχηματισμός Laplace Matlab example Matlab result Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 29 / 78

Section 4 Laplace και επίλυση Δ.Ε. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 30 / 78

Χρήση Laplace για επίλυση διαϕορικών εξισώσεων Προεπισκόπηση Ο μετασχηματισμός Laplace ανάγει την επίλυση μιας Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές σε επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Η συνάρτηση από το Πεδίο του χρόνου μετασχηματίζεται κατά Laplace (L)στο Πεδίο s Λαμβάνεται μια αλγεβρική εξίσωση στο πεδίο s Επιλύεται μια αλγεβρική εξίσωση στο πεδίο s H λύση μέσω του αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace μεταϕέρεται στο πεδίο του χρόνου Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 31 / 78

Χρήση Laplace για επίλυση διαϕορικών εξισώσεων Γραϕική αναπαράσταση Χρήση του M. Laplace για επίλυση διαϕορικών εξισώσεων. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 32 / 78

Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Παρουσίαση προβλήματος Να λυθεί η εξίσωση: Με αρχική συνθήκη y(0) = y 0. ẏ(t) = 3y(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 33 / 78

Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση Από την ẏ(t) = 3y(t) L Μετασχηματίζουμε από το πεδίο του χρόνου με τον Μ. Laplace: Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 34 / 78

Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση Από την ẏ(t) = 3y(t) L Μετασχηματίζουμε από το πεδίο του χρόνου με τον Μ. Laplace: s Y(s) y(0) = 3(Y(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 34 / 78

Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση Από την ẏ(t) = 3y(t) L Μετασχηματίζουμε από το πεδίο του χρόνου με τον Μ. Laplace: s Y(s) y(0) = 3(Y(s) Λύνουμε αλγεβρικά την εξίσωση ως προς Y(s) (s + 3) Y(s) = y(0) Και τελικά: Y(s) = y(0) s + 3 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 34 / 78

Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση - Επιστροϕή στο πεδίο του χρόνου Απο την έκϕραση του Y(s), επιστρέϕούμε στο πεδίο του χρόνου με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό Laplace. y(t) = L 1 [ y(0) s + 3 ] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 35 / 78

Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση - Επιστροϕή στο πεδίο του χρόνου Απο την έκϕραση του Y(s), επιστρέϕούμε στο πεδίο του χρόνου με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό Laplace. Τελικά η εξίσωση είναι: y(t) = L 1 [ y(0) s + 3 ] y(t) = y(0) e 3t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 35 / 78

Κυκλώμα RC Παρουσίαση Δεδομένα: u(t): Πηγή (Είσοδος) Vc: Τάση στα άκρα πυκνωτή (Έξοδος) RC circuit Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 36 / 78

Κυκλώμα RC Διαμόρϕωση του προβλήματος Δεδομένα: Κirchoff u(t) I R V c = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 37 / 78

Κυκλώμα RC Διαμόρϕωση του προβλήματος Δεδομένα: Κirchoff u(t) I R V c = 0 Πυκνωτής: C = Q V c C V C = Q C dv c dt = dq dt = I Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 37 / 78

Κυκλώμα RC Διαμόρϕωση του προβλήματος Δεδομένα: Κirchoff u(t) I R V c = 0 Πυκνωτής: C = Q V c C V C = Q C dv c dt = dq dt = I Όλα μαζί (αντικατάσταση του I με C dv c dt ): u(t) C dv c dt R V C = Με μια μικρή αναδιάταξη: RC dv c dt + V C = u(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 37 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 38 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Υπενθυμίζεται ότι dv c dt L s V c (s) + V c (0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 38 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Υπενθυμίζεται ότι dv c dt L s V c (s) + V c (0) RC (s V c (s) + V c (0)) + V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 38 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Υπενθυμίζεται ότι dv c dt L s V c (s) + V c (0) RC (s V c (s) + V c (0)) + V c (s) = U(s) Επίσης παίρνω για αρχικές συνθήκες μηδέν (V c (0) = 0): RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 38 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 39 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Λύνουμε ως προς V c (s)) RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) (RC s + 1) V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 39 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Λύνουμε ως προς V c (s)) RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) (RC s + 1) V c (s) = U(s) V c (s) = U(s) RC s + 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 39 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Λύνουμε ως προς V c (s)) RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) (RC s + 1) V c (s) = U(s) V c (s) = U(s) RC s + 1 Τελικά η συνάρτηση μεταϕοράς που προκύπτει: H(s) = V C(s) U(s) = 1 RC s + 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 39 / 78

Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace- Μορϕή χρονικής σταθεράς Με τ = R C: σταθερά χρόνου του συστήματος H(s) = 1 τ=rc RC s + 1 H(s) = 1 τ s + 1 1 τ s + 1 Η συνάρτηση μεταϕοράς αντιπροσωπεύει την συμπεριϕορά ενός συστήματος και είναι ανεξάρτητη της εισόδου. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 40 / 78

Κυκλώμα RC Είσοδος - Μή μηδενικές είσοδοι Μέχρι στιγμής δεν έχουμε μιλήσει για είσοδο στο σύστημα. Αν σαν είσοδο έχω: { 0[V] if t < 0 u(t) = 2 s(t) = 2[V] if t 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 41 / 78

Κυκλώμα RC Είσοδος - Μή μηδενικές είσοδοι Μέχρι στιγμής δεν έχουμε μιλήσει για είσοδο στο σύστημα. Αν σαν είσοδο έχω: { 0[V] if t < 0 u(t) = 2 s(t) = 2[V] if t 0 Βηματική συνάρτηση (Step, Heaviside function) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 41 / 78

Κυκλώμα RC Είσοδος - Μή μηδενικές είσοδοι Μέχρι στιγμής δεν έχουμε μιλήσει για είσοδο στο σύστημα. Αν σαν είσοδο έχω: { 0[V] if t < 0 u(t) = 2 s(t) = 2[V] if t 0 Βηματική συνάρτηση (Step, Heaviside function) s(t): h βηματική συνάρτηση με AML (L [u(t)] = U(s) = 2 s ). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 41 / 78

Κυκλώμα RC Έξοδος Η έξοδος (Τάση του πυκνωτή - V c (t)) σαν συνάρτηση του χρόνου μπορεί να υπολογιστεί ώς το γινόμενο της συνάρτησης μεταϕοράς με το είσοδο στο σύστημα: V c (t) = L 1 {H(s)U(s)} Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 42 / 78

Κυκλώμα RC Έξοδος Η έξοδος (Τάση του πυκνωτή - V c (t)) σαν συνάρτηση του χρόνου μπορεί να υπολογιστεί ώς το γινόμενο της συνάρτησης μεταϕοράς με το είσοδο στο σύστημα: V c (t) = L 1 {H(s)U(s)} Για το παράδειγμα μας: { } { } V c (t) = L 1 1 2 = L 1 2 τ s + 1 s (τ s + 1)s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 42 / 78

Κυκλώμα RC Έξοδος Η έξοδος (Τάση του πυκνωτή - V c (t)) σαν συνάρτηση του χρόνου μπορεί να υπολογιστεί ώς το γινόμενο της συνάρτησης μεταϕοράς με το είσοδο στο σύστημα: V c (t) = L 1 {H(s)U(s)} Για το παράδειγμα μας: { } { } V c (t) = L 1 1 2 = L 1 2 τ s + 1 s (τ s + 1)s Τροποποιώ το σύστημα ώστε να είναι σε μια μορϕή που είναι εύκολος ο ΑΜL. { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 42 / 78

Κυκλώμα RC Μή μηδενικές είσοδοι - Αντίστροϕός μετασχηματισμός Laplace Δεδομένου ότι από πίνακες : { } L 1 1 1 ( ) 1 e t τ (s + α)s α το παράδειγμα γίνεται: { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s = Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 43 / 78

Κυκλώμα RC Μή μηδενικές είσοδοι - Αντίστροϕός μετασχηματισμός Laplace Δεδομένου ότι από πίνακες : { } L 1 1 1 ( ) 1 e t τ (s + α)s α το παράδειγμα γίνεται: { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s ( ) = 2 1 e t τ Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 43 / 78

