ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΑΛΑΤΕΙΑ ΚΛΕΑΝΘΟΥΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 2014

Υποβλήθηκε στο τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Την τριμελή συμβουλευτική επιτροπή της διδακτορικής διατριβής απετέλεσαν οι: Ι. Γάσπαρης, Αναπληρωτής Καθηγητής Θ. Μήτσης, Επίκουρος Καθηγητής Δ. Μπετσάκος, Αναπληρωτής Καθηγητής (επιβλέπων) Στην επταμελή εξεταστική επιτροπή συμμετείχαν επίσης οι: Ν. Ατρέας, Επίκουρος Καθηγητής Π. Γαλανόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Κ. Δασκαλογιάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής Ν. Μαντούβαλος, Καθηγητής

Περιεχόμενα Πρόλογος ix 1 Εισαγωγή 1 1.1 Το λήμμα Schwarz......................... 1 1.2 Θεωρήματα Μονοτονίας...................... 2 1.2.1 Θεώρημα εμβαδού..................... 3 1.2.2 Θεωρήματα διαμέτρου, μήκους και χωρητικότητας.... 3 1.2.3 Άλλα γνωστά θεωρήματα μονοτονίας........... 5 1.2.4 Θεωρήματα μονοτονίας στον R n............. 7 1.2.5 Ελλειπτικά απλές συναρτήσεις.............. 7 1.2.6 Η κλάση Σ......................... 9 1.2.7 Τα δικά μας μονοτονιακά Θεωρήματα........... 9 1.3 Θεωρήματα Αυξητικότητας.................... 11 1.3.1 Απλές παραλλαγές του λήμματος Schwarz........ 12 1.3.2 Θεώρημα διαμέτρου.................... 13 1.3.3 Θεώρημα χωρητικότητας................. 13 1.3.4 Θεωρήματα για ελλειπτικά απλές συναρτήσεις...... 14 1.3.5 Ενα νέο Θεώρημα αυξητικότητας............. 15 1.3.6 Το θεώρημα του Littlewood............... 16 1.3.7 Εσωτερικές συναρτήσεις................. 17 1.3.8 Ενα θεώρημα αυξητικότητας με προεικόνες....... 17 1.3.9 Δύο νέα Θεωρήματα αυξητικότητας με προεικόνες.... 18 1.4 Γεωμετρικές παραλλαγές του λήμματος Schwarz......... 19 1.4.1 Ενα θεώρημα του Solynin................ 19 1.4.2 Μία νέα γεωμετρική παραλλαγή.............. 20 1.4.3 Η υπερβολική πυκνότητα................. 20 1.4.4 Ενα πόρισμα για την υπερβολική πυκνότητα....... 21 1.4.5 Θεωρήματα κάλυψης.................... 21 1.4.6 Ενα νέο Θεώρημα κάλυψης................ 22 v

2 Θεωρήματα μονοτονίας για αναλυτικές συναρτήσεις με κέντρο το άπειρο 23 2.1 Εισαγωγή............................. 23 2.2 Απόδειξη του Θεωρήματος 2.1.1................. 27 2.3 Θεώρημα «ακτίνας»........................ 33 2.4 Θεώρημα Μήκους......................... 35 2.5 Θεώρημα χωρητικότητας..................... 37 2.6 Τελικές Παρατηρήσεις....................... 38 2.6.1 Μονοτονιακά Θεωρήματα για μερόμορφες συναρτήσεις. 38 2.6.2 Πόλος ανώτερης τάξης.................. 39 3 Θεωρήματα αυξητικότητας για ολόμορφες συναρτήσεις κάτω από γεωμετρικές συνθήκες για την εικόνα 41 3.1 Εισαγωγή............................. 41 3.2 Προκαταρκτικά........................... 45 3.2.1 Συνάρτηση Green..................... 45 3.2.2 Πυκνωτές......................... 46 3.2.3 Modulus μετρική..................... 46 3.2.4 Υπερβολική μετρική.................... 47 3.2.5 Κυκλική συμμετρικοποίηση................ 48 3.2.6 Steiner συμμετρικοποίηση................. 49 3.2.7 Πόλωση.......................... 49 3.3 Απόδειξη του Θεωρήματος 3.1.1................. 50 3.4 Απόδειξη του Θεωρήματος 3.1.2................. 59 3.5 Τελικές Παρατηρήσεις....................... 64 3.5.1 Παρατηρήσεις πάνω στο Θεώρημα 3.1.1......... 64 3.5.2 Παρατηρήσεις πάνω στο Θεώρημα 3.1.2......... 65 4 Μία γεωμετρική εκδοχή του λήμματος Schwarz κι ένα φράγμα για ελλειπτικά απλές συναρτήσεις 67 4.1 Εισαγωγή και διατύπωση των αποτελεσμάτων.......... 67 4.2 Προκαταρκτικά........................... 72 4.2.1 Υπερβολική πυκνότητα.................. 72 4.2.2 Κυκλική πόλωση...................... 73 4.2.3 Green συνάρτηση..................... 74 4.2.4 Κυκλική συμμετρικοποίηση................ 74 4.2.5 Πυκνωτές......................... 75 4.2.6 Modulus μετρική..................... 75 4.3 Απόδειξη του Θεωρήματος 4.1.1................. 76 4.3.1 Απόδειξη του Πορίσματος 4.1.2.............. 84 4.4 Απόδειξη του Θεωρήματος 4.1.4................. 84 vi

4.5 Τελικές Παρατηρήσεις....................... 88 Extended Abstract in English 91 Βιβλιογραφία 104 vii

viii

Πρόλογος Το 1907, ο Ελληνας μαθηματικός Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή, έδωσε την α- πόδειξη του διάσημου λήμματος Schwarz. Από τότε, η ερευνητική κοινότητα έχει δείξει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την παραγωγή γενικεύσεων και παραλλαγών του, τόσο γεωμετρικών όσο και αναλυτικών. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, παρουσιάζονται μερικά νέα αποτελέσματα που αποτελούν παραλλαγές και γενικεύσεις του λήμματος Schwarz. Τα αποτελέσματα αυτά περιέχονται στις τρεις ερευνητικές μου εργασίες με τίτλους: «Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity», «Growth theorems for holomorphic functions under geometric conditions for the image», «A geometric version of Schwarz Lemma and a bound for ellipltically schlicht functions». Η 1η έγινε δεκτή το 2012 στο περιοδικό Proceedings of the American Mathematical Society, η 2η δημοσιεύεται στο Volume 13, No 2 του περιοδικού Computational Methods and Function Theory και η 3η κρίνεται μέχρι σήμερα. Η εργασία μου ξεκινάει με το εισαγωγικό Κεφάλαιο, στο οποίο μπορεί κανείς να βρει μία εκτεταμένη παρουσίαση του λήμματος Schwarz και διαφόρων επεκτάσεών του. Γίνεται πλήρης περιγραφή όλων των εννοιών που μας απασχολούν και ανάπτυξη των δικών μου θεωρημάτων. Στα ακόλουθα τρια Κεφάλαια παρουσιάζονται οι τρεις εργασίες μου. Γίνεται προσπάθεια να είναι αυτόνομα, για αυτό υπάρχουν κάποιες μικρές επικαλύψεις. Η διατριβή κλείνει με μία σύντομη περίληψη στα Αγγλικά. Η εργασία αυτή μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει ερευνητικά στο χώρο της μιγαδικής ανάλυσης, ενώ ταυτόχρονα περιέχει πολλά θεωρήματα και εργαλεία που θα την κατέτασσαν μεταξύ της γεωμετρίας, της γεωμετρικής θεωρίας συναρτήσεων και της θεωρίας δυναμικού. Πριν κλείσω, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά, την 7μελή επιτροπή και την οικογένειά μου, για τη συνδρομή τους στην πραγματοποίηση των διδακτορικών ix

μου σπουδών. Εκφράζω επίσης, την ευγνωμοσύνη μου στο Ιδρυμα Κρατικών Υποτοφιών της Κύπρου για την οικονομική του βοήθεια στα εννέα έτη των σπουδών μου στην Ελλάδα. Θεσσαλονίκη, 2014. x

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Στο εισαγωγικό αυτό Κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα που περιέχονται στις ερευνητικές μας εργασίες [16], [17] και [18], οι οποίες αποτελούν και το περιεχόμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Θα γίνει μία ιστορική αναδρομή σε θεωρήματα και αποτελέσματα που σχετίζονται άμεσα με τα δικά μας και αποτέλεσαν την έμπνευση και τα ερεθίσματα για την παραγωγή των δικών μου θεωρημάτων. Φροντίζουμε να υπάρξει διατύπωση όλων των μαθηματικών εννοιών που εμφανίζονται στην πορεία έτσι ώστε το Κεφάλαιο να είναι πλήρως κατανοητό και ανεξάρτητο. 1.1 Το λήμμα Schwarz Στις αρχές του 20ού αιώνα (1907), ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950) έδωσε την απόδειξη του λήμματος του Schwarz [14]. Θα συμβολίζουμε με D = {z C : z < 1} το μοναδιαίο δίσκο του μιγαδικού επιπέδου. Λήμμα 1.1.1. (Λήμμα Schwarz) Αν f : D C ολόμορφη συνάρτηση για την οποία ισχύουν τότε (α) f(d) D, (β) f(0) = 0, (i) f(z) z, για κάθε z D, (ii) f (0) 1. 1

