ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνωριμία με τη Mathematica 11 1.1 Συμβολισμοί και Συμβάσεις 1. Ο Πυρήνας και η Εμπροσθοφυλακή 1.3 Οι Ιδιοτροπίες της Mathematica 1.4 Η Mathematica Δίνει Ακριβή Αποτελέσματα 1.5 Βασικές Αρχές της Mathematica 1.6 Κελιά 1.7 Βοήθεια 1.8 Πακέτα 1.9 Μια Πρόγευση Αυτών που θα Aκολουθήσουν ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βασικές αρχές 34.1 Σταθερές. "Ενσωματωμένες" Συναρτήσεις.3 Βασικές Αριθμητικές Πράξεις.4 Αλφαριθμητικά.5 Ανάθεση Τιμής, Αντικατάσταση, και Λογικές Σχέσεις.6 Αθροίσματα και Γινόμενα.7 Βρόχοι.8 Εισαγωγή στη Σχεδίαση Γραφημάτων.9 Συναρτήσεις Οριζόμενες από το Χρήστη.10 Πράξεις με Συναρτήσεις.11 Υπομονάδες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Λίστες 74 3.1 Εισαγωγή 3. Δημιουργία Λιστών 3.3 Χειρισμός Λιστών 3.4 Θεωρία Συνόλων 3.5 Πίνακες και Μήτρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Δισδιάστατα γραφικά 101 4.1 Σχεδίαση Γραφημάτων Συναρτήσεων μίας Μεταβλητής 4. Περισσότερες Διαταγές Γραφικών 4.3 Ειδικά Δισδιάστατα Γραφήματα 4.4 Κινούμενες Εικόνες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Tρισδιάστατα γραφικά 138 5.1 Σχεδίαση Γραφημάτων Συναρτήσεων δύο Μεταβλητών 5. Άλλες Διαταγές Γραφικών 5.3 Ειδικά Τρισδιάστατα Γραφήματα 5.4 Βασικά Σχήματα Αρχέτυπα Τρισδιάστατων Γραφικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εξισώσεις 17 6.1 Επίλυση Αλγεβρικών Εξισώσεων 6. Επίλυση Υπερβατικών Εξισώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Άλγεβρα και τριγωνομετρία 189 7.1 Πολυώνυμα 7. Ρητές και Αλγεβρικές Συναρτήσεις 7.3 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 7.4 Οι Τεχνικές της Απλοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Διαφορικός λογισμός 05 8.1 Όρια 8. Παράγωγοι 8.3 Μέγιστες και Ελάχιστες Τιμές 8.4 Δυναμοσειρές 9
10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ολοκληρωτικός λογισμός 9 9.1 Αντιπαράγωγοι 9. Ορισμένα Ολοκληρώματα 9.3 Συναρτήσεις που Ορίζονται με Ολοκληρώματα 9.4 Αθροίσματα του Riemann ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Λογισμός σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών 49 10.1 Μερικές Παράγωγοι 10. Μέγιστες και Ελάχιστες Τιμές 10.3 Ολικό Διαφορικό 10.4 Πολλαπλά Ολοκληρώματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 71 11.1 Αναλυτικές Λύσεις 11. Αριθμητικές Λύσεις 11.3 Μετασχηματισμοί Laplace ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γραμμική άλγεβρα 98 1.1 Διανύσματα και Μήτρες 1. Πράξεις με Μήτρες 1.3 Χειρισμός Μητρών 1.4 Γραμμικά Συστήματα Εξισώσεων 1.5 Ορθογωνιότητα 1.6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 1.7 Διαγωνιοποίηση και Κανονική Μορφή Jordan ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.1 Γνήσιες Συναρτήσεις Α. Θέματα Α.3 Υποδείγματα 341 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ 347
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Άλγεβρα και τριγωνομετρία 7.1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Καθώς τα πολυώνυμα κυριαρχούν στη άλγεβρα, η Mathematica παρέχει διαταγές αποκλειστικά γι' αυτά. Η διαταγή PolynomialQ[παράσταση, μεταβλητή] επιστρέφει την τιμή True αν η παράσταση είναι πολυώνυμο της μεταβλητής. Αν όχι, επιστρέφει την τιμή False. Η διαταγή Variables[πολυώνυμο] επιστρέφει μια λίστα με όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές του πολυωνύμου. Η διαταγή Coefficient[πολυώνυμο, τύπος] επιστρέφει το συντελεστή που έχει ο τύπος του πολυωνύμου. Η διαταγή Coefficient[πολυώνυμο, τύπος, n] επιστρέφει το συντελεστή που έχει ο τύπος της νιοστής (n) δύναμης του πολυωνύμου. Η διαταγή CoefficientList[πολυώνυμο, μεταβλητή] επιστρέφει μια λίστα με τους συντελεστές των δυνάμεων της μεταβλητής του πολυωνύμου, ξεκινώντας από τη δύναμη μηδενικής τάξης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 PolynomialQ[x + 3x + ] True PolynomialQ[x + 3x + /x] False PolynomialQ[x + 3x + /y, x] Η Mathematica αντιμετωπίζει τον "τύπο" /y ως σταθερά ως προς x. True ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ poly1 = (x + 1) 10 ; poly = x 3-5x y + 3xy - 7y 3 ; Variables[poly] {x, y} Coefficient[poly1, x, 5] 5 189
190 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 Coefficient[poly, x] 3y Coefficient[poly, y, ] 3x Coefficient[poly, x y ] 3 CoefficientList[poly1, x] {1, 10, 45, 10, 10, 5, 10, 10, 45, 10, 1} CoefficientList[poly, x] {-7y 3, 3y, -5y, 1} CoefficientList[poly, y] {x 3, -5x, 3x, -7} Συχνά, είναι βολικό να εκφράζουμε τη λύση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με τη μορφή λογικής παράστασης. Για παράδειγμα, αν x 4 = 0, τότε x = ή x =. Μπορείτε να εκφράζετε τις ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας τις ειδικές διαταγές, Roots και NRoots. Οι λύσεις δίνονται σε διαζευκτική μορφή και χωρίζονται με το σύμβολο (λογικό σύμβολο ή). Η διαταγή Roots[αριστερό σκέλος = = δεξιό σκέλος, μεταβλητή] επιστρέφει τις λύσεις μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Η διαταγή NRoots[αριστερό σκέλος = = δεξιό σκέλος, μεταβλητή] προσεγγίζει αριθμητικά τις λύσεις της πολυωνυμικής εξίσωσης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης x 4 + x 3 8x 5x + 15 = 0 που είναι μεγαλύτερες από το. solutions = Roots[x 4 + x 3-8x - 5x + 15 = = 0, x] Το && είναι το λογικό σύμβολο και της Mathematica. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη διαταγή Simplify, solutions && x > //Simplify δείτε την Ενότητα 7.4. x= = 5 numericalsolutions = NRoots[x 4 + x 3-8x - 5x + 15 = = 0, x] x = = -.3078 x = = -.3607 x = = 1.3078 x = =.3607 numericalsolutions && x > //Simplify x = =.3607 Ο αλγόριθμος διαίρεσης πολυωνύμων ορίζει ότι για δύο πολυώνυμα, p και s, για τα οποία ισχύει ότι βαθμός (p) βαθμός (s), υπάρχουν δύο μοναδικά ορισμένα πολυώνυμα, q και r, τέτοια ώστε p ( x) = q( x) s( x) + r( x) όπου βαθμός (r) βαθμός (s) Οι διαταγές της Mathematica οι οποίες επιστρέφουν το πηλίκο και το υπόλοιπο είναι οι παρακάτω: Η διαταγή PolynomialQuotient[p, s, x] επιστρέφει το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου p με το s, συναρτήσει του x, και παραλείπει το υπόλοιπο, αν υπάρχει. Η διαταγή PolynomialRemainder[p, s, x] επιστρέφει το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου p με το s. Ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από το βαθμό του s. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 p = x 5-7x 4 + 3x - 5x + 9; s = x + 1; q = PolynomialQuotient[p, s, x]
ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 191 10-x-7x +x 3 r = PolynomialRemainder[p, s, x] -1-4x Η διαταγή Expand[πολυώνυμο] αναπτύσσει γινόμενα και δυνάμεις, και εκφράζει το πολυώνυμο με τη μορφή αθροίσματος των επιμέρους όρων. Η διαταγή Factor[πολυώνυμο] επιχειρεί να παραγοντοποιήσει το πολυώνυμο με κοινούς παράγοντες ακεραίους. Αν η διαδικασία παραγοντοποίησης δεν είναι επιτυχής, το πολυώνυμο παραμένει αμετάβλητο. Η διαταγή FactorTerms[πολυώνυμο] παραγοντοποιεί το πολυώνυμο εξάγοντας ως κοινούς παράγοντες τις κοινές σταθερές των όρων του. Η διαταγή FactorTerms[πολυώνυμο, μεταβλητή] παραγοντοποιεί το πολυώνυμο εξάγοντας ως κοινό παράγοντα κάθε κοινό μονώνυμο που δεν περιέχει τις μεταβλητές. Η διαταγή Collect[πολυώνυμο, μεταβλητή] εκφράζει το πολυώνυμο δύο ή περισσότερων μεταβλητών ως πολυώνυμο της μεταβλητής. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 poly = 6x y 3 z 4 + 8x 3 y z 5 + 10x y 4 z 3 ; Factor[poly] x y z 3 (5y + 3yz + 4xz ) Το πολυώνυμο poly έχει παραγοντοποιηθεί πλήρως. FactorTerms[poly, x] y z 3 (5x y + 3x yz + 4x 3 z ) Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που δεν περιέχουν το x. FactorTerms[poly, y] x z 3 (5y 4 + 3y 3 z + 4xy z ) Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που δεν περιέχουν το y. FactorTerms[poly, z] x y (5y z 3 + 3yz 4 + 4xz 5 ) Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που δεν περιέχουν το z. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 poly = 1 + x + 3y + 4xy + 5x y + 6xy + 7x y ; Collect[poly, x] 1 + 3y + x( + 4y + 6y ) + x (5y + 7y ) Εξαγωγή των παραγόντων που είναι δυνάμεις του x. Collect[poly, y] 1 + x + (3 + 4x + 5x )y + (6x + 7x )y Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που είναι δυνάμεις του y. Εξ ορισμού, η διαταγή Factor επιτρέπει την ανάλυση μόνο σε ακέραιους παράγοντες. Ωστόσο, υπάρχουν άλλες επιλογές με τις οποίες μπορείτε να υποσκελίζετε αυτή την προεπιλογή. Η επιλογή Extension {επέκταση1, επέκταση, } σας επιτρέπει να ορίσετε μια λίστα με τους αλγεβρικούς αριθμούς που θέλετε να συμπεριλάβετε. (Αν πρέπει να χρησιμοποιήσετε μία μόνον επέκταση, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε άγκιστρα {}.) Η επιλογή Extension Automatic διευρύνει την περιοχή ώστε να συμπεριληφθούν και οι όποιοι αλγεβρικοί αριθμοί εμφανίζονται στο πολυώνυμο. Η επιλογή GaussianIntegers True επιτρέπει την παραγοντοποίηση ως προς το σύνολο των ακεραίων στους οποίους έχει προσαρτηθεί η φανταστική μονάδα. Εναλλακτικά, η φανταστική μονάδα (ή I) μπορεί να συμπεριληφθεί στη λίστα των επεκτάσεων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Factor[x 8-41x 4 + 400] (-+x)(+x)(-5+x )(4+x )(5+x ) Factor[x 8-41x 4 + 400, GaussianIntegers True] (- + x)(- +x)( +x)( + x)(-5 + x )(5 + x ) Factor[x 8-41x 4 + 400, Extension 5]
19 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7-5 - x)(- + x)( + x)( 5 + x)(4 + x )(5 + x ) Factor[x 8-41x 4 + 400, Extension {I, 5}] -( 5 - x)( 5 - ix)( 5 + ix)(- + x)(-i + x)(i + x)( + x)( 5 + x) Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ GCD) των πολυωνύμων p 1, p, είναι το πολυώνυμο με το μεγαλύτερο βαθμό που τα διαιρεί τέλεια (επιστρέφει υπόλοιπο 0). Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ LCM) των πολυωνύμων p 1, p, είναι το πολυώνυμο με το μικρότερο βαθμό που διαιρείται τέλεια από αυτά τα πολυώνυμα. Η διαταγή PolynomialGCD[p1, p,...] υπολογίζει το μέγιστο κοινό διαιρέτη των πολυωνύμων p1, p,... Η διαταγή PolynomialLCM[p1, p,...] υπολογίζει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πολυωνύμων p1, p,... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 p = (x - 1)(x - ) (x - 3) 3 ; q = (x - 1) (x - )(x - 3) 4 ; PolynomialGCD[p, q] (-3 + x) 3 (- + x)(-1 + x) PolynomialLCM[p, q] (-3 + x) 4 (- + x) (-1 + x) Εξ ορισμού, και οι δύο διαταγές PolynomialGCD και PolynomialLCM υποθέτουν ότι οι συντελεστές των πολυωνύμων είναι ρητοί αριθμοί. Όπως και στη διαταγή Factor, έτσι και εδώ μπορείτε να χρησιμοποιείτε την επιλογή Extension για να ορίσετε λίστες αλγεβρικών αριθμών (και φανταστικών αριθμών) που θέλετε να συμπεριλάβετε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 p = x - 5; q = x + 5 PolynomialGCD[p, q] 1 PolynomialLCM[p, q] ( 5 + x)(-5 + x ) Αν δε χρησιμοποιηθεί η επιλογή Extension Automatic, τότε η 5 θα θεωρηθεί ως ξεχωριστή μεταβλητή. PolynomialGCD[p, q, Extension Automatic] 5 + x PolynomialLCM[p, q, Extension Automatic] (-5 + x ) Αν και η Mathematica αναπτύσσει αυτόματα γινόμενα και πηλίκα που είναι υψωμένα σε ακέραιους εκθέτες, αν ο εκθέτης δεν είναι ακέραιος η παράσταση θα παραμείνει αμετάβλητη. Με τη διαταγή PowerExpand μπορείτε να αναγκάσετε τη Mathematica να "κατανείμει" τον εκθέτη στα στοιχεία της παράστασης. Η διαταγή PowerExpand[παράσταση] αναπτύσσει ένθετες δυνάμεις, δυνάμεις γινομένων και πηλίκων, καθώς επίσης ρίζες και λογαρίθμους γινομένων και πηλίκων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 (a b) 5 a 5 b 5 (a b) x Η Mathematica κατανέμει τον εκθέτη επειδή είναι ακέραιος.
ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 193 (a b) x Η Mathematica άφησε την παράσταση αμετάβλητη επειδή δεν έχει οριστεί εκθέτης. PowerExpand[(a b) x ] a x b x Η διαταγή PowerExpand αναγκάζει τη Mathematica να αναπτύξει την παράσταση. Η διαταγή PowerExpand πρέπει να χρησιμοποιείται με μεγάλη προσοχή σε συναρτήσεις πολλών τιμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11 ab /.{a -1,b -1} 1 PowerExpand[ a b] a b PowerExpand[ a b] /.{a -1,b -1} -1 Η διαταγή PowerExpand αναπτύσσει την παράσταση και στη συνέχεια αντικαθιστά τα a και b με την τιμή 1. Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα που δείχνουν τη χρήση της διαταγής PowerExpand: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (a x ) y // PowerExpand a x y (a/b) x // PowerExpand a x b -x Log[xy] // PowerExpand Log[x] + Log[y] Log[x/y] // PowerExpand Log[x] - Log[y] Log[xy] // PowerExpand ylog[x] ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 5 y 7.1 Ελέγξτε αν η παράσταση 1 + x sin y + x cos y + x e είναι πολυώνυμο της μεταβλητής x. Είναι πολυώνυμο της μεταβλητής y; PolynomialQ[1 + xsin[y] + x Cos[y] + x 5 Exp[y], x] Σε αυτή την παράσταση, η μεταβλητή y θεωρείται ως σταθερά. True PolynomialQ[1 + xsin[y] + x Cos[y] + x 5 Exp[y], y] False 7. Ποιοι είναι οι συντελεστές του πολυωνυμικού αναπτύγματος του 5 ( x + 3) ; poly = (x + 3y) 5 ; CoefficientList[poly, x] {43, 810, 1080, 70, 40, 3}
194 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 7.3 Ποιος είναι ο συντελεστής του όρου poly=(x + y + z) 6 ; Coefficient[poly, x y z 3 ] 60 xy z 3 του αναπτύγματος του 6 ( x + y + z) ; 7.4 Δώστε το πλήρες ανάπτυγμα του 4 ( x + a +1). Expand[(x + a + 1) 4 ] 1 + 4a + 6a + 4a 3 + a 4 + 4x + 1ax + 1a x + 4a 3 x + 6x + 1ax + 6a x + 4x 3 + 4ax 3 + x 4 7.5 Εκφράστε το ( + a +1) 4 x ως πολυώνυμο του x. Collect[(x+a+1) 4, x] 1 + 4a + 6a + 4a 3 + a 4 + (4 + 1a + 1a + 4a 3 )x + (6 + 1a + 6a )x + (4 + 4a)x 3 + x 4 7.6 Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο poly = 6x 3 + x y 11xy 6y 3 5x z + 11xyz + 11y z xz 6yz + z 3 και λύστε ως προς z, έτσι ώστε poly = 0. poly = 6x 3 + x y - 11xy - 6y 3-5x z + 11xyz + 11y z - xz - 6yz + z 3 ; Factor[poly] (x + y - z)(3x + y - z)(x - 3y + z) Roots[poly = = 0, z] z = = x + y z = = 3x + y z = = -x + 3y 5 4 3 7.7 Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου x + x 3x + 7x 10x + 5 με το x 4 και επαληθεύστε το αποτέλεσμα. p = x 5 + x 4-3x 3 + 7x - 10x + 5 s = x - 4 q = PolynomialQuotient[p, s, x] 15 + x + x + x 3 r = PolynomialRemainder[p, s, x] 65-6x checkpoly = q * s + r//expand 5-10x + 7x - 3x 3 + x 4 + x 5 checkpoly = = p True 7.8 Εκφράστε τον τύπο ( x + z) 3 + y ως πολυώνυμο της μεταβλητής z. Collect[(x + y + z) 3, z] x 3 + 3x y + 3xy + y 3 + (3x + 6xy + 3y )z + (3x + 3y)z + z 3
ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 195 4 3 4 3 7.9 Έστω ότι p = x 15x + 39x 40x + 1 και q = 4x 4x + 45x 9x + 6. Υπολογίστε το μέγιστο κοινό διαιρέτη (GCD) και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους (LCM) και αποδείξτε ότι το γινόμενό τους είναι ίσο με p q. p = x 4-15x 3 + 39x - 40x + 1; q = 4x 4-4x 3 + 45x - 9x + 6; a = PolynomialGCD[p, q] -6 + 17x - 11x + x 3 b = PolynomialLCM[p, q] (- + x)(6-9x + 45x - 4x 3 + 4x 4 ) Expand[a * b] = = Expand[p * q] True 7.10 Αναλύστε την παράσταση x 4 5 σε ακέραιους παράγοντες και έπειτα σε παράγοντες που περιέχουν τις τιμές 5 και Ι. Factor[x 4-5] (-5 + x )(5 + x ) Factor[x 4-5, Extension { 5, I}] -( 5-x)( 5-ix)( 5+ix)( 5+x) 7.11 Αναπτύξτε την παράσταση a b x y ln c. z 7. ΡΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η Mathematica διαθέτει μερικές διαταγές που μπορείτε να χρησιμοποιείτε με ρητές συναρτήσεις (κλάσματα). Η διαταγή Numerator[κλάσμα] επιστρέφει τον αριθμητή του κλάσματος. Η διαταγή Denominator[κλάσμα] επιστρέφει τον παρονομαστή του κλάσματος. Η διαταγή Cancel[κλάσμα] απαλείφει τους κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος. Η επιλογή Extension Automatic επιτρέπει την πραγματοποίηση πράξεων με τους αλγεβρικούς αριθμούς τού κλάσματος. Η διαταγή Together[παράσταση] προσθέτει τους όρους της παράστασης κάνοντας χρήση ενός κοινού παρονομαστή. Επίσης, απαλείφει τους κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και τον παρονομαστή αν υ- πάρχουν. Η διαταγή Apart[κλάσμα] εκφράζει το κλάσμα ως άθροισμα επιμέρους κλασμάτων.
196 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15 Επειδή η Mathematica εξ ορισμού μετατρέπει τους παράγοντες με αρνητικούς εκθέτες σε ισοδύναμους παράγοντες με θετικούς εκθέτες, τα αποτελέσματα των διαταγών Numerator και Denominator μπορεί να είναι διαφορετικά από τα αναμενόμενα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16 Numerator[frac] z 3 Denominator[frac] xy Η διαταγή ExpandNumerator[παράσταση] αναπτύσσει τον αριθμητή της παράστασης, χωρίς όμως να παρεμβαίνει στον παρονομαστή. Η διαταγή ExpandDenominator[παράσταση] αναπτύσσει τον παρονομαστή της παράστασης, χωρίς όμως να παρεμβαίνει στον αριθμητή. Η διαταγή ExpandAll[παράσταση] αναπτύσσει και τον αριθμητή και τον παρονομαστή της παράστασης, και εκφράζει το αποτέλεσμα ως άθροισμα κλασμάτων με κοινό παρονομαστή. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 17 ExpandNumerator[expr] ExpandDenominator[expr] ExpandAll[expr] ExpandNumerator[ExpandDenominator[expr]]
ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 197 Οι εφαρμογές των διαταγών που περιγράψαμε σε αυτή την ενότητα δεν περιορίζονται μόνο στις ρητές συναρτήσεις (κλάσματα πολυωνύμων). Μπορούν να χρησιμοποιηθούν το ίδιο αποτελεσματικά και σε αλγεβρικές παραστάσεις με ρίζες, και σε μη αλγεβρικές παραστάσεις με συναρτήσεις και μη ορισμένα αντικείμενα. Ακόμη, αν ορίσετε την επιλογή Trig True σε κάποια από αυτές τις διαταγές, η Mathematica απλοποιεί την παράσταση χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 19 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ f ( x) f ( a) 7.1 Η παράσταση χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς των παραγώγων. Απλοποιήστε αυτή x a 9 την παράσταση όταν η συνάρτηση f ( x) = x, και η τιμή του a = 3. f[x_] = x 9 ; a = -3; 6561-187x + 79x - 43x 3 + 81x 4-7x 5 + 9x 6-3x 7 + x 8 7.13 Εκφράστε το άθροισμα των κλασμάτων b a, d c, και f e με τη μορφή ενός μόνο κλάσματος. Together[a/b + c/d + e/f] 7.14 Αναπτύξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της συνάρτησης ( x + )( x + 3)(x 7) ( x + 5x + )( x 5)( x + 6) Ι
198 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 ΙΙ x + 3 7x x 7.15 Προσθέστε τα κλάσματα,, και, και εκφράστε το αποτέλεσμα με τη μορφή ενός 5x 7 3x + 1 x + 1 μόνο κλάσματος με ανεπτυγμένο τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Together[p + q+ r]//expanddenominator Αν δε χρησιμοποιήσουμε τη διαταγή //ExpandDenominator, ο παρονομαστής θα εκφραστεί σε παραγοντοποιημένη μορφή. 7.16 Ποιο είναι το ανάπτυγμα της συνάρτησης ( x 6 ( x 1) + 1)( x + 1) ( x 4) σε απλά κλάσματα; 7.17 Ποιο είναι το ανάπτυγμα της συνάρτησης του προηγούμενου προβλήματος σε απλά κλάσματα, όταν οι παρονομαστές είναι γραμμικοί μιγαδικοί αριθμοί; Για να "αναγκάσουμε" τη Mathematica να εκφράσει το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας γραμμικούς μιγαδικούς αριθμούς, πρέπει να παραγοντοποιήσουμε την παράσταση x + 1 σε ( x + I)( x I). 7.18 Εκφράστε τη συνάρτηση ( x x e + e ) 4 ως άθροισμα εκθετικών συναρτήσεων. Expand[(E x +E x ) 4 ] 4 x +4 5 x +6 6 x +4 7 x + 8 x
ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 199 7.3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παρόλο που οι διαταγές που περιγράψαμε στην προηγούμενη ενότητα είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν και σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δεν έχουν τις δυνατότητες απλοποίησης που έχουν οι τριγωνομετρικές ταυτότητες. Μπορείτε να τις συμπεριλαμβάνετε στους υπολογισμούς σας, ορίζοντας την επιλογή Trig True. (Η προεπιλογή σε όλες τις διαταγές εκτός από τη Simplify είναι Trig False.) Η διαφορά φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Μπορείτε να χρησιμοποιείτε την επιλογή Trig True τόσο σε κυκλικές όσο και σε υπερβολικές συναρτήσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Expand[(Cosh[x] + Sinh[x] )(Cosh[x] - Sinh[x] )] Cosh[x] 4 - Sinh[x] 4 Expand[(Cosh[x] + Sinh[x] )(Cosh[x] - Sinh[x] ), Trig True] Cosh[x] + Sinh[x] Για τον περαιτέρω χειρισμό των τριγωνομετρικών παραστάσεων, η Mathematica διαθέτει τις παρακάτω ειδικές διαταγές, οι οποίες ισχύουν επίσης για τις κυκλικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Η διαταγή TrigExpand[παράσταση] αναπτύσσει την παράσταση, χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες ο- ρισμένων τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Η διαταγή TrigReduce[παράσταση] αναδιατυπώνει τα γινόμενα και τις δυνάμεις της παράστασης και τα εκφράζει με τη μορφή τριγωνομετρικών παραστάσεων με συνδυασμένα ορίσματα. Η παράσταση ανάγεται σε μια γραμμική τριγωνομετρική συνάρτηση δηλαδή, μια συνάρτηση χωρίς δυνάμεις ή γινόμενα. Η διαταγή TrigFactor[παράσταση] μετατρέπει την παράσταση σε μια ισοδύναμη τριγωνομετρική παράσταση χωρίς αθροίσματα και πολλαπλάσια γωνιών, την οποία στη συνέχεια παραγοντοποιεί. Στο παράδειγμα που ακολουθεί, θα δείξουμε τη διαφορά μεταξύ των διαταγών Expand και TrigExpand. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Expand[(Sin[x] + Cos[x]) ] Cos[x] + Cos[x]Sin[x] + Sin[x] TrigExpand[(Sin[x] + Cos[x]) ] 1 + Cos[x] Sin[x]
00 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 TrigExpand[Sin[x + y]] Cos[y]Sin[x] + Cos[x]Sin[y] TrigExpand[Sin[x]] Cos[x]Sin[x] TrigExpand[Sin[x + y]] Cos[x]Cos[y]Sin[x] + Cos[x] Sin[y] - Sin[x] Sin[y] Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιείτε τη διαταγή TrigExpand και σε υπερβολικές συναρτήσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 TrigExpand[Cosh[x + y]] Cosh[x]Cosh[y] + Sinh[x]Sinh[y] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 TrigReduce[Sin[x] + Sin[x]Cos[3x] 3 ] Η διαταγή TrigReduce αναδιατυπώνει την αρχική παράσταση και την εκφράζει με τη μορφή γραμμικής τριγωνομετρικής παράστασης. TrigReduce[Sinh[x] + Sinh[x]Cosh[3x] 3 ] Στο επόμενο παράδειγμα μπορείτε να δείτε τη διαφορά μεταξύ των διαταγών TrigFactor και Trig Reduce. Παρατηρήστε ότι η διαταγή TrigFactor διατυπώνει την παράσταση με τη μορφή γινομένου, ενώ η διαταγή TrigReduce την εκφράζει με τη μορφή αθροίσματος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 expr = TrigExpand[4Sin[x] Cos[x] 3 ] 3Cos[x] Sin[x] + Cos[x] 6 Sin[x] - 3Sin[x] 4-15Cos[x] 4 Sin[x] 4 + 15Cos[x] Sin[x] 6 - Sin[x] 8 TrigFactor[expr] 4(Cos[x] - Sin[x]) 3 Sin[x] (Cos[x] + Sin[x]) 3 TrigReduce[expr] Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι δυνατή και με τη διαταγή Solve. Επειδή όμως η διαταγή αυτή υπολογίζει μόνο τις κύριες λύσεις των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δεν επιστρέφει όλες τις λύσεις τους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Θεωρήστε την εξίσωση 1 cos x sin x + sin x = 0. equation=1-cos[x] - Sin[x] + Sin[x] = = 0 Solve[equation, x] Solve: : ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. (Επειδή η διαταγή Solve χρησιμοποιεί αντίστροφες συναρτήσεις, μπορεί να μην υπολογίσει όλες τις λύσεις.)
ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 01 Καθώς οι τριγωνομετρικές και οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι δυνατόν να αναπαρασταθούν με τη μορφή εκθετικών συναρτήσεων (στην περίπτωση των κυκλικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, με τη μορφή σύνθετων εκθετικών συναρτήσεων), η Mathematica παρέχει δύο συναρτήσεις μετατροπής: Η διαταγή TrigToExp[παράσταση] μετατρέπει τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις στην εκθετική μορφή τους. Η διαταγή ExpToTrig[παράσταση] μετατρέπει εκθετικές συναρτήσεις σε τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Μπορείτε επίσης να μετατρέπετε αντίστροφες τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις με τις διαταγές TrigToExp και ExpToTrig. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 TrigToExp[Cos[x]] TrigToExp[Sinh[x]] ExpToTrig[Exp[x]] Cosh[x] + Sinh[x] ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7.19 Απλοποιήστε την τριγωνομετρική συνάρτηση cos 1 x sin. x 4 7.0 Παραγοντοποιήστε και απλοποιήστε τη συνάρτηση: sin x cos x + cos x. TrigFactor[Sin[x] Cos[x] + Cos[x] 4 ] Cos[x] 7.1 Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση 1 cos x sin x + 4sin x = 0. equation = 1 - Cos[x] - Sin[x] + 4 Sin[ x] = = 0; Solve[equation, x] Solve: : ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found.
