Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200

Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis, ki vsakemu naravnemu številu n (indeksu zaporedja) priredi neko realno število a n (n-ti člen zaporedja). Zaporedje je torej preslikava množice naravnih števil v realna števila: f : N R, n a n. Zaporedje lahko podamo na več načinov. Najbolj preprosto je, da preslikavo zapišemo eksplicitno: a n = f(n). Primer 2... Nekaj eksplicitno podanih zaporedij:. Zaporedje s splošnim členom a n = /2 n : ( ) = 2 n 2, 2, 2 2,... 3 2, n 2,.... n+ 2. Zaporedje (a n ) = 0,, 0,,..., 0,, 0,... ima splošen člen a n = ( + ( ) n )/2. 3

32 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Zaporedje lahko podamo tudi iterativno ali rekurzivno, tako da zapišemo prvega ali prvih nekaj členov, in pravilo, kako izračunamo naslednji člen s pomočjo prejšnjih. Primer 2..2. Nekaj rekurzivno podanih zaporedij:. Aritmetično zaporedje s prvim členom a in z razliko d, dano s predpisom a n+ = a n + d, n je primer enočlenske rekurzije. 2. Podobno je tudi geometrijsko zaporedje s prvim členom a in kvocientom q, ki je dano s predpisom primer enočlenske rekurzije. a n+ = a n q, n 3. Dobro znano Fibonaccijevo zaporedje, ki je določeno z začetnima vrednostima a =, a 2 = in s predpisom je primer dvočlenske rekurzije. a n+ = a n + a n, n 2 Množico členov zaporedja {a n, n N} R, imenujemo zaloga vrednosti zaporedja. Zaporedje (a n ) je navzdol omejeno, navzgor omejeno ali omejeno, če je njegova zaloga vrednosti navzdol omejena, navzgor omejena ali omejena. Navzgor omejeno zaporedje (a n ) ima zaradi lastnosti kontinuuma realnih števil (trditev.2.4) natančno zgornjo mejo M = sup a n, navzdol omejeno zaporedje (b n ) pa ima natačno spodnjo mejo m = inf b n. Natančna zgornja in natančna spodnja meja zaporedja sta lahko člena zaporedja, ali pa ne. Leonardo Fibonacci (70 250), italijanski matematik, ki je v Evropo prinesel arabske številke.

2.. ZAPOREDJA 33 Primer 2..3. Nekaj omejenih zaporedij:. Zaporedje 2, 2 3, 4 5, 8 9, 6 7,..., 2 n 2 n +,... je omejeno, sup a n = in inf a n = /2. Natančna zgornja meja sup(a n ) ni člen zaporedja. 2. Podobno lahko ugotovimo za naslednja zaporedja: (/n) je omejeno, m = 0, M = (( ) n ) je omejeno, m =, M = (( 2) n ) je neomejeno (n ( )n ) je navzdol omejeno, m = 0 3. Vzemimo rekurzivno dano zaporedje a = 2, a n = 2a n. Očitno je zaporedje (a n ) omejeno navzdol, saj je a n > 0 za vsak n N. Manj očitno pa je, da je zaporedja (a n ) omejeno tudi navzgor. Pokažimo, da je a n < 2 za vsak n N. Pomagali si bomo z indukcijo. Za n = trditev drži, saj je a = 2 < 2. Recimo, da je a n < 2. Potem je in trditev je dokazana. Zaporedje (a n ) je torej omejeno. a n = 2 a n < 2 2 = 2 Natančno zgornjo mejo zaporedja lahko opišemo tudi nekoliko drugače: M = sup a n natanko tedaj, kadar so vsi členi manjši ali enaki M in za vsak ε > 0 obstaja tak indeks n 0, da je a n0 > M ε. V vsaki ε-okolici mora torej biti vsaj en člen zaporedja. Če M ne sodi med člene zaporedja, lahko sklepamo, da mora biti v vsaki njegovi ε-okolici celo neskončno mnogo členov zaporedja. To pripelje do pojma stekališča: Definicija 2..2. Število a je stekališče zaporedja (a n ), kadar je v vsaki ε-okolici (a ε, a + ε) neskončno mnogo členov zaporedja.

34 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Povzemimo: Trditev 2... Natančna zgornja meja je največji člen ali pa je stekališče zaporedja. Podobno je natančna spodnja meja najmanjši člen ali pa stekališče zaporedja. Seveda ima lahko zaporedje tudi kakšno stekališče, ki ni niti natančna zgornja niti natančna spodnja meja. Kadar je a stekališče, je torej neenačba a a n < ε izpolnjena za neskončno mnogo členov zaporedja. Lahko pa je še neskončno mnogo členov zaporedja, ki tej enačbi ne zadoščajo in so zato izven ε-okolice. Primer 2..4. Stekališča zaporedja:. Zaporedje recipročnih vrednosti naravnih števil, 2, 3, 4, 5, 6,... ima eno stekališče a = 0 = inf a n, ki ni člen zaporedja. To sledi iz Arhimedove lastnosti množice R (trditev.2.5), kajti v vsaki okolici ( ε, ε) je vsaj eno število a n = /n, torej so v isti okolici tudi vsa števila a m = /m < /n, kjer je m > n, teh pa je neskončno mnogo. 2. Zaporedje (( ) n ) ima dve stekališči, in, ki sta obe tudi člena zaporedja. 3. Zaporedje (n 2 ) nima stekališč. Izrek 2..2. stekališče. Vsako (navzgor in navzdol) omejeno zaporedje ima vsaj eno Dokaz. Naj bo m = inf a n in M = sup a n. Množica A = {x R; a n < x za največ končno mnogo indeksov n} je neprazna, saj je m A. Poleg tega je navzgor omejena, saj je x < M za vsak x A. Torej ima svojo natančno zgornjo mejo a = sup A. Vzemimo poljuben ε > 0. Ker je a = sup A, je a ε A, torej je levo od števila a ε največ končno mnogo členov zaporedja. Po drugi strani pa a + ε / A, torej je levo od tega števila neskončno mnogo členov zaporedja. Od tega jih je končno mnogo levo od števila a ε, torej jih mora biti na intervalu (a ε, a + ε) neskončno mnogo. Drugače povedano, za vsak ε > 0 je v okolici (a ε, a + ε) neskončno mnogo členov zaporedja, torej je a stekališče zaporedja (a n ).

