OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία κανόνα, με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με Σχόλια : Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :, Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα τιμών της και συμβολίζεται με A Είναι δηλαδή: A { y y για κάποιο A}, λέγεται σύνολο Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Απάντηση : Γραφική παράσταση της λέμε το σύνολο των σημείων M, y για τα οποία ισχύει y, δηλαδή το σύνολο των σημείων M,, με A Σχόλια : Η γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με Η εξίσωση, λοιπόν, y επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η y είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο Σχ 7α Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης Σχ 7β y C y 7 C O Α a O β Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C γ Η τιμή της στο Σχ 8 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C y y y = 8 C Α C C A, O Α α O β O γ Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και α Η γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M, που είναι συμμετρικά των M,, ως προς τον άξονα Σχ 9 y O Μ, Μ, 9 y= y= β Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν Σχ, y y= O y= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων α α β β α, α γ δ α, α ε, g Απάντηση : Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α, α α Η πολυωνυμική συνάρτηση α β y y y O O O a> a< a= βη πολυωνυμική συνάρτηση y α, α y O α> O α< γ Η πολυωνυμική συνάρτηση y α, α y O O α> α< δ Η ρητή συνάρτηση α, α y y O O α> α< ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ε Οι συναρτήσεις, g y y y y O O Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : α,, β α, α γ log, α Απάντηση : Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α α Οι τριγωνικές συναρτήσεις : ημ, συν, εφ y 6 O π π y y=ημ α O π π y y=συν β π/ O π/ π/ y=εφ γ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις T ημ και συν είναι περιοδικές με περίοδο π, ενώ η συνάρτηση εφ είναι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συνάρτηση α, α y y 7 α O α O α> α <α< β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ιδιότητες : Υπενθυμίζουμε ότι: Αν α, τότε: Αν α, τότε: γ Η λογαριθμική συνάρτηση log, α y y α 8 O α O α Ιδιότητες : α> α <α< β log y y α α log α α και log α α log α και log α log log log α α α log log log α α α k 6 log κlog α α α 7Αν α, τότε: log log, ενώ αν α α lnα 8 lnα α, αφού α α, log log α α Πότε δύο συναρτήσεις,g λέγονται ίσες ; Απάντηση : 7, Β, 6 Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει g 6 Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων,g ; Απάντηση : Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο g δύο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους : g g, g g, g g, g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Το πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g, δηλαδή το σύνολο : { A και B, με g } B, 7 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Απάντηση : Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με g, τη συνάρτηση με τύπο go g A A B gb g g g A Σχόλια : α Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A B} Είναι φανερό ότι η go ορίζεται,αν A, δηλαδή αν A B β Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει hogo hogo Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P Q P P P P P, P P, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii ln iv v vi 6 ln Λύση : i Πρέπει : & Άρα D, ii Πρέπει : [, ] Άρα D [, ] iii Πρέπει : και Έχω - + - + - Άρα επειδή θέλω [, ] Από & D [,,] iv Πρέπει : Άρα D, v Πρέπει : [, Άρα D [, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ vi Πρέπει :, είναι - + - + - Άρα επειδή θέλω,, Συναληθευοντας τους παραπάνω περιορισμούς έχω :, Όμως άρα ή Για είναι Για είναι Άρα,,, D ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii 6 iii iv 8 v vi vii viii 9 i 6 i ii ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ln ii ln iii ln iv ln v ln vi vii viii 7 i 7 7 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii ln 6 iii iv 9 v vi ln Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii ln iv ln ln v ln 6 vi ln

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ vii viii i i ii iii iv ln 6 ln 9 7 ln 6 ln ln ln ln 7 6 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ln 7 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ln, 8 Δίνεται η συνάρτηση :, 6 και i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε τους αριθμούς α,β iii Να βρείτε τις τιμές και iv Να λύσετε την εξίσωση, 6 9 Δίνεται η συνάρτηση :, 7 και i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε τους αριθμούς α,β iii Να βρείτε τις τιμές και iv Να λύσετε την εξίσωση για την οποία ισχύει : 8 για την οποία ισχύει :, Δίνεται η συνάρτηση, i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να υπολογίσετε το α ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρούμε τις συναρτήσεις : και g : Αν είναι, τότε με πεδίο ορισμού το ορίζουμε τις συναρτήσεις : Άθροισμα, με D και τύπο g g Διαφορά, με Πηλίκο, με g D και τύπο g g g Γινόμενο, με D g και τύπο g g Τέλος με πεδίο ορισμού το σύνολο / g D g / g και τύπο g g ορίζουμε τη συνάρτηση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αν και g ln, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g Λύση : Αρχικά πρέπει να βρούμε τα πεδία ορισμού των, g Για την πρέπει άρα D [, Για τη g ln πρέπει άρα D, D D D [, και g g ln g g D D D [, και g g ln g g D D D [, και g g ln g Για την g g πρέπει επιπλέον g ln ln ln Άρα D D D / g, g g ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : g Αν και g, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g Αν και g, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g Αν και g, να βρείτε τις συναρτήσεις Αν ln και g ln, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g g, g, g, g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Αν ln και ln g, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g, 7 Αν, g και, g, Να βρείτε τη συνάρτηση 8 Αν,, και, g, Να βρείτε τη συνάρτηση g 9 Δίνονται οι συναρτήσεις και g i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο των συναρτήσεων ii Να λύσετε την εξίσωση g iii Να λύσετε την ανίσωση g, g, g, g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συμβ C ισχύουν τα παρακάτω : Για όλα τα σημεία, y που ανήκουν στη C ισχύει y Δηλ, Πιο συγκεκριμένα το σημείο, y ανήκει στη C, αν και μόνο αν y Η C βρίσκεται πάνω από τον Η C βρίσκεται κάτω από τον Η C βρίσκεται πάνω από τη C g g Η C βρίσκεται κάτω από τη C g g ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ Η C τέμνει τον σε σημεία της της μορφής,, οπότε για να τα βρούμε λύνουμε την εξίσωση y Η C τέμνει τον y y σε σημεία της της μορφής, y, οπότε για να τα βρούμε, βάζουμε όπου το δηλ υπολογίζουμε το Για να βρούμε κοινά σημεία C και C g λύνουμε την εξίσωση g Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης : Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης : g c ή g c, c προκύπτει αν μετατοπίσουμε την C κατακόρυφα κατά c μονάδες προς τα πάνω ή προς τα κάτω αντίστοιχα g c ή g c, c προκύπτει αν μετατοπίσουμε την C οριζόντια κατά c μονάδες προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά αντίστοιχα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση :, με Αν η C διέρχεται από το σημείο,, να βρείτε : i τον αριθμό α ii τα σημεία τομής της C με τους άξονες iii τα σημεία όπου η C βρίσκεται κάτω από το άξονα iv τα σημεία τομής της C με την ευθεία y v τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της h Λύση : i, με Η C διέρχεται από το σημείο, άρα 9, δηλ ii Η C τέμνει τον για y άρα στα σημεία,, Η C τέμνει τον y y για άρα δηλ στο σημείο, iii Η C βρίσκεται κάτω από το άξονα άρα Είναι : - + + - + Άρα επειδή θέλω, iv Για να βρω τα σημεία τομής της C με την ευθεία y δηλ τη συνάρτηση g, θα λύσω την εξίσωση : y g ή, άρα στα σημεία,, και,, v Για να βρω τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της h, θα λύσω την ανίσωση : h 8 8 8 ή δηλ,, 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Άσκηση σελ σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα όταν : i ii iii Λύση : i Η C βρίσκεται πάνω από τον Έχω, ή, - + + - + Άρα επειδή θέλω τότε,, ii Η C βρίσκεται πάνω από τον Έχω - + - + - Άρα επειδή θέλω, iii Η C βρίσκεται πάνω από τον άρα, Άσκηση σελ σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g, όταν : i και g ii και g Λύση : iη C βρίσκεται πάνω από τη C g Έχω ή αδύνατη - + - + + + Γινόμενο - + Άρα επειδή θέλω, iiη C βρίσκεται πάνω από τη g C g g Έχω, ή, - + + + + - - + Γινόμενο - - + Άρα επειδή θέλω, Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις :, F, G ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης F προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, κατά μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα πάνω Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης G προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδα προς τα κάτω ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρεθούν οι τιμές των,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από τα σημεία Α-, και Β,7 Να βρεθούν οι τιμές των,,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από τα σημεία Α,, Β-, και Γ-,- 6 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες i 9 ii iii,, iv 7 Να βρεθεί για ποιες τιμές του, η C βρίσκεται πάνω από τον 6 i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii iii ln 8 Να βρεθεί για ποιες τιμές του, η C βρίσκεται πάνω από την i και g ii και g iii 8 και g 9 Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις και στη συνέχεια από τη γραφική παράσταση να βρείτε το σύνολο τιμών : i ii iii ln iv v vi ln C g Δίνεται η συνάρτηση και η ευθεία : 6 y i Να βρείτε τα κοινά σημεία της C και της ε ii Να βρείτε τη σχετική θέση των C και ε Έστω ότι η συνάρτηση ln, για την οποία ισχύει ότι η C τέμνει τον άξονα στο σημείο και τον άξονα y y στο i Να βρείτε τα κ,λ ii Να βρείτε το σημείο της C που έχει τεταγμένη Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : i ln ii Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε τις τιμές, και iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να λύσετε την εξίσωση v Να λύσετε την ανίσωση vi Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών των, g ii Να βρείτε τις τιμές g και g iii Να λύσετε την εξίσωση g iv Να λύσετε την ανίσωση g v Να λύσετε την ανίσωση g Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Τα σημεία τομής της C με τους άξονες iii Τις τιμές του για τις οποίες η C βρίσκεται πάνω από τον ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ Έστω : μια συνάρτηση Για να βρούμε το σύνολο τιμών της : Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Θέτουμε y και λύνουμε την εξίσωση y ως προς, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνει το σύνολο τιμών της Αν ένας αριθμός α ανήκει στο σύνολο τιμών της, τότε η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα έχει μια ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης : Λύση :, πρέπει άρα D Θέτω y y y y y y y y y y y y y y επίσης πρέπει : y y y y, y y y y ln ln ln, επίσης ln για κάθε y, y y y Τελικά από και ισχύει ότι πρέπει y,, άρα, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii ln y 8 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το σύνολο τιμών της και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση 6 έχει μια τουλάχιστον ρίζα 9 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το σύνολο τιμών της και στη συνέχεια να εξετάσετε αν η εξίσωση έχει ρίζα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες, όταν : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση 7 σελ 6 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g Στις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο να ισχύει g i ii έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, για κάθε ισχύει g και g και g iii και g Λύση : i πρέπει που ισχύει για κάθε, άρα D g πρέπει άρα D g [, Δηλ D Dg άρα και g Αν όμως [, τότε : g άρα αν [, ισχύει g ii iii πρέπει και Άρα D g πρέπει Άρα D D D g Δηλ g g Άρα ισχύει g πρέπει [,, Άρα D [,, g πρέπει άρα D g [, Δηλ D Dg άρα και g Αν όμως [,, τότε : g Άρα αν [,, ισχύει g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να εξεταστεί αν οι συναρτήσεις, g είναι ίσες Αν δεν είναι να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο Γ του R στο οποίο =g i και g ii iii ln και g ln και g iv, v g και 8 και g h ln Να αποδειχθεί η ισότητα των παρακάτω συναρτήσεων : i και g ii ln και g ln ln Δίνονται οι συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει : g 8 g για κάθε Να δείξετε ότι g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για να προσδιορίσουμε την o g δηλ την g Βρίσκω το D και D g D και Για να ορίζεται η o g g πρέπει g Για να βρω τον τύπο της o g δηλ της g το g Ομοίως ορίζεται και g o g D πάω στην και βάζω όπου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ 6 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g o και o g Λύση : g o D, D [, g Για να ορίζεται η g g D o πρέπει : D g [, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ * D g o ] [,, ] [, *, έχω - + + - + Άρα ] [, D o και g o g g o g D, D [, g Dg [, Για να ορίζεται η o g g πρέπει : g D [, D og [, και o g g ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να ορίσετε τη συνάρτηση o g στις παρακάτω περιπτώσεις : i και g ii 8 και g 6 Αν και g 9 να βρείτε τη συνάρτηση g o 7 Αν ln και g να βρεθούν οι συναρτήσεις g o και o g 8 Να ορίσετε τη συνάρτηση g o στις παρακάτω περιπτώσεις : i και g ii και g iii,, και 8, g, 6 9 Δίνεται η συνάρτηση :,] Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : g ln Αν και g να βρεθούν οι συναρτήσεις g o, o g και o ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να λυθεί g o o o g o g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις o g και g, τότε για να βρούμε τη συνάρτηση εργαζόμαστε ως εξής : Θέτουμε g u Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς g Αντικαθιστούμε το που βρήκαμε στον τύπο Β Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις o g και, τότε για να βρούμε τη συνάρτηση g εργαζόμαστε ως εξής : Θέτουμε όπου το g στον τύπο της Έχουμε τη συνάρτηση g με δυο μορφές μια αυτή που βρήκαμε και μια από τα δεδομένα Εξισώνουμε τις δυο αυτές μορφές και βρίσκουμε τη g Αν η σύνθετη συνάρτηση και η συνάρτηση που μου δίνεται ξεκινούν με διαφορετικό γράμμα, κάνω το Α, αν ξεκινούν με το ίδιο κάνω το Β ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση 6 σελ 8 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει : i o g και g ii iii o g και g o και g g Λύση : i Α Θέτω g u u u o g g u u u u u u u u u άρα ii Α Θέτω g u u u, με u u o g g u u,, δηλαδή iii Β g o g πχ Δυο τέτοιες συναρτήσεις είναι ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, αν : i o g 6 και g ii o g και g iii g o και g iv g o 9 και g Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 6 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ln ln για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 7 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g, αν : i o g 6 και ii g o και 8 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με g και g o 6 Να βρείτε : i τη συνάρτηση, ii τις τιμές του για τις οποίες η C βρίσκεται κάτω από τη C g 9 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με g και g o Να βρείτε : i τη συνάρτηση, ii τα σημεία τομής της C με τους άξονες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για να δείξω ότι μια συνάρτηση : A λέγεται άρτια αν για A και A τότε ισχύει για κάθε A Ενώ λέγεται περιττή αν για A και A τότε ισχύει για κάθε A Τέλος η λέγεται περιοδική όταν υπάρχει με : T και T για κάθε A Προσοχή : Μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε η C είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y και αντίστροφα Αν η είναι περιττή τότε η C είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Για να είναι μια συνάρτηση άρτια ή περιττή, πρέπει οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το, δηλαδή να ισχύει, D για κάθε D ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση : Λύση : ln Πρέπει : που ισχύει για κάθε Επίσης : πρέπει ισχύει για κάθε και που ισχύει επίσης για κάθε Άρα D συμμετρικό ως προς το, δηλ για κάθε και Επίσης : ln ln Άρα η είναι περιττή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: ln ln 6 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές : i ii ln iii iv v όταν [, vi ln vii 6 Δίνονται οι συναρτήσεις ln και g, με Η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α-,- i Να βρείτε τον αριθμό α ii Να ορίσετε τη o g iii Να αποδείξετε ότι η o g είναι περιττή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση ln Να αποδείξετε ότι : i Η έχει πεδίο ορισμού το το Α=R ii Η είναι περιττή iii Η C έχει με τον μόνο ένα κοινό σημείο 6 **Αν, g : είναι συνθέσιμες συναρτήσεις τότε : i Να δείξετε ότι αν η g είναι άρτια, τότε και η g είναι άρτια ii Να δείξετε ότι αν η, g είναι περιττές, τότε και η o g είναι περιττή iii Να δείξετε ότι αν η είναι άρτια και η g είναι περιττή, τότε και η o g είναι άρτια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Σε κάποιες ασκήσεις δεν μας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης, αλλά κάποια σχέση ή γενική ιδιότητα που έχουν οι τιμές της Πχ y y y για κάθε Επειδή η σχέση ισχύει για κάθε τιμή των,y, συνήθως επιλέγουμε κατάλληλες τιμές που μας βολεύουν όπως : =y=, ή =y= ή =y ή = ή y=- κλπ Αν προκύψει σχέση της μορφής g είναι λάθος να συμπεράνω ότι : ή g για κάθε Για να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί κάποια ιδιότητα, υποθέτουμε ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση και με κατάλληλη επιλογή τιμών για τις μεταβλητές οδηγούμε σε άτοπο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε Να βρεθεί ο τύπος της Λύση : Στην έστω y y και έχω y [ y ] y y y y y y y y y y y 8 ή 8 Επίσης στην έστω y y και έχω : y [ y] y y y y y y 8 y y y y 8y 7 ή 8 7 Τις και τις κάνω σύστημα και έχω : 8 9 6 6 προσθέτω 8 7 6 6 κατά μέλη και έχω :, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 66 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : 6 για κάθε Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες Λύση : [Είναι 6 6 ή ] Η σχέση 6 για : γίνεται 6, άρα η είναι ρίζα της εξίσωσης γίνεται 9 6, άρα η είναι ρίζα της εξίσωσης Οπότε η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 67 Έστω συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : y y για κάθε Να δείξετε ότι, Λύση : Στη σχέση, θέτω όπου το και έχω :, ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 68 Μια συνάρτηση : για την οποία ισχύει : y y για κάθε, y Να δείξετε ότι : i ii y για κάθε y y iii y για κάθε, y y Λύση : i Στη σχέση, θέτω y και έχουμε : ii Στη σχέση, θέτω και έχουμε : y y y y y y y y iii Έχουμε : ii y y y y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 69 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι 7 ii Να αποδειχθεί ότι iii Να βρεθεί ο τύπος της 7 Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει 8, για κάθε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες 7 Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει, για κάθε Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε δυο τουλάχιστον σημεία 7 Έστω μια συνάρτηση : i Να δείξετε ότι, ii Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα για την οποία ισχύει 7 Έστω μια συνάρτηση : i Να δείξετε ότι, ii Να δείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία y= σε ένα τουλάχιστον σημείο για την οποία ισχύει, για κάθε, για κάθε 7 **Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : y y για κάθε, y Να δείξετε ότι : i ii Η είναι περιττή iii y y για κάθε, y 7 ** Δίνεται η συνάρτηση : η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση : i Να δείξετε ότι ii Να βρείτε την iii Να κάνετε τη γραφική παράσταση της iv Να βρείτε το σύνολο τιμών της 76 **Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : 6 για κάθε Να δείξετε ότι η είναι περιττή και στη συνεχεία να βρείτε τον τύπο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : 7 ΟΜΟΓ, 7 ΕΣΠ, ΕΣΠ, Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Η συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε Δ, με Δ, με ισχύει ισχύει 9 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο o μέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο ; Απάντηση : ΟΜΟΓ, Β, ΕΣΠ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, όταν για κάθε A Παρουσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, όταν για κάθε A A ολικό Κάποιες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα της Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγεται ; Απάντηση : ΟΜΟΓ, Β, ΟΜΟΓ, Β Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: Αν, τότε Σχόλια : α Μια συνάρτηση :A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε β Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση y έχει ακριβώς μια λύση ως προς ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση " " Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Παράδειγμα, Η συνάρτηση η συνάρτηση g,, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη Παρατηρήσεις : Σχ είναι Αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση είναι - τότε : Την ισοδυναμία αυτή τη χρησιμοποιούμε για επίλυση εξισώσεων Επίσης ισχύει : Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - αρκεί : y O y=g Αν η δεν είναι -, τότε υπάρχουν, τω και ί όμως ί ό ί ό όμως ό ό ίa Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται και πώς ; Απάντηση : Μια συνάρτηση :AR αντιστρέφεται, αν και μόνο αν είναι Η αντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζεται με ορίζεται από τη σχέση : y y Σχόλια : α Ισχύει ότι :, A και y y, y A β Η αντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών A της, και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρήσεις : : : έ, Αν γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, τότε η είδος μονοτονίας : πχ αν είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο τότε έστω y, y D με y y : y y y y άρα στο D, τότε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε,, με ισχύει Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε,, με ισχύει ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 77 Άσκηση σελ 6 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες; i ii ln iii iv, Λύση : i Πρέπει : Άρα D, ] Έστω, D, ], με άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο D, ] ii Πρέπει : Άρα D, iii Έστω, D,, με ln ln ln ln ln ln άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D, D, Έστω, D, με ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο D iv D, ], Έστω, D, ], με ή,,& Όταν υψώνω στο τετράγωνο αρνητικούς αριθμούς, αλλάζει η φορά της ανίσωσης

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο D,] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 78 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i 6 ii iii 6 iv v vi vii ln viii 6 i 79 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g : Να αποδείξετε ότι : i Αν οι,g είναι γνησίως αύξουσες, τότε και η συνάρτηση +g είναι γνησίως αύξουσα ii Αν οι,g είναι γνησίως φθίνουσες, τότε και η συνάρτηση +g είναι γνησίως φθίνουσα 8 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g : Να αποδείξετε ότι : i Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα, τότε και η συνάρτηση -g είναι γνησίως αύξουσα ii Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα, τότε και η συνάρτηση g- είναι γνησίως φθίνουσα 8 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g :, Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα g 8 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g : Να αποδείξετε ότι : i Αν,g είναι γνησίως αύξουσες, τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα ii Αν,g είναι γνησίως φθίνουσες, τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα iii Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι συναρτήσεις g και g είναι γνησίως φθίνουσες 8 **Δίνεται περιττή συνάρτηση : Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο,, να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και στο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις επόμενες συναρτήσεις :,, i ii, ln,, iii, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε η C τέμνει τον άξονα το πολύ μια φορά Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση, αλλά και κάθε εξίσωση της μορφής με, έχει το πολύ μια ρίζα Για να επιλύσουμε μια εξίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή ή βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα προφανής της εξίσωσης ή αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση ή έχει το πολύ μια ρίζα που είναι η προφανής ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Να λυθεί η εξίσωση : ln Λύση : Έχω : ln, έστω ln Πρέπει,], δηλ D,] Έχω να λύσω την εξίσωση ln Με δοκιμές παρατηρώ ότι για έχω : ln Άρα η είναι ρίζα προφανής της εξίσωσης Για να δείξω ότι είναι και μοναδική, αρκεί να δείξω ότι η είναι γνησίως μονότονη Έστω, D,], με Επίσης : ln ln ln ln ln ln Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : ln ln Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και η ρίζα της εξίσωσης είναι και μοναδική ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 86 Να λυθούν οι εξισώσεις : i ln ii iii ln iv ln v ln vi στο, 87 Δίνεται η συνάρτηση i Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία ii Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Για να επιλύσουμε μια ανίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση οπότε η ανίσωση έχει τη μορφή ή αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα προφανής της εξίσωσης ή έτσι η ανίσωση γίνεται εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της για να λύσουμε την ανίσωση που προέκυψε ΠΡΟΣΟΧΗ : Αν η είναι γνησίως αύξουσα τότε : και Αν η είναι γνησίως φθίνουσα τότε : και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 88 Να λυθεί η ανίσωση : ln Λύση : Έχω : ln η ανίσωση ορίζεται για κάθε, Έστω h ln, με h,, έχω να λύσω την ανίσωση : h Παρατηρώ ότι h άρα η άρα η ανίσωση γίνεται : h h Αρκεί τώρα να βρω τη μονοτονία της h : Έστω, με : h ln ln ln ln Προσθέτω κατά μέλη τις, και και έχω : ln ln h h Άρα η h για κάθε,, οπότε h h ή, h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 89 Δίνεται η συνάρτηση, αφού βρείτε τη μονοτονία της, να λύσετε την ανίσωση Λύση : Έχω : D, Έστω, D, με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα Οπότε Έχω - + - + Άρα επειδή θέλω, 9 Αν η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα τότε να λυθεί η εξίσωση : ln Λύση : ln 6 ln ln ln 6 ln ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:,, 9 Δίνεται η συνάρτηση : ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να δείξετε ότι αν, τότε ln iii Να δείξετε ότι αν, τότε ln iv Να δείξετε ότι αν, και, τότε ln v Να δείξετε ότι για κάθε, 6 vi Να δείξετε ότι για κάθε, vii Να δείξετε ότι για κάθε, viii Να δείξετε ότι για κάθε,, i Να δείξετε ότι για κάθε, Να λύσετε την ανίσωση : + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Δίνεται η συνάρτηση : ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να δείξετε ότι αν, τότε ln iii Να δείξετε ότι αν, και, τότε ln iv Να δείξετε ότι για κάθε, v Να δείξετε ότι για κάθε, vi Να δείξετε ότι για κάθε, 9 Μια συνάρτηση : είναι γνησίως μονότονη με 8 i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της ii Να λυθεί η ανίσωση 9 Μια συνάρτηση : είναι γνησίως μονότονη με 7 i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της ii Να λυθεί η ανίσωση 9 Να λυθούν οι ανισώσεις : i 9 ii iii ln 96 Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση :, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α, και Β-,7 i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της 6 ii Να λυθεί η ανίσωση 97 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει : g για κάθε Επίσης η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα i Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση : g 98 Έστω η συνάρτηση i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να λυθεί η ανίσωση : 99 Έστω η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση : ln Δίνεται η συνάρτηση 8 i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση iii Να λύσετε την ανίσωση : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση : : για την οποία ισχύει : για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο Λύση : ος τρόπος : Αρχικά η γίνεται : Θεωρούμε τη συνάρτηση : g, άρα η γίνεται : g g o, Επίσης η για κάθε g είναι γνησίως αύξουσα στο καθώς :, με Προσθέτοντας κατά μέλη έχω g g Άρα τελικά : για κάθε, είναι : g o g o g g οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ος τρόπος : Αρχικά η γίνεται : Για να δείξουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε, με ισχύει ότι Έστω ότι υπάρχουν, με και ισχύει ότι τότε : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : με άτοπο καθώς Άρα για κάθε, ισχύει ότι οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ος τρόπος : Αρχικά η γίνεται : Θεωρούμε τη συνάρτηση : g, άρα η γίνεται : g g o, Άρα οι συναρτήσεις g o και είναι ίσες Εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση h, είναι γνησίως φθίνουσα στο για κάθε, με h h επομένως και η συνάρτηση g o θα είναι γνησίως φθίνουσα στο αφού είναι ισες Επίσης η g είναι γνησίως αύξουσα στο καθώς : g : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ για κάθε, με Προσθέτοντας κατά μέλη έχω g g Άρα τελικά : για κάθε, είναι : go g : g o g o g g οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Δίνεται η συνάρτηση : : για την οποία ισχύει : 6 για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δίνεται η συνάρτηση : : για την οποία ισχύει : 7 για κάθε Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γενικά για να αποδείξω ότι η παρουσιάζει μέγιστο, προσπαθούμε να βρούμε ένα τέτοιο ώστε :, αντίστοιχα ελάχιστο Για να βρω τα ακρότατα μιας συνάρτησης, είναι χρήσιμες οι παρακάτω διαδικασίες : Ακρότατα της συνάρτησης :, Η γραφική παράσταση της είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο, Αν τότε :, και και παρουσιάζει ελάχιστο, στο το Αν τότε :, και και παρουσιάζει μέγιστο στο, το 6 y Αν Αν y O, K, Αν γνωρίζουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης σε κλειστό διάστημα τότε μπορούμε να βρούμε τα ακρότατα της πχ αν [, ] τότε παρουσιάζει στο α ελάχιστο το και στο β μέγιστο το αν [, ] τότε παρουσιάζει στο α μέγιστο το και στο β ελάχιστο το Κατασκευάζω ανισοισότητες της μορφής m ή ή m και βρίσκω τις τιμές του για τις οποίες ισχύει το = λύνοντας την εξίσωση : m ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρεθούν αν υπάρχουν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : i ii ln, [, ] iii ln iv v, [, Λύση : i, είναι Επειδή άρα η παρουσιάζει μέγιστο στο το, άρα για κάθε ισχύει ότι ii ln, είναι [, ] Με χτίσιμο δείχνω ότι [, ] άρα η παρουσιάζει : ελάχιστο στο το ln δηλ για κάθε [, ] ισχύει ότι Μέγιστο στο το ln δηλ για κάθε [, ] ισχύει ότι iii ln, είναι, iv Με χτίσιμο δείχνω ότι, άρα η δεν παρουσιάζει ακρότατα, είναι,] Με χτίσιμο δείχνω ότι,] άρα η παρουσιάζει : ελάχιστο στο το δηλ για κάθε, ] ισχύει ότι Η δεν παρουσιάζει μέγιστο v, είναι [, Με χτίσιμο δείχνω ότι [, άρα η παρουσιάζει : Μέγιστο στο το δηλ για κάθε [, ισχύει ότι Η δεν παρουσιάζει ελάχιστο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθούν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : i 6 ii iii iv ln v vi vii, [,] viii ln, [,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Έστω : μια συνάρτηση για την οποία ισχύει :, για κάθε Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ «-» ΟΡΙΣΜΟΣ Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση : είναι «-», θεωρούμε, με και προσπαθούμε να δείξουμε ότι δηλ αν τότε Για να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-», προσπαθούμε να εντοπίσουμε δυο, με που δίνουν όμως Αν δίνεται η και παρατηρούμε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τέμνει τη C C το πολύ σε ένα σημείο, τότε η είναι «-» Διαφορετικά δεν είναι Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και «-» Τονίζουμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα Δηλ " " ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» και ποιες όχι : i ln ii iii Λύση : i ln, πρέπει : Άρα D Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : ln Άρα η είναι «-» ln ln ln ii, D Η δεν είναι «-» γιατί υπάρχουν : iii, D με Όμως, Δηλ Άρα εντοπίσαμε δυο, D με που δίνουν όμως Άρα η δεν είναι «-» με τον ορισμό δεν μπορώ να εξετάσω αν η Γι αυτό θα εξετάσω αν είναι γνησίως μονότονη Έχω : D, Έστω, D, με είναι «-» Επίσης : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα και άρα η είναι και «-» 8 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Nα δείξετε ότι είναι «-» Λύση : ος τρόπος : Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : άρα η είναι και «-» ος τρόπος : Είναι : Θεωρούμε τη συνάρτηση : g, άρα η γίνεται : g g o, Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : g g g o g o άρα η είναι και «-» ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 9 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» και ποιες όχι i ii iii iv ln v vi 6 vii Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Nα δείξετε ότι είναι «-» ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ «-» & ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Όταν μια συνάρτηση είναι «-», τότε ισχύει η ισοδυναμία g h g h Αν μια συνάρτηση είναι «-», τότε η εξίσωση, αλλά και κάθε εξίσωση της μορφής με, έχει το πολύ μια ρίζα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως φθίνουσα, να λυθεί η εξίσωση : o o 6 Λύση : " " " " 6 6 6 6, ή, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 7 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να λυθεί η εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση : κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να λυθεί η εξίσωση για την οποία ισχύει : για Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως φθίνουσα, να λυθεί η εξίσωση : o o Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: o για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να βρείτε την τιμή iii Να λυθεί η εξίσωση 6 Δίνεται η συνάρτηση g, καθώς και συνάρτηση : οποία ισχύει: g 8 για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η g είναι «-» ii Να βρείτε την τιμή iii Να λυθεί η εξίσωση για την * 7 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : o για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να βρείτε την τιμή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii Να λυθεί η εξίσωση 8 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 7 i ii ln 9 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε και είναι γνησίως φθίνουσα i Να λυθεί η ανίσωση : ii Να λυθεί η εξίσωση : Αν η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα τότε να λυθεί η εξίσωση : ln Θέμα Γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω : μια συνάρτηση Για να βρούμε την αντίστροφη της : Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Δείχνουμε ότι η είναι «-» Θέτουμε y οπότε y και λύνουμε την εξίσωση y ως προς, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνει το σύνολο τιμών της που είναι το πεδίο ορισμού της Αν η λύση της εξίσωσης y ως προς είναι g y, τότε έχουμε y g y Θέτουμε όπου y το και έχουμε τον τύπο της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση είναι και να βρεθεί η αντίστροφή της Λύση : Έστω, με Θα δείξουμε ότι Πράγματι έχουμε διαδοχικά: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα Για να βρούμε την αντίστροφη της θέτουμε y και λύνουμε ως προς Έχουμε λοιπόν: y y Άρα : ln Επομένως, y y y y ln, y y ln, y y y ln, y ln,, οπότε η αντίστροφη της είναι η συνάρτηση

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να βρεθεί το σύνολο τιμών και η αντίστροφη της συνάρτησης : Άσκηση vii σελ 6 σχολικού βιβλίου Α Ομάδας Λύση :, πρέπει άρα D Έστω, D, με Θα δείξουμε με ότι Άρα η είναι και «-» και άρα η είναι και αντιστρέψιμη Έχω Θέτω y y y y y y y y y y y y y y επίσης πρέπει : y y y y, y y y y ln ln ln, επίσης ln για κάθε y, y y y Τελικά από και ισχύει ότι πρέπει y,, άρα D, Άρα : y ln y y ln y y ln y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα, με, Να βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη της συνάρτησης : όταν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για κάθε και γνωρίζουμε ότι η έχει σύνολο τιμών το i ii να βρεθεί η ως συνάρτηση της Λύση : i Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : άρα η είναι «-» και άρα αντ/μη ος y y Τρόπος Θέτω y y y y y y y y ος Τρόπος Αν γνωρίζουμε από εκφώνηση ότι η έχει σύνολο τιμών το ή δίνει τότε στη δοσμένη σχέση μπορώ να θέσω όπου το Η ισχύει για κάθε έχω : και έχει σύνολο τιμών το,, άρα αν όπου βάλω το D

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω άρα θα είναι και Επίσης Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : ii άρα η είναι «-» και άρα η είναι και αντιστρέψιμη ος Τρόπος Θέτω y αρά y y y y y y y y ος Τρόπος Η ισχύει για κάθε και έχει σύνολο τιμών το, άρα αν όπου βάλω το έχω : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρεθεί το σύνολο τιμών και η αντίστροφη καθεμιάς των παρακάτω συναρτήσεων i ln ii iii iv ΘΕΜΑ Γ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 6 v ln vi 6 7, αν [, Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, φ και ψ y y= y y=g y y=ψ O O O Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της 6 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να βρείτε την αντίστροφη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, 7 Δίνεται η συνάρτηση :, i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο ii Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη iii Να βρείτε την αντίστροφη ln,, 8 Δίνεται η συνάρτηση : Να βρείτε την αντίστροφη, 9 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η είναι - iii Να βρείτε την αντίστροφη Να βρεθεί το σύνολο τιμών και η αντίστροφη καθεμιάς των παρακάτω συναρτήσεων Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε την C και C i ii ln iii iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ και Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων C και C είναι ίδια με τα σημεία τομής της C με την y *απόδειξη* ή της C με την y Έστω : μια «-» συνάρτηση, οπότε ορίζεται η αντίστροφη Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, προκύπτει ότι οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες : Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων μας επιτρέπει να βρούμε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των και με την ευθεία y Έστω : μια «-» συνάρτηση, οπότε ορίζεται η αντίστροφη Αποδεικνύεται ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις, και είναι ισοδύναμες : y Mα,β 7 M β,α O y= Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις και δεν είναι ισοδύναμες Μπορεί δηλαδή να υπάρχουν σημεία τομής των και που δεν ανήκουν στην ευθεία y= Σε αυτή την περίπτωση τα κοινά σημεία των C βρίσκονται από τη λύση του συστήματος : y y C C C y y y και y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ *απόδειξη* Έστω ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε στο έχω σημείο τομής των C και C θα δείξω ότι δηλ στο σημείο τομής της C και y Έστω άτοπο!, άρα τελικά Ομοίως καταλήγω σε άτοπο αν υποθέσω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής της C με την ευθεία y iii Να λύσετε την ανίσωση : 8 Λύση : i D, Έστω, D, με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα η είναι «-» και άρα η είναι αντιστρέψιμη ii Τα σημεία τομής της C με την ευθεία y βρίσκονται από τη λύση του y συστήματος : από όπου προκύπτει y - 6 Άρα 6 ή 6 Αδύνατη Άρα αφού y y Δηλ η C με την y τέμνονται στο σημείο Α, iii 8 8 8 ή, Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C iii Να λύσετε την ανίσωση : Λύση : i D, Έστω, D, με ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8 Επίσης :

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, άρα η είναι «-» και άρα η είναι αντιστρέψιμη iiτα σημεία τομής της C και C βρίσκονται από τη λύση του συστήματος : y από όπου προκύπτει y Άρα αφού y y Δηλ η C με την C τέμνονται στο σημείο, iii 7, έχω - + - + Άρα επειδή θέλω :,, + 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής της C με την ευθεία y Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C iii Να λύσετε την ανίσωση : 9 7 Δίνεται η συνάρτηση : i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να υπολογίσετε το 9 iii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C iv Να λύσετε την εξίσωση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία έχει σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί τη σχέση : 6 για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να βρείτε την αντίστροφη iii Να βρείτε τα σημεία τομής της C με την ευθεία y ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 9 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Αν η έχει σύνολο τιμών το R, να εκφραστεί η ως συνάρτηση της Δίνεται συνάρτηση : γνησίως μονότονη Να αποδείξετε ότι και η το ίδιο είδος μονοτονίας έχει Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με, για τις οποίες ισχύει : g i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να γράψετε τον τύπο της ως συνάρτηση της και g Έστω οι συναρτήσεις, g :, όπου για την ισχύει, για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να βρείτε το iii Αν ισχύει g,, να βρείτε τη συνάρτηση g Έστω οι συναρτήσεις, g :, για τις οποίες ισχύει g, i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να λύσετε την εξίσωση ln Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει, για κάθε και η συνάρτηση g, που είναι συνάρτηση - i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να δείξετε ότι g g iii Να βρείτε τη συνάρτηση Δίνεται η συνάρτηση : Να δείξετε ότι : i για την οποία ισχύει ii Η συνάρτηση g, δεν είναι συνάρτηση -, για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως μονότονη ii Να εξεταστεί αν ορίζεται η iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να λυθεί η ανίσωση 7 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε Να αποδειχθεί ότι : i η είναι «-» ii iii η δεν είναι γνησίως μονότονη iv η είναι περιττή v = 8 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να βρείτε την τιμή iii Να αποδείξετε ότι η δεν είναι γνησίως φθίνουσα iv Να λυθεί η εξίσωση 9 i Έστω, g : δυο συναρτήσεις, όπου η g είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ii Έστω : μια συνάρτηση για την οποία ισχύει : για κάθε Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία Έστω συνάρτηση : με σύνολο τιμών το, και για την οποία ισχύει : για κάθε i Να βρεθεί ο τύπος της ii Να δείξετε ότι η είναι - iii Να βρείτε την αντίστροφη Έστω συνάρτηση : με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει : για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να λυθεί η εξίσωση : iii Να βρείτε την αντίστροφη Αν, g : και ισχύει g για κάθε, i να δείξετε ότι η g είναι «-» ii να λύσετε την εξίσωση g g Αν, g : τέτοιες ώστε η g να είναι «-» i Να δείξετε ότι και η g είναι «-» ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii να λύσετε την εξίσωση g g Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει : i Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να λυθεί η εξίσωση iii Να δείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το iv Αν η είναι γνησίως μονότονη να βρεθεί το είδος μονοτονίας της v Να λυθεί η ανίσωση : ln Θεωρούμε τη συνάρτηση =+- με i Να αποδείξετε ότι η είναι - για κάθε ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση - της και να βρείτε τον τύπο της iii Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και - με την ευθεία y= Ο 6 6 Έστω η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να λύσετε την εξίσωση : iii Να λύσετε την ανίσωση : 7 Έστω η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε την αντίστροφη iii Να λύσετε την εξίσωση : iv Να λύσετε την ανίσωση : 8 Έστω η συνάρτηση : αντιστρέψιμη για την οποία ισχύει Να βρείτε το και να λύσετε την εξίσωση 9 Έστω η συνάρτηση : γνησίως μονότονη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α-, και Β, i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να λυθεί η εξίσωση : 7 iii Να λυθεί η ανίσωση : 6 Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης : διέρχεται από τα σημεία Α, και Β6,- i Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της ii Να λυθεί η εξίσωση iii Να λυθεί η ανίσωση : 6 6 Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση με πεδίο ορισμού του R και σύνολο τιμών το R για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να βρείτε τα σημεία τομής της με τον άξονα C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα