URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre de greutate pentru corpuri omogene...5 6.4. entre de greutate pentru corpuri omogene simple uzuale...7 Test de autoevaluare 2...11 6.5. Teoremele Pappus Guldin...11 6.6. entre de greutate pentru corpuri neomogene...12 Test de autoevaluare 3...13 Bibliografie modul 13 Rezumat modul.14 Rezolvarea testelor de autoevaluare.. 14 6. entre de greutate Introducere modul În acest modul se introduc noţiuni importante în inginerie, cum ar fi: centrul de greutate, moment static şi masă specifică. Se va arăta cum se determină centrele de greutate pentru corpuri compuse şi se va determina poziţia centrului de greutate pentru corpuri omogene simple uzuale. La finalul modulului se vor enunţa teoremele Pappus-Guldin, teoreme cu ajutorul cărora se determină arii şi volume pentru corpuri obţinute prin rotaţia unor curbe, respectiv suprafeţe. Mecanica I 1
biective modul După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să definească poziţia centrului de greutate pentru un sistem de puncte materiale şi pentru un solid rigid; - noţiunea de moment static şi teorema momentelor statice; - să determine poziţia centrului de greutate pentru corpuri omogene compuse; - poziţia centrului de greutate pentru corpuri omogene simple uzuale; - să enunţe teoremele Pappus-Guldin. 2 ore Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. Durata medie de studiu individual 6.1. entre de greutate Un caz particular al sistemelor de forţe paralele vectori legaţi este sistemul forţelor de greutate. Pentru corpuri sau sisteme de puncte materiale cu dimensiuni neglijabile în raport cu raza Pământului şi aflate în vecinătatea suprafeţei acestuia, se poate considera că forţele de atracţie exercitate de Pământ alcătuiesc un sistem de forţe paralele. Aceste forţe se numesc forţe de greutate şi pot fi exprimate în funcţie de masele punctelor materiale: unde este vectorul acceleraţie gravitaţională, considerat constant în mărime direcţie şi sens (deşi acesta variază în funcţie de latitudine şi longitudine, fiind dirijat către centrul Pământului). Mărimea acceleraţiei gravitaţionale se va considera: Fie un sistem de puncte materiale de mase şi un sistem de referinţă cartezian xyz. Rezultanta forţelor de greutate ale punctelor materiale (forţe ce sunt considerate paralele, Mecanica I 2
verticale şi având sensul către suprafaţa Pământului) va păstra direcţia şi sensul forţelor de greutate, mărimea va fi suma mărimilor forţelor din sistem iar punctul de aplicaţie va fi în centrul acestor forţe paralele, denumit centru de greutate (figura 6.1). z z z x y x y x y Sistem de puncte materiale Solid rigid Fig. 6.1. Determinarea poziţiei centrului de greutate Poziţia centrului de greutate va fi dată de relaţia: Se observă că pentru sisteme de puncte îndeplinind condiţiile de mai sus poziţia centrului de greutate depinde doar de modul de distribuire al maselor sistemului. În acest mod se ajunge la o noţiune mai cuprinzătoare, aceea de centru de masă, care are sens şi pentru corpuri ce nu sunt la suprafaţa Pământului. Fie un solid rigid (figura 6.1). Se poate considera că acesta este un mediu continuu şi infinit de puncte materiale. Un asemenea punct se poate modela printr-un element infinitezimal (cu dimensiunile tinzând către zero) având masa elementară. Acest element va avea forţa de greutate elementară: Relaţia de determinare a poziţiei centrului de greutate pentru solidul rigid presupune efectuarea unor sume infinite, adică a unor integrale: Mecanica I 3
unde integralele se efectuează pe domeniul solidului rigid (lungime, suprafaţă sau volum). oordonatele centrului de greutate pentru sisteme de puncte materiale şi pentru solidul rigid sunt: 6.2. Momente statice Momentele statice sunt mărimile scalare egale cu sumele de produse dintre masele punctelor din sistem şi coordonatele acestora în raport cu un reper considerat. Pentru solidul rigid, sumele devin integrale. În relaţiile ce definesc coordonatele centrului de greutate, numărătorii fracţiilor reprezintă momente statice în raport cu planele sistemului de coordonate (S yz, S xz respectiv S xy ). Numitorii fracţiilor reprezintă chiar masa totală a sistemului de puncte materiale, respectiv a solidului rigid. Atfel, se poate enunţa teorema momentelor statice: Momentul static al unui sistem material (corp, sistem de puncte materiale) în raport cu un reper (plan, axă sau punct) este egal cu produsul dintre masa totală a sistemului material şi distanţa (pozitivă sau negativă) de la centrul de greutate al sistemului la reperul considerat. Mecanica I 4
