«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική εργσί με τίτλο: «Ανάλυση χρονολογικών σειρών» της μετπτυχικής φοιτήτρις Ζάρλ Αλεξάνδρς (Α.Μ. 4). Επιβλέπων κθηγητής: Αλεβίζος Φίλιππος

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλιο : Στάσιμες χρονολογικές σειρές I. Αυτοπλίνδρομ υποδείγμτ II. Υποδείγμτ κινητού μέσου III. Μεικτά υτοπλίνδρομ-κινητού μέσου υποδείγμτ Κεφάλιο :Μη στάσιμες χρονολογικές σειρές I. Υποδείγμτ ARIMA II. Εποχικά υποδείγμτ ARIMA (SARIMA) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ARIMA

Ανάλυση χρονολογικών σειρών (Time erie analyi) Εισγωγή: Η νάλυση χρονοσειρών (ime erie analyi) είνι το πεδίο έρευνς που μελετά συστήμτ, διδικσίες, σήμτ κι πρότυπ που εξελίσσοντι χρονικά. Η νάλυση χρονοσειρών έχει δυο βσικούς στόχους: a. ν μελετήσει κι ν νγνωρίσει τη φύση ενός φινομένου που νπρίσττι πό μι κολουθί πρτηρήσεων, κι b. ν προβλέψει τη μελλοντική εξέλιξη του φινομένου, δηλδή τις μελλοντικές τιμές της κολουθίς πρτηρήσεων. Οι τεχνικές νάλυσης χρονολογικών σειρών νπτύχθηκν, εκτός των άλλων, κι γι ν κλύψουν την νάγκη της οικονομετρικής νάλυσης γι έγκυρες προβλέψεις των διφόρων οικονομετρικών φινομένων. Κι οι δύο υτοί στόχοι πιτούν ότι το υπόδειγμ των πρτηρούμενων δεδομένων της χρονοσειράς έχει νγνωριστεί κι ουσιστικά περιγρφηθεί. Από τη στιγμή που το υπόδειγμ εξκριβωθεί μπορούμε ν το ερμηνεύσουμε κι ν το εντάξουμε σε άλλ δεδομέν (δηλδή μπορούμε ν το χρησιμοποιήσουμε στη θεωρί μς γι έν εξερευνούμενο φινόμενο, γι πράδειγμ στις εποχικές τιμές ενός προϊόντος). Χωρίς ν δώσουμε ιδιίτερη σημσί στο βάθος της κτνόησης κι στην ξιοπιστί της ερμηνείς του φινομένου, μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε το νγνωρίσιμο πρότυπο γι ν προβλέψουμε μελλοντικά γεγονότ. Ορισμός: Χρονολογική σειρά είνι έν δείγμ y y,...,, όπου ο δείκτης T πριστάνει ισπέχοντ χρονικά σημεί ή χρονικά διστήμτ. Οι πρτηρήσεις y,..., είνι συγκεκριμένες τιμές των τυχίων μετβλητών, y y, T T επιπλέον υτές οι τυχίες μετβλητές είνι μέρος μόνο μις άπειρης κολουθίς τυχίων μετβλητών. Αυτή η άπειρη κολουθί πριστάνετι ως {, y T,..., T κι } κι ονομάζετι στοχστική διδικσί. Οι πρτηρήσεις y y,...,, y T νφέροντι στην 3