2 Γαλάτεια Κλεάνθους Ισχύει ισότητα στην (i) για κάποιο z D \ {0} ή στην (ii) αν και μόνο αν η f είναι της μορφής f(z) = cz για κάποιο c C με c = 1. Η απόδειξη του λήμματος ( βλ. [14], [12], [45, σελ. 91]) βασίζεται στην Αρχή Μεγίστου καθώς και στην παρατήρηση πως η συνάρτηση f(z)/z έχει απαλείψιμη ανωμαλία στο 0. Από την εμφάνιση του, και έπειτα, το λήμμα Schwarz ενέπνευσε πληθώρα ερευνητών στο χώρο της γεωμετρικής μιγαδικής ανάλυσης. Μέχρι και σήμερα, ένα αιώνα μετά, συνεχίζουν να παράγονται γενικεύσεις και παραλλαγές του. Στη συνέχεια θα αναφερθούμε σε ορισμένες από αυτές. 1.2 Θεωρήματα Μονοτονίας Στην ουσία, το λήμμα Schwarz μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε ως ένα μονοτονιακό θεώρημα. Περιγράφουμε στη συνέχεια γιατί ισχύει κάτι τέτοιο, ορίζοντας πρώτα τα ακόλουθα. Ορισμός 1.2.1. Αν η συνάρτηση f είναι ολόμορφη στο D, τότε για r (0, 1) θέτουμε rd = {z D : z < r}. Η «ακτίνα» του f(rd) ορίζεται ως Radf(rD) = sup{ f(z) f(0) : z rd}. Ορισμός 1.2.2. Η συνάρτηση f θα λέγεται γραμμική, εάν είναι της μορφής f(z) = αz + β για κάποιες σταθερές α, β C. Ισχύει το ακόλουθο. Θεώρημα 1.2.1. [13] Αν η συνάρτηση f : D C είναι ολόμορφη, τότε η συνάρτηση «ακτίνας» φ Rad (r) = Radf(rD), r (0, 1), r είναι αυστηρώς αύξουσα, εκτός όταν η f είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή η φ Rad είναι σταθερή. Από το πιο πάνω Θεώρημα προκύπτει εύκολα το λήμμα Schwarz. Πράγματι, οι υποθέσεις (α) και (β) δίνουν την οριακή συμπεριφορά lim r 0 + φ Rad(r) = f (0) και lim φ Rad(r) 1. r 1

Εισαγωγή 3 Οπότε, αφού η συνάρτηση «ακτίνας» φ Rad (r) είναι αύξουσα, για κάθε r (0, 1), κι επομένως, r f (0) Radf(rD) r, (i) f(z) z, για κάθε z D, (ii) f (0) 1. Η έκφραση αυτή του λήμματος Schwarz μέσω του μονοτονιακού Θεωρήματος 1.2.1, δοθηκε από μια ομάδα μαθηματικών, τους Burckel, Marshall, Minda, Poggi-Corradini and Ransford στην εργασία τους [13]. Στο άρθρο αυτό, παρουσιάζονται επιπλέον άλλα τρία μονοτονιακά θεωρήματα, στα οποία εμπλέκονται οντότητες της γεωμετρίας και της θεωρίας δυναμικού. Τέτοιου είδους μονοτονιακά θεωρήματα έχουν αποδειχθεί και από αρκετούς άλλους μαθηματικούς. Αναφέρουμε στη συνέχεια κάποια από αυτά και κλείνουμε την παρούσα παράγραφο παρουσιάζοντας τα δικά μας μονοτονιακά θεωρήματα. 1.2.1 Θεώρημα εμβαδού Συμβολίζουμε με AreaA το εμβαδόν του συνόλου A C. Οι Aulaskari and Chen [3, Θεώρημα 6] απέδειξαν το ακόλουθο: Θεώρημα 1.2.2. [3] Αν η συνάρτηση f : D C είναι ολόμορφη, τότε η συνάρτηση εμβαδού είναι αύξουσα. φ Area (r) = Areaf(rD) πr 2, r (0, 1), 1.2.2 Θεωρήματα διαμέτρου, μήκους και χωρητικότητας Δίνουμε αρχικά τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός 1.2.3. Θεωρούμε σύνολο E C και φυσικό αριθμό n 2. Καλούμε διάμετρο τάξης n του E, την ποσότητα ( d n (E) = sup 1 j<k n z j z k ) 2/(n(n 1)), όπου το supremum το παίρνουμε για όλες τις n-άδες σημείων του E.

4 Γαλάτεια Κλεάνθους Οι Burckel, Marshall, Minda, Poggi-Corradini and Ransford στην εργασία [13], απέδειξαν επίσης τα ακόλουθα. Θεώρημα 1.2.3. (Θεώρημα n-οστής διαμέτρου) Αν η συνάρτηση f : D C είναι ολόμορφη, τότε η συνάρτηση n-οστής διαμέτρου φ n-diam (r) = d n(f(rd)), r (0, 1), d n (rd) είναι γνησίως αύξουσα εκτός αν η f είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή η φ n-diam είναι σταθερή. Συμβολίζουμε με LengthA και με A το μήκος και το σύνορο αντίστοιχα, ενός συνόλου A C. Θεώρημα 1.2.4. (Θεώρημα μήκους) Αν η συνάρτηση f : D C είναι ολόμορφη και επιπλέον ένα προς ένα, τότε η συνάρτηση μήκους φ Length (r) = Length f(rd), r (0, 1), 2πr είναι γνησίως αύξουσα εκτός αν η f είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή η φ Length είναι σταθερή. Αναφέρουμε εδώ ότι η μονοτονία της συνάρτησης μήκους φ Length εμφανίζεται και στο βιβλίο των Pólya και Szegö [41, Πρόβλημα 309]. Εάν συμβολίσουμε με DiamA τη διάμετρο του συνόλου Α τότε είναι σαφές πως d 2 (E) = Diam(E). Ορισμός 1.2.4. Καλούμε χωρητικότητα CapE του συνόλου E C το όριο d (E) := lim n d n (E) = Cap(E). Ως πορίσματα του Θεωρημάτος 1.2.3 παίρνουμε τα δύο ακόλουθα μονοτονιακά αποτελέσματα [13]. Θεώρημα 1.2.5. (Θεώρημα διαμέτρου) Αν η συνάρτηση f : D C είναι ολόμορφη, τότε η συνάρτηση διαμέτρου φ Diam (r) = Diamf(rD), r (0, 1), 2r είναι γνησίως αύξουσα εκτός αν η f είναι γραμμική, στην οποία περίπτωση η φ Diam είναι σταθερή.

Εισαγωγή 5 Με το θεώρημα αυτό, οι Burckel κτλ, ισχυροποίησαν ένα παλιό αποτέλεσμα των Landau και Toeplitz [35], οι οποίοι, κάτω από τις ίδιες προϋποθέσεις, απέδειξαν πως αν Diamf(D) = 2 τότε για κάθε r (0, 1), Diamf(rD) 2r. Θεώρημα 1.2.6. (Θεώρημα χωρητικότητας) Αν η συνάρτηση f : D C είναι ολόμορφη τότε η συνάρτηση χωρητικότητας φ Cap (r) = Capf(rD), r (0, 1), r είναι γνησίως αύξουσα εκτός αν η f είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή, η φ Cap είναι σταθερή. 1.2.3 Άλλα γνωστά θεωρήματα μονοτονίας Η ιδέα για την παραγωγή μονοτονιακών θεωρημάτων εμφανίστηκε αρκετά χρόνια πριν. Πράγματι, ο G. Julia [31], απέδειξε ένα θεώρημα μονοτονίας που έχει να κάνει με ολοκληρώματα. Θεώρημα 1.2.7. Εστω f : D C ολόμορφη. Τότε, για 0 < p <, η συνάρτηση 2π f(re it ) p dt 0 Φ p (r) =, r (0, 1), r p είναι αύξουσα. Πρόσφατα, οι Μπετσάκος και Πουλιάσης [11] μελέτησαν τη μονοτονία συναρτήσεων που εμπλέκουν τα δυναμοθεωρητικά μεγέθη της εσωτερικής ακτίνας (inner radius) και χωρητικότητας πυκνωτών. Για να παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα αυτά, θα χρειαστούμε κάποιες βασικές έννοιες. Ορισμός 1.2.5. [44] Εστω τόπος D C = C { }. Η συνάρτηση Green για το D είναι μία απεικόνιση g(,, D) : D D (, ], τέτοια ώστε w D : (αʹ) g(, w, D) είναι αρμονική στο D \{w}, και φραγμένη έξω από κάθε περιοχή του w. (βʹ) g(w, w, D) =. (γʹ) Καθώς z w, η συνάρτηση συμπεριφέρεται ως εξής: { log z + O(1), w =, g(z, w, D) = log z w + O(1), w.

6 Γαλάτεια Κλεάνθους (δʹ) g(z, w, D) 0, καθώς z ζ, ζ D \ E, όπου E D με CapE = 0. Ορισμός 1.2.6. Καλούμε πυκνωτή στο μιγαδικό επίπεδο ένα ζευγάρι (D, K), όπου D είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του C που έχει συνάρτηση Green και K ένα συμπαγές υποσύνολο του D. Ορισμός 1.2.7. Εστω (D, K) πυκνωτής και h η λύση του γενικευμένου προβλήματος Dirichlet στο D \K με συνοριακές τιμές 0 στο D και 1 στο K. Χωρητικότητα του (D, K) ορίζεται να είναι το ολοκλήρωμα Cap(D, K) = h 2. D\K Ορισμός 1.2.8. Εάν (D, K) πυκνωτής, θέτουμε ( ) 2π C 2 (D, K) = exp. Cap (D,K) Ορισμός 1.2.9. Εστω D C τόπος με συνάρτηση Green g(z, w, d) και z 0 D. Τότε, το όριο [ ] γ = lim g(z, z 0, D) + log(z z 0 ) z z0 υπάρχει. Καλούμε εσωτερική ακτίνα R(D, z 0 ) του D στο z 0 την ποσότητα R(D, z 0 ) = e γ. Είμαστε τώρα σε θέση να δώσουμε τα μονοτονιακά θεωρήματα των Μπετσάκου και Πουλιάση. Θεώρημα 1.2.8. Εστω f : D C ολόμορφη συνάρτηση και υποθέτουμε ότι f(d) έχει συνάρτηση Green. Τότε, η συνάρτηση Φ C (r) = C 2(f(D), f(rd)), r (0, 1), r είναι αύξουσα. Εάν η Φ C δεν είναι αυστηρά αύξουσα, τότε υπάρχει d 0 (0, 1] τέτοιο ώστε η Φ C να είναι σταθερή στο (0, d 0 ) και αυστηρά αύξουσα στο (d 0, 1) και η f ένα προς ένα στο d 0 D. Θεώρημα 1.2.9. Εστω f : D C ολόμορφη. Τότε, η συνάρτηση R(f(rD), f(0)) Φ R (r) =, r (0, 1), r είναι αύξουσα. Επιπλέον, εάν η Φ R δεν είναι αυστηρά αύξουσα, τότε υπάρχει ένα s 0 (0, 1] τέτοιο ώστε η Φ R να είναι σταθερή στο (0, s 0 ) και αυστηρά αύξουσα στο (s 0, 1) και η f ένα προς ένα στο s 0 D.

