19/11/9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθσµία παράδοσης /1/9 Άσκηση 1 Η γνική µορφή νός ΗΜ κύµατος δίνται από E E sin k r ωt (1) ( ) Α) Το µέτρο του πλάτους πλάτος του ηλκτρικού πδίου δίνται από 4 V 4 V 4 V ( ˆ ˆ E 4x+ y) 1 4 + 1 6 1 m m m Β) Η διύθυνση διάδοσης ίναι αυτή του κυµατανύσµατος το οποίο δίνται σύµφωνα µ την (1) από π 7 1 k ( 5xˆ + yˆ ) 1 m Γ) Έχουµ π π 7 λ m 1 m.µm k π 7 1 5+ 15 ω 9.4 1 1 15 1 f s 1.5 1 s π π ) Από τις ξισώσις του Maxwell B E t 1 4 xˆ yˆ zˆ B x y z t π ( ) ( ) π x+ y t x+ y t 7 15 7 15 4 sin 5 1 9.4 1 sin 5 1 9.4 1 1
B 11 π π 7 15 1 ( 1+ 8) zˆ cos ( 5x+ y) 1 9.4 1 t t 11 π 7 15 B 6πzˆ 1 dt cos ( 5x+ y) 1 9.4 1 t + f ( x, y, z) 11 6π 1 π 7 15 B zˆ sin 15 ( 5x+ y) 1 9.4 1 t + f ( x, y, z) 9.4 1-4 π 7 15 B. 1 zˆ sin ( 5x+ y) 1 9.4 1 t + f ( x, y, z) Καθώς όµως δίνται ότι πρόκιται για ηλκτροµαγνητικό κύµα και άρα συνάρτηση k r ωt, η αυθαίρτη συνάρτηση f ( x, y, z) δν µπορί παρά να ίναι µια του ( ) σταθρά η οποία αντιστοιχί σ στατικό πδίο και µπορούµ να την πιλέξουµ ίση µ µηδέν. Εποµένως το µαγνητικό πδίο δίνται από -4 7 15 B. 1 T zˆ sin π ( 5x+ y) 1 9.4 1 t E) 1 6 S E B 1.59 1 W µ m xˆ yˆ zˆ π ( ) ( ) π 7 15 7 15 4sin 5x+ y 1 9.4 1 t sin 5x+ y 1 9.4 1 t π 7 15 sin ( 5x+ y) 1 9.4 1 t W π ( ˆ ˆ) ( ).18 1 6 5 sin 5 1 7 9.4 1 15 x+ y x y t m + Άσκηση (Α) Αντικαθιστούµ τις δοθίσς κφράσις στις ξισώσις του Maxwell στο κνό. Παρατηρούµ ότι οι ξισώσις E B ικανοποιούνται αυτόµατα. Για τις άλλς δύο ξισώσις έχουµ xˆ yˆ zˆ Ey Ex E xˆ + yˆ x y z z z E E x y π Ek ˆ cos kz ωt x+ { Ecos ( kz ωt) Ek sin ( kz ωt) } yˆ E Ek sin(kz ωt) xˆ + Ek cos(kz ωt) yˆ (1)
B Eω π Eω π cos kz ωt+ xˆ + sin kz ωt+ yˆ t c c B Eω Eω sin(kz ωt) xˆ + cos(kz ωt) yˆ () t c c B Από τη δδοµένη σχέση ω ck και τις (1), () βρίσκουµ E. Επίσης, t xˆ yˆ zˆ By Bx B xˆ + yˆ x y z z z B B x y Ek π Ek π sin kz ωt+ xˆ + cos kz ωt+ yˆ c c Ek Ek B cos(kz ωt) xˆ sin(kz ωt) yˆ () c c E 1 E 1 E x y 1 Ez µ xˆ + yˆ + zˆ t c t c t c t E E π { ω cos ( kz ωt) + ω sin ( kz ωt) } xˆ ω cos kz t yˆ ω c c E E E ˆ ˆ µ ω cos(kz ωt) x ω sin(kz ωt) y (4) t c c E Από τη δδοµένη σχέση ω ck και τις (), (4) βρίσκουµ B µ. t (Β) Απλοποιώντας τις σχέσις έχουµ E Esin( kz ωt) xˆ Ecos( kz ωt) yˆ E E (5) B cos( kz ωt) xˆ + sin( kz ωt) yˆ c c ω ω π π από τις οποίς προκύπτι f και λ. π π k k (Γ) Από την σχέση (5) µπορούµ ύκολα να βρούµ (σχδιάζοντας τα διανύσµατα Ε, Β στη θέση z για χρόνους t, π / 4 ω, π / ω, π / ω ) ότι πρόκιται για δξιόστροφο κυκλικά πολωµένο Η/Μ κύµα. Άσκηση (Α) Από την ξίσωση 19.9 των A-F έχουµ την κπµπόµνη ένταση σαν συνάρτηση της γωνίας θ, που ορίζται από την ταχύτητα και την διύθυνση διάδοσης της ακτινοβολίας q a I ( θ ) sin ( θ ). 16π c r Από την γωµτρία που φαίνται στο σχήµα έχουµ: sin ( ) R θ R + h και r R + h
Επίσης η µέση ένταση προκύπτι από την µέση τιµή της πιτάχυνσης κατά την διάρκια της ταλάντωσης που ίναι 1 4 a ω d Επίσης ζητάµ την ισχύ της ακτινοβολίας ανά µονάδα πιφάνιας του δαπέδου, οπότ πρέπι να πολλαπλασιάσουµ µ τον παράγοντα h cos( θ ) R + h Αντικαθιστώντας έχουµ 1 4 q ω d R h I ( θ ) 16 π c ( R + h ) R + h R + h 4 q ω d h R I ( θ ) π c R h ( + ) Μέγιστο έχουµ κί που η παράγωγος του I( θ ) µηδνίζται το οποίο συµβαίνι στο σηµίο R h. (Β) Ολοκληρώνουµ σ όλο το πίπδο και έχουµ de I( θ ) da π I( θ ) RdR dt ( x + 1) 5/ 4 de q ω d h R π RdR 5/ π ( + ) dt c R h 4 4 q ω d x q ω d dx 16πc 4πc 5/ Η ολική µέση ακτινοβολούµνη νέργια προκύπτι από την σχέση 19.41 του A-F και ίναι: de q a dt 6πc 4 de q ω d dt average 1πc Παρατηρούµ ότι η προσπίπτουσα ισχύ πάνω στην πιφάνια του πατώµατος ίναι το µισό της ολικής ακτινοβολούµνης ισχύς. Έτσι και πρέπι να ίναι φόσον το πίπδο καλύπτι το µισό της συνολικής στράς γωνίας γύρω από το φορτίο. Γ)Η νέργια που ίναι αποθηκυµένη ανά πάσα χρονική στιγµή στο ταλαντούµνο φορτίο ίναι 1 E kd de dd kd dt dt Αντικαθιστούµ την συνολική αντινοβολούµνη νέργια και έχουµ 4
4 q ω d dd kd 1 c dt π 4 dd q ω d dt 1πc k Η διαφορική ξίσωση έχι λύση 4 q ω d d exp t 1πc k Άσκηση 4 A) Η κπµπόµνη ισχύς δίνται από τη σχέση (19.4) του βιβλίου των Alonso και Finn 4 Πω I() θ sin θ πcr Η κπµπόµνη ισχύς στον ζητούµνο κώνο θα δίνται από το ολοκλήρωµα + x/ π/ + x/ 4 + x/ π/ + x/ Πω () sin sin sin π x/ / x/ c κωνος π x/ π/ x/ P dsiθ dϕ dθr θ dϕ dθ θ θ κ 4 + x/ π/ + x/ 4 θ π/ + x/ ω Πω cos θ d dcos ( 1 cos ) xcos c ϕ θ θ θ π x/ / x/ c π θ π/ x/ Π π 4 Πω x π 1 x π x π 1 x π x cos + cos cos cos + + πc 4 4 Πω x 1 x x 1 Πω x 1 x x sin sin sin sin x xsin sin + + πc 16πc Όπου στην ολοκλήρωση χρησιµοποιήσαµ στο στοιχιώδς µβαδό σ σφαίρα ακτίνας r που δίνται από ds r sinθdϕdθ. B) Χρησιµοποιώντας την έκφραση για την ολική ισχύ 4 Πω Pολ 1πc βρίσκουµ P 1 1 sin x sin x sin x 1 sin x κ x x Pολ 4π 4π Επιλύοντας γραφικά Pκ % Pολ (βλ Σχήµα) βρίσκουµ x x 1.96 11.5.5 P κ êp ολ.4...1.5 1. 1.5..5. 5
Άσκηση 5 Από την ξίσωση 18.59 του βιβλίου Alonso-Finn έχουµ για την ταχύτητα οµάδας: dυ υ υ+ k (1) dk g Από την ξίσωση 19.56 του βιβλίου Αlonso-Finn έχουµ για την ταχύτητα φάσης: c c c υ () n A+ B / λ A+ Bk / 4π ( ) π Όπου αντικαταστήσαµ k. Από τις (1) και () βρίσκουµ λ dυ c Bk c cbλ υg υ+ k υ k dk 4 / A+ Bk / 4π π A+ B λ A+ B / λ ( A B / λ ) ( A B / λ ) λ λ c + + ( ) ( ) ( A B) c ( Aλ B) Άσκηση 6 Αν n( y ) ο δίκτης διαθλάσως, τότ κατά τον νόµο του Snell (βλ. ΑΦ-.1), n( y) sinθ( y) n1sinθ1 C (1) όπου, για την δέσµη στην θέση του µατιού του παρατηρητή, x1 m sinθ1 n1 1.96, tanθ1 sinθ 1.99995, y m 1 sin θ 1 1 C 1.4 Τοπικά, για λπτό στρώµα αέρος κοντά στο έδαφος, στο οποίον η δέσµη ισέρχται υπό γωνίαν θ, 1 dy d ax + b ax 1 sin θ( y) tanθ dx dx y sinθ( y) Αντικαθιστώντας το x από την δδοµένη ξίσωση της υπρβολής και το sinθ ( y) από την (1), έχουµ b n( y) C 1+ a 1 y Από την ξίσωση της υπρβολής για τα δδοµένα σηµία από όπου πρνάι ab, ), έχουµ (γραµµικό σύστηµα ως προς ( ) y1 y a ax + b y x1 x ax1 + b y 1 yx1 y1x b x1 x x, y.m δίνι b y που για ( ) 4 Αντικαθιστώντας τα δδοµένα, ( a.99 1, b.m) Άρα, για να ακολουθί η ακτίνα την ως άνω υπρβολική τροχιά, ο δίκτης διαθλάσως πρέπι να µταβάλλται ως 6
.m.96 1 4 n( y) 1.4 1+.99 1 1 1.4 1 y y m 6. Η υπρβολή, ως τροχιά, δν ίναι ραλιστική διότι οδηγί σ n< 1 αν η n( y ) πκταθί αρκτά κάτω του λαχίστου της τροχιάς ( y<.8cm ). Άσκηση 7 (Α) Αφού η ένταση της διαθλώµνης I δέσµης ίναι ίση µ της προσπίπτουσας, οι συντλστές ανάκλασης στις δύο φ διαχωριστικές πιφάνις ίναι ΑΕΡΑΣ, n 1 R1 R. Αυτό σηµαίνι ότι το ΓΥΑΛΙ, n πίπδο πόλωσης της αρχικής δέσµης ίναι θ παράλληλο στο πίπδο πρόσπτωσης, θ όπως φαίνται στο σχήµα. ιαφορτικά, αν υπήρχ κάθτη συνιστώσα στην αρχική ΑΕΡΑΣ, n δέσµη, θα έπρπ να υπήρχ και φ ανακλώµνη δέσµη καθώς ο συντλστής ανάκλασης της κάθτης συνιστώσας πόλωσης δν µηδνίζται ποτέ. (Β) Εφόσον δν υπάρχι ανακλώµνη δέσµη, η γωνία ϕ 55 ίναι η γωνία ολικής πόλωσης (Brewster), οπότ έχουµ tan ϕ n / n1 n tanϕ 1.4 (Γ) Για τις γωνίς φ και θ έχουµ ϕ 55, θ 9 ϕ 5, νώ από τον νόµο του Snell υπολογίζουµ τη γωνία ξ, n n sinθ n sinξ sinξ sinθ, οπότ n ξ 19.816. Η ένταση νός Η/Μ κύµατος δίνται από τη σχέση 19.16 I υe, όπου υ η ταχύτητα διάδοσης στο υλικό µ διηλκτρική σταθρά και E το πλάτος του ηλκτρικού πδίου. Η σχέση αυτή µπορί να κφραστί ως I υ E υr E υn E ( υnn ) E cn E I n ce όπου κάναµ χρήση της σχέσης 19.57 n rµ r r (θωρώντας ότι η σχτική µαγνητική διαπρατότητα του µέσου ίναι µ r 1) και της γνωστής σχέσης n c / υ. Άρα λοιπόν για διέλυση από το µέσο 1 στο έχουµ: n ce r, E π r, π T 1 I T1 I1 1 1 i, π 1 i, π 1 1 1 I n I n n I n ce n E I n n I 7
όπου T 1 ο συντλστής διάθλασης (µτάδοσης) που δίνται από τη σχέση.5 n1 cosϕ T1, n1 cosθ + n cosϕ Επίσης για τις διέλυση από προς και από προς 4, αγνοώντας πολλαπλές ανακλάσις, έχουµ αντίστοιχα n cosθ n cosξ T, T4, n cosξ+ n cosθ n cosϕ+ n1 cosξ και µ αντικατάσταση: T 1.6998, T.745, T 4 1.954 Η ένταση της τλικής ξρχόµνης δέσµης ίναι λοιπόν n4 n 4 n n4 n n I4 T4 I T4 T I T4 T T1 I1 I4 T1 TT4 I n n n n n n1 και µ αντικατάσταση, I4.98I. Άσκηση 8 Α) Η δύναµη που ασκίται στο σκάφος ίναι στην ακτινική κατύθυνση από τον ήλιο και ίναι ίση µ f ua στην γιτονιά της Γης, όπου u η πυκνότητα νέργιας που ίναι ίση µ ui /c. Αρα η δύναµη ίναι ίση µ f IA /c 14W /m 1m / 1 8 m /s 9µN. Η πιτάχυνση ίναι a9. 1 7 ms, ο χρόνος του ταξιδιού (υθύγραµµη οµαλή κίνηση) t.8x1 7 s, δηλ πρίπου ένα έτος νώ η ταχύτητα όταν φθάνι στη σλήνη υ6ms -1. Β) Για πλάγια πρόσπτωση η πίση της ακτινοβολίας πολλαπλασιάζται πί cosθ λόγω της αντίστοιχης µίωσης της πιφάνιας. Για να βρούµ την δύναµη στην κατύθυνση της υθίας γης-σλήνης πρέπι να πολλαπλασιάσουµ πί cosθ ξανά. Άρα η δύναµη ώσης ίναι f ' f cos θ f / και ο χρόνος µγαλώνι κατά ένα παράγοντα 1.4. Άσκηση 9 Α) Στον πολωτή 1 πέφτι φυσικό φως, που έχι τυχαία πόλωση. Χρησιµοποιώντας το νόµο του Malus και παίρνοντας µέση τιµή ως προς τις γωνίς βρίσκουµ την ξρχόµνη από τον πρώτο πολωτή ένταση I I1 I cos ϕ (1) η οποία προσπίπτι στον πολωτή. Εφαρµόζοντας ξανά το νόµο του Malus βρίσκουµ την ξρχόµνη από το δύτρο πολωτή ένταση π I 1 I I I cos 4 4 Β) Λόγω της µέσης τιµής στη σχέση (1) δν έχι σηµασία η γωνία του άξονα του πολωτή 1 µ την κατακόρυφο. Το προσπίπτον φως ίναι φυσικά πολωµένο άρα όλς οι διυθύνσις του πολωτή 1 ίναι ισοδύναµς. Κατά την πρόσπτωση στον πολωτή η γωνία µταξύ των 1 και ίναι ίδια µ το ρώτηµα (Α) και το αποτέλσµα ίναι I λοιπόν το ίδιο και ίσο µ. 4 8
Γ) Μτά την ισαγωγή του πολωτή µπροστά από τον κύλινδρο από αυτόν σύµφωνα I µ το ρώτηµα (Α) ξέρχται φως έντασης. Έστω ότι ο άξονας του πρόσθτου πολωτή σχηµατίζι γωνία θ µ τον άξονα του πολωτή 1 του κυλίνδρου τότ το ξρχόµνο από τον κύλινδρο φως θα έχι ένταση I π I I cos θ cos cos θ 4 4 Εφαρµόζοντας τα δδοµένα του προβλήµατος βρίσκουµ I I 1 I cos θ cosθ θ 6.4 4 5 Άσκηση 1 Η διαφορά φάσης που προκύπτι από πλακίδιο πάχους dδίνται από (βλ σλ 16 βιβλίου Alonso Finn) π ϕ ( n1 n) d λ Για το χαλαζία έχουµ (βλ Πίνακας - βιβλίου Alonso Finn) n 1.55, n 1.544. Συνπώς για διαφορά φάσης λ / 4 1 και π λ π + 1, n,1,, ( n n ) d ( n ) 1 1 λ d ( n+ 1 ), n,1,, 4 ( n n ) 1 Ελάχιστο πάχος θα έχουµ για n, ποµένως 9 9 1 59 1 1 59 1 5 d 1.6 1 m 16.µm 4 1.55 1.544 4.91 ( ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1) Από τον νόµο του Snell, sinθ n 1 sinθ 1 / n. Αν n > n 1, τότ θ < θ 1 (πλησιέστρα προς την κάθτο). Αλλά το ανοµοιογνές µέσον µπορί να θωρηθί ότι αποτλίται από πολλά στρώµατα απιροστού πάχους το καθένα, µ αυξανόµνο δίκτη διαθλάσως. Εποµένως το φως κάµπτται όλο και πρισσότρο (βλ. ΑΦ-Παράδιγµα.8) ) Από το πρώτο µέρος του πιράµατος προκύπτι ότι ο οπτικός άξονας ίναι ίτ παράλληλος ίτ κάθτος στην πιφάνια ΑΒ. Επιδή η πρόσπτωση ίναι κάθτη, και οι δύο δέσµς (έκτακτη και τακτική) θα έχουν την ίδια διύθυνση ίτ έχουν ίδιους δίκτς διάθλασης (ΟΑ ΑΒ) ίτ διαφορτικούς (ΟΑ//ΑΒ). Στο δύτρο µέρος του πιράµατος, φόσον και οι δύο δέσµς έχουν την ίδια κτροπή, συµπραίνουµ ότι έχουν ίδιους δίκτς διάθλασης, άρα ΟΑ ΑΒ. ) Ο δίκτης διάθλασης του αέρα ίναι 1.96. Εποµένως η ταχύτητα του φωτός στην ατµόσφαιρα ίναι υ c /1.96c /1.96. Η διαφορά χρόνου που 9
προκύπτι ακόµη και αν θωρήσουµ την ατµόσφαιρα να κτίνται σ 1Km ύψος ίναι 1 1 6 t 8 ( 1.96 1) 1 s 1µs 1 άρα ίναι αµλητέα. 4) Η σωστή απάντηση ίναι το (α). Ένα µέρος από την προσπίπτουσα ακτινοβολία στην θάλασσα διαθλάται και ισέρχται στο νρό νώ το υπόλοιπο ανακλάται. Από το πρώτο τµήµα γίνται απορρόφηση από τον ύφαλο και πανκποµπή-έτσι βλέπουµ την ξέρα. δοµένου ότι το αρχικό φως δν έχι κάποια συγκκριµένη πόλωση, το φως από τον ύφαλο δν ίναι πολωµένο. Το ανακλώµνο τµήµα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας ίναι πολωµένο κάθτα στο πίπδο ανάκλασης. Τα πολωτικά γυαλιά απορροφούν αυτή την ανακλώµνη ακτινοβολία από την πιφάνια της θάλασσας και κατά συνέπια διυκολύνουν την πιο υκρινή παρατήρηση της ξέρας. 5) Σύµφωνα µ το νόµο του Snell, για διάδοση από το υλικό µ δίκτη διάθλασης n1 σ αυτό µ δίκτη διάθλασης n, η γωνία που σχηµατίζι η διαθλώµνη ακτίνα µ n την κάθτο δίνται από θr arcsin sinθi n. Όταν n > n1 (πυκνότρο προς 1 n αραιότρο) υπάρχι προσπίπτουσα γωνία θ i για την οποία sinθi > 1 n και ως κ 1 τούτου δν υπάρχι η γωνία θ r. Αυτό δν µπορί να συµβί όταν n1 > n όπου έχουµ n n 1 sinθi 1 για οποιοδήποτ θ i. 1