2.. ZAPOREDJA 35 2..2 Konvergentna zaporedja Najbolj nas bodo zanimala zaporedja, pri katerih se vsi členi približujejo nekemu številu, ko postaja n vse večji. Natančneje: Definicija 2..3. Zaporedje (a n ) konvergira proti številu a, natanko takrat, kadar za vsak ε > 0 obstaja tak indeks n 0, da so v ε-okolici števila a vsi členi a n z indeksom n n 0. Zaporedje, ki konvergira, je konvergentno zaporedje, število a je njegova limita, kar zapišemo a = lim a n ali a n a; n. Zaporedje, ki ne konvergira, je divergentno. Pri konvergentnem zaporedju z limito a je neenačba a a n < ε izpolnjena za vse indekse n od nekega n 0 dalje. Očitno je limita konvergentnega zaporedja stekališče in to edino stekališče tega zaporedja. Ni pa vsako stekališče limita zaporedja: če ima zaporedje več kot eno stekališče ne more biti konvergentno v tem primeru nobeno od stekališč ni limita. Člene konvergentnega zaporedja si lahko predstavljamo kot zaporedje približkov za število a. Razlika a a n je v tem primeru napaka, ki jo naredimo, če namesto limite a vzamemo n-ti člen zaporedja. Če zaporedje konvergira k a, lahko dosežemo, da bo ta napaka manjša od poljubnega vnaprej izbranega števila ε > 0, če le vzamemo dovolj pozen člen zaporedja (kar pomeni, da mora biti indeks n dovolj velik). Primer 2..5. Konvergenco zaporedja lahko pokažemo direktno s pomočjo definicije:. V primeru 2..4 smo se pravzaprav prepričali, da zaporedje, dano z a n = /n konvergira proti številu 0. 2. Dokažimo, da ima zaporedje 2, 2 3, 3 4, 5 6,..., n n +,...

36 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE limito. Izberimo ε > 0 in poglejmo, za katere indekse n je izpolnjena neenačba a n < ε. (2.) Dobimo a n = n + < ε ε < n. Neenačba (2.) je torej izpolnjena za vsak n n 0 = /ε (tj. celi del števila /ε). Na primer, za ε = 0 je n 0 = 0: vsi členi zaporedja od desetega dalje se razlikujejo od limite za manj kot /0. 3. Vzemimo zaporedje a n = ( ) n n/(n + ) in pokažimo, da število ni limita tega zaporedja. Naj bo ε > 0. { a n = n + ( ) n n n + = n = 2k n+ 2n+ n = 2k + n+ Če je ε <, je ta neenačba izpolnjena samo za tiste sode indekse n, za katere velja n >, medtem ko obstajajo poljubno veliki lihi indeksi, ε za katere neenačba ni izpolnjena. Lastnosti konvergentnih zaporedij Izrek 2..3. Vsako konvergentno zaporedje je omejeno. Drugače povedano: konvergentnost zaporedja je zadosten pogoj za omejenost, omejenost zaporedja pa je potreben pogoj za konvergenco. Dokaz. Naj bo a = lim a n. Vsi členi zaporedja razen končno mnogo so na intervalu (a, a + ). Če levo od tega intervala ni nobenega člena, je število a očitno spodnja meja, če pa so kakšni členi manjši od a, jih je le končno mnogo, najmanjši med njimi pa je spodnja meja (celo natančna spodnja meja). Na podoben način se prepričamo, da je zgornja meja zaporedja število a+ ali pa največji od vseh členov in tako je izrek dokazan. Zaporedje, ki ni omejeno, torej ne more biti konvergentno. Prav tako zaporedje, ki ima več kot eno stekališče ne more biti konvergentno. To pa sta edina pogoja, saj velja:

2.. ZAPOREDJA 37 Izrek 2..4. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je omejeno in ima samo eno stekališče. Dokaz. Pokazati moramo le še, da je omejeno zaporedje z enim samim stekališčem vedno konvergentno. Drugače povedano: pokazati moramo, da ima omejeno divergentno zaporedje nujno več kot eno stekališče. Naj bo (a n ) omejeno divergentno zaporedje. Ker je (a n ) omejeno, obstaja omejen interval [m, M], na katerem ležijo vsi členi zaporedja {a n } [m, M]. Zaradi izreka 2..2 ima zaporedje vsaj eno stekališče, označimo ga z a. Zaradi divergentnosti zaporedja to stekališče ne more biti limita, zato je zunaj dovolj majhne ε-okolice neskončno členov zaporedja. To pomeni, da je vsaj na enem od intervalov, [m, a ε] ali [a+ε, M] neskončno mnogo členov zaporedja, torej obstaja (spet zaradi izreka 2..2) vsaj še eno stekališče b a. Če ima omejeno zaporedje le eno stekališče, je torej nujno konvergentno. Naslednji kriterij za konvergenco ima to lepo lastnost, da govori samo o členih zaporedja in ne o limiti. Z njim lahko ugotovimo, ali je neko zaporedje konvergentno, ne da bi poznali njegovo limito. Izrek 2..5. Zaporedje (a n ) je konvergentno natanko takrat, kadar zadošča tako imenovanemu Cauchyjevemu 2 pogoju: Vsakemu pozitivnemu številu ε pripada tak indeks n 0, da je neenačba a n+p a n < ε (2.2) izpolnjena za vsak n > n 0 in za vsako naravno število p. Dokaz: Najprej dokažimo, da je Cauchyjev pogoj potreben za konvergenco zaporedja. Vzemimo zaporedje (a n ), ki konvergira proti limiti a, in naj bo ε poljubno pozitivno število. Ker je zaporedje konvergentno, obstaja tak indeks n 0, da je a a n < ε/2 za vsak n > n 0, torej je tudi a a n+p < ε/2 za poljuben p N, saj je n + p tudi večji od n 0. Ocenimo razliko a n+p a n = (a n+p a) (a n a) a n+p a + a n a < ε 2 + ε 2 = ε, in vidimo, da zaporedje zadošča Cauchyjevemu pogoju. Dokažimo še, da je Cauchyjev pogoj zadosten za konvergenco. Naj zaporedje (a n ) zadošča Cauchyjevemu pogoju. Izberimo si ε = in določimo indeks r tako, da bo za vsak p N izpolnjena neenačba a r+p a r <, kar pomeni, da vsi členi zaporedja z indeksom večjim od r ležijo na intervalu (a r, a r + ). Zaporedje (a n ) je torej omejeno in ima zaradi izreka 2..2 vsaj eno stekališče a. Pokazali bomo, da je a = lim a n 2 Augustin-Louis Cauchy (789 857), francoski matematik, začetnik teorije kompleksnih funkcij.

