ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ - Σχόλια ιάρκεια : 3 ώρες Ηµεροµηνία : 2/4/2016 Θέµα 1ο - Κατηγορίες Συστηµάτων - 20 µονάδες Ελέγξτε αναλυτικά αν το παρακάτω σύστηµα είναι (αʹ) (8 µ.) χρονικά αµετάβλητο (ϐʹ) (8 µ.) ευσταθές (γʹ) (4 µ.) αιτιατό y(t) = x(t) + e x(2 t) Το πλέον εύκολο ϑέµα της προόδου, έχετε δει πολλά παρόµοια σε διαλέξεις, ασκήσεις, ϕροντιστήρια. Οι περισσότεροι/ες το λύσατε σωστά. Είδα κάποια µαργαριτάρια, όπως π.χ. στην ευστάθεια, εξετάζατε τη συµπεριφορά του t στο άπειρο χωρίς να χρειάζεται, γράψατε ότι e x(2 t), αν και µόλις πριν είχατε γράψει ότι x(t) < B x, κλπ. Φάνηκε αρκετοί/ές από εσάς να µη γνωρίζουν ότι µετατόπιση ή αναστροφή του σήµατος δεν αλλάζει το ϕράγµα B x του. Στην ατιατότητα, αρκετά λάθη, απαντούσατε µε τον ορισµό της αιτιατότητας χωρίς να δοκιµάσετε να ϐάλετε µια-δυο ενδεικτικές τιµές στο t για να δείτε µήπως ϐγαίνει κάτι διαφο- ϱετικό.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πρόοδος 2 Θέµα 2ο - ΓΧΑ συστήµατα µε µη περιοδική είσοδο - 25 µονάδες Εστω το σήµα ( t x(t) = 2rect 2) το οποίο εµφανίζεται στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος µε κρουστική απόκριση h(t) = ɛ(t + 1) (αʹ) (15 µ.) Υπολογίστε την έξοδο του συστήµατος, y(t). (ϐʹ) (10 µ.) Βρείτε τους µετασχηµατισµούς Fourier, X(f), H(f), των x(t), h(t), αντίστοιχα. Κλασική και εύκολη συνέλιξη. Πολλοί/ές µπερδευτήκατε από το αρνητικό πρόσηµο του παλµού. Θεωρήσατε ότι η συνέλιξη είναι µηδέν επειδή δεν υπάρχει επικάλυψη (!) των σηµάτων. Η συνέλιξη είναι ένα ολοκλήρωµα που περιέχει ένα γινόµενο. Οπου υπάρχει µη µηδενικό γινόµενο µεταξύ δυο σηµάτων, η συνέλιξη είναι µη µηδενική, ανεξαρτήτως της γραφικής επικάλυψης των σηµάτων. Μεγάλο και σοβαρό πρόβληµα στην εκτίµηση των ολοκληρωµάτων!! Τόσο απλά ολοκλη- ϱώµατα και όµως κάνατε αρκετά λάθη, ενώ υποτίθεται είχατε εξασκηθεί στις σειρές ασκήσεων. Λίγοι/ες κάνατε λάθος στο σχεδιασµό των σηµάτων, αλλά πολλοί/ες κάνατε πολύ ϕτωχά σχή- µατα, χαµηλής ποιότητας. Οι µετασχ. Fourier ήταν τετριµµένοι, κι όµως αρκετοί/ες κάνατε λάθη στο 2ο µετασχη- µατισµό (του ɛ(t + 1)), µη εφαρµόζοντας σωστά (ή και καθόλου) την ιδιότητα της µετατόπισης.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πρόοδος 3 Θέµα 3ο - ΓΧΑ Συστήµατα µε περιοδική είσοδο - 15 µονάδες Εστω το σήµα x(t) = 3 cos(4t + π/3) το οποίο παρουσιάζεται ως είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστηµα µε απόκριση σε συχνότητα Βρείτε την έξοδο y(t) του συστήµατος. H(f) = 4 4 + (2πf) 2 Σχεδόν ολόιδιο µε παράδειγµα της ιάλεξης 14. Σκοπός ήταν να δώσει εύκολες 15 µονάδες, αλλά λίγοι/ες τις πήραν! Οσοι/ες αναγνώρισαν την περιοδική είσοδο και ήξεραν να τη χειριστούν σωστά, πολλές ϕορές έκαναν είτε αριθµητικά λάθη στο H(4/2π) είτε υπολόγιζαν ένα H(1/π)... Κάποιοι/ες πήγαν - ηρωϊκά - να το λύσουν στο χώρο της συχνότητας, κάνοντας µετασχ. Fourier στην είσοδο (µε σωστό ή λάθος τρόπο), αλλά δεν προχωρούσαν παραπέρα. Εγιναν απόπειρες να λυθεί µε κλασική συνέλιξη στο χώρο του χρόνου, µια και αρκετοί/ες από εσάς είδαν - σωστά - ότι το H(f) έχει αντίστρ. µετασχ. Fourier το h(t) = e 2 t. Οµως η προσπάθεια λύσης µε συνέλιξη κατέληγε άδοξα είτε από κακή σχεδίαση του e 2 t, είτε από άγνοια...