Εισαγωγή 7 1.2.4 Θεωρήματα μονοτονίας στον R n Φεύγοντας από το μιγαδικό επίπεδο και πηγαίνοντας στο χώρο R n, n 3, βρίσκουμε κι εκεί τέτοιου είδους θεωρήματα. Πράγματι, ο Μπετσάκος στην εργασία [8] απέδειξε ανάλογα μονοτονιακά θεωρήματα για quasiregular συναρτήσεις της μοναδιαίας μπάλας B n = {x R n : x < 1} του R n. Ορισμός 1.2.10. Η συνάρτηση f : R n Ω R n θα καλείται K quasiregular, K 1, εάν Df(x) n K J f (x), για κάθε x Ω, όπου J f είναι η Ιακωβιανή ορίζουσα, Df η παράγωγος, δηλ. η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από τον Ιακωβιανό πίνακα, και η νόρμα της. Τονίζουμε εδώ ότι οι quasiregular απεικονίσεις, αποτελούν γενίκευση των ο- λόμορφων. Είναι εύκολο, με βάση τον ορισμό, να παρατηρήσουμε πως οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι quasiregular στον R 2 με K = 1, καθώς προκύπτει η ισότητα Df(z) 2 = J f (z), για κάθε z Ω C, εξαιτίας των συνθηκών Cauchy-Riemann. Λόγω της παρατήρησης αυτής, τα αποτελέσματα του Μπετσάκου για quasiregular συναρτήσεις, αποτελούν γενίκευση των αποτελεσμάτων των Burckel κτλ. Παραπέμπουμε στην εργασία [8] για παρουσίαση των αποτελεσμάτων αυτών. Περνάμε τώρα σε μία κλάση συναρτήσεων με την οποία ασχολήθηκε ο Μπετσάκος στο άρθρο του [10], στο πλαίσιο της παραγωγής μονοτονιακών θεωρημάτων. Για περισσότερες σχετικές πληροφορίες παραπέμπουμε στα άρθρα [24], [34]. 1.2.5 Ελλειπτικά απλές συναρτήσεις Για να ορίσουμε τις συναρτήσεις αυτές, θα χρειαστούμε κάποιες επιπλέον έννοιες. Ορισμός 1.2.11. Εστω α C\{0}. Θα καλούμε αντιδιαμετρικό (antipodal) σημείο του α, τον αριθμό α = 1/α. Θέτουμε επίσης 0 =, = 0. Ορισμός 1.2.12. Θεωρούμε E C, και ορίζουμε το αντιδιαμετρικό σύνολό του να είναι το E = {α : α E}.

8 Γαλάτεια Κλεάνθους Ορισμός 1.2.13. Εστω E C. Το E θα καλείται ελλειπτικά απλό σύνολο εάν E E =. Ορισμός 1.2.14. Θεωρούμε τόπο D C και συνάρτηση f : D C ολόμορφη. Λέμε ότι η f είναι μία ελλειπτικά απλή συνάρτηση, εάν η εικόνα της f(d) είναι ελλειπτικά απλό σύνολο. Ορισμός 1.2.15. Εστω z, w C. Η ψευδοελλειπτική απόσταση των z, w ορίζεται να είναι η ποσότητα: [z, w] e = z w 1 + zw, [z, ] e = 1 z. Παρατήρηση 1.2.1. Η ψευδοελλειπτική απόσταση απειρίζεται ακριβώς για αντιδιαμετρικά σημεία. Ορισμός 1.2.16. Θεωρούμε κλειστό ελλειπτικά απλό σύνολο E. Η ελλειπτική χωρητικότητα (ή ελλειπτική υπερπεπερασμένη διάμετρος) του E συμβολίζεται με d e (E) και ορίζεται ως το όριο d e (E) = lim n d e,n (E), όπου { } 2/(n(n 1)) d e,n (E) = sup [z j, z k ] e n = 2, 3, 4,... z 1,...,z n E 1 j<k n και το supremum το παίρνουμε για όλες τις n-άδες σημείων του Ε. Η ελλειπτική χωρητικότητα ενός ελλειπτικά απλού συνόλου, ορίζεται να είναι η ελλειπτική χωρητικότητα της κλειστότητάς του και πάντοτε είναι μία πεπερασμένη ποσότητα. Για ελλειπτικά απλές συναρτήσεις ο Μπετσάκος απέδειξε το ακόλουθο: Θεώρημα 1.2.10. [10] Εστω f : D C ελλειπτικά απλή, ολόμορφη συνάρτηση. Τότε η συνάρτηση Φ e (r) = d e(f(rd)), r (0, 1), r είναι αύξουσα. Επιπλέον, είναι αυστηρά αύξουσα, εκτός αν f(z) = λz + α 1 αλz για κάποιες σταθερές λ D και α C. Στην περίπτωση που η f έχει τη μορφή αυτή, η Φ e είναι μία σταθερή συνάρτηση. Εδώ ολοκληρώνεται η περιήγησή μας στα μονοτονιακά θεωρήματα. Μελετώντας τα πιο πάνω αποτελέσματα, επιχειρήσαμε το πέρασμα σε μερόμορφες συναρτήσεις στο άρθρο [18]. Στην εργασία αυτή αποδείξαμε μονοτονιακά θεωρήματα που αφορούν τη γνωστή κλάση μερόμορφων συναρτήσεων Σ.

Εισαγωγή 9 1.2.6 Η κλάση Σ Ορισμός 1.2.17. Εστω συνάρτηση f : C \ D C. Θα λέμε ότι f Σ αν είναι ένα προς ένα και ολόμορφη συνάρτηση στο C \ D με ανάπτυγμα Laurent με κέντρο το άπειρο f(z) = z + c 0 + c 1 z + c 2..., z > 1. (1.2.1) z2 Η κλάση Σ έγινε γνωστή από τη σύνδεσή της με το Θεώρημα 1/4 του Koebe και την ανάμειξή της στην εικασία του Bieberbach. Εμφανίζεται σε πολλά γνωστά βιβλία μιγαδικής ανάλυσης. Για παράδειγμα παραπέμπουμε στα [19], [23], [41], [42], [43]. Για μία συνάρτηση f Σ, συμβολίζουμε με D f τη διάμετρο του συμπληρώματος της εικόνας του C \ D μέσω της f, δηλαδή D f = Diam(C \ f(c \ D)). Οι Pólya και Szegö [42, Πρόβλημα 141, σελ. f Σ και έδειξαν πως 2 D f 4. 23] θεώρησαν μία συνάρτηση Η ισότητα D f = 4 επιτυγχάνεται αν και μόνο αν η f είναι της μορφής f(z) = z + c + e it /z, c C, t R. Η ισότητα D f = 2 πιάνεται αν και μόνο αν η f είναι μία μεταφορά, δηλαδή f(z) = z + c 0, για κάποια σταθερά c 0 C. Η τελευταία περίπτωση ισότητας, παρόλο που εμφανίζεται στο βιβλίο των Pólya και Szegö, δεν αποδεικνύεται εκεί. Την απόδειξη έδωσε αργότερα ο Jenkins στην εργασία του [28]. Με το θέμα της απόδειξης αυτής της ισότητας, ασχολήθηκαν επιπλέον τόσο ο Jenkins, όσο και ο Pfluger στα [29], [39] και [40]. 1.2.7 Τα δικά μας μονοτονιακά Θεωρήματα Στο άρθρο [18] αποδεικνύουμε μονοτονιακά θεωρήματα για συναρτήσεις f της κλάσης Σ με εμπλοκή των γεωμετρικών μεγεθών του εμβαδού, της ακτίνας, της διαμέτρου και του μήκους και του δυναμοθεωρητικού μεγέθους της λογαριθμικής χωρητικότητας. Μελετούμε επιπλέον την οριακή συμπεριφορά των συναρτήσεων που μας απασχολούν και παίρνουμε ως πόρισμα την περίπτωση ισότητας D f = 2 στην οποία μόλις αναφερθήκαμε στην πιο πάνω παράγραφο. Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων αυτών εισάγουμε την κλάση M Σ.

10 Γαλάτεια Κλεάνθους Ορισμός 1.2.18. Λέμε ότι f M εάν f είναι ολόμορφη συνάρτηση στο C \ D με ανάπτυγμα Laurent με κέντρο το άπειρο f(z) = z + c 0 + c 1 z + c 2..., z > 1. (1.2.2) z2 Για κάθε συνάρτηση f Σ με ανάπτυγμα Laurent (1.2.2), ορίζουμε τις ακόλουθες συναρτήσεις. (i) Συνάρτηση «ακτίνας»: Εστω C r ο κύκλος με κέντρο την αρχή και ακτίνα r. Εισάγουμε την «ακτίνα» R f (r) = sup{ f(z) c 0 : z C r }, 1 < r <, και ορίζουμε τη συνάρτηση «ακτίνας» ϕ R (r) = R f(r), 1 < r <. r (ii) Συνάρτηση διαμέτρου: ϕ D (r) = Diamf(C r), 1 < r <. 2r (iii) Συνάρτηση μήκους: ϕ L (r) = Lengthf(C r), 1 < r <. 2πr (iv) Συνάρτηση εμβαδού: Εστω intγ το εσωτερικό μίας απλής, κλειστής καμπύλης Γ. Ορίζουμε (v) Συνάρτηση χωρητικότητας: ϕ A (r) = Area int(f(c r)) πr 2, 1 < r <. ϕ C (r) = Cap int(f(c r)), 1 < r <. r