38 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Vzemimo poljubno pozitivno število ε. Zaradi Cauchyjevega pogoja obstaja tak indeks n, da je a n+p a n < ε/2 za vsak p N. Vsi členi a m za m > n so na intervalu (a n ε/2, a n + ε/2), torej leži stekališče a na zaprtem intervalu [a n ε/2, a n + ε/2]. Ker je razlika dveh števil s tega intervala manjša od ε, velja za vsak m > n ocena a a m < ε, kar že pomeni, da je a limita, torej je zaporedje (a n ) res konvergentno. Primer 2..6. Dokažimo, da zaporedje, ki je dano z dvočlensko rekurzijo a = α, a 2 = β, a n+2 = 2 (a n + a n+ ) zadošča Cauchyjevemu pogoju in je zato konvergentno. Razlika dveh zaporednih členov je a n+2 a n+ = 2 (a n+ + a n ) a n+ = 2 (a n a n+ ). Od tod sledi: Potem je a n+2 a n+ = 2 a n a n+ = 2 2 a n a n = = 2 n a 2 a = β α. 2n a n+p a n = (a n+p a n+p ) + (a n+p a n+p 2 ) +... + (a n+ a n ) a n+p a n+p + a n+p a n+p 2 +... + a n+ a n ( 2 n+p 2 +... + ) β α 2n = 2 n ( 2 )p 2 Naj bo ε > 0 in izberimo N tako velik, da bo Potem je za vsak n > N in za vsak p N β α < β α. 2n 2 2 N 2 < ε β α. a n+p a n β α < ε. 2N 2 Zaporedje a n je torej konvergentno, ker zadošča Cauchyjevemu pogoju.

2.. ZAPOREDJA 39 Divergentna zaporedja Zaporedje, ki ni konvergentno, je divergentno. Na primer, vsako neomejeno zaporedje je divergentno. Tudi vsako zaporedje z več kot enim stekališčem je divergentno. Če so členi zaporedja čedalje večji in rastejo proti neskončnosti, pravimo, da zaporedje divergira proti. Natančneje: Definicija 2..4. Če za vsako pozitivno število M obstaja tak indeks n 0, da je a n > M, če je n n 0, pravimo, da zaporedje a n divergira proti neskončnosti in napišemo lim a n = Podobno, zaporedje divergira proti : lim a n =, če za vsako pozitivno število A obstaja tak indeks n 0, da je a n < A, če je n > n 0. Zaporedje, ki divergira proti ali proti, ne more imeti stekališč. Seveda ni nujno, da divergentno zaporedje divergira proti ali proti. Primer 2..7. Nekaj divergentnih zaporedij:. Zaporedje (n) divergira proti, saj za poljuben M > 0 lahko vzamemo n 0 = M +. 2. Tudi zaporedje (log n) divergira proti, saj za poljuben M > 0 lahko vzamemo n 0 = e M +. 3. Zaporedje (sin n) je divergentno, vendar je omejeno, zato ne divergira proti. Lastnosti limite zaporedja Konvergentnost je lastnost, ki je odvisna le od zelo poznih členov zaporedja, začetni členi pa nanjo ne vplivajo. Očitno ostane konvergentno zaporedje konvergentno z isto limito, če mu dodamo ali odvzamemo končno mnogo členov.

40 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Trditev 2..6. Če imata zaporedji (a n ) in (b n ) isto limito, lim a n = lim b n = l, in je zaporedje (c n ) med njima, tako da je a n c n b n za vsak n, je tudi lim c n = l. Dokaz: Ker je l limita zaporedij (a n ) in (b n ), obstajata za vsak ε taka n in n 2, da velja a n (l ε, l + ε) za n > n, b n (l ε, l + ε) za n > n 2. Če je n 0 večje od števil n in n 2, veljata za vsak n > n 0 oba pogoja hkrati, torej l ε < a n < c n < b n < l + ε, tako da je c n za vsak n > n 0 v ε-okolici limite l. Preprosta posledica trditve 2..6 je tale sklep: če za zaporedje (a n ) velja a n < b za vsak n in lim n a n = a, je tudi a b. Na primer, limita zaporedja s pozitivnimi členi je nenegativna. Trditev 2..7. Če sta zaporedji (a n ) in (b n ) konvergentni, lim a n = a in lim b n = b, potem so konvergentna tudi zaporedja in velja: (a n + b n ) = a + b, a 2 + b 2,... (a n b n ) = a b, a 2 b 2,... (a n b n ) = a b, a 2 b 2,.... lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n lim(a n b n ) = lim a n lim b n lim(a n b n ) = lim a n lim b n.