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πρόοδος 4 Θέµα 4ο - Σειρές Fourier και Μετασχηµατισµός Fourier - 35 µονάδες Εστω το περιοδικό µε περίοδο T 0 σήµα x(t) που δίνεται σε µια περίοδό του ως 1 2t, 0 t < T 0 x T0 (t) = T 2 0 T 0, 0 2 t < T 0 (αʹ) (2.5 µ.) Σχεδιάστε το x T0 (t) (µια περίοδο) στο χρόνο. (ϐʹ) (5 µ.) Βρείτε το d dt x T 0 (t) και σχεδιάστε το. (γʹ) (7.5 µ.) είξτε ότι ο µετασχ. Fourier, X T0 (f), του x T0 (t), είναι X T0 (f) = 1 ( 1 sinc j2πf ( ft0 2 ) ) e jπft 0/2 Hint: Χρησιµοποιήστε την ιδιότητα της παραγώγισης. (δʹ) (2.5 µ.) Σχεδιάστε την παράγωγο, dx(t), ολόκληρου του περιοδικού σήµατος στο χρόνο. dt (εʹ) (5 µ.) Γράψτε την παράγωγο, dx(t), του περιοδικού σήµατος ως άθροισµα δυο περιοδικών dt σηµάτων, και σχεδιάστε τα. (ϛʹ) (12.5 µ.) είξτε ότι οι συντελεστές Fourier, X k, του περιοδικού σήµατος x(t) δίνονται ως X k = 1 2π 2 k 2 ( 1 ( 1) k ) j 1 2πk Hint: Χρησιµοποιήστε την ιδιότητα της παραγώγισης. Αδιανόητα πολλά προβλήµατα στη σχεδίαση απλών σηµάτων!! Πάρα πολλά λάθη στη σχεδίαση του x T0 (t), τα οποία µεταφέρονταν - αναγκαστικά - και στα υπόλοιπα ερωτήµατα. Πολλοί/ες ξεχάσατε το δ(t) στην παράγωγο, λόγω της ασυνέχειας στην x T0 (t). Λίγοι/ες προσπαθήσατε το µετασχ. Fourier X T0 (f), οι περισσότεροι/ες µε τον ορισµό και χωρίς τη χρήση της παραγώγισης. Ακόµα λιγότεροι/ες προσπαθήσατε το τελευταίο ερώτηµα, στην πλειονότητά σας ξανά µε χρήση του ορισµού. Ενα ϑέµα που επαναλάµβανε τα ϐασικά της παραγώγισης σηµάτων που αποτελούνται από πλάγιες ευθείες µε ασυνέχειες, τα οποία είχαµε δει επανειληµµένως στο µάθηµα, και που Ϲητούσε ΒΑΣΙΚΗ σχεδίαση γραφικών παραστάσεων, κατέληξε να καταδείξει ότι έχετε τροµερά προβλήµατα σε σχεδιασµό στοιχειωδών συναρτήσεων...
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πρόοδος 5 Θέµα 5ο - Σειρές Fourier - 25 µονάδες Εστω το περιοδικό µε περίοδο T 0 σήµα x(t) µε συντελεστές Fourier και X k = 2 π 2 k 2 e jkπ, k 0 X 0 = 1 3 (αʹ) (10 µ.) είξτε ότι η ισχύς, P x, του περιοδικού σήµατος ισούται µε P x = 1 5. (ϐʹ) (15 µ.) Τι ποσοστό της συνολικής ισχύος του σήµατος είναι κατανεµηµένο στους τρεις πρώτους όρους της τριγωνοµετρικής Σειράς Fourier; ίνονται τα εξής : + k=1 1 k 4 = π4 90 17 ( 8 ) 0.087125 16 π 4 1 9 0.111 Ενα ϑέµα που λύθηκε σωστά από αρκετούς/ες. Παρόµοια έχετε δει στις διαλέξεις και σε σειρές ασκήσεων. Κάποιοι/ες δεν εφάρµοσαν µέτρο στους συντελεστές X k αλλά τους ύψωσαν - λανθασµένα - στο τετράγωνο, µε αποτέλεσµα να υπάρξει ένα e j2πk στο άθροισµα, το οποίο - σωστά - έδιωξαν ϑεωρώντας το ίσο µε µονάδα, καταλήγοντας σε σωστό αποτέλεσµα, µε λάθος τρόπο!... Στο ϐ) ερώτηµα, οι περισσότεροι/ες δεν το ϕτάσατε ως το τέλος, παρά ϐρήκατε έναν αριθµό - µερικές ϕορές χωρίς καν τη χρήση των σχέσεων που σας δίνονται - και σταµατούσατε εκεί. Άλλοι/ες ϑεωρήσατε ότι ο αριθµός αυτός είναι το ποσοστό (!!) που Ϲητείται και το µετα- ϕράσατε σε επί τοις εκατό!...
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πρόοδος 6 Στατιστικά Προόδου 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Μέση τιµή : 49.5 Τυπική απόκλιση : 23.6 Μέσος : 49 Σύνολο ϕοιτητών που προσήλθαν : 125 Εγγεγραµµένοι : 322 Αριθµός ϕοιτητών µε ϐαθµό B 50: 58, δηλ. το 46.4% Αριθµός ϕοιτητών µε ϐαθµό B < 50: 67, δηλ. το 53.6%