Pogled na reševanje matematičnih nalog TIMSS za maturante

Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja Pogled na reševanje matematičnih nalog TIMSS za maturante Ekspertna skupina raziskave TIMSS za matematiko: Nataša Besednjak Kristijan Breznik Mateja Frangež-Herman Darka Hvastija Barbara Japelj Pavešić Simona Kokol Jasna Kos Sonja Kristovič Tjaša Novak-Lavriša Darja Potočar Simona Pustavrh Miro Skalicky Melita Šemrl Mateja Šilak Antonija Špegel-Razbornik Alenka Šuman Tanja Veber Pedagoški inštitut, 2009 MINISTRSTVO ZA ŠOLSTVO IN ŠPORT www.mss.gov.si, e: gp.mss@gov.si Kotnikova ulica 38, 1000 Ljubljana t: 01 478 42 00, f: 01 478 43 29 Matematične naloge TIMSS za maturante 1

Pogled na reševanje matematičnih nalog TIMSS za maturante Avtorji Ekspertna skupina raziskave TIMSS za matematiko: Nataša Besednjak, Kristijan Breznik, Mateja Frangež-Herman, Darka Hvastija, Barbara Japelj Pavešić, Simona Kokol, Jasna Kos, Sonja Kristovič, Tjaša Novak-Lavriša, Darja Potočar, Simona Pustavrh, Miro Skalicky, Melita Šemrl, Mateja Šilak, Antonija Špegel-Razbornik, Alenka Šuman, Tanja Veber Izdal: Javni raziskovalni zavod Pedagoški inštitut www.pei.si Jezikovni pregled: Vesna Vrabič Ilustracija na naslovnici: Maja Lubi Število izvodov: 400 Tisk: Grafika 3000, Dob Ljubljana, 2009 Publikacija je nastala v okviru projekta Ugotavljanje in zagotavljanje kakovosti v izobraževanju in usposabljanju - Evalvacija vzgoje in izobraževanja na podlagi mednarodno priznanih metodologij, ki ga sofinancirata Evropski socialni sklad Evropske unije in Ministrstvo za šolstvo in šport Republike Slovenije. Copyright po delih in v celoti JRZ Pedagoški inštitut. Fotokopiranje in razmnoževanje po delih in v celoti je prepovedano. Vse pravice zadržane. CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 005.336.3:373.5:51 POGLED na reševanje matematičnih nalog TIMSS za maturante : mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja / Nataša Besednjak... [et al.]. - Ljubljana : Pedagoški inštitut, 2009 ISBN 978-961-270-020-1 1. Besednjak, Nataša 248574464 2 Matematične naloge TIMSS za maturante

Kazalo Predgovor 7 Uvod 9 Povzetek skupnih ugotovitev učiteljev po analizi reševanja nalog TIMSS za maturante 11 Priporočila učiteljem po tematskih sklopih 13 TIMSS in matura 18 Pogled učiteljev na dosežke slovenskih maturantov v nalogah raziskave TIMSS 19 Kompozitum funkcij: algebra poznavanje dejstev (MA13001 M1_01) 20 Graf funkcije: algebra sklepanje (MA13002 M1_02) 22 Primerjava funkcij: algebra sklepanje (MA13003 M1_03) 25 Limita: analiza poznavanje dejstev (MA13004 M1_04) 27 Odvod: analiza poznavanje dejstev (MA13006 M1_06) 29 Trikotnik in smerni koeficient stranic: geometrija uporaba znanja (MA13007 M1_07) 31 Dolžina težiščnice v trikotniku: geometrija sklepanje (MA13008 M1_08) 33 Točke na grafu funkcije: algebra uporaba znanja (MA13009 M1_09) 35 Racionalizacija izraza: algebra poznavanje dejstev (MA13011 M2_01) 37 Kompleksno število: algebra poznavanje dejstev (MA13012 M2_02) 39 Negativnost racionalne funkcije: algebra uporaba znanja (MA13013 M2_03) 41 Odvod sestavljene eskponentne funkcije: analiza poznavanje dejstev (MA13015 M2_05) 43 Valj z največjo prostornino: analiza uporaba znanja (MA13016 M2_06) 45 Pravokotnica na premico: geometrija uporaba znanja (MA13017 M2_07) 47 Razlika vektorjev: geometrija poznavanje dejstev (MA13018 M2_08) 49 Krožnici: geometrija poznavanje dejstev (MA13019 M2_09) 51 Vektorji v trikotniku: geometrija uporaba znanja (MA13020 M2_10) 53 Matematične naloge TIMSS za maturante 3

Vrtenje premice okrog premice: geometrija poznavanje dejstev (MA13021 M3_01) 55 Določeni integral: analiza poznavanje dejstev (MA13024 M3_04) 57 Nezveznost funkcije na intervalu: analiza poznavanje dejstev (MA13025 M3_05) 59 Zrcaljenje trikotnika čez y os: geometrija uporaba znanja (MA13026A M3_06) 63 Limita obsega večkotnika: algebra sklepanje (MA13027 M3_07) 68 Koraki popolne indukcije: algebra poznavanje dejstev (MA13028 M3_08) 70 Diagonali paralelograma: geometrija sklepanje (MA13029 M3_09) 72 Geometrijsko zaporedje: algebra poznavanje dejstev (MA23005 M4_01) 74 Frnikule: algebra poznavanje dejstev (MA23145 M4_02) 76 Premer pločevinke: algebra uporaba znanja (MA23187 M4_03) 78 Napaka v reševanju logaritemske enačbe: algebra sklepanje (MA23201 M4_04) 81 Drugi odvod funkcije: analiza poznavanje dejstev (MA23154 M4_05) 83 Predznak odvoda grafa funkcije: analiza sklepanje (MA23206 M4_06) 85 Dobiček pri prodaji: analiza sklepanje (MA23166 M4_07) 87 Ploščina območja: analiza uporaba znanja (MA23043 M4_08) 90 Razdalja med ogliščema v kocki: geometrija sklepanje (MA23076 M4_09) 92 Višina svetilnika: geometrija uporaba znanja (MA23176 M4_10) 94 Dolžina vsote in razlike vektorjev: geometrija sklepanje (MA23098 M4_11) 96 Geometrijska vrsta: algebra poznavanje dejstev (MA23144 M5_01) 98 Vrednosti parametrov v racionalni funkciji: algebra uporaba znanja (MA23185 M5_02) 100 Logaritemska enačba: algebra uporaba znanja (MA23054 M5_03) 102 Vrednost prostega člena v polinomu: algebra poznavanje dejstev (MA23064 M5_04) 104 Razdalja in površina med ničlama parabole: algebra uporaba znanja (MA23131 M5_05) 106 Meja določenega integrala kot parameter: analiza sklepanje (MA23045 M5_07) 112 Četrto oglišče paralelograma: geometrija uporaba znanja (MA23082 M5_08) 114 Amplituda in perioda funkcije: geometrija poznavanje dejstev (MA23020 M5_09) 116 Kosinusni in sinusni izrek v trikotniku: geometrija uporaba znanja (MA23094 M5_10) 118 4 Matematične naloge TIMSS za maturante