2.. ZAPOREDJA 4 Dokaz: Izberimo pozitivno število ε. Ker sta zaporedji (a n ) in (b n ) konvergentni, obstajata naravni števili n a in n b, da je a n a < ε/2 za vsak n > n a in b n b < ε/2 za vsak n > n b. Če za n 0 vzamemo večje izmed števil n a in n b, za vsak n > n 0 velja (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε, torej zaporedje (a n +b n ) res konvergira proti limiti a+b. Podobno dokažemo, da je limita razlike enaka razliki limit. Poglejmo še limito produkta. Produkt a n b n zapišemo v obliki Tako je a n b n = (a n a)(b n b) + a(b n b) + b(a n a) + ab. a n b n ab a n a b n b + b a n a + a b n b. Recimo, da je η pozitivno število manjše od. a n a < η in b n b < η. Za tak n je Če je n dovolj velik, je a n b n ab < η 2 + η( a + b ) < η( a + b + ). Naj bo ε poljubno pozitivno število manjše od. η = ε a + b +, Če si izberemo je za dovolj velike indekse n izpolnjena neenačba a n b n ab < ε, torej zaporedje (a n b n ) res konvergira proti ab. Trditev 2..8. Če je a n 0 za vsak n in če zaporedje (a n ) konvergira proti a 0, konvergira tudi zaporedje (/a n ) in je lim a n = a. Dokaz: Naj bo ε poljubno pozitivno število, in η pozitivno število, ki je manjše od a /2 in od ε a 2 /2. Ker je a limita zaporedja (a n ), je za vsak

42 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE dovolj velik indeks n izpolnjena neenačba a n a < η. Za tak n je a n = a + (a n a) a a n a > a /2, zato je tudi a n a = a n a a n a Ker smo izbrali η < ε a 2 /2, je torej a n a < ε < 2η a 2. za vsak dovolj velik n, torej zaporedje (/a n ) konvergira proti /a. Iz zadnjih dveh trditev sledi še: Trditev 2..9. Če zaporedje (a n) konvergira proti limiti a in zaporedje (b n ), kjer so b n 0za vsak n, konvergira proti b 0, konvergira zaporedje kvocientov (a n /b n ) proti a/b. Primer 2..8. Oglejmo si zaporedje s splošnim členom a n = n2 + 3n 2n 2. Če števec in imenovalec delimo z n 2, dobimo lim a n = lim + 3/n 2 /n 2 = + 3 lim n 2 lim n 2 = 2, saj zaporedji (3/n) in (/n 2 ) očitno konvergirata proti 0. Splošneje: če je a n kvocient dveh polinomov in α 0, β 0 0, potem je lim a n = lim α 0n k +... + α k n + α k β 0 n l +... + β l n + β l = 0 če je k < l α 0 β 0 če je k = l ± če je k > l.

2.. ZAPOREDJA 43 2..3 Monotona zaporedja Definicija 2..5. Zaporedje (a n ) je naraščajoče, če za vsak n N velja a n a n+. Če za vsak n velja a n < a n+, je zaporedje strogo naraščajoče. Zaporedje (a n ) je padajoče, če za vsako naravno število n velja a n a n+. Če za vsak n velja a n > a n+, je zaporedje strogo padajoče. Zaporedje je monotono, če je naraščajoče ali padajoče. Monotona zaporedja so vsaj z ene strani omejena. Vsako naraščajoče zaporedje (a n ) je navzdol omejeno in inf a n = a, vsako padajoče zaporedje (b n ) pa je navzgor omejeno in sup b n = b. Poleg tega velja: Izrek 2..0. Naraščajoče zaporedje, ki je navzgor omejeno, konvergira proti lim a n = sup a n. Naraščajoče zaporedje, ki ni navzgor omejeno, pa divergira proti. Podobno, padajoče zaporedje, ki je navzdol omejeno, konvergira proti lim a n = inf a n. Padajoče zaporedje, ki ni navzdol omejeno, pa divergira proti. Dokaz: Naj bo (a n ) naraščajoče zaporedje in M njegova natančna zgornja meja. Vzemimo poljuben ε > 0. Ker je M natančna zgornja meja zaporedja, je a n M za vsak n in a k > M ε za vsaj en člen a k. Ker je zaporedje monotono naraščajoče, je a n > M ε tudi za vsak n > k, zato so v ε-okolici točke M vsi členi od k-tega dalje, torej je lim a n = M. Če zaporedje ni navzgor omejeno, obstaja za vsak A > 0 kakšen člen a n0, za katerega velja a n0 > A. Ker je zaporedje monotono, je a m a n0 > A za vsak m > n 0, torej je lim a n =. Dokaz trditve za padajoče zaporedje je podoben. Primer 2..9. Zaporedje približkov za število 2. Naj bo a = 2, a n+ = ) (a n + 2an. 2 Pokažimo, da je dano zaporedje padajoče in navzdol omejeno, torej konvergentno.

44 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE. Da je zaporedje omejeno navzdol, je očitno, saj je a n > 0 za vsak n. Spodnjo mejo 0 lahko precej dvignemo, saj velja: odtod 2a n+ a n = a 2 n + 2, a 2 n+ = (a n a n+ ) 2 + 2 2, a n+ 2 za vsak n. Torej je tudi 2 spodnja meja zaporedja. 2. Pokažimo še, da je zaporedje monotono padajoče: ker je a 2 n 2 za vsak n. a n a n+ = a n 2 = a2 n 2 2a n 0, (a n + 2an ) 3. Zaporedje a n je torej konvergentno. Naj bo lim a n = l. Očitno mora biti l 2 > 0. Poleg tega iz enakosti a n+ = (a n /2 + /a n ) sledi l = lim a n+ = lim ) (a n + 2an = ( l + 2 ). 2 2 l Če to enačbo rešimo, dobimo l = ± 2. Ker mora biti l > 0, je l = lim a n = 2, torej je a n res zaporedje približkov za število 2. Če zapišemo prvih nekaj členov zaporedja, 2,.5,.4 6,.442568628,.442356238,..., se prepričamo, da se že člen a 5 od prave vrednosti 2 razlikuje za manj kot 0 0.

