ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ Η ΡΕΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ Η ΡΕΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όταν σ ένα κύκλωµα εφαρµόσοµε τος νόµος το Krchhoff, παίρνοµε σνήθως µια εξίσωση πο περιέχει ολοκληρώµατα και παραγώγος Οι µέθοδοι επιλύσεως των κλασικών διαφορικών εξισώσεων δίνον τις λύσεις πο ζητάµε Όταν χρησιµοποιούµε τέτοιες µεθόδος, το ρεύµα, πο οφείλεται σε κάποια εφαρµοζόµενη τάση, εκφράζεται τελικά µε δο όρος Ο ένας όρος εκφράζει το µεταβατικό φαινόµενο, πο σχνά διαρκεί µόνο για κλάσµα το δετερολέπτο, ενώ ο άλλος όρος εκφράζει τη µόνιµη κατάσταση, πο επικρατεί στο κύκλωµα έως ότο επιδράσει κάποια άλλη εξωτερική αιτία Πίνακας Τάση στος Ακροδέκτες Ιδανικού Στοιχείο για Ηµιτονοειδές Ρεύµα Στοιχείο Τάση για γενικό Τάση αν I m sn Τάση αν I m cos Αντίσταση R R R R RI m sn R RI m cos Ατεπαγωγή L d L L dt L ωli m cos L ωli m (-sn ) Χωρητικότητα C C C dt Ι C m Ι ( cos ) C m sn ωc ωc Πίνακας Ρεύµα σε Ιδανικό Στοιχείο για Ηµιτονοειδή Τάση Στοιχείο Ρεύµα για γενικό Ρεύµα αν m sn Αντίσταση R R R R m sn R Ρεύµα αν m cos R m cos R Ατεπαγωγή L L L dt Χωρητικότητα C d C C dt L m ( cos ) L m sn ωl ωl C ωc m cos C ωc m (-sn ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 03857 495 wwwarnosgr e-mal : nfo@arnosgr

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ ΕΙΣ ΤΑΣΕΙΣ Στον παραπάνω πίνακα δίνονται τα ρεύµατα καθαρών στοιχείων R, L και C, όταν η τάση στα άκρα τος είναι ηµιτονοειδής ΦΑΣΙΚΗ ΓΩΝΙΑ Αν η τάση και το ρεύµα είναι ηµιτονοειδείς σναρτήσεις το χρόνο, τότε οι γραφικές τος παραστάσεις στην ίδια χρονική κλίµακα παροσιάζον µια σχετική µετατόπιση µεταξύ τος, εκτός από την περίπτωση της ιδανικής αντιστάσεως Η µετατόπιση ατή είναι η φασική γωνία και µπορεί να οριστεί ως η διαφορά της φάσης της τάσης µείον τη φάση το ρεύµατος Η φάση (της τάσεως ή το ρεύµατος) είναι η γωνία, δηλ το όρισµα, της ηµιτονοειδούς σναρτήσεως Η φασική γωνία κµαίνεται από 90 0 έως 90 0 Σνήθως όµως παίρνοµε την απόλτη τιµή της και λέµε ότι το ρεύµα προπορεύεται της τάσεως, αν η φασική γωνία είναι αρνητική, ή µεταπορεύεται (επιπορεύεται, ακολοθεί) της τάσεως, αν η φασική γωνία είναι θετική Σε έναν ιδανικό πκνωτή το προπορεύεται της κατά 90 0 Σε ένα κύκλωµα σειράς RL µε R και ωl ίσα, το µεταπορεύεται της (ή επιπορεύεται της ή ακολοθεί την) κατά 45 0 Σε µια ιδανική αντίσταση το είναι σε φάση µε την (έχον την ίδια φάση), κτλ Τα επόµενα διαγράµµατα διεκρινίζον τις έννοιες της σύνθετης αντιστάσεως και της φασικής γωνίας Ιδανική R Σε ιδανική αντίσταση, το ρεύµα και η τάση βρίσκονται σε φάση Το µέτρο της σύνθετης αντιστάσεως είναι R π π π π π/ Ιδανική L Σε ιδανική ατεπαγωγή, το ρεύµα µεταπορεύεται της τάσεως κατά 90 0 ή π/ ακτίνια Το µέτρο της σύνθετης αντιστάσεως είναι ωl

Ιδανική C Σε ιδανική χωρητικότητα, το ρεύµα προπορεύεται της τάσεως κατά 90 0 ή π/ ακτίνια Το µέτρο της σύνθετης αντιστάσεως είναι Ι ωc π π π/ Κύκλωµα σειράς RL Σε ένα κύκλωµα σειράς RL το ρεύµα µεταπορεύεται της τάσεως κατά γωνία tan - (ωl/r) (σχ 4) Το µέτρο της σύνθετης αντιστάσεως είναι R + ( ωl) π π π π tan - (ωl/r) tan - (/ωcr) Κύκλωµα σειράς RC Σε ένα κύκλωµα σειράς RC το ρεύµα προπορεύεται της τάσεως κατά γωνία tan - (/ωcr)(σχ 5) Το µέτρο της σύνθετης αντιστάσεως είναι R + (/ ωc) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 03857 495 wwwarnosgr e-mal : nfo@arnosgr

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΕΙΡΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ Όταν στοιχεία κκλώµατος σνδέονται σε σειρά, η ολική τάση είναι το άθροισµα των τάσεων των στοιχείων Έτσι στο(α) σχήµα έχοµε + + 3 3 3 (α) (β) Όταν στοιχεία µε σύνθετη αντίσταση σνδέονται παράλληλα, το ολικό ρεύµα το κκλώµατος είναι το άθροισµα των ρεµάτων των κλάδων Έτσι στο (β) σχήµα είναι + + 3 Ατό προκύπτει από εφαρµογή το νόµο ρεµάτων το Krchhoff στον κοινό κόµβο των τεσσάρων κλάδων ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ένας µιγαδικός αριθµός έχει τη µορφή x+jy, όπο x και y πραγµατικοί αριθµοί και j O πρώτος όρος x ενός µιγαδικού αριθµού x+y λέγεται πραγµατικό µέρος Ο σντελεστής y λέγεται φανταστικό µέρος ύο µιγαδικοί αριθµοί, α+jb και c+jd, είναι ίσοι αν και µόνο αν αc και bd MOΡΦΕΣ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Στο σχήµα είναι xrcosθ, yrsnθ Άρα ο µιγαδικός αριθµός γράφεται : x + jy r(cosθ+jsnθ) όπο x y είναι το µέτρο ή r + απόλτη τιµή το και θ tan - y/x η γωνία ή όρισµα το O x Ο τύπος το Euler e jθ (cosθ+j sn θ) επιτρέπει την έκφραση το µιγαδικού αριθµού σε εκθετική µορφή r cosθ + jr snθ re jθ jy j r θ

Στην ανάλση δικτύων γίνεται σχνά χρήση της πολικής µορφής ενός µιγαδικού αριθµού r θ όπο το θ είναι σνήθως σε µοίρες Σνοψίζοµε λοιπόν, τος τέσσερις τρόπος πο µπορεί να γράφει ένας µιγαδικός (στην πράξη προτιµάµε κάθε φορά τη µορφή πο µας διεκολύνει): Καρτεσιανή µορφή x + jy Πολική µορφή r θ Εκθετική µορφή re jθ Τριγωνοµετρική µορφή r(cos θ + j sn θ) Ο ΣΥΖΥΓΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ο σζγής µιγαδικός το µιγαδικού αριθµού x+jy είναι ο x- jy Έτσι, πχ, δο ζεύγη σζγών µιγαδικών αριθµών είναι τα () 3-j και 3+j, () 5+j4 και 5-j4 Σε πολική µορφή, ο σζγής το j r θ είναι ο r θ Σε τριγωνοµετρική µορφή, επειδή cos (-θ) cos θ και sn(-θ) - sn θ, ο σζγής το r(cosθ+j sn θ) είναι ο r(cosθ-j sn θ) Στο µιγαδικό επίπεδο ο σζγής ενός µιγαδικού παριστάνεται από το σηµείο πο είναι το σµµετρικό το ως προς τον άξονα των πραγµατικών αριθµών Έτσι έχοµε τέσσερις τρόπος γραφής ενός µιγαδικού αριθµού και το σζγή το : 4 3 5 43 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 5-43 0 3 4 3 +j4, 5 43 0, 3 j4 5-43 0 x+jy r θ r e jθ r(cos θ + j sn θ) x jy r θ r e -jθ r(cos θ j sn θ) ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΑ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Για να προσθέσοµε δο µιγαδικούς αριθµούς, προσθέτοµε τα πραγµατικά µέρη και τα φανταστικά µέρη χωριστά Για να αφαιρέσοµε δο µιγαδικούς αριθµούς, αφαιρούµε τα πραγµατικά µέρη και τα φανταστικά µέρη χωριστά Όπως είναι φανερό, για πρόσθεση ή αφαίρεση σµφέρει να έχοµε τος µιγαδικούς αριθµούς στην καρτεσιανή τος µορφή ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 03857 495 wwwarnosgr e-mal : nfo@arnosgr

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Παράδειγµα Με 5 j και -3 j8, έχοµε : + (5-3) + j(--8) - j0 + (-3-5) + j(-8)+ -8- j6 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Το γινόµενο δο µιγαδικών αριθµών σε εκθετική µορφή προκύπτει από τις ιδιότητες των δνάµεων Είναι : j (r e θ j )(r e θ j( θ ) ) r r +θ e Αν οι µιγαδικοί αριθµοί είναι γραµµένοι σε πολική µορφή, το γινόµενο τος βρίσκεται µε ανάλογο τρόπο: (r θ )(r θ ) r r θ +θ Αν οι µιγαδικοί είναι σε καρτεσιανή µορφή, κάνοµε κανονικά τις πράξεις σαν να πρόκειται για διώνµα Έτσι έχοµε : (x + jy )(x +jy ) x x + jx y + jy x + j y y (x x -y y ) + j(x y +y x ) Παράδειγµα Με 5e jπ/3 και e -jπ/6, έχοµε (5e jπ/3 )(e -jπ/6 ) 0e jπ/6 Παράδειγµα 3 Με 30 0 και 5-45 0, έχοµε ( 30 0 )(5-45 0 ) 0-5 0 Παράδειγµα 4 Με +j3 και --j3, έχοµε (+j3)(--j3) 7-j9 ΙΑΙΡΕΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Το πηλίκο δο µιγαδικών αριθµών σε εκθετική µορφή προκύπτει από τις ιδιότητες των δνάµεων : jθ re r j( θ θ ) e jθ r r e Αν οι δο µιγαδικοί αριθµοί είναι γραµµένοι σε πολική µορφή, το πηλίκο τος βρίσκεται µε ανάλογο τρόπο, δηλ r θ r θ r θ θ r

Αν οι µιγαδικοί είναι σε καρτεσιανή µορφή, για να βρούµε το πηλίκο τος πολλαπλασιάζοµε αριθµητή και παρανοµαστή επί το σζγή το παρανοµαστή x x + + jy x jy x jy (xx + yy ) + j(yx yx) jy x + y Παράδειγµα 5 Με 4e jπ/3 και e jπ/6, έχοµε 4e jπ / 3 e jπ / 6 e jπ / 6 Παράδειγµα 6 Με 8-30 0 και -60 0, έχοµε 8 30 0 60 0 4 30 0 Παράδειγµα 7 Με 4-j5 και +j, έχοµε 4 j5 j 6 j3 j - j + 5 Παρατήρηση : Για πρόσθεση ή αφαίρεση µιγαδικών αριθµών εξπηρετεί η καρτεσιανή µορφή Για πολλαπλασιασµό ή διαίρεση εξπηρετεί η εκθετική µορφή Σγγραφέας : Βοδούκης Νικόλαος ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 03857 495 wwwarnosgr e-mal : nfo@arnosgr