Συναρτήσεις. όριο συνεχεία

Συναρτήσεις όριο συνεχεία Συλλογή Ασκήσεων mathmatica -7

ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Συναρτήσεις -Όριο Συνέχεια:-Μια συλλογή ασκήσεων Έλυσαν οι: XRIMAK Αναστάσης Κοτρώνης Απόστολος Τιντινίδης Βασίλης Κακαβάς Δημήτρης Ιωάννου Δημήτρης Κατσίποδας Δημήτρης Κρικώνης Διονύσης Βουτσάς Κώστας Καπένης Κώστας Ρεκούμης Κώστας Τηλέγραφος Λευτέρης Πρωτοπαπάς Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μπάμπης Στεργίου Μυρτώ Λιάπη Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης Περικλής Παντούλας Ροδόλφος Μπόρης Σπύρος Καπελλίδης Χρήστος Κανάβης Χρήστος Στραγάλης Χρήστος Τσιφάκης parmnids5 Μέλη του mathmaticagr mathmatica -7

Μαθηματικά Γ Λυκείου ΘΕΜΑ 4 Προτείνει ο XRIMAK Ε Αν η f είναι συνεχής στο [, ] να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f( ) Ε Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f(), R Να αποδείξετε ότι : α Η f είναι συνεχής στο β Αν η f είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον f( ) (,), ώστε 4 γ Να υπολογίσετε το lim f() Ε Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f()( ) ( ) για την οποία ισχύει : g() συνεχής στο [,] ως πράξεις μεταξύ συνεχών και g(), g() άρα g()g() έτσι με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει (,) : g( ) f( ) ( ) ( ) και διαιρώντας με ( ) αφού (, ),, προκύπτει f( ) Ε α Για στη δοσμένη ανισότητα έχουμε f() f() άρα f() και επειδή lim( ) lim από κριτήριο παρεμβολής limf() f(),δηλαδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο μηδέν β Θεωρoύμε τη συνάρτηση h() f() 4 στο διάστημα [,] που είναι συνεχής και h( ) f( ) 4 αφού από τη δοσμένη ανισότητα για είναι f( ) και h() f() 4 αφού f() 4 οπότε ισχύει ότι h( )h() και από θεώρημα Bolzano υπάρχει (, ) ώστε h( ) f( f( ) ) 4 4 γ Για επειδή lim lim f() έχουμε από κριτήριο παρεμβολής και επειδή f() lim f() mathmatica -7

ΘΕΜΑ 4 Όριο συνεχεία Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης 5 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f() z z με R και z 5 * C Ε Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f Ε Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Ε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (, z ) Ε4 Αν μιγαδικού z ημ 5 f() z lim, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Ε Είναι Af R Έστω, R με 5 5 5 5 () και z z () Πηγή http://wwwstudy4amsgr 5 Προσθέτοντας κατά μέλη τις (), () και με πρόσθεση του z και στα δύο μέλη προκύπτει 5 5 5 5 z z z z f( ) f( ), άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Ε Είναι lim f() 5 lim( ) 5 και lim f() lim( ), και επειδή η f είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο R είναι f(r) ( lim f(), lim f()) (, ) R Ε Η f είναι συνεχής στο [, z ]ως πολυωνυμική με 5 4 f() z, f( z ) z (καθώς z ), άρα f()f( z ) και από Θεώρημα Bolzano η f() έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (, z ) που είναι μοναδική αφού η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R (Ε) 5 5 z f() z z Ε4 Είναι lim lim lim z ημ ημ ημχ ημχ συνεπώς z οπότε οι εικόνες του z κινούνται στο μοναδιαίο κύκλο ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η συνεχής στο R συνάρτηση f και η συνάρτηση g : R ισχύει g()f () g() για κάθε R καθώς και f() mathmatica -74 Προτείνει XRIMAK R για την οποία

Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε Να βρείτε το lim f() Ε Να βρείτε το lim g() Ε Να δείξετε ότι g() Ε4 Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )( )[g() ] [f( ) ] έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [,) και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα Ε Από τη δοθείσα σχέση g()(f () ) συνεπώς f () Επομένως επειδή είναι συνεχής στο R ως διαφορά συνεχών θα διατηρεί σταθερό πρόσημο Αν f () f (), R άρα και για θα ισχύει f () άτοπο,αφού από υπόθεση f() άρα αναγκαία f () f (), R οπότε θα ισχύει και f() f() και επειδή lim f() Ε Επειδή ισχύει από g() () και lim (f () ) με f () Άρα lim g() lim f () lim g()(f () ) έχουμε ότι από κριτήριο παρεμβολής f () Ε Αρκεί από () να δείξουμε ότι f () αρκεί f () f () που ισχύει Επειδή ισχύει f() Ε4 Θεωρούμε τη h() ( )( )(g() ) (f( ) ) Επειδή η g είναι συνεχής R ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, f( ) είναι συνεχής στο R ως σύνθεση των συνεχών f(), και, οπότε και η h θα είναι συνεχής στο R ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων Ακόμη ισχύουν h() (f() ) λόγω του f() και h() (g() ) λόγω του (Ε) επομένως h()h() Αν g() τότε h() και η h() έχει ρίζα το Αν g() τότε h()h() και από θεώρημα Bolzano η h() έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,) οπότε σε κάθε περίπτωση η h() έχει ρίζα στο [,) Τώρα μελετάμε την συνεχή στο(,] συνάρτηση h() Ισχύουν lim( ), lim ( ) lim(g() ),, lim mathmatica -75

y lim f( ) lim f(y), Άρα lim h() y Όριο συνεχεία lim[f( ) ] άρα θα υπάρχει o τέτοιο ώστε h( o) Αν h() τότε η h έχει ρίζα το Αν h() h() τότε για την συνεχή στο, o συνάρτηση h θα ισχύει πως o h( )h() οπότε από Θεώρημα Bolzano η h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο οπότε συνοψίζοντας η h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο δηλαδή η h έχει μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα ΘΕΜΑ 44, o,, Προτείνει ο XRIMAK Μια συνεχής συνάρτηση f : R R με f έχει την ιδιότητα: f y f f f yf y για κάθε,y R Ε Να αποδειχθεί ότι: α f β f f, γ f y f f y και f Ε Να βρεθεί ο τύπος της f για κάθε R 4 Ε α Για y ισχύει f() f()f() και επειδή ότι f() β Για y προκύπτει ότι * f( ) f(), R f() προκύπτει f() f()f() f()f f() f() f γ Λόγω (β) θα ισχύει f(y) f()f(y) f(y)f() f(y) f()f(y) και για y έχουμε f() f()f( ) και λόγω (α) και (β) f () f (), 4 Ε Από f () f() συμπεραίνουμε ότι f() για κάθε 4 mathmatica -76