2.. ZAPOREDJA 45 2..4 Potence z realnimi eksponenti Zaporedje potenc. potenc (c n ). Naj bo c poljubno realno število. Oglejmo si zaporedje Trditev 2... Zaporedje (c n ) je konvergentno, če je c (, ]. Natančneje:, če je c > lim c n =, če je c =. 0, če je c < Če je c, zaporedje ni konvergentno. Dokaz. Naj bo najprej c >. Potem je c = + x, kjer je x > 0 in Po binomski formuli je n ( + x) n = k=0 ( n k c n = ( + x) n ) x k = + nx + n(n ) x 2 +... + x n. 2 Vsi členi v tej vsoti so pozitivni, zato je cela vsota gotovo večja od prvih dveh členov: c n = ( + x) n > + nx. (2.3) Zaporedje ( + nx) je naraščajoče in ni omejeno, kar sledi iz Arhimedove lastnosti realnih števil (izrek.2.5), torej je lim c n =. Za c = je trditev očitna, saj so vsi členi enaki n =. Naj bo c <. Zaporedje ( c n ) je padajoče in navzdol omejeno, torej konvergira k nekemu številu α 0. To pomeni, da zaporedje sodih potenc (c 2n ) konvergira proti α, zaporedje lihih potenc (c 2n+ ) pa k α ali k α, glede na predznak števila c. Zaporedje (c n ) ima tako največ dve stekališči: α in α. Iz rekurzivne formule c n = c c n sledi, da je lim c n = c lim c n, torej α = c α, to pomeni, da je α = 0. Zaporedje (c n ) je omejeno in ima v vsakem primeru eno samo stekališče α = α = 0, ki je njegova limita. Če je c = ima zaporedje (( ) n ) dve stekališči, zato ni konvergentno. Če pa je c <, je zaporedje c n v obe smeri neomejeno, in je tudi divergentno.

46 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Zaporedje korenov. Vzemimo pozitivno realno število c > 0 in si oglejmo zaporedje korenov (c /n ) = ( n c). Trditev 2..2. Za vsak c > 0 je zaporedje (c /n ) konvergentno z limito lim c n =. (2.4) Dokaz. Naj bo najprej c >, tako je c = + nx, kjer smo pisali x = (c )/n > 0. Iz enačbe (2.3) sledi ( + x) n > + nx = + n c n = c. Obe strani korenimo in dobimo n c < + (c )/n. Ker je c >, je tudi n c > in velja za vsak n ocena < n c < + c n. Ker je lim( + (c )/n) =, sledi (po trditvi 2..6), da je lim n c =. Za c = je veljavnost relacije očitna. Če pa je c <, obstaja tak b >, da je c = /b in n c = / n b, torej je lim n c = lim n b =. V razdelku.2.4 smo za a > 0 potenco a r definirali za poljuben racionalen eksponent r. Da bi lahko definirali potenco tudi za iracionalne eksponente, potrebujemo naslednji rezultat: Izrek 2..3. Za vsako realno število x obstaja zaporedje racionalnih števil (x n ), ki konvergira k x: lim n x n = x. Dokaz. Naj bo x največje celo število, ki ni večje od x. Tako je gotovo x [x, x +). Če je x v levi polovici tega intervala: x < x +/2, izberemo x 2 = x, sicer pa x 2 = x + /2. Število x tako gotovo leži na intervalu [x 2, x 2 + /2). Ta interval spet razpolovimo in izberemo za x 3 levo krajišče tistega podintervala, na katerem se nahaja x. Tako nadaljujemo, dokler ne

2.. ZAPOREDJA 47 x A x 2 x 3 x 4 Slika 2.: Konstrukcija racionalnega zaporedja, ki konvergira proti realnemu številu A dobimo monotono naraščajočega omejenega zaporedja (x n ). Za tako dobljeno zaporedje je x x n < 2 n, kar je poljubno blizu 0, če je le n dovolj velik. Naj bo r poljubno realno število in (r n ) zaporedje racionalnih števil, ki konvergira proti r. Izberimo poljubno število c > 0 in konstruirajmo zaporedje a n = c rn ; n =, 2,.... Pokažimo, da zaporedje (a n ) zadošča Cauchyjevemu pogoju. Razlika a n+p a n = c r n+p c rn = c rn c r n+p r n postane pri dovolj velikem n za vsak p poljubno majhna, saj je vrednost prvega faktorja omejena, v drugem faktorju pa gre z rastočim n razlika r n+p r n proti 0, zato tudi ves faktor konvergira proti 0. Zaporedje (a n ) je konvergentno. Izkaže se, da je za vsako zaporedje (r n ), ki konvergira proti r, limita zaporedja (c rn ) vedno isto število. To limito vzamemo za vrednost potence c r : Definicija 2..6. Naj bo c > 0. Potem je c r = c lim rn = lim c rn. Vsa običajna pravila običajna pravila za računanje s potencami veljajo tudi za potence z realnim eksponentom.

48 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Konstrukcija števila e. a n = Vzemimo zaporedji ( + n) n ( in b n = n) n. (2.5) Pokazali bomo, da sta obe zaporedji konvergentni in imata isto limito. V dokazu bomo potrebovali naslednjo neenakost: Lema 2..4. Za vsak x (0, ) in za vsak m Z, m >, velja: ( x) m > mx. (2.6) Dokaz leme. Za eksponente m N, m 2 si lahko pomagamo z indukcijo:. Če je m = 2, je očitno ( x) 2 = 2x + x 2 > 2x. 2. Iz indukcijske predpostavke ( x) m > mx sledi ( x) m+ = ( x) m ( x) > ( mx)( x) = (m + )x + mx 2 > (m + )x in lema je dokazana za m 2. Če je m = n 2, n N, pa iz neenačbe ( + x)( x) = x 2 < sledi torej je + x < x = ( x), ( x) m = ( x) n > ( + x) n > + nx = mx in neenačba je dokazana tudi v tem primeru.