έννοι του δείγμτος, ενώ οι τυχίες μετβλητές έννοι του πληθυσμού.,...,, T νφέροντι στην Στ υποδείγμτ χρονολογικών σειρών η τρέχουσ τιμή μις οικονομικής τυχίς μετβλητής εκφράζετι ως συνάρτηση των προηγούμενων τιμών της, δηλδή των τιμών της με χρονική υστέρηση, ενώ σε έν υπόδειγμ πλινδρόμησης η τυχί μετβλητή είνι συνάρτηση k γενικώς ερμηνευτικών μετβλητών. Σκοπός της νάλυσης χρονολογικών σειρών: Μι στοχστική διδικσί μπορεί ν περιγρφεί πό μί συνδυσμένη συνάρτηση πιθνότητς f ( y y,..., ), y T η οποί ν ήτν γνωστή, τότε δε θ είχμε κνέν πρόβλημ στην πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών της διδικσίς. Επειδή όμως, όχι μόνο η συνάρτηση πιθνότητς δεν είνι γνωστή, λλά ούτε κι η πλήρης εξειδίκευση της μορφής της είνι δυντή, σκοπός της νάλυσης χρονολογικών σειρών είνι η διτύπωση υποδειγμάτων που ν μπορούν ν περιγράφουν το μηχνισμό της στοχστικής διδικσίς πό την οποί προέκυψε η συγκεκριμένη σειρά Ορισμός: Μι στοχστική διδικσί είνι υστηρώς στάσιμη (ricly aionary) ότν οι ιδιότητές της δεν επηρεάζοντι πό μι λλγή στην ρχή μέτρησης του χρόνου. Αυτό σημίνει ότι η συνδυσμένη συνάρτηση πιθνότητς με ρχή το χρονικό σημείο, δηλδή η f ( y, y,..., y T ) είνι κριβώς η ίδι με τη συνδυσμένη συνάρτηση πιθνότητς με ρχή το χρονικό σημείο ( y y y ) f,,..., T., την Το πριστάνει μι υθίρετη μετκίνηση κτά μήκος του άξον του χρόνου είτε προς τ εμπρός είτε προς τ πίσω, δηλδή μπορεί ν είνι είτε θετικό είτε ρνητικό. Οπότε, πό τη στιγμή που δεν μετβάλλετι η συνάρτηση πιθνότητς με το χρόνο, δεν θ μετβάλλετι ούτε η περιθωρική συνάρτηση πιθνότητς κι το ίδιο θ ισχύει κι γι όλες τις διμετβλητές συνρτήσεις πιθνότητς. Όλ υτά συνεπάγοντι ότι ο μέσος κι η δικύμνση του δεν μετβάλλοντι με μι λλγή του χρόνου, ενώ οι συνδικυμάνσεις θ είνι συνρτήσεις μόνο της υστέρησης. 4

Οπότε, θ δίνοντι πό τους τύπους: ( ) E( ) E( ) E( ) μ E... V T ( ) V ( ) V ( ) V ( ) Cov... T σ (, ) Cov(, )... Cov( T, T ) γ Ο υστηρός ορισμός της στσιμότητς νφέρετι σε όλες τις ιδιότητες μις στοχστικής διδικσίς, γι υτό ότν ικνοποιούντι μόνο οι πρπάνω συνθήκες, η στοχστική διδικσί χρκτηρίζετι σθενώς στάσιμη (weakly aionary). Γι την περιτέρω νάλυσή μς θ είνι ρκετό μι χρονολογική σειρά ν είνι σθενώς στάσιμη. Δηλδή, ρκεί ν ισχύουν τ εξής: E V ( ) μ ( ) σ Cov, νεξάρτητη πό το, νεξάρτητη πό το ( ) Cov( m, m ) γ,, νεξάρτητη πό το Από την τελευτί σχέση είνι προφνές ότι Cov (, ) Cov(,. Η ) συνδικύμνση Cov (, ) νφέρετι κι ως υτοσυνδικύμνση (auocovariance), φού οι πρτηρήσεις κι είνι πρτηρήσεις της ίδις μετβλητής που πέχουν χρονικά μετξύ τους κτά. Είνι προφνές ότι γι ( ) θ είνι: γ V. Ο συντελεστής συσχέτισης νάμεσ στην κι την σ ονομάζετι συντελεστής υτοσυσχέτισης (auocorrelaion coefficien) κι δίνετι πό τη σχέση: ρ V (, ) γ ( ) V ( ) γ Cov Ο συντελεστής υτοσυσχέτισης δεν εξρτάτι πό το λλά μόνο πό την υστέρηση. Η σχέση που υπάρχει νάμεσ στο συντελεστή υτοσυσχέτισης ρ κι στη χρονική υστέρηση ονομάζετι συνάρτηση υτοσυσχέτισης (auocorrelaion funcion) κι η 5

