Ύψος Διχοτόμος Διάμεσος Διάμετρος

= Y β μ α M μ α Υ M Ύψος Διχοτόμος Διάμεσος Διάμετρος Σε τρίνο με 90, θα αποδείξουμε ότι το Ύψος, η Διχοτόμος και η Διάμεσος από την κορυφή, «διατάσσονται» όπς στο σχήμα. πειδή σε κάθε τρίνο, απέναντι από τη μεαλύτερη νία βρίσκεται η μεαλύτερη πλευρά, ισχύει η σχέση, αφού. μ α Υ M πίσης, αφού η, είναι διχοτόμος της, προφανώς.. Το ύψος στην περίπτσή μας βρίσκεται μέσα στο τρίνο, και σχηματίζει μικρότερη νία με τη μικρότερη πλευρά από ότι με τη μεαλύτερη. πειδή στα ορθοώνια τρίνα Υ και Υ έχουμε αντίστοιχα, 90 και 90, θα έχουμε και 90 90. φού η σχέση είναι αληθής, επομένς και η ισοδύναμή της σχέση Υ, και έτσι ίνεται είναι αληθής. Όμς, προφανές, ότι το ύψος, βρίσκεται ανάμεσα στη πλευρά και τη διχοτόμο.. Η διάμεσος σχηματίζει πάντα μικρότερη νία με τη μεαλύτερη πλευρά από ότι με τη μικρότερη. Προεκτείνοντας τη διάμεσο Μ κατά ίσο τμήμα Μ, σχηματίζεται το τετράπλευρο, που είναι παραλληλόραμμο, αφού οι διαώνιοί του διχοτομούνται. Έτσι, ς «εντός εναλλάξ» τν, με τέμνουσα την, μ α β και, ς απέναντι πλευρές παραλληλοράμμου. Στο, έχουμε, και επειδή, κατά συνέπεια M θα έχουμε ότι. Όμς,, και έτσι ίνεται φανερό, ότι η διάμεσος, βρίσκεται ανάμεσα στη διχοτόμο, και την πλευρά Όταν 90, τότε το ύψος ταυτίζεται με την πλευρά AB και ομοίς αποδεικνύεται ότι η «διάταξη» παραμένει ίδια με 0 και. Όταν 90, τότε το ύψος βρίσκεται έξ από το τρίνο, από τη μεριά της μικρότερης πλευράς, και ομοίς αποδεικνύεται ότι η «διάταξη» παραμένει ίδια με. β Σχόλια: () Όταν, τότε το τρίνο είναι ισοσκελές, και το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος από την κορυφή, ταυτίζονται. () Μπορούμε να κάνουμε παρατηρήσεις ια τις νίες που σχηματίζουν μεταξύ τους, το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος από την κορυφή, και με μεαλύτερη από τις άλλες δύο νίες τη. Η νία με πλευρές διχοτόμο διάμεσο είναι πάντα μικρότερη από το μισό της νίας, ενώ η νία με πλευρές ύψος διχοτόμο είναι μικρότερη από το μισό της, όταν η είναι οξεία, ίση με το μισό της, όταν η είναι ορθή, και μεαλύτερη από το μισό της, όταν η είναι αμβλεία. [] β β

Άσκηση η : Σε τρίνο με, Δ διχοτόμο και ABE, έστ η διχοτόμος της. Να αποδειχθεί ότι και. πόδειξη: φ φ Το τρίνο είναι ισοσκελές, αφού. Προφανώς, και αφού εξτερική νία στο τρίνο. Έτσι, στο ισοσκελές τρίνο, η διχοτόμος από την κορυφή είναι και ύψος, και συνεπώς. Σχόλιο: ς φανταστούμε τη να περιστρέφεται με κέντρο, μέχρι που να δημιουρηθεί το ισοσκελές τρίνο. Στη διαδρομή αυτή, η νία στην κορυφή μικραίνει, και αντίστοιχα ισόποσα αυξάνει η τρίτη νία. Ισόποσα, αφού οι δυο νίες έχουν σταθερό άθροισμα το 80. Φαίνεται λοικό, οι νίες του νέου τριώνου να εξισθούν όταν θα έχει μοιραστεί εξίσου η διαφορά τν νιών και. Προφανώς, ισοσκελές τρίνο θα δημιουρηθεί, όταν η νία στην κορυφή ίνει μικρότερη κατά από τη νία, αφού τότε η τρίτη νία θα είναι κατά μεαλύτερη από τη νία. Άσκηση η : (Σύνθετα Θέματα σ.9) Δίνεται τρίνο με και η διχοτόμος του Δ. πό την κορυφή φέρνουμε ευθεία κάθετη στην Δ, που τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι. πόδειξη: Στην άσκηση, αποδείξαμε ότι όταν κατασκευάζουμε νία, η είναι κάθετη στη διχοτόμο Δ. πειδή από το σημείο μία μόνο κάθετη μπορούμε να φέρουμε προς την Δ, η κάθετη που φέραμε, είναι αυτή που δίνει. Άσκηση η : (ποδεικτική Άσκηση σ.9) Σε τρίνο με φέρνουμε το ύψος Υ και τη διχοτόμο Δ. Να αποδείξετε ότι. πόδειξη η : Φέρνουμε από το, την κάθετη στη διχοτόμο Δ. φ πό την άσκηση,. Στα δύο ορθοώνια τρίνα Λ ΥΛ και Λ, ς «κατακορυφήν», και συνεπώς φ Υ, ς συμπληρματικές ίσν νιών. πόδειξη η :, σαν εξτερική νία στο τρίνο ΥΔ και, σαν εξτερική νία στο τρίνο Δ, και συνεπώς. Όμς, 80 90. Έτσι, [].

