Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές Φυσικής Γεωδαισίας) Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος 2016-17 (,,) Τα πεδία δυνάµεων διακρίνονται σε δύο κατηγορίες di( (,,,, ) d F i Ελκυόµενη µοναδιαία µάζα ανάλογα µε το εάν σχετίζονται µε την ύπαρξη ή όχι µιας βαθµωτής συνάρτησης, συνάρτησης, λεγόµενης συνάρτησης δυναµικού (gavitational potential) Ένας απλούστερος τρόπος να εκφραστεί η ελκτική δύναµη ενός πεδίου, πεδίου, είναι να εισάγουµε µια βαθµωτή συνάρτηση θέσης V=V( V(), τέτοια ώστε (,,) d F i di( (,,,, ) Με άλλα λόγια Μπορούµε να µιλάµε για την συνάρτηση V( V() ως το των ελκτικών δυνάµεων F() βαρύτητας Μπορεί να δειχθεί εύκολα ότι κατά τον άξονα των (και παρόµοια για τους άξονες και ) ισχύει και για τις δυνάµεις βαρύτητας F() ως την κλίση συνάρτησης του γήινου δυναµικού V( V(). µε παρόµοιες σχέσεις για τις συνιστώσες F και F ΑΝΤΙ να έχουµε να υπολογίζουµε τις 3 συνιστώσες ελκτικής δύναµης βαρύτητας σε ένα σηµείο στο χώρο, χώρο, αρκεί να υπολογίσουµε την µια τιµή βαθµωτής συνάρτησης του γήινου δυναµικού Αυτό είναι ένα µεγάλο πλεονέκτηµα Τι σηµαίνει πρακτικά αυτή η σχέση µεταξύ ελκτικής δύναµης και του δυναµικού βαρύτητας; (,, ) d F i di(,,) δύναµη έλξης που υφίσταται µια µοναδιαία µάζα από ένα κεντρικό σώµα µάζας οφείλεται στο πεδίο των ελκτικών δυνάµεων που δηµιουργείται στο χώρο γύρω από το κεντρικό σώµα. Το έλξης που δηµιουργεί το κεντρικό σώµα στον περιβάλλοντα χώρο του ελαττώνεται όσο αυξάνει η απόσταση του σηµείου ενδιαφέροντος όπου βρίσκεται µια µοναδιαία µάζα και φυσιολογικά µηδενίζεται στο άπειρο. Επειδή έχει υποτεθεί ότι το υπόθεµα έχει µοναδιαία µάζα, τόσο η ασκούµενη δύναµη έλξης, όσο και οι συνιστώσες, εκφράζουν δυνάµεις ανά µάζα έχουν διαστάσεις επιτάχυνσης βαρύτητας gavitational potential έννοια του δυναµικού σχετίζεται µε την παραγωγή έργου και την απόδοση ή κατανάλωση ς κατά την κίνηση µιας µάζας εντός ενός πεδίου δυνάµεων (π.χ., βαρύτητας) εν είναι τίποτε άλλο από ένας µετρητής του έργου δύναµης του πεδίου στο σωµατίδιο
ΣΑΤΜ βαρύτητας gavitational potential Έργο επιτελείται όταν µια δύναµη µετατοπίζει µια µάζα κατά µια απόσταση στη διεύθυνση δύναµης. Ελλείψει δυνάµεων τριβής, το έργο αποθηκεύεται ως του σώµατος στο οποίο ασκείται η δύναµη βαρύτητας gavitational potential Τοσχετίζεταιµετη δυναµική που αντιστοιχεί στη µοναδιαία ποσότητα σωµατιδίου (µάζας) που βρίσκεται εντός του πεδίου ενδιαφέροντος έννοιατουδυναµικούείναι ιδιότητα αποκλειστικά του πεδίου, ενώ η δυναµική εξαρτάται καιαπότοσωµατίδιοπου βρίσκεται εντός του πεδίου. Ελκτικό σηµειακής µάζας Το V σε απόσταση από µια µάζα Μ? Το βαρύτητας συνδέεται άµεσα µε το έργο που επιτελείται στο πεδίο βαρύτητας για τη µεταφορά µιας µάζας από το άπειρο (όπου V=: 0) σε αυτό το σηµείο, και Εκφράζει βαρυτική δυναµική (ανά µονάδα µάζας). Εξ ορισµού έχει αρνητική τιµή στο σηµείο ενδιαφέροντος και όσο αποµακρυνόµαστε προς το άπειρο τείνει στο µηδέν ΣΑΤΜ ΣΑΤΜ βαρύτητας Σχέση µεταξύ: Έργου, Ενέργειας και υναµικού Αποθηκευµένη βαρυτική δυναµική. Βαρυτική επειδή επιτελείται έργο ενάντια στη βαρύτητα για την άρση π.χ. ενός αντικειµένου, και δυναµική µε την έννοια ότι η απελευθερώνεται όταν αφεθεί το αντικείµενο Όσο µεγαλύτερη η ανύψωση, τόσο περισσότερη ΥΝΑΜΙΚ και λιγότερη ΚΙΝΤΙΚ βαρύτητας Σχέση µεταξύ: Έργου, Ενέργειας και υναµικού Όλες οι συντηρητικές δυνάµεις έχουν δυναµική που συνδέεται µε αυτές δύναµη βαρύτητας δεν αποτελεί εξαίρεση βαρυτική δυναµική αντιπροσωπεύει τη δυνατότητα ενός αντικειµένου να παράγει έργο ως αποτέλεσµα του ότι βρίσκεται σε µία συγκεκριµένη θέση στο βαρυτικό πεδίο Αυτό που είναι ενδιαφέρον για την βαρυτική δυναµική είναι ότι η θέση που αυτή είναι µηδενική επιλέγεται αυθαίρετα π.χ. οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο σε πεδία µεταβλητής έντασης Το έργο που επιτελείται από τη βαρύτητα αφορά τη µεταβολή κινητικής ς του σώµατος που έλκεται. βαρυτική δυναµική, εξ ορισµού, εκφράζεται από την αρνητική τιµή αυτής µεταβολής Κ.Ε.: δηλαδή, καθώς η ελκυόµενη µάζα κινείται προς την έλκουσα µάζα, κερδίζει κινητική (δηλ. επιταχύνεται). d ˆ Σύµφωνα µε την αρχή ds διατήρησης ς, η F dθ θˆ g ελκυόµενη µάζα dθ πρέπει να χάσει ένα ίσο ποσό δυναµικής ς ΣΑΤΜ ΣΑΤΜ ΣΑΤΜ σε πεδία µεταβλητής έντασης Είναι το έργο dw που επιτελείται από τη βαρύτητα όταν ασκείται σε ένα σώµα που υπόκειται σε µια στοιχειώδη µετατόπιση (σε πολικές συντεταγµένες) Επειδή το πρόβληµα αφορά µεγάλες αποστάσεις, δεν µπορούµε πλέον να υποθέσουµε ότι το βαρυτικό πεδίο είναι οµοιόµορφο µεταβλητής έντασης δυνάµεις F dθ F g ˆ d dθ θˆ ds θˆ ˆ Το συνολικό έργο που επιτελείται από τη βαρύτητα για µια µεγάλη µετατόπιση: Το ποσό του εκτελούµενου έργου δεν εξαρτάται από την πορεία του αντικειµένου κατά τη διάρκεια οποίας δρα η βαρύτητα, αλλά από την αρχική και την τελική θέση του αντικειµένου η βαρύτητα είναι µια συντηρητική δύναµη Πολύ κοντά στην έλκουσα µάζα Μ, η απόσταση είναι µικρή και το U παίρνει µια µεγάλη αρνητική τιµή: η βαρυτική δυναµική είναι πάντα αρνητική 0 ηλαδή, αυτή η τιµή U αυξάνεται από µια µεγάλη αρνητική τιµή σε µια µικρή αρνητική τιµή καθώς το αντικείµενο µετακινείται µακρύτερα από τη µάζα Μ µέχρι να φτάσει τελικά στο µηδέν σε άπειρη απόσταση ΣΑΤΜ ΣΑΤΜ ΣΑΤΜ
& ανεξαρτησία Μηχανική τιµής του έργου από την πορεία του αντικειµένου, µας επιτρέπει να ορίσουµε µια µοναδική τιµή V, το βαρυτικό, για όλα τα σηµεία σε απόσταση από την πηγή των δυνάµεων βαρύτητας V = U/ = η δυναµική ανά µονάδα µάζας σε ένα πεδίο δυνάµεων που δηµιουργεί ένα σώµα µάζας στον περιβάλλοντα χώρο του & υναµική Κινητική Για Για αποµονωµένα αποµονωµένα συστήµατα συστήµατα ηη συνολική συνολική µηχανική µηχανική είναι είναι σταθερή σταθερή (δηλαδή, (δηλαδή, EE = = ΚΚ + + U). U). & Ακολουθώντας τη συνήθη πρακτική Φυσικής που θεωρεί τη Γη ως πηγάδι δυναµικής ς (potential well), αποθήκη αρνητικής ς & V( ) & & 1. 1.Το Το VV αφορά αφορά µόνο µόνο το το πεδίο πεδίο που που οφείλεται οφείλεται σε σε µια µια (σηµειακή (σηµειακή ήή σφαιρική) σφαιρική) µάζα µάζα Μ, Μ, και και ακολουθεί ακολουθεί τον τον νόµο νόµο του του αντιστρόφου αντιστρόφου απόστασης απόστασης (1/) (1/) και και όχι όχι του του αντιστρόφου αντιστρόφου 2 τετραγώνου τετραγώνου (1/ (1/2)) 2.Το 2.Το V V εκφράζεται εκφράζεται σε σε J/kg J/kg ήή 22/s22 /s που απαιτείται για να µεταφερθεί µια (µοναδιαία) µάζα από το άπειρο στο σηµείο ενδιαφέροντος Βαρυτική δυναµική & Μηχανική (ολική) 3. 3.Ακριβώς Ακριβώς όπως όπως και και µε µε την την εξίσωση εξίσωση για για τη τη βαρυτική βαρυτική δυναµική (Β Ε), δυναµική (Β Ε), το το αρνητικό αρνητικό πρόσηµο πρόσηµο δεν δεν είναι είναι προαιρετικό, προαιρετικό, αλλά επιβάλλεται. επιβάλλεται αλλά επιβάλλεται. Όλες Όλες οι οι τιµές τιµές του του ελκτικού ελκτικού δυναµικού βαρύτητας δυναµικού βαρύτητας είναι είναι αρνητικές, αρνητικές, και και στο στο άπειρο άπειρο αυτό αυτό είναι είναι µηδέν µηδέν (αφού (αφού όλα όλα τα τα σώµατα σώµατα έχουν έχουν µηδενική µηδενική Β Ε Β Ε στο στο άπειρο) άπειρο) & J/kg 4. 4.Αποδεικνύεται Αποδεικνύεται ότι ότι έχει έχει νόηµα νόηµα ηη επιλογή επιλογή V( ) V( ) == 0, 0, διότι διότι καθώς καθώς,, ηη βαρυτική βαρυτική δύναµη δύναµη τείνει τείνει γρήγορα γρήγορα προς προς το το µηδέν. µηδέν. Ουσιαστικά Ουσιαστικά για για να να ξεφύγουµε ξεφύγουµε από από τη τη βαρύτητα βαρύτητα ενός ενός πλανήτη πλανήτη χρειάζεται χρειάζεται πολλή πολλή 4.4. Αυστηρά Αυστηράαυτό αυτόσυµβαίνει συµβαίνει µόνο µόνοαν αν,,αλλά αλλάλόγω λόγω σχέσης σχέσηςτων τωνελκτικών ελκτικών δυνάµεων δυνάµεωνµε µετο τοαντίστροφο αντίστροφο του τουτετραγώνου τετραγώνου απόστασης, απόστασης,µπορούµε µπορούµενα να καταλήξουµε καταλήξουµεσε σε µια µιαασύµπτωτο ασύµπτωτοόπου όπουηη βαρυτική βαρυτικήδυναµική δυναµική είναι είναιπολύ πολύκοντά κοντάστο στοµηδέν. µηδέν. 