γρφική πεικόνισή της ονομάζετι διάγρμμ υτοσυσχέτισης (correlogram). Στην νάλυση χρονολογικών σειρών η σημσί της συνάρτησης υτοσυσχέτισης είνι πολύ μεγάλη, γιτί δείχνει τόσο το βθμό όσο κι το μήκος ή τη χρονική διάρκει της μνήμης της στοχστικής διδικσίς. Ο μέσος μ, η δικύμνση υτοσυσχέτισης σ, οι υτοδικυμάνσεις γ, κι ο συντελεστής ρ είνι άγνωστοι, οπότε πρέπει ν εκτιμηθούν. Ως εκτιμητές των γνώστων υτών πρμέτρων του πληθυσμού χρησιμοποιούμε τις ντίστοιχες ροπές του δείγμτος. Οι εκτιμητές των πρμέτρων υτών δίνοντι πό τους τύπους: T T, εκτιμητής του μ T ( ) T, εκτιμητής του σ ˆ γ T ( ) ( ) T, εκτιμητής του γ ˆ ρ T ( ) ( ) T ( ), εκτιμητής του ρ 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θ σχοληθούμε ρχικά, με τις στάσιμες στοχστικές διδικσίες. Κάθε στάσιμη στοχστική διδικσί μπορεί ν εκφρστεί ως γρμμικός συνδυσμός μις κολουθίς συσχέτιστων τυχίων μετβλητών. Ένς τέτοιος γρμμικός συνδυσμός είνι επίσης γνωστός ως γρμμικό φίλτρο (linear filer). Έστω [ ], μι όχι νγκστικά υστηρώς στάσιμη στοχστική διδικσί με μέσο μ. Το γρμμικό φίλτρο θ μπορούσε ν διτυπωθεί ως εξής: μ ε Ψ ε Ψ ε... () Αν θέσουμε Ψ, τότε η πρπάνω σχέση μπορεί ν γρφεί κι ως: μ i Ψε i i Ορισμός: Υποθέτουμε ότι η κολουθί { } ε γι, ±, ±,... είνι μι κολουθί τυχίων μετβλητών γι την οποί ισχύουν οι πρκάτω τρεις προϋποθέσεις γι κάθε :. E( ε ). ( ) V ε σ ε, γι κάθε 3. Cov( ε ), Μι τέτοι κολουθί γι την οποί ισχύουν οι τρεις υτές προϋποθέσεις ονομάζετι διδικσί λευκού θορύβου (whie noie roce) ή πλώς λευκός θόρυβος. Πρτήρηση: Οι συντελεστές Ψ i είνι γνωστοί κι ως συντελεστές στάθμισης κι το πλήθος τους μπορεί ν είνι άπειρο ή πεπερσμένο. Αν είνι άπειρο, υποθέτουμε ότι το άθροισμά τους συγκλίνει πολύτως, δηλδή θ ισχύει η σχέση: 7

i Ψ < i Στη συνέχει, θ δούμε πώς υπολογίζοντι η συνδικύμνση (ή υτοδικύμνση), γ κι γ των πρτηρήσεων κι, κθώς επίσης κι ο συντελεστής υτοσυσχέτισης: (, ) γ ( ) ( ) γ Cov ρ. V V Από τη σχέση () έχουμε ότι: γ V ( ) E( μ) E( ε Ψ ε Ψ ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) E Ψ E Ψ E Σύμφων με τις υποθέσεις που ισχύουν γι το λευκό θόρυβο,. Άρ, γ σ Ψ σ Ψ σ ( ) E εε, γι Ψ σ i i γ E ( μ)( μ) ( ) E ε Ψ ε Ψ ε Ψ ε Ψ ε ( ε Ψ ε Ψ ε Ψ ε Ψ ε ) x ( ) ( ) E Ψ ε E Ψ Ψ ε Ψ Ψ σ i i i Όλοι οι άλλοι όροι είνι μηδέν, σύμφων με την υπόθεση ότι Cov( ε ) γ ι i ρ γ ΨΨ i Ψ i i ε., Από τις πρπάνω σχέσεις, είνι φνερό ότι ν το άθροισμ των συντελεστών στθμίσεως δεν συγκλίνει, τότε η δικύμνση θ τείνει στο άπειρο κι ο συντελεστής 8

υτοσυσχέτισης θ τείνει στο μηδέν. Αν η σειρά είνι στάσιμη, τότε η δικύμνση θ είνι πεπερσμένη. Η εξίσωση του γρμμικού φίλτρου: μ ε Ψ ε Ψ ε... ποτελεί μι γενική μορφή πό την οποί με διάφορες υποθέσεις σχετικά με τους συντελεστές στάθμισης προκύπτουν διάφορ στοχστικά υποδείγμτ χρονολογικών σειρών. Γενικά, υπάρχουν τρεις βσικές κτηγορίες στοχστικών υποδειγμάτων χρονολογικών σειρών. Αυτά είνι:. Τ Αυτοπλίνδρομ Υποδείγμτ ή Υποδείγμτ AR (Auoregreive Model). Τ Υποδείγμτ Κινητών Μέσων ή Υποδείγμτ MA (Moving Average Model) 3. Τ Μεικτά Υποδείγμτ ή Υποδείγμτ ARMA (Auoregreive Moving Average Model) που είνι συνδυσμός των δύο προηγούμενων. Στη συνέχει, θ εξετάσουμε νλυτικά κάθε μί πό υτές τις τρεις κτηγορίες υποδειγμάτων χρονολογικών σειρών. I. Αυτοπλίνδρομ Υποδείγμτ AR() Η γενική μορφή ενός υτοπλίνδρομου υποδείγμτος τάξεως, ή λλιώς ενός AR( ) είνι: ε... Η τάξη νφέρετι στο μήκος της χρονικής υστέρησης. Η μορφή ενός υτοπλίνδρομου υποδείγμτος μς πρπέμπει ουσιστικά σε έν υπόδειγμ πλινδρόμησης, όπου οι ερμηνευτικές μετβλητές είνι οι τιμές της εξρτημένης μετβλητής με χρονική υστέρηση. Εξιτίς υτού του γεγονότος επικράτησε ο όρος υτοπλίνδρομο. Η μετβλητή ε θεωρείτι ότι είνι λευκός θόρυβος. 9

Στη συνέχει θ εξετάσουμε πιο νλυτικά τη γενική μορφή κι τις ιδιότητες ενός υτοπλίνδρομου υποδείγμτος τάξεως, δηλδή το AR(). Η γενική μορφή ενός AR() θ είνι: ε () Αν υποθέσουμε ότι είτε ο μέσος είνι μηδέν είτε ότι οι μετβλητές εκφράζοντι ως ποκλίσεις πό τους μέσους, τότε η σχέση () γράφετι: y y ε () όπου y κι y Γι το υπόδειγμ AR() ισχύουν επίσης οι πρκάτω σχέσεις: a. μ b. γ V ( y ) σ γ Cov y, y γ c. ( ) d. γ ρ γ Η πόδειξη των πρπάνω σχέσεων είνι πλή: a. ( ) μ μ b. Υψώνουμε στο τετράγωνο κι τ δύο μέλη της σχέσης () κι στη συνέχει πίρνουμε τις μέσες τιμές ως εξής: ( ) ( ) ε E y E y

Ey Ey Ey ε Eε ( ) V( y ) V y σ ( ) V( y ) V y σ ( ) V ( y ) σ ( ) V y σ γ ( ) διότι, Ey ε φού το y εξρτάτι μόνο πό το ε, το οποίο είνι λευκός θόρυβος κι Ey Ey V ( y ). c. Ξεκινάμε πάλι πό τη σχέση (), πολλπλσιάζουμε κι τ δύο της μέλη με το y κι πίρνουμε τις μέσες τιμές: y y y y ε y ( ) ( ) ( ε ) E y y E y y E y γ γ, γι > διότι E( ε y ) κι ( ) E y y γ. Από την πρπάνω σχέση προκύπτει ότι: γ γ γ γ γ γ γ γ 3 3 3 κι γενικά: γ γ γ γ d. ρ γ γ Επειδή ρχικά θ σχοληθούμε με υστηρά στάσιμες διδικσίες, θ πρέπει ν εξετάσουμε κάτω πό ποιες προϋποθέσεις η χρονολογική σειρά που πριστάνετι με τη γενική μορφή ενός AR() θ είνι στάσιμη. Γι ν είνι η σειρά στάσιμη θ πρέπει <. Αυτό συμβίνει γιτί, γι ν είνι μι σειρά στάσιμη θ πρέπει η

δικύμνση γ ν είνι ένς στθερός θετικός ριθμός. Γι >, η συνάρτηση υτοσυσχέτισης φθίνει γεωμετρικά κι τείνει προς το μηδέν κθώς το υξάνει. Ανάλογ, ότν < η συνάρτηση υτοσυσχέτισης πάλι θ τείνει προς το μηδέν λλά με ενλλσσόμενο πρόσημο υτή τη φορά. Στη συνέχει, θ σχοληθούμε με το υτοπλίνδρομο υπόδειγμ δεύτερης τάξεως, δηλδή το AR(). Στη γενική του μορφή μπορεί ν γρφεί ως: ε (3) ή ως: y y y ε (4) Γι το AR() ισχύουν τ εξής:. μ γ V aγ γ σ (5). ( ) γ ( ) ( )( )( ) σ (6) γ Cov, γ γ 3. ( ) γι > ρ ρ ρ γι > 4. Οι ποδείξεις υτών των σχέσεων δίνοντι πρκάτω.. Στη σχέση (3) πίρνουμε τις μέσες τιμές οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ε ) E E E E μ μ μ μ φού ( ) E ε, ως λευκός θόρυβος.

. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της σχέσης (4) με το y, κι στη συνέχει πίρνουμε τις μέσες τιμές οπότε έχουμε: y yy yy y ε ( ) Ey V y Ey y Ey y Ey ε γ γ γ Ey ε, διότι Eyε E ( y y ε) ε σ γ γ γ σ 3. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της σχέσης (4) με το y, κι στη συνέχει πίρνουμε τις μέσες τιμές: y y y y y y ε y ( ) Ey y Cov, Ey y Ey y Eε y (, ) γ Cov γ γ φού Eεy κι Ey y γ, Ey y γ εξ ορισμού. 4. Διιρούμε την πρπάνω σχέση με το γ οπότε: γ γ γ γ γ γ ρ ρ ρ Γι ν είνι στάσιμη υτή η χρονολογική σειρά θ πρέπει ν ικνοποιούντι οι πρκάτω προϋποθέσεις: < < < < (7) Οι σχέσεις (7) πρέπει ν ικνοποιούντι γι τον εξής λόγο: Γι ν είνι η σειρά στάσιμη, θ πρέπει η δικύμνσηγ ν είνι ένς στθερός ριθμός. Γι ν συμβίνει υτό θ πρέπει κάθε όρος στις πρενθέσεις της σχέσης (6) ν είνι θετικός ριθμός. Δηλδή θ πρέπει ν ισχύουν οι νισότητες: 3

> > > > Συνληθεύοντάς τες προκύπτουν οι σχέσεις (7) οπότε κι ποτελούν τις προϋποθέσεις γι ν είνι η σειρά στάσιμη. Από τη σχέση των υτοσυσχετίσεων ρ aρ aρ προκύπτουν οι σχέσεις: ρ ρ ρ ρ φού ισχύουν ότι: ρ κι ρ ρ. Οι εξισώσεις υτές είνι γνωστές ως εξισώσεις ule-walker κι ποτελούν έν σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους, τις υτοσυσχετίσεις, κι λύνοντάς το προκύπτουν οι τιμές γι τ ρ κι ρ ότν είνι γνωστές οι τιμές των συντελεστών κι. Συγκεκριμέν, η λύση του συστήμτος είνι: ρ ρ Αντίθετ, ν είνι γνωστές οι τιμές των υτοσυσχετίσεων κι, μπορούμε ν βρούμε τις τιμές των συντελεστών. Η συνάρτηση υτοσυσχέτισης μις AR() διδικσίς θ τείνει προς το μηδέν, κθώς υξάνετι η χρονική υστέρηση ν υπολογιστούν πό τη σχέση. Οι υτοσυσχετίσεις ρ γι > μπορούν ρ ρ ρ, φού προηγουμένως έχουν υπολογιστεί οι δύο πρώτες υτοσυσχετίσεις ρ κι ρ πό το σύστημ εξισώσεων ule-walker. Τέλος, θ σχοληθούμε κι με το υτοπλίνδρομο υπόδειγμ τάξεως, δηλδή το AR( ). Η γενική του μορφή δίνετι πό τον τύπο: ε... 4

Γι μι διδικσί AR( ) ισχύουν οι πρκάτω σχέσεις: γ σ γ γ... γ σ ρ ρ... ρ γ γι > γ γ... γ ρ γι > ρ ρ... ρ Από την τελευτί σχέση γι,,..., προκύπτουν εξισώσεις ule-walker οι οποίες είνι οι εξής: ρ ρ ρ 3... ρ ρ ρ ρ 3... ρ ρ 3 3 ρ ρ 3... ρ............... ρ... ρ ρ ρ 3 3 Οι πρπάνω εξισώσεις ποτελούν έν σύστημ εξισώσεων κι λύνοντάς το προκύπτουν οι τιμές γι τις υτοσυσχετίσεις ρ, ν είνι γνωστές οι τιμές των συντελεστών, που ονομάζοντι κι συντελεστές υτοπλινδρόμησης,..., (auoregreive coefficien). Με το συμβολισμό πινάκων, το πρπάνω σύστημ γράφετι ως εξής: R ΠΑ, όπου 5

ρ ρ. R.. ρ., A κι.. ρ ρ ρ ρ Π ρ ρ Αν οι υτοσυσχετίσεις είνι γνωστές, τότε οι συντελεστές πλινδρόμησης δίδοντι πό τη σχέση: A Π R Όλες οι υτοπλίνδρομες διδικσίες έχουν συνρτήσεις υτοσυσχέτισης οι οποίες βίνουν φθίνουσες κθώς υξάνει το μήκος της υστέρησης, με ποτέλεσμ ν είνι πολλές φορές δύσκολο ν κθοριστεί η τάξη του υποδείγμτος που περιγράφει τη σειρά με βάση τη συνάρτηση υτοσυσχέτισης. Έν πρόσθετο κριτήριο γι το σκοπό υτό είνι η συνάρτηση μερικής υτοσυσχέτισης (arial auocorrelaion funcion). Η μερική υτοσυσχέτιση νάμεσ στην κι στην νφέρετι στη συσχέτιση νάμεσ στην κι στην ότν έχουν φιρεθεί οι γρμμικές επιδράσεις των ενδιάμεσων μετβλητών,,..., ( ). Αν πρστήσουμε με ρ το συντελεστή μερικής υτοσυσχέτισης τάξεως, δηλδή το συντελεστή υτοσυσχέτισης νάμεσ στην κι την γι,,..., τότε ρ θ είνι ο συντελεστής μερικής πλινδρόμησης της μετβλητής y στο υπόδειγμ: y y ρ y ρ3 y 3... ρ y ρ ε Οι συντελεστές μερικής υτοσυσχέτισης ρ,...,, ρ ρ προκύπτουν πό διδοχικές πλινδρομήσεις νάμεσ στην y κι στην y γι,,.... Οι συντελεστές μερικής υτοσυσχέτισης ρ μπορούν επίσης ν εκφρστούν ως συνάρτηση των συντελεστών συσχέτισης ενώνει είνι: ρ με βάση τις εξισώσεις ule-walker. Η σχέση που τους ρ ρ... ρ ρ ρρ ρ, γι,,..., Οι συντελεστές μερικής υτοσυσχέτισης ρ,..., συστήμτος που προκύπτει πό την πρπάνω σχέση., ρ ρ προκύπτουν πό τη λύση του 6

Είνι προφνές ότι, γι μι υτοπλίνδρομη διδικσί τάξεως, η συνάρτηση μερικής υτοσυσχέτισης είνι μηδέν γι >, σύμφων με τον ορισμό της μερικής υτοσυσχέτισης. Πιο συγκεκριμέν ισχύουν τ εξής: Γι την AR(): ρ ρ Γι την AR(): ρ ρ ρ γι > ρ ρ ρ ρ ρ γι > Γι την AR( ): ρ ρ ρ... ρ ρ γι > Στην πράξη, επειδή τόσο οι ληθινές μερικές υτοσυσχετίσεις ρ όσο κι οι ληθινές υτοσυσχετίσεις ρ δεν είνι γνωστές, χρησιμοποιούντι οι ντίστοιχες εκτιμήσεις τους πό το δείγμ. Με βάση τις εκτιμήσεις υτές μπορεί ν γίνει έλεγχος σημντικότητς των πρμέτρων στον πληθυσμό. Γι μεγάλ δείγμτ, οι εκτιμήσεις μηδέν κι δικύμνση ˆ ρ των υτοσυσχετίσεων ρ κτνέμοντι κνονικά με μέση τιμή το, όπου T είνι το μέγεθος του δείγμτος. Το ίδιο ισχύει κι T γι τις εκτιμήσεις των μερικών υτοσυσχετίσεων πό την τάξη της AR διδικσίς. Συμβολικά έχουμε: ˆ ρ ~ N, T ρ γι υστερήσεις μεγλύτερες 7

ˆ ρ ~ N, T γι > Στη συνέχει θ νπτύξουμε τον έλεγχο της σημντικότητς του συντελεστή δηλδή θ ελέγξουμε την υπόθεση: H : ρ H : ρ ρ, Ο έλεγχος υτός θ γίνει με τη βοήθει της σττιστικής: ˆ ρ ˆ ρ T T Γι δεδομένο επίπεδο σημντικότητς 5% η μηδενική υπόθεση πορρίπτετι ν >, διφορετικά την ποδεχόμστε. Το 95% διάστημ εμπιστοσύνης γι υτόν τον έλεγχο είνι: ˆ ρ ˆ ρ ρ T Ακριβώς τ ίδι ισχύουν κι γι τον έλεγχο σημντικότητς του συντελεστή μερικής υτοσυσχέτισης ρ. Δηλδή, ο συντελεστής ρ είνι σημντικός ν ˆ ρ T >. Με τη βοήθει του πρπάνω ελέγχου σημντικότητς των συντελεστών μερικής υτοσυσχέτισης μπορεί ν κθοριστεί η τάξη μις AR διδικσίς. Θ επιλεγεί ως τάξη της σειράς υτή που ντιστοιχεί στην τελευτί σημντική τιμή του γι πράδειγμ ότι η τελευτί σημντική τιμή του. Έστω, είνι γι, δηλδή έστω ότι ο συντελεστής ρ είνι σημντικός, ενώ ο συντελεστής ρ 33 δεν είνι σημντικός. Τότε, συμπερίνουμε ότι η τάξη του υποδείγμτος είνι. Στη συνέχει, θ εκτιμήσουμε τις πρμέτρους ενός υποδείγμτος AR, ενώ γνωρίζουμε την τάξη του. Υπάρχουν δύο τρόποι γι ν γίνει υτό. Ο πρώτος τρόπος είνι ν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση τις υτοσυσχετίσεις A Π R ντικθιστώντς ρ με τις εκτιμήσεις ˆ ρ πό το δείγμ, φού τις έχουμε 8

υπολογίσει πό τη σχέση : ( ) ( ) ( ) ˆ T T ρ. Έτσι, θ μπορέσουμε ν υπολογίσουμε τους εκτιμητές των πρμέτρων του υποδείγμτος. Ένς δεύτερος τρόπος γι τον υπολογισμό των εκτιμητών των πρμέτρων είνι ν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των ελχίστων τετργώνων. Οι εκτιμητές που προκύπτουν πό τη μέθοδο υτή έχουν τις ιδιότητες μεγάλων δειγμάτων, είνι δηλδή, συνεπείς εκτιμητές κι κολουθούν προσεγγιστικά την κνονική κτνομή. Αυτή η μέθοδος μπορεί ν χρησιμοποιηθεί πό τη στιγμή που το υπόδειγμ AR( ) στη γενική του μορφή μπορεί ν θεωρηθεί ως έν γρμμικό υπόδειγμ με νεξάρτητες στοχστικές μετβλητές. Γι έν δείγμ Τ πρτηρήσεων έχουμε το κόλουθο σύστημ T- εξισώσεων: T T T T T P ε ε ε ε 3 3 3 Αν χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό των πινάκων το πρπάνω σύστημ θ γράφετι ως εξής: Xβ ε όπου: T,,, κι β T ε ε ε ε 3 T T T T Χ 9

Οι εκτιμητές των πρμέτρων όπως θ προκύψουν πό τη μέθοδο των ελχίστων τετργώνων θ δίνοντι πό τη σχέση: ( ) βˆ ΧΧ ΧΥ, όπου ˆ β θ είνι το διάνυσμ των εκτιμητών ˆ των πρμέτρων. Ο πίνκς δικυμάνσεων-συνδικυμάνσεων των εκτιμητών θ είνι: ( Υ Χˆ β ) ