ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της συνάρτησης ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΣΤ.3 (6.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η συνάρτηση f() = α + β ΣΤ.4 (6.4 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης ΣΤ.5 (6.5 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη συνάρτησης
Στ. 6. Η έννοια της συνάρτησης. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας Θεωρία. Τι ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β; Απάντηση: Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β, μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο που ανήκει στο Α αντιστοιχίζεται σ ένα μόνο στοιχείο y που ανήκει στο Β. Συμβολίζουμε: f : A B Σημείωση: Οι συναρτήσεις συμβολίζονται εκτός από το f και με τα γράμματα g, h, φ... Παράδειγμα Είναι συνάρτηση Δεν είναι συνάρτηση, γιατί σ ένα στοιχείο του Α αντιστοιχίζονται δύο στοιχεία του Β. Δεν είναι συνάρτηση, γιατί υπάρχει στοιχείο του Α που δεν αντιστοιχίζεται σε στοιχείο του Β.
98. Η έννοια της συνάρτησης Θεωρία. Έστω η συνάρτηση f : A B α) Τι ονομάζουμε πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ; β) Τι ονομάζουμε τιμή της f στο, τι τύπο της f και τι σύνολο τιμών; γ) Τι ονομάζουμε ανεξάρτητη και τι εξαρτημένη μεταβλητή; Απάντηση: α) Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Το y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f(). Τύπος της f ονομάζεται η ισότητα y = f(). Σύνολο τιμών ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών τιμών του y δηλαδή των f() (με στοιχείο του Α). Συμβολίζεται: f(a). (f (Α) Β) γ) Η μεταβλητή που παίρνει τιμές από το πεδίο ορισμού Α μιας συνάρτησης λέγεται ανεξάρτητη,ενώ η μεταβλητή y, της οποίας κάθε τιμή, εξαρτάται από την τιμή της μεταβλητής, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Θεωρία 3. Σχόλιο: Το πεδίο ορισμού Α μιας συνάρτησης f, άλλοτε δίνεται κι άλλοτε όχι. Όταν δε δίνεται, θα παίρνουμε ως Α το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο το f() έχει νόημα (είναι πραγματικός αριθμός). α) Πότε μια συνάρτηση f : A B ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Πότε μια συνάρτηση f είναι καλά ορισμένη; Απάντηση: α) Μια συνάρτηση f : A B ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής όταν: A R και B R. β) Μια συνάρτηση f είναι καλά ορισμένη, όταν μας δίνονται ή μπορούν να βρεθούν τα εξής στοιχεία: i) το πεδίο ορισμού Α ii) το σύνολο Β iii) το f(), για κάθε που ανήκει στο Α. Σημείωση: Όταν στις ασκήσεις αναφέρουμε ότι δίνεται η συνάρτηση π.χ. f() = +, θα εννοούμε ότι δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f() = +.
Η έννοια της συνάρτησης 99. Ερωτήσεις κατανόησης - Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα (Σωστό - Λάθος) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό ή λάθος. i) Αν σε κάθε αντιστοιχίσουμε δύο αριθμούς έχουμε συνάρτηση. ii) Αν στους άρτιους αριθμούς αντιστοιχίσουμε το και στους περιττούς το έχουμε συνάρτηση. Απάντηση: i) Λάθος: Έχουμε συνάρτηση όταν κάθε αντιστοιχίζεται σ ένα μόνο αριθμό ii) Σωστό: Είναι συνάρτηση με τύπο: f() = όταν άρτιος, f() = όταν περιττός. Παράδειγμα (Πολλαπλής Επιλογής) Επιλέξτε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα ορίζει συνάρτηση (f: ΑΒ); Απάντηση: Συνάρτηση ορίζουν τα διαγράμματα (i), (iii). Το διάγραμμα (ii) δεν παριστάνει συνάρτηση αφού υπάρχει στοιχείο του Α που αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του Β. Επίσης, το (iv) δεν είναι συνάρτηση αφού υπάρχει στοιχείο του Α που δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του Β. Παράδειγμα 3, αν Θεωρούμε τη συνάρτηση: f(), αν Α = f(0) 3f() + f() + f(3) () Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:
300. Η έννοια της συνάρτησης Έχουμε:0 < άρα f (0) 0 0 < άρα f () άρα f () 5 3 > άρα f (3) 3 7 οπότε η () γίνεται: Α 0 3 5 7 4 Σημείωση: Οι συναρτήσεις με τύπους όπως στο παράδειγμα ονομάζονται κλαδικές ή πολλαπλού τύπου. Παράδειγμα 4 Δίνεται η συνάρτηση: f(). Να βρεθούν: i) Το ώστε να είναι f() f( ) iii) Το β αν f() β ii) Το α αν f(α) 3 iv) Το αν f() 0 i) Έχουμε: f ( ) ( ) Άρα: f () f ( ) ii) f (α) 3 α 3 α ` iii) f () β β β 3 iv) f () 0 0 Παράδειγμα 5 Δίνεται η συνάρτηση: α β, f() α, να βρεθούν τα α, β αν f() 4 και f Επειδή και ή. Έτσι ο τύπος της συνάρτησης γράφεται: f() β, α, ή Επειδή > το f() είναι τιμή του ου τύπου της συνάρτησης. Άρα: f( ) α 4 α α () Επίσης οπότε το f είναι τιμή του ου τύπου της συνάρτησης: () Επομένως: f α β α β β β 4 4
Η έννοια της συνάρτησης 30. Παράδειγμα 6 Έστω η συνάρτηση: α 3, f() 3 α, να βρεθεί ο α. Επειδή η f είναι συνάρτηση για την κοινή τιμή του = αναγκαστικά θα έχουμε μια τιμή του f(). Δηλαδή για = οι κλάδοι της συνάρτησης πρέπει να είναι ίσοι. 3 Επομένως: 3 4 3 8 4 4 Παράδειγμα 7 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f() β) f() 3 γ) f() α) Επειδή f()r για κάθε R το πεδίο ορισμού είναι το R. β) Πρέπει: 3 Μέθοδος: 0 ( ) 0 0 0 Για να βρούμε το πεδίο 0 και 0 και και ορισμού μιας συνάρτησης Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι: προσέχουμε τα εξής: A,,0 0,, Αν έχει μεταβλητή στον ή ή: A { R / 0 } παρονομαστή, εξαιρούμε εκείνες τις τιμές του που γ) Πρέπει: μηδενίζουν τον παρονομαστή (όπως το (β)). 0 Αν ο τύπος έχει ρίζα, ή εξαιρούμε εκείνες τις τιμές Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι: που κάνουν την υπόρριζη Α,, ποσότητα αρνητική. ή ή : { R / ή } (όπως το (γ)). Αν η μεταβλητή δε βρίσκεται ούτε μέσα σε ρίζα ούτε σε παρονομαστή, δεν έχουμε κανένα περιορισμό, (όπως (α)). Σημείωση: Οι συναρτήσεις που έχουν τη μορφή του παραδείγματος α) ονομάζονται πολυωνυμικές.
30. Η έννοια της συνάρτησης Παράδειγμα 8 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f() ii) f() 4 - iii) f() i) Πρέπει 0, που αληθεύει για κάθε R. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το R. ii) Πρέπει: 4 0 4 4 Επίσης 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: A,, ή A R / iii) Πρέπει: 0 () Εάν 0 τότε - - () 0 που ισχύει για κάθε () Εάν 0 τότε - () Συναλήθευση: Άρα (3) Από () και (3) προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: A, ή A R / Παράδειγμα 9 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() 5 4 3 7 6 5
Η έννοια της συνάρτησης 303. β) Να λυθεί η εξίσωση Α = 0 όπου A στο πεδίο ορισμού της παραπάνω συνάρτησης f. α) Για να ορίζεται η συνάρτηση f() πρέπει 5 40 και 5 40 (αλλάξαμετ πρόσημ καιτη φοράτηςανίσωσης) 7 60 και 7 60 - ( ) 0 (αλλάξαμετοπρόσημοτου καιτη φορά της ανίσωσης) 0, με 0 Λύνoντας το σύστημα των τριών ανισώσεων βρίσκουμε ότι [, ] (το έχουμε λύσει στο α ερώτημα) Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το Α = [,] β) Αφού το ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f θα ισχύει [,] και Δηλαδή 0 και - 0 Άρα και -. Επίσης Έτσι έχουμε : A 0 ( ) ( ) ( ) 4 4 0 0 4 3 0 4 4 0 4 3 0 ή -3 οι οποίες απορρίπτονται διότι [, ]. Άρα η εξίσωση Α = 0 είναι αδύνατη., όταν το ανήκει Παράδειγμα 0 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() 8 9 4 Για να ορίζεται η συνάρτηση f() 8 9 4 πρέπει:, 5, 3 3 8 9 4 0, (από το α ερώτημα) Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το A, 5, 3 3,
304. Η έννοια της συνάρτησης Ερωτήσεις κατανόησης - Ασκήσεις για Λύση. Nα χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ). i) Μία συνάρτηση f : A B λέγεται πραγματικής μεταβλητής όταν A R ( ) ii) Μία συνάρτηση f : A B λέγεται πραγματικής μεταβλητής όταν B R ( ) iii) Για μία συνάρτηση f : A B προκύπτει ότι: α) η f έχει σύνολο τιμών το Β ( ) β) η f έχει πεδίο ορισμού το Α ( ) iv) Συνάρτηση είναι μια διαδικασία κατά την οποία, κάποια από τα στοιχεία ενός συνόλου Α αντιστοιχίζονται σε στοιχεία του Β. ( ) v) Αν σε έναν αριθμό αντιστοιχίσουμε τρεις αριθμούς έχουμε συνάρτηση. ( ) vi) Αν το σύνολο τιμών μιάς συνάρτησης είναι το [,] τότε f() ( ). Nα χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ). i) Η συνάρτηση f() έχει πεδίο ορισμού το R ( ) ii) Η συνάρτηση iii) Η συνάρτηση, f() έχει πεδίο ορισμού το R ( ), f() έχει πεδίο ορισμού το R ( ) iv) Η συνάρτηση f() 7 έχει πεδίο ορισμού το R ( ) v) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f() είναι το {-,} ( ) ( ) ( ) vi) Ισχύει ότι : f() f() f(), - - άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το R ( )
Η έννοια της συνάρτησης 305. 3. Nα επιλέξετε το γράμμα της σωστής απάντησης. i) Ποιο από τα παρακάτω βελοδιαγράμματα ορίζει συνάρτηση; α) β) γ) δ) ii) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() - είναι το: α) (,0] β) (0,), γ) R, δ) Η συνάρτηση δεν ορίζεται για κανένα. iii) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α=[-,3] τότε το πεδίο ορισμού της g() f( ) είναι: α) [-,3] β) [-3,3] γ) [0,4] δ)[ 0,) iv) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α=[,] τότε το πεδίο ορισμού της g() f( ) είναι: α) (0,) β) [,] γ) [0,] δ)[0,] 4 v) H συνάρτηση f(), με λ R έχει πεδίο ορισμού το R όταν: λ α) λ 0 β) λ 0 γ) λ R δ) λ < 0 vi) Αν f() και g() τότε το g(f()) είναι ίσο με: α) β) γ) δ) 0 4. Nα επιλέξετε το γράμμα της σωστής απάντησης. i) Έστω η συνάρτηση f() +, οι λύσεις της εξίσωσης -f() - = f(-) είναι: α) = β) κάθε R γ) = 0 δ) =
306. Η έννοια της συνάρτησης ii) Έστω η συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού Α = {,}, το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι: α) {-3,} β) {,3} γ) {0,} δ) R iii) Δίνεται η συνάρτηση f() 3α. Αν f() = τo f (-) είναι: α) β) γ) 4 δ) 4 iv) Δίνεται η συνάρτηση f(). Αν f(λ) = 5 τότε το λ είναι ίσο με: α) λ=0 β) λ = ή λ = γ) λ = δ) κανένα απο τα παραπάνω 5. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f() 7 β) g() γ) h() 6. Ομοίως των συναρτήσεων (να το γράψετε με διαστήματα): 3 - α) f() β) g() γ) h() 4 7. Ομοίως των συναρτήσεων: α) f() β) g() γ) h() 4 8. Ομοίως των συναρτήσεων: α) f() β) g() γ) h() = + - + 9. Δίνεται η συνάρτηση f(-) = 3 και f() = 4. λ κ, f() (λ ), Να βρεθούν τα κ,λ αν 0. Να βρεθεί το α R, ώστε η συνάρτηση f με τύπο: έχει πεδίο ορισμού το R., α f() να 5, 4α 5
Η έννοια της συνάρτησης 307.. Να βρεθούν τα α,β R, ώστε ο τύπος: συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R. α, α f() να εκφράζει 3 + β, α, αν άρρητος. Δίνεται η συνάρτηση: f() 0, αν ρητός α) Να βρεθούν οι: f( 3 ), f(004), f(π) β) Να λυθεί η εξίσωση: f(004) - f( 3) γ) Για την μικρότερη τιμή του που θα βρείτε στο ερωτημα (β) να λυθεί η ανίσωση: - α f(π) 3. Δίνεται η συνάρτηση: f() χωρίς την απόλυτη τιμή.. Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης 4. Δίνονται τα σημεία Α(,0), Β(0,4) και Γ(,0) που κινείται μεταξύ του Ο και Α (Ο αρχή των αξόνων). Να εκφράσετε το BΓ ως συνάρτηση του. 5. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f() - 4 4 3 3