Funktsiooni diferentsiaal

Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral kehtib Δy Δx = f (x) + α(δx), Δy lim Δx 0 Δx lim α(δx) = 0. Δx 0 Δy = f (x)δx + α(δx)δx, β(δx) = α(δx)δx. Δy = f (x)δx +β(δx), }{{} muudu peaosa β(δx) lim = 0. Δx 0 Δx G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 1 / 13

Diferentsiaal Avaldist f (x)δx nimetatakse funktsiooni y = f (x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df, Võttes y = x, saame dx - argumendi diferentsiaal dy = df = f (x)δx. dy = dx = x Δx = Δx. dy = f (x)dx f (x) = dy dx. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 2 / 13

Diferentsiaali omadusi Diferentsiaal Lause Lause Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi Δx 0. d(f + g) = df + dg; d(f g) = df g + f dg; ( ) f df g f dg d = g g 2. f (x) = dy dx. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 3 / 13

Diferentsiaal Kõrgemat järku diferentsiaalid Funktsiooni y = f (x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni n 1-järku diferentsiaalist d n y = d(d n 1 y). Saab näidata, et d n y = f (n) (x)(dx) n. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 4 / 13

Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x 1 (x δ, x) ja x 2 (x, x + δ) korral f (x 1 ) < f (x) < f (x 2 ). Lause Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 < Δx < δ Δy Δx > 0. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 5 / 13

Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x 1 (x δ, x) ja x 2 (x, x + δ) korral f (x 1 ) > f (x) > f (x 2 ). Lause Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 < Δx < δ Δy Δx < 0. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 6 / 13

Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Lause. Tõestus. Kui f (a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a. Kui f (a) = c < 0, siis funktsioon on rangelt kahanev punktis a. Kui funktsiooni y = f (x) tuletis f (x) on positiivne punktis a, st siis leidub selline δ > 0, et f (a) = lim Δx 0 Δy Δx > 0, 0 < Δx < δ Δy Δx > 0. Seega, kui Δa ( δ, 0) (0, δ), siis suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 7 / 13

Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Kui definitsioonis Δy < 0 -range lokaalne maksimum Kui definitsioonis Δy > 0 -range lokaalne miinimum G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 8 / 13

Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f (x) on punktis x kas lokaalne miinimum või lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x range lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f (x) on punktis x kas range lokaalne miinimum või range lokaalne maksimum. Lause (Fermat teoreem) Kui funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioonf (x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null, st f (x) = 0. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 9 / 13

Keskväärtusteoreemid Keskväärtusteoreemid Lause (Rolle i teoreem) Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, kus f (c) = 0. Tõestus. Kuna lõigul pidev funkstsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a, b). G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 10 / 13

Keskväärtusteoreemid Lause (Lagrange i keskväärtusteoreem) Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub punkt c (a, b), et Tõestus. f (b) f (a) = f (c)(b a). Kasutame Rolle i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni L(x) = f (b) f (a) (x a) + f (a). b a Funktsioon g = f L rahuldab Rolle i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punkt c (a, b), kus 0 = g (c) = f (c) L (c) = f (c) f (b) f (a). b a G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 11 / 13

Keskväärtusteoreemid Lause (Cauchy teoreem) Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b), kusjuures g (x) = 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et f (b) f (a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Tõestus. Kasutame Lagrange i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni h(x) := (f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a))f (x). Lagrange i keskväärtusteoreemi põhjal leidub punkt c (a, b), kus 0 = (f (b) f (a))(g(b) g(a)) (g(b) g(a))(f (b) f (a)) = h(b) h(a) = = h (c)(b a) = [(f (b) f (a))f (x) (g(b) g(a))g (x)](b a) G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 12 / 13

Keskväärtusteoreemid L Hospitali reegel Lause (L Hospitali reegel) Kui ning lim x a+ siis eksisteerib ka kusjuures f (x) = 0, lim g(x) = 0, x a+ lim x a+ δ 1 : x (a, a + δ 1 ] g(x) = 0, lim x a+ lim x a+ f (x) g(x) = f (x) g(x), lim x a+ f (x) g (x), f (x) g (x) Analoogiline väide peab paika ka vasakpoolse piirväärtuse ja samuti (kahepoolse) piirväärtuse korral. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 13 / 13