ΚEΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός Μια πραµατική συνάρτηση f πολλών µεταβλητών (ή αλλιώς βαθµωτό ή αριθµητικό πεδίο) αποτελείται από το πεδίο ορισµού της που είναι ένα υποσύνολο E του ευκλείδιου χώρου και από ένα κανόνα ο οποίος σε κάθε σηµείο P= ( x, x,, x ) του E αντιστοιχεί ένα µοναδικό πραµατικό αριθµό z, δηλαδή: f E z = f P = f x x : : (,, ) To πεδίο ορισµού E ορίζεται ως το σύνολο σηµείων ( x, x,, x ) του χώρου ια τα οποία ο τύπος της συνάρτησης έχει νόηµα Οι τιµές f ( P ) καλούνται εικόνες και είναι πραµατικοί αριθµοί που συχνά εκφράζουν τις τιµές µιας βαθµωτής ποσότητας, πχ θερµοκρασίας σε κάθε σηµείο του χώρου Παράδειµα Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: xy y (i) f ( xy, ) = y x, (ii) f ( x, y) = x Λύση: (i) Πρέπει y x y x Συνεπώς το πεδίο ορισµού της f (το οποίο είναι υποσύνολο του ) είναι το κάτωθι ραµµοσκιασµένο σχήµα: (ii) Πρέπει το x y y x ± Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι όλο εάν εξαιρέσουµε τις ευθείες y = x και y= x Έστω f : E : z = f( x,, x ) Το σύνολο των εικόνων της f καλείται πεδίο τιµών της f, συµβολικά
{ :,, } = = f E z z f x x Προφανώς το πεδίο τιµών f ( E ) είναι υποσύνολο του ή και το ίδιο το Η ραφική παράσταση µιας πραµατικής συνάρτησης πολλών µεταβλητών f : E : z = f( x,, x ) ορίζεται ως το σύνολο των σηµείων του χώρου της + µορφής {,,, + x x z : z f ( x,, x) } Γ= = Η ραφική παράσταση συνάρτησης f : E είναι µία επιφάνεια στο χώρο, αλλιώς ια συναρτήσεις f : E µε > µιλού- µε ια υπερεπιφάνειες Σχεδιάζουµε τη ραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : E : είτε ως ένα σύνολο σηµείων στον κάθε σηµείο του οποίου έχει x, yz, = xy,, f xy, (βλέπε σχήµα), συντεταµένες είτε ως ένα σύνολο από ισοϋψείς (ή ισοσταθµικές) καµπύλες στον, δηλαδή ένα σύνολο από καµπύλες επί του πεδίου ορισµού της f, κατά µήκος των οποίων η f έχει σταθερή τιµή z = f ( x, y) = c Με άλλα λόια κάθε ισοϋψής καµπύλη f ( xy, ) = cείναι η προβολή στο επίπεδο Οxy της τοµής της επιφάνειας z = f ( x, y) µε το επίπεδο z=c
5-5 - - -5 5 * Σχήµα: Iσοϋψείς καµπύλες xy c, ( c ) = της συνάρτησης z = f( x, y) = xy Η µεταβολή της σταθεράς c παριστάνεται στο σχήµα µέσω χρωµατισµού από το µαύρο που αντιστοιχεί στις µικρότερες τιµές του c (στην προκειµένη περίπτωση αρνητικές τιµές του c ) προς το άσπρο που αντιστοιχεί στις µεαλύτερες τιµές του c Η ραφική παράσταση συνάρτησης f : E µπορεί να παρασταθεί ως ένα σύνολο οµοιόθετων επιφανειών οι οποίες ορίζονται ως το σύνολο σηµείων του χώρου w= f x, y, z έχει σταθερή τιµή f ( xyz,, ) = c στα οποία η συνάρτηση Σχήµα: Οµοιόθετες επιφάνειες + x y z c, c w f x y z x y z + + = της συνάρτησης = (,, ) = + + Οι οµοιόθετες επιφάνειες είναι ελλειψοειδή Οι πράξεις µε συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ορίζονται όπως οι νωστές πράξεις ια συναρτήσεις µιας µεταβλητής, πχ εάν ab, και : f E, g: E, τότε