Momentul static al unui sistem material în raport cu un plan, o axă sau un punct de simetrie este egal cu zero [2]. Aceasta conduce la următoarea consecinţă: Un sistem material care admite un plan, o axă sau un punct de simetrie are centrul de greutate în acel plan, pe acea axă sau în acel punct. 1. Poziţia centrului de greutate pentru un solid rigid se determină cu relaţia: a) Test de autoevaluare 1 b) c) 2. Enunţul,,noţiunea de centru de masă cuprinde noţiunea de centru de greutate este: a) adevărat; b) fals. 3. Enunţaţi teorema momentelor statice. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 6.3. entre de greutate pentru corpuri omogene În cazul corpurilor omogene masa specifică μ este aceeaşi în toate punctele corpului (este constantă). Masa specifică este masa unităţii de volum pentru corpuri de tip bloc, masa unităţii de arie pentru corpuri de tip placă sau masa unităţii de lungime pentru corpuri de tip bară. Pentru bare omogene, masa specifică se poate exprima astfel: M, L Fig. 6.3 Această relaţie arată că raportul masă/lungime este acelaşi indiferent de cât de Mecanica I 5
mare este partea corpului considerată (figura 6.2). Rezultă: oordonatele centrului de greutate pentru un corp de tip bară sunt: unde integralele se efectuează pe toată lungimea barei. Pentru plăci omogene masa specifică ( numită şi densitate aparentă) se poate exprima astfel: Rezultă: oordonatele centrului de greutate pentru un corp de tip placă sunt: Pentru blocuri omogene masa specifică (numită şi densitate) se poate exprima astfel: Rezultă: oordonatele centrului de greutate pentru un corp de tip bloc sunt: Mecanica I 6
Se observă că în cazul corpurilor omogene se poate vorbi despre centre de greutate geometrice, poziţia acestora depinzând doar de geometria corpurilor. În cazul sistemelor de corpuri omogene alcătuite prin asamblarea unor corpuri simple uzuale, definite geometric, cărora li se cunosc poziţiile centrelor de greutate în raport cu un sistem de referinţă ales, relaţiile devin: - pentru sisteme de bare omogene: - pentru sisteme de plăci omogene: - pentru sisteme de blocuri omogene: 6.4. entre de greutate pentru corpuri simple uzuale Se vor determina poziţiile centrelor de greutate pentru câteva corpuri utilizate mai des în aplicaţii. Bara rectilinie A L/2 L L/2 B Fie o bară rectilinie de lungime L. Deoarece bara acceptă două axe de simetrie, centrul de greutate se va afla la intersecţia acestora (din figura 6.4). Fig. 6.4 Bara arc de cerc Fie o bară în formă de arc de cerc, cerc având raza R şi centrul în. Lungimea arcului se poate exprima în funcţie de unghiul la centru: Mecanica I 7
h h/2 h/2 entre de greutate, unghiul β exprimat în radiani. Arcul de cerc admite ca axă de simetrie bisectoarea unghiului la centru (figura 6.5). Se va y A dθ α β α θ B Fig. 6.5 considera axa x a sistemului de referinţă chiar axa de simetrie. Rezultă că trebuie determinată doar coordonata, coordonata fiind zero. x Pentru determinarea numărătorului se face schimbarea de coordonate unde unghiul θ variază de la la. Dezvoltând expresia lui se obţine: Placa dreptunghiulară Placa dreptunghiulară cu laturile b şi h acceptă două axe de simetrie. La intersecţia acestora se află centrul de greutate (figura 6.6). b/2 b/2 b Fig. 6.6 Placa triunghi dreptunghic Pentru determinarea poziţiei centrului de greutate a unei plăci triunghi dreptughic se vor alege axele sistemului de referinţă coliniare cu catetele acestuia. Deoarece triunghiul dreptunghic are aceeaşi poziţie în raport cu ambele axe (o axă este paralelă cu o catetă şi perpendiculară pe cealaltă) se va determina o singură coordonată ( ), cealaltă obţinându-se prin analogie. Mecanica I 8
h/3 h y h-y y b/3 entre de greutate dy b Fig. 6.7 Se alege un element de arie dreptunghiular cu lungimea variabilă ( ) şi lăţimea x constantă cu care se,,acoperă triunghiul prin deplasare pe verticală de la la h. um aria tinde către zero şi latura tinde de asemenea la zero, acest element dreptunghiular de arie are o comportare de punct în raport cu axa x, deci calculul presupune determinarea unei integrale simple. Aceasta este o urmare a faptului că s-a ales latura finită a elementului elementar de arie paralelă cu axa în raport cu care determinăm coordonata centrului de greutate. Mărimea laturii variabile se determină din asemănarea celor două triunghiuri dreptunghice din figura 6.7. Astfel: Se înlocuiesc termenii în integrală: Prin analogie: Se observă că centrul de greutate al unei plăci triunghi dreptunghic se află la o treime din catetă în raport cu cealaltă catetă. Din punct de vedere geometric, centrul de greutate pentru o asemenea placă se află la intersecţia medianelor. Placa sector de cerc Fie o placă sector de cerc cu raza R şi unghiul la centru β. Bisectoarea unghiului la centru este axă de simetrie deci vom alege o axă a sistemului de referinţă chiar această bisectoare (figura Mecanica I 9
6.8). a şi la bara arc de cerc, se va determina distanţa de la centrul cercului la centrul de greutate al sectorului de cerc (notată ). y ρ dρ A Numitorul este aria sectorului de cerc: α dθ β α R θ B x Pentru calculul numărătorului se va considera elementul de arie (figura 6.8). Prin schimbarea variabilelor (utilizând coordonatele polare şi ), rezultă: la. Fig. 6.8 unde variază de la 0 la R iar variază de la ( ) Variabilele sunt independente, deci putem rezolva această integrală separând variabilele şi cunoscând că produsul acestor variabile în integrală conduce la produsul a două integrale simple: Poziţiile centrelor de greutate (notate cu ) pentru trei sectoare de cerc utilizate frecvent în aplicaţii se prezintă în figura 6.9, unde are semnificaţia de excentricitate. R e e R e Fig. 6.9 Mecanica I 10
1. Pentru plăci omogene masa specifică se mai numeşte şi: a) densitate; b) densitate aparentă; c) densitate de suprafaţă. Test de autoevaluare 2 2. În cazul plăcilor alcătuite prin asamblarea unor plăci simple uzuale, poziţia centrului de greutate este dată de expresiile: a) b) c) 3. Enunţul,,pentru o placă sector de cerc centrul de greutate se află pe bisectoarea unghiului la centru este: a) adevărat; b) fals. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 6.5. Teoremele Pappus Guldin Teorema 1. Aria suprafeţei generată prin rotirea completă a unui arc de curbă plană şi omogenă în jurul unei axe conţinută în planul său şi pe care nu o traversează, este egală cu lungimea arcului de curbă înmulţită cu lungimea cercului descris de centrul său de masă (figura 6.10.a). Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a unei suprafeţe plane şi omogene în jurul unei axe conţinută în planul său şi pe care nu o intersectează este egal cu produsul dintre aria suprafeţei şi lungimea cercului descris de centrul său de masă (figura 6.10.b). Mecanica I 11
L A a) b) Fig. 6.10. Teoremele Pappus - Guldin ) 6.6. entre de greutate pentru corpuri neomogene De regulă, astfel de corpuri se obţin prin asamblarea unor corpuri omogene având mase specifice diferite. În această situaţie, se împarte corpul în părţile sale omogene şi se determină poziţiile centrelor de greutate pentru fiecare parte, definite de coordonatele, şi în raport cu un sistem de referinţă ales. oordonatele centrului de greutate al corpului neomogen se vor determina cu relaţiile: Pentru corpuri neomogene având masa specifică variabilă după o lege cunoscută, coordonatele centrului de greutate se determină astfel: Mecanica I 12
1. Enunţaţi prima teoremă Pappus Guldin. Test de autoevaluare 3 2. Relaţia ce exprimă cea de-a doua teoremă Pappus Guldin este, unde A este aria unei suprafeţe plane omogene şi este raza cercului descris de centrul de masă al acestei suprafeţe. Relaţia este: a) adevărată; b) falsă. 3. Pentru corpuri neomogene, coordonatele centrului de greutate se determină cu relaţiile: a) b) c) Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 62-76 ; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga, A. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. Partea I, Editura onspress, Bucureşti, 2003, pag. 51-61; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 148-161. Mecanica I 13
În acest modul s-au introdus noţiunile: centru de greutate, moment static şi masă specifică. Rezumat modul S-au dezvoltat relaţiile de calcul pentru poziţia centrului de greutate al unui corp omogen şi ale unui corp omogen compus din alte corpuri omogene. S-a determinat poziţia centrului de greutate pentru o serie de corpuri omogene uzuale. Pentru calculul anumitor arii şi volume s-au enunţat teoremele Pappus Guldin. În finalul modulului s-a abordat problema determinării poziţiei centrului de greutate pentru corpuri neomogene. 1. c; 2. a; Rezolvare test de autoevaluare 1 3. onsultare aspecte teoretice pag. 4. 1. b; 2. c; Rezolvare test de autoevaluare 2 3. a. 1. onsultare aspecte teoretice pag. 11; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 3 3. c. Mecanica I 14