5. Το V, όπως και η ένταση g του πεδίου βαρύτητας είναι µια ιδιότητα του πεδίου σε ένα σηµείο, και είναι ανεξάρτητο από τη µάζα που έχει τοποθετηθεί εκεί. Δύο αντικείµενα µε διαφορετικές µάζες στο ίδιο σηµείο στο πεδίο έχουν το ίδιο, αλλά έχουν διαφορετικές δυναµικές ενέργειες. H (1000 k)
Γήινο βαρυτικό & δυναµική & 6. Σε οµοιόµορφα πεδία (π.χ. κοντά στην επιφάνεια Γης), µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µεταβολή του δυναµικού = g h (ανά µονάδα µάζας) Fg == gg == gg ή ανά µονάδα µάζας (=1) << E Β Ε = 9.8 /s2 65 kg 4.85 = 3089.4 J = Χρυσό µετάλλιο io Olpics 2016 παράδειγµα ταµιευτήρες ηλεκτρικής ς Είναι µια από τις λίγες µορφές ς που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την πρακτική αποθήκευση ς σε πολύ µεγάλη κλίµακα Υδροηλεκτρικά συστήµατα αντλησιοταµίευσης µεταφορά ηλεκτρικής ς σε περιόδους αιχµής ζήτησης 1.8 109 λίτρα νερού, σε h=380 U=6.75 1012 J πτώση για 30in, δίνει 30 GW ισχύ ηλεκτρικής ς παράδειγµα εκτόξευση π.χ. ενός δορυφόρου io Olpics 2016: Geece's Ekateini Stefanidi wins pole vault gold == gg E στο ανώτερο ύψος δυναµική, που αυξάνεται µε την ανύψωση µάζας από την αρχική θέση. παράδειγµα ταµιευτήρες ηλεκτρικής ς == gg ή ανά µονάδα µάζας (=1) Κοντά στη γήινη επιφάνεια Εάν ένα αντικείµενο µάζας εκτοξευθεί κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα v0, αγνοώντας την αντίσταση του αέρα, ποια θα είναι η µέγιστη απόσταση AX από το κέντρο Γης που θα φθάσει πριν αρχίσει να πέφτει εξ αιτίας βαρύτητας? a a v0 h a v0 h a E E Ταχύτητα διαφυγής από τη γήινη βαρύτητα βαρύτητας βαρύτητας εκτόξευση π.χ. ενός δορυφόρου από άλλους πλανήτες gavitational potential gavitational potential Μεταβολή Ανακαλώντας ότι g = G/E2 γενικότερα, η ταχύτητα διαφυγής από ένα πλανήτη µάζας ΜΡ και ακτίνας P είναι vesc=(2g ΜΡ / P)1/2 (όπου G = 6.67 10-11 3 kg-1 s-2). = -- gg H H UU = δυναµικής ς σε ένα πεδίο σταθερών δυνάµεων (δηλ. εάν g=σταθερό) π.χ., ισχύει για αποστάσεις/υψόµετρα κοντά στην επιφάνεια Γης Απόσταση Πως αλλάζει το πρόβληµα, όταν βαρυτική ένταση του πεδίου δεν είναι σταθερή - η τιµή του g αλλάζει) = -- gg H H UU = Το βαρυτικό πεδίο οφείλεται σε πολλαπλές (διακριτές ή µη) µάζες ή σε διαφορετικές Απόσταση κατανοµές µαζών Απαιτείται ένας άλλος φορµαλισµός
σφαιρικού δακτυλίου Στοιχειώδεις µάζες και έλξης Εάν µια µάζα Μ είναι κατανεµηµένη σε ένα σώµα Σ, κάθε απειροελάχιστο κοµµάτι µάζας d δηµιουργεί στον d περιβάλλοντα χώρο του ένα έλξης σε κάθε σηµείο σε απόσταση Σε κάποιο σηµείο Α στο χώρο, το έλξης που προέρχεται από το πεδίο που δηµιουργούν µάζες 1, 2,, n: 2 4 Α 5 n 3 1 Αρχή υπέρθεσης di( (,,,, ) Το πολλαπλών µαζών = ισοδύναµο µε το άθροισµα των επιµέρους δυναµικών για κάθε µάζα φυσικού σώµατος Ν= cosα Γήινη έλξη Κλίση του Γήινου δυναµικού ευκολία χειρισµών που (,,) παρέχει η συνάρτηση δυναµικού είναι ιδιαίτερα αισθητή στην περίπτωση dfi ενός συστήµατος (πολλαπλών) σηµειακών µαζών σώµατος Γήινο Όλες οι στοιχειώδεις µάζες επί του δακτυλίου είναι σε ίση απόσταση από το σηµείο Ρ όλα τα στοιχεία di θα συµβάλουν το ίδιο στο ζητούµενο. di P(,0) Είναι σαφές από το άθροισµα των επιµέρους di ds τιµών του δυναµικού λόγω των στοιχειωδών µαζών ότι ο δακτύλιος δεν χρειάζεται να έχει οµοιόµορφη πυκνότητα Το για κυκλικό δακτύλιο ελαττώνεται καθώς αποµακρυνόµαστε από το κέντρο. Eσκ= εµβαδόν σ.κ. =(2π sinα)( α) u= µάζα ανά µονάδα επιφάνειας Μσ.κ. - µάζα s= α σφαιρικού δακτυλίου απειροστού πάχους s= α s= α σφαιρικού δακτυλίου πεπερασµένου πάχους Ολόκληρο το σφαιρικό κέλυφος µπορεί να θεωρηθεί ως σειρά δακτυλίων όπου το s µεταβάλλεται µεταξύ - και + Στην περίπτωση σφαιρικού δακτυλίου πεπερασµένου πάχους, το s δεν µπορεί να θεωρηθεί σταθερό, αφού µεταβάλλεται µεταξύ δύο ακτινικών τιµών 1(εσωτερική) και 2 (εσωτερική) στο εσωτερικό λεπτού κελύφους Είδαµε ήδη ότι: ένα κέλυφος από συµπαγές οµοιόµορφο υλικό (δηλ. ίδιας πυκνότητας µάζα Μ) και ακτίνας δεν ασκεί καµία έλξη σε µια σηµειακή µάζα τοποθετηµένη στο εσωτερικό του σε απόσταση < από το κέντρο µάζας του. 0 Παράδειγµα Μεταβολές του δυναµικού και ελκτικής δύναµης µιας
s= α Το µπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση πεπερασµένου πάχους µε 1=0 και 2= στο εσωτερικό Αφού η ακτίνα σφαίρας δεν υπεισέρχεται στη σχέση για το σφαιρικού κελύφους το εξαρτάται µόνο από την απόσταση του εξωτερικού σηµείου από το κέντρο σφαίρας H µη εξάρτηση συνάρτηση του δυναµικού, από την ακτίνα, είναι απόρροια συµµετρίας σφαίρας. V() = VIn στο εσωτερικό σφαίρας, όπου Μάζα σφαίρας ΕΠΟΜΕΝΩΣ, το συµπαγούς σφαίρας ακτίνας είναι το ίδιο µε αυτό που θα προκαλούσε µια µάζα Μ, ίση µε την ολική µάζα σφαίρας, ως εάν αυτή ήταν συγκεντρωµένη στο κέντρο ύο περιπτώσεις ανάλογα µε τη θέση ελκυόµενης µάζας VOut σφαίρας VIn στο εσωτερικό σφαίρας, όπου > Μάζα σφαίρας V() = VOut Το βαρυτικό που δηµιουργείται από µια σφαίρα οµοιόµορφης πυκνότητας µάζας ρ, και ακτίνας V() = VOut σφαίρας, όπου > Μάζα σφαίρας και αν =, συνάγεται αµέσως ότι V()=V V()=V(()= - G/ Το απλούστερο µοντέλο για το σχήµα και το πεδίο ελκτικών δυνάµεων Γης: Σφαίρα ακτίνας =6371 k. Γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ίση µε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής Γης ω=0.729 10-4 ad/sec. Οµοιόµορφη πυκνότητα ή κατανοµή µε σφαιρική συµµετρία. δυναµική συνάρτηση δυναµικού καθορίζεται µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς αποδίδοντας σε κάθε σηµείο του χώρου αντίστοιχη τιµή δυναµικής ς και συνακόλουθα τον διαµερίζει σε ισοδυναµικές επιφάνειες δυναµική αριθµητική τιµή V() δηλώνει τη δυναµική που αποδίδεται σε υπόθεµα µοναδιαίας µάζας τοποθετηµένο στο θεωρούµενο σηµείο του χώρου. Σε κάθε σηµείο του χώρου, η διερχόµενη ισοδυναµική επιφάνεια τέµνει προφανώς κάθετα το πεδίο δυνάµεων
ΣΑΤΜ για σώµατα µε συµµετρικά αξονική κατανοµή µαζών Γενικά χρησιµοποιούνται σφαιρικές συντεταγµένες (,θ,φ) Αξονικά συµµετρική κατανοµή µάζας θεωρείται εκείνη η οποία είναι ανεξάρτητη γωνίας αζιµουθίου. Μια τέτοια κατανοµή µάζας δηµιουργεί ένα αξονικά συµµετρική βαρυτικό Μπορούµε να θέσουµε φ=0, όταν υπολογίζουµε τη συνάρτηση δυναµικού V(,θ,φ) Εξίσωση του Poisson Θεωρείστε µια σφαιρική επιφάνεια V, ακτίνας, µε το κέντρο στη θέση σηµειακής µάζας Μ ροή του βαρυτικού πεδίου που διέρχεται από την εν λόγω (κλειστή) σφαιρική επιφάνεια δίνεται από τη σχέση O Gauss, µε το φερώνυµο θεώρηµα του (Θεώρηµα απόκλισης) έδειξε ότι Εξίσωση του Poisson Συνδυάζοντας 1. τη σχέση για τη ροή του βαρυτικού πεδίου που διέρχεται από την εν λόγω σφαιρική επιφάνεια 2. το θεώρηµα απόκλισης, και 3. τη σχέση ελκτικής δύναµης F, ως τη κλίση συνάρτησης δυναµικού V προκύπτει η θεµελιώδης εξίσωση του Poisson Έχει ιδιαίτερη σηµασία γιατί µας λέει πως συµπεριφέρεται, από τη µαθηµατική σκοπιά, η συνάρτηση δυναµικού V σε κάποιο σηµείο που βρίσκεται µέσα στις έλκουσες µάζες ΣΑΤΜ ΣΑΤΜ Εξίσωση του Poisson Οι πρώτες παράγωγοι συνάρτησης δυναµικού V (δηλ. οι συνιστώσες F, F, F ελκτικής δύναµης βαρύτητας, είναι συνεχείς συναρτήσεις, αλλά όχι και οι δεύτερες παράγωγοι του όπου υπάρχει ασυνέχεια στην πυκνότητα, θα υπάρχει και στις δεύτερες παραγώγους του V Στον χώρο έξω από τις έλκουσες µάζες, η πυκνότητας είναι θεωρητικά µηδέν (ρ=0), και το ικανοποιεί την εξίσωση του aplace 2 V=0 Οι λύσεις αρµονικές συναρτήσεις IS Την επόµενη φορά θα συζητήσουµε Τις λύσεις εξίσωσης aplace καιπωςαυτέςµαςοδηγούνσταµοντέλα σφαιρικών αρµονικών συναρτήσεων που χρησιµοποιούµε για τον πρακτικό υπολογισµό των παραµέτρων του γήινου πεδίου βαρύτητας ΣΑΤΜ ΣΑΤΜ