Vsota neskončne geometrijske vrste: algebra uporaba znanja (MA23069 M6_01) 120 Racionalna neenačba: algebra uporaba znanja (MA23135 M6_02) 122 Volumen balona v odvisnosti od premera: algebra sklepanje (MA23208 M6_03) 124 Limita funkcije: analiza uporaba znanja (MA23165 M6_04) 127 Odvod kompozituma funkcij: analiza poznavanje dejstev (MA23039 M6_05) 130 Odvod količnika: analiza poznavanje dejstev (MA23159 M6_06) 132 Smerni koeficient: analiza klepanje (MA23198 M6_07) 134 Nedoločeni integral: analiza poznavanje dejstev (MA23042 M6_08) 137 Enačba krožnice: geometrija poznavanje dejstev (MA23055 M6_09) 139 Število rešitev kotne enačbe: geometrija sklepanje (MA23080 M6_10) 141 Širina okna (pravilen večkotnik): geometrija uporaba znanja (MA23021 M6_11) 143 Debelina listov papirja: algebra sklepanje (MA23004 M7_01) 145 Deljenje kompleksnih števil: algebra uporaba znanja (MA23063 M7_02) 148 Zapis predpisa kvadratne funkcije: algebra poznavanje dejstev (MA23141 M7_03) 150 Vrednost sestavljene funkcije: algebra poznavanje dejstev (MA23133 M7_04) 153 Zaviralna pot: analiza uporaba znanja (MA23158 M7_05) 155 Graf funkcije glede na pogoje funkcije in odvodov: analiza sklepanje (MA23151 M7_06) 157 Presečišča z osjo in ekstremne točke: analiza uporaba znanja (MA23035 M7_07) 159 Določeni integral in ploščina: analiza poznavanje dejstev (MA23050 M7_08) 162 Nedoločeni integral: analiza poznavanje dejstev (MA23041 M7_09) 164 Vrednosti kota: geometrija uporaba znanja (MA23182 M7_10) 166 Vzporednost premic: geometrija uporaba znanja (MA23170 M7_11) 168 Priloga: Matematične formule, vključene v preizkuse znanja TIMSS 171 Matematične naloge TIMSS za maturante 5

6 Matematične naloge TIMSS za maturante

Predgovor Leta 2009 se je končal mednarodni del raziskave TIMSS za maturante, ki je pomladi v šolskih letih 2006/2007 in 2007/2008 izmerila znanje iz matematike in fizike tudi med slovenskimi maturanti splošnih gimnazij. Raziskava daje Sloveniji pomembne podatke o znanju zadnje populacije dijakov, ki so končali osemletno osnovno šolo in se v gimnaziji kot dijaki splošnega maturitetnega programa učili matematiko po enakem kurikulu. Čeprav so se nekaj mesecev pred zaključkom gimnazije odločili, ali bodo maturo iz matematike opravljali na višji, zahtevnejši ravni, ali na osnovni, in smo njihovo odločitev lahko vključili med informacije raziskave, pa dijakov višje ravni nismo mogli vnaprej določiti kot ciljno populacijo raziskave. Slovenija je tako v TIMSS ostala izjemna po velikosti populacije dijakov, ki se učijo akademsko matematiko. Po mnenju sodelujočih držav je izjemna tudi po dosežku, saj v nobeni drugi sodelujoči državi ne naučijo skoraj polovice vseh ustrezno starih dijakov toliko matematike kot pri nas. Ta knjižica prinaša rezultate celoletnega individualnega in skupinskega dela 16 gimnazijskih učiteljev matematike, ki so se odločili, da bodo svoje izkušnje s poučevanjem dijakov povezali z neodvisnimi meritvami njihovega znanja ter kritično presodili svoje in delo kolegov, da bi s poglobljeno interpretacijo dosegli premik k izboljšanju poučevanja matematike pri nas. Ekspertna skupina učiteljev je v sodelovanju z nacionalnim koordinacijskim centrom TIMSS na Pedagoškem inštitutu, vzporedno z nastajanjem mednarodne podatkovne baze raziskave v mednarodnem koordinacijskem centru v Bostonu v šolskem letu 2008/2009 študirala dosežke slovenskih dijakov in umestila njihovo znanje v naš učni načrt, maturitetne standarde in omejitve, ki jih pred učitelja postavlja dejstvo, da v splošno gimnazijo prihaja vse večji delež osnovnošolcev. Interpretacije se tako nanašajo na absolutni slovenski dosežek. Mednarodni dosežki dijakov pri nalogah preizkusov znanja so bili za objavo pripravljeni pozneje, kot so nastale interpretacije slovenskih učiteljev. Čeprav se jih besedila ne dotikajo, jih objavljamo skupaj z dosežki slovenskih dijakov, da bi bila informacija o reševanju nalog slovenskih dijakov čim popolnejša. Knjižica prinaša skoraj 70 nalog preizkusa TIMSS in podatke o dosežkih dijakov iz sodelujočih držav, dosežke slovenskih dijakov, ki so se pripravljali na maturo iz matematike na višji ravni, ter tistih, ki so se pripravljali na maturo iz matematike na osnovni ravni. Prvih je bila približno četrtina med vsemi splošnimi gimnazijci. Raziskava je bila narejena na vzorcu dijakov in čeprav so bile vanjo vključene vse slovenske gimnazije s splošnim programom, so bili v raziskavo vključeni le po en ali dva naključna razreda. Skupaj je v TIMSS sodelovalo približno 2000 slovenskih dijakov. Polovica nalog je zapisana natanko tako, kot so bile v preizkusih za dijake, polovica pa je predstavljena z opisom zahteve naloge in izbirnih odgovorov, saj si želimo, da bi jih lahko čez nekaj let ponovno uporabili v novi mednarodni primerjavi TIMSS. Naloge so prispevale vse sodelujoče države, nekaj pa je bilo prevzetih iz raziskave TIMSS za maturante iz leta 1995. Naloge so večkrat vsebinsko preverili matematiki po svetu, s poskusnim reševanjem pa so bile preverjene tudi merske karakteristike nalog. Kljub temu nekatere zaslužijo kritiko in popravke, preden bi jih slovenski Matematične naloge TIMSS za maturante 7

učitelji lahko uporabili v razredu. Ekspertna skupina je v svoji analizi dosežkov tudi presodila obliko in besedilo nalog ter oblikovala priporočila za uporabo nalog v razredu. Raziskava TIMSS je precej več kot preizkus znanja. V TIMSS za maturante je bilo zbranih še na stotine podatkov o dijakih, njihovih interesih, načrtih, učenju v šoli, učiteljih in poučevanju, šolskem okolju, organizaciji srednješolskega izobraževanja in učnih načrtih v desetih sodelujočih državah. Večina podatkov, ugotovitev mednarodnih primerjav, tehničnih informacij in opisov sodelujočih držav je objavljena v knjigi in spletni izdaji Znanje matematike med maturanti v Sloveniji in po svetu ter v mednarodnih virih raziskave TIMSS na svetovnem spletu, ki skupaj s podatki, zbranimi v tej knjižici, šele pokažejo celotno sliko mednarodne primerjave srednješolskega matematičnega izobraževanja. Knjižica je namenjena predvsem učiteljem, da bi se seznanili z nalogami raziskave TIMSS ter z informacijami o močnih in šibkih točkah znanja naših dijakov. S priporočili za uporabo nalog pri poučevanju pa upamo, da bo tudi v naših šolah postala dodaten vir idej za poučevanje takšne ravni matematike, kot jo predstavlja TIMSS za maturante. 8 Matematične naloge TIMSS za maturante