Μαθηματικά Γ Λυκείου (, ) (, ) και επειδή η f είναι συνεχής στο R θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα (,) και(, ) Αφού f(), (, ) και είναι συνεχής στο θα είναι f(), R ΘΕΜΑ 45 f() θα είναι f(), (,) ή f(), (,) και επειδή limf() limf() άρα τελικά Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : R R και η συνάρτηση g :R R ώστε για κάθε R να ισχύει η σχέση f(f()) g() Ε Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο R Ε Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της h() f() g() Ε Έστω R με f( ) α Να δείξετε ότι η C f και η C g τέμνονται σε ένα μόνο σημείο β Να λύσετε την εξίσωση f(f( )) f( ) γ Να λύσετε την ανίσωση f(f(ln )) ln Πηγή: ΧΠατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος) f(f()) Ε Από τη δοσμένη σχέση είναι g() Έστω,R με () τότε επειδή f γνήσια φθίνουσα ισχύει και f( ) f( ) f(f( ) f(f( )) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις (), () και διαιρώντας με το προκύπτει g( ) g( ), άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R Ε Έστω,R με f( ) f( ) () και g( ) g( ) g( ) g( )() Με πρόσθεση των () και () κατά μέλη προκύπτει h( ) h( ) άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R Ε α Αφού f( o) o f(f( o)) f( o) g(o ) o g( ) g( ) f( ) o o o o mathmatica -77

Όριο συνεχεία Συνεπώς οι C f,c g τέμνονται στο σημείο με τετμημένη o Το o είναι η μοναδική ρίζα της f() g() f() g() καθώς η h() f() g() είναι γνησίως φθίνουσα στο R β Έχουμε ισοδύναμα f(f( o )) o f( o ) g( o ) o o f( o ) g( o ) f( o ) () οπότε σύμφωνα με το Εα ερώτημα πρέπει o o γ Είναι f(f(ln o )) ln o g(ln o ) ln o ln o αφού g( ) g(ln o ) g( o) ln o o ln ΘΕΜΑ 46 Έστω η συνάρτηση f :(, ) R για την οποία για κάθε,y ισχύει f() f(y) f y Ε Να βρείτε το f() Προτείνει XRIMAK καθώς και η εξίσωση f() που έχει μοναδική ρίζα Ε Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται Ε Να λύσετε την εξίσωση f( ) f() f(5 6) Ε4 Αν f() για κάθε, να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ) Ε Για y παίρνουμε f() οπότε αφού η εξίσωση f() έχει λύση το αυτή είναι και η μοναδική λύση της Ε Έστω, με f( ) f( ) Θέτουμε στην αρχική όπου και y και παίρνουμε f f( ) f( ) άρα f και επειδή το είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f() θα είναι απ' όπου Άρα η f είναι ' ' και αντιστρέφεται Ε Προφανώς για να ορίζoνται τα f(5 6), f() και f( ) πρέπει 5 6, και δηλαδή τελικά Με αυτή την προϋπόθεση η εξίσωση γράφεται f( ) f(5 6) f() και αφού, η τελευταία mathmatica -78

Μαθηματικά Γ Λυκείου 5 6 σχέση με τη βοήθεια της αρχικής γράφεται: f( ) f και επειδή η f είναι ' ' γράφεται ισοδύναμα ( ) 5 6 και λύνοντας την τριτοβάθμια παίρνουμε ή ή απ' όπου δεκτή μόνο η Ε4 Έστω, με Τότε για και y στην αρχική παίρνουμε f( ) f( ) f διότι Άρα f( ) f( ) συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα ΘΕΜΑ 47 Δίνεται η συνάρτηση f() ln( ) Ε Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Ε Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα Ε Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την Ε4 Να λύσετε την εξίσωση f () Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας f Ε5 Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f και της y Πηγή: ΑΜπάρλας (εκδόσεις ελληνοεκδοτική) Ε Πρέπει για να ορίζεται η f να ισχύει και, που ισχύει για κάθε άρα τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι A [, ) f Ε Έστω, [, ) με άρα και αφού η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα θα είναι ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) άρα f( ) f( ) πού σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Ε Η f είναι άρα και αντιστρέψιμη αφού είναι γνησίως φθίνουσα Έστω τώρα η εξίσωση f() y, y R, τότε ισοδύναμα έχουμε y ln( ) ln( ) y y y () και επειδή πρέπει αναγκαία y y y y και τότε από () ισοδύναμα ( ) ( ) y y () που προφανώς ανήκει στο f Τελικά f () ( ), A [, ) mathmatica -79

Ε4 Είναι Όριο συνεχεία f () f(f ()) f() f() Ε5 Αφού f() το είναι ρίζα της h() f(), [, ) οπότε το σημείο (,) είναι κοινό σημείο της C f με την y Τώρα για την h() f() με επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα ισχύουν ότι f( ) f( ) και έτσι με πρόσθεση κατά μέλη ισχύει f( ) f( ) δηλαδή h( ) h( ) πού σημαίνει ότι η h είναι γνήσια φθίνουσα, στο [, ) άρα το είναι μοναδική της ρίζα ΘΕΜΑ 48 Δίνεται η συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα: f( f( y)) f() y για κάθε,yrνα αποδείξετε ότι : Ε f() Ε (f f )(), R Ε Η f είναι Ε4 Η f έχει σύνολο τιμών το R Ε5 f(), R Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου Ε Για έχουμε f(f(y)) f() y άρα f(f()) f(), R () επίσης για y ισχύει f( f()) f() Και αν g() f() θα ισχύει f(g()) g() () απ όπου f(f(g())) f(g()) και λόγω (),() θα ισχύει f() g() g() f() Ε Λόγω () τώρα αφού f() θα ισχύει f(f()), R Ε Έστω, Af με f( ) f( ) τότε ισχύει και f(f( )) f(f( )) άρα λόγω (Ε) επομένως η f είναι ' ' Ε4 Θεωρώντας την εξίσωση f() y, y R αν έχει ρίζα το αριθμό α τότε θα ισχύει f(α) y και αναγκαία f(f(α)) f(y) και λόγω (Ε) ερωτήματος αναγκαία α f(y) και επειδή τώρα από f(f()), R ισχύει f(f(f(y))) f(y) και λόγω του ότι η f είναι ' ' θα ισχύει f(f(y)) y που σημαίνει ότι ο αριθμός f(y) είναι ρίζα της f() y, y R άρα το σύνολο τιμών της f είναι το R Β τρόπος Για να έχει η f σύνολο τιμών το R, σημαίνει ότι κατά την λύση της mathmatica -8

Μαθηματικά Γ Λυκείου f y ως προς δεν προέκυψαν περιορισμοί για το y Δηλαδή για κάθε για κάθε y ετσί έχουμε R μπορούμε να βρούμε f y 4 f f f y y y Άρα η f έχει σύνολο τιμών το R R ώστε f y Ε5 Στην αρχική f( f( y)) f() y για y ισχύει f( f()) f() και επειδή f είναι - θα ισχύει f() f(), R ΘΕΜΑ 49 Έστω η συνάρτηση f() ln( ) ln( ) Προτείνει ο XRIMAK Ε Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Ε Να βρείτε το πρόσημο των τιμών της f Ε Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f Ε4 Να βρείτε την αντίστροφη της f Ε5 Βρείτε το m< ώστε f(m) m Ε6 Αν g() f(),, να βρείτε τη μονοτονία της g() Ε7 Να λύσετε την ανίσωση f() f( ) Ε8 Αν h() ln( ), να αποδείξετε ότι υπάρχει crτέτοιο ώστε f(c) h(c) Ε9 Να βρείτε το όριο : B f () lim ( f () ) f( ) 6 A lim f( ) και το όριο Ε Για να ορίζεται η f πρέπει και αρκεί, αφού, R Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το A (,) Ε Επειδή f() ln κάθε (,) έχουμε f() και, (,) Επομένως για Ε Για ισχύει άρα και, mathmatica -8

