ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ODE ΜΕ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ FORTRAN ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Επιβλέπουσα: Μαρία Γουσίδου-Κουτίτα Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος 03

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ODE ΜΕ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ FORTRAN ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Επιβλέπουσα: Μαρία Γουσίδου-Κουτίτα Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την. Μ. Γουσίδου-Κουτίτα Ν. Καραμπετάκης Γ. Ραχώνης Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Επ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος 03 3

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας.. Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyright Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας, 03. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και Α.Π.Θ. δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του 4

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται σε μεγάλο βαθμό στην μοντελοποίηση των φυσικών φαινομένων.στην εργασία αυτή, παρουσιάζονται αρκετές μέθοδοι, με τις οποίες επιτυγχάνουμε την επίλυση διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης με αρχικές και οριακές τιμές. Στο πρώτο κεφάλαιο, αναφέρεται το πρόβλημα αρχικών τιμών, σε διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και κάποιες βασικές έννοιες. Στο δεύτερο κεφάλαιο, έχουμε την επίλυση των δεύτερης τάξης, διαφορικών εξισώσεων αρχικών τιμών, και οριακών τιμών με τις μεθόδους βολής και πεπερασμένων διαφορών. Στο τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται επέκταση, των όσων είδαμε σε διαφορικές εξισώσεις τρίτης και τέταρτης τάξης αντίστοιχα. Σε κάθε τεχνική που έχει αναφερθεί, υπάρχουν και αντίστοιχα παραδείγματα, στα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί, οι μέθοδοι Runge-Kutta 4 ης τάξης, Felberg 5 ης τάξης, Butcher 6 ης τάξης και Adams-Moulton. Τα προγράμματα, στα οποία χρησιμοποιούνται οι μέθοδοι έχουν γίνει σε γλώσσα Fortran και υπάρχουν στο παράρτημα. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Διαφορική εξίσωση, Σύστημα διαφορικών εξισώσεων, Αριθμητική Λύση, Αριθμητική Μέθοδος, Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης, Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης, Μέθοδος Butcher, Μέθοδος Βολής, Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών, Μέθοδος Adams- Moulton 5

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας ABSTRACT Differential equations are used extensively in the modeling of physical phenomena. In this work, we present several methods by which we achieve the solution of differential equations of higher order with initial and boundary values. The first chapter, refers to the initial value problem in the first order differential equations and some basic concepts. In the second chapter, we solve the second order differential equations of initial and boundary values with the methods of shooting and finite difference. The third and fourth chapter is an extension of what we did, in differential equations of third and fourth grade, respectively. Each technique has been reported, there are corresponding examples in which the methods Runge-Kutta 4 th order, Felberg 5 th order, Butcher 6 th order and Adams- Moulton are used. The programs, which use the above methods, have been written in FORTRAN language, and some of them, there are in the annex KEY WORDS Differential Equation, System of Differential Equations, Numerical Solution, Numerical Method, Method Runge-Kutta 4 th order, Method Felberg 5 th order, Method Butcher, Shooting Method, Finite Difference Method, Adams-Moulton Method 6

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Θα ήθελα να ευχαριστήσω πολύ την επιβλέπουσα καθηγήτριά μου, κα. Μαρία Γουσίδου- Κουτίτα για την καθοδήγηση και την υποστήριξη που μου παρείχε για την περάτωση αυτής της διπλωματικής εργασίας. Αφιερώνεται σε όλα τα αγαπημένα μου πρόσωπα. 7

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης... 9. Βασικοί Ορισμοί Θεωρήματα για την ύπαρξη μοναδικής λύσης σε διαφορικές εξισώσεις ης τάξης... 9.3 Συμπυκνωμένοι συμβολισμοί μεθόδων... 6.4 Τύποι πολλαπλού βήματος... 0.5 Ευστάθεια....6 Παράδειγμα... 4 Κεφάλαιο ο Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης... 3. Μετατροπή μιας διαφορικής εξίσωσης m τάξης σε σύστημα m διαφορικών εξισώσεων ης τάξης... 3. Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων ης τάξης... 36.3 Προβλήματα οριακών τιμών στις κανονικές διαφορικές εξισώσεις... 4.4 Μέθοδος διαιρεμένων διαφορών για προβλήματα οριακών τιμών... 69 Κεφάλαιο 3 ο -Διαφορικές Εξισώσεις 3 ης Τάξης... 84 3. Επίλυση μιας 3 ης τάξης διαφορικής εξίσωσης με μετατροπή σε σύστημα διαφορικών εξισώσεων ης τάξης... 84 3. Μέθοδος Γραμμικής Βολής (Shooting)... 89 3.3 Η μέθοδος της βολής (Shooting) στα μη γραμμικά προβλήματα... 93 Κεφάλαιο 4 ο -Διαφορικές Εξισώσεις 4 ης Τάξης... 97 4. Επίλυση μιας 4 ης τάξης διαφορικής εξίσωσης,με μετατροπή σε σύστημα διαφορικών εξισώσεων ης τάξης... 97 4. Μέθοδος Γραμμικής Βολής (Shooting)... 0 4.3 Η μέθοδος της βολής (Shooting) στα μη γραμμικά προβλήματα... 05 Συμπεράσματα... 09 Παράρτημα... 0 Βιβλιογραφία... 6 8

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Κεφάλαιο ο Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Βασικοί Ορισμοί Θεωρήματα για την ύπαρξη μοναδικής λύσης σε διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Ορισμός. Διαφορική εξίσωση ονομάζεται μια εξίσωση, που περιέχει μία σχέση μεταξύ μιας άγνωστης συνάρτησης y και μίας ή περισσοτέρων παραγώγων της. Μία κανονική διαφορική εξίσωση τάξης n είναι της μορφής: n n d y dy d y d y f ( x, y,,,.., ) (.) n n dx dx dx dx Η λύση μίας διαφορικής εξίσωσης είναι μία συνάρτηση y(x) που ικανοποιεί την (.), δηλαδή: n n d y( x) dy( x) d y( x) d y( x) f ( x, y( x),,,.., ) n n dx dx dx dx,όπου η συνάρτηση y(x) είναι n- φορές παραγωγίσιμη. Αν μαζί με τη διαφορική εξίσωση (.), δίνονται και οι αρχικές συνθήκες, y(x 0 )=y 0, y'(x 0 )=y 0 ',y''(x 0 )=y 0 '', y (n-) ( x 0 )= y (n-) 0, τότε έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών, στο οποίο αντιστοιχεί μία μοναδική λύση. Στην περίπτωση που οι παραπάνω συνθήκες, αναφέρονται όχι μόνο στο σημείο x 0, αλλά σε περισσότερα σημεία, τότε έχουμε ένα πρόβλημα οριακών συνθηκών. Ορισμός. Μία συνάρτηση f(x,y), ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz ως προς τη μεταβλητή y, πάνω στο σύνολο D, αν υπάρχει μία σταθερά L>0,έτσι ώστε: f(x,y ) - f(x,y ) L y - y ( x,y ), ( x,y ) D Η σταθερά L ονομάζεται σταθερά Lipschitz της f. Ορισμός.3 Ένα σύνολο D, ονομάζεται κυρτό, αν ( x,y ), ( x,y ) D, το σημείο ((-λ) x +λ x, (-λ) y +λ y ) ανήκει επίσης στο D, λ, όπου 0 λ. 9

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Θεώρημα. Αν f(x,y), ορίζεται πάνω σε ένα κυρτό σύνολο D df έτσι ώστε, ( xy, ) dy, και αν υπάρχει σταθερά L>0, L, ( x, y) D, τότε λέμε ότι η f ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz ως προς τη μεταβλητή y, στο σύνολο D, με σταθερά Lipschitz L. Θεώρημα. Αν D {( x, y) / a x b, y }, και f(x,y) συνεχής στο D, και ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz στο σύνολο D ως προς τη μεταβλητή y, τότε το πρόβλημα αρχικής τιμής : έχει μοναδική λύση y(x), για a x b. y'=f(x, y), a x b, y(a)=y 0 (.) Ορισμός.4 Το πρόβλημα (.) θα είναι καλά τοποθετημένο αν: I) Υπάρχει μία μοναδική λύση y(x) του προβλήματος II) Υπάρχει ε>0 με την ιδιότητα, ότι υπάρχει μία μοναδική λύση, u(x) του προβλήματος: 0 u f ( x, y) ( x), a x b, u( a) y και ( x), x [ a, b] 0 0 III) Υπάρχει k>0 έτσι ώστε: u( x) y( x) k, x [ a, b]. Θεώρημα.3 Αν D={(x, y) / a x b, c y d}, το πρόβλημα αρχικής τιμής, y'=f(x, y), a x b, y(a)=y 0 είναι καλά τοποθετημένο, αν η f είναι συνεχής και ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz ως προς τη μεταβλητή y, στο σύνολο D. 0

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Με τη βοήθεια των υπολογιστικών μεθόδων, καταφέρνουμε να υπολογίσουμε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, y'= f(x,y), y(x 0 )=y 0 (.3),σε διαδοχικά σημεία, τα οποία ισαπέχουν μεταξύ τους, άλλα και να έχουμε την επιθυμητή ακρίβεια που θέλουμε, με τη λύση της διαφορικής εξίσωσης. Επομένως, αν έχουμε ένα διάστημα [a,b], βρίσκουμε τις τιμές της λύσης, y(x), στα ισαπέχοντα σημεία, x x0 ih, i,,..., n, οι οποίες υπολογίζονται με μία αριθμητική μέθοδο. i Το τοπικό σφάλμα αποκοπής στο διάστημα [ xi, xi ] θα δίνεται από τον τύπο, E yia yip, όπου με y ip συμβολίζουμε τις τιμές της λύσης στα σημεία xi, i 0,,,... n, που παίρνουμε με την αριθμητική μέθοδο και με y ia, τις τιμές της ακριβούς λύσης της διαφορικής εξίσωσης. Υπάρχουν δύο ειδών τύποι, αριθμητικής λύσης, της διαφορικής εξίσωσης (.3). Οι τύποι απλού βήματος όπου για τον υπολογισμό ενός y i απαιτείται μόνο η αμέσως προηγούμενη τιμή yi και οι τύποι πολλαπλού βήματος που για τον υπολογισμό ενός y χρειάζονται οι τιμές yi, yi, yi 3 και άλλες. i

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Τύποι απλού βήματος Μέθοδος Euler Έστω y(x), η ακριβής λύση της διαφορικής εξίσωσης (.3). Γνωρίζοντας ότι y( x h) y( x) ισχύει, y'( x) lim, από τον ορισμό της παραγώγου, μπορούμε να h0 h πάρουμε προσεγγιστικά y( x h) y( x) hy ( x) (.4) Για x=x 0 στην (.4), έχουμε: y y0 hy 0 (.5) Για x=x στην (.4), έχουμε: y y hy (.6) Επομένως, γενικότερα ισχύει: y n y n hyn, n 0,,,... (.7), όπου y f ( x, y ) και xn x0 nh n n n Η μέθοδος που περιγράψαμε ονομάζεται μέθοδος του Euler και δε χρησιμοποιείται συχνά λόγω του ότι είναι η λιγότερο ακριβής. Μέθοδος Taylor Η μέθοδος Taylor, βασίζεται στο ανάπτυγμα Taylor, για να εκφράσει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, y = f(x,y), y(x 0 )=y 0 σε διαδοχικά σημεία x, x,..., x n,... Επομένως, παίρνοντας το ανάπτυγμα του Taylor, γύρω από το σημείο x 0, έχουμε: ( x x0 ) y( x) y( x0 ) y( x0)( x x0) y( x0)... (.8) Τώρα για x=x, η (.8) γίνεται: h y( x ) y0 y( x0 ) h y( x0).....,όπου h x x0 (.9) Αν όμως κρατήσουμε μόνο κάποιους όρους, στην (.9) θα προκύψει, μία προσεγγιστική τιμή της λύσης στο σημείο x, η y. Για να υπολογίσουμε στη συνέχεια, την προσεγγιστική τιμή της λύσης στο σημείο x, θα πάρουμε το ανάπτυγμα του Taylor, γύρω από το σημείο x.

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Άρα τώρα θα έχουμε: ( x x ) ( ) ( ) ( )( ) ( )... y x y x y x x x y x και όπου x θέτουμε το x. (.0) Κρατώντας πάλι, ορισμένους όρους, θα έχουμε μια προσεγγιστική τιμή της λύσης, τη y. Γενικεύοντας τα προηγούμενα, καταλήγουμε στη σχέση: n h ( n) h yi yi yih yi... yi n (.) όπου, yi είναι η προσεγγιστική τιμή της λύσης στο xi και y i η προσεγγιστική τιμή στο x i. Πρέπει όμως, να γνωρίζουμε τις τιμές των παραγώγων y, y,... y ( n) i i i. Για να τις υπολογίσουμε, ξεκινάμε από τη σχέση, y( x ) f ( x, y ) (.) i i i και τις υπόλοιπες παραγώγους, τις υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας. Δηλαδή έχουμε: df f f dy y '' ( x) ( ) ( ) i dx x y dx i x x xxi (.3) Επομένως, προτιμούμε να παίρνουμε μέθοδο Taylor μικρής τάξης, λόγω της δυσκολίας που υπάρχει, στον υπολογισμό των παραγώγων. Μέθοδος Runge- Kutta Η μέθοδος Runge- Kutta χρησιμοποιείται σε μεγαλύτερο βαθμό από τη μέθοδο του Euler, εξαιτίας της μικρής ακρίβειας, που μας δίνει η μέθοδος του Euler, αλλά υπερισχύει στις εφαρμογές και της μεθόδου Taylor, λόγω του ότι, η τελευταία απαιτεί τον υπολογισμό, μεγάλης τάξης παραγώγων. Οι Runge-Kutta κατάφεραν να αποφύγουν την παραγώγιση υψηλής τάξης, που λαμβάνει χώρα στη μέθοδο του Taylor, και μας έδωσαν τύπους που χρησιμοποιούν μόνο, την πρώτη παράγωγο της λύσης, οι οποίοι μας δίνουν και αρκετά καλή ακρίβεια. 3

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Runge Kutta ης τάξης H μέθοδος Runge Kutta ης τάξης έχει επαναληπτικό τύπο της μορφής: y i y i ak bk (.4), όπου k hf ( x, y ) (.5) i i i i k hf ( x ch, y dk ) και a, b, c, d είναι σταθερές. (.6) Αναπτύσσουμε την yx ( i ) σε σειρά Taylor και παίρνουμε: 3 h h y( xi ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) y( xi )... h y( xi ) hf ( xi, yi ) ( fx f y f ) xx... i y y i (.7) Κάνοντας το ίδιο και για την συνάρτηση f ( xi ch, yi dk), μόνο που σε αυτήν την περίπτωση έχουμε συνάρτηση δύο μεταβλητών, παίρνουμε: k f f h c f f i i i i f ( x ch, y dk ) f ( x, y ) hc dk hcdk h x y x xy dk f... y (.8) Αντικαθιστώντας τις τιμές των k και k στην αρχική εξίσωση, και εξισώνοντας τους συντελεστές ομοβάθμιων όρων του h, κρατώντας όρους μέχρι τον συντελεστή,παίρνουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Πιο συγκεκριμένα παίρνουμε: Για ab bc (.9) bd. ab cd και επομένως η (.4) γίνεται: h y i y i ( k ) k k hf ( x, y ) i k hf ( x h, y k ) i i i (.0) 4

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Οι τρεις τελευταίες εξισώσεις, στις οποίες και καταλήξαμε, συνιστούν τη μέθοδο Runge Kutta ης τάξης. Η ίδια διαδικασία ακολουθείται και για τις ανώτερες τάξεις Runge Kutta μεθόδους, όμως λόγω της δυσκολίας που υπάρχει, στον προσδιορισμό των σταθερών των μεθόδων, στο εξής θα παίρνουμε τους τύπους, όπως προκύπτουν, μέσω των συμπυκνωμένων συμβολισμών. 5

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας.3 Συμπυκνωμένοι συμβολισμοί μεθόδων Η συμπυκνωμένη παράσταση των Runge-Kutta μεθόδων οφείλεται στον Butcher. Γενικά, ισχύουν οι τύποι: v n n i i i y y w k (.) i K hf ( x c h, y a k ), c 0, i,... v i n i n ij j j,όπου ν είναι ο αριθμός των σταδίων, αριθμός των αντικαταστάσεων ή αλλιώς αριθμός των υπολογισμών των παραγώγων. Επίσης, έχουμε ότι: v wi, i i ci aij, i, i,... v (.) j Τα c i χρησιμοποιούνται ως ελεύθεροι παράμετροι και στη συνέχεια υπολογίζουμε τα w i. Επομένως, υπολογίζουμε πρώτα τις τιμές των c, w και στη συνέχεια τις τοποθετούμε σε ένα πίνακα της μορφής: i i c A L T w, όπου ο πίνακας AL είναι ένας κάτω τριγωνικός πίνακας που περιέχει τους πολλαπλασιαστές aij των k j,c ένα διάνυσμα που περιέχει τα στοιχεία ci και T w, ένα ανάστροφο διάνυσμα που περιέχει τα ν σε πλήθος στοιχεία w i. Εδώ, πρέπει να τονίσουμε ότι, υπάρχει περίπτωση να συναντήσουμε το συμβολισμό (p,ν) δίπλα από κάποια μέθοδο, όπου τα στοιχεία p, ν είναι αριθμοί, και παραπέμπουν στην τάξη και στον αριθμό των σταδίων της μεθόδου, αντίστοιχα. 6

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Στην συνέχεια, αναφέρουμε ορισμένες μεθόδους, οι οποίες έχουν χρησιμοποιηθεί στα προγράμματα, για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που θα μας δίνονται, μέσω των παραδειγμάτων. Μέθοδος Runge-Kutta 4ης τάξης Κλασικός τύπος 0 ½ ½ ½ 0 ½ 0 0 /6 /3 /3 /6 c = c =/ Σύμφωνα με όσα προαναφέρθηκαν έχουμε ότι: y n y n [ k 3 4 ] 6 k k k k hf ( x, y ) n h k hf ( xn, yn k) h k3 hf ( xn, yn k) k hf ( x h, y k ) 4 n n 3 n (.3) 7

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης 0 /6 /6 4/5 4/75 6/75 /3 5/6-8/3 5/ 4/5-8/5 44/5-4 6/5 36/30-8/5 407/8 -/80 55/8 3/84 0 5/86 9/3 5/768 5/66 Άρα έχουμε ότι: 3 5 9 5 5 y y k 384 k 86 k 3 k k 768 66 k hf ( x, y ) n n 3 4 5 6 n n k hf ( xn h, yn k) 6 6 4 4 6 k3 hf ( xn h, yn k k) 5 75 75 5 8 5 k4 hf ( xn h, yn k k k3) 3 6 3 4 8 44 6 k5 hf ( xn h, yn k k 4 k3 k4) 5 5 5 5 36 k6 hf ( xn h, yn k 8 k 407 k 55 3 k4 k5) 30 5 8 80 8 (.4) 8

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Μέθοδος Butcher(6,7) 0 /3 /3 /3 0 /3 /3 / /3 -/ ½ -/6 9/8-3/6-3/8 ½ 0 9/8-3/8-3/4 ½ 9/44-9/ 63/44 8/ 0-6/ /0 0 7/40 7/40-4/5-4/5 /0 7 7 4 4 y y k 0 k 40 k 40 k k k 5 5 0 k hf ( x, y ) n n 3 4 5 6 7 n n k hf ( xn h, yn k) 3 3 k3 hf ( xn h, yn k) 3 3 k4 hf ( xn h, yn k k k3) 3 3 9 3 3 k5 hf ( xn h, yn k k k3 k4) 6 8 6 8 9 3 3 k6 hf ( xn h, yn k k3 k4 k5) 8 8 4 9 9 63 8 6 k7 hf ( xn h, yn k k k3 k4 k6) 44 44 (.5) 9

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας.4 Τύποι πολλαπλού βήματος Μέθοδοι πρόβλεψης διόρθωσης Για να εφαρμόσουμε κάποια από αυτές τις μεθόδους, χρειαζόμαστε αρχικά μερικές τιμές της προσεγγιστικής λύσης, δηλαδή κάποιες από τις τιμές y 0, y, y,..., για τον υπολογισμό της τιμής της λύσης. Αυτές τις τιμές, τις παίρνουμε από μια μέθοδο απλού βήματος, η οποία θα είναι της ίδιας τάξης με τη μέθοδο που χρησιμοποιούμε. της τιμής yi. Στις μεθόδους πρόβλεψης διόρθωσης έχουμε δύο τύπους, για τον υπολογισμό Ο πρώτος τύπος αποτελεί μία πρόβλεψη της τιμής yi, ενώ ο δεύτερος, μας δίνει την διορθωμένη τιμή του yi, πετυχαίνοντας με αυτό τον τρόπο, μια καλύτερη προσέγγιση της τιμής της λύσης. Μέθοδος πρόβλεψης διόρθωσης ης τάξης Πρόβλεψη : y y hy (.6) i i i h Διόρθωση : yi yi ( yi yi Μέθοδος Hamming 4 ης τάξης 4 h Πρόβλεψη : yi yi3 ( yi yi yi ) (.7) 3 3h Διόρθωση : yi (9 yi yi) ( yi yi yi ) 8 8 Μέθοδος Adams Moulton h Πρόβλεψη : yi yi [55yi 59yi 37yi yi3 (.8) 4 h Διόρθωση : yi yi [9yi yi 5 yi yi ] 4 y f ( x, y ) σε κάθε περίπτωση υπολογίζεται για yi, που δίνεται από τον Το i i i τύπο της πρόβλεψης. 0

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran.5 Ευστάθεια Ορισμός.5 Μία μέθοδος εξίσωσης διαφορών με τοπικό σφάλμα αποκοπής i, στο i-βήμα της μεθόδου, λέγεται ότι είναι συνεπής με τη διαφορική εξίσωση που προσεγγίζει, αν lim max 0, i n h0 i Ορισμός.6 Μία μέθοδος εξίσωσης διαφορών ονομάζεται συγκλίνουσα ως προς τη διαφορική εξίσωση που προσεγγίζει, αν lim max y( x ) y 0, i n,όπου yx ( ) είναι η h0 ακριβής τιμή της λύσης και με y i συμβολίζουμε την προσεγγιστική λύση, που προκύπτει από τη μέθοδο των διαφορών στο i-βήμα. i i i Ορισμός.7 Μία μέθοδος εξίσωσης διαφορών, η οποία προσεγγίζει μία διαφορική εξίσωση, θα ονομάζεται ευσταθής, όταν μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες, προκαλούν μικρές αλλαγές στην ακολουθία των προσεγγίσεων. Θεώρημα.4 Αν το πρόβλημα αρχικής τιμής (.), προσεγγίζεται από μία μέθοδο εξίσωσης διαφορών απλού βήματος, της μορφής: y0 a y i y i h ( xi, yi, h) και η συνάρτηση ( x, y, h) ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz ως προς τη μεταβλητή y στο σύνολο D {( x, w, h) / a x b, y,0 h h0}, τότε η μέθοδος είναι ευσταθής. Ας δούμε τώρα, τι συμβαίνει με την σύγκλιση και την ευστάθεια στις μεθόδους πολλαπλού βήματος. Στις μεθόδους αυτές, συναντάμε κάποια δυσκολία, καθώς η τιμή μίας προσέγγισης, προκειμένου να βρεθεί, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε δύο ή και περισσότερες προηγούμενες προσεγγίσεις.

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Ορισμός.8 Η γενική μέθοδος πολλαπλού βήματος, προκειμένου να προσεγγίσει, τη λύση του προβλήματος (.), μπορεί να γραφεί στη μορφή: y a, y a,..., ym am 0 0 y a y a y... a y hf( x, h, y,..., y ) (.9) i m i m i 0 i m i i i m i m, m,.., N, όπου a0, a,..., am είναι σταθερές, b a h και xi a ih. N Η έννοια της σύγκλισης, στις μεθόδους πολλαπλού βήματος, είναι όμοια με αυτή που έχουμε για τις μεθόδους απλού βήματος. Ορισμός.9 Μία μέθοδος πολλαπλού βήματος, είναι συγκλίνουσα αν: limmax y y( x ). h0 0 i N i i Στην περίπτωση τώρα της συνέπειας, για μία μέθοδο πολλαπλού βήματος, χρειαζόμαστε δύο συνθήκες, εξαιτίας του αριθμού των αρχικών τιμών που μας είναι απαραίτητες για την λειτουργία των μεθόδων. Ορισμός.0 Μία μέθοδος πολλαπλού βήματος ονομάζεται συνεπής αν: lim 0, i m, m,... N h0 i και lim a y( x ) 0, i 0,,... m, h0 i i καθώς, θέλουμε και τα σφάλματα που έχουμε για τις αρχικές τιμές, να προσεγγίζουν το μηδέν, όσο το βήμα h προσεγγίζει το μηδέν. Ορισμός. Έστω,,.., m,οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: που σχετίζεται με τη μορφή (.9) m p( ) a... a a 0 m m 0

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Αν i, i,,.. mκαι όλες οι ρίζες με τιμή, είναι απλές ρίζες, τότε η μέθοδος διαφορών ικανοποιεί τη συνθήκη της ρίζας. Θεώρημα.5 Μία μέθοδος πολλαπλού βήματος της μορφής (.9) είναι ευσταθής, αν και μόνο αν, ικανοποιεί τη συνθήκη της ρίζας. Ας δούμε τώρα, πως συνδέονται μεταξύ τους, οι έννοιες της σύγκλισης, της συνέπειας και της ευστάθειας. Θεώρημα.6 Αν η μέθοδος των διαφορών είναι συνεπής στη διαφορική εξίσωση, τότε είναι ευσταθής αν και μόνο αν είναι συγκλίνουσα. Παράδειγμα. Να εξεταστεί, αν η μέθοδος Adams-Moulton, που δίνεται από τον τύπο: h yi yi [55yi 59yi 37yi yi3 4 είναι ευσταθής. Λύση Συγκρίνοντας τον τύπο που έχουμε, με τη μορφή (.9) έχουμε: F( xi, h, yi, yi,.., yi3) [55 f ( xi, yi ) 59 f ( xi, yi ) 37 f ( xi, yi) 9 f ( xi3, yi3)]. 4 Άρα, m=4, a0 0, a 0, a 0, a3. Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο που παίρνουμε είναι το: p 4 3 3 ( ) ( ) με ρίζες 0(πολλαπλότητας 3) και (πολλαπλότητας ). Παρατηρώντας τις ρίζες, βλέπουμε ότι, ικανοποιούνται οι υποθέσεις του ορισμού (.) και καταλήγουμε στο ότι, η μέθοδος ικανοποιεί τη συνθήκη ρίζας. Επομένως με βάση το θεώρημα (.5) έχουμε ότι η μέθοδος είναι ευσταθής. 3

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας.6 Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y x y με αρχική συνθήκη y(0), από το x 0 μέχρι το x με βήμα h=0.5, με τη χρήση των μεθόδων Euler, Taylor με τρεις όρους, Runge-Kutta ης και 4 ης τάξης και Adams-Moulton. Λύση Η ακριβής λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η: x y( x) 3e x Με βάση, όσα αναφέρθηκαν προηγουμένως, για την κάθε μέθοδο, παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Για βήμα h=0.5: Μέθοδος Euler: Μέθοδος Taylor: 4

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Μέθοδος Runge Kutta ης τάξης: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: Μέθοδος Butcher (6, 7): 5

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Adams-Moulton: Στη μέθοδο αυτή, οι τρεις πρώτες τιμές της συνάρτησης καθώς και των τριών πρώτων παραγώγων προέρχονται από τη μέθοδο Taylor με τρεις όρους. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα, και ειδικότερα με βάση τα ποσοτικά σφάλματα επί τοις εκατό που έχουμε για την κάθε μέθοδο, παρατηρούμε ότι, οι μέθοδοι Runge Kutta 4 ης τάξης και Butcher (6, 7) μας δίνουν αποτελέσματα υψηλής ακρίβειας στον προσδιορισμό της ακριβούς λύσης της διαφορικής εξίσωσης, καθώς τα ποσοτικά σφάλματα και των δύο μεθόδων σε κάθε σημείο αντίστοιχα τείνουν να μηδενιστούν. Λιγότερο ακριβή αποτελέσματα μας δίνει η μέθοδος του Euler, πράγμα που το περιμέναμε καθώς όπως αναφέραμε, η μέθοδος αυτή, δε χρησιμοποιείται συχνά λόγω της χαμηλής τάξης ακρίβεια που μας προσφέρει. Όλα τα παραπάνω επιβεβαιώνονται και από το διάγραμμα που ακολουθεί, στο οποίο έχουμε τις γραφικές παραστάσεις όλων των μεθόδων που χρησιμοποιήσαμε για την εύρεση, της λύσης της διαφορικής εξίσωσης, και απεικονίζεται η κάθε μία με διαφορετικό χρώμα. 6

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran 7

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας σε h=0.. Ας δούμε τώρα, τι θα συμβεί σε περίπτωση που μειώσουμε το βήμα από h=0.5 Για βήμα h=0.: Μέθοδος Euler: Μέθοδος Taylor: 8

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Μέθοδος Runge Kutta ης τάξης: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: 9

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Butcher (6, 7): Μέθοδος Adams-Moulton: Μειώνοντας το βήμα σε h=0. από h=0.5,σύμφωνα με τα αποτελέσματα που πήραμε, παρατηρούμε ότι, έχουμε και αντίστοιχη μείωση στα ποσοτικά σφάλματα της κάθε μεθόδου. Επομένως, παίρνουμε μεγαλύτερης ακριβείας αποτελέσματα, όσον αφορά, τις προσεγγίσεις των τιμών, της ακριβούς λύσης. 30

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran 3

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Κεφάλαιο ο Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. Μετατροπή μιας διαφορικής εξίσωσης m τάξης σε σύστημα m διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Ορισμός. Ένα m- τάξης σύστημα που αποτελείται από m- διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με αρχικές συνθήκες, εκφράζεται με τον παρακάτω τρόπο: du f( t, u, u, u3,.. um) dt du f( t, u, u, u3,.. um) dt...... du dt m f ( t, u, u, u,.. u ) m 3 m (.) για a t b, με αρχικές συνθήκες: u ( a) a u ( a) a...... u ( a) a m m (.) Σκοπός μας είναι, να βρούμε τις m σε πλήθος συναρτήσεις, που ικανοποιούν το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων, μαζί με τις αρχικές συνθήκες που έχουμε. Ορισμός. Μία συνάρτηση f ( t, y, y,..., ym) που ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής D {( t, u, u,.., u ) / a t b, u i,... m}, λέμε ότι ικανοποιεί μία m i συνθήκη Lipschitz στο D ως προς τις μεταβλητές u, u, u3,..., u m, αν υπάρχει σταθερά L 0, που να ικανοποιεί τη σχέση: 3

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran m m m j j j f ( t, u, u,.., u ) f ( t, z, z,.., z ) L u z ( t, u, u,.., u m ) και ( t, z, z,.., z m), που ανήκουν στο σύνολο D. Θεώρημα. Αν η συνάρτηση f ( t, y, y,..., y m) είναι συνεχής, καθώς και οι μερικές της παραγωγοί, df ( t, u, u,.., um) στο σύνολο D, και αν L i,,... m, για όλα τα σημεία du i ( t, u, u,.., u ), τότε λέμε ότι η διαφορική εξικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz στο D με m σταθερά Lipschitz L. Θεώρημα. Αν D {( t, u, u,.., um) / a t b, ui i,... m} και fi( t, y, y,..., ym) i,,... m είναι συνεχείς στο σύνολο D, και ικανοποιούν μία συνθήκη Lipschitz, τότε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης (.) με αρχικές συνθήκες (.) έχει μια μοναδική λύση, u, u,.., u m για a t b. Για να μετατρέψουμε μία m τάξης διαφορική εξίσωση της μορφής: ( m) m y ( t) f ( x, y, y..., y ), a t b και με αρχικές συνθήκες: ( m) y( a) a, y ( a) a,... y ( a) a m, σε ένα σύστημα εξισώσεων του τύπου (.), θέτουμε: Επομένως, καταλήγουμε στο σύστημα ης τάξης: u t y t u t y t u t y t. ( m) ( ) ( ), ( ) ( ),.., m( ) ( ) du dy u dt dt du dy u3 dt dt...... du dt m ( m) dy ( m) ( m) y f ( t, y, y,..., y ) dt 33

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας με αρχικές συνθήκες: u ( a) y( a) a u ( a) y ( a) a...... u a y a a ( ) ( ) m m ( ) m Παράδειγμα. Να δειχθεί ότι η ης τάξης διαφορική εξίσωση y y y e t t t sin,0 με αρχικές συνθήκες, y(0) 0.4, y (0) 0.6 έχει μοναδική λύση. Λύση Θέτοντας: u ( t) y( t) u ( t) y ( t) η διαφορική εξίσωση που έχουμε, μετασχηματίζεται στο σύστημα: με αρχικές συνθήκες: u ( t) u ( t) u ( t) e sint u ( t) u ( t) t u (0) 0.4 u (0) 0.6 (.3) Η συνάρτηση f( t, u, u) u ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz στο σύνολο D {( t, u, u ) / 0 t, u, u }, καθώς είναι συνεχής και οι μερικές της παράγωγοι ης τάξης: df du df du ( t, u, u ) 0 ( t, u, u ) είναι και αυτές συνεχείς, και επιπλέον, όπως φαίνεται: 34

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran df ( t, u, u,.., u ) για i,. du m Επομένως, καταλήγουμε στο ότι, η συνάρτηση f( t, u, u) u ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz με σταθερά L=. Τώρα, όσον αφορά τη συνάρτηση, i f ( t, u, u ) e sin t u u, προκειμένου t να δούμε, αν ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz στο σύνολο D, κάνοντας χρήση του ορισμού παίρνουμε: f ( t, u, u ) f ( t, z, z ) e sint u u e sint z z t t u z u z Άρα, συμπεραίνουμε ότι, και η συνάρτηση f ( t, u, u ) e sin t u u ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz στο σύνολο D, αλλά t με σταθερά L=. Επομένως, εφόσον οι συναρτήσεις, f( t, u, u) u και f ( t, u, u ) e sin t u u t είναι συνεχείς, και ικανοποιούν μία συνθήκη Lipschitz στο σύνολο D {( t, u, u ) / 0 t, u, u }, σύμφωνα με το θεώρημα., το σύστημα (.3) έχει μοναδική λύση. 35

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων ης τάξης Οι μέθοδοι επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων ης τάξης, αποτελούν γενικεύσεις των μεθόδων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων ης τάξης. Θεωρούμε ένα θετικό ακέραιο αριθμό N, και παίρνουμε τον αριθμό, b a h να N αποτελεί το βήμα της μεθόδου, που θα χρησιμοποιήσουμε. Διαμερίζουμε στην συνέχεια το διάστημα [ ab, ], σε N υποδιαστήματα,με τα κομβικά σημεία t j να δίνονται από τον τύπο: t j a jh για j 0,,... N. Χρησιμοποιώντας τώρα το συμβολισμό w ij, δηλώνουμε μία προσέγγιση της i-οστής λύσης ui () t του συστήματος (.) στο j-οστό κομβικό σημείο t j. Επομένως, έχουμε τις αρχικές συνθήκες: w w,0,0... w m,0 a a a m Αρχικά, υπολογίζουμε τις τιμές των w, j, w, j,..., w m, j έχοντας στη συνέχεια ως σκοπό, να βρούμε τις τιμές των w, j, w, j,..., wm, j αφού πρώτα, υπολογίσουμε τις τιμές των k, k, k, k,... i,,.. m, i, i 3, i 4, i Ας υποθέσουμε τώρα, ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Runge-Kutta 4 ης τάξης. Επομένως, θα είχαμε να βρούμε τις τιμές των k, i, k, i, k3, i, k 4, i i,,.. m και αυτό θα γινόταν μέσω των τύπων: k hf ( t, w, w,..., w ), i i j, j, j m, j h k, i hfi ( t j, w, j k,, w, j k,,..., wm, j k, m) h k3, i hfi ( t j, w, j k,, w, j k,,..., wm, j k, m) i,,.. m k hf ( t h, w k, w k,..., w k ) 4, i i j, j 3,, j 3, m, j 3, m w [ ] 6 i, j wi, j k, i k, i k3, i k4, i 36

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Θα πρέπει εδώ, να τονίσουμε ότι, οι τιμές των kl,, kl,,..., k l, m πρέπει να υπολογιστούν, προτού προχωρήσουμε στην εύρεση των τιμών k,, k,,..., k, l l l m. Παράδειγμα. Να λυθεί η ης τάξης διαφορική εξίσωση y y y e t t t sin,0 με αρχικές συνθήκες y(0) 0.4, y (0) 0.6 Λύση Στο παράδειγμα., δείξαμε ότι, η παραπάνω διαφορική εξίσωση έχει μοναδική λύση. Η ακριβής λύση της, είναι η συνάρτηση: y t e t t t ( ) 0. [sin( ) cos( )] Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους Runge Kutta 4 ης τάξης, Felberg 5 ης τάξης και Butcher(6,7) παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: 37

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης: Μέθοδος Butcher(6,7): 38

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Μέθοδος Adams-Moulton: Με βάση τα αποτελέσματα, παρατηρούμε ότι, για βήμα h=0. και οι τρεις μέθοδοι μας δίνουν υψηλής τάξης ακρίβεια, και ειδικότερα οι μέθοδοι Felberg 5 ης τάξης και Butcher(6,7). Αξιοσημείωτο είναι ότι, σε ορισμένα σημεία τα ποσοτικά σφάλματα που παίρνουμε είναι μηδέν, δηλαδή σε αυτά τα σημεία έχουμε ταύτιση ακριβούς και προσεγγιστικής λύσης. Το διάγραμμα που ακολουθεί μας δίνει μια πιο σαφή εικόνα. 39

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Οι γραφικές παραστάσεις συμπίπτουν αρκετά μεταξύ τους, σε τέτοιο βαθμό μάλιστα, που να μη μπορούμε να ξεχωρίσουμε τη μία με την άλλη. Επομένως έχουμε πετύχει μεγάλη ακρίβεια με τη χρήση των παραπάνω μεθόδων. 40

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran.3 Προβλήματα οριακών τιμών στις κανονικές διαφορικές εξισώσεις Τα προβλήματα οριακών τιμών, τα συναντάμε σε μεγάλο βαθμό στα φυσικά προβλήματα, τα οποία είναι εξαρτώμενα από τη θέση. Αυτού του είδους τα προβλήματα, περιγράφονται με τη βοήθεια διαφορικών εξισώσεων των οποίων οι συνθήκες αναφέρονται σε περισσότερα από ένα σημεία. Η γενική μορφή ενός προβλήματος, με δύο οριακές τιμές, που θα δούμε σ αυτό το κεφάλαιο, περιλαμβάνει μία διαφορική εξίσωση ης τάξης της μορφής: y f ( x, y, y ), a x b μαζί με τις οριακές τιμές, ya ( ) και yb ()..3. Μέθοδος Γραμμικής Βολής (Shooting) Στο παρακάτω θεώρημα, διατυπώνονται οι συνθήκες, που επιβεβαιώνουν ότι, η λύση ενός προβλήματος ης τάξης οριακών τιμών, υπάρχει και είναι μοναδική. Θεώρημα.3 y Έστω ότι η συνάρτηση f του προβλήματος οριακών τιμών, ya ( ) ' f ( x, y, y ) a x b, yb () είναι συνεχής στο σύνολο D {( x, y, y), a x b, y, y } και ότι οι παράγωγοι df dy και df dy ' είναι συνεχείς στο D. df Αν I) ( x, y, y ) 0 ( x, y, y ) D και dy df ΙΙ) υπάρχει σταθερά M τέτοια ώστε ( x, y, y ) M ( x, y, y ) D dy τότε το πρόβλημα οριακών τιμών έχει μοναδική λύση. Παράδειγμα.3 xy Να δειχθεί ότι το πρόβλημα οριακών τιμών y e sin y 0 με x και y() y() 0 έχει μοναδική λύση. 4

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Λύση xy xy Έχουμε ότι y e sin y 0 y e sin y xy f ( x, y, y ) e sin y Παρατηρούμε ότι, η συνάρτηση f ( x, y, y ) είναι συνεχής στο σύνολο D {( x, y, y), x, y, y }.Οι παράγωγοί της, df cos y, είναι και αυτές συνεχείς στο D, και μάλιστα, έχουμε ότι: dy df dy xe xy και df dy xe xy 0 df και cos y. dy Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.3 και το πρόβλημα μας, έχει μοναδική λύση. Ορισμός.3 Αν μία συνάρτηση f ( x, y, y ) μπορεί να εκφραστεί στη μορφή f ( x, y, y ) p( x) y q( x) y r( x) με a x b, ya ( ) διαφορική εξίσωση, y f ( x, y, y ) καλείται γραμμική. και yb () τότε η Πόρισμα. Αν το γραμμικό πρόβλημα οριακών τιμών: y p( x) y q( x) y r( x) με a x b, ya ( ) και yb () ικανοποιεί τις συνθήκες: Ι) p( x), q( x), r( x ) είναι συνεχείς στο [ abκαι, ] ΙΙ) qx ( ) 0 στο [ ab, ] τότε το πρόβλημα έχει μοναδική λύση. 4

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Τώρα για να προσεγγίσουμε την μοναδική λύση, την οποία μας την εγγυάται, η ικανοποίηση των συνθηκών του πορίσματος, αρχικά θεωρούμε τα προβλήματα αρχικών τιμών. y p( x) y q( x) y r( x), a x b, ya ( ), y ( a) 0 (.4) y p( x) y q( x) y, a x b, ya ( ) 0, y ( a) (.5) Σύμφωνα με το θεώρημα ύπαρξης μοναδικής λύσης, στα συστήματα διαφορικών εξισώσεων ης τάξης, κάτω από τις συνθήκες του πορίσματος και τα δύο προβλήματα έχουν μοναδική λύση. Αν με y (x) συμβολίσουμε την λύση του προβλήματος (.4) και με y (x) την λύση του προβλήματος (.5), τότε η μοναδική λύση του προβλήματος οριακών τιμών είναι η: y () b y( x) y ( x) y ( x),όπου y ( b) 0. (.7) y() b Η μέθοδος της βολής (Shooting) για τις γραμμικές εξισώσεις, βασίζεται στην αντικατάσταση του προβλήματος οριακών τιμών, από τα δύο προβλήματα αρχικών τιμών, (.4) και (.5). Εφόσον μπορούμε να προσεγγίσουμε τις λύσεις y (x) και y (x), μέσω των αριθμητικών μεθόδων, τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε και την λύση του προβλήματος οριακών τιμών, μέσω της εξίσωσης (.7) 43

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Αλγόριθμος Γραμμικής βολής (Shooting) Σκοπός : η προσέγγιση της λύσης του προβλήματος οριακών τιμών : y p( x) y q( x) y r( x) 0 με a x b και ya ( ), yb () Δεδομένα : I) Τελικά σημεία: a,b II) Οριακές συνθήκες: α, β III) Αριθμός των υποδιαστημάτων: N Αποτελέσματα: οι προσεγγίσεις w,i των yx ( i ) και w,i των y ( x i ), i 0,,,.. N Βήμα ο Θέτουμε : Βήμα ο b a h N u Για i0,,... Nεκτέλεσε τα βήματα 3, 4: Βήμα 3 ο Θέσε: x a ih Βήμα 4 ο Θέσε: u v v,0,0,0,0 0 0 44

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran k hu,, i k h[ p( x) u q( x) u r( x)],, i, i k, h[ u, i k, ] h h h k, h[ p( x )( u, i k, ) q( x )( u, i k, ) r( x )] k3, h[ u, i k,] h h h k3, h[ p( x )( u, i k,) q( x )( u, i k,) r( x )] k4, h[ u, i k3,] k4, h[ p( x h)( u, i k3,) q( x h)( u, i k3,) r( x h)] u, i u, i [ k, k, k3, k4, ] 6 u, i u, i [ k, k, k3, k4, ] 6 k hv,, i k h[ p( x) v q( x) v ],, i, i k, h[ v, i k, ] h h k, h[ p( x )( v, i k, ) q( x )( v, i k, )] k3, h[ v, i k,] h h k3, h[ p( x )( v, i k,) q( x )( v, i k,)] k4, h[ v, i k3,] k4, h[ p( x h)( v, i k3,) q( x h)( v, i k3,)] v, i, [,, v i k k k 3, k 4,] 6 v, i v, i [ k, k, k3, k4, ] 6 45

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Βήμα 5 ο Θέσε : w w,0,0 u v, N, N Αποτελέσματα: ( a, w,0, w,0) Βήμα 6 ο Για i,.. N Θέσε : W u w v, i,0, i W u w v, i,0, i x a ih Αποτελέσματα: ( x, W, W ) Βήμα 7 ο Σταμάτα. (η διαδικασία ολοκληρώθηκε) Παρατηρήσεις : I) Ο παραπάνω αλγόριθμος χρησιμοποιεί τη μέθοδο Runge- Kutta 4 ης τάξης για τον υπολογισμό των προσεγγίσεων των λύσεων, y ( x ) και y ( ) x. Αντί αυτής, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε άλλη μέθοδο, κάνοντας τις κατάλληλες αλλαγές, στο 4 ο βήμα του αλγορίθμου. II) Ο αλγόριθμος αυτός μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε και τις προσεγγίσεις της παραγώγου της λύσης, του προβλήματος οριακών τιμών. III) Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης, που δεν ικανοποιούν τις συνθήκες του πορίσματος. και μας δίνει και σ αυτές τις περιπτώσεις εξίσου ικανοποιητικά αποτελέσματα. 46

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Παράδειγμα.4 Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: sin(ln x) y ( ) y ( ) y, x, y(), y() x x x εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο γραμμικής βολής (Shooting). Λύση Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, η διαφορική εξίσωση: sin(ln x) y ( ) y ( ) y, x, y(), y() x x x είναι της μορφής, y p( x) y q( x) y r( x) Επομένως, έχουμε μία ης τάξης γραμμική διαφορική εξίσωση, όπου sin(ln x) px ( ) ( ), qx ( ) ( ) και rx ( ) x x x είναι συνεχείς στο [,] και qx ( ) ( ) 0. x Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα (.), έχουμε μοναδική λύση. Η ακριβής λύση είναι η: 0.03907030 3 y( x).390703 x sin(ln x) cos(ln x). x 0 0 47

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Ακολουθούν τώρα, τα αποτελέσματα που πήραμε, έχοντας εφαρμόσει τον αλγόριθμο γραμμικής βολής (Shooting): Για βήμα h=0.5 έχουμε: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης: 48

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Μέθοδος Butcher(6,7): Για βήμα h=0. έχουμε: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: 49

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης: Μέθοδος Butcher(6,7): Μέθοδος Adams-Moulton: 50

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Για βήμα h=0.05 έχουμε: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης: 5

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Butcher(6,7) Μέθοδος Adams-Moulton: Σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα, παρατηρούμε ότι για βήμα h=0.5 και οι τρεις μέθοδοι, μας δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα στην προσέγγιση της ακριβούς λύσης. Στη συνέχεια, επειδή θέλουμε να δούμε τι συμβαίνει για περισσότερες επαναλήψεις, μειώνουμε το βήμα από h=0.5 σε h=0. και σε h=0.05. Μειώνοντας το βήμα σε h=0., βλέπουμε ότι οι μέθοδοι Runge-Kutta 4 ης τάξης, Adams-Moulton και Butcher(6,7) μας δίνουν, μεγαλύτερης ακρίβειας αποτελέσματα στην προσέγγιση της ακριβούς λύσης σε κάθε σημείο, σε σχέση με τη μέθοδο Felberg 5

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran 5 ης τάξης. Ειδικότερα, η εφαρμογή της μεθόδου Butcher (6,7) σε αρκετά σημεία, μας δίνει, ποσοτικά σφάλματα μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι, έχουμε ταύτιση ακριβούς και προσεγγιστικής λύσης. Τέλος, για βήμα h=0.05, οι μέθοδοι Felberg 5 ης τάξης και Adams-Moulton δίνουν μεγαλύτερης ακρίβειας αποτελέσματα σε σχέση με αυτά που πήραμε, έχοντας βήμα h=0.. Παρακάτω, έχουμε τις γραφικές παραστάσεις των τιμών της συνάρτησης, που παίρνουμε από κάθε μέθοδο σε κάθε σημείο, καθώς και τις πραγματικές τιμές. 53

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Για βήμα h=0.5: 54

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Για βήμα h=0.: 55

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Για βήμα h=0.05: 56

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran.3. Η μέθοδος της βολής(shooting) στα μη γραμμικά προβλήματα Η μέθοδος της βολής, για το μη γραμμικό πρόβλημα, ης τάξης οριακών τιμών: y f ( x, y, y ), a x b, y( a), y( b) (.8) είναι παρόμοια με αυτή που είχαμε στην γραμμική περίπτωση. Όμως η λύση, που αντιστοιχεί στο μη γραμμικό πρόβλημα, δε μπορεί να εκφραστεί σα γραμμικός συνδυασμός των λύσεων δύο προβλημάτων αρχικών τιμών, όπως έγινε στη γραμμική περίπτωση. Αντί αυτού, θα χρησιμοποιούνται οι λύσεις, σε μια ακολουθία προβλημάτων αρχικών τιμών, της μορφής: y f ( x, y, y ), a x b, y( a), y ( a) tk (.9),όπου η παράμετρος t k προσεγγίζει τη λύση του προβλήματος οριακών τιμών. Η παράμετρος t k επιλέγεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να ισχύει η σχέση : lim y( b, t ) y( b) k k, όπου η συνάρτηση y( x, t k ) δηλώνει τη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (.9) και η συνάρτηση yx ( ) δηλώνει τη λύση του προβλήματος οριακών τιμών (.8) Στην πράξη, δε μπορούμε να βασιστούμε, στην επίλυση της ακολουθίας των προβλημάτων αρχικών τιμών. Άρα η προσέγγισή μας στο πρόβλημα οριακών τιμών από μόνη της, θα βασίζεται σε προσεγγίσεις. Προκειμένου όμως, να είμαστε σίγουροι ότι, θα πάρουμε ικανοποιητικά αποτελέσματα, έχουμε ανάγκη από συνθήκες, που θα μας εγγυώνται ότι, τα προβλήματα αρχικών τιμών που προσεγγίζουμε, καθώς και το πρόβλημα οριακών τιμών, θα έχουν μοναδικές λύσεις στο διάστημα [ ab., ] Θεώρημα.4 Το πρόβλημα οριακών τιμών: και το πρόβλημα αρχικών τιμών: y f x y y a x b y a y b ' (,, ),, ( ), ( ) (.0) y f ( x, y, y ), a x b, y( a), y ( a) t (.) όπου t είναι μία αυθαίρετη παράμετρος, θα έχουν μοναδικές λύσεις στο [ ab,, ] αρκεί στο σύνολο D {( x, y, y), a x b, y, y } 57

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας df df I) οι f,, να είναι συνεχείς dy dy df ΙΙ) να υπάρχει σταθερά M τέτοια ώστε: M και dy df III) να υπάρχει σταθερά Lτέτοια ώστε: 0 L dy Προκειμένου να προσδιορίσουμε τον τρόπο επιλογής των παραμέτρων υποθέτουμε ότι, έχουμε ένα πρόβλημα οριακών τιμών της μορφής (.0) που ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος (.4), όπου με y( x, t) συμβολίζουμε τη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (.) Επομένως πρέπει να επιλέξουμε την παράμετρο t,έτσι ώστε: y( b, t) 0. Ένας τρόπος για να το επιτύχουμε, είναι να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του Newton, καθώς χρειαζόμαστε μόνο την αρχική τιμή t 0, προκειμένου να γενικεύσουμε την ακολουθία των { t k }. Ο τύπος, που χρησιμοποιείται, για τον υπολογισμό των υπόλοιπων όρων της ακολουθίας είναι ο ακόλουθος: t ( y( b, t ) ) dy ( )( bt, k ) dt t k, k k tk (.) dy και απαιτεί την γνώση της παραγώγου, ( )( btk, ), πράγμα που είναι λίγο δύσκολο, dt καθώς δεν έχουμε κάποια ρητή αναπαράσταση για τα σημεία y( b, t) γνωστά μόνο τα σημεία y( b, t0), y( b, t),... y( b, tk ). και μας είναι Θα μπορούσαμε, αν θέλαμε, να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της τέμνουσας(secant), αντί της μεθόδου Newton. Ο τύπος υπολογισμού σε αυτή την περίπτωση είναι: ( y( b, tk ) )( tk tk),,3,... tk tk k y( b, t ) y( b, t ) k k Όμως, για να υπολογίσουμε τους υπόλοιπους όρους της ακολουθίας, τώρα χρειαζόμαστε δύο αρχικές προσεγγίσεις, τις t 0, t. 58

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Άρα, μεταξύ των δύο αυτών μεθόδων, προτιμότερο θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Newton. Προκειμένου να αντιμετωπίσουμε τη δυσκολία που προέκυψε, ξαναγράφουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (.), δίνοντας έμφαση στο ότι η λύση, εξαρτάται και από τη μεταβλητή x αλλά και από τη μεταβλητή t. Επομένως έχουμε : y ( x, t) f ( x, y( x, t), y ( x, t)), a x b, y( a, t), y ( a, t) t (.3) Για να προσδιορίσουμε τη παράγωγο, ( dy / dt)( b, t) όταν t tk, παραγωγίζουμε ως προς τη μεταβλητή t την εξίσωση (.3) και έχουμε: dy dt d ( x, t) f ( x, y( x, t), y ( x, t)) dt df dx df dy df dy ( x, y( x, t), y ( x, t)) ( x, y( x, t), y ( x, t)) ( x, t) ( x, y( x, t), y ( x, t)) ( x, t) dx dt dy dt dy dt df dy df dy ( x, y( x, t), y ( x, t)) ( x, t) ( x, y( x, t), y ( x, t)) ( x, t) dy dt dy dt για a x b, και για τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει : dy dy ( at, ) 0 και ( at, ). dt dt Θέτοντας τώρα, z( x, t) ( dy / dt)( x, t) και υποθέτοντας ότι, η σειρά της διαφοροποίησης των μεταβλητών x και t μπορεί να αντιστραφεί, παίρνουμε το παρακάτω πρόβλημα αρχικών τιμών: df df z ( x, y, y ) z ( x, y, y ) z, a x b, z( a) 0, z ( a). (.4) dy dy Σύμφωνα με όσα προαναφέρθηκαν, ο τύπος (.) που χρησιμοποιείται στη μέθοδο Newton γίνεται: t y( b, t ) k k tk. (.5) z( b, tk ) 59

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Αλγόριθμος μη γραμμικής βολής (Shooting) Σκοπός: Προσέγγιση της λύσης του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών: y f x y y a x b y a y b ' (,, ),, ( ), ( ) Δεδομένα: I) Τελικά σημεία: a, b II) Οριακές συνθήκες: α, β III) Αριθμός των υποδιαστημάτων: N IV) Ακρίβεια: TOL V) Μέγιστος αριθμός των επαναλήψεων: M Αποτελέσματα: Προσεγγίσεις w,i των τιμών της λύσης, yx ( ) και w,i των τιμών των i παραγώγων της λύσης, y ( x i ), i 0,,... N ή ένα μήνυμα που να αναφέρει ότι, έχουμε υπερβεί τον μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων. Βήμα ο Θέτουμε: Βήμα ο Ενώ ( k M ) εκτέλεσε τα βήματα 3-0 Βήμα 3 ο Θέσε: Βήμα 4 ο : b a h N k ( ) TK ( b a) w w,0,0 u 0 u TK 60

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran k hw Για i,..., N εκτέλεσε τα βήματα 5 και 6:,, i Βήμα 5 ο : Θέσε : x a ( i ) h Βήμα 6 ο : k hf ( x, w, w ),, i, i k, h( w, i k, ) h k, hf ( x, w, i k,, w, i k, ) k3, h( w, i k,) h k3, hf ( x, w, i k,, w, i k,) k4, h( w, i k3,) k4, hf ( x h, w, i k 3,, w, i k 3, ) w, i w, i ( k, k, k3, k4, ) 6 w, i w, i ( k, k, k3, k4, ) 6 k hu, k h[ f ( x, w, w ) u f ( x, w, w ) u ], y, i, i y, i, i k, h( u k, ) h h k, h[ f y ( x, w, i, w, i)( u k, ) f y( x, w, i, w, i)( u k, )] k3, h( u k,) h h k3, h[ f y ( x, w, i, w, i)( u k,) f y( x, w, i, w, i)( u k,)] k h( u k ) 4, 3, h h k4, h[ f y ( x, w, i, w, i)( u k 3, ) f y( x, w, i, w, i )( u k 3, )] (,, u u k k k3, k4, ) 6 u u ( k, k, k3, k4, ) 6 6

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Bήμα7ο: Αν w, N Βήμα 0 ο : TOL τότε, εκτέλεσε τα βήματα 8 και 9: Βήμα 8 ο : Για i 0,,..., N Βήμα 9 ο : θέσε: x a ih Αποτελέσματα: ( x, w, i, w, i) Η διαδικασία ολοκληρώθηκε. Σταμάτα. TK TK k k Βήμα ο : w, N ( ) u, N Πήγαινε στο βήμα Αποτελέσματα: Υπέρβαση του μέγιστου αριθμού επαναλήψεων. Σταμάτα Παρατηρήσεις: I) Ο παραπάνω αλγόριθμος, χρησιμοποιεί τη μέθοδο Runge-Kutta 4 ης τάξης για τον υπολογισμό των προσεγγίσεων και των δύο προβλημάτων, όμως αν θέλουμε, να εφαρμόσουμε οποιαδήποτε άλλη μέθοδο, το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να αλλάξουμε, το βήμα 6 ο του αλγορίθμου, ενσωματώνοντας τη μέθοδο που θέλουμε. II) Ο αλγόριθμος αυτός, μας δίνει εξίσου ικανοποιητικά αποτελέσματα, ακόμα και αν δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος.4 III) Ο αλγόριθμος της βολής (Shooting), για μη γραμμικές εξισώσεις, επηρεάζεται από τα σφάλματα στρογγυλοποίησης. Γι αυτό το λόγο, μπορεί καμιά φορά να μη μας δίνει, τόσο μεγάλη ακρίβεια στις προσεγγίσεις. 6

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Παράδειγμα.5 Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: 3 43 y (3 x yy ), x 3, y() 7, y(3) 8 3 κάνοντας χρήση του παραπάνω αλγορίθμου. Λύση 3 Όπως βλέπουμε η διαφορική εξίσωση, (3 y x yy ) δεν είναι της μορφής, 8 y p( x) y q( x) y r( x). Επομένως, έχουμε μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση ης τάξης. 3 Άρα, f ( x, y, y ) (3 x yy ) και οι μερικές της παράγωγοι είναι οι εξής: 8 f y' και y 8 Η ακριβής λύση είναι η: 6 y( x) x ( ) x. df y. dy 8 Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Για βήμα h=0.5 έχουμε: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: 63

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης: Μέθοδος Butcher(6,7): 64

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Για βήμα h=0. έχουμε τώρα: Μέθοδος Runge Kutta 4 ης τάξης: Μέθοδος Felberg 5 ης τάξης: 65

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Μέθοδος Butcher(6,7): Με βάση τα αποτελέσματα που πήραμε, παρατηρούμε ότι για βήμα h=0.5, και οι τρεις μέθοδοι, μας δίνουν καλές προσεγγίσεις της ακριβούς λύσης, σε κάθε σημείο και ειδικότερα η μέθοδος Butcher(6,7). Ανάλογα, μειώνοντας το βήμα από h=0.5 σε h=0., βλέπουμε ότι πετυχαίνουμε μεγαλύτερης τάξης ακρίβεια, όσον αφορά την προσέγγιση της ακριβούς λύσης, σε σχέση με τα αποτελέσματα που πήραμε όσο το βήμα ήταν h=0.5, με τις μεθόδους Felberg 5 ης τάξης και Butcher(6,7) να μας δίνουν εξαιρετικά αποτελέσματα. Τα διαγράμματα που ακολουθούν, μας δίνουν μία πιο ολοκληρωμένη εικόνα. 66

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Για βήμα h=0.5 έχουμε: 67

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Για βήμα h=0. έχουμε: 68

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran.4 Μέθοδος διαιρεμένων διαφορών για προβλήματα οριακών τιμών Οι μέθοδοι βολής (Shooting), αν και εφαρμόζονται σε γραμμικά και μη γραμμικά προβλήματα οριακών τιμών, πολλές φορές παρουσιάζουν αστάθεια. Εξαιτίας αυτού του γεγονότος, καταφεύγουμε στις μεθόδους διαιρεμένων διαφορών. Η επίλυση, προβλημάτων οριακών τιμών, με τις μεθόδους διαιρεμένων διαφορών, βασίζεται στην αντικατάσταση, κάθε μιας παραγώγου στη διαφορική εξίσωση, από μία κατάλληλη προσέγγιση της διαφοράς πηλίκο, η οποία επιλέγεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε, να έχουμε τη διατήρηση κάποιας τάξης του σφάλματος αποκοπής..4. Μέθοδος διαιρεμένων διαφορών για γραμμικά προβλήματα Έστω ότι έχουμε το γραμμικό πρόβλημα ης τάξης οριακών τιμών: y p( x) y q( x) y r( x), a x b, y( a), y( b). (.6) Για να προσεγγίσουμε τις παραγώγους, y, y, χρειαζόμαστε τις προσεγγίσεις των διαφορών πηλίκο. Γι αυτό το λόγο επιλέγουμε ένα θετικό ακέραιο N>0,και χωρίζουμε το διάστημα [ ab,σε, ] (N+)-υποδιαστήματα, των οποίων τα τελικά σημεία είναι τα κομβικά: όπου, b a h N xi a ih για i0,,... N,, είναι το βήμα της μεθόδου. Για την προσέγγιση τώρα, της διαφορικής εξίσωσης (.6) αντικαθιστούμε την τιμή του x με τις τιμές των x, i,,... N, εσωτερικών σημείων. Επομένως έχουμε ότι: παίρνουμε: i y ( x ) p( x ) y ( x ) q( x ) y( x ) r( x ). (.7) i i i i i i Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor 3 ης τάξης γύρω από το σημείο x i 3 4 h h h (4) y( xi ) y( xi h) y( xi ) hy ( xi ) y ( xi ) y ( xi ) y ( i )! 3! 4! 69

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας και x 3 4 h h h ( 4 ) y( xi ) y( ix h) y( i x) hy i( x) iy( x) iy( x) όπου, iy( )! 3! 4! i i xi, xi i xi,υποθέτοντας ότι 4 y C [ xi, xi ]. Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις έχουμε: h (4) (4) y ( xi ) [ y( x i ) y( xi ) y( xi )] [ y ( i ) y ( i )]. h 4 Με τη βοήθεια όμως, του θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών παίρνουμε ότι: όπου, xi i xi. h (4) y ( xi ) [ y( x i) y( xi ) y( xi )] y ( i) (.8) h Η τελευταία εξίσωση ονομάζεται μέθοδος κεντρικών διαφορών για την y ( x i ). Εκτελώντας την ίδια διαδικασία αλλά παίρνοντας το ανάπτυγμα Taylor μέχρι δεύτερης τάξης γύρω από το σημείο x i,καταλήγουμε στο ότι: όπου, xi i xi. h (3) y ( xi ) [ y( xi ) y( xi )] y ( i) (.9) h 6 Αντικαθιστούμε τώρα τις σχέσεις (.8), (.9) στην (.7) και παίρνουμε: y( x ) y( x ) y( x ) y( x ) y( x ) h h h με w0 i i i i i (3) (4) p( x )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] i q xi y xi r xi p xi y i y i Εκτελώντας πράξεις, και αντικαθιστώντας, w y( x ) έχουμε: wi wi wi wi wi p( x )[ ] ( ) ( ) i q xi wi r xi, i,,..., N h h i i (.0) και w N. (.) Συνεχίζοντας τις πράξεις παίρνουμε: h h ( p( xi )) wi ( h q( xi )) wi ( p( xi )) wi h r( xi ) (.) και καταλήγουμε στην εξής μορφή: 70

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran h h q( x) p( x) w 0 h h w p( x) p( xn ) x... h... 0 p ( x N) h q ( x N) w = h h r( x)...... h h r( x ) ( p( x )) w0 h r( xn ) ( p( xn )) wn N = (.3) Θεώρημα.5 Αν p(x),q(x),r(x) είναι συνεχείς στο [ abκαι, ] qx ( ) 0στο [ ab,τότε, ] το 3-διαγώνιο γραμμικό σύστημα (.3), έχει μοναδική λύση, με h και L max axb p( x). L Παρατήρηση: Το παραπάνω θεώρημα, παρόλο που μας εγγυάται την ύπαρξη μοναδικής λύσης, εφόσον ικανοποιούνται οι υποθέσεις του, ωστόσο δεν μας εγγυάται ότι, y C 4 [ a, b], προκειμένου να είμαστε σίγουροι ότι το σφάλμα αποκοπής είναι της τάξης Oh ( ). 7

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Αλγόριθμος διαιρεμένων διαφορών (γραμμικών διαφορικών εξισώσεων) Σκοπός: Προσέγγιση της λύσης του προβλήματος οριακών τιμών: y p( x) y q( x) y r( x), a x b, y( a), y( b) Δεδομένα: Ι) Τελικά σημεία:a,b II) Οριακές συνθήκες: α, β III) Ακέραιος: N Αποτελέσματα: προσεγγίσεις yx ( i ), i 0,,.., N w i, κάθε μιας πραγματικής τιμής της συνάρτησης, Βήμα ο Θέσε: Βήμα ο Για i,... N ( b a) h N a x a h h q( x) h b ( ) p( x) h d h r( x) ( ( ) p( x)) Θέσε: x a ih Βήμα 3 ο ai h q( x) h bi ( ) p( x) h ci ( ) p( x) di h r( x) Θέσε: x b h 7

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran an h q( x) c N h ( ) p( x) h d N h r( x) ( ( ) p( x)) Βήμα 4 ο Θέσε: l a Βήμα 5 ο Για i,..., N b u a Θέσε: li ai ciui Βήμα 6 ο bi ui l Θέσε: ln an cnun Βήμα 7 ο d Θέσε: z l Βήμα 8 ο Για i,... N ( di ci zi ) Θέσε: zi l Βήμα 9 ο Θέσε: w0 i i wn Βήμα 0 ο Για in,..., w N z N Θέσε: wi zi uiwi Βήμα ο Για i0,.., N 73

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Θέσε: x a ih Αποτελέσματα: Τα ζεύγη ( xw, i ) Βήμα ο Σταμάτα. ( Η διαδικασία ολοκληρώθηκε) Στα βήματα 4- έχουμε την επίλυση ενός 3-διαγώνιου γραμμικού συστήματος. Παράδειγμα.6 Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: sin(ln x) y ( ) y ( ) y, x, y(), y() x x x με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Λύση Η ακριβής λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι, όπως έχουμε ξαναδεί, η: 0.03907030 3 y( x).390703 x sin(ln x) cos(ln x) x 0 0 Εφαρμόζοντας, τον παραπάνω αλγόριθμο παίρνουμε τα εξής αποτελέσματα: Για βήμα h=0.: Τα αποτελέσματα που μας δίνονται, μέσω του αλγορίθμου, είναι ικανοποιητικά όσον αφορά, την προσέγγιση της ακριβούς λύσης σε κάθε σημείο. Όμως συγκρίνοντας τα αποτελέσματα αυτά, με τα αντίστοιχα των μεθόδων Runge-Kutta 4 ης τάξης και Butcher (6,7), παρατηρούμε ότι, η μέθοδος διαιρεμένων διαφορών, μας δίνει μικρότερης τάξης ακρίβεια στις προσεγγίσεις από τις άλλες δύο. 74

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Μια περαιτέρω αύξηση της ακρίβειας, στις προσεγγίσεις που παίρνουμε μέσω της μεθόδου των διαιρεμένων διαφορών, θα μπορούσε να επιτευχθεί, αν χρησιμοποιούσαμε το ανάπτυγμα Taylor 5 ης τάξης, για να προσεγγίσουμε στη συνέχεια τις παραγώγους y, y της διαφορικής μας εξίσωσης, καθώς ο αλγόριθμος που εφαρμόσαμε χρησιμοποιεί το ανάπτυγμα Taylor 3 ης τάξης. Όσα αναφέρθηκαν επιβεβαιώνονται και από την εικόνα που ακολουθεί. 75

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας.4. Μέθοδος διαιρεμένων διαφορών για μη γραμμικά προβλήματα Έστω το μη γραμμικό ης τάξης, πρόβλημα οριακών τιμών: y f ( x, y, y ), a x b, y( a), y( b). (.4) Η μέθοδος των διαιρεμένων διαφορών, σ αυτή τη περίπτωση, είναι παρόμοια μ αυτή που είδαμε για τα γραμμικά προβλήματα μόνο που εδώ θα χρειαστούμε μια επαναληπτική διαδικασία. Υποθέτουμε ότι: f I) Η συνάρτηση f και οι μερικές παράγωγοι της, f y και f y στο σύνολο D {( x, y, y ) / a x b, y, y } ΙΙ) f ( x, y, y ) 0 στο σύνολο D για κάποιο δ>0 y III) Υπάρχουν παράμετροι k, L τέτοιες ώστε: k max f ( x, y, y ) ( x, y, y ) D y y ' f y ' είναι συνεχείς και L max f ( x, y, y ) ( x, y, y ) D y Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις, το θεώρημα (.3) μας εγγυάται ότι, το πρόβλημα (.4), έχει μοναδική λύση. Αρχικά, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, όπως στην περίπτωση των γραμμικών προβλημάτων και με κατάλληλες αντικαταστάσεις έχουμε ότι: y ( x ) y ( x ) y ( x ) ( ) ( ) (4) (, ( ), y x y x h i i i i i ( )) h f x ( ) i y xi y i y i (.5) h h 6 για κάποια i, i που ανήκουν στο διάστημα ( xi, xi ). Κάνοντας ότι και στην παραπάνω περίπτωση, παίρνουμε τώρα: w0, wn wi wi wi wi wi f ( x,, ) 0 i wi, i,,... N. (.6) h h 76

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Αντίστοιχα καταλήγουμε στο παρακάτω μη γραμμικό σύστημα: w w w h f ( x, w, ) 0 h w3 w w w w3 h f ( x, w, ) 0 h... wn wn wn wn wn h f ( xn, wn, ) 0 h wn wn wn h f ( xn, wn, ) 0 h (.7) για το οποίο θα έχουμε μοναδική λύση, αν h. L Για να προσεγγίσουμε την λύση, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο Newton για μη γραμμικά συστήματα, και θέλουμε ο Ιακωβιανός πίνακας του συστήματος να είναι ομαλός, ο οποίος και είναι, σύμφωνα με τις υποθέσεις που κάναμε στην αρχή, για τη συνάρτηση f και τις παραγώγους της. Ο Ιακωβιανός πίνακας είναι ο εξής: w h w h f y ( x, w, ) f ( x, w, ) y 0 h h h w3 w J ( w, w,.., wn ) f ( x, w, ) 0 y h h w w 0 f x w h f x w h h N N (,, ) (,, N N y N N ) y και παρατηρούμε ότι είναι 3- διαγώνιος. 77

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Η μέθοδος Newton που χρησιμοποιείται στα μη γραμμικά συστήματα, απαιτεί σε κάθε επανάληψη το γραμμικό σύστημα: w J ( w, w,.., wn)(,,.., N) ( w w h f ( x, w, ), h w3 w w w w3 h f ( x, w, ),..., h wn wn wn wn wn h f ( xn, wn, ), h wn wn wn h f ( xn, wn, ) ) h να είναι επιλύσιμο ως προς,,.., N καθώς έχουμε: w w, i,,... N. ( k) ( k) i i i Αυτό πραγματοποιείται, μίας και που ο Ιακωβιανός πίνακας είναι 3- διαγώνιος. 78

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Αλγόριθμος διαιρεμένων διαφορών ( μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων) Σκοπός: Προσέγγιση της λύσης, του μη γραμμικού, προβλήματος οριακών τιμών: y p( x) y q( x) y r( x), a x b, y( a), y( b) Δεδομένα: Ι) Τελικά σημεία:a,b II) Οριακές συνθήκες: α, β III) Ακέραιος: N IV) Ακρίβεια: TOL V) Μέγιστος αριθμός των επαναλήψεων: M Αποτελέσματα: Προσεγγίσεις w i, κάθε μιας πραγματικής τιμής της συνάρτησης, yx ( i ), i 0,,.., N, ή ένα μήνυμα που να αναφέρει ότι, έχουμε υπερβεί τον μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων. Βήμα ο Θέσε: Βήμα ο Για i,,.. N ( b a) h N w w 0 N Θέσε: wi i( ) h b a Βήμα 3 ο Θέσε: k= Βήμα 4 ο Ενώ ( k M ) εκτέλεσε τα βήματα 5-8 79

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Βήμα 5 ο Θέσε: x a h ( w ) t h a h f y ( x, w, t) h b f ( x, w, t) y d ( w w h f ( x, w, t)) Βήμα 6 ο Για i,.., N Θέσε: x a ih Βήμα 7 ο Θέσε: Βήμα 8 ο Θέσε: ( wi wi ) t h a h f x w t i y (, i, ) h bi f ( x, wi, t) y h ci f ( x, wi, t) y d w w w h f x w t i ( i i i (, i, )) x b h ( wn ) t h a h f x w t N y (, N, ) h cn f ( x, wn, t) y d w w h f x w t N ( N N (,, )) l a 80

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran b u a Βήμα 9 ο Για i,..., N Θέσε: Βήμα 0 ο Θέσε: Βήμα ο Θέσε: Βήμα ο Για i,... N Θέσε: Βήμα 3 ο Θέσε: Βήμα 4 ο l a c u i i i i bi ui l i l a c u N N N N d z l ( di ci zi ) zi l v N z N w w v N N N Για in,.., Θέσε: v z u v wi wi vi Βήμα 5 ο i i i i Αν v TOL, τότε εκτέλεσε τα βήματα 6,7 i 8

Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας Βήμα 8 ο Θέσε: Βήμα 6 ο Για i0,..., N Βήμα 7 ο Θέσε: x a ih Αποτελέσματα: ( xw, i ) Σταμάτα ( η διαδικασία ολοκληρώθηκε) k=k+ Πήγαινε στο βήμα 4 Βήμα 9 ο Αποτελέσματα: Υπέρβαση του μέγιστου αριθμού επαναλήψεων. Σταμάτα Παράδειγμα.7 Να λυθεί, με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, η διαφορική εξίσωση: 3 43 y (3 x yy ), x 3, y() 7, y(3) 8 3 Λύση Η ακριβής λύση, όπως είδαμε και παραπάνω, είναι η: 6 y( x) x ( ) x Εφαρμόζοντας, τον αλγόριθμο των διαιρεμένων διαφορών, για την επίλυση μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: 8

Αριθμητικές Μέθοδοι επίλυσης υψηλής τάξης ODE με υψηλής τάξης μεθόδους-εφαρμογές σε Fortran Με βήμα h=0.: Η μέθοδος των διαιρεμένων διαφορών, παρατηρούμε ότι, μας δίνει καλά αποτελέσματα, όσον αφορά, τις προσεγγίσεις των ακριβών τιμών της λύσης στα διάφορα σημεία, μέσω του αλγορίθμου. Συγκρίνοντας όμως, τα αποτελέσματα αυτά, με εκείνα που πήραμε, μέσω των μεθόδων Runge-Kutta 4 ης τάξης, Felberg 5 ης τάξης και Butcher (6,7), βλέπουμε ότι, η μέθοδος των διαιρεμένων διαφορών, μας δίνει χαμηλότερης τάξης ακρίβεια στις προσεγγίσεις της ακριβούς λύσης. 83