Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20
Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Για κάθε n 1: n i 3 = n2 (n + 1) 2 4 Για κάθε n 10: 2 n > n 3. Να διατυπωθεί µια εικασία για το άθροισµα των πρώτων n περιττών αριθµών και να αποδειχθεί επαγωγικά. Ανισότητα Bernoulli: Για r 1: (1 + x) r 1 + r x ( όπου x 0 ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 2 / 20
Προβλήµατα ιαιρετότητας Να δείξετε ότι: Για κάθε n 1, ο n 3 + 2n διαιρείται (ακριβώς, χωρίς υπόλοιπο) µε το 3. Ο 7 n+2 + 8 2n+1 διαιρείται (ακριβώς) µε το 57, για κάθε n N. Ο 4 n+1 + 5 2n 1 διαιρείται (ακριβώς) µε το 21, για κάθε n Z +. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 3 / 20
ιαιρετότητα Ν Ο για κάθε n 1, ο n 3 + 2n διαιρείται (ακριβώς, χωρίς υπόλοιπο) µε το 3. Βάση της Επαγωγής: Επαγωγική Υπόθεση: Επαγωγικό Βήµα: n = 1 ο 3 διαιρεί τον εαυτό του. Εστω ότι για n = k 1, η πρόταση αληθεύει. Για n = k + 1 έχουµε: (k + 1) 3 + 2(k + 1) = (k 3 + 3k 2 + 3k + 1) + 2(k + 1) = (k 3 + 2k) + 3(k 2 + k + 1) όπου και οι δύο όροι διαιρούνται µε το 3 (άρα και το άθροισµα). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 4 / 20
ιαιρετότητα Ν Ο ο 7 n+2 + 8 2n+1 διαιρείται (ακριβώς) µε το 57, για κάθε n N. Βάση της Επαγωγής: Για n = 0 είναι 7 2 + 8 1 = 57. Επαγωγική Υπόθεση: Επαγωγικό Βήµα: Εστω αληθές για n = k 0 (αυθαίρετα επιλεγµένο) Για n = k + 1 έχουµε: 7 n+2 + 8 2n+1 = 7 k+3 + 8 2k+3 = 7 7 k+2 + 8 2 8 2k+1 = 7 7 k+2 + 64 8 2k+1 = 7 (7 k+2 + 8 2k+1 ) + 57 8 2k+1 Και οι δύο όροι του αθροίσµατος διαιρούνται µε το 57, άρα και το άθροισµα Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 5 / 20
Επαγωγική Απόδειξη των Νόµων του De Morgan Ν Ο για n 2 σύνολα A 1,..., A n Ω ισχύει: n A i = n Āi Βάση της Επαγωγής: Για n = 2 έχουµε: A 1 A 2 = Ā 1 Ā 2. Επαγωγική Υπόθεση: k Για n = k 2 έστω: A i = k (για οποιαδήποτε k υποσύνολα του Ω) Ā i k+1 Επαγωγικό Βήµα: Τότε, για οποιαδήποτε n = k + 1 υποσύνολα του Ω: ( k ) ( k ) ( k ) A i = A i A k+1 = A i Āk+1 = Ā i Āk+1 = n Ā i Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 6 / 20
Η Γενίκευση της Συµµετρικής ιαφοράς Ν Ο για οποιαδήποτε n 2 σύνολα A 1,..., A n : ( n ) x A i x ανήκει σε περιττό πλήθος συνόλων A i Βάση Επαγωγής: Για n = 2 αληθεύει (εξ ορισµού της ) Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι αληθεύει για (αυθ.) n = k 2. Επαγωγικό Βήµα: Τότε, για n = k + 1, έχουµε: Ξεχωρίζουµε οποιοδήποτε από τα k + 1 σύνολα χ.β.γ., το A k+1. Χρειαζόµαστε δύο εκδοχές επαγωγικού ϐήµατος: Μία για την κατεύθυνση «=». Μία για την κατεύθυνση «=». Σε κάθε περίπτωση ϑεωρούµε ένα (αυθαίρετα επιλεγµένο) στοιχείο x. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 7 / 20
Επαγωγικό Βήµα για «=» Εστω οποιοδήποτε στοιχείο x k+1 A i. ( k ) Περίπτωση x A i Αρα x ανήκει σε περιττό πλήθος από τα A 1,..., A k. Αν x A k+1, τότε ανήκει σε περιττό πλήθος και από τα A 1,..., A k+1. [ ( k ) ] ( n ) Αν όµως x A k+1, τότε: x A k+1 =. Περίπτωση x ( k A i ) A i Αρα x ανήκει σε άρτιο πλήθος από τα A 1,..., A k. A i Αν x A k+1, τότε ανήκει σε άρτιο πλήθος και από τα A 1,..., A k+1. [ ( k ) ] ( n ) Αν όµως x A k+1, τότε: x A k+1 =. A i A i Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 8 / 20
Επαγωγικό Βήµα για «=» Εστω οποιοδήποτε στοιχείο x που ανήκει σε περιττό πλήθος από τα A 1,..., A k+1. ( k ) Περίπτωση x A i Αρα x ανήκει σε περιττό πλήθος από τα A 1,..., A k. Τότε x A k+1 (αλλιώς ϑα ανήκε σε άρτιο πλήθος από τα A 1,..., A k+1 ). [ ( k ) ] ( n ) Εποµένως, x A k+1 =. Περίπτωση x ( k A i ) A i A i Αρα x ανήκει σε άρτιο πλήθος από τα A 1,..., A k. Τότε x A k+1 (αλλιώς ϑα ανήκε σε περιττό πλήθος από τα A 1,..., A k+1 ). [ ( k ) ] ( n ) Εποµένως, x A k+1 =. A i A i Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 9 / 20
Μη Λειτουργική Επαγωγική Υπόθεση Μερικές ϕορές ίσως χρειάζεται απόδειξη ισχυρότερης πρότασης. Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι για κάθε n 1: Βάση της επαγωγής: n = 1, δίνει 1 2 < 2. n ( i / 2 i ) 2 Επαγωγική Υπόθεση: έστω ότι η ανισότητα ισχύει για αυθαίρετο n = k 1. Επαγωγικό Βήµα: για n = k + 1 έχουµε: k+1 i 2 i = k i + k + 1 2 + k + 1??? 2 i 2 k+1 2 k+1 Καλύτερα να δείξουµε την πιο ισχυρή σχέση: n i = 2 i 2 n + 2 2 n Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 10 / 20
Ενα πιο απαιτητικό παράδειγµα Για κάθε ακέραιο n 8 υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί ρ n και λ n τέτοιοι ώστε: n = 3 ρ n + 5 λ n οκιµές και Παρατηρήσεις: 8 = 3 +5 9 = 3 3 = 8 +2 3 5 10 = 2 5 = 9 3 3 +2 5 11 = 2 3 +5 = 10 +2 3 5 12 = 4 3 = 11 +2 3 5 13 = 3 +2 5 = 12 3 3 +2 5 14 = 3 3 +5 = 13 +2 3 5 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 11 / 20
Λύση Βάση της Επαγωγής: 8 = 3 1 + 5 1. Επαγωγική Υπόθεση: Επαγωγικό Βήµα: Εστω ότι για n = k 8 (k αυθαίρετο) υπάρχουν ϕυσικοί ρ k, λ k ώστε k = 3 ρ k + 5 λ k. Για n = k + 1, έχουµε: Αν λ k > 0, ϑέτουµε ρ n = ρ k + 2 και λ n = λ k 1. Τότε, πράγµατι: 3 ρ n + 5 λ n = (3 ρ k ) + 6 + (5 λ k ) 5 = k + 1 = n Αν λ k = 0, ϑα πρέπει k 9, εποµένως ρ k 3. Τότε, ϑέτουµε ρ n = ρ k 3 και λ n = λ k + 2 και, πράγµατι: 3 ρ n + 5 λ n = (3 ρ k ) 9 + (5 λ k ) + 10 = k + 1 = n Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 12 / 20
Ισχυρή Επαγωγή Θέλουµε να αποδείξουµε µια ιδιότητα P(n), που εξαρτάται από n Z +. Αν µπορούµε να δείξουµε: Βάση της Επαγωγής: Επαγωγική Υπόθεση: Επαγωγικό Βήµα: Οτι η P(1) είναι αληθής. Υποθέτοντας P(i) αληθή για κάθε i = 1,..., k, για αυθαίρετα επιλεγµένο k 1. Συνεπάγεται P(k + 1) αληθής. Τότε συµπεραίνουµε ότι η P(n) είναι αληθής για κάθε n 1. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 13 / 20
Γιατί χρειάζεται η Ισχυρή Επαγωγή Θεωρούµε σκάλα µε άπειρα σκαλιά. Υπάρχουν οι εξής δυνατότητες: Μπορούµε να φτάσουµε στο 1ο σκαλί. Για αυθαίρετα επιλεγµένο k 1: Αν είµαστε στο k-στό σκαλί, τότε µπορούµε να φτάσουµε στο (k + 2)-στό σκαλί. Συµπεραίνουµε επαγωγικά ότι µπορούµε να επισκεφθούµε όλα τα σκαλιά; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 14 / 20
Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής Κάθε ακέραιος n 2 γράφεται σαν γινόµενο πρώτων αριθµών. Βάση της Επαγωγής: Επαγωγική Υπόθεση: Επαγωγικό Βήµα: Για n = 2 είναι τετριµµένα αληθές. Εστω αληθές για κάθε i = 2,..., n, όπου n = k (για αυθαίρετο k 2). Για n = k + 1 έχουµε: Αν ο n = k + 1 είναι πρώτος, τετριµµένα αληθές. ιαφορετικά, n σύνθετος, άρα n = k + 1 = a b, µε 2 a b k. Από επαγ. υπόθεση, οι a, b µπορούν να γραφούν σαν γινόµενα πρώτων αριθµών, εποµένως, και ο n, µέσω αυτών. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 15 / 20
Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής «Στοιχεία της Γεωµετρίας» του Ευκλείδη (Βιβλίο 7), σε τρεις προτάσεις: λ (30) Εάν δύο ἀριθµοί πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσοι τινα, τὸν δὲ γενόµενον ἐξ αὐτῶν µετρῆ τις πρῶτος ἀριθµός, καὶ ἔνα τῶν ἐξ ἀρχῆς µετρήσει. λα (31) Απας σύνθετος ἀριθµὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθµοῦ µετρεῖται. λβ (32) Απας ἀριθµὸς ἤτοι πρῶτος ἔστιν ἤ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθµοῦ µετρεῖται. όπου µετρεῖται «=» διαιρείται. Τα «Στοιχεία» στο Internet Archive: http://archive.org/details/jl_heiberg EUCLIDS_ELEMENTS_OF_GEOMETRY Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 16 / 20
Παράδειγµα Ισχυρής Επαγωγής (1/2) Για κάθε ακέραιο n 8 υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί ρ n και λ n τέτοιοι ώστε: n = 3 ρ n + 5 λ n οκιµές: 8 = 3 +5 9 = 3 3 10 = 2 5 11 = 2 3 +5 12 = 4 3 13 = 3 +2 5 14 = 3 3 +5 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 17 / 20
Παράδειγµα Ισχυρής Επαγωγής (2/2) Για κάθε ακέραιο n 8 υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί ρ n και λ n τέτοιοι ώστε: n = 3 ρ n + 5 λ n Βάση της Επαγωγής: 8 = 3 1 + 5 1 9 = 3 3 10 = 2 5 Επαγωγική Υπόθεση: Για αυθαίρετο n = k 10 έστω ότι: για κάθε ακέραιο m µε 8 m k υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί ρ m και λ m τέτοιοι ώστε: m = 3 ρ m + 5 λ m. Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1, ϑέτουµε: ρ n = ρ k 2 + 1, λ n = λ k 2 και: 3 ρ n + 5 λ n = 3(ρ k 2 + 1) + 5 λ k 2 = 3 ρ k 2 + 5 λ k 2 + 3 = k 2 + 3 = k + 1 = n Αφού k 10, έχουµε k 2 8, εποµένως, ϐεβαιωνόµαστε ότι για τον k 2 ϑα ισχύει η επαγωγική υπόθεση. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 18 / 20
Βρείτε το Λάθος! Απίστευτο! Ολοι οι φυσικοί αριθµοί είναι άρτιοι! Επαγωγική «Απόδειξη» Βάση της Επαγωγής: Επαγωγική Υπόθεση: Ο 0 είναι άρτιος αριθµός. Εστω ότι όλοι οι αριθµοί m N µε 0 m k είναι άρτιοι, για αυθαίρετο k 0. Επαγωγικό Βήµα: Εξετάζουµε τον αριθµό k + 1: Γράφεται σαν άθροισµα οποιωνδήποτε δύο αριθµών: k i k και i + 1 k για i = 0,..., k 1 Ολα αυτά είναι Ϲευγάρια άρτιων αριθµών (!!!) από επαγωγική υπόθεση. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 19 / 20
Επιπλέον Παραδείγµατα Ν Ο για κάθε ακέραιο n 12 υπάρχουν ϕυσικοί ρ n, λ n τέτοιοι ώστε: n = 4 ρ n + 5 λ n Ενα Παιχνίδι: Υπάρχουν δύο σωροί, 1 και 2, µε ίσο πλήθος σπίρτων, n Z +. Υπάρχουν αντίστοιχα δύο παίκτες (οι 1 και 2). Τραβούν σπίρτα επαναληπτικά εναλλάξ από τον οµώνυµο σωρό έκαστος. Ξεκινά ο 1. Κερδίζει όποιος τραβήξει το τελευταίο σπίρτο. Ν Ο ο 2 µπορεί πάντα να κερδίζει (για κάθε n Z + ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 20 / 20