0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 % //N Η εύρεση της λύσης με αριθμητική μέθοδο ίσως είναι πιο χρήσιμη. {{x 1.4049}, {x 0.165873}, {x.83487}, {x -1.6407}} cos x 7. Προσθέστε και απλοποιήστε τη συνάρτηση: + tan x. 1+ sin x TrigReduce[%] Sec[x] 7.3 Προσθέστε και απλοποιήστε την παράσταση: Μερικές φορές, για να απλοποιήσετε πλήρως μια συνάρτηση μπορεί να χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε δύο η περισσότερες διαταγές απλοποίησης. sinh x cosh x + cosh x sinh x cosh x + sinh x 7.4 Κατασκευάστε έναν πίνακα τύπων πολλαπλών γωνιών για τα sin nx και cos nx, όπου n =, 3, 4, και 5. trigtable = Table[{n, TrigExpand[Sin[n x]], TrigExpand[Cos[n x]]}, {n,, 5}]; TableForm[trigtable, TableHeadings {None, {"n", " sin nx", " cos nx"}}] n n 7.5 Κατασκευάστε έναν πίνακα γραμμικών τριγωνομετρικών τύπων για το sin x και το cos x, όπου n =, 3, 4, και 5. trigtable = Table[{n, TrigReduce[Sin[x] n ], TrigReduce[Cos[x] n ]}, {n,, 5}]; TableForm[trigtable, TableHeadings {None, {"n", " sin n x", " cos n x"}}]
ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 03 7.6 Εκφράστε την παράσταση x y e + χρησιμοποιώντας υπερβολικές συναρτήσεις και αναπτύξτε την. ExpToTrig[E x+y ] Cosh[x + y] + Sinh[x + y] TrigExpand[%] Cosh[x]Cosh[y] + Cosh[y]Sinh[x] + Cosh[x]Sinh[y] + Sinh[x]Sinh[y] 1 7.7 Εκφράστε την παράσταση sinh 1 x και tanh x TrigToExp[ArcSinh[x]] σε εκθετική μορφή. TrigToExp[ArcTanh[x]] 7.4 ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΗΣ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε κάποια αλγεβρική ή τριγωνομετρική παράσταση. Βέβαια, η ερμηνεία του όρου "απλοποίηση" μπορεί να διαφέρει από άτομο σε άτομο. Για παράδειγμα, στην επεξεργασία ρητών συναρτήσεων, η παράσταση ( x + 3) μπορεί να είναι προτιμότερη από τη x + 6x + 9, αλλά στο χειρισμό πολυωνύμων η τελευταία παράσταση είναι αναμφισβήτητα καταλληλότερη. Όπως διαπιστώσατε από τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, η Mathematica διαθέτει μια ποικιλία διαταγών οι οποίες σας επιτρέπουν να ελέγχετε πλήρως τον τρόπο εμφάνισης μιας παράστασης. Με την πρακτική εξάσκηση, θα μάθετε να χρησιμοποιείτε αυτές τις διαταγές έτσι, ώστε να διαμορφώνετε τις παραστάσεις ανάλογα με τις ανάγκες σας. Η Mathematica διαθέτει δύο διαταγές τις οποίες μπορείτε να χρησιμοποιείτε για να απλοποιείτε πολύπλοκες δομές. Η διαταγή Simplify[παράσταση] πραγματοποιεί μια σειρά μετασχηματισμών στην παράσταση, και ε- πιστρέφει την απλούστερη μορφή στην οποία καταλήγει. Η διαταγή FullSimplify[παράσταση] επιχειρεί μια μεγαλύτερη σειρά μετασχηματισμών στην παράσταση, κάνοντας χρήση βασικών και ειδικών συναρτήσεων, και επιστρέφει την απλούστερη μορφή στην οποία καταλήγει. Η διαταγή Simplify επιχειρεί να αναπτύξει, να παραγοντοποιήσει, και να εφαρμόσει άλλους βασικούς μαθηματικούς μετασχηματισμούς για να περιορίσει την πολυπλοκότητα της παράστασης. Η διαταγή Simplify, λόγω της αόριστης φύσης της, συνήθως είναι πιο αργή σε σχέση με άλλες πιο άμεσες εντολές. Η διαταγή Full- Simplify, αν και ίσως είναι κάπως πιο αργή, παράγει πάντα μια παράσταση η οποία είναι τουλάχιστον τόσο απλή όσο και αυτή που επιστρέφει η Simplify.