2.. ZAPOREDJA 49 Trditev 2..5. Zaporedje je naraščajoče, zaporedje pa je padajoče. a n = b n = ( + n) n, n ( n) n, n 2 Dokaz. V neenačbi (2.6) izberimo m = n in x = /n 2 : ( ) n ( = ) n ( + ) n > n 2 n n n. Obe strani delimo z ( /n) n in dobimo ( + n) n ( > n) n ( ) ( n) ( n = = + ) n. (2.7) n n Na levi strani je a n, na desni pa a n, torej a n > a n, zaporedje (a n ) je torej naraščajoče. Ker ocena (2.7) velja tudi za n 2, lahko zapišemo še ( n) n ( > ) (n+), n + kar je isto kot b n+ < b n. To pa pomeni, da je zaporedje (b n ) padajoče. Trditev 2..6. Zaporedje (a n ) je navzgor, zaporedje (b n ) pa navzdol omejeno. Dokaz. Zaradi b n+ = ( = ) (n+) ( n + = n + n ) n ( + n ( + n ) n+ ) = a n ( + n ) > a n,

50 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE je za vsak n 2 a n < b n+ b 2 = 4 in b n > a n a = 2. Tako je 4 zgornja meja zaporedja (a n ) in 2 spodnja meja zaporedja (b n ). Obe zaporedji sta zato monotoni in omejeni, torej konvergentni. Trditev 2..7. Zaporedji (a n ) in (b n ) imata isto limito, ki jo označimo z e. Dokaz. Iz zveze b n+ = a n ( + /n) sledi, ( lim b n+ = lim a n lim + ) = lim a n, n torej imata isto limito, ki jo bomo označili z e: ( lim + n ( = e = lim n n) n. n n) Število e je iracionalno število, ki ga bomo še pogosto srečali. Zaokroženo na dvanajst decimalk je e = 2.78 28 828 459. Primer 2..0. Določimo limito zaporedja s splošnim členom ( 5/n) n! Naj bo m = n/5, torej n = 5m. Potem je ( lim 5 n ( = lim n n) ) 5m m m ) ] m 5 = e 5. = lim m [ ( m

2.. ZAPOREDJA 5 2..5 Logaritmi Ko smo iskali obrat relacije A = a n pri fiksnem eksponentu, smo prišli do definicije korena: a = n A. Če pa na to relacijo gledamo pri spremenljivem eksponentu in konstantni osnovi, je njen obrat logaritem. Definicija 2..7. Logaritem števila A > 0 pri osnovi a > 0, a je število, s katerim moramo potencirati osnovo a, da dobimo A. x = log a A a x = A. Število A imenujemo logaritmand, število a pa osnovo. Definicija logaritma je smiselna samo, če je osnova a > 0 in a. Če sta a in A pozitivni števili, se lahko na podoben način, kot smo dokazali izrek.2.8 o obstoju korena, prepričamo, da obstaja natanko določeno število x = log a A. Zlahka se prepričamo, da za vsak a > 0, a velja log a = 0 in log a a =. Prvo enačbo dobimo iz a 0 =, drugo iz a = a. Iz zakonov za računanje s potencami lahko izpeljemo naslednja pravila za računanje z logaritmi: Če sta a in b različni osnovi, je log a (AB) = log a A + log a B; A log a B = log a A log a B; log a A r = r log a A. log a A = log a b log b A = log b A log b a. V matematiki največ uporabljamo logaritme, ki imajo za osnovo število e. Pravimo jim tudi naravni logaritmi, številu e pa osnova naravnih logaritmov. Naravne logaritme zato pišemo brez osnove, včasih pa uporabljamo tudi oznako ln. Tako je torej log e A isto kot log A ali pa ln A. Poleg naravnega logaritma se, zlasti v tehniki, pogosto uporablja logaritem z osnovo 0, lg A = log 0 A, ki mu pravimo desetiški ali Briggsov logaritem, in v računalništvu logaritem z osnovo 2, lb A = log 2 A, ali dvojiški logaritem.

52 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE 2.2 Številske vrste 2.2. Konvergenca vrst Definicija 2.2.. Če je dano zaporedje (a n ), je s predpisom S = a, S n = S n + a n = a + a 2 + + a n + a n. določeno zaporedje delnih vsot vrste s členi a n, ki jo označimo: a k = a + a 2 + + a k + (2.8) k= Če zaporedje delnih vsot S n konvergira proti številu s, pravimo, da je vrsta (2.8) konvergentna in da je njena vsota enaka s, kar zapišemo: a k = s. k= Če je zaporedje delnih vsot divergentno, je vrsta divergentna in nima vsote. Primer 2.2.. Naj bo c R. Vrsti n=0 pravimo geomtrijska vrsta s kvocientom c. Za zaporedje delnih vsot geometrijske vrste velja: in zato je za c S n+ = ( + c + + c n+ ) = c + + c n+ = cs n c n S n+ = S n + c n+ = cs n +, S n = cn+ c. To zaporedje je konvergentno samo, če je c < (trditev 2..). V tem primeru je lim S n = lim cn+ = c c.

2.2. ŠTEVILSKE VRSTE 53 Primer 2.2.2. Poiščimo vsoto vrste n(n + ). zato je Člene te vrste lahko razstavimo na parcialne ulomke: n(n + ) = n n +, in S N = N n+ ( n ) n + = ( 2 ) + ( 2 3 ) + + ( N N + ) = N + n(n + ) = lim S N =. Iz Cauchyjevega pogoja (2.2) za konvergenco zaporedja delnih vsot sledi Izrek 2.2.. Vrsta je konvergentna natanko takrat, kadar za vsak ε > 0 obstaja tak indeks n 0, da je S n+p S n = a n+ + + a n+p < ε za vsak p N, če je le n > n 0. Drugače povedano: če je vrsta konvergentna, lahko izračunamo njeno vsoto poljubno natančno, če le seštejemo dovolj njenih začetnih členov vsota preostalih neskončno mnogo členov bo manjša od predpisane napake. a n

54 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Primer 2.2.3. Vrsto imenujemo harmonična vrsta. Pokažimo, da harmonična vrsta ni konvergentna. Če bi bila konvergentna, bi po Cauchyjevem kriteriju za vsak ε > 0 obstajal tak indeks n 0, da bi veljalo n a n+ + + a n+p < ε za vsak n n 0 in za vsak p. Vendar, če izberemo poljuben n in p = n, je a n+ + + a 2n = n + + + 2n > n 2n = 2, to pa ni poljubno majhno število. Izrek 2.2.2. [Potreben pogoj za konvergenco]če je vrsta konvergentna, konvergira zaporedje njenih členov proti 0. Dokaz. Naj bo Očitno velja torej in izrek je dokazan. S = a n = lim S n. a n = S n S n, lim a n = lim(s n S n ) = S S = 0 Pogoj lim a n = 0 je potreben za konvergenco vrste, ni pa zadosten, saj harmonična vrsta temu pogoju zadošča, pa kljub temu ni konvergentna. 2.2.2 Vrste s pozitivnimi členi Če so vsi členi a n > 0, je zaporedje delnih vsot vrste naraščajoče in je konvergentno natanko takrat, kadar je navzgor omejeno. Če ni omejeno, pa divergira proti. a n

2.2. ŠTEVILSKE VRSTE 55 Primer 2.2.4. Naj bo p >. Pokažimo, da je vrsta n p konvergentna. Pokazali bomo, da je zaporedje delnih vsot S N = navzgor omejeno. Za vsak N > je N n p S N < S 2 N = + 2 + p 3 + + p (2 N ) ( p = + 2 + ) ( ) + + p 3 p 2 + + (N )p (2 N ) ( p + 2 + ) ( ) + + p 2 p 2 + + (N )p 2 (N )p = + 2 2 p + + 2N = + 2 p + + 2 (N )p ( 2 p ) N, to je (N )-va delna vsota geometrijske vrste s kvocientom q = /2 p. Ker je p >, je q < in geometrijska vrsta je konvergentna, delna vsota pa je manjša od vsote cele vrste, torej S N < (/2 p ), kar je zgornja meja za zaporedje delnih vsot S N. Ugotavljanje konvergence vrste s pozitivnimi členi je precej bolj preprosto, ker je zaporedje delnih vsot take vrste monotono naraščajoče, in poznamo celo vrsto kriterijev, s katerimi si lahko pomagamo. Navedli bomo dva.

56 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Izrek 2.2.3. [Primerjalni kriterij] Če sta a n in b n vrsti s pozitivnimi členi in je a n b n za vsak n N, velja: če je b n konvergentna, je tudi a n konvergentna, ali drugače povedano, če je a n divergentna, je tudi b n divergentna. Dokaz. Za zaporedji delnih vsot S n = a n in S n = očitno velja S n S n za vsak n N. Če je vrsta b n konvergentna, je zaporedje (S n) omejeno, torej je omejeno tudi zaporedje (S n ). Če je vrsta a n divergentna, je zaporedje (S n ) neomejeno, torej je tudi večje zaporedje (S n) neomejeno. b n Primer 2.2.5. V primeru 2.2.3 smo dokazali, da harmonična vrsta ni konvergentna. Za vsak p < je /n p > /n in primerjalni kriterij pove, da je vrsta n p divergentna za vsak p. n

2.2. ŠTEVILSKE VRSTE 57 Zaporedje kvocientov a 2 a, a 3 a 2,..., a n+ a n,... meri hitrost naraščanja členov vrste. Geometrijska vrsta s pozitivnimi členi (pri njej so ti kvocienti konstantni), konvergira, če je ta konstanta manjša kot. Podobno velja tudi za splošne vrste: Izrek 2.2.4. [Kvocientni kriterij] Če obstaja lim a n+ a n = L (ki je lahko tudi ), velja: vrsta a n konvergira, če je L < in divergira, če je L >. Dokaz. Recimo, da je L < in naj bo ε > 0 tako majhen, da je L+ε <. Potem obstajati tak indeks n 0, da je a n+ a n L + ε <. Na konvergenco vrste, podobno kot na konvergenco zaporedja, ne vpliva, če na začetku vrste nekaj členov dodamo ali odvzamemo. Prvih n 0 členov lahko izpustimo, tako da dobimo vrsto, kjer velja neenakost Potem je a n+ a n L + ε < za vsak n. a 2 (L + ε) a in a n (L + ε) n a. Ker je geometrijska vrsta n=0 a (L + ε) n konvergentna, sledi iz primerjalnega kriterija, da je tudi vrsta a n konvergentna. Če je a n+ >, je a n+ > a n a n in je zaporedje členov (a n ) naraščajoče zaporedje pozitivnih števil in lim a n 0. Potrebni pogoj za konvergenco vrste tako ni izpolnjen. V primeru, ko je lim(a n+ /a n ) =, kvocientni kriterij na vprašanje o konvergenci vrste ne da odgovora.

58 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Primer 2.2.6. Zgled za uporabo kvocientnega kriterija. Za vrsto velja n=0 lim a n+ = lim 2n+ n! a n 2 n (n + )! = lim 2 n + = 0, in vrsta je konvergentna. 2. Za vrsti 2 n n! n in n 2 velja (kot se prepričamo s kratkim računom): lim a n+ a n =. Prva je divergentna, druga pa konvergentna, torej v tem primeru kvocientni kriterij res ne da odgovora o konvergenci. Če je vrsta konvergentna, je N-ta delna vsota S N = a + a 2 + + a N približek za vsoto vrste S, napaka pa je enaka ostanku vrste R N = a n. n=n+ Metodo, s pomočjo katere smo izpeljali kvocientni kriterij, lahko uporabimo tudi za oceno ostanka. Če vemo, da je za vsak n N m a n+ a n M, kjer sta števili m in M pozitivni in manjši od, sledi kar pomeni, da je a n m a n+ a n M, a N (m + m 2 + ) a N+ + a N+2 + a N (M + M 2 + ). Od tod dobimo oceno za ostanek m a N m R M N a N M.

2.2. ŠTEVILSKE VRSTE 59 2.2.3 Absolutna in pogojna konvergenca vrst Če so členi vrste poljubna števila (pozitivna ali negativna), ločimo dva tipa konvergence: Definicija 2.2.2. Vrsta a n je absolutno konvergentna, če je konvergentna vrsta a n in pogojno konvergentna, če je konvergentna, pa ni absolutno konvergentna. Vrsta je torej absolutno konvergentna, če je konvergentna vrsta iz absolutnih vrednosti njenih členov, to pa je vrsta s pozitivnimi členi. Pri ugotavljanju absolutne konvergence si torej lahko pomagamo s kriteriji za konvergenco vrst s pozitivnimi členi. Izrek 2.2.5. Absolutno konvergentna vrsta je konvergentna. Dokaz. Če je vrsta absolutno konvergentna, je za zaporedje delnih vsot S N = a + + a N izpolnjen Cauchyjev pogoj (izrek 2.2.) in za vsak ε > 0 obstaja tak indeks n 0, da za poljuben p N velja če je le n n 0. Potem je tudi a n+ + + a n+p < ε, a n+ + + a n+p a n+ + + a n+p < ε za vsak n n 0. Očitno tudi zaporedje delnih vsot S N = a + + a N zadošča Cauchyjevemu pogoju in zato je vrsta konvergentna. Obratno seveda ni res, saj bomo kmalu spoznali kakšno pogojno konvergentno vrsto. Izrek 2.2.6. Leibnizov 3 kriterij Če je (a n) padajoče zaporedje pozitivnih števil in lim a n = 0, je vrsta a a 2 + a 3 = ( ) n a n konvergentna. 3 Gottfried Wilhelm Leibniz (646 76), nemški filozof in matematik, skupaj z I. Newtonom začetnik diferencialnega in integralnega računa.

60 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE Vrstam, kjer se predznaki členov izmenjujejo, (kot je ta v izreku), pravimo alternirajoče vrste. Dokaz. Ker je zaporedje (a n ) padajoče, za vsak N velja Po drugi strani je S 2N 0 in S 2N+2 = S 2N + (a 2N+ a 2N+2 ) S 2N. S 2N = a (a 2 a 3 ) a 2N < a. Zaporedje sodih delnih vsot S 2N je naraščajoče in navzgor omejeno, ter zato konvergentno. Za lihe delne vsote velja S 2N+ = (a a 2 + + a 2N ) (a 2N a 2N+ ) S 2N, zato je zaporedje lihih delnih vsot padajoče. Poleg tega je S 2N+ = S 2N + a 2N+ S 2N S 2, torej so lihe delne vsote omejene navzdol in zato je zaporedje (S 2N+ ) konverentno. Ker je lim S 2N+ lim S 2N = lim(s 2N+ S 2N ) = lim a 2N+ = 0, imata zaporedji S 2N+ in S 2N isto limito. Zaporedje (S N ) je omejeno in ima eno samo stekališče, torej je konvergentno. To pomeni, da tudi vrsta konvergira. Primer 2.2.7. Vrsta ( ) n = n 2 + 3 (2.9) zadošča pogojem zgornjega izreka, zato je konvergentna. Vrsta absolutnih vrednosti njenih členov je harmonična vrsta, ki je divergentna, zato vrsta (2.9) konvergira pogojno. Podobno velja za vse vrste ( ) n, 0 < p. n p

2.2. ŠTEVILSKE VRSTE 6 Spomnimo se primerov 2.2.4 in 2.2.5 in povzemimo: Trditev 2.2.7. Alternirajoča vrsta ( ) n n p je absolutno konvergentna za p > pogojno konvergentna za 0 < p divergentna za p 0. Vrste so pravzaprav neskončne vsote, vendar vseh lastnosti končnih vsot nimajo. Za končne vsote velja komutativnost vrstni red členov na vsoto ne vpliva, za neskončne vrste pa v splošnem komutativnost ne velja. Primer 2.2.8. Naj bo Očitno je S = S = ( ) n. n ( ) ( + 2 3 ) + 4 2, zato je S 0. Zapišimo člene te vrste v drugačnem vrstnem redu: S = ( 2 ) ( + 4 3 6 ) + 8 ( + 2n 4n 2 ) + 4n Če upoštevamo dobimo 2n 4n 2 4n = = 2 ( 2n 2 2n ) 2 2n ( 2n ), 2n S = ( 2 2 + 3 4 ) + = 2 S. Ker je S 0, je S = S/2 S. Torej smo z zamenjavo vrstnega reda členov dosegli, da se je vsota vrste spremenila.

62 POGLAVJE 2. ZAPOREDJA IN ŠTEVILSKE VRSTE To je mogoče samo, če je vrsta pogojno konvergentna (tako kot v našem primeru), saj velja: Izrek 2.2.8. Poljubni absolutno konvergentni vrsti z istimi členi, vendar v drugačnem vrstnem redu, imata enako vsoto. Dokaz izreka 2.2.8 najdemo v [8].

Literatura [] K. G. Binmore: Mathematical Analysis (a straightforeward approach), 2 ed., Cambridge University Press, Cambridge, 982. [2] C. H. Edwards Jr. in D. E. Penney: Calculus and Analytic Geometry, Prentice-Hall International, Inc., Englewood Cliffs, 990. [3] R. Jamnik: Matematika, Partizanska knjiga, Ljubljana, 98. [4] P. Lax, S. Burstein in A. Lax: Calculus with Applications and Computing, Vol I, Springer-Verlag, New York, 976. [5] N. Piskunov: Differential and Integral Calculus, vol. I, Mir Publishers, Moscow, 974. [6] N. Prijatelj: Uvod v matematično analizo,. del, DMFA, Ljubljana, 980. [7] G. B. Thomas, Jr: Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 972. [8] I. Vidav: Višja matematika I (0. natis), DMFA, Ljubljana, 990. 22