Uvod Dijake učimo in se trudimo, da so uspešni tako v razredu kot na maturi. Videti pa je, da jih premalo učimo razmišljanja, prilagodljivosti in razumevanja snovi, da bi jo znali samostojno uporabiti v različnih problemih. Učitelji bi se morali bolj posvečati teoretični obravnavi in usmerjati dijake ne samo v reševanje nalog, temveč v razumevanje pojmov in definicij. Več časa bi morali nameniti različnim pristopom k reševanju iste naloge. Reševati bi morali tudi čim bolj različne naloge, kar pa je v današnji praksi skoraj nemogoče, saj so dijaki navajeni, da se naučijo postopkov reševanja, ne pa reševanja z razumevanjem. Vsake naloge, ki je podana malo drugače, se ustrašijo in je pogosto niti ne poskušajo rešiti. Dijake bi bilo treba navajati na problemsko razmišljanje, da si pred reševanjem posamezne naloge naredijo načrt reševanja in da znajo na koncu oceniti smiselnost dobljene rešitve in kritično presoditi rezultat. Pogosteje bi morali reševati tudi naloge z drugih področij znanosti in tehnologije, torej iz fizike, kemije, ekonomije, in uporabne naloge, povezane s prakso. Matematika je namreč veda, ki je lahko zelo uporabna pri reševanju različnih problemov v vsakdanjem življenju in prav to bi morali našim dijakom bolje predstaviti. Pri analizi nalog, ki so jih dijaki reševali pri preverjanju znanja v okviru raziskave TIMSS, ugotavljamo, da je največja težava uporaba znanja, ki so ga dijaki pridobili v štiriletnem šolanju po gimnazijskem programu. V raziskavi je bilo kar nekaj nalog sestavljenih tako, da so dijaki morali pokazati splošno znanje in povezovati teorijo z nalogami. Ugotovili smo, da so na tem področju najšibkejši. Slabi rezultati se pojavljajo tudi pri besedilnih nalogah in nalogah izbirnega tipa. Žal je v gimnazijskem programu pri pouku matematike vedno več osnovnih tipov nalog z navodili, kot so: reši..., izračunaj..., določi itn. Premalo je nadgradnje znanja, pri čemer bi morali dijaki povezati vse naučeno. Eden izmed vzrokov za takšno stanje je gotovo matura, ki učitelje, ki pripravljajo dijake na maturo, sili, da so čim uspešnejši pri zunanjem ocenjevanju znanja. Z vidika usvojenega znanja je to povsem narobe, saj dolgoročno ne zagotavlja kakovosti, je pa v dobro dijakov, ki potrebujejo dobre dosežke na maturi. Čeprav so bile v raziskavi TIMSS tudi enostavne naloge šolskega tipa, je bilo število pravilnih odgovorov manjše od pričakovanega. Iz tega lahko sklepamo, da dijaki snovi iz prejšnjih letnikov še niso utrdili ali pa določene snovi še niso predelali, veliko formul so tudi pozabili. Zanimivo bi bilo raziskavo narediti po maturi, saj bi bili rezultati verjetno boljši. Opazna je tudi razlika med številom pravilnih odgovorov med dijaki, ki se pripravljajo na maturo na osnovni in višji ravni. Na višji ravni je število pravilnih odgovorov precej večje. Razlika je sicer pričakovana, saj so na višji ravni dijaki, ki jih matematika bolj zanima ali pa se matematiko zaradi potreb po vpisu na fakultete bolj učijo. Matematične naloge TIMSS za maturante 9

Raziskava je podprla mnenje učiteljev, da se raven znanja matematike v gimnazijah znižuje. V zadnjih letih se je povečeval odstotek dijakov, ki so se vpisovali v gimnazijski program, ob tem so se nižali cilji in zahteve do gimnazijcev. Treba bi bilo doseči, da bi gimnazijska matematika naučila dijake logično misliti, povezovati teorijo s prakso in uporabljati znanje, saj je to trajno in v njihovem nadaljnjem življenju koristno. Pri pouku lahko to dosežemo s poglobljeno razlago in ustrezno izbiro nalog, kar zahteva dodaten čas, za dijake pa pomeni več poglobljenega in samostojnega dela. Čeprav je bilo že velikokrat povedano, matematika ni sama sebi namen. 10 Matematične naloge TIMSS za maturante

Povzetek skupnih ugotovitev učiteljev po analizi reševanja nalog TIMSS za maturante Po natančnem opazovanju doseženih rezultatov dijakov ter ogledu njihovih pisnih izdelkov smo odkrili, da lahko izluščimo nekatere splošne ugotovitve o poučevanju matematike, ki se kažejo v rezultatih. Na splošne gimnazije se vpisuje skoraj polovica populacije vseh slovenskih srednješolcev, učitelji v razredih pa zaznavamo širino interesov, motivacije in sposobnosti dijakov. Vemo, da so učitelji matematike časovno izjemno obremenjeni in da je na večini gimnazij s sedanjimi generacijami dijakov hkrati z izvedbo kurikula težko doseči še ustrezno raznolikost pri poučevanju matematike. Ko smo k temu dodali še naše izkušnje, so iz ugotovitev ob opazovanju reševanja nalog slovenskih dijakov nastale naslednje ideje za splošne spremembe in spodbude učiteljem maturitetne matematike: Pokazalo se je, da dijaki pogosto, mogoče tudi zaradi neustreznega pristopa, ne razumejo temeljnih pojmov in definicij. Učitelji bi se morali bolj posvečati teoretični obravnavi. Ne zadošča namreč, da dijake usmerjajo le v reševanje nalog. Pri vsakem tematskem sklopu je smiselno reševati naloge, ki se ne nanašajo zgolj na najpogostejše tipe nalog, ki se pojavljajo na maturi, kar dolgoročno zagotavlja kakovost usvojenega znanja. V izobraževanje vpletajmo tudi naloge z neznačilnimi besedili, ki bi jih bilo treba vnesti tudi v učbenike in zbirke nalog. Pri pouku matematike bi lahko nekoliko več pozornosti namenili nalogam izbirnega tipa, saj jih naši dijaki niso navajeni, v svetu pa so sorazmerno razširjene (naloga M5_02). Pogosto je takšne naloge mogoče rešiti z izločanjem nepravilnih rešitev. Zato je nujno, da pri teh nalogah zahtevamo od dijakov utemeljitev izbire odgovora in prikaz računanja kot pri nalogah z odprtim odgovorom. V splošnem bi morali učitelji dijakom večkrat pokazati več različnih metod za reševanje iste naloge in jih učiti reševati matematične probleme, na samo rutinske naloge (naloge M2_02, M4_11, M6_10). Več pozornosti moramo nameniti utemeljevanju in dokazovanju, predvsem v pisni obliki. Besedilne naloge so še vedno trd oreh za naše dijake. Pri nas rešujemo besedilne naloge, ko obravnavamo linearno enačbo, sisteme enačb, sklepni račun in odstotni račun, kvadratno enačbo, pri drugih poglavjih pa manj. Nekaj malega pokažemo tudi pri odvodu, vendar so ekstremalni problemi le na višji ravni mature. Namenimo torej pozornost besedilnim nalogam še v drugih poglavjih matematike (nalogi M6_03, M7_01). Matematične naloge TIMSS za maturante 11

