ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss µε µερική οδήγηση για να επιλύσετε το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων: 8 + 4 = + 6 = 7 9 6 = 4 β Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος α Εφαρµόζουµε απαλοιφή στον επαυξηµένο πίνακα 8 4 6 7 9 6 4 Εναλλάσσουµε πρώτα την η µε την η γραµµή: 6 4 6 7 8 4 Πολλαπλασιάζουµε µε /9 την η γραµµή και την αφαιρούµε από τη η : 6 4 6 9 8 4 Εναλλάσσουµε τώρα τη η µε την η γραµµή: 6 4 8 4 / 6 9 / Η απαλοιφή ολοκληρώνεται αφαιρώντας από την η γραµµή τη η πολλαπλασιασµένη µε -/4: 6 4 8 4 6 / 6 Η διαδικασία της πίσω αντικατάστασης δίνει: =, =, = β Έγιναν δύο εναλλαγές γραµµών, άρα η ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος βρίσκεται από το αποτέλεσµα της απαλοιφής ως 9 ( 8 ( / 6 ( = Παρατήρηση: Το ότι το µέγεθος της ορίζουσας ενός πίνακα δεν αποτελεί αξιόπιστο δείκτη της κατάστασής του φαίνεται και στο παράδειγµα αυτό Αν και η ορίζουσα του πίνακα είναι µάλλον µεγάλη, ο δείκτης κατάστασής του υπολογίζεται, πχ µε το -norm, σε µόλις 6 /
Θέµα ο α είξτε ότι για το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων οι µέθοδοι Jacobi και Gauss- ( Seidel συγκλίνουν για κάθε αρχικό διάνυσµα β Εκτελέστε δύο επαναλήψεις της µεθόδου Gauss-Seidel για το παραπάνω σύστηµα, ( µε αρχική προσέγγιση = [ ] T α Με µια πρώτη µατιά, οι επαναληπτικές µέθοδοι Jacobi και Gauss-Seidel δεν εφαρµόζονται καν στο παραπάνω σύστηµα, αφού υπάρχουν (δύο µηδενικά στοιχεία στην κύρια διαγώνιο του πίνακά του Όµως, µε µια µετάθεση των εξισώσεων παίρνουµε το ισοδύναµο σύστηµα 9 6 = 4 8 + 4 = + 6 = 7 του οποίου ο πίνακας, 6 8 4, 6 έχει την ιδιότητα της αυστηρά διαγώνιας κυριαρχίας Είναι γνωστό, όµως, ότι για τέτοιους πίνακες και οι δύο µέθοδοι συγκλίνουν στη λύση του συστήµατος για οποιαδήποτε αρχική της εκτίµηση β Για το τελευταίο σύστηµα η µέθοδος Gauss-Seidel διατυπώνεται ως εξής: ( k ( k = ( 4 + 6 9 ( k ( k = ( 4 8 ( k ( k ( k = ( 7 6 ( T για k =,,K Με = [ ], παίρνουµε: ( k = : = [ 4 9 8 6] T [ 6667 86 ] T, και ( k = : = [ 77 7 44] T [ 6667 7 997 ] T Θέµα ο α Βρείτε, σε µορφή Newton µε διαιρεµένες διαφορές, το πολυώνυµο που παρεµβάλλει τη συνάρτηση f ( = στα σηµεία =, = 8, = 7 β Βρείτε το µέγιστο (κατ απόλυτη τιµή σφάλµα κατά την προσέγγιση της f (9 από την αντίστοιχη τιµή του πολυωνύµου α Εύκολα βρίσκουµε τις τιµές της συνάρτησης στις δοσµένες τιµές του : 8 7 f( Υπολογίζουµε τον πίνακα των διαιρεµένων διαφορών: 8 /7 7 /9-6/79 απ όπου µπορούµε εύκολα να γράψουµε το αντίστοιχο πολυώνυµο: /
6 P N ( = + ( ( ( 8 7 79 β Γνωρίζουµε ότι, στο παράδειγµα αυτό, το σφάλµα παρεµβολής δίνεται από τον τύπο ( f ( ξ E ( = ( ( 8( 7! ή E ( = ( ( 8( 7 8 8ξ για κάποιο ξ µεταξύ και 7 Στο διάστηµα αυτό, ο παράγοντας 8 8ξ µεγιστοποιείται για ξ = Συνεπώς, το µέγιστο (κατ απόλυτη τιµή σφάλµα στο = 9 προκύπτει ως: E (9 ( 9 ( 9 8( 9 7 8 9 8 Η εκτίµηση αυτή είναι πολύ απαισιόδοξη, αφού η πραγµατική τιµή του σφάλµατος N είναι µόνο E 9 = f (9 P (9 ( Θέµα 4 ο α Εκτελέστε δύο επαναλήψεις της µεθόδου της διχοτόµησης για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης 7 = στο διάστηµα [, ] β Εκτελέστε δύο επαναλήψεις της µεθόδου Newton-Raphson για την παραπάνω εξίσωση Ξεκινήστε µε αρχική προσέγγιση γ Προαιρετικά: Η 7 µπορεί να προσεγγιστεί, ως η (θετική ρίζα της παραπάνω εξίσωσης, µε τη µέθοδο Newton-Raphson, ξεκινώντας από οποιαδήποτε θετική αρχική προσέγγισή της Επιχειρηµατολογήστε σχετικά α Η συνάρτηση f ( = 7 είναι συνεχής και παίρνει τιµές f ( = <, f ( = > στα άκρα του διαστήµατος [, ] Άρα έχει ρίζα στο εν λόγω διάστηµα (και, όπως είναι προφανές, αυτή είναι µοναδική Εκτελούµε δύο επαναλήψεις της µεθόδου διχοτόµησης: + ξ = =, µε f ( = 7 <, εποµένως + ξ = = 7 β Έχουµε =, οπότε η µέθοδος Newton-Raphson, µε αρχική εκτίµηση ξ =, δίνει: f ( ξ 7 ξ = ξ = = 6 ξ f ( ξ ξ = ξ = 6 = 647 ξ Αξίζει να σηµειωθεί ότι, µε δεκαδικά ψηφία, 7 = 647 Μπορεί να επαληθευτεί ότι η τιµή αυτή του σφάλµατος προκύπτει από τον τύπο του για ξ 8, κάτι που, προφανώς, δεν θα µπορούσαµε να γνωρίζουµε /
γ Ένας απλός τρόπος να επαληθεύσουµε ότι η σύγκλιση στη ρίζα είναι εξασφαλισµένη για οποιοδήποτε ξ > είναι να παρατηρήσουµε τη γραφική παράσταση της f ( για > : fhl 7-4 - και να θυµηθούµε τη γεωµετρική ερµηνεία της µεθόδου Newton-Raphson, µ άλλα λόγια το ότι το ξ προκύπτει ως η τοµή µε τον οριζόντιο άξονα της ευθείας που εφάπτεται στην καµπύλη της k f στο = k ξ Μια µατιά στο παραπάνω γράφηµα αρκεί τότε για να µας πείσει ότι, όποιο κι αν είναι το (θετικό ξ, η διαδικασία αυτή θα συγκλίνει προς τη 7 Μια αυστηρή απόδειξη µπορεί να βασιστεί στο θεώρηµα που συνδέει την ύπαρξη σταθερού σηµείου της αντίστοιχης συνάρτησης g µε τη σύγκλιση της µεθόδου σταθερού σηµείου ξ k = g( ξ k για οποιοδήποτε ξ (βλ Θεώρηµα 6 Αρκεί γι αυτό ν αποδείξουµε ότι η g ( = f ( ικανοποιεί τη συνθήκη g ( <, > Η απόδειξη µπορεί να γίνει για οποιαδήποτε συνάρτηση f της µορφής A A f ( = A, µε A > Έχουµε τότε: g( = = + και A A = = g ( Προφανώς, για A, δηλαδή > A, έχουµε g ( = g ( < Όµως, για < A είναι δυνατόν να έχουµε A g ( = g ( = > Παρόλα αυτά, ακόµη κι αν το ξ βρίσκεται στο ξ A «κακό» διάστηµα, δηλαδή ξ < A, η πρώτη επανάληψη θα δώσει ξ = + ξ που προκύπτει να είναι µεγαλύτερο του A κι άρα η διαδικασία µπαίνει πάλι (και µένει εκεί στο «καλό» διάστηµα, όπου είδαµε ότι αληθεύει η επιθυµητή συνθήκη g ( < Ανάλογο επιχείρηµα µε το παραπάνω ισχύει για τη σύγκλιση της µεθόδου στη 7 για οποιοδήποτε αρνητικό ξ 4/
Θέµα ο Χρησιµοποιώντας όλα τα σηµεία του παρακάτω πίνακα τιµών της συνάρτησης f ( = e f( 6487 78 προσεγγίστε: α την και β το f ( d Στο (β εφαρµόστε τους κανόνες τραπεζίου και Simpson Σε κάθε περίπτωση υπολογίστε και το σφάλµα στην προσέγγιση α Η συνάρτηση f ( = e ταυτίζεται µε την παράγωγό της, δηλαδή = f ( Άρα, δοσµένης της τιµής της συνάρτησης στο, έχουµε και την ακριβή τιµή της παραγώγου της Αν δεν γνωρίζαµε για ποια συνάρτηση πρόκειται, θα έπρεπε να f ( f ( 78 χρησιµοποιήσουµε τον τύπο = = 78, και θα είχαµε σφάλµα (απόλυτη τιµή 696 β Για τον ίδιο λόγο µε το προηγούµενο ερώτηµα, δηλαδή = f ( άρα και f ( d = f (, δοσµένων των τιµών της συνάρτησης στα και έχουµε αµέσως και την ακριβή τιµή του ολοκληρώµατος από έως, δηλαδή [ e ] = f ( ( 78 I = e d = f = Με άγνοια του τύπου της συνάρτησης, θα πρέπει να βασιστούµε αποκλειστικά στο δοσµένο πίνακα τιµών, όπως παρακάτω Μέθοδος τραπεζίου: Αφού πρέπει να χρησιµοποιήσουµε και τα τρία δοσµένα σηµεία, η µέθοδος του τραπεζίου θα εφαρµοστεί στη σύνθετη µορφή της: I ( + 6487 + ( 6487 + 78 = 79 Σφάλµα: 6 Μέθοδος Simpson: Έχουµε µόνο σηµεία, άρα δεν µπορούµε παρά να εφαρµόσουµε τον απλό τύπο: I ( + 4 6487 + 78 = 788 Σφάλµα: /