( af ± bg): E E : af ± bg P = af P ± bg P, ( fg): E E : fg P = f P g P, f f f P : E E { P: g( P) } : ( P) g = = g g P Ορισµός Μία συνάρτηση f : : z = f x,, x καλείται πολυωνυµική αν είναι ραµµικός συνδυασµός συναρτήσεων της µορφής m m m ax x x, m,, m, a Το µέιστο άθροισµα (ως προς όλους τους όρους) των εκθετών m + + m καλείται βαθµός του πολυωνύµου Για παράδειµα οι συναρτήσεις f ( xy, ) = + xy+ xyκαι f ( xyz,, ) = xz + 8xyz είναι πολυώνυµα ου βαθµού και 8 ου βαθµού αντίστοιχα Ορισµός Μία συνάρτηση f : E καλείται ρητή αν είναι πηλίκο δύο πολυωνυµικών συναρτήσεων Ορισµός 4 Μία συνάρτηση f : E f( E) καλείται φραµένη, αν το πεδίο τιµών της f ( E ) είναι φραµένο σύνολο στο Υπενθυ µίζουµε εδώ ενικότερα ότι ένα σύνολο E καλείται φραµένο, εάν C > : OA C A= ( x,, x ) E, όπου OA είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου Α και OA = x + + x Ορισµός 5 Έστω f : E f( E), g: f( E) B Tότε ορίζεται η σύνθεση των συναρτήσεων f και g ως εξής: ( ) g f : E B: g f x,, x = g f x,, x 4
ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ιανυσµατικές συναρτήσεις µιας µεταβλητής Ορισµός 6 Εστω είναι ο συνήθης Ευκλείδιος χώρος Μια διανυσµατική συνάρτηση µιας µεταβλητής : A απαρτίζεται από το πεδίο ορισµού της A που είναι ένα υποσύνολο της πραµατικής ευθείας και από ένα κανόνα ο οποίος σε κάθε πραµατικό αριθµό A αντιστοιχεί ένα µοναδικό διάνυσµα () = (),, () 5, όπου οι συναρτήσεις i : A, i=,, είναι πραµατικές συναρτήσεις οι οποίες καλούνται συνιστώσες (ή συντεταµένες) συναρτήσεις (πάντοτε ως προς το σύνηθες καρτεσιανό σύστηµα συντεταµένων στον ) Το πεδίο ορισµού A µιας διανυσµατικής συνάρτησης περιλαµβάνει όλους τους πραµατικούς αριθµούς ια τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόηµα Παράδειµα Το πεδίο ορισµού της διανυσµατικής συνάρτησης () = (, ) είναι το (, ], διότι ο παραπάνω τύπος έχει νόηµα ια > και ταυτοχρόνως Γενικά το πεδίο ορισµού µιας διανυσµατικής συνάρτησης προκύπτει από τη συναλήθευση των πεδίων ορισµού των συνιστωσών συναρτήσεων της i j k είναι µια δια- i j k είναι η κανονική βάση του Τότε το ράφηµα της είναι ευθεία που διέρχεται απ το σηµείο P = (,, ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a = Οι συνιστώσες συναρτήσεις Παράδειµα Εστω ( ) = ( + ) + ( + ) + ( ) νυσµατική συνάρτηση µιας µεταβλητής στον, όπου {,, } (,, ) () z () x = + y = +,, = ορίζουν τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας
Ορισµός 7 Έστω : A : () = ( (),, () ) είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και είναι σηµείο συσσώρευσης του Α Θα λέµε ότι η συνάρτηση έχει όριο στο το διάνυσµα λ = ( λ,, λ ), συµβο- lim = λ, εάν λικά ( ) A ( ) ε > δ = δ ε, > : : < < δ λ < ε λ,, και είναι σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού, τότε: Θεώρηµα Aν () = ( (),, () ), = ( λ λ ) lim ( ) = λ lim = λ, i=,, i i Απόδειξη Εστω lim ( ) = λ Τότε από τον ορισµό έχουµε ( ) A ( ) ε > δ = δ ε, > : : < < δ λ < ε, δηλαδή: Εφόσον () () < < δ λ + + λ < ε () () () λ λ + + λ < ε i=,, i i προκύπτει άµεσα ότι ( ) A ( ) ε > δ = δ ε > < < δ λ < ε, : : i i συνεπώς lim = λ, i=,, i i Αντίστροφα, αν lim = λ, i=,,, τότε i i ε ε >, δi > : A: < < δi i() λi < Επιλέουµε δ mi { δ i : i,, } = = Τότε 6 ε >, δ > : : < < δ λ
ε ε ε = () λ + + () λ < + + = = ε, συνεπώς lim ( ) = λ Το Θεώρηµα είναι πολύ χρήσιµο διότι ανάει την ύπαρξη ορίου µιας διανυσµατικής συνάρτησης στην ύπαρξη του ορίου των συνιστωσών συναρτήσεων αυτής, οι οποίες είναι συνήθεις πραµατικές συναρτήσεις και τα όρια τους είναι πιο εύκολο να υπολοισθούν είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και έστω A Θα λέµε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο εάν Ορισµός 8 Έστω : A : () = ( (),, () ) ( ) A ( ) ( ) ε > δ = δ ε, > : : < δ < ε ιαισθητικά η συνέχεια της στο σηµαίνει ότι ια κάθε αρκούντως κοντά στο, το σηµείο µε διάνυσµα θέσης ( ) είναι όσο κοντά θέλου- µε στο σηµείο ( ), Θεώρηµα Εστω : A : ( ) = ( ( ),, ( ) ) είναι σηµείο συσσώρευσης του Α Τότε: Ισοδύναµα: () lim = lim =, i=,, i i η είναι συνεχής στο οι ( i,, ) Απόδειξη Αµεση συνέπεια του Θεωρήµατος i A και = είναι συνεχείς στο Μέσω του Θεωρήµατος ίνεται σαφές ότι οι νωστές ιδιότητες και θεωρήµατα της συνέχειας ια πραµατικές συναρτήσεις ισχύουν και ια διανυσµατικές συναρτήσεις πχ άθροισµα, διαφορά, ινόµενο και πηλίκο συνεχών διανυσµατικών συναρτήσεων είναι επίσης συνεχής συνάρτηση 7
Εφαρµοή: Καµπύλες σε παραµετρική µορφή Στην περίπτωση κατά την οποία το πεδίο ορισµού µιας συνεχούς διανυσµατικής συνάρτησης µιας µεταβλητής είναι ένα διάστηµα [ ab, ] της πραµατικής ευθείας είναι βολικό να σκεφτόµαστε τη διανυσµατική συνάρτηση ως µια καµπύλη στον, διότι το ράφηµα της µπορεί να θεωρηθεί ως η τροχιά κινούµενου υλικού σηµείου στο χώρο Ορισµός 9 Εστω ab, : a< b Ορίζουµε µια καµπύλη να είναι το σύνολο σηµείων του χώρου που ορίζονται µέσω µιας συνεχούς διανυσµατικής συνάρτησης µιας µεταβλητής ( ) [ ab] ( ) = ( ) ( ) :, :,, Τότε λέµε ότι έχουµε µία παραµετροποίηση της καµπύλης ή ότι η ορίζεται σε παραµετρική µορφή Συνήθως φανταζόµαστε τη µεταβλητή σαν χρόνο θεωρώντας ότι όσο µεταβάλλεται το, το διάνυσµα θέσης παριστάνει τη θέση ενός κινητού τη χρονική στιµή Αν ( a) ( b) = τότε η καλείται κλειστή καµπύλη αλλιώς καλείται ανοικτή Η καλείται απλή αν ια κάθε a< < < b ισχύει, δηλαδή µια απλή καµπύλη δεν τέµνει τον εαυτό της ύο καµπύλες µπορεί να έχουν διαφορετικό τύπο αλλά ίδιο ράφηµα Για παράδειµα οι διανυσµατικές συναρτήσεις και () = ( συν ηµ ) [ π ],,, ( ) = ( συν ηµ ) [ π ],,, έχουν ίδιο ράφηµα, το µοναδιαίο κύκλο, αλλά αντίθετες φορές διαραφής Απ αυτή την παρατήρηση προκύπτει ότι µια καµπύλη σε παραµετρική µορφή είναι προσανατολισµένη µε φορά διαραφής προς την κατεύθυνση αύξησης των Ετσι ορίζουµε ως αντίθετη καµπύλη της να είναι η καµπύλη µε τύπο :[ ab, ] : ( ) = ( a+ b ) ηλαδή η έχει το ίδιο ράφηµα µε τη αλλά αντίθετο προσανατολισµό 8
Επιπλέον, αν και είναι δυο καµπύλες µε παραµετροποιήσεις :[, ] ab και :[, ] bc [,] bc αντιστοίχως, έτσι ώστε ( b) = ( b) ( a b c) < <, τότε ορίζουµε ως άθροισµα αυτών να είναι µια νέα καµπύλη + µε τύπο :[ ac, ] : () = ( ), [ a, b] (), [ b, c] + + Εστω, είναι δυο καµπύλες µε παραµετροποίηση = ( ), [ a, b] και [ ] =, c, d αντιστοίχως Θα λέµε ότι οι και είναι ισοδύναµες αν υπάρχει µια συνεχής και νησίως µονό- ϕ : cd, ab, τέτοια ώστε τονη συνάρτηση [ ] [ ] = ϕ υο ισοδύναµες καµπύλες διαφέρουν ενδεχοµένως µόνον στον προσανατολισµό τους Αν η ϕ είναι νησίως αύξουσα τότε οι, έχουν ίδιο προσανατολισµό, ενώ αν η ϕ είναι νησίως φθίνουσα τότε οι, έ- χουν αντίθετο προσανατολισµό Παράδειµα Eστω ( ) = + + si, [, ] Παρατηρούµε ότι συν i συν j k π () + () + () = συν + ηµ = x y z Επειδή x() y() συν ( ) επίπεδο x = = συµπεραίνουµε ότι η βρίσκεται πάνω στο = y και µάλιστα είναι κύκλος πάνω σ αυτό το επίπεδο είναι µια διανυσµατική συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου Α Αν A, θα λέµε ότι η είναι παραωίσιµη στο, αν Ορισµός Έστω : A : ( ) = ( ( ),, ( ) ) ( ) ( ) ( λ λ ) lim = λ =,, To όριο αυτό καλούµε παράωο της στο και ράφουµε d() ( ) = λ ή = λ d 9