Sestavni del učenja matematike je tudi ustno spraševanje, po katerem se slovenska šola loči od večine šol v drugih državah, kjer formalnega ustnega spraševanja največkrat sploh ne poznajo. Prav pri tem naj bi imeli dijaki priložnosti pokazati, koliko znajo povezati znanje različnih vsebin in koliko so vešči matematičnega sklepanja. Vendar je ustno spraševanje zaradi različnih formalnih omejitev v sedanjem poučevanju bolj ovira kot prednost, predvsem zaradi časovne zahtevnosti. Treba bi bilo poiskati rešitev, da bi izkoristili čas ustnega spraševanja tudi za razvijanje matematičnega sklepanja, iskanje idej za reševanje neobičajnih nalog in utemeljevanje matematičnih dejstev. Naši dijaki so slabo reševali naloge z drugih področij (na primer fizike), zelo neznane pa so jim besedilne naloge s področja ekonomije, saj ne poznajo temeljnih pojmov, kot sta strošek in dobiček. Obenem je dijake treba spodbujati, da je uspešnost reševanja odvisna predvsem od razmišljanja, ne le od poznavanja ustreznih formul. Pogosteje bi morali reševati uporabne naloge, povezane s prakso, s fiziko in kemijo, ter tako celostno predstaviti vlogo matematike (naloge M1_03, M4_03, M7_05). Posodobljeni učni načrt priporoča več medpredmetnega povezovanja, s katerim bi dijaki spoznali uporabnost matematičnega znanja. Pogosteje bi morali reševati naloge, ki so tako ali drugače povezane s parametri. Približujemo se porastu uporabe računalniške tehnologije pri pouku matematike, Smiselno je čim prej stopiti v korak s svetom in pri pouku začeti uporabljati novejšo tehnologijo za grafično prikazovanje matematičnih objektov in funkcij in simbolno računanje. Tehnologija naj bo koristen pripomoček. Z uporabo pravilno izbranih nalog bomo obdržali ali celo dvignili raven znanja matematike, saj tehnologija omogoča reševanje zahtevnejših nalog. Do takrat pa najmanj razvijajmo spretnost smiselne uporabe običajnih žepnih računal. Naloge, v katerih se pojavljajo parametri, bomo morali pogosteje uporabljati pri pouku. S približevanjem uporabi tehnologije pri pouku se povečuje pozornost do nalog, ki so za računanje s tehnološkimi pripomočki najbolj primerne. Naloge s parametri pa silijo dijake v klasični način reševanja, ki še vedno ostaja pomembni del razvijanja matematičnega mišljenja. Priporočljivo je, da pogosto rešujemo naloge, ki pri reševanju zahtevajo široko znanje različnih poglavij (nalogi M5_03, M5_04). Pri vsakem sklopu rešujmo naloge različnih kognitivnih ravni. Več pozornosti bi bilo dobro nameniti tudi nalogam, pri katerih morajo dijaki podatke odčitati z grafa funkcij. Nekatere naloge iz prvega in drugega letnika so reševali slabo, ker so snov pozabili, naloge iz četrtega letnika pa zato, ker snov morda še ni bila dovolj utrjena. Temu se lahko izognemo tako, da snov obravnavamo spiralno, saj se snov tako omenja večkrat. Pomembno se je zavedati, 12 Matematične naloge TIMSS za maturante

katera tematska področja se najpogosteje pojavijo le v nižjih letnikih (izjave, relacija deljivosti, vektorji), in jih načrtno vključevati v pouk vsa leta tudi v povezavah z drugo snovjo. Premalo poudarka dajemo pomenu aritmetične sredine, standardnega odklona in drugih pojmov iz statistike. Prepogosto dijake učimo le, kako te količine izračunati. Pri proučevanju nalog TIMSS se je pokazalo, da je poučevanje in tudi učbenike treba dopolniti z uporabnimi nalogami. Naloge je treba smiselno vključiti v pouk tako, da bodo dijaki imeli dovolj časa tudi za učenje reševanja takšnih nalog. Priporočila učiteljem po tematskih sklopih Naloge v raziskavi so obsegale različna vsebinska področja matematike. Dijakom so bile zastavljene mešano, ne da bi naloga napovedala, v katero področje spada. Ob analizi smo naloge opazovali znotraj pri nas uveljavljene delitve matematike na vsebinske sklope. Ob tem smo ugotovili, katere značilnosti so skupne nalogam istega področja. Izpeljali smo povzetke o nujnih korakih k spreminjanju sedanje prakse poučevanja maturitetne matematike, za katere verjamemo, da bi ugodno vplivali na znanje maturantov. Navajamo ideje in priporočila po sklopih našega učnega načrta. Osnove logike (7 ur) Poudariti je treba uporabo enega najbolj uporabnih orodij v matematiki in življenju nasploh logičnega mišljenja. Logično sklepanje se pogosto pojavlja pri kombinatoriki in verjetnosti v četrtem letniku. Takrat primanjkljaja logičnega razmišljanja ni več mogoče nadomestiti, zato je treba krepiti spretnost logičnega sklepanja vsa štiri leta gimnazije. Spodbujajmo dijake, da se udeležujejo tekmovanj iz logike, saj se tako samodejno dviguje kakovost usvojenega znanja tega tematskega sklopa. Številske množice (55 ur) Računanje s kompleksnimi števili vključujmo v različne tematske sklope (naloga M7_02). Algebrski izrazi, enačbe in neenačbe (30 ur) Reševanju nalog z algebrskimi izrazi je treba nameniti res veliko časa in na računanje z izrazi kar naprej opozarjati, saj se sicer pomanjkanje znanja vleče skozi ves izobraževalni proces (M2_01 in druge naloge, povezane z enačbami in neenačbami). Temeljito je potrebno utrditi reševanje neenačb (pri različnih vsebinah) in dovolj časa nameniti njihovi uporabi v praktičnih primerih. Matematične naloge TIMSS za maturante 13

Geometrija v ravnini in prostoru, liki in telesa (66 ur) Opozorimo dijake na različna enakovredna orodja za reševanje trikotnika in na različne postopke reševanja (naloga M5_10). Tudi geometrijske naloge lahko vključujemo v različne sklope (nalogi M2_06, M3_07). Pri geometriji je smiselno uporabljati programe za dinamično geometrijo (Geogebra, Riš). Vektorji v ravnini in prostoru (28 ur) Z mislijo na bodoče študente moramo opozoriti dijake, da v srednji šoli uporabljamo komponentni zapis vektorjev v obliki (a, b), vendar obstaja še možnost vektorskega zapisa (naloga M2_08). Smiselno je ponavljati vektorje, ko se pokaže priložnost (dokazi, različne poti reševanja nalog v tretjem in četrtem letniku), sicer se raven znanja v tretjem in četrtem letniku zelo zniža (naloga M3_09). Funkcije (190 ur) Iskanje presečišč krivulj je ena od temeljnih nalog poglavja o funkcijah. Poudarimo analogijo razmišljanja o funkcijah pri različnih tematskih sklopih (naloga M5_05). Dovolj časa je treba nameniti uporabi različnih oblik enačb premic in pretvarjanju v zahtevane oblike (naloga M2_07). Za kompozitum je treba poudariti, da operacija ni komutativna oziroma poudariti razliko med zapisoma f(g(x)) in g(f(x)) (naloga M1_01). Kompozitum je smiselno utrjevati spiralno, uvedemo pa ga lahko že v 1. letniku, pri risanju funkcij g(x) = f(x) in pri linearnih funkcij. Nato pojem kompozituma utrjujemo pri ostalih funkcijah v drugem in tretjem letniku. Dovolj zgodaj se morajo dijaki naučiti načrtovati grafe funkcij, ki so odsekoma elementarne in to tudi pogosto vaditi (naloga M1_02). Reševanje različnih neenačb je treba učiti že v prvem letniku in jih utrjevati tudi v naslednjih treh. Računsko reševanje povezujemo z grafičnim načinom. Pri tem je zelo smiselna uporaba tehnologije (nalogi M2_03, M6_02). Sklopu o transformacijah v ravnini ne namenjamo dovolj časa. Dijaki naučenih postopkov ne razumejo vedno, temveč jih znajo izvajati le v dovolj preprostih primerih, sicer pa ne, zato je pri učenju transformacij v ravnini smiselno uporabljati sodobne tehnologije (naloge M2_04, M3_06, M5_09). Namenimo pozornost pravilnemu zaokroževanju in pravilni uporabi vrste kotne funkcije (nalogi M4_10, M7_10). 14 Matematične naloge TIMSS za maturante

Kaj je logaritem? Pogosto dijaki ne poznajo odgovora na to vprašanje, ki je bistveno za dobro razumevanje. Težave nastanejo tudi zato, ker si pod pojmom logaritem ne predstavljajo ničesar, zato se snov omeji le na uporabo pravil. Poleg tega je zelo priporočljivo, da rešujemo naloge, povezane s praktičnimi primeri, saj da takšna obravnava logaritmom ustrezno težo. Vpletajmo logaritme tudi v druge tematske sklope. Nujno je treba zagotoviti, da bodo dijaki poznali definicijo kotnih funkcij poljubnih kotov na enotski krožnici (naloga M6_10), in jih naučiti, kako prikaz na enotski krožnici uporabiti kot pripomoček pri reševanju nalog. Za boljše razumevanje definicij kotnih funkcij poljubnih kotovje priporočljivo uporabljati računalniške programe za dinamično geometrijo. Stožnice (20 ur) Pogosteje povezujmo krivulje drugega reda z drugimi tematskimi sklopi, saj dijaki sicer zelo hitro pozabijo celo temeljne pojme (naloga M6_09). Zaporedja in vrste (32 ur) Obravnave matematične indukcije ne smemo zanemarjati. Priporočljivo je večkrat preveriti razumevanje postopka dokazovanja s popolno indukcijo in ne le reševati nalog po receptu. Največja težava pri sklopu zaporedja in vrste so formule, ki jih dijaki hitro pozabijo, če jih ne razumejo. Učitelji naj bodo pri razlagi vztrajnejši, da bodo dijaki formuli za splošni člen aritmetičnega in geometrijskega zaporedja dobro razumeli in zato manj pogosto pozabili. Dovolj časa naj se posveti obravnavi neskončne geometrijske vrste in njeni uporabi na geometrijskih primerih (naloga M3_08). Diferencialni račun (30 ur) Učitelji in dijaki se bolj osredotočajo na tehniko odvajanja kot pa na razumevanje pojma odvod (limita) in na geometrijski pomen odvoda. Dobro je, če se teoretični obravnavi nameni dovolj truda (nalogi M4_06, M5_06, M6_07). Podobna težava je pri zveznosti, ki je potisnjena v ozadje, čeprav bi njeno obravnavo učitelji lahko izkoristili za temeljit pregled in obravnavo elementarnih funkcij (glejte pripombe o funkcijah) (naloga M3_05). Limite so pri pouku v mnogih razredih potisnjene v ozadje, zato je priporočljivo, da so učitelji pozorni na njihovo uporabo pri različnih tematskih sklopih ter poudarijo njihovo uporabno vrednost pri funkcijah, pa tudi povezanost limit z drugimi tematskimi sklopi (naloge M1_04, M3_07, M6_04). Matematične naloge TIMSS za maturante 15

Odvod kompozituma je zahteven. Malo dijakov razume ta segment odvajanja in mnogi učitelji imajo težave z razlago. Včasih pomaga, če učitelj dijakom prikaže (razloži) odvod kompozituma kot odvod z novo spremenljivko: če vpeljemo novo spremenljivko t = g(x), izračunamo (f (t)) = f (t) t (naloge M1_06, M2_05, M6_05, M7_04, M7_09). Številni učitelji tako imenovane ekstremalne probleme pri izvedbenem kurikulumu izpuščajo, kar ni smiselno, saj ti problemi matematiko povezujejo z vsakdanjim življenjem in ji dajejo uporabno vrednost. Osnovne naloge z ekstremalnimi problemi naj bi znali dijaki ne glede na izbiro ravni matematične mature (nalogi M2_06, M4_07). Smiselno je definirati tudi višje odvode, čeprav presegajo učni načrt, saj gre za naravno nadgradnjo prvega odvoda (naloga M4_05). Integralski račun (20 ur) Delo v četrtem letniku je treba zastaviti tako, da na koncu ne prihaja do časovne stiske in da je vsa snov preverjena, če že ne ocenjena. Pogosto se zaradi časovne stiske sklopi o integralih ali o kombinatoriki in verjetnosti ne obravnavajo dovolj korektno. Razumevanju definicij (teoretični razlagi) nedoločenega in določenega integrala je treba nameniti dovolj časa. Dovolj časa naj bo tudi za uporabo določenega integrala (ploščine, vrtenine). Pri uvedbi določenega integrala je smiselno uporabiti IKT (naloge M3_04, M4_08, M5_05, M5_07, M7_08, M7_09). Kombinatorika, verjetnostni račun (32 ur) Sklopoma o kombinatoriki in verjetnosti se profesorji in dijaki teoretično ne posvečajo dovolj in zato dijaki naučenih postopkov ne razumejo, temveč jih znajo izvajati zgolj v dovolj preprostih primerih. Nekateri učitelji obema sklopoma namenijo le nekaj ur, da bežno obravnavano teorijo podkrepijo le s preprostimi primeri, kar je dijakom v škodo. Paziti je treba, da dijak v nalogi vidi teoretično povezavo z osnovnim izrekom kombinatorike in pravilom vsote. Priporočamo, da se vsaj pri začetnih zgledih posvetimo reševanju zelo načrtno: Zgled: Miha bo oblekel bodisi kavbojke bodisi slovesno obleko. Če bo oblekel kavbojke, jih lahko obleče v kombinaciji s petimi majicami in štirimi pari športnih copatov. Če bo oblekel slovesno obleko, pa ima na voljo tri pare čevljev in pet srajc. Na koliko načinov se lahko obleče? Miha lahko izbira bodisi med m možnostmi iz prve množice izborov (kombinacije oblačil s kavbojkami) bodisi med k možnostmi iz druge množice izborov (kombinacije oblačil z obleko). Po pravilu vsote je število vseh izborov m + k. 16 Matematične naloge TIMSS za maturante

Izračun m: prvi korak odločanja je izbiranje majice na 5 načinov. Drugi korak odločanja je izbiranje športnih copat na 4 načine, ki je neodvisno od prejšnjega izbiranja. Po osnovnem izreku kombinatorike je m = 5 4 = 20. Izračun k: prvi korak odločanja je izbiranje srajce na 5 načinov. Drugi korak odločanja je izbiranje čevljev na 3 načine, ki je neodvisno od prejšnjega izbiranja srajce. Po osnovnem izreku kombinatorike je 5 3 = 15. Glede na pravilo vsote se lahko Miha obleče na m + k = 35 načinov. Na začetku pravkar opisane obravnave najbrž res porabimo več časa, a se to povrne v obliki boljšega znanja (naloga M4_02). Statistika (10 ur) Statistika je eno najosnovnejših orodij v različnih znanostih, a se ji glede na pomembnost in uporabnost premalo posvečamo (nalogi M1_05, M3_03). Spodbujajmo seminarsko delo dijakov in zanimajmo se, kakšno statistiko uporabljajo pri seminarskih ali raziskovalnih nalogah pri drugih predmetih. Res je, da so vse omenjene spodbude časovno zahtevne in odvisne od sposobnosti dijakov ter zato včasih težko izvedljive. Opažamo, da se na gimnazijah vedno bolj posvečamo dijakom s težavami pri matematiki, ki jih je vedno več, za marsikaj matematično lepega in zahtevnejšega pa zmanjka časa. Želimo si, da bi učitelji ideje razumeli kot spodbudo in podporo svojemu delu. Matematične naloge TIMSS za maturante 17

