ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Σωστό. Σωστό. Σωστό 4. Σωστό 5. Σωστό 6. Σωστό 7. Λάθος 8. Λάθος 9. Σωστό 10. Σωστό 11. Σωστό 1. Λάθος 1. Λάθος 14. Σωστό 15. Σωστό 16. Σωστό 17. Σωστό 18. Σωστό 19. Σωστό 0. Σωστό 1. Λάθος. Σωστό. Σωστό 4. Σωστό 5. Λάθος 6. Σωστό 7. Λάθος 8. Σωστό 9. Σωστό 0. Σωστό 1. Σωστό. Σωστό. Σωστό 4. Λάθος 5. Σωστό 6. Σωστό 7. Σωστό 8. Σωστό 9. Σωστό 40. Σωστό 41. Λάθος 4. Σωστό 4. Λάθος 44. Λάθος 45. Σωστό 46. Λάθος 47. Λάθος 48. Λάθος 49. Σωστό 50. Σωστό 51. Λάθος 5. Σωστό 5. Λάθος 54. Λάθος 55. Λάθος 56. Σωστό 57. Σωστό ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Έχουμε λ1=-5 παίρνουμε 0+4y =7 οπότε λ =-5 λ1= λ ε1 // ε άρα το σύστημα είναι αδύνατο. Έχουμε (ε) y= λ +β Α (ε) = λ 0 +β β= Β (ε) 0 = λ +β 0 = λ+ λ=-1 Άρα y= -+. y (, ) y y y κ (ε) +1=10 10=10 Άρα και οι τρεις ευθείες διέρχονται από το (, ) 4. D ( ) D D y [1]
Aν D ( ). Το σύστημα έχει μοναδική λύση D X D y y y D ( ) D ( ) Αν D ( ) ή y y για λ=0 Aύ για λ=1 y άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (,y) = (-κ,κ) 5. ( )( y) y yyy y y y y y y y 6. y y (y ) yy ή y y y y y y y, A(, ) y, B(, ) 7. y y y ( ) y y y παίρνω = ω οπότε έχουμε ω1=9 ή ω=4 Για ω=9 έχουμε =9 = Για = y A(, ) Για =- y B(, ) Για ω=4 έχουμε =4 = oπότε Γ(,) Δ (-,-) 8. Έχουμε f και f. Επειδή και f f γνησίως φθίνουσα στο. [] η f είναι
9. i. ισχύει για Af. ii. f ισχύει. iii. Έχουμε ότι f το 1 είναι η μέγιστη τιμή της f. iv. Έχουμε, και f f f για κάθε. Άρα f f f f Άρα η f είναι περιττή συνάρτηση. 10. Af έστω, με f f η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 11. f f f f f f f Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0. i. f f. Άρα, η f είναι άρτια στο. ii. Η γραφική παράσταση της f προκύπτει αν μετατοπίσουμε την g 1. κατακόρυφα, 4 μονάδες προς τα κάτω., i. έχουμε,, [] A, f f Άρα η f είναι περιττή. ii. Έστω, A με
Προσθέτουμε τις και κατά μέλη f f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. www.thetiko.gr 1. 14. Έστω, A με. Επειδή οι f και g είναι γνησίως αύξουσες στο Α τότε έχουμε f f g g. Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε f g f g f g f g Άρα, οι f g είναι γνησίως αύξουσα στο Α. P. Άρα, το υπόλοιπο είναι υ = -6. και 15. P. Άρα το ρ δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου δεν είναι παράγοντας του P. P. Οπότε το 16. P P 17. A B A B A B A A B A B A A Άρα 18. P P [4]
19. () - 4 0-1 4-4 0 0 - - 0 0-1 Άρα π () = - -1 και υ= 0. Έστω π() και υ() to υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το (-1) (-). Eπειδή το (-1) (-) είναι δευτέρου βαθμού το υ () θα είναι της μορφής υ() =α +β α,β Ρ() = (-1) (-) π() +α+β () () ά () 1. Για =1 έχουμε ( ) Oι διαιρέτες του -6 είναι,,, παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα της (1) με Horner έχουμε: 1 0-1 -6 4 6 1 0 ( )( ) ή άρα λ= για λ= η εξίσωση γίνεται : με το σχήμα Horner έχουμε - 0 1 1-1 -1-1 -1 0 [5]
( )( ) ή ή άρα =1 διπλή ρίζα και. ( ) ( ).Έστω (+) = ω οπότε έχουμε: ω -7ω -8 =0 ω =8 ή ω=-1 για ω=8 έχουμε (+) = 8 += =0 για ω=-1 έχουμε (+) = -1 +=-1 =-. Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο () ( )( ) -5 4-1 1-1 - 1 0 έ ί Άρα (, ) (, ) 4. 1-1 - - 0 + -+1 + - + P() - 0 + 0 + i. ( )( ) (, ) ii. ( ) ( )( ) (, ) (, ) (, ) [6]
5. -7+ - Γ - - 0 /7 + - - + + + + + + - - + - - - + - + - + - i. έχουμε άρα η ανίσωση ισχύει για κάθε. ii. ά [, ). 6. 1 1 i. 4 4 16 ii. 1 4 16 4 7. iii. 1 4 8 0 4 8 0 8 4 i. 9 6 0 6 0 Θέτουμε w 0 οπότε w w 6 0 w1 Απορρίπτεται ή w οπότε 1 X X X X ii. 4 0 ( ) 4 0 Θέτουμε w 0 w 4w 0 w 1ή w Άρα: 0 1 0 ή [7]
8. 9. i. ii. i. ή 4 ή 4 9 4 4 5 7 95 5 97 85 87 1 0 7 10 1 7 10 0 5 4 1 1 1 ii. 4 1 5 0. Πρέπειλ-5 0 λ 5 7 1. Hf είναι γνησίως αύξουσα στο Rόταν λ- λ--(λ-5) 1 0 0 λ>5 5 λ-5 λ-5 i.log 5αβ log5 logα+logβ-log6 log γ 6γ ii. ln(5 α)=ln5 ln ln α. i. Πρέπει 0 και 6 0 log( ) log( 6) log log5 log( )( 6) log10 18 0 4ή 7Απορρίπτεται Άρα: = 4 ii. Πρέπει 0 0 και 0 ( ) 0 ln( ) ln 0 ( ) 0ή Η 0απορρίπτεται. Άρα. i.πρέπει e 0 e ln( e) 0 ln( e) ln1 e 1 1 e [8]
4. ii.πρέπει 0 ( 0 e(, ) (0, ) ln( ) ln1 1 0 Δ= 9 16 5 Άρα 1 e(, ) 5 1 ή 4 Πρέπει, 1, 8 1 5 4 Έχουμε ln( ) ln( 1) ln( 8) ln( ) ln( 1)( 8) ( ) ( 1)( 8) 5. 6 9 9 8 1 1 1 Άρα e( 1, ] i. log( ) log log( ) log 0 ή ln ln ln ln 1Αδύνατο ii. log( ) log81 log log178 log( )81 log( 178) ( )81 178 4 16 81 16 4 81 [9]
6. i. y 8 y 8 8 8 log y log 0y o y y y 4 0y 0 ii. y y y y y log y log log log y log y y y 0 0 7. y 0, 0 ί y(y 1) 0 y 0 / y 1 1 y y y 1, Άρα 1 (,y) (,1) i. π π π π π π ημ(α- ) ημ(α+ ) ημα συν ημ συνα+ημα συν ημ συνα= 4 4 4 4 4 4 π ημα συν ημα 4 ii. εφ α-εφ β (εφα-εφβ)(εφα+εφβ) 1 εφ α εφ β (1 εφα εφβ)(1+εφα εφβ) = εφα-εφβ εφα+εφβ εφ(α-β) εφ(α+β) 1 εφα εφβ 1 εφα εφβ 8. i. ημα συνα ημ α+συν α 1 εφα+ φα= συνα ημα ημα συνα ημα συνα ημα [10]
ii. εφχ+εφy εφ(χ+y) (1) 1-εφχ εφy εφχ εφχ= () 1 εφ 1 1 4 9 9. Η (1) λόγω της () γίνεται 1 4 4 1 16 εφ(χ+y)= 1 1 1 1 4 4 16 (1 εφα)(1+σφα) 1σφα+εφα+1 συνα ημα ημα συνα+ημ α+συν α ημα συνα ημα συνα ημα συνα ημα ημα συνα+1 1ημα 40. ημχ=(ημχ-συνχ) ημχ=ημ χ-ημχ συνχ+συν χ ημχ=1 1 π π ημχ= ημχ=ημ χ=κπ+ 6 6 π χ=κπ+ 1 ή 41. Πρέπει συνχ 0 π 5π 5π χ=κπ+π- χ=κπ+ χ=κπ+ KE 6 6 1 ημχ εφχ=ημχ ημχ ημχ συνχ=ημχ συνχ συνχ ημχ(συνχ-συνχ)=0 ημχ=0 ή συνχ=συνχ ημχ=0 χ=κπ συνχ=συνχ χ=κπ χ χ=κπ ή κπ KE [11]
4. i. ημχ-1=συνχ-ημχ ημχ συνχ-1=συνχ-ημχ συνχ(ημχ 1) ημχ-1 0 (ημχ 1)( συνχ+1)=0 ημχ=1 ή συνχ= 1 π π ημχ=1 ημχ=ημ χ=κπ+ ή 1 π π συνχ= συνχ=συν χ=κπ KE π π ii. ημ(χ+ ) ημ(χ- ) π π π π ημχ συν συνχ ημ ημχ συν συνχ ημ 1 1 ημχ+ συνχ- ημχ- συνχ συνχ= συνχ συνχ= π π συνχ=συν χ=κπ KE 6 6 Επιμέλεια: Πεφάνης Κώστας [1]