Άσκηση η : (ποδεικτική Άσκηση σ.9) Δίνεται τρίνο με και η διχοτόμος του Δ. Να αποδείξετε ότι: (i) (ii) και φ πόδειξη η : (ii), σαν εξτερική νία στο τρίνο ΔΥ, και επειδή, από την άσκηση, Υ επομένς. πίσης, ια την, που είναι οξεία νία του ορθονίου τριώνου ΥΔ, ισχύει η σχέση. (i) πόδειξη η : (i), σαν εξτερική νία στο τρίνο Δ, και, σαν εξτερική νία στο τρίνο Δ. Έτσι, (i) * (ii) 90 90 * 90 90 (i) * 90 90 90 * 90 ή 90 Σχόλιο: Στις ασκήσεις που προηήθηκαν, όλες οι αποδείξεις χρησιμοποίησαν σχήματα με τη νία οξεία. Προφανώς, η διατύπση τν αποδείξεν ίνεται ομοίς, και σε σχήματα με τη νία ορθή ή αμβλεία. Άσκηση 5 η : Να αποδειχθεί ότι, σε τρίνο με 90, η νία, που σχηματίζει το ύψος, με τη διάμετρο του περιεραμμένου κύκλου, από την κορυφή, είναι. πόδειξη η :, σαν εεραμμένες νίες που βαίνουν στο. 90, αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Έτσι, στα ορθοώνια τρίνα Υ και Λ αφού θα έχουμε. * Στο τρίνο,, 90 80. πόδειξη η : πειδή η νία Υ είναι εξτερική νία του * 90 90, τριώνου, θα έχουμε και επομένς 90. Όμς, στο ορθοώνιο τρίνο Υ έχουμε Υ 90, και συνεπώς. [] Λ

Σχόλια: () Όταν 90, τότε η πλευρά είναι η διάμετρος, ενώ η πλευρά είναι το ύψος, και συνεπώς 90. Στην περίπτση αυτή είναι προφανές, ότι η Δ, διχοτόμος τις νίας, είναι και διχοτόμος τις νίας «ύψους διαμέτρου». Τώρα μπορούμε να παρατηρήσουμε, ότι αυτό ισχύει και στην προηούμενη περίπτση, επειδή είναι.. Στο ίδιο συμπέρασμα, μπορούμε να καταλήξουμε και «αλεβρικά», αφού από την άσκηση, νρίζουμε ότι, και ότι (άσκηση 5). Υ () ν 90, τότε επίσης η νία «ύψους διαμέτρου» διχοτομείται από τη διχοτόμο Δ της νίας, αφού, και σε κάθε περίπτση ισχύει η σχέση. (i) 90 90 Στο ορθοώνιο τρίνο Υ, 90 90 80 90, επίσης σαν εεραμμένες που Y βαίνουν στο ίδιο τόξο, επομένς 90, και έτσι. Όμς, 90 90 80, αφού 80 80 K Τέλος, επειδή σαν εεραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο, Y E θα έχουμε 90 90, και συνεπώς σστά σχεδιάσαμε την ημιευθεία να τέμνει την προέκταση της πλευράς. Ισχύει 90, αφού 90 90 80 90 και 90 είναι στην υπόθεση. (ii) 90 90 Όμοια με την περίπτση (i), ισχύει. πειδή 90 από την υπόθεση, έχουμε Υ 90. Έτσι, //, αφού σχηματίζουν δύο «εντός εναλλάξ» νίες ίσες, όταν τέμνονται από την, επομένς αφού Ο, θα είναι και, και συνεπώς 90. υτό το νρίζαμε, αφού ομοίς με την περίπτση (i), 90 90 90. Μόνο στην περίπτση αυτή, η ευθεία τις διαμέτρου δεν τέμνει την ευθεία. (iii) 90 Όμοια με την περίπτση (i), ισχύει 90 και. πειδή 90 από την υπόθεση, η ευθεία τέμνει την προέκταση της πλευράς. () Διαπιστώσαμε ότι σε τρίνο με, σε K κάθε περίπτση η νία που σχηματίζει το ύψος με τη διάμετρο από την κορυφή, διχοτομείται από τη διχοτόμο Δ της νίας. Προφανώς, το ρόλο της διαμέτρου δε μπορούσε να παίξει η διάμεσος, αφού λό του εκλβισμού της μέσα στο τρίνο δε μπορεί να παρακολουθήσει τις απομακρύνσεις του «ελεύθερου» από τη διχοτόμο Δ. []

A Άσκηση 6 η : Να αποδειχθεί ότι σε τρίνο με A 90 και, η διχοτόμος διχοτομεί τη νία του ύψους και της διαμέσου, και ισχύει. πόδειξη: Στα προηούμενα, με τα δεδομένα της άσκησής μας, B αποδείξαμε ότι η διχοτόμος της νίας διχοτομεί τη νία που Υ Μ σχηματίζουν το ύψος και η διάμετρος από την κορυφή, και. Όμς η υποτείνουσα είναι διάμετρος με κέντρο το μέσο της Μ, επομένς η που είναι το μισό της υποτείνουσας, είναι ακτίνα του κύκλου, και συνεπώς είναι τμήμα της διαμέτροπό την κορυφή. «.. δ.» * * «.. δ.»: Ο υκλείδης, όταν τελείνε μια απόδειξη έραφε: «περ δει δε ξαι», δηλαδή «αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί» (εννοείται) αποδείχθηκε. ιδική απόδειξη: πειδή, έχουμε. πίσης, σα συμπληρματικές της νίας, στα ορθοώνια και αντίστοιχα. Έτσι, και άρα.. Σχόλιο: υτή είναι η μοναδική περίπτση τριώνου με, όπου η διάμεσος «παίζει το ρόλο» της διαμέτρου. Σε κάθε άλλη περίπτση όπου Â 90, επειδή το μέσο Μ της χορδής θα είναι διαφορετικό από το κέντρο του κύκλου, η διάμεσος Μ δε μπορεί να είναι τμήμα διαμέτρου. Άσκηση 7 η : Να αποδειχθεί ότι σε τρίνο με A 90,, και κέντρο του περιεραμμένου κύκλου Ο, η διάμεσος, δε μπορεί να είναι τμήμα της διαμέτρου, που έχει ια ένα άκρο της το. πόδειξη: Έστ ότι ίνεται η διάμεσος, να είναι τμήμα της διαμέτρου, που έχει ια ένα άκρο το. Τότε όμς η ευθεία Μ θα περιέχει δύο διαφορετικά * σημεία της μεσοκαθέτου της, το Μ και το Ο, συνεπώς θα ταυτίζεται με τη μεσοκάθετο της, επομένς η διάμεσος Μ θα είναι και ύψος, και κατά συνέπεια. Άτοπο, αφού υποθέσαμε ότι. * Τα Μ, Ο είναι διαφορετικά, ιατί αν ταυτίζοντανm, τότε η θα περιείχε το Ο, επομένς θα ήταν διάμετρος, και κατά συνέπεια Â 90. Άτοπο, αφού έχουμε υποθέσει ότι Â 90. Άσκηση 8 η : (Σ.Θ. 8, σελ.7) Δίνεται τρίνο με A 90 και, το ύψος του Υ και η διάμεσός του Μ. ν, οι προβολές του Υ N Η στις και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: Θ (i) Υ, (ii) (iii) Η διάμεσος Μ, το τμήμα Υ και η παράλληλη προς την από το, συντρέχουν. πόδειξη: (i) πειδή το Υ είναι ορθοώνιο 90 *, επομένς έχει ίσες διανίους, και συνεπώς. * Όταν θα λέμε ια νίες,, θα εννοούμε τις νίες του τριώνου. (ii), A A(από την άσκηση 6), A και συνεπώς στο ορθοώνιο θα έχουμε, σα συμπληρματική της Έτσι στο θα έχουμε, επομένς 90 και κατά συνέπεια. (iii) Έστ Θ το σημείο τομής τν Μ και Υ. ρκεί να δείξουμε ότι Θ//, και ι αυτό αρκεί το Θ να είναι παραλληλόραμμο. Έχουμε //Θ, από το ορθοώνιο Υ, και Θ, από τα ίσα ορθοώνια τρίνα Θ και Υ(Υ, σαν απέναντι πλευρές του ορθονίου Υ, και A )*. Έτσι το Θ θα είναι παραλληλόραμμο, και συνεπώς Θ//. * ς «εντός - εκτός και επί τα αυτά», τν παραλλήλν Υ και, που τέμνονται από τη. Σχόλιο: Τα ορθοώνια και έχουν ίσες νίες στη βάση, και κοινή νία «ύψους- διαμέσου». Στο τρίνο, θα έπρεπε να θερούμε προφανές το εονός ότι το Η είναι ύψος, αφού σχηματίζει από τη μεριά της μεαλύτερης νίας, νία (όσο η διαφορά τν νιών της βάσης) με τη διάμεσο Ν. [5] Υ Μ

ράψιμα εραμμένα Τετράπλευρα Άσκηση η : (.., σελ. 9) Να αποδείξετε ότι τα ύψη Δ,, ενός (οξυνίου) τριώνου, διχοτομούν τις νίες του τριώνου Δ. πόδειξη: ρκεί να αποδείξουμε ότι η Δ είναι διχοτόμος της, αφού τότε θα πούμε «ομοίς ια τις άλλες νίες». Έχουμε σα συμπληρματικές νίες της, στα ορθοώνια τρίνα και αντίστοιχα. Το τετράπλευρο ΔΗ είναι εράψιμο, αφού δύο απέναντι νίες του είναι παραπληρματικές 90, και ομοίς το ΔΗ [6] Η 90 E. Έτσι, αφού στα εράψιμα τετράπλευρά τους «βλέπουν» τις ίδιες πλευρές Η και Η αντίστοιχα. Όμς, και συνεπώς. «.. δ.» Σχόλια: () Το τρίνο Δ λέεται ορθοκεντρικό τρίνο, και υπάρχει με τη μορφή που το νρίσαμε, όταν το τρίνο είναι οξυώνιο. ν π.χ. Â 90, τότε δεν υπάρχει τρίνο Δ, αφού τα, ταυτίζονται με το. Στο διπλανό σχήμα, Â, και βλέπουμε το τρίνο Δ «λίο πριν» εξαφανιστεί. υτές οι καταστάσεις.. A 90 λέονται «οριακές», και τις αντιλαμβανόμαστε με κίνηση. πειδή δεν υπάρχει ενδιάμεση μορφή ανάμεσα στο τρίνο Δ και στο ευθύραμμο τμήμα Δ(Δ), θα μπορούσαμε να πούμε ότι «όσο σε οξυώνιο τρίνο αλλάζουμε τη νία, έτσι που το μέτρο της να διαφέρει όλο και λιότερο από τις 90, τόσο στο τρίνο Δ διακρίνουμε όλο και λιότερο σα διαφορετικές τις πλευρές Δ, Δ. Μάλιστα όταν η Â ίνει 90, τότε το τρίνο Δ εκφυλίζεται (χάνει τα χαρακτηριστικά του και ίνεται ανώριστο) σε ευθύραμμο τμήμα Δ». () πειδή σε κάθε κορυφή, η διχοτόμος της εξτερικής νίας του τριώνου είναι κάθετη στη διχοτόμο της (εστερικής) νίας, είναι φανερό ότι σε οξυώνιο τρίνο, οι ευθείες τν πλευρών του είναι Z διχοτόμοι τν εξτερικών νιών του ορθοκεντρικού τριώνου Δ. E () Σε τρίνο με 90, το ορθοκεντρικό τρίνο έχει διχοτόμους τμήματα τν ευθειών Δ, και, ενώ οι εξτερικές του νίες, διχοτομούνται από τις ευθείες, και. Άσκηση η : (Σ.Θ., σελ. 9) Δίνεται τρίνο και η διχοτόμος Δ. ν οι περιεραμμένοι κύκλοι τν τριώνν Δ και Δ τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι. πόδειξη: Τα τρίνα Δ και Δ είναι ίσα, αφού ΔΔ (Π) σα χορδές του κύκλου (,Δ,) που φαίνονται από τις ίσες εεραμμένες νίες, () σαν εξτερικές νίες απέναντι από την νία στα εεραμμένα τετράπλευρα Δ και Δ αντίστοιχα, και ΔΔ (Π) σα χορδές του κύκλου (,Δ,) που φαίνονται από τις ίσες εεραμμένες νίες. Έτσι σαν τρίτες πλευρές τν. Άσκηση η : (.., σελ. 9) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα άκρα δύο κάθετν χορδών κύκλου σχηματίζουν (περιεραμμένο) εράψιμο τετράπλευρο. Ν πόδειξη: ρκεί να αποδείξουμε ότι στο Δ ισχύει 80. Μ Το ΟΝ και ομοίς το ΛΟΜ είναι εράψιμα, αφού δύο απέναντι νίες K Ο τους είναι ορθές και επομένς παραπληρματικές. Έτσι 80 80. Όπς είναι νστό και αφού 90 : 80 80 80 80. Λ