οπότε και ln( ) ln( ) και Όριο συνεχεία ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) Οπότε με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων ισχύει και ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) δηλαδή f( ) f( ) άρα η f γνήσια φθίνουσα στο (,) Ε4 Επειδή η f γνήσια φθίνουσα στο (,) θα είναι ' ' άρα αντιστρέψιμη με f :f(a) A συνεχών συναρτήσεων, f(a) ( limf(),limf()) και επειδή f συνεχής ως πράξεις μεταξύ των και ln θα είναι Θέτοντας u έχουμε ότι lim u lim Επειδή limlnu το u lim f() και ακόμη limu lim Και επειδή limlnu το limf() άρα f(a) (,) και με y (,) η u εξίσωση y y y y ln y y y y ln( ) αφού y y f () ln, Ε5 Λύνοντας την εξίσωση y y, y άρα ln, (,) ισοδύναμα ( ) ln( ) Ε6 Αν τότε και επειδή f γνήσια φθίνουσα f( ) f( ) και με πρόσθεση των ανισοτήτων προκύπτει ότι g( ) g( ) άρα η g γνήσια φθίνουσα στο (,) Ε7 Είναι f() f( ) f() f( ) ( ) g() g( ) και επειδή η g γνήσια φθίνουσα στο (,) ισχύει για Ε8 Αρκεί η t() f() h() f() ln( ) να έχει ρίζα στο (,) είναι συνεχής στο Επειδή τώρα η συνάρτηση ln( ), ως σύνθεση των συνεχών ln, η h θα είναι συνεχής στο,ως πράξεις συνεχών mathmatica -8

Μαθηματικά Γ Λυκείου συναρτήσεων και η f συνεχής είναι στο,, η t() συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών, και ακόμη, επειδή lim f() και lim ln( ) είναι lim t() και επειδή limf() και limln( ) το limt() άρα αφού είναι συνεχής η t() f() ln( ) θα έχει σύνολο τιμών το R άρα θα έχει ρίζα στο (,) Ε9 Είναι f( ) f( ) f( ) f( ) A lim lim f( ) Επίσης θα είναι f( ) ΘΕΜΑ 5 B f () lim ( f () ) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f() ln γιατί f(a) (,) άρα λόγω του (Ε4) Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου Ε Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής Ε Να λύσετε την εξίσωση f() Ε Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μία ακριβώς ρίζα Ε4 Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης της f Ε5 Να λύσετε την εξίσωση f () Ε6 Να λύσετε την ανίσωση f () Ε H συνάρτηση f είναι ορισμένη στο (, ) και συνεχής σε αυτό ως άθροισμα συνεχών Έστω, με, οπότε ln ln, άρα ln ln f( ) f( ), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Ε H εξίσωση f() έχει προφανή ρίζα το αφού f() ln, η οποία είναι μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Ε Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (, ), έχουμε ότι: f(a) (lim f(), lim f()) R Αφού f(a), υπάρχει ρίζα της f() και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), η ρίζα αυτή είναι μοναδική mathmatica -8

Όριο συνεχεία Ε4 Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), θα είναι και οπότε αντιστρέφεται Τότε δεδομένου ότι το σύνολο τιμών της f είναι το f(a) πεδίο ορισμού είναι της f το f Α f(a) R όποτε έχουμε R το f : R (, ) Ε5 Από την άρα έχουμε: f : R (, ) είναι f () οπότε f () και f () f(f ()) f() f() ln ln, δεκτή Ε6 Από την f : R (, ) είναι f () οπότε Για η ανίσωση f () ισχύει αφού το πρώτο μέλος είναι θετικό και το δεύτερο μέλος μη θετικό Για, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) θα ισχύει ισοδύναμα f(f ()) f( ) ln( ) ln( ) Συνεπώς Άρα η ανίσωση επαληθεύεται για, ΘΕΜΑ 5 Προτείνει ο Γιάννης Σταματογιάννης Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει f() ημ(f()) για κάθε πραγματικό αριθμό Ε Να αποδείξετε ότι f() f() Ε Να αποδείξετε ότι f() ημ(f()) Ε Να υπολογίσετε το όριο lim f() f() Ε4 Να υπολογίσετε το όριο lim Ε Είναι ημ(f()) f() και επειδή ημ(f() f() θα ισχύει και f() f() Ε Ισχύει f() ημ(f() f() ημ(f() απ όπου προκύπτει ότι f() ημ(f() άρα θα ισχύει f() ημ(f() f() και τελικά θα ισχύει f() Β τρόπος Ισχύει f() ημ(f()) άρα f() ημ(f()) ημf() f() Άρα f() mathmatica -84

Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε Επειδή από f() f() και κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει limf() του το u και lim( ) lim από limf() οπότε θέτοντας u f() επειδή ημ(f()) ημu lim lim f() u Ε4 Από f() ημf() με θα ισχύει f() f() f() ημ(f()) ημ(f()) f() f() ημ(f()) ( ) f() και επειδή ημ(f()) lim είναι f() ημ(f()) lim( ) οπότε κοντά στο θα ισχύει f() f() f() και lim ημ(f()) f() ΘΕΜΑ 5 Προτείνει ο XRIMAK λ Δίνονται οι συναρτήσεις g() 95 ( 5), R, λ R και 4 4 4 5 h(), R Ε Να αποδείξετε ότι η σύνθεση f goh ορίζεται για κάθε τιμή του R και έχει τύπο f() (goh)() 5 λ Ε Για τις διάφορες τιμές του λ R να υπολογίσετε το Ε Για εκείνη την τιμή του λ R που το f() αριθμός να υπολογίσετε το lim 4 4 lim f() Ε4 Για την ίδια τιμή του λ R να υπολογίσετε το lim f() είναι πραγματικός ημ lim f() Ε Για να ορίζεται η g h πρέπει Dh και h() Dg ή ισοδύναμα R και h() R που ισχύει Επομένως ορίζεται η σύνθεση g h για κάθε R και έχει λ f g h h h 95 h 5 4 4 τύπο mathmatica -85

4 5 Όριο συνεχεία 4 5 λ 4 5 95 5 4 9 4 6 4 5 5 85 f() λ 4 6 8 6 λ 5 λ 4 Ε Είναι f() 5 λ και με γίνεται 5 5 f() λ λ 5 Επειδή lim και lim λ λ έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Για λ λ είναι όταν λ λ το lim f() και όταν λ λ το lim f() Για λ λ έχουμε ότι 5 5 5 lim f() lim 5 lim f() 5 και 5 5 5 lim lim 5 5 Ε Για λ έχουμε f 5 5 lim lim lim 4 4 4 4 4 4 lim 5 5 4 5 4 lim 5 4 5 4 mathmatica -86

Μαθηματικά Γ Λυκείου lim 5 4 7 5 lim 4 7 5 Ε4 Για λ έχουμε 5 5 4 f 5 5 ημ ημ lim lim lim ημ Επειδή ημ 5 5 ημ 5 5 5, lim 5 lim 5 έχουμε lim lim 5 5 Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει και και lim ημ 5 ΘΕΜΑ 5 Προτείνει ο Νίκος Αλεξανδρόπουλος Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f f y f y για κάθε,y R και έχει σύνολο τιμών το R Να δειχθεί ότι : Ε Η f είναι αντιστρέψιμη Ε Ισχύει f f f () για κάθε R Ε Η f δεν είναι περιττή Ε4 f( ) Ε Θέτοντας στη δοσμένη σχέση, έχουμε f(f(y)) f() y Έστω τώρα y,y R με f(y ) f(y ) f() y f() y y y για κάθε y,y R Άρα η f είναι ' ' επομένως αντιστρέφεται Ε Στη δοσμένη σχέση αν θέσουμε όπου y το f( f(f ()) f() f () και άρα f() f() f () f () f( ) f() f () θα έχουμε: δηλαδή Ε Αν η f ήταν περιττή στο R τότε θα ήταν f() Θέτοντας όμως στη mathmatica -87

Όριο συνεχεία δοσμένη σχέση y έχουμε:f(f()) f() και άρα f() δηλαδή που είναι άτοπο Άρα η f δεν είναι περιττή Ε4 Από το (Ε) ερώτημα, αν θέσουμε έχουμε: f() f() f () και άρα f () και άρα f( ) ΘΕΜΑ 54 Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί α,β με α f : R R R, τέτοια ώστε να ισχύουν: f α β Προτείνει ο Μίλτος Παπαγρηγοράκης, f β β και η συνεχής συνάρτηση Ε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f βημ f α τουλάχιστον λύση στο,α β Ε Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ α,β α και f() για κάθε έχει μια τότε: α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ (α,β) τέτοιος ώστε f ξ α β β) Να αποδείξετε ότι η C f της f τέμνει την y τετμημένη α,β o σε ένα ακριβώς σημείο με Ε Να υπολογίσετε το f()ημ4 Ε4 Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση h: R R τέτοια ώστε f() h() 4, για κάθε R Υποθέτουμε ακόμη ότι η εξίσωση f έχει δύο λύσεις ετερόσημες ρ,ρ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση h έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα ρ,ρ Ε Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f(α)ημ f(α) αημ β και γι' αυτή έχουμε: g() συνεχής στο [α, β] ως πράξεις μεταξύ συνεχών με g() β g(α β) (α β) αημ(α β) β α( ημ(α β)) αφού α ημ(α β) Άρα g()g(α β) και έχουμε περιπτώσεις : η περίπτωση: αν ημ(α β) τότε g(α β) που σημαίνει ότι α β g() ρίζα της η περίπτωση: αν ημ(α β) τότε g(α β) και ισχύει g()g(α β) Τότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα o (, α β) ώστε g(o) Έτσι σε κάθε περίπτωση υπάρχει o (, α β] ώστε να ισχύει g(o) o f(β)ημ f(α) mathmatica -88

Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε α) Α τρόπος Επειδή α β και η συνάρτηση f είναι γνήσια μονότονη και ισχύει α β οπότε f(α) f(β) η f θα είναι γνήσια φθίνουσα f(α) f(β) Τώρα αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) που ισχύει από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών Διότι η f είναι συνεχής και ισχύει f(α) f(β) f(β) f(α) Επιπλέον είναι και μοναδικό αφού είναι γνήσια μονότονη Β τρόπος g f α β με [α,β] Θέτω f [α,β] Έστω α β f( ) f( ) f( ) α β f( ) α β g( ) g( ) οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,β] Η g είναι συνεχής στο [α,β] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Όποτε gαgβ g α f α α β β α β β α g β f β α β α α β α β Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει πως θα υπάρχει τουλάχιστον έναξ (α,β) τέτοιο ώστε g ξ f ξ α β κι επειδή η g είναι γνησίως μονότονη, το παραπάνω ξ είναι μοναδικό β) Θεωρώντας τη φ() f() στο [α, β]πού είναι συνεχής σαν διαφορά συνεχών στο [α, β] με φ(α) f(α) α (β α) και φ(β) f(β) β (α β) άρα φ(α)φ(β) και σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει (α, β) ώστε φ( ) f( ) Τώρα επειδή για α β και f γνήσια φθίνουσα στο [α, β]θα ισχύει ότι f( ) f( ) και επειδή με πρόσθεση προκύπτει f( ) f( ) h( ) h( ) άρα η φ γνήσια φθίνουσα άρα το (α, β) είναι μοναδικό f()ημ f()ημ f() Ε Για έχουμε Επομένως f()ημ f()ημ lim lim lim lim f()ημ Οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim mathmatica -89

Όριο συνεχεία Ε4 Επειδή η συνάρτηση f έχει δύο ρίζες ρ ρ έχουμε f(ρ ) f(ρ ) Έχουμε h() f() 4, [ρ,ρ ] Η h συνεχής στο [ρ,ρ ] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και επιπλέον h(ρ ) f(ρ ) 4ρ 4ρ h(ρ ) f(ρ ) 4ρ 4ρ οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (ρ,ρ ) τέτοιο ώστε h(ρ) ΘΕΜΑ 55 Δίνονται οι ' ' συναρτήσεις f, g : R Rμε f(r) g(r) R ισχύει: f() (fog )() 8 και Ε Να βρείτε τις f(),g() (fog)() (fog )() 7 Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς για τις οποίες για κάθε R Ε Εστω συνάρτηση h : R R h(g(f())) 4, R τότε: α Βρείτε την h() β Να δειχθεί ότι η h() αντιστρέφεται γ Να λυθεί η ανίσωση 6 h() h( ) h () δβρείτε τα όρια : lim, lim lim 5 Ε Να δειχθεί ότι η εξίσωση h() ln() έχει μια τουλάχιστον ρίζα θετική Ε Είναι f() (f g )() 8 και (f g)() (f g )() 7, R άρα ισχύει (f g )() f() 8 και αντικαθιστώντας στην () προκύπτει ότι (f g)() f() 6 7 (f g)() f() 9, R () και βάζοντας όπου το g() στην () έχουμε ότι f(g()) (f g )(g()) 8 (f g)() f() 8 (f g)() f() 8 οπότε από () (f() 8) f() 9, R 5f() 5 f() Επίσης από () θα ισχύει τώρα f(g()) f() 9 (g() ) ( ) 9 από όπου προκύπτει g() 4 Ε α Είναι g(f()) f() 4 4 επομένως θα ισχύει ότι mathmatica -9

Μαθηματικά Γ Λυκείου h( ) () ( ) από όπου προκύπτει ότι h() β Για, R με ισχύουν ότι και και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι h( ) h( ) οπότε η h είναι γνήσια φθίνουσα στο R άρα - οπότε αντιστρέφεται γ H ανίσωση γράφεται ισοδύναμα () h( ) h() και επειδή h είναι γνήσια φθίνουσα ισχύει h() h() δ Είναι και επειδή lim ( ) το lim h( ) h( ) και επειδή lim και h( ) h(u) h( ) lim lim το lim u u Τώρα επειδή h() h () έχουμε h () lim lim lim 5 5 ακόμη Ε Θεωρούμε τη συνάρτηση t() h() ln, (, ) που είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών και επειδή limln και limh() h() h() το limt() Επίσης επειδή lim ισχύει h() lim h() lim και lim ln θα είναι lim t() οπότε η t() h() ln έχει σύνολο τιμών το R Επομένως θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, ) ΘΕΜΑ 56 Δίνεται η συνάρτηση f :,, f lnf ln για την οποία ισχύει Προτείνει ο Kανάβης Χρήστος Ε Να βρεθεί το f() Ε Να λυθεί η εξίσωση f f mathmatica -9

Όριο συνεχεία Ε Από τη δοσμένη για έχουμε ότι ισχύει f() ln(f()) ln f() ln(f()) που σημαίνει ότι τo f() είναι ρίζα της συνάρτησης Τώρα έστω g() ln, (, ) Αυτή έχει προφανή ρίζα την ln ln ln ln ln ln g( ) g( ) οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε η μοναδική λύση της άρα f() f Ε Η εξίσωση f έχει προφανή ρίζα την Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει (, ), ώστε f( ) τότε στην αρχική για θα f lnf ln ln ln Άρα ισχύει, άρα που είναι άτοπο Αρά έχει μοναδική ρίζα την ΘΕΜΑ 57 Έστω συνάρτηση f : R R με f() (f() κ)(f(y) κ) κ για κάθε, y R και κ R Προτείνει ο Νίκος Αλεξανδρόπουλος για την οποία ισχύει Ε Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού κ Ε Για τη μικρότερη θετική ακέραια τιμή του κ να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής Ε Για κάθε,y R ισχύουν: (f() κ)(f(y) κ) κ και (f(y) κ)(f() κ) κ Αφαιρούμε κατά μέλη και προκύπτει κ(f() f(y)) Αν υπάρχουν,y με f() συνάρτηση f(), άτοπο αφού f() f(y), τότε κ και η αρχική σχέση δίνει τη σταθερή Άρα για κάθε,y είναι f() f(y) c (σταθερή) και η αρχική σχέση δίνει: κ ( c)κ c Αυτή έχει λύσεις: mathmatica -9

Μαθηματικά Γ Λυκείου c ( c) c c ( c) c κ, κ 6 6 Δηλαδή c ( c) c κ 6c 4c c, c 6 6 6 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(c) 6c 4c c, c αυτή είναι 6 6 8c παραγωγίσιμη με g (c), c επομένως είναι γνήσια 6c 4c αύξουσα με ελάχιστη τιμή κ 6 g() 6 4 άρα ισχύει 6 6 6 Με c το κλάσμα της δεύτερης λύσης ορίζει όμοια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση και δίνει κ 6 Ε Αφού κ η μικρότερη θετική ακέραια τιμή του κ οπότε 6 από κ ( c)κ c έχουμε ( c) c c c 4 από όπου c 5, c και από (Ε) αφού η συνάρτηση είναι σταθερή f() 5 θα είναι προφανώς συνεχής Β τρόπος Από το ερώτημα (Ε) έχουμε πως η f είναι σταθερή συνάρτηση στο R οπότε η f είναι συνεχής ΘΕΜΑ 58 Δίνεται συνάρτηση f : R (, ) και f() στο Προτείνει ο XRIMAK ώστε f()f(y) f( y) η οποία είναι συνεχής Ε Να αποδείξετε ότι : f(),f( ) Ε Nα αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο R Ε Αν η f είναι γνησίως μονότονη τότε: α να βρεθεί η μονοτονία της βνα βρεθεί το lim f() και το lim f() αν υπάρχουν Ε4 Να δειχθεί ότι υπάρχει (,): f( ) f( ) f( ) f(4 ) Ε5 Να βρείτε τα όρια : α lim f f( ) () β lim f () γ lim f() mathmatica -9

Ε6 Για α, β, να δείξετε ότι Ε7 Βρείτε το lim f f ( ) () Όριο συνεχεία f (αβ) f (α) f (β) Ε8 Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε f ( ) Ε9 Να βρείτε το f (f()) lim f() Ε Είναι f( y) f()f(y) Για y, ισχύει f() f () f()(f() ) f() ή f() Επειδή f() (, ), απορρίπτεται Επομένως f() Για,y έχουμε f() f()f( ) f( ) f( ) Ε Είναι limf() limf( h) lim(f( )f(h)) h h f( )lim(f(h)) f( )f() f( ) h Ε α Επειδή η f είναι γνησίως μονότονη και ενώ f( ) f() έπεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β To σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης,λόγω της μονοτονίας της, είναι το διάστημα ( lim f(), lim f()) Έστω lim f() α, πραγματικό Τότε, προφανώς α και α Υπάρχει, επομένως κ με f(κ) α, αλλά τότε λόγω της αρχικής σχέσης f(κ) f (κ) (α ) α, δηλαδή το f(κ) είναι εκτός συνόλου τιμών, άτοπο Άρα απομένει το ζητούμενο όριο να είναι Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι f( )f(), οπότε βρίσκουμε μηδέν το πρώτο όριο με μια αλλαγή μεταβλητής από τη σχέση: (limf())( lim f()) Ε4 Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,]θα ισχύει f() f() f(), (,) οπότε Για [,] έχουμε f() f f() Για [,] έχουμε f() f() Για [,] έχουμε f() f f() 4 mathmatica -94

Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε f() f f f f() οπότε 4 f f f 4 f() f() Επομένως από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών,θετ, υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f f f 4 f( ) f( ) f f f 4 Ε5 αβέχουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και, οπότε αντιστρέφεταιη f έχει πεδίο ορισμού το (, ) και σύνολο τιμών το R Εύκολα, δείχνουμε ότι η f έχει την ίδια μονοτονία με την f Επομένως η αύξουσα στο (, ) Οπότε lim f () και lim f () γγια y έχουμε f() f()f( ) f( ) f() f( ) f()f( ) f() Οπότε lim lim lim lim f() f() f() f () f είναι γνησίως Ε6 Για α, β, θέτουμε f (α) α f() και f (β) y β f(y) Έχουμε τότε, f()f(y) αβ f( y) αβ y f (αβ) f (αβ) f (α) f (β) Ε7 Είναι f ( ) f () f () f () lim lim lim f () f () f () Ε8 Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f () που έχει lim g() άρα υπάρχει α τέτοιο ώστε g(α) και g(), έτσι σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει (α, ) τέτοιο ώστε g( ) Ε9 Είναι ΘΕΜΑ 59 f (f()) lim lim lim ( ) f() f() f() Δίνεται η συνάρτηση f 7 5 Ε Να αποδείξετε ότι: α Η f είναι Προτείνει ο XRIMAK mathmatica -95

Όριο συνεχεία β Η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα στο, f Ε Αν είναι,, να βρείτε το α R, ώστε η g να είναι συνεχής στο g α α, o Ε α Να βρείτε τα όρια lim f και lim f β Να δικαιολογήσετε το γεγονός ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα o ώστε να ισχύει f 7 o R γ Να βρείτε ένα διάστημα της μορφής κ, κ, μέσα στο οποίο θα ανήκει αυτό το o Ε4 Να βρείτε: f ημ α Το όριο lim 4 R, όπου κ ακέραιος β Τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε f λ 5λ f λ 6 Ε α Έστω, R με τότε 7 5 7 5 f( ) f( ), άρα η f γνησίως αύξουσα στο R άρα και βη f συνεχής στο [, ] με f() 5 και f() άρα f()f() οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο ώστε f( ) και επειδή η f είναι ' ' το είναι μοναδικό Ε Είναι limg() lm i 7 8 ( )( 8) lim lim 8 Αφού η g συνεχής για θα πρέπει ή α 5 α α α α (α )(α 5) α Ε α Είναι lim f() lim και lim f() lim β Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής στο R θα έχει σύνολο τιμών το f(r) ( lim f(), lim f()) (, ) R και επειδή 7Rθα υπάρχει R ώστε f( ) 7 γ Για την h() f() 7 στο[, ] που είναι συνεχής μ mathmatica -96

Μαθηματικά Γ Λυκείου h() f() 7 4 και h() f() 7 αφού h()h() από θεώρημα Bolzano θα υπάρχει (, ) ώστε h( ) f()ημ ( 7 5)ημ Ε4 α Είναι lim lim oo 4 oo 4 ( 7 5) ημ lim oo β Είναι λ f(λ 5λ) f(λ 6) αφού η f είναι ' ' έχουμε 5λ λ 6 λ 7λ 6 λ ή λ ΘΕΜΑ 6 Προτείνει ο Περικλής Παντούλας Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή και γνησίως μονότονη στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει f () f () 6f() 4f() Nα αποδείξετε ότι : Ε Η f είναι γνησίως φθίνουσα Ε Υπάρχουν μοναδικά και στο διάστημα (,) τέτοια ώστε : α Η γραφική παράσταση της f τέμνει την y σε μοναδικό σημείο με τετμημένη β f( ) f 4f 5f π Ε Να λυθεί η ανίσωση f(f (ln 4) ) Ε4 Ορίζουμε τους μιγαδικούς z f() if() με [,] ανα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z βνα βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z 5 Ε Είναι, f () 6f() 4f() f () 6f() 9 f () 4f() 4 f() f() f() και f() Έχουμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη, επίσης ενώ f() f(), οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] Ε α Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f(), [,] Η g είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών g() f() και g() f() Οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε g( ) f( ) Για α,β [,] με α β έχουμε f(α) f(β) και α β α β οπότε f(α) α f(β) β g(α) g(β), επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο mathmatica -97

Όριο συνεχεία [,] Οπότε η μοναδική ρίζα της εξίσωσης g() Οπότε η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y σε ένα μόνο σημείο β Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] έχουμε πως f() f() f() f() f() Για [,] έχουμε f οπότε 6 f 9 Για [,] έχουμε f π οπότε 8 4f π π Για [,] έχουμε f οπότε 5f 5 Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε, 4 f 4f 5f 6, οπότε π f 4f 5f π Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων f 4f 5f π τιμών, υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f( ) f( ) f 4f 5f Και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο π [,], έχουμε ότι το είναι μοναδικό Ε Για να έχει νόημα η ανίσωση πρέπει και f(f (ln 4) ) 4 ln 4 ln [, ] και f (ln 4) f (ln 4) Από την τελευταία επειδή η σύνολο τιμών το [,], έχουμε ότι f (ln 4) f(f (ln 4)) f() f ln 4 ln άρα η ανίσωση ορίζεται μόνο για Επομένως η ανίσωση είναι αδύνατη Β τρόπος: Επειδή από το ερώτημα Εβ ισχύει πως f() για κάθε [,], το όποιο είναι το πεδίο ορισμού της f, η ανίσωση f(f (ln 4) ) για τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται, είναι αδύνατη Ε4 α Έστω z κ λi, κ,λ R έχουμε κ f() z f() f()i κ λi f() f()i και λ f() Οπότε ισχύει κ λ που σημαίνει ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία y και επειδή ισχύει f(), άρα και κ, λ [, ] οι εικόνες του mathmatica -98 έχει

Μαθηματικά Γ Λυκείου μιγαδικού z είναι το ευθύγραμμο τμήμα AB της ευθείας y B(,) β Το μέτρο z 5 z 5 i είναι απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z από την εικόνα Γ(5,) του μιγαδικού 5 i Έχουμε (AΓ) (BΓ) και d(γ,ε) 5 5 ( ) y A(, ) ε : y B(, ) με A(,) και Γ(5,) Άρα z 5 (AΓ) (BΓ) και ma 5 5 z 5 d(γ,ε) min ( ) Β τρόπος: Επειδή ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού z είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας y με [,] θα ισχύει πως z yi i με [,] zi z 5 i 5 ( 5) i ( 5) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Η συνάρτηση 5 με [,] 5 5 παρουσιάζει ακρότατα για τις ίδιες τιμές του που παρουσιάζει ακρότατα και η συνάρτηση g 5 5 5 5 g 5 5 5 5 5 5 g 5 5 Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για 5 5 με τιμή g Η g παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για και g 5 και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για και Συνεπώς z 5 g() g min min 5 g() τμ τμ οε 9 με τιμές g 5, συνεπώς 5 5 5 g g με τιμή mathmatica -99

ma ma Όριο συνεχεία z 5 g() g() g() ΘΕΜΑ 6 Να βρεθεί ο τύπος της g όταν y και g() lim y y Αν τότε προφανώς g() Αν τώρα άρα και Αν τώρα y lim (( ) ) y και Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης και, οπότε lim y ( ) y y lim (( ) y, άρα y lim ( ) y και g() y lim (( ) ) y επομένως lim y ( ) y επομένως g() Τελικά g(), R ΘΕΜΑ 6 Έστω συνεχής συνάρτηση f στο f() για κάθε [,4] f() f()f() f()f(4) Να αποδείξετε ότι: Ε f() για κάθε [,4] Ε Η συνάρτηση (,),4 για την οποία ισχύουν: Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης g() f () f()f() έχει μια τουλάχιστονρίζα στο Ε Η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη Ε Επειδή f(), [,4] και συνεχής, έχουμε ότι η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [,4] Αφού f() θα ισχύει f(), [,4] Ε Η στο [,4] με g() f () f()f() είναι συνεχής στο [,],λόγω συνέχειας της f g() f () f()f() f()(f() f()) και g() f () f()f() f()(f() f()) Επομένως g()g() f()f()(f() f()) () Αν f() f() προφανώς ρίζες της g() το και το Αν τώρα ισχύει f() f() από () g()g() και από θεώρημα Bolzano η g() έχει ρίζα στο (,) Άρα σε κάθε περίπτωση η g() έχει ρίζα,έστω [,] αυτή mathmatica -

Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε Τώρα αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση h() f () f()f(4),όμοια με προηγούμενα δείχνουμε ότι υπάρχει σε κάθε περίπτωση [,4], ώστε h( ) οπότε f ( ) f()f(4) και από (Ε) f ( ) f()f() Όμως f()f() f()f(4) οπότε θα ισχύει f ( ) f ( ) f( ) f( ) λόγω του ότι f(), [,4] Άρα η f δεν είναι ' ' αφού για ισχύει f( ) f( ) Β τρόπος: Είναι f συνεχής σε,4, f από ερώτημα (Ε) ξ,ξ, f ξ m,f ξ Μ, Άρα θα υπάρχουν με όπου m f M για κάθε, m f M ( ) m f M 6 9, m,m m f f M m f f M Ο αριθμός m f f M f ξ m,f ξ Μ fξ f f f ξ f f βρίσκεται ανάμεσα στα f ξ, f ξ f σταθερή στο, Αν ξ ξ f(ξ ) f(ξ ) m M άρα η f δεν είναι και δεν αντιστρέφεται Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ξ ξ Η f είναι συνεχής στο, f συνεχής στο ξ,ξ, Από Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών,θετ, προκύπτει ότι ο παραπάνω αριθμός θα είναι τιμή της f στο ξ,ξ, δηλαδή θα υπάρχει ξ,ξ τέτοιο ώστε ξ,ξ, f f f θα υπάρχει, τέτοιο ώστε f f f Ομοίως θα υπάρχει,4 τέτοιο ώστε f f f 4 Κι επειδή f f f f 4 f f f f 4 f f 4 με διότι άρα η f δεν είναι και δεν αντιστρέφεται ΘΕΜΑ 6 Ε Να δειχθεί η ισοδυναμία για Προτείνει ο Περικλής Παντούλας, limf limf h h o o mathmatica -