TIMSS in matura Tako matura kot TIMSS preverjata znanje dijakov četrtih letnikov splošnih gimnazij. Pri raziskavi TIMSS preverjajo predvsem tradicionalna matematična področja (algebro, analizo in geometrijo) s pomočjo nalog z izbirnimi odgovori in z nalogami odprtega tipa. Številne naloge so uporabne in zahtevajo celostno matematično znanje ter povezave tudi z drugimi predmeti. V naših učbenikih in zbirkah vaj takih nalog trenutno ni, vendar nov učni načrt že spodbuja k reševanju uporabnih nalog, ki bi pripomogle k razgibanosti matematičnega pouka. Pri maturi ni nalog izbirnega tipa, pač pa mora biti pri vseh nalogah jasno vidna dijakova pot do rešitve. Prav tako pri opravljanju mature iz matematike ni uporabnih nalog, pri katerih bi dijaki morali povezati znanje, metode reševanja in razumevanje besedila. Želeli bi si, da bi tudi pri maturi imeli take naloge. To bo mogoče šele, ko se bodo uveljavile pri pouku. Raziskava TIMSS je bila za dijake obsežnejša od mature, saj je bilo za reševanje posameznega zvezka, v katerem je bilo približno 30 nalog, namenjenih 90 minut, medtem ko matura na osnovni ravni obsega 12 nalog, za katere imajo dijaki 120 minut časa. Tisti dijaki, ki opravljajo maturo na višji ravni, imajo na voljo prvih 90 minut za naloge osnovne ravni, nato pa še 90 minut za tri strukturirane naloge. Vendar pa maturo sestavljata pisni in ustni del, pri katerem dijak pokaže znanje matematične teorije, česar pri TIMSS ni. Še boljše primerjave bomo lahko oblikovali, ko bomo opravili načrtovano vzporedno analizo dosežkov dijakov pri obeh merjenjih znanja. Ker so danes dijaki po svetu navajeni, da si pri reševanju nalog pomagajo z računali, so bile naloge v raziskavi TIMSS izbrane tako, da so bili dijaki, ki so uporabljali tehnološke pripomočke, le v majhni in merljivi prednosti pred dijaki, ki grafičnih računal ali računal s simbolnim računanjem niso imeli. Tudi pri maturi bo treba podobno izbirati naloge glede na to, da novi katalog ne omejuje tipa računala, ki ga dijaki uporabljajo. Naloge TIMSS po zahtevnosti in vsebinah presegajo maturitetne, vendar je med njimi tudi nekaj takih, ki so po obliki in zahtevnosti sorodne. Obe preverjanji, TIMSS in matura, preverjata veliko snovi naenkrat, torej pregledno znanje, ki naj bi ga dijaki usvojili po 12 letih učenja matematike. 18 Matematične naloge TIMSS za maturante

Pogled učiteljev na dosežke slovenskih maturantov v nalogah raziskave TIMSS V nadaljevanju so prikazane naloge raziskave, dosežki in njihova razlaga. Naloge raziskave TIMSS za maturante so bile združene v sedem sklopov. Vsak sklop je vseboval približno deset nalog. V vsaki od štirih različic preizkusa so bili trije sklopi. Razen dveh sklopov so bili vsi vključeni v dve različici preizkusa. Tukaj so naloge prikazane, kakor so si sledile v sklopih od prvega do sedmega. Vsaka naloga je v naslovu označena z opisom vsebine, področjem matematike in kognitivnim področjem, kamor je bila umeščena mednarodno in lahko odstopa od slovenske umestitve matematičnih vsebin na področja. V oklepaju so navedene še identifikacijska številka naloge v bazi nalog TIMSS ter oznaka naloge v sklopu: M za matematiko, številka sklopa in zaporedna številka naloge znotraj sklopa. Nekatere naloge so bile ob statistični analizi izvzete iz mednarodne analize, ker njihove merske značilnosti niso zadoščale za statistične izračune. Te naloge niso prikazane v knjižici, kakor se vidi tudi iz zaporedja številk nalog v nekaterih sklopih. Za nalogami z odprtimi odgovori je naveden način vrednotenja, to je, kateri odgovori dijakov so se šteli za pravilne, deloma pravilne ali napačne. Napačni odgovori so dobili številske oznake, večje od 70. Oznaka 79 pomeni splošni nepravilni odgovor, ki zaradi večje preglednosti ni navedena med pravili vrednotenja. Posebej so se šteli primeri, kjer dijaki niso napisali ničesar. Ti odgovori so označeni kot manjkajoči. Kratke naloge z odprtim odgovorom so bile vredne eno točko. Njihovi pravilni odgovori so dobili številske oznake med 10 in 19, delno pravilnih odgovorov pa ni bilo. Daljše ali sestavljene naloge z odprtim odgovorom so bile vredne dve točki. Popolnoma pravilni odgovori so dobili oznake med 20 in 24 in dve točki, delno pravilni pa med 10 in 19 in eno točko. Odgovori, pridobljeni s pomočjo kalkulatorjev, so dobili druge številke oznake kot odgovori, pridobljeni brez kalkulatorja. V tabelah rezultatov se stolpci nanašajo na izbirne odgovore, ki so označeni v nalogi s črkami A do E ali na številske oznake odprtih odgovorov v pravilih vrednotenja. Z zvezdico je označen pravilni odgovor. Naloge drugega, četrtega in petega bloka, ki niso objavljive, nadomeščajo opisi besedila in izbirnih odgovorov ali pravil za vrednotenje odprtega odgovora, ki ga je dijak moral zapisati samostojno. Učitelje vabimo, da si po opisih zamislijo svoje nalogo, da jih uporabijo pri pouku, kakor si želimo, da bi storili tudi pri nalogah z izbirnimi odgovori. Matematične naloge TIMSS za maturante 19

Kompozitum funkcij: algebra poznavanje dejstev (MA13001 M1_01) Funkciji f in g sta definirani takole: f ( x) = x 1 in g( x) = ( x + 3) 2. g( f ( x)) je enako: a ( x 1)( x + 3) 2 2 b ( x + 3) 1 c ( 2x 2) 2 d ( x + 2) 2 MA13001 e x 2 + 8 Dosežki: odstotni deleži odgovorov dijakov po državah A B C D* E Manjkajoči Pravilni Država Armenija 10,4 12,6 6,3 60,4 3,5 6,8 60,4 Filipini 25,1 17,2 3,4 49,9 3,9 0,5 49,9 Iran 1,9 3,0 1,0 91,4 0,3 2,3 91,4 Italija 23,9 13,0 2,6 50,0 1,6 8,8 50,0 Libanon 1,3 3,0 0,6 93,6 0,4 1,1 93,6 Nizozemska 10,8 4,6 3,2 76,3 2,4 2,7 76,3 Norveška 38,6 14,0 5,9 28,9 5,6 7,0 28,9 Ruska federacija 10,5 5,5 1,8 80,0 1,2 1,0 80,0 Slovenija 13,8 12,8 2,6 67,6 1,2 2,0 67,6 Švedska 25,6 14,5 6,3 43,8 5,9 3,9 43,8 Mednarodno povprečje 16,2 10,0 3,4 64,2 2,6 3,6 64,2 Slovenija Višja raven mature 2,3 4,3 2,1 90,6 0,0 0,7 90,6 Osnovna raven mature 16,6 15,2 2,5 61,6 1,6 2,4 61,6 Besedilo naloge Naloga je povsem običajna naloga o kompozitumu funkcij za četrti letnik. 20 Matematične naloge TIMSS za maturante

Rezultat Dve tretjini pravilnih odgovorov je dober rezultat. Razlika v dosežku dijakov višje in osnovne ravni je pričakovano visoka, saj kompozitum funkcij ni zahtevano znanje za osnovno raven mature iz matematike. Rezultat je dober tudi, ker je bila za dijake snov še sveža. Pri napačnih odgovorih prevladuje odgovor A, ki navaja produkt obeh funkcij, kar kaže na nerazumevanje zapisa za kompozitum med dijaki. Drugi najpogostejši napačni odgovor je bila funkcija f (g (x) ). Dijaki, ki so izbrali tega, sicer razumejo tehniko izračuna kompozita, vendar so verjetno zaradi nepozornosti ali nenatančnega branja zamenjali vrstni red sestavljanja funkcij. Pomen naloge za poučevanje matematike pri nas Naloga je značilna šolska naloga, primerna za utrjevanje snovi kompozituma funkcije za osnovno in višjo raven ter je ustrezno zastavljena. Besedilo naloge je dobro. Razvidno je, kaj mora dijak narediti. Dobra je tudi kot značilen primer, na katerem se da pokazati, da kompozitum ni komutativen. Morda bi lahko nalogo izboljšali, če bi bilo v besedilu naloge zapisano: kompozitum g ( f (x) ), da bi še z besedo poudarili zahtevan pojem. Ker imajo dijaki navadno težave z razumevanjem pojma kompozituma funkcij, lahko razumevanje poglobimo z nalogami, v katerih naredimo kompozitum treh ali več funkcij. Dijaki pogosto ne razumejo, zakaj funkcije sestavljamo v nove funkcije. Pojasnimo jim, da elementarne funkcije, ki smo jih obravnavali, pogosto ne zadostujejo za opis primerov iz življenja. S podobnimi nalogami lahko utrjujemo pojem definicijskega območja. Pojem kompozitum funkcij je za dijake zelo abstrakten. Lahko jim ga približamo z naslednjim primerom: če je funkcija f (x) = x 2 +1, koliko je f (1), f (x+2), f (x 2 ), f ( x), f ( x )? Čeprav je kompozitum za povprečne dijake težja snov, jo ob ustrezni obravnavi usvojijo brez večjih težav. Znanje kompozituma je pomembno. Čeprav je kompozitum del snovi, zahtevane za višjo raven mature, ga obravnavamo v četrtem letniku pri pouku za vse dijake, ker ga potrebujejo za računanje odvodov sestavljenih funkcij, ki so zahtevana snov na osnovni ravni matematične mature. Ker je spremenjeni učni načrt prilagodljiv glede časovne obravnave snovi, predlagamo spiralno obravnavo kompozituma v vseh štirih letih. S sestavljenimi funkcijami bi se dijaki lahko srečali že v prvem letniku, najpozneje pa v drugem pred uvedbo inverzne funkcije. Naloge, v katerih nastopa kompozitum, lahko vključujemo v obravnavo poljubnih funkcij in jih nazadnje utrjujemo pri računanju odvoda posredne funkcije. Če dijaki razumejo pojem kompozituma, se odvajanja posrednih funkcij lažje naučijo (naloge M1_06, M2_05 in M6_05). Matematične naloge TIMSS za maturante 21

Graf funkcije: algebra sklepanje (MA13002 M1_02) Funkcija f je definirana takole : f ( x) = x 1 ko je 2 < x 1 f ( x) = x +1 ko je 1 < x 0 f ( x) = x +1 ko je 0 < x 1 f ( x) = x 1 ko je 1 < x 2 Katera od slik je graf funkcije f? a f(x) b f(x) 1 1 2 1 0 1 2 x 2 1 0 1 2 x c f(x) d f(x) 2 1 1 e 2 1 0 f(x) 1 2 x 0 1 2 1 x 1 MA13002 2 1 0 1 1 2 x 22 Matematične naloge TIMSS za maturante

Dosežki: odstotni deleži odgovorov dijakov po državah A* B C D E Manjkajoči Pravilni Država Armenija 48,3 11,0 9,6 5,6 10,2 15,3 48,3 Filipini 38,4 13,2 25,0 6,8 15,7 1,1 38,4 Iran 63,8 2,2 15,5 2,4 10,6 5,5 63,8 Italija 50,9 9,5 9,2 5,1 14,5 10,8 50,9 Libanon 69,4 3,7 7,1 3,3 11,9 4,6 69,4 Nizozemska 87,4 1,1 1,8 1,7 6,2 1,9 87,4 Norveška 43,2 13,9 7,0 9,0 17,2 9,7 43,2 Ruska federacija 75,0 2,8 7,3 3,1 10,9 0,9 75,0 Slovenija 55,4 8,4 5,3 7,2 19,1 4,6 55,4 Švedska 41,4 12,3 7,2 10,4 22,1 6,7 41,4 Mednarodno povprečje 57,3 7,8 9,5 5,5 13,8 6,1 57,3 Slovenija Višja raven mature 83,1 1,2 0,7 4,1 9,6 1,2 83,1 Osnovna raven mature 48,5 9,9 6,6 8,2 21,6 5,2 48,5 Besedilo naloge Naloga zahteva, da dijaki med petimi grafi prepoznajo pravilni graf sestavljene funkcije iz linearnih kosov. Sestavljena funkcija je v nalogi zapisana drugače, kot so dijaki vajeni. Pri nas se v gimnaziji sestavljene funkcije zapisujejo v obliki z zavitim oklepajem, oznaka f(x) pa se zapiše samo enkrat. Točko, ki ne pripada grafu, pri nas grafično označimo s puščico, v nalogi pa je označena s praznim krožcem. Oboje bi lahko zmotilo dijake, ki niso popolnoma zanesljivi v svojem znanju. Rezultat Naloga je lahka in primerna za vse dijake, zato bi rezultat lahko bil boljši. Najpogostejši napačni odgovor je bil odgovor E, ki ga je izbrala petina dijakov. Dijak bi prišel do odgovora, ki kaže graf odsekoma linearne funkcije, če bi pri risanju grafa vsakega linearnega kosa sklepal, da je izhodišče koordinatnega sistema vsakič v začetni meji intervala. Naloga opozarja, da je med dijaki osnovne ravni matematike kar nekaj takih, ki ne prepoznajo, kdaj je narisani graf sploh graf funkcije in ne vedo, da je osnovna lastnost funkcije, da vsakemu x priredi natanko eno vrednost. Primer odgovora D ponuja dobro idejo za preverjanje tega nerazumevanja. Matematične naloge TIMSS za maturante 23

Pomen naloge za poučevanje matematike pri nas Snov naloge spada v maturitetno snov osnovne ravni, ki se obravnava v prvem letniku gimnazije. Naloga zahteva od dijakov dobro poznavanje grafa linearne funkcije. Takšne naloge, v katerih je funkcija sestavljena iz več delov, so v naših učbenikih precej pogoste pri različnih funkcijah, ne le pri linearni, vendar dijaki pri pouku verjetno redkeje srečajo funkcije s kar štirimi predpisi. Naloga je primerna za preverjanje razumevanja pojma funkcije in njenega grafa. Razširimo jo lahko še na druge pojme, povezane s funkcijo (definicijsko območje, zaloga vrednosti, ničla, začetna vrednost). Nalogo bi lahko razširili še s tabelo, ki jo dijaki dopolnijo: x = 2 1,5 0 1/3 2 f (x) = Snov bi lahko spiralno nadgrajevali v višjih letnikih, ko lahko poleg linearne funkcije vključimo tudi druge funkcije. Boljše razumevanje lahko dosežemo, če nalogi damo nekaj vsebine, v četrtem letniku tudi zveznost, limito in odvedljivost funkcij. Dijaki bi lahko poskusili izračunati. Tudi v naslednji nalogi najdemo odsekoma podano funkcijo. Naloga je primerna za drugi ali četrti letnik. Zgled: Ko letalo začne pristajati, je njegova hitrost v prvih štirih sekundah podana z enačbo v = 50 + 50 e ( t), 0 t 4, pri čemer čas t merimo v sekundah in hitrost v m/s. Po 4 sekundah začne hitrost enakomerno padati in letalo se ustavi po 11 sekundah od začetka pristajanja. (a) Nariši graf hitrosti v odvisnosti od časa. (b) Kakšno pot prepotuje letalo v prvih 4 sekundah? (c) Izračunaj pojemek po 4. sekundi od začetka pristajanja. (d) Izračunaj pot, ki jo letalo opravi v času od t = 4 do t = 11. 24 Matematične naloge TIMSS za maturante

Primerjava funkcij: algebra sklepanje (MA13003 M1_03) Na voljo imamo dva matematična modela za napoved dobička y (v evrih) pri prodaji x tisoč kosov nekega izdelka (pri čemer je 0 < x < 5). Modela P in Q temeljita na različnih tržnih metodah: model P: y = 6x x model Q: y = 2x Za katere vrednosti x predvideva model Q večji dobiček kot model P? a 0 < x < 4 b 0 < x < 5 c 3 < x < 5 2 MA13003 d 3 < x < 4 e 4 < x < 5 Dosežki: odstotni deleži odgovorov dijakov po državah A B C D E* Manjkajoči Pravilni Država Armenija 11,3 8,4 16,7 12,1 24,0 27,5 24,0 Filipini 12,3 16,5 18,8 9,9 41,1 1,4 41,1 Iran 12,4 5,1 8,4 6,9 42,0 25,2 42,0 Italija 17,2 8,6 10,1 5,8 39,5 18,8 39,5 Libanon 21,6 7,4 4,1 4,1 53,7 9,0 53,7 Nizozemska 15,2 1,5 1,7 1,2 78,1 2,1 78,1 Norveška 11,0 7,0 10,0 6,3 58,5 7,2 58,5 Ruska federacija 16,6 5,9 7,1 4,1 63,2 3,2 63,2 Slovenija 18,9 5,3 8,4 6,4 53,1 8,0 53,1 Švedska 8,3 8,3 12,2 7,4 55,3 8,5 55,3 Mednarodno povprečje 14,5 7,4 9,7 6,4 50,9 11,1 50,9 Slovenija Višja raven mature 16,5 2,4 2,5 4,1 70,3 4,2 70,3 Osnovna raven mature 19,6 5,7 10,2 6,7 48,7 9,0 48,7 Besedilo naloge Naloga je imenitna nestandardna matematična naloga, ki govori o dveh matematičnih modelih izračuna dobička pri prodaji izdelkov. Prvi model je kvadratna funkcija, drugi pa linearna funkcija. Dijaki so morali ugotoviti, za kateri del definicijskega območja so vrednosti linearne funkcije večje od vrednosti kvadratne funkcije. Naloga preverja tudi znanje reševanja neenačb. Pri opazovanju odgovorov nismo opazili, da bi si dijaki pomagali z risanjem grafov funkcij. Matematične naloge TIMSS za maturante 25

Rezultat Najpogostejši napačni odgovor so izbrali dijaki, ki so nepravilno postavili simbol za neenakost. Naloga je našim dijakom tuja, zato je odstotek tistih, ki so jo rešili pravilno, zelo dober. Ker je nalogo mogoče rešiti tudi s poskušanjem, je uspešnost reševanja kljub nenavadnemu besedilu precej velika. Pomen naloge za poučevanje matematike pri nas Veliko dijakov gotovo ni vedelo, kako naj se naloge lotijo, saj rešujemo premalo nalog, v katerih bi se videla uporabnost poučevane snovi ali pridobljenega znanja v različnih strokah. Po starem učnem načrtu ni bilo predvidenega veliko medpredmetnega povezovanja, po posodobljenem pa naj bo tega čim več. Naloga je lep primer medpredmetnega povezovanja z ekonomijo, sestavimo pa lahko podobne naloge tudi za povezovanje z drugimi področji. Pri vsaki podobni nalogi se moramo najprej prepričati, ali dijaki razumejo pojme, ki nastopajo, sicer naloge ne morejo rešiti. Priporočamo, da se naloga rešuje kot primer uporabe reševanja neenačb. Lahko sta tudi oba modela kvadratna. Če dijaki uporabljajo tehnologijo, sta lahko modela še boj zapletena, na primer en eksponentni in en kvadratni model. Navajamo primer naloge, v kateri se pojavljata linearni in eksponentni model. Nalogo rešujemo s pomočjo tehnologije. Zgled: Ana in Bor se pripravljata na tekaško tekmovanje. Ana se je odločila, da prvi teden preteče 10 km, potem pa vsak nadaljnji teden po 1 km več. Bor se odloči, da preteče prvi teden le 5 km, potem pa razdaljo povečuje za 20 % na teden. Zapiši enačbi, ki opisujeta pretečene kilometre v n-tem tednu. Čez koliko časa bo Bor pretekel več km na teden kot Ana? Če nalogo rešujemo v četrtem letniku, lahko dodamo še naslednje vprašanje: Čez koliko časa bo vsota vseh km, ki jih je na treningih pretekel Bor, večja od vsote km, ki jih je pretekla Ana? Naloge, v katerih se poveže teorija s praktičnimi izračuni, so zelo dobrodošle za reševanje v razredu. Dijaki pogosto obupajo pri besedilnih nalogah, ker ne znajo uporabljati pridobljenega znanja, tudi če so naloge lahke. Smisel gimnazijske matematike pa je povezovanje znanja, ne samo reševanje nalog po»receptih«. 26 Matematične naloge TIMSS za maturante

Limita: analiza poznavanje dejstev (MA13004 M1_04) lim x + ( 2x + 1)( x + 1) 2 3x 2 je enaka a 1 2 b 2 3 c 1 d 6 MA13004 e Dosežki: odstotni deleži odgovorov dijakov po državah A B* C D E Manjkajoči Pravilni Država Armenija 7,6 47,0 15,8 5,7 8,5 15,4 47,0 Filipini 14,2 30,7 10,0 7,2 36,5 1,5 30,7 Iran 2,1 87,0 1,6 0,4 4,1 4,9 87,0 Italija 3,2 75,1 6,9 0,3 9,9 4,7 75,1 Libanon 0,4 93,3 1,4 0,3 2,9 1,8 93,3 Nizozemska 6,5 69,3 7,3 1,4 11,7 3,8 69,3 Norveška 13,8 37,0 11,8 5,9 18,3 13,1 37,0 Ruska federacija 7,8 63,6 8,5 3,8 11,3 5,1 63,6 Slovenija 14,8 51,1 8,7 2,7 14,0 8,7 51,1 Švedska 17,2 27,4 15,0 5,4 25,3 9,6 27,4 Mednarodno povprečje 8,8 58,2 8,7 3,3 14,2 6,8 58,2 Slovenija Višja raven mature 10,5 76,2 2,8 0,7 7,0 2,7 76,2 Osnovna raven mature 15,8 44,3 10,1 3,2 16,2 10,4 44,3 Besedilo naloge Naloga zahteva izračun limite racionalne funkcije, ki ima v števcu in imenovalcu polinom druge stopnje. Navodilo naloge je jasno in jedrnato zapisano. Večina dijakov naj bi nalogo rešila, saj so takšne naloge pogoste pri pouku v četrtem letniku gimnazije. Matematične naloge TIMSS za maturante 27

Rezultat Čeprav je naloga precej preprosta, je le dobra polovica dijakov odgovorila pravilno. Rezultat je torej sorazmerno nizek. Dijaki, ki razumejo pojem limite in povezujejo pridobljena znanja, vedo, da so tako vprašanje srečali že trikrat: pri obravnavi vodoravne asimptote, limite zaporedij in funkcij. Najpogostejša napačna odgovora sta bila A in E. Dijaki, ki so izbrali odgovor A, so verjetno za x vstavili 0 ali gledali prosta člena. Napačen odgovor E kaže na to, da dijaki niso vedeli, kako naj se naloge sploh lotijo. Oboje opozarja na obseg značilnih napak pri naših dijakih. Pomen naloge za poučevanje matematike pri nas Naloga je enostavna, primerna za obe ravni mature. Nalogo lahko uporabimo samostojno ali kot iskanje asimptote pri risanju grafa racionalne funkcije. Ob vertikalnih asimptotah razložimo še pojem neskončne limite. Morda bi bilo dobro, če bi pri razlagi dali nalogi nekaj vsebine. Poleg matematičnega pomena limite v neskončnosti kot vodoravne asimptote v tem primeru lahko oblikujemo nalogo tudi z vsebinskim ozadjem. Ustrezna racionalna funkcija s primerno začetno vrednostjo v x = 0 bi lahko predstavljala gibanje delnice, dijaki pa bi lahko ugotavljali vrednost delnice po zelo dolgem času. 28 Matematične naloge TIMSS za maturante