Θεώρηµα Εστω : A : () = ( (),, () ), Α ανοικτό σύνολο και A Τότε: παραωίσιµη στο οι ( i,, ) i = παραωίσιµες στο και επιπλέον ( ) ( ) ( ) ( ) =,, Απόδειξη Αµεση συνέπεια του Θεωρήµατος Θεώρηµα 4 Αν η είναι παραωίσιµη στο τότε είναι και συνεχής στο Ορισµός Εστω είναι µια καµπύλη του µε παραµετροποίηση :[ ab, ] : ( ) = ( ( ),, ( ) ) Ένα σηµείο P = ( ) της καλείται οµαλό σηµείο της, αν η είναι παραωίσιµη στο και ( ), αλλιώς το P καλείται ανώµαλο σηµείο της Αν η έχει µόνον οµαλά σηµεία τότε καλείται οµαλή καµπύλη Ορισµός Μια καµπύλη του µε παραµετροποίηση :[ ab, ] : ( ) = ( ( ),, ( ) ) καλείται λεία αν είναι οµαλή και η παράωος της είναι συνεχής συνάρτηση Αν η είναι συνένωση πεπερασµένου αριθµού λείων καµπύλων λέµε ότι είναι τµηµατικά λεία Γεωµετρική ερµηνεία της παραώου: Εστω είναι µια καµπύλη του :[ ab, ] : =,, η οποία µε παραµετροποίηση είναι παραωίσιµη στο ( a, b) µε ( ) Eστω >, OP = () και OP = ( ) Τότε το πηλίκο OP OP PP = = είναι διάνυσµα που έχει την ίδια κατεύθυνση µε το διάνυσµα PP Απ ( ) ( ) PP την άλλη µεριά, αν < τότε το πηλίκο = είναι διάνυσµα που έχει αντίθετη κατεύθυνση µε το διάνυσµα PP Καθώς λοιπόν (και εφόσον η παράωος υπάρχει και είναι µη µηδενική),
το διάνυσµα PP τείνει να ίνει συραµικό µε ένα «οριακό» διάνυσµα το οποίο καλούµε εφαπτόµενη ευθεία της καµπύλης στο P Ετσι το διάνυσµα ( ) είναι διάνυσµα µε φορέα πάνω στην εφαπτόµενη ευθεία της καµπύλης στο σηµείο P και φορά προς την κατεύθυνση αύξησης των Ως εκ τούτου η διανυσµατική εξίσωση της εφαπτόµενης P = είναι ευθείας της στο σηµείο της ( ) ( ), εφαπτ λ = + λ λ Αν η παριστάνει τις εξισώσεις κίνησης υλικού σηµείου Ρ, τότε η παράωος ( () ()) () =,, παριστάνει την ταχύτητα του υλικού σηµείου Ρ τη χρονική στιµή και το µέτρο ( ()) () () = + + µας δίνει το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου Ρ τη χρονική στιµή Κατά τα λοιπά ισχύουν οι νωστές ιδιότητες της παραώισης ηλαδή εάν, : A είναι δυο παραωίσιµες διανυσµατικές συναρτήσεις σε σηµείο του πεδίου ορισµού τους και αν ab,, τότε: ( a + b ) ( ) = a ( ) + b ( ) ( i ) ( ) = ( ) i ( ) + ( ) i ( ) όπου το σύµβολο (i ) στη δεύτερη ισότητα υποδηλώνει το σύνηθες εσωτερικό ινόµενο διανυσµάτων, ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) όπου το σύµβολο ( ) υποδηλώνει το εξωτερικό ινόµενο διανυσµάτων στον,, =,, +,, +,,, [ ] () [ ]() [ ]() [ ]()
όπου το σύµβολο [,,] δηλώνει το µικτό ινόµενο διανυσµάτων στον Αν h: B A είναι µια παραωίσιµη πραµατική συνάρτηση σε σηµείο B, τότε ισχύει ο νωστός κανόνας αλυσίδας: ( ) d h dh( ) dh d h = h h = Θεώρηµα 5 Εστω είναι λεία µια καµπύλη του :[ ab, ] : =,, Τότε: ( ) µε παραµετροποίηση [ ] [ ] () = c a, b () () a, b Mε άλλα λόια το µέτρο του διανύσµατος θέσης είναι σταθερό αν και µόνον αν τα διανύσµατα και είναι κάθετα Απόδειξη () = c () i () = c () i () + () i () = () i () = () () Παρατηρήσεις: (α) Το διαφορικό παραωίσιµης διανυσµατικής συνάρτησης ορίζεται ως ( ) = () () () () d = d,, d d (β) Οι παράωοι ανώτερης τάξης διανυσµατικής συνάρτησης (όταν υπάρχουν) ορίζονται µε τον ίδιο τρόπο όπως ια τις συνήθεις πραµατικές συναρτήσεις ηλαδή αν η είναι παραωίσιµη τότε ορίζουµε τη η παράωο της ως εξής: ( ) ( () () ) d d d,, = = d d d Για παράδειµα, αν η παριστάνει τις εξισώσεις κίνησης υλικού ση- ( ) µείου Ρ, τότε η ( ) = (),, () παριστάνει την επιτάχυνση του υλικού σηµείου τη χρονική στιµή
Ορισµός Εστω είναι µια καµπύλη του µε παραµετροποίηση :[ ab, ] : =,, Ορίζουµε το ορισµένο ολοκλή- ρωµα της στο [ ab, ] ως εξής: ( ) b b b () d d (),, () d a = a a Επίσης µπορούµε να ορίσουµε και το αόριστο ολοκλήρωµα µιας καµπύλης ως άµεση συνέπεια του Θεµελιώδους Θεωρήµατος Ολοκληρωτικού Λοισµού ια συναρτήσεις µιας µεταβλητής ηλαδή ισχύει το ακόλουθο Θεώρηµα 6 Εστω είναι µια καµπύλη του µε παραµετροποίηση :[ ab, ] : ( ) = ( ( ),, ( ) ) Τότε υπάρχει µια διανυσµατική συνάρτηση q: ab, : q ( ) = ( ) [ ] που καλείται αντιπαράωος της Το σύνολο των αντιπαραώων της της στο [ ab, ] είναι της µορφής { q() + c: c } και καλείται αόριστο ολοκλήρωµα της d, συµβολικά ιανυσµατικές συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Ορισµός 4 Εστω,m > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική συνάρτηση m πολλών µεταβλητών και αποτελείται από το πεδίο ορισµού της Ε που είναι υποσύνολο του ευκλείδιου χώρου και από έναν κανόνα τέτοιον ώστε σε κάθε σηµείο P= ( x, x,, x) E να αντιστοιχεί έναν µοναδικό m σηµείο F ( P) = ( f ( P),, fm ( P) ) του όπου f:ε i, i =,,m είναι βαθµωτά πεδία Με άλλα λόια m F : Ε Α : F ( P) = f ( P),, fm ( P) Εφαρµοή: ιανυσµατικά Πεδία Ορισµός 5 Εστω > Κάθε διανυσµατική συνάρτηση πολλών µεταβλητών
( ) F: Ε Α : F P = f P,, f P καλείται διανυσµατικό πεδίο ηλαδή το διανυσµατικό πεδίο είναι ειδική περίπτωση µιας διανυσµατικής συνάρτησης ια m= Παράδειµα ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F: : F = x i+y j Ενας τρόπος παράστασης του πεδίου αυτού είναι να σχεδιάσουµε µε αρχή σηµείο M = ( xy, ) του επιπέδου την τιµή του πεδίου F ( M ) που είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ Για παράδειµα µε αρχή το σηµείο M = (, ) σχεδιάζουµε το διάνυσµα F (, ) = (, ) Εφαρµόζουµε τη διαδικασία αυτή ια ένα πεπερασµένο σύνολο σηµείων και προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: - - - - Το παραπάνω είναι ένα παράδειµα ραµµικού πεδίου Γενικότερα ένα διανυσµατικό πεδίο F : είναι ραµµικό αν ορίζεται από τη σχέση F = A, = ( x,, x ) όπου A είναι ένας πίνακας Η σηµασία των ραµµικών πεδίων έκειται στην απλότητα αναπαράστασής τους λόω της οποίας ένα «πολύπλοκο» πεδίο προσείζεται καταλλήλως από ένα ραµµικό πεδίο στην περιοχή κάποιου σηµείου του Ετσι το πεδίο µπορεί να µελετηθεί πιο εύκολα τουλάχιστον «τοπικά» Παράδειµα ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F: : F = y i+x j Εφαρµόζοντας τη διαδικασία όπως παραπάνω προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: 4
- - - - ιαισθητικά βλέπουµε ότι το πεδίο περιστρέφεται ύρω από το ση- µείο (,) Παράδειµα ίνεται το διανυσµατικό πεδίο F { } F( ) = : (,,) : Εφαρµόζοντας τη διαδικασία όπως παραπάνω προκύπτει το ακόλουθο σχήµα: Το παραπάνω είναι τυπικό παράδειµα ενός κεντρικού πεδίου που χαρακτηρίζεται από το εονός ότι οι τιµές του πεδίου F έχουν φορέα ο οποίος ταυτίζεται µε το φορέα του διανύσµατος θέσης και ορίζεται µέσω της σχέσης όπου : + { } f ( ) F =, f είναι µια συνήθης πραµατική συνάρτηση Τα πεδία αυτά έχουν ευρύτατες εφαρµοές όπως ια παράδειµα η δύναµη Coulomb 5