Όριο συνεχεία Ε Δίνεται η συνάρτηση f :, R f y f f y, για κάθε,y R Να δείξετε ότι : α Aν η f είναι συνεχής στο o β Aν η f είναι συνεχής στο o είναι συνεχής στο, γ Aν η f είναι συνεχής στο o και α f f lim α α α για την οποία ισχύει, τότε η f είναι συνεχής στο, α, όπου α,,, τότε η f f lim, τότε, όπου α,, Ε Θέτω h o τότε oh Όταν έχουμε οτι h Επομένως limf() limf( h) h o Ε α Αρχικά για f() f() f() f() f() Έχουμε limf() f(), διότι η f είναι συνεχής στο και limf() limf( h) lim[f( ) f(h)] f( ) limf(h) f ( ) f() f( ) o o o o h h h άρα είναι συνεχής στο τυχαίο o Οπότε είναι συνεχής στο (, ) β Έχουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο o Επομένως limf f α α α, όπου α,, Σύμφωνα με το (Εα),αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο o Είναι limf limf α lim f α f lim f u f α α uα α f α f f α f α α f α f α f f α α γ Η f συνεχής στο o α οπότε lim lim L α α α α α α για h όταν α το h οπότε έχουμε ότι α f αh f α f α f h f α L lim lim h αh α h α h α και ΘΕΜΑ 64 mathmatica - Προτείνει ο XRIMAK

Μαθηματικά Γ Λυκείου Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι: f y f f y α, για κάθε,y R, α R(σταθερό) Ε Να αποδείξετε ότι f α Ε Να αποδείξετε ότι f y f f y α για κάθε,y R Ε Να αποδείξετε ότι f ν νf ν α για κάθε R, Ε4 Αν η εξίσωση f f είναι ν * N α έχει μοναδική λύση στο R, να αποδείξετε ότι η και ισχύει f y α f f y για κάθε,y f R είναι f α, να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια Ε5 α Αν για κάθε αύξουσα στο R β να λυθεί η ανίσωση f f( ) f f( ) α Ε6 Αν η f είναι συνεχής στο o να βρείτε το limf() α Πηγή: περιοδικό Απολλώνιος Ε Για y η δοσμένη γίνεται f() f() α f() α Ε Για y η δοσμένη γίνεται f() f( y) f(y) α f( y) α f(y) () Βάζοντας όπου y το y στη δοσμένη αρχική σχέση είναι f( y) f() f( y) α f( y) f() α f(y) α f( y) f() f(y) α (λόγω της () ) Ε Είναι για ν f() f(), που ισχύει Έστω ότι η σχέση ισχύει για ν κ f(κ) κf() (κ )α(), θα δείξουμε ότι η σχέση ισχύει για ν κ Είναι f[(κ )] f(κ ) f(κ) f() α κf() f() (κ )α α (κ )f(κ) κα που είναι το ζητούμενο, άρα σύμφωνα με τη μαθηματική επαγωγή η σχέση θα ισχύει Ε4 Είναι f() α, άρα η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f() είναι η o Έστω,R με f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) α f( ) α ( λόγω του Ε), άρα θα πρέπει, συνεπώς η f είναι, άρα και αντιστρέψιμη Έστω f ( y α) κ ( y α) f(κ), f (y) μ y f(μ) f () λ f(λ) Από την αρχική σχέση είναι f(λ μ) f(λ) f(μ) α f(λ μ) y α λ μ f ( y α) f ( y α) f () f (y) mathmatica -

Όριο συνεχεία Ε5 α Έστω,R με f( ) α f( ) f( ) α α f( ) f( ), συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Θα είναι και η Απόδειξη: 'Έστω ότι υπάρχουν, R και f ( f ( ) ) άρα και,άτoπo f γνησίως αύξουσα στο R με, όμως η f είναι γνησίως αύξουσα άρα f(f ( ) f(f ( ) ) β Έτσι f (f( ) f (f( ) α) f( ) f( ) α f( ) f( ) f() f( ) f( ) f( ) άρα (,) Ε6 Είναι limf() f() α, αφού η f είναι συνεχής στο Έστω τυχόν o R limf(o h) lim[f( o) f(h) α] f( ) Έτσι η f είναι συνεχής στο R ΘΕΜΑ 65 Έστω η συνάρτηση f : R για κάθε R h h R για την οποία ισχύει Προτείνει ο XRIMAK f () 5f() Ε Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης f Ε Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται Ε Να δείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το R και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση f Ε4 Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Ε5 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R Ε6 Να λύσετε την εξίσωση f( 9) Ε7 Να βρείτε το f () lim ημ Ε Ισχύει ότι f()(f () 5), R άρα επειδή και f() () f () 5 έχουμε f() f () 5 θα είναι Από όπου για έχουμε f() και για mathmatica -4

Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε Αν για, R ισχύει ότι f( ) f( ) τότε θα ισχύουν και f ( ) f ( ), 5f( ) 5f( ) και με πρόσθεση ότι f ( ) 5f( ) f ( ) 5f( ) άρα και άρα η f είναι ' ' Ε Αν g() 5, R ισχύουν ότι είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα αφού για ισχύουν ότι g( ) g( ) άρα και Έχουμε επίσης ότι lim g() lim( 5) lim( ) lim g() lim( 5) lim( ) άρα η g έχει σύνολο τιμών g(r) αντιστρέψιμη με g : R R και θα ισχύει 5 5 άρα και R και αφού ισχύει g(f()), R και g f() g ( ), R Επομένως η f θα έχει σύνολο τιμών το R οπότε θα είναι f : R R και για το f () από την αρχική θα ισχύει f (f ()) 5f(f ()) f () Άρα f () 5, R Ε4 Από g(f()), R για ισχύει, άρα και g(f( )) g(f( )) και επειδή η g γνήσια αύξουσα, θα ισχύει ότι, f( ) f( ), άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R Ε5 Για στην αρχική προκύπτει ότι f ( ) 5f( ) οπότε με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε ότι f () f ( ) 5(f() f( )) ή ακόμη (f() f( )) f () f()f( ) f ( ) 5 ( ) οπότε και f() f( ) 4 f() f( ) f ( ) 5 4 και επειδή f() f( ) 4 5 f() f( ) f ( ) 5 4 άρα θα ισχύει f() f( ) Όμως 5 5 lim, συνεπώς από κριτήριο παρεμβολής έχουμε 5 lim(f() f( )) lim(f()) f( ) άρα η f είναι συνεχής στο R mathmatica -5

Ε6 Είναι Όριο συνεχεία f( 9) 9 f ( ) ισοδύναμα λόγω (Ε) 9 ( ) 5( ) ( ) 6( ) και με Hornr προκύπτει ισοδύναμα ότι ή ( ) ( ) που είναι αδύνατο f () 5 5 Ε7 Είναι h() οπότε limh() 5 ημ ημ ημ ΘΕΜΑ 66 Προτείνει XRIMAK Έστω f : R R συνεχής, για την οποία ισχύει για κάθε R: f() Ε Να δείξετε ότι η C f τέμνει την ευθεία y σ ένα τουλάχιστον σημείο, με τετμημένη Ε Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι: α η g() f(), R είναι γνησίως φθίνουσα β η εξίσωση Ε Να βρείτε το f() f() lim f έχει μοναδική ρίζα στο ln, Ε Θεωρούμε την h() f() με R, που είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, και είναι h() f(), h f σχέσης άρα από Bolzano και λόγω συνέχειας υπάρχει, ώστε f λόγω της αρχικής o o Ε α Αφού f γνήσια αύξουσα για κάθε, με ισχύει: f( ) f( ), f( ) f( ) άρα με πρόσθεση κατά μέλη και πρόσθεση και του και στα δύο μέλη προκύπτει ότι g( ) g( ) άρα η g είναι γνήσια φθίνουσα β Έχουμε f() όμως η g είναι συνεχής και ισχύει: f () f() f() g() (f () 4) 4 g()g() f() f() f() 4 4 f() Τότε από θεώρημα Bolzano η εξίσωση g() έχει μία λύση στο (, )και μοναδική λόγω της μονοτονίας της g o mathmatica -6

Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε Είναι f f ln ln f ln και επειδή lim( ln) θα είναι lim ln f ΘΕΜΑ 67 Προτείνει ο XRIMAK Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f :(,) R για την οποία f() 5 ισχύουν lim και ημ( ) ( )f() για κάθε (,) Ε Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g() f() ln, (,) f () Ε Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h() τέμνει τη διχοτόμο των θετικών ημιαξόνων σε ένα μόνο σημείο, με τετμημένη o, Ε Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης διάστημα,, για κάθε α R α f στο f() 5 Ε Θέτουμε k(),, οπότε f() k() 5 f() 5 Γνωρίζουμε ότι lim limk() Επομένως lim f() lim(k() 5) 5 5 Ακόμα έχουμε ημ( ) ( )f() ημ( ) f(), Άρα u,, u, οπότε για (,) έχουμε ημ( ) ημu lim lim και lim lim( ) u u Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε limf() Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) έχει σύνολο τιμών το A (limf(), lim f()) (,5) Για, (,) με έχουμε f( ) f( ) () (διότι η f είναι γνησίως φθίνουσα) mathmatica -7

Όριο συνεχεία Για, (,) με έχουμε ln ln () Από (), () έχουμε g( ) g( ) Οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) lim g() lim(f() ln ) και lim g() lim(f() ln ) Άρα η g έχει σύνολο τιμών το B (limg(), lim g()) (, ) f () Ε Θεωρούμε φ(), (,) Για, (,) με έχουμε f( ) f( ) οπότε f( ) f( ) f ( ) f ( ) Άρα, οπότε η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) Τώρα θέτοντας u f(),, u θα είναι f () lim φ() lim( ) lim( ) lim f () u u και θέτοντας u f(),, u θα είναι f () u lim( ) lim ( ) u,οπότε f () lim φ() lim( ) Άρα η φ έχει σύνολο τιμών το Γ (lim φ(), lim φ ()) (, ) Επειδή το Γ, η φ έχει μια τουλάχιστον λύση Και επειδή η φ είναι γνησίως f () φθίνουσα στο (,) η λύση είναι μοναδική Συνεπώς, η h() τέμνει τη διχοτόμο των θετικών ημιαξόνων σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (,) Ε α f () α f () α h() α Θεωρούμε s() h(), (,) Από προηγούμενο ερώτημα έχουμε πως η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) α α Για, (,) με έχουμε h( ) h( ) και, οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε ότι η s είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) α Έχουμε lim s() lim(h() ) και α α lim s() lim(h() ) α Άρα η s έχει σύνολο τιμών το Δ (lims(), lim s()) (, ) Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: α η περίπτωση: Αν, δηλαδή α α α α α Τότε η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, αφού το Δ α η περίπτωση: Αν δηλαδή α α α α α, τότε Δ, η εξίσωση δεν έχει καμία λύση mathmatica -8

Μαθηματικά Γ Λυκείου ΘΕΜΑ 68 Προτείνει ο χρήστης ghan Έστω f : R R με f R R και επιπλέον για κάθε,y R ισχύει f() f(y) y, όπου θ, Να δειχθεί ότι: θ Ε Η f αντιστρέφεται Ε f () f (y) θ y για κάθε,y R Ε Η f () Ε4 Η εξίσωση είναι συνεχής στο R f () έχει το πολύ μία ρίζα στο R Ε Θέτουμε στην αρχική σχέση,y και έχουμε: f( ) f( ) () θ Έστω ότι f( ) f( ), οπότε η () γίνεται:,οπότε η f είναι άρα αντιστρέφεται θ Ε Θέτουμε στην αρχική σχέση όπου το f () και όπου y το έχουμε: y f () f (y) f () f (y) θ y () θ f (y) και Ε Θέτουμε στην () y και έχουμε: f () f ( ) θ θ f () f ( ) θ () lim θ lim θ, Τότε: οπότε λόγω της () και του κριτηρίου παρεμβολής ισχύει: lim f () f ( ) lim f () f ( ), δηλαδή η f είναι συνεχής στο τυχαίο, άρα είναι συνεχής στο R Ε4 Η συνάρτηση f είναι και συνεχής, οπότε είναι γνησίως μονότονη, ενώ η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση έχει το πολύ μία λύση ΘΕΜΑ 69 Προτείνει ο Περικλής Παντούλας mathmatica -9

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R f g f g Όριο συνεχεία R για τις οποίες ισχύει, για κάθε R Ε Να δείξετε ότι, για κάθε R f g Ε Να δείξετε ότι οι f και g είναι συνεχείς στο o f Ε Να βρείτε το όριο lim g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R Ε4 Αν η g συνεχής στο R, να δείξετε ότι η εξίσωση Ε Έχουμε, f () g () f() g() f () f() g () g() (f () f() ) (g () g() ) (f() ) (g() ) f() Ε Για έχουμε (f() ) (g() ) και g() (f() ) (g() ) (f() ) (g() ) (f() ) f() f() f() Όμως lim( ) lim( ), οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε limf() Δουλεύουμε όμοια και έχουμε (f() ) (g() ) (g() ) (f() ) (g() ) g() g() g() Έχουμε lim( ) lim( ), οπότε limg() Επειδή limg() g() και limf() f(), έχουμε ότι οι f,g συνεχείς στο Ε Έχουμε f(), οπότε για, έχουμε ότι f() Όμως lim lim f() Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim Ε4 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() g(), R Γνωρίζουμε πως g() mathmatica -

Μαθηματικά Γ Λυκείου Για έχουμε g( ) άρα 4 g( ) 4 4 5 h( ) Η h είναι συνεχής στο [,] h() g() και h( ) g( ) 4 Επομένως από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε h( ) g( ), δηλαδή η εξίσωση g() έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα ΘΕΜΑ 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με τύπους f ln Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης και g ln Ε Να εξετάσετε αν το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης h της διαφοράς των f,g Ε Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση h h h ln h ln h Ε Να λυθεί η εξίσωση Ε Το πεδίο ορισμού της f είναι A f (,) (, ) και της g το A g (, ) Άρα A h (, ) Με έχουμε τώρα f() ln ln( ) ln g() και άρα h() ln Έχουμε h() ln Όμως η τιμή αυτή απορρίπτεται, αφού έχουμε και άρα το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της h Ε Έστω y y h() y ln,, h (), ln Ε Έχουμε: ln ln( ) ln ln ln Μια προφανής λύση της εξίσωσης είναι η και επειδή για ισχύουν ότι και ln ln ln ln ln ln θα ισχύει, προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες ότι ln ln ln ln που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα στο (, ),άρα η λύση είναι P() ln ln μοναδική mathmatica -

mathmatica - Όριο συνεχεία