Εισαγωγή 11 Οι συναρτήσεις ϕ R (r) και ϕ D (r), ορίζονται και για κάθε συνάρτηση f M. Αποδείξαμε στο [18] τα ακόλουθα θεωρήματα: Θεώρημα 1.2.11. (Θεώρημα εμβαδού) Αν f Σ, τότε η ϕ A είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ), εκτός από την περίπτωση που η f είναι μεταφορα, οπότε η ϕ A είναι σταθερή. Επιπλέον, lim ϕ A(r) = 1. r Θεώρημα 1.2.12. (Θεώρημα διαμέτρου) Αν f M, τότε η ϕ D είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, ), εκτός από την περίπτωση που η f είναι μεταφορά, οπότε η ϕ D είναι σταθερή. Επιπλέον, lim ϕ D(r) = 1. r Θεώρημα 1.2.13. (Θεώρημα ακτίνας) Αν f M, τότε η ϕ R είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, ), εκτός από την περίπτωση που η f είναι μεταφορά, οπότε η ϕ R είναι σταθερή. Επιπλέον, lim ϕ R(r) = 1. r Θεώρημα 1.2.14. (Θεώρημα μήκους) Αν f Σ, τότε η ϕ L είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, ), εκτός από την περίπτωση που η f είναι μεταφορά, οπότε η ϕ L είναι σταθερή. Επιπλέον, lim ϕ L(r) = 1. r Θεώρημα 1.2.15. (Θεώρημα χωρητικότητας) Αν f Σ, τότε η ϕ C είναι σταθερή και ίση με 1 για κάθε r > 1. Το Θεώρημα διαμέτρου μας δίνει ως πόρισμα, το γνωστό θεώρημα σχετικό με την κλάση Σ. Πόρισμα 1.2.16. Εστω f Σ. Τότε D f 2, κι επιπλέον, D f = 2 αν και μόνο αν η f είναι μεταφορά. 1.3 Θεωρήματα Αυξητικότητας Ας επανέλθουμε και πάλι στο λήμμα Schwarz. Εκτός από ένα μονοτονιακό θεώρημα, το λήμμα μπορεί να αντιμετωπιστεί και ως ένα θεώρημα αυξητικότητας. Πράγματι, η ανισότητα f(z) z, για κάθε z D,

12 Γαλάτεια Κλεάνθους δίνει έναν περιορισμό στην αυξητικότητα της f. Οι πιο άμεσες παραλλαγές του λήμματος του Schwarz έχουν να κάνουν με την αντικατάσταση της συνθήκης (α) f(d) D. Μία τέτοια αλλαγή, δίνει και ένα διαφορετικό θεώρημα αυξητικότητας κάθε φορά. Παραθέτουμε στη συνέχεια κάποια τέτοια θεωρήματα. 1.3.1 Απλές παραλλαγές του λήμματος Schwarz Συμβολίζουμε με Iz, Rz το φανταστικό και το πραγματικό μέρος του μιγαδικού z αντίστοιχα, με H = {z C : Iz > 0} το άνω ημιεπίπεδο και με Π = {z C : Rz > 0} το δεξιό ημιεπίπεδο. Θεώρημα 1.3.1. Εστω f : D C ολόμορφη συνάρτηση με f(d) H και f(0) = i. Τότε, f(z) 1 + z, για κάθε z D. 1 z Πράγματι, αν θεωρήσουμε την ολόμορφη συνάρτηση h : H D με h(z) = z i z + i, τότε η σύνθετη συνάρτηση h f : D D είναι ολόμορφη, με h f(0) = 0. Οπότε, από το λήμμα Schwarz, h f(z) z, για κάθε z D, το οποίο εύκολα δίνει, κάνοντας χρήση της τριγωνικής ανισότητας, τη σχέση αυξητικότητας f(z) 1 + z, για κάθε z D. 1 z Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε πως αν f : D C ολόμορφη με (I) f(d) rd, για κάποιο r > 0, και f(0) = 0, ή (II) f(d) Π, και f(0) = 1, τότε προκύπτουν αντίστοιχα, οι εκτιμήσεις αυξητικότητας (I) (II) f(z) r z, για κάθε z D, ή f(z) 1 + z, για κάθε z D. 1 z

Εισαγωγή 13 1.3.2 Θεώρημα διαμέτρου Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι περιπτώσεις που η συνθήκη (α) f(d) D αντικαθίσταται με μία άλλη για την οποία δεν υπάρχει τετριμμένα μία σύμμορφη απεικόνιση h : f(d) D όπως είδαμε στα παραδείγματα της 1.3.1. Ενα τέτοιο αποτέλεσμα έδωσαν οι Burckel, Marshall, Minda, Poggi-Corradini and Ransford [13]. Θεώρημα 1.3.2. Εστω f : D C ολόμορφη συνάρτηση με Diamf(D) = 2 και f(0) = 0. Τότε f(z) 2 z 1 +, z D, 1 z 2 με ισότητα για κάποιο z D \ {0} αν και μόνο αν η f έχει τη μορφή f(z) = α + c z β 1 βz, για κάποιες σταθερές α C, β D \ {0} και c D. 1.3.3 Θεώρημα χωρητικότητας Ο Μπετσάκος [10] έδωσε ένα ανάλογο αποτέλεσμα αυξητικότητας με αυτό της 1.3.2, αντικαθιστώντας το γεωμετρικό μέγεθος της διαμέτρου με το δυναμοθεωρητικό μέγεθος της λογαριθμικής χωρητικότητας. Θα συμβολίζουμε με d(a) (συμβολίζεται και ως capa) τη λογαριθμική χωρητικότητα του συνόλου A όπως αυτή έχει οριστεί στην 1.2.2. Ορισμός 1.3.1. Εάν θεωρήσουμε τα πλήρη ελλειπτικά ολοκληρώματα K(x) = 1 0 dt (1 t2 )(1 x 2 t 2 ), K (x) = K( 1 x 2 ), x (0, 1), τότε ορίζουμε τη συνάρτηση µ με τη σχέση µ(x) = π 2 K (x) K(x). Παρατήρηση 1.3.1. Η µ είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση που απεικονίζει το (0, 1) επί του (0, ). Το βιβλίο [2] έχει λεπτομερή περιγραφή της θεωρίας των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων και της συνάρτησης µ.

14 Γαλάτεια Κλεάνθους Θεώρημα 1.3.3. [10] Εστω f μία μη σταθερή ολόμορφη συνάρτηση στο D, με f(0) = 0. Τότε f(z) 4d(f(D)) exp ( µ( z ) ), z D, με ισότητα για κάποιο z D\{0} αν και μόνο αν η f απεικονίζει το D σύμμορφα επί του τόπου που είναι φραγμένος από μία έλλειψη με εστίες τα σημεία 0 και f(z). Αναφέρουμε εδώ πως θεωρήματα αυξητικότητας για ένα προς ένα, ολόμορφες συναρτήσεις f με εικόνα δοσμένης λογαριθμικής χωρητικότητας, μπορεί να βρει κανείς και στο [20], αλλά με την επιπρόσθετη συνθήκη f (0) 1 = f(0) = 0. 1.3.4 Θεωρήματα για ελλειπτικά απλές συναρτήσεις Επανερχόμαστε στις ελλειπτικά απλές συναρτήσεις, στις οποίες αναφερθήκαμε στην 1.2.5. Με αυτή την κλάση συναρτήσεων ασχολήθηκε ο Shah στο πλαίσιο της μελέτης των θεωρημάτων αυξητικότητας στο άρθρο [46]. Για να δώσουμε τα αποτελέσματά του καθώς και τα επόμενα που ακολουθούν, χρειάζεται να ορίσουμε τις καμπύλες Γ, οι οποίες όπως θα δούμε εμπλέκονται στις περιπτώσεις ισότητας των θεωρημάτων. Ορισμός 1.3.2. Εστω w 0 C \ {0} και Ω ο διπλά συναφής τόπος με συμπληρωματικές συνιστώσες [0, w 0 ] και [0, w 0 ]. Ο τόπος Ω μπορεί να απεικονισθεί σύμμορφα επί του δακτυλίου όπου {z : d 0 < z < d 1 0 }, d 0 = d e ([0, w 0 ]) (βλ. [10], [24]). Οι προεικόνες των κύκλων z = r, όπου d 0 < r < d 1 0 είναι Jordan καμπύλες Γ(r, w 0 ) που εμπερικλείουν το τμήμα [0, w 0 ]. Ο Shah απέδειξε το ακόλουθο φράγμα για τις ελλειπτικά απλές συναρτήσεις. Θεώρημα 1.3.4. Εστω f : D C μη σταθερή, ελλειπτικά απλή, ολόμορφη συνάρτηση με f(0) = 0. Τότε f(z) z, για κάθε z D. (1.3.1) 1 z 2

Εισαγωγή 15 Η ισότητα για κάποιο z 0 D \ {0} ισχύει αν και μόνο αν η f απεικονίζει το D σύμμορφα επί του εσωτερικού του κύκλου Γ(1, f(z 0 )), στην οποία περίπτωση η f έχει τη μορφή για κάποιο φ R. 1 f(z) = e iφ z0 2 z, για κάθε z D, 1 z 0 z Ο Μπετσάκος [10] βελτίωσε το πιο πάνω αποτέλεσμα, μέσω ενός καινούριου θεωρήματος αυξητικότητας. Θεώρημα 1.3.5. Εστω f : D C μη σταθερή, ελλειπτικά απλή, ολόμορφη συνάρτηση με f(0) = 0. Τότε ) f(z) ϕ µ (µ( z ) 1 log d e (f(d)), για κάθε z D \ {0}, (1.3.2) όπου ϕ(x) = x, x (0, 1), (1.3.3) 1 x 2 και η συνάρτηση µ, και η ελλειπτική χωριτικότητα d e όπως ορίστηκαν στην παρούσα παράγραφο και στην 1.2.5 αντίστοιχα. Ισχύει ισότητα για κάποιο z 0 D \ {0}, αν και μόνο αν η συνάρτηση f απεικονίζει το D σύμμορφα επί του εσωτερικού της Γ(ρ, f(z o )) για κάποιο ρ με d e ([0, f(z 0 )]) < ρ 1. Είναι εύκολο να δούμε πως όντως το φράγμα του Μπετσάκου βελτιώνει αυτό του Shah. Πράγματι, αυτό προκύπτει από την σχέση d e (f(d)) 1 και τη μονοτονία της συνάρτησης µ (βλ. Παρατήρηση 1.3.1). 1.3.5 Ενα νέο Θεώρημα αυξητικότητας Μας απασχόλησε στην εργασία [17] η περίπτωση που η εικόνα της f, f(d), παίρνει τιμές στο εσωτερικό μίας γωνίας. Εστω θ (0, 2π) και D θ = {z C : Arg(z) < θ/2}, όπου Arg(z) ( π, π], το πρωτεύον όρισμα του μιγαδικού z. Από το λήμμα Schwarz και με τη χρήση κατάλληλης σύμμορφης απεικόνισης (βλ. 1.3.1), εύκολα παίρνουμε το ακόλουθο: Θεώρημα 1.3.6. Εστω f : D C ολόμορφη συνάρτηση τέτοια ώστε Τότε f(z) f(0) (α ) f(d) D θ. ( ) θ/π 1 + z, για κάθε z D. 1 z