K q Q = F (Κ=σταθερά) που ασκείται σε φορτίο q που απέχει απόσταση = από ακίνητο σηµειακό θετικό φορτίο Q στην αρχή των αξόνων ή η βαρυτική δύναµη έλξης µεταξύ δύο υλικών σηµείων µε µάζες mm, και µεταξύ τους απόσταση m M = G F Σχεδίαση πεδίου µέσω διανυσµατικών ραµµών: Μια απ τις πολλές φυσικές ερµηνείες που µπορεί να δώσει κάποιος σ ένα διανυσµατικό πεδίο είναι ότι η τιµή του πεδίου παριστάνει την ταχύτητα σε κάθε σηµείο κατά την κίνηση πχ ενός ρευστού στο χώρο Στην περίπτωση αυτή µας ενδιαφέρει να βρούµε τις τροχιές κίνησης των σωµατιδίων του ρευστού, δηλαδή καµπύλες στο χώρο τέτοιες ώστε η ταχύτητα σε κάθε σηµείο αυτών να ταυτίζεται µε τις τιµές του πεδίου Με άλλα λόια ορίζουµε d v () = =F( () ) d Κάθε τροχιά που ικανοποιεί το παραπάνω σύστηµα διαφορικών εξισώσεων καλείται διανυσµατική ραµµή του πεδίου Λύνοντας το σύστηµα και σχεδιάζοντας τις τροχιές παίρνουµε µια εποπτική παράσταση του πεδίου µέσω των διανυσµατικών ραµµών του Παράδειµα Ας θεωρήσουµε ότι η ταχύτητα ενός ρευστού σε κάθε σηµείο του επιπέδου τη χρονική στιµή περιράφεται από το δια- F: : F = y i+x j, οπότε νυσµατικό πεδίο v: : v = y i+x j Τότε από τη σχέση () () d v = =F( ) προκύπτει το σύστηµα διαφο- d ρικών εξισώσεων ιαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε x = y y = x 6
dy dx x y = ydy = xdx y + x = c Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται η ραφική παράσταση των τροχιών y + x = c ια κάποιες τιµές της παραµέτρου c Η φορά των τροχιών καθορίζεται από τη φορά των τιµών του πεδίου που εφάπτονται των τροχιών - - - - Παράδειµα ίνεται το πεδίο F = x i+ y j Υπολοίστε τις διανυσµατικές ραµµές του πεδίου και σχεδιάστε τις ραµµές αυτές d Λύση Από τη σχέση =F ( () ) προκύπτει το σύστηµα διαφορικών d εξισώσεων x = x y = y Από την επίλυση αυτού του συστήµατος προκύπτει Αρα: x= ce y c y= c e x = c = y = c y c c x = cy Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται η ραφική παράσταση των τροχιών ια διάφορες (θετικές ή αρνητικές) τιµές της παραµέτρου c Η φορά των τροχιών καθορίζεται από τη φορά των τιµών (διανυσµάτων) του πεδίου που εφάπτονται των τροχιών (δηλαδή όλες αποµακρύνονται απ το σηµείο (,) που είναι το µοναδικό σηµείο ισορροπίας) 7
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ pq p = i + j q = j k, υπολοίστε την παράωο της πραµατικής συνάρτησης pi q Αν, : {} :, Λύση ( pq i )() = p() iq() + p() i q() =,,,,,,,, i + i = + = Εστω g: (, + ): g( ) = e Υπολοίστε την παράωο της σύνθετης συνάρτησης g Λύση Ισχύει: ( )() () :, + : = () i+ () j (6) k και e e g ( g ) g = () =, e +, ( e ) ( ( ) ) (, e e,, e ( e), ) = + = + (, e ( ), ) = + Πιο το ράφηµα της διανυσµατικής συνάρτησης = + i+ + j k ; 8
,, Τότε το ράφηµα της είναι ευθεία που διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a Λύση Έστω P = ( ) και a = (,, ) µαζί µε τη φορά δια- 4 Να προσδιορισθούν οι κάτωθι καµπύλες του ραφής τους: (a) () = i,, συν π k, (b) ( ) = ( ), [,] (c) συν ηµ 9 π = (,,),, = συν, ηµ,, π (d) Λύση (a) Ευθύραµµο τµήµα πάνω στον άξονα των x µε άκρα τα ση- µεία A = (,,) και B =,, Φορά από το Α στο Β (b) Ευθύραµµο τµήµα πάνω στον άξονα των z µε άκρα τα σηµεία,, B =,, Φορά από το Α στο Β A = και (c) Τόξο µοναδιαίου κύκλου πάνω στο επίπεδο z = µε κέντρο την αρχή των αξόνων και άκρα τα σηµεία A = (,,) και B = (,, ) Φορά από το Α στο Β (d) Τµήµα έλλειψης πάνω στο επίπεδο z = µε κέντρο το σηµείο,, B =,, ενώ διέρχεται (,, ) και άκρα τα σηµεία A = ( ) και και από το σηµείο Γ= (,, ) Φορά από το Α στο Β Σηµειώνουµε εδώ τις παραµετρικές εξισώσεις µερικών νωστών σχηµάτων: παραµετροποίηση ευθυράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία A x, y, z B = x, y, z : = και ( ) () = x + x x, y + y y, z + z z, [,] παραµετροποίηση κύκλου κέντρου (a,b) και ακτίνας ρ πάνω στο επίπεδο z = k:
( ) = ( a+ ρσυν b+ ρηµ k) [ π ],,,, παραµετροποίηση έλλειψης ( x a ) ( x b ) + = πάνω στο επί- B πεδο z = k: A ( ) = ( a+ A συν b+ B ηµ k) [ π ),,,, 5 Να παραµετροποιηθεί η τεθλασµένη ραµµή του σχήµατος: Λύση: Παραµετροποιούµε ξεχωριστά τα ευθύραµµα τµήµατα που συνθέτουν την τεθλασµένη ραµµή, δηλαδή: Oµοια: και Τελικά: ( ) = + ( ),,,,,, () = + ( ),,,,,, ( ) = + ( ),,,,,, ( ) ( ),, () =,,,,, =,,, [,] =,,, [,] =,,, [,] 6 Ένα αντικείµενο κινείται σε κύκλο ακτίνας ρ µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολοιού και ταχύτητα v σταθερού µέτρου υ Να δειχθεί ότι η θέση του αντικειµένου δίδεται από την εξίσωση: υ υ = ρ συν ηµ ρ ρ (), και να υπολοισθούν τα διανύσµατα της ταχύτητας και επιτάχυνσης Λύση Εφόσον η κίνηση του αντικειµένου ίνεται πάνω σε κύκλο ακτίνας ρ, οι παραµετρικές εξισώσεις της κίνησης είναι της µορφής:
Τότε ρ συν θ ρ ηµ ( θ) = i+ j ( ) = ρηµθ θ i+ ρσυνθ θ j και εφόσον η κίνηση ίνεται µε ταχύτητα σταθερού µέτρου έχουµε: () ( () ) ( () ) ( () ) ( () ) υ = = ρ συν θ θ + ρ ηµ θ θ ( ) υ = ρ θ Επειδή έχουµε κίνηση αντίθετη των δεικτών του ρολοιού η ωνία θ () αυξάνει, συνεπώς θ ( ) >, άρα: υ υ = ρ θ () θ() = + c ρ και επειδή ια = έχουµε θ() = παίρνουµε c =, τελικά και η εξίσωση της κίνησης ίνεται υ θ () = ρ υ υ () = ρ συν, ηµ ρ ρ Παραωίζουµε την παραπάνω και παίρνουµε: και υ υ υ = () = υηµ + υσυν ρ i j υ υ u υ () = () = συν ηµ ρ i j ρ ρ υ υ υ υ = συν ηµ ρ ρ i ρ j = (), ρ άρα η επιτάχυνση () είναι αντίρροπη της ()
7 Ένα αντικείµενο έχει αρχική θέση, αρχική ταχύτητα v και σταθερή επιτάχυνση g k Να δειχθεί ότι η θέση του αντικειµένου τη χρονική στιµή είναι () = g k+ v + Λύση Εχουµε ( ) g ( ) ( g) = v παίρνουµε c= v, οπότε Για ( ) = = k = k+ c και εφόσον () = ( g) k+ v () = g k+ v + c παίρνουµε c = και έχουµε το ζητούµενο 4 8 Υπολοίστε το I = εϕ() + π + d i j + k Λύση I συν ( ) π 4 τοξεϕ ( ) = i + j + k+ c 9 Έστω ( ) = ρσυν + ρηµ, [,π ] ( ) ( ) i j Να δειχθεί ότι ια κάθε και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στην καµπύλη στο σηµείο = π Λύση Είναι νωστό ότι διότι = c, το οποίο ισχύει ( ) ρ, [, π ) = H εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στην καµπύλη στο σηµείο = π είναι: (): l ΟΧ = ( π ) + π = ρ συνπ, ρ ηµπ + ρ ηµπ, ρ συνπ ( ρ, ρ ) = Να εξετασθεί αν υπάρχει σηµείο P της καµπύλης = i+ j + e k ώστε το εφαπτόµενο διάνυσµα αυτής στο P να είναι παράλληλο µε το διάνυσµα θέσης στο P
( ) Λύση Εχουµε () =,, 4 e Το εφαπτόµενο διάνυσµα είναι παράλληλο µε το διάνυσµα θέσης αν και µόνον αν ισχύει () () =, δηλαδή: i j k ( ) e = 4e ( ) ( 4 4 e e ) i ( 4 ( ) 4 e + e ) j ( ) ( ) ( ) 4 e = 4e + = = + = ( ) + + k = Να δειχθεί ότι η καµπύλη µε εξίσωση = συν i+ ηµ j + λ k έχει σταθερό µέτρο ενώ η καµπύλη µε εξίσωση () = + + i j 4 k έχει σταθερή διεύθυνση Λύση Είναι εύκολο να δει κανείς ότι () = + λ = σταθερα Απ την άλλη πλευρά η έχει σταθερή διεύθυνση αν και µόνον αν ισχύει // Aρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι () () = Πράµατι i j k = 4 4
Nα δειχθεί ότι η καµπύλη µε εξίσωση = ( ηµ ), ηµ +, συν () βρίσκεται πάνω στη σφαίρα µε εξίσωση x + y + z = Λύση Προφανώς οι συνιστώσες συναρτήσεις της καµπύλης θα πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση της σφαίρας Αρα: ηµ ( ) + ( ηµ + ) + συν = ηµ + συν = το οποίο προφανώς ισχύει Eστω η καµπύλη µε εξίσωση ( ) = ( a συν, a ηµ, b ) και έστω θ ( ) η ωνία ανάµεσα στην εφαπτοµένη της καµπύλης και στον z άξονα είξτε η ωνία θ ( ) είναι σταθερή Λύση Προφανώς ( ) = ( a ηµ, a συν, b), οπότε συν θ ( () ) ( ) k b = = a + b () k Εφόσον το συν(θ()) είναι ανεξάρτητο του, η ωνία θ() είναι σταθερή 4
4 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί και να σχεδιασθεί το πεδίο ορισµού των: x ( a) f( xy, ) =, ( b) f( xy, ) =τοξηµ ( xy), y 5x l( x + y) ( c) f( x, y, z) = x + y + z, ( d) f( x, y) =, ( e) f ( x, y, z) = l xyz, ( f ) f ( x, y, z) = l z (4 + y x ) + x + y x + y ( g) f( x, y) =, x + y E = xy x y 5 Απάντ (α) (b) {, : } E = x y xy ( h) f( x, y, z) =, : x + y x + y z (c) Ολα τα σηµεία του που βρίσκονται στο εξωτερικό του ελλειψοειδούς x + y + z = µαζί µε τα σηµεία πάνω στο ελλειψοειδές (d) {, : } E = xy y> x (e) E = E E E E4, όπου = { > }, E x, y, z : x, y, z = { > < }, E x, y, z : z, x, y { } E = x, y, z : x>, y, z<, { } E4 = x, y, z : y>, x, z< (f) Ολα τα σηµεία του στο εξωτερικό της κυκλικής κυλινδρικής επιφάνειας x + y = (µαζί µε το σύνορό της) και στο εξωτερικό της κυ- λινδρικής επιφάνειας ένους υπερβολής x y = 4 (χωρίς το σύνορό της) εν περιλαµβάνεται επίσης στο πεδίο ορισµού το οριζόντιο επίπεδο Οxy + y = χω- (g) Ολα τα σηµεία του ρίς το σύνορό της στο εξωτερικό της έλλειψης x 5
(h) Ολα τα σηµεία του εκτός των σηµείων πάνω στο µονόχωνο υπερβολοειδές x + y z = Να βρεθoύν και να σχεδιασθούν οι ισοϋψείς καµπύλες της f ( xy, ) = xyια c =±, ± Οµοίως να βρεθούν οι οµοιόθετες επιφάνειες της f ( xyz,, ) = ( x + y z) Απάντ (α) Yπερβολές ια c (β) Kωνική επιφάνεια ια c= Μονόχωνο υπερβολοειδές ια c=-,- ίχωνο υπερβολοειδές ια c=, Yπολοίστε την παράωο ( pq i ) ( ) και ( ) ( ) p q όπου: pq, : : p =, j k q + = i + + k Απάντ ( p q) ( ) ( ( ) ) / ( + ) + = p q =, 5/ ( + ), ( + + ) 4 Εστω :(, ) : ( ) og () ( og () ) + = i+ j και 4 + g( ) = Να υπολοισθεί η ( g) ( ) g: (, ):, = 4 Απάντ ( g) ( ) 4, 4 ( ) 5 Να παραµετροποιηθεί η τεθλασµένη ραµµή Ρ = (,,-) Ρ = (,,) Ρ = (,4,), +,, < Απάντ s () = (, +, ) x y 6 Ένα αντικείµενο κινείται πάνω σε έλλειψη µε εξίσωση + =, a b µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολοιού και ταχύτητα σταθερού µέ- 6
τρου υ Να ευρεθεί η θέση του αντικειµένου τη χρονική στιµή = π/ και να υπολοισθεί το διάνυσµα της επιτάχυνσης π a b = = Απάντ,, () ( a συν, b ηµ ) 4 7 Υπολοίστε το I = + d i + k i j είναι µια καµπύλη του επι- 8 Έστω ( ) = συν ηµ, [,π ) πέδου Να δειχθεί ότι ( ) ( ) Απάντ I ( τοξηµ,, 4τοξεφ) = + c και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας στην καµπύλη στο σηµείο = π / Απάντ y = 9 Να εξετασθεί αν υπάρχει σηµείο της καµπύλης () = i+ + j k ώστε το εφαπτόµενο διάνυσµα αυτής να είναι παράλληλο µε το διάνυσµα θέσης Απάντ εν υπάρχει Να βρεθεί η ωνία υπό την οποία τέµνονται οι καµπύλες και ( ηµ ) ( ) = e i+ j+ + k, > θ = θ + i+ θ j+ θ + k, θ στην αρχή (,,) του καρτεσιανού συστήµατος συντεταµένων Απάντ π 7