Κυκλώμα RC Μή μηδενικές είσοδοι - Αντίστροϕός μετασχηματισμός Laplace Δεδομένου ότι από πίνακες : { } L 1 1 1 ( ) 1 e t τ (s + α)s α το παράδειγμα γίνεται: { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s Αν αντικαταστήσω το τ RC. V c (t) = 2 ) (1 e t RC ( ) = 2 1 e t τ Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 43 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Παρουσίαση προβλήματος Αρμονικός ταλαντωτής μαζα (m) : 1[kg] σταθερά απόσβεσης (b) : 2[kg/s] σταθερά ελατηρίου (k) : 1[N/m] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 44 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Εξίσωση συστήματος όπου και για την εξωτερική διέγερση: m ẍ(t) + b ẋ(t) + k x(t) = F(t) ẍ(t) = d2 dt 2 x(t) και ẋ(t) = d dt x(t) F(t) = sin(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 45 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Ερώτηση Αρμονικός ταλαντωτής Ποιά η απόκριση του συστήματος για αρχικές συνθήκες (t = 0): x(t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 46 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Eπίλυση - 1ο βήμα Απλούστευση Απλοποιώ τον συντελεστή της μεγαλύτερης παραγώγου: ẍ(t) + b m ẋ(t) + k m x(t) = F(t) m Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 47 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Eπίλυση - 1ο βήμα Απλούστευση Απλοποιώ τον συντελεστή της μεγαλύτερης παραγώγου: ẍ(t) + b m ẋ(t) + k m x(t) = F(t) m Για απλούστευση των εξισώσεων και για λόγους που θα γίνουν προϕανείς αργότερα όταν μιλήσουμε για απόκριση συστημάτων, θέτω: 2γ = b m, ω2 = k F(t), G(t) = m m ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) = G(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 47 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - 2ο βήμαμετασχηματισμός Laplace L [ ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) ] = L [G(t)] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 48 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - 2ο βήμαμετασχηματισμός Laplace L [ ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) ] = L [G(t)] Αρχή υπέρθεσης: L [ẍ(t)] + 2γ L [ẋ(t)] + ω 2 L [x(t)] = L [G(t)] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 48 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - 2ο βήμαμετασχηματισμός Laplace L [ ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) ] = L [G(t)] Αρχή υπέρθεσης: L [ẍ(t)] + 2γ L [ẋ(t)] + ω 2 L [x(t)] = L [G(t)] Συμβολισμός που θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω: L [x(t)] = X(s), L [G(t)] = G(s) = 1 s 2 + 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 48 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 49 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: Συνεπώς: και f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) L [ẋ(t)] = s L [x(t)] x(0) = s X(s) x(0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 49 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: Συνεπώς: f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) L [ẋ(t)] = s L [x(t)] x(0) = s X(s) x(0) και άρα L [ẍ(t)] = s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 49 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: Συνεπώς: και άρα f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) L [ẋ(t)] = s L [x(t)] x(0) = s X(s) x(0) L [ẍ(t)] = s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) L [ẍ(t)] + 2γ L [ẋ(t)] + ω 2 L [x(t)] = L [G(t)] (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 49 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Matlab Matlab Code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 50 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Μετά την αντικατάσταση: (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Λύνοντας ως προς X(s): s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) + 2γ s X(s) 2γ x(0) + ω 2 X(s) = G(s) Συγκεντρώνουμε στο ένα μέρος τα X(s): s 2 X(s) + 2γ s X(s) + ω 2 X(s) = G(s) + 2γ x(0) + s x(0) + ẋ(0) Κοινός παράγοντας X(s): (s 2 + 2γ s + ω 2 ) X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) Τελικά X(s): X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 51 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αριθμητικά δεδομένα Υπενθυμίζεται ότι: X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 2γ = b m = 2[kg/s] 1[kg] Συνεπώς ο παρανομαστής γίνεται:, ω 2 = k m = 1[N/m], G(t) = F(t) 1[kg] m = F(t) 1[kg] s 2 + 2γ s + ω 2 s 2 + 2 s + 1 2 (s + 1) 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 52 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αριθμητικά δεδομένα X(s) = O αριθμητής γίνεται: G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 G(s) + (2 + s) 0 + 2 1 s 2 + 1 + 0 + 2 2 s2 + 3 s 2 + 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 53 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αντίστροϕος Μετ. Laplace X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 X(s) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s 2 + 1) Από εδώ και κάτω υπάρχουν θα δούμε δύο διαϕορετικούς τρόπους στο Matlab (υπάρχουν πολλοί): Αναλυτικός με απλά κλάσματα : αλλιώς γνωστός και ως μαζοχιστικός. Είναι της άποψης Είναι πραγματικά δικό σου μόνο ότι αποκτιέται με κόπους και βάσανα. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 54 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αντίστροϕος Μετ. Laplace X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 X(s) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s 2 + 1) Από εδώ και κάτω υπάρχουν θα δούμε δύο διαϕορετικούς τρόπους στο Matlab (υπάρχουν πολλοί): Αναλυτικός με απλά κλάσματα : αλλιώς γνωστός και ως μαζοχιστικός. Είναι της άποψης Είναι πραγματικά δικό σου μόνο ότι αποκτιέται με κόπους και βάσανα. Με χρήση του symbolic toolbox και της ilaplace : αλλιώς γνωστός και ως cheating, thinking creatively κλπ. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 54 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Απλά κλάσματα X(s) = X(s) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s 2 + 1) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s i)(s + i) A s + 1 + Μετά από πολλές πράξεις... B (s + 1) 2 + C s i + D s + i Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 55 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Απλά κλάσματα X(s) = X(s) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s 2 + 1) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s i)(s + i) A s + 1 + Μετά από πολλές πράξεις... B (s + 1) 2 + C s i + D s + i X(s) = 0.5 s + 1 + 2.5 (s + 1) 2 + 0.25 s i + 0.25 s + i Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 55 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Απλά κλάσματα με Matlab X(s) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s 2 + 1) Matlab Code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 56 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Αντίστροϕος μετασχηματισμός Απο πίνακες X(s) = 0.5 s + 1 + 2.5 (s + 1) 2 + 0.25 s i + 0.25 s + i L 1 0.5 L[ea t]= 1 [ s + 1 ] s a = 0.5 e t L 1 2.5 L[t ea t]= 1 [ (s + 1) 2 ] (s a) = 2 2.5 t e t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s i ] s a = 0.25 e i t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s + i ] s a = 0.25 e i t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 57 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Αντίστροϕος μετασχηματισμός Απο πίνακες X(s) = 0.5 s + 1 + 2.5 (s + 1) 2 + 0.25 s i + 0.25 s + i άρα L 1 0.5 L[ea t]= 1 [ s + 1 ] s a = 0.5 e t L 1 2.5 L[t ea t]= 1 [ (s + 1) 2 ] (s a) = 2 2.5 t e t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s i ] s a = 0.25 e i t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s + i ] s a = 0.25 e i t x(t) = 0.5 e t + 2.5 t e t 0.25 e i t 0.25 e i t x(t) = (0.5 + 2.5 t) e t 0.25 (e i t + e i t ) eit =cos(t)+i sin(t) x(t) = (0.5 + 2.5 t) e t 0.5 cos(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 57 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (2) - Αντίστροϕος Laplace Matlab X(s) = 2 s 2 + 3 (s + 1) 2 (s 2 + 1) Matlab Code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 58 / 78

Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση(3) - dsolve Matlab code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 59 / 78

Section 5 Επίλυση Δ.Ε. με την χρήση χαρακτηριστικής εξισώσης Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 60 / 78

Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Χαρακτηριστική εξίσωση διαϕορικής εξίσωσης Χαρακτηριστική εξίσωση Δ.Ε.: είναι η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικατασταθούν τα διαϕορικά απο αντίστοιχες δυνάμεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. π.χ. για την ομογενή ΔΕ Η Χ.Ε. είναι a ẍ + b (x) + c x = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 61 / 78

Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Χαρακτηριστική εξίσωση διαϕορικής εξίσωσης Χαρακτηριστική εξίσωση Δ.Ε.: είναι η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικατασταθούν τα διαϕορικά απο αντίστοιχες δυνάμεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. π.χ. για την ομογενή ΔΕ a ẍ + b (x) + c x = 0 Η Χ.Ε. είναι a ρ 2 + b ρ + c = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 61 / 78

Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Χαρακτηριστική εξίσωση διαϕορικής εξίσωσης Χαρακτηριστική εξίσωση Δ.Ε.: είναι η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικατασταθούν τα διαϕορικά απο αντίστοιχες δυνάμεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. π.χ. για την ομογενή ΔΕ Η Χ.Ε. είναι a ẍ + b (x) + c x = 0 a ρ 2 + b ρ + c = 0 Περιορισμός: η απόδειξη της παραπάνω μεθόδου προκύπτει από την παραδοχή ότι η λύση της Δ.Ε. πρέπει να είναι μορϕής y(t) = e ρt. (που ισχύει για τις περισσότερες ΔΕ ανώτερης τάξης). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 61 / 78

Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Μορϕή λύσης Πραγματικών ριζών Απλή πραγματική ρίζα: ρ y 1 (t) = c 1 e ρt Πολλαπλή πραγματική ρίζα: ρ k-ϕορές ( y 2 (t) = e ρt c 1 + c 2 t +... + c k t k 1) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 62 / 78

Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Μορϕή λύσης Μιγαδικών ριζών Χ.Ε. Υπενθύμιση: e i θ = cos(θ) + i sin(θ) και e i θ = cos(θ) i sin(θ) Απλή Μιγαδική ρίζα: ρ = a + i b y(t) = e at (c 1 sin(b t) + c 1 cos(b t)) Πολλαπλή Μιγαδική ρίζα: ρ = a + i b k-ϕορές ( y(t) =e at (c 1 + c 2 t +... + c k t k 1 ) sin(b t) +... (1) ) (c 1 + c 2t +... + c k tk 1 ) cos(b t) (2) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 63 / 78

Παράδειγμα Αρμονικού ταλαντωτή Παρουσίαση προβλήματος Αρμονικός ταλαντωτής μαζα (m) :10 σταθερά απόσβεσης (b) :2 σταθερά ελατηρίου (k) :5 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 64 / 78

Παράδειγμα Αρμονικού ταλαντωτή Εξίσωση συστήματος ή ή (αντικατάσταση) m d2 dt 2 y(t) + b d y(t) + k y(t) = u(t) dt m ÿ(t) + b ẏ(t) + k y(t) = u(t) 10 ÿ(t) + 2 ẏ(t) + 5 y(t) = u(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 65 / 78

Παράδειγμα Αρμονικού ταλαντωτή Ερώτηση Αρμονικός ταλαντωτής Ποιά η ελεύθερη απόκριση του συστήματος για αρχικές συνθήκες (t = 0): y(t = 0) = 1, ẏ(t = 0) = 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 66 / 78

Επίλυση Eπίλυση της Χ.Ε του συστήματος Η Χ.Ε. του συστήματος είναι: 10 ρ 2 + 2 ρ + 5 = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 67 / 78

Επίλυση Eπίλυση της Χ.Ε του συστήματος Η Χ.Ε. του συστήματος είναι: Οι ρίζες της είναι: 10 ρ 2 + 2 ρ + 5 = 0 ρ 1 = 1 10 + 7 10 i, ρ 2 = 1 10 7 10 i Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 67 / 78

Επίλυση Μετατροπή μιγαδικών ριζών σε λύση Αν ρ 1 = a + bi είναι ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος, τότε: y(t) = e a t (c 1 sin(b t) + c 1cos(b t)) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 68 / 78

Επίλυση Μετατροπή μιγαδικών ριζών σε λύση Αν ρ 1 = a + bi είναι ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος, τότε: για ρ 1 = 1 10 + 7 10 i y(t) = e a t (c 1 sin(b t) + c 1cos(b t)) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 68 / 78

Επίλυση Μετατροπή μιγαδικών ριζών σε λύση Αν ρ 1 = a + bi είναι ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος, τότε: y(t) = e a t (c 1 sin(b t) + c 1cos(b t)) για ρ 1 = 1 10 + 7 10 i ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 68 / 78

Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 69 / 78

Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: ( ) ( )) y(t = 0) = e 1 7 7 10 (c 0 1 sin 10 0 + c 1cos 10 0 = 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 69 / 78

Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: ( ) ( )) y(t = 0) = e 1 7 7 10 (c 0 1 sin 10 0 + c 1cos 10 0 = 1 e 1 10 0 =1,sin(0)=0 ( ) 7 +c 1cos 10 0 = 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 69 / 78

Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: ( ) ( )) y(t = 0) = e 1 7 7 10 (c 0 1 sin 10 0 + c 1cos 10 0 = 1 e 1 10 0 =1,sin(0)=0 ( ) 7 +c 1cos 10 0 = 1 c 1 = 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 69 / 78

Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1,- Χρησιμότητα αρχικών συνθηκών Υπολογίζω ẏ(t): ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + cos 10 t ẏ(t) = 1 10 e 1 10 t e 1 10 t ( c 1 7 10 sin ( ( ) 7 c 1 sin 10 t ( ) 7 10 t Θα πρέπει για t = 0, ẏ(t = 0) = 2: ( 7 + cos + 7 10 cos )) 10 t +... ( )) 7 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 70 / 78

Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1,- Χρησιμότητα αρχικών συνθηκών Υπολογίζω ẏ(t): ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + cos 10 t ẏ(t) = 1 10 e 1 10 t e 1 10 t ( c 1 7 10 sin ( ( ) 7 c 1 sin 10 t ( ) 7 10 t Θα πρέπει για t = 0, ẏ(t = 0) = 2:... ( 7 + cos + 7 10 cos )) 10 t +... ( )) 7 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 70 / 78

Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1,- Χρησιμότητα αρχικών συνθηκών Υπολογίζω ẏ(t): ( ) ( )) y(t) = e 1 7 7 10 (c t 1 sin 10 t + cos 10 t ẏ(t) = 1 10 e 1 10 t e 1 10 t ( c 1 7 10 sin ( ( ) 7 c 1 sin 10 t ( ) 7 10 t Θα πρέπει για t = 0, ẏ(t = 0) = 2:... c 1 = 3 ( 7 + cos + 7 10 cos )) 10 t +... ( )) 7 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 70 / 78

Section 6 Σχέση Μηχανικών με τα Μαθηματικά Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 71 / 78

Συστήματα Ολική Απόκριση Είναι το άθροισμα της ελεύθερης και της δυναμικής απόκρισης. Αντιστοιχεί στην λύσης της διαϕορικής εξίσωσης κάτω από συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες και συγκεκριμένο σήμα εισόδου. y ολική (t) = y Φυσική (t) + y εξαναγκασμένη (t) y ολική (t) = y ομογενής (t) + y μον (t) y ολική (t) y transient (t) + y steady state (t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 72 / 78

Συστήματα Απόκρισεις Για: Μαθηματικούς Ομογενής λύση/απόκριση: (y h ) Λύση που ικανοποιεί την ομογενή Δ.Ε. Μερική λύση/απόκριση: (y p ) Λύση που ικανοποιεί την Δ.Ε. Για: Μηχανικούς Ελεύθερη ή ϕυσική : (y n ) απόκριση χωρίς εϕαρμογή εξωτερικής διέγερσης Λύση της ομογενούς διαϕορικής εξίσωσης Δυναμική ή Εξαναγκασμένη : (y f ) απόκριση με εϕαρμογή εξωτερικής διέγερσης και με όλες τις αρχικές συνθήκες ταυτοτικά μηδέν. π.χ. βηματική είσοδο κρουστική είσοδο Μερική λύση της Δ.Ε. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 73 / 78

Συστήματα Απόκριση μηδενικής εισόδου και μηδενικών αρχικών συνθηκών Για: Μηχανικούς αυτοματισμών και ελέγχου Mηδενικής εισόδου ή Zero-input: (y zi ) Aπόκριση εξαιτίας μόνο των αρχικών συνθήκών u(t) = 0 Zero-state: (y zs ) Συνήθως περίπου ίση με την εξαναγκασμένη απόκριση. Aπόκριση όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 74 / 78

Συστήματα Απόκριση Μεταβατική και Τελικής Κατάστασης Transient ή Μεταβατική : (y zi ) Συνήθως περίπου ίση με την ελεύθερη ή ϕυσική απόκριση. Συνδέεται συνήθως με την λύση της ομογενούς διαϕορικής εξίσωσης. Περιλαμβάνει απόκριση του σύστηματος που το πλάτος της μεταβάλλεται με το χρόνο. Steady state ή Τελικής Κατάστασης: (y zs ) Συνήθως περίπου ίση με την εξαναγκασμένη απόκριση. Περιλαμβάνει την απόκριση του σύστηματος σε μια νέα κατάσταση ισορροπίας η οποία μπορεί να εμϕανίζει και περιοδικότητα (χωρίς όμως μεταβολή του πλάτους). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 75 / 78

Συστήματα Σχέση μεταξύ αποκρίσεων Σχέση μεταξύ αποκρίσεων Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 76 / 78