16 Γαλάτεια Κλεάνθους Στο άρθρο [17] γενικεύουμε την παραπάνω εκτίμηση. συναρτήσεις f : D C, που ικανοποιούν τη συνθήκη Θεωρούμε ολόμορφες (a ) m(f(d) C r ) θr, για κάθε r > 0, όπου m είναι το μονοδιάστατο μέτρο Lebesque επί του κύκλου C r. Προφανώς η (a ) είναι ασθενέστερη της (a ). Οπότε, με το ακόλουθο θεώρημα, γενικεύουμε προς δύο κατευθύνσεις: Εχουμε ασθενέστερη συνθήκη, και πετυχαίνουμε καλύτερο φράγμα. Θεώρημα 1.3.7. Σταθεροποιούμε θ (0, 2π). Εστω f : D C ολόμορφη συνάρτηση με m(f(d) C r ) θr, για κάθε r > 0. Τότε z D, f(z) f(0) f(0) ( ) θ/π 1 + z f(0). (1.3.4) 1 z Η ισότητα στην (1.3.4) για κάποιο z 0 = z 0 e iα D \ {0} ισχύει αν και μόνο αν f(z) = c ( ) 1 + e iα θ/π z, (1.3.5) 1 e iα z για κάποιο c C \ {0}. Επιπλέον εάν η f έχει τη μορφή (1.3.5) τότε η σχέση (1.3.4) ισχύει με ισότητα για κάθε z = re iα, 0 r < 1. Να αναφέρουμε εδώ πως με συναρτήσεις ολόμορφες στο D που ικανοποιούν τη συνθήκη (a ) ασχολήθηκε και ο Hayman[25, Κεφάλαιο 4]. 1.3.6 Το θεώρημα του Littlewood Περνάμε τώρα σε μια γενίκευση του λήμματος Schwarz, η οποία εμπλέκει όλες τις προεικόνες των τιμών της συνάρτησης f και δόθηκε από τον Littlewood [37, Θεώρημα 214]. Θεώρημα 1.3.8. Εστω f : D D ολόμορφη συνάρτηση με f(0) = 0. Τότε, για κάθε w f(d), w j z j (w), (1.3.6) όπου το πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο {z j (w)} περιλαμβάνει όλες τις προεικόνες του w μέσω της f, με τη σύμβαση ότι κάθε μία επαναλαμβάνεται τόσες φορές όσες η πολλαπλότητά της ως ρίζα της συνάρτησης f(z) w.

Εισαγωγή 17 1.3.7 Εσωτερικές συναρτήσεις Για τη διατύπωση της περίπτωσης ισότητητας του θεωρήματος του Littlewood, εισάγουμε την έννοια της εσωτερικής συνάρτησης (inner function). Ορισμός 1.3.3. Θα λέμε ότι μία πρόταση ισχύει σχεδόν για όλα τα σημεία ενός συνόλου A, όταν ισχύει σε σύνολο A\B, με το B να έχει μηδενικό μέτρο. Ορισμός 1.3.4. Μία συνάρτηση h : D D καλείται εσωτερική, εάν τα ακτινικά όρια υπάρχουν σχεδόν για όλα τα σημεία του συνόρου και έχουν μέτρο 1, δηλαδή lim r 1 f(reiθ ) = f(e iθ ) με f(e iθ ) = 1 σχεδόν για όλα τα θ [0, 2π). Ο Lehto [36] απέδειξε το ακόλουθο: Θεώρημα 1.3.9. Εστω f : D D ολόμορφη συνάρτηση με f(0) = 0. Ισχύει ισότητα στην (1.3.6) για κάποιο w D \ {0} αν και μόνο αν η f είναι εσωτερική συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ισότητα για κάθε w, έξω από ένα υποσύνολο του D λογαριθμικής χωρητικότητας ίσης με μηδέν. 1.3.8 Ενα θεώρημα αυξητικότητας με προεικόνες Μία παραλλαγή του θεωρήματος του Littlewood δόθηκε από τον Μπετσάκο [9] (βλέπε επίσης [15]) και εμπλέκει το μέγεθος της διαμέτρου. Αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος αυξητικότητας των Burckel κ.τ.λ. που παρουσιάσαμε στην 1.3.2. Θεώρημα 1.3.10. [9] Εστω f : D C ολόμορφη και φραγμένη συνάρτηση. Τότε για κάθε w f(d), όπου ( ) w f(0) Diamf(D)Φ z j (w), Φ(x) = x 1 +, x [0, 1]. 1 x2 Ισχύει ισότητα στην πιο πάνω σχέση για κάποιο w o f(d)\{f(0)}, αν και μόνο αν υπάρχουν σταθερά α D \ {0} και εσωτερική συνάρτηση h με h(0) = 0, τέτοια ώστε f(z) = h(z) + α 1 + ah(z) + α + w o, z D. j

18 Γαλάτεια Κλεάνθους 1.3.9 Δύο νέα Θεωρήματα αυξητικότητας με προεικόνες Στις εργασίες [17] και [16] αποδείξαμε δύο θεωρήματα αυξητικότητας με προεικόνες που εμπλέκουν τη λογαριθμική χωρητικότητα και την ελλειπτική χωρητικότητα αντίστοιχα. Εάν µ η συνάρτηση όπως ορίζεται στην 1.3.3 και d η λογαριθμική χωρητικότητα ενός συνόλου, δείξαμε τα ακόλουθα: Θεώρημα 1.3.11. [17] Εστω f : D C μία μη σταθερή, φραγμένη ολόμορφη συνάρτηση. Τότε για κάθε w f(d) \ {f(0)}, ( w f(0) 4d(f(D)) exp µ ( z j (w) )). (1.3.7) Η ισότητα στην (1.3.7) για κάποιο w 0 f(d) \ {f(0)} ισχύει αν και μόνο αν f = h k + c, όπου k είναι μια εσωτερική συνάρτηση με k(0) = 0, h μία σύμμορφη απεικόνιση του D επί του τόπου που είναι φραγμένος από την έλλειψη με εστίες 0 και w 0 f(0), και c C μία μιγαδική σταθερά. Το Θεώρημα αυτό προφανώς γενικεύει την εκτίμηση f(z) f(0) 4d(f(D)) exp ( µ( z ) ), που απέδειξε ο Μπετσάκος στο [10] και την οποία έχουμε παρουσιάσει στην 1.3.3. Το δεύτερο αποτέλεσμα αφορά τις ελλειπτικά απλές συναρτήσεις και αποτελεί γενίκευση του Θεωρήματος 1.3.7 που απέδειξε ο Μπετσάκος για αυτή την κλάση συναρτήσεων. Εστω d e η ελλειπτική χωρητικότητα όπως ορίστηκε στην 1.2.5. Θεώρημα 1.3.12. Εστω f : D C μη σταθερή, ελλειπτικά απλή, ολόμορφη συνάρτηση με f(0) = 0. Τότε, για κάθε w f(d) \ {0}, ( w ϕ µ 1 µ ( z j (w) ) ) log d e (f(d)). (1.3.8) j Ισχύει ισότητα στην (1.3.8) για κάποιο w 0 f(d) \ {0} αν και μόνο αν f = h k, όπου k είναι μία εσωτερική συνάρτηση με k(0) = 0 και h μία σύμμορφη απεικόνιση του D επί του εσωτερικού της καμπύλης Γ(r, w 0 ) για κάποιο r με d e ([0, w 0 ]) < r 1. Ως πόρισμα του πιο πάνω θεωρήματος παίρνουμε το ακόλουθο. j

Εισαγωγή 19 Πόρισμα 1.3.13. Εάν f : D C είναι μη σταθερή, ελλειπτικά απλή, ολόμορφη συνάρτηση με f(0) = 0, τότε για κάθε w f(d), j w z j(w) 1. (1.3.9) j z j(w) 2 Ισχύει ισότητα στην (1.3.9) για κάποιο w 0 f(d)\{0} αν και μόνο αν f = h k, όπου k μία εσωτερική συνάρτηση με k(0) = 0 και h μία σύμμορφη απεικόνιση του D επί του εσωτερικού του κύκλου Γ(1, w 0 ). Η συνάρτηση h έχει τη μορφή h(z) = e iθ z 1 z 0 2, 1 z 0 z για κάποιο θ R, z 0 D με z 0 = k(z j (w 0 )), j N. Το Πόρισμα 1.3.13 γενικεύει το Θεώρημα του Shah (Θεώρημα 1.3.6). 1.4 Γεωμετρικές παραλλαγές του λήμματος Schwarz 1.4.1 Ενα θεώρημα του Solynin Η έμπνευση για μία γενίκευση του λήμματος Schwarz γεωμετρικού χαρακτήρα, που αποδείξαμε στο άρθρο [16], προήλθε από την εργασία [48] του Solynin. Αν θεωρήσουμε ολόμορφη συνάρτηση f : D C με και f(0) = 1 (1.4.1) f(d) Π := {z C : Rz > 0}, (1.4.2) όπου Rz το πραγματικό μέρος του μιγαδικού z, τότε με χρήση σύμμορφων μετασχηματισμών αποδεικνύεται ότι και f(z) 1 2 z, για κάθε z D, (1.4.3) 1 z f (0) 2. (1.4.4) Ο Solynin αντικατέστησε τη συνθήκη f(d) Π, με μία ασθενέστερη γεωμετρική υπόθεση για την εικόνα f(d) και απέδειξε το ακόλουθο: Θεώρημα 1.4.1. Θεωρούμε f : D C με f(0) = 1 για την οποία: Δεν περιέχεται στο f(d) κανένα ευθύγραμμο τμήμα της μορφής A y = {z = x + iy : x [0, 2]}, y R. Τότε εξακολουθούν να ισχύουν οι σχέσεις (1.4.3) και (1.4.4).

20 Γαλάτεια Κλεάνθους 1.4.2 Μία νέα γεωμετρική παραλλαγή Στο [16] θεωρήσαμε f : D C ολόμορφη συνάρτηση με f(0) = 0. Ακολουθώντας τον τρόπο σκέψης του Solynin αντικαταστήσαμε τη συνθήκη (α) f(d) D, του λήμματος του Schwarz με μία ασθενέστερη γεωμετρική συνθήκη. Συγκεκριμένα, θεωρήσαμε την οικογένεια ολόμορφων συναρτήσεων F = {f : D C, με f(0) = 0 και A φ \ f(d), για όλα τα φ [0, 2π]}, όπου A φ = {z = re iφ : r 0} είναι η ακτίνα του κλειστού μοναδιαίου δίσκου με γωνία φ. Περιγραφικά η συνθήκη μας λέει ότι: Δεν περιέχεται στην εικόνα f(d) καμία ολόκληρη ακτίνα του κλειστού μοναδιαίου δίσκου. Αποδείξαμε το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 1.4.2. Εστω f F. Τότε f (0) 1. (1.4.5) Περαιτέρω, ισχύει ισότητα στην (1.4.5) αν και μόνο αν η f έχει τη μορφή f(z) = cz, όπου c C με c = 1. Προφανώς, η γεωμετρική μας υπόθεση, είναι ασθενέστερη της f(d) D, οπότε το θεώρημά μας γενικεύει το (β) μέρος του λήμματος του Schwarz. Να επισημάνουμε όμως ότι υπάρχουν παραδείγματα συναρτήσεων στην κλάση αυτή που δεν ικανοποιούν το (α) του λήμματος Schwarz. 1.4.3 Η υπερβολική πυκνότητα Το Θεώρημα 1.4.2 που μόλις παρουσιάσαμε, μας δίνει ένα πόρισμα που σχετίζεται με την έννοια της υπερβολικής πυκνότητας. Για το σκοπό αυτό ορίζουμε την ποσότητα αυτή. Ορισμός 1.4.1. Εστω Ω τόπος στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο C. Ο Ω θα καλείται υπερβολικός εάν το συμπλήρωμά του C \Ω περιέχει τουλάχιστον τρία σημεία. Ορισμός 1.4.2. Θεωρούμε υπερβολικό τόπο Ω C. Η πυκνότητα λ Ω της υπερβολικής (ή Poincaré) μετρικής για το Ω ορίζεται ως εξής: Εστω h : Ω D μία ολόμορφη καθολική καλυπτική απεικόνιση (βλ. για παράδειγμα [4, σελ. 41], [26, σελ. 680]). Τότε, λ(z, Ω) = 2 h (z), για κάθε z Ω. 1 h(z) 2

Εισαγωγή 21 Παραπέμπουμε στα [4], [26] και [33] για περισσότερα όσον αφορά την υπερβολική μετρική. 1.4.4 Ενα πόρισμα για την υπερβολική πυκνότητα Ας δώσουμε τώρα την εκτίμηση για την υπερβολική μετρική, που προκύπτει από το Θεώρημα 1.4.2, όπως προαναφέραμε. Πόρισμα 1.4.3. Εστω Ω ένας υπερβολικός τόπος στο C. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα σημείο z 0 Ω για το οποίο λ(z 0, Ω) 2. Τότε το Ω είτε περιέχει ένα κλειστό ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1 με ένα άκρο στο z 0, είτε ταυτίζεται με το δίσκο ακτίνας 1 και κέντρου z 0. 1.4.5 Θεωρήματα κάλυψης Το δεύτερο Πόρισμα του Θεωρήματος 1.4.2 είναι ένα θεώρημα κάλυψης για ακτινικά τμήματα. Τα θεωρήματα κάλυψης για ολόμορφες συναρτήσεις είναι κλασικό θέμα στην γεωμετρική θεωρία συναρτήσεων και με αυτά ασχολήθηκαν αρκετοί μαθηματικοί. Για παράδειγμα, ο Koebe (βλ.για παράδειγμα [23]) απέδειξε το ακόλουθο διάσημο θεώρημα κάλυψης δίσκων: Θεώρημα 1.4.4. Υπάρχει μία σταθερά K (σταθερά Koebe) έτσι ώστε, εάν η συνάρτηση f είναι ολόμορφη και ένα προς ένα στο D με f(0) = f (0) 1 = 0, τότε ο δίσκος KD περιέχεται στην εικόνα f(d). Αναφέρουμε επιπλέον πως ο Bieberbach to 1916, απέδειξε πως K = 1/4 και επιπλέον ο δίσκος (1/4)D είναι ο μέγιστός δίσκος που περιέχεται στο f(d) αν και μόνο αν f(z) = z + 2z 2 + 3z 3 z +... = (1 z). 2 Μία άλλη κατηγορία θεωρημάτων κάλυψης είναι αυτή της κάλυψης διαστημάτων. Παρουσιάζουμε ενδεικτικά ένα τέτοιο: Θεώρημα 1.4.5. [21] Εστω f ολόμορφη και ένα προς ένα συνάρτηση του D με f(0) = f (0) 1 = 0. Σταθεροποιούμε t (0, π]. Για τα ευθύγραμμα τμήματα l x = {w = x + iy : y (cos(t/2))/2}, όπου x (cos t)/(4 sin(t/2)), υπάρχει τουλάχιστον ένα που κείται εξολοκλήρου στο f(d). Η μόνη εξαίρεση, είναι η περίπτωση που η f απεικονίζει σύμμορφα το δίσκο D στο C \ r όπου r μία από τις ακτίνες r + = { x + iy : x cos t 4 sin(t/2), y = cos(t/2)/2 }

22 Γαλάτεια Κλεάνθους και r = { x + iy : x cos t } 4 sin(t/2), y = cos(t/2)/2. Για περισσότερα για τα θεωρήματα κάλυψης παραπέμπουμε στο [21, 10-11] και στις αναφορές που περιέχει. 1.4.6 Ενα νέο Θεώρημα κάλυψης Κλείνουμε το Κεφάλαιο με το δεύτερο Πόρισμα του Θεωρήματος 1.4.2 που αποτελεί ένα Θεώρημα κάλυψης διαστημάτων: Πόρισμα 1.4.6. Εστω f : D C ολόμορφη με f(0) = 0. Εάν f (0) 1, τότε είτε f(d) = D, είτε το f(d) περιέχει ένα κλειστό διάστημα μήκους 1 με ένα άκρο στο 0.

Κεφάλαιο 2 Θεωρήματα μονοτονίας για αναλυτικές συναρτήσεις με κέντρο το άπειρο 2.1 Εισαγωγή Στο παρόν Κεφάλαιο, θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα της πρώτης εργασίας μας «Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity», η οποία έγινε δεκτή προς δημοσίευση το 2012 στο περιοδικό Proceedings of the American Mathematical Society. Ας θεωρήσουμε τις αναλυτικές συναρτήσεις f στο C \ D, όπου D = {z C : z < 1}, ο μοναδιαίος δίσκος του μιγαδικού επιπέδου, με ανάπτυγμα Laurent στο άπειρο f(z) = cz + c 0 + c j z j, (2.1.1) όπου c 0. Συμβολίζουμε με M την οικογένεια όλων των συναρτήσεων της πιο πάνω μορφής με τη συνήθη κανονικοποίηση c = 1. Εστω επίσης Σ η υποκλάση της M που περιλαμβάνει όλες τις ένα προς ένα συναρτήσεις που περιέχονται στη M. Η κλάση Σ αποτελεί κλασικό θέμα μελέτης, βλ. [23], [43]. Ενα γνωστό αποτέλεσμα των Pólya και Szegö για την κλάση Σ [42, Πρόβλημα 141, σελ. 23], μας λέει πως η διάμετρος D f του συμπληρώματος της εικόνας 23 j=1

24 Γαλάτεια Κλεάνθους του C \ D, μέσω της f, ικανοποιεί τις ανισότητες D f = Diam(C \ f(c \ D)), 2 D f 4. Η ισότητα D f = 4 επιτυγχάνεται αν και μόνο αν η f είναι της μορφής f(z) = z + c + eit, για κάποια c C και t R. z Η ισότητα D f = 2 ισχύει αν και μόνο αν η f είναι μία μεταφορά (δηλ. f(z) = z + c 0, για κάποια σταθερά c 0 C). Αυτός ο ισχυρισμός εμφανίστηκε στο [42] αλλά δεν είχε αποδειχθεί εκεί. Αποδείχθηκε στο [28] από τον Jenkins, και εναλλακτικές αποδείξεις δίνονται στα [29], [39] και [40]. Για κάθε f M και r > 1, θέτουμε και C r = {z C : z = r} Γ f (r) = f(c r ). Συμβολίζουμε με D f (r) τη διάμετρο του Γ f (r) και αποδεικνύουμε το πιο κάτω μονοτονιακό θεώρημα. Θεώρημα 2.1.1. (Θεώρημα διαμέτρου) (α) Αν f M, τότε η συνάρτηση ϕ D (r) = D f(r), 1 < r <, 2r είναι γνησίως φθίνουσα, εκτός αν η f είναι μεταφορά. Στην περίπτωση αυτή, η ϕ D είναι σταθερή. (β) Αν f M, τότε lim ϕ D (r) = 1. r (γ) Αν f Σ, τότε lim ϕ D (r) = D f /2. r 1 (δ) Αν f Σ, τότε D f 2. Επιπλέον, D f = 2 αν και μόνο αν η f είναι μεταφορά. Τέτοιου είδους μονοτονιακά θεωρήματα για ολόμορφες συναρτήσεις f : D C αποτέλεσαν αντικείμενο ενδιαφέροντος για διάφορους ερευνητές. Ας αναφέρουμε κάποια ενδεικτικά.

Θεωρήματα μονοτονίας 25 (α) Οι Aulaskari και Chen [3, Θεώρημα 6] απέδειξαν πως η συνάρτηση φ Area (r) = Areaf(rD) πr 2 είναι αύξουσα για 0 < r < 1. Εδώ η ποσότητα AreaA είναι το εμβαδόν του συνόλου A και rd = {z C : z < r}. (β) Στο [13] οι Burckel, Marshall, Minda, Poggi-Corradini και Ransford θεώρησαν τις συναρτήσεις και φ Diam (r) = Diamf(rD) 2r φ Cap (r) = Capf(rD), r όπου DiamA, CapA είναι η διάμετρος και η λογαριθμική χωρητικότητα του συνόλου A αντίστοιχα και απέδειξαν ότι οι φ Diam, φ Cap είναι αυστηρά αύξουσες για 0 < r < 1, εκτός όταν η f είναι γραμμική (δηλ. f(z) = az + b, για κάποια a, b C). Σε αυτή την περίπτωση οι συναρτήσεις φ Diam, φ Cap είναι σταθερές. Επιπλέον, εξέτασαν την οριακή συμπεριφορά των συναρτήσεων φ Diam, φ Cap, φ Area και απέδειξαν πως lim φ Diam (r) = lim φ Cap (r) = f (0) και lim φ Area (r) = f (0) 2. r 0 r 0 r 0 Στην ουσία, το ίδιο το κλασικό λήμμα Schwarz μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε ως ένα μονοτονιακό θεώρημα (βλ. [13]): Θεωρούμε την «ακτίνα» Τότε η συνάρτηση «ακτίνας» Radf(rD) = sup f(z) f(0), 0 < r < 1. (2.1.2) z rd φ Rad (r) = Radf(rD), r είναι γνησίως αύξουσα για 0 < r < 1, εκτός αν η f είναι γραμμική. περίπτωση αυτή η φ Rad είναι σταθερή. Επιπλέον, Στην lim φ Rad (r) = f (0). r 0

26 Γαλάτεια Κλεάνθους Χρησιμοποιώντας το πιο πάνω αποτέλεσμα μονοτονίας παίρνουμε εύκολα το λήμμα Schwarz. Οντως, οι υποθέσεις του λήμματος f(d) D και f(0) = 0 δίνουν την οριακή συμπεριφορά lim φ Rad(r) = f (0) και r 0 + lim φ Rad(r) 1. r 1 Η μονοτονία τώρα της συνάρτησης φ Rad (r) δίνει για κάθε r (0, 1), r f (0) Radf(rD) r, κι άρα έχουμε και f(z) z, για κάθε z D f (0) 1. (γ) Στο [11] οι Μπετσάκος και Πουλιάσης απέδειξαν ότι η συνάρτηση Φ I (r) = R(f(rD), f(0)), r όπου R(D, z) είναι η εσωτερική ακτίνα (inner radius) του D στο z, είναι αύξουσα. Για άλλα μονοτονιακά θεωρήματα, παραπέμπουμε στο [11] και στις αναφορές που περιλαμβάνει καθώς και στην 1.2. της Εισαγωγής. Για συναρτήσεις f Σ με ανάπτυγμα Laurent f(z) = z + c 0 + c j z j, (2.1.3) οι Pólya και Szegö [41, σελ. 129, Πρόβλημα 126] (βλ. επίσης [23, σελ. 29]), απέδειξαν πως το εμβαδόν A f (r) του τόπου ο οποίος είναι φραγμένος από την Jordan καμπύλη Γ f (r) = f(c r ), r > 1, δίνεται από τον τύπο ( A f (r) = π r 2 j=1 j c j 2 r ). 2j (2.1.4) j=1 Προκύπτει επομένως το ακόλουθο θεώρημα εμβαδού.

Θεωρήματα μονοτονίας 27 Θεώρημα 2.1.2. (Θεώρημα εμβαδού) Αν f Σ, τότε η συνάρτηση εμβαδού ϕ A (r) = A f(r) πr 2 είναι γνησίως αύξουσα για r > 1, εκτός αν η f είναι μεταφορά. Σε αυτή την περίπτωση η ϕ A είναι σταθερή. Επίσης, lim ϕ A(r) = 1. r Απόδειξη. Για λόγους πληρότητας αναφέρουμε πως η σχέση (2.1.4) προκύπτει από το θεώρημα του Green. Το εμβαδό A f (r) εκφράζεται μέσω του επικαμπύλιου ολοκληρώματος A f (r) = 1 z, 2i γ r όπου γ r (t) = f(re it ), t [0, 2π], r > 1. Αν χρησιμοποιήσουμε την έκφραση (2.1.3) για την συνάρτηση f καταλήγουμε μετά από υπολογισμούς στη σχέση (2.1.4). Λόγω της (2.1.4) τώρα, η συνάρτηση εμβαδού είναι ίση με ϕ A (r) = 1 j c j 2 r 2j 2. (2.1.5) j=1 Είναι προφανές τώρα πως η ϕ A είναι γνησίως αύξουσα εκτός από την περίπτωση που c j = 0, για κάθε j = 1, 2,.... Αν ισχύει κάτι τέτοιο, τότε η ϕ A είναι σταθερή και η f είναι μία μεταφορά. Τέλος από τη σχέση (2.1.5), παίρνουμε την οριακή συμπεριφορά lim ϕ A(r) = 1. (2.1.6) r Η απόδειξη του Θεωρήματος 2.1.1 δίνεται στην παράγραφο 2.2. Οπως αναφέραμε και προηγουμένως, η απόδειξη του (δ) μπορεί να βρεθεί επίσης στα [28, 29, 39, 40]. Περισσότερα μονοτονιακά αποτελέσματα για συναρτήσεις στις κλάσεις M και Σ αποδεικνύονται στις παραγράφους 2.3, 2.4, 2.5. Τα αποτελέσματα αυτά εμπλέκουν γεωμετρικές ποσότητες όπως η «ακτίνα» και το μήκος και τη δυναμοθεωρητική ποσότητα της λογαριθμικής χωρητικότητας.

28 Γαλάτεια Κλεάνθους 2.2 Απόδειξη του Θεωρήματος 2.1.1 (α) Βήμα 1. Εστω f M με ανάπτυγμα Laurent της μορφής (2.1.3). Εστω επίσης 1 < r < s και z 1, z 2 C s τέτοια ώστε Θέτουμε και θεωρούμε τη συνάρτηση Η συνάρτηση D f (s) = f(z 1 ) f(z 2 ). w = z 1 z 2 = e iα, α R, Φ s (z) = f(wz) f(z), για κάθε z C \ D. (2.2.1) Ψ s (z) = Φ s(z) 2z είναι ολόμορφη στο C \ D συμπεριλαμβανομένου και του σημείου στο άπειρο. Πράγματι, από το ανάπτυγμα (2.1.3) έχουμε, Ψ s (z) = wz z + j=1 c jw j z j j=1 c jz j 2z = w 1 + j=1 (wj 1)c j z j 1. 2 Δηλαδή, η συνάρτηση ψ s (z) = Ψ s (1/z) έχει τύπο, ψ s (z) = w 1 + j=1 (wj 1)z j+1, 2 άρα είναι ολόμορφη στο 0 και έτσι προκύπτει πως η Ψ s (z) είναι ολόμορφη στο άπειρο. Επίσης, max z C r Φ s (z) 2z D f(r). 2r Επομένως, από την Αρχή Μεγίστου, για κάθε z C \ rd, Φ s (z) 2z D f(r). (2.2.2) 2r

Θεωρήματα μονοτονίας 29 Θέτουμε z = z 2 στην (2.2.2) και από τη σχέση (2.2.1) συμπεραίνουμε ότι ϕ D (s) = D f(s) 2s κι επομένως η ϕ D είναι φθίνουσα. Βήμα 2. = Φ s (z 2 ) 2z 2 D f(r) 2r = ϕ D (r), Ας υποθέσουμε τώρα πως η συνάρτηση ϕ D δεν είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως υπάρχουν 1 < r < s τέτοια ώστε Τότε, αφού η ϕ D είναι φθίνουσα, ϕ D (r) = ϕ D (s). ϕ D (r) = ϕ D (ρ) = ϕ D (s), για κάθε ρ [r, s]. (2.2.3) Από την Αρχή Μεγίστου, υπάρχει σταθερά C C τέτοια ώστε Φ s (z) = C, για κάθε z C \ rd, 2z ή ισοδύναμα, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (2.1.3) και (2.2.1), έχουμε ταυτοτικά στο C \ rd ( (w 1)z + c j w j 1 ) z j = 2Cz, το οποίο δίνει αναγκαστικά και Καθώς η συνάρτηση j=1 w 1 = 2C c j ( w j 1 ) = 0, για κάθε j = 1, 2,... (2.2.4) (2z) 1 Φ s (z) είναι σταθερή, για κάθε ρ [r, s] και κάθε z ρ C ρ, έχουμε Φ s (z ρ ) = Φ s (z ρ ) 2ρ 2z ρ = C = Φ s (z 2 ) 2z 2 = ϕ D(s) = ϕ D (ρ) = D f(ρ) 2ρ,

30 Γαλάτεια Κλεάνθους όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση (2.2.3). Επομένως, και συνεπώς το μέτρο μεγιστοποιείται για D f (ρ) = Φ s (z ρ ) = f(wz ρ ) f(z ρ ), F (t) := f(ρe it ) f(ρe iθ ) 2 t = α + θ, για κάθε ρ [r, s] και κάθε θ R. Οπότε, η παράγωγός του (ως προς t) μηδενίζεται ακριβώς όταν Θέτουμε t = α + θ, για κάθε ρ [r, s], θ R. g(t) := f(re it ). Είναι τότε με εκτέλεση των πράξεων { [ ]} F (α + θ) = 2R g (α + θ) g(α + θ) g(θ). (2.2.5) Από το ανάπτυγμα (2.1.3) έχουμε Προκύπτουν τότε οι σχέσεις και Επομένως g(t) = ρe it + c 0 + g(α + θ) = wρe iθ + c 0 + g(θ) = ρe iθ + c 0 + g(α + θ) g(θ) = (w 1)ρe iθ + Παραγωγίζουμε την g και έχουμε g (t) = iρe it + c j ρ j e itj. j=1 c j ρ j w j e iθj j=1 c j ρ j e iθj. j=1 c j ρ j e iθj (w j 1). (2.2.6) j=1 c j ( ij)ρ j e itj. j=1

Θεωρήματα μονοτονίας 31 Αντικαθιστούμε t = α + θ και παίρνουμε g (α + θ) = iwρe iθ i c j jρ j w j e iθj (2.2.7) j=1 { } = i wρe iθ c j jρ j w j e iθj. Από τις σχέσεις (2.2.5), (2.2.6) και (2.2.7) προκύπτει F (α + θ) = 2I(G(θ)), (2.2.8) j=1 όπου ( ) G(θ) = (w 1)ρe iθ + c j ρ j e iθj (w j 1) ( wρe iθ j=1 ) c j jρ j w j e iθj j=1 = (1 w)ρ 2 + c j ρ 1 j e iθ(1+j) w(w j 1) j=1 c j jρ 1 j e iθ(1+j) w j (w 1) j=1 k 1 c j c k j jρ k e iθ(k 2j) w j (w k j 1) (2.2.9) k=2 j=1 Οι συντελεστές όλων των δυνάμεων του ρ στην παράγωγο F (α +θ) θα πρέπει να είναι όλοι ίσοι με μηδέν. Ο συντελεστής του ρ 2 παρατηρούμε ότι είναι 2I(1 w). Καθώς οφείλει να είναι μηδενικός παίρνουμε w R. Αφού επιπλέον ο w είναι πάνω στον μοναδιαίο κύκλο, έχουμε w = ±1. Για w = 1, παίρνουμε z 1 = z 2 και τελικά D f (s) = 0. Τότε όμως, η συνάρτηση f θα έπρεπε να είναι σταθερή στον κύκλο C s, πράγμα άτοπο. Αρα w = 1. Επανερχόμαστε στην σχέση (2.2.4) και αντικαθιστούμε w = 1. Τότε c 2n+1 = 0, για κάθε n = 0, 1,... (2.2.10)

32 Γαλάτεια Κλεάνθους Θα περάσουμε τώρα στους συντελεστές των δυνάμεων ρ 2n+1. Στο διπλό ά- θροισμα θέτουμε k = 2n 1 (έχοντας πλέον w = 1) και ο συντελεστής που θέλουμε είναι το άθροισμα 2n 2 j=1 jc j c 2n 1 j ( 1) 1 j( ( 1) j 1 ) e iθ(2n 1 2j). Αν j = 2ν + 1, ν N, έχουμε ότι ( ( 1) j 1 ) = 0, άρα το άθροισμα μηδενίζεται. Αν j = 2ν, ν N, έχουμε ότι c 2n 1 j = c 2(n ν) 1 = 0, από την σχέση (2.2.10) και άρα το άθροισμα μηδενίζεται σε κάθε περίπτωση. Ο συντελεστής θα προκύψει αναγκαστικά από τις δύο απλές σειρές για j = 2n. Στην πρώτη σειρά η αντικατάσταση j = 2n, δίνει w j 1 = ( 1) 2n 1 = 0, άρα η σειρά μηδενίζεται. Στη δεύτερη σειρά η ίδια αντικατάσταση μας δίνει ότι ο συντελεστής που αναζητούμε είναι τελικά 8I ( nc 2n e i(2n+1)θ) κι επομένως εξισώνοντάς τον με μηδέν προκύπτει c 2n = 0, για κάθε n = 1, 2,... (2.2.11) Καταλήξαμε λοιπόν ότι c j = 0 για κάθε j = 1, 2,..., οπότε η συνάρτηση f είναι μεταφορά και η απόδειξη του σκέλους (α) του Θεωρήματος έχει ολοκληρωθεί. (β) Εστω f M με ανάπτυγμα που δίνεται από τη σχέση (2.1.3). Τότε η συνάρτηση 1 g(z) = f(1/z) = z 1 + c 0 z +, c j z 1+j j=1 είναι ολόμορφη σε μία περιοχή του z 0 = 0. Εχουμε: g(0) = 0 και g (0) = 1 0 κι άρα το z 0 = 0 είναι πρώτης τάξης ρίζα της συνάρτησης g. Αυτό σημαίνει πως υπάρχει ɛ > 0 τέτοιο ώστε η συνάρτηση g να είναι ένα προς ένα στο δίσκο ɛd.

Θεωρήματα μονοτονίας 33 Επομένως η συνάρτηση f(z) = 1/g(1/z) είναι ένα προς ένα και ολόμορφη στο C \ (1/ɛ)D. Θεωρούμε r > 1/ɛ. Τότε η f είναι ένα προς ένα και ολόμορφη στο C \ (1/ɛ)D και συνεπώς η εικόνα Γ f (r) = f(c r ) είναι Jordan καμπύλη. Συμβολίζουμε με I f (r) το εσωτερικό της Γ f (r) και θέτουμε A f (r) = AreaI f (r). Η ισοδιαμετρική ανισότητα εξασφαλίζει ότι A f (r) πdiam 2 I f (r)/4 κι επομένως, Af (r) ϕa (r) = D f(r) = ϕ πr 2 D (r). (2.2.12) 2r Από την (2.1.3), και την τριγωνική ανισότητα έχουμε πως ϕ D (r) 1 + c j r j 1. (2.2.13) Από τις σχέσεις (2.2.12), (2.2.13) και (2.1.6) και καθώς ισχύει παίρνουμε lim r j=1 c j r j 1 = 0, j=1 lim ϕ D(r) = 1. r (γ) Αφού η f είναι ένα προς ένα έχουμε άμεσα το όριο lim ϕ D(r) = D f r 1 2. (δ) Εστω f Σ και r > 1. Από τα σκέλη (α), (β) και (γ) έχουμε 1 = lim ρ ϕ D (ρ) ϕ D (r) κι επομένως D f 2. lim ϕ D (ρ) = D f ρ 1 2 Η ισότητα D f = 2 πιάνεται αν και μόνο αν η συνάρτηση διαμέτρου ϕ D είναι σταθερή και άρα αν και μόνο αν η f είναι μεταφορά.

34 Γαλάτεια Κλεάνθους 2.3 Θεώρημα «ακτίνας» Θεωρούμε συνάρτηση f M με ανάπτυγμα Laurent (2.1.3). Εισάγουμε ένα είδος «ακτίνας». Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (2.1.2) αφού το f(0) δεν είναι στη διάθεσή μας. Για το λόγο αυτό το αντικαθιστούμε με το σταθερό όρο c 0 του αναπτύγματος Laurent, το οποίο καλείται και σύμμορφο κέντρο του συμπληρώματος του f(c \ D), βλ. [42, σελ. 23], [43, σελ. 12]. Θέτουμε λοιπόν, R f (r) = sup z C r f(z) c 0, r > 1. Αποδεικνύουμε το ακόλουθο: Θεώρημα 2.3.1. (Θεώρημα «ακτίνας» ) Εστω f M. Η συνάρτηση ϕ R (r) = R f(r) r είναι γνησίως φθίνουσα για r > 1, εκτός αν η f είναι μεταφορά. Σε αυτή την περίπτωση η ϕ R είναι σταθερή. Επιπλέον, lim ϕ R(r) = 1. r Απόδειξη. Εστω f M με ανάπτυγμα (2.1.3). Τότε έχουμε Για κάθε r > 1, f(z) c 0 = z + c j z j. j=1 ϕ R (r) = sup z C r z + j=1 c jz j r = sup z C r = sup ζ C 1/r 1 + c j z j 1 j=1 1 + c j ζ j+1. j=1 (2.3.1) Θεωρούμε την ολόμορφη συνάρτηση h(ζ) = 1 + c j ζ j+1, ζ D. j=1

Θεωρήματα μονοτονίας 35 Εστω 1 < r < s. Από τη σχέση (2.3.1) και την αρχή μεγίστου έχουμε ϕ R (r) = sup ζ C 1/r h(ζ) sup h(ζ) ζ C 1/s = ϕ R (s), δηλαδή καταλήγουμε πως η συνάρτηση «ακτίνας» ϕ R είναι γνησίως φθίνουσα εκτός από την περίπτωση που η f είναι μεταφορά, οπότε και είναι σταθερή. Επιπλέον από τη σχέση (2.3.1) έχουμε ότι lim ϕ R(r) = 1. r 2.4 Θεώρημα Μήκους Προχωράμε τώρα στο επόμενο μονοτονιακό θεώρημα που αφορά το γεωμετρικό μέγεθος του μήκους. Για μια συνάρτηση f Σ, η καμπύλη Γ f (r) είναι μία λεία Jordan καμπύλη. Ας είναι L f (r) το μήκος της. Αποδεικνύουμε το κάτωθι Θεώρημα 2.4.1. (Θεώρημα μήκους) Εστω f Σ. Τότε η συνάρτηση ϕ L (r) = L f(r) 2πr είναι γνησίως φθίνουσα για r > 1, εκτός αν η f είναι μεταφορά, οπότε η ϕ L είναι σταθερή. Επιπλέον, lim r ϕ L(r) = 1. Απόδειξη. Θεωρούμε συνάρτηση f Σ. Τότε η παράγωγός της έχει ανάπτυγμα f (z) = 1 + ( j)c j z j 1. (2.4.1) j=1 Η f δεν έχει ρίζες οπότε και ορίζεται η συνάρτηση g(z) = (f (z)) 1/2 και θα έχει λόγω της (2.4.1) ανάπτυγμα Laurent στο άπειρο της μορφής g(z) = 1 + b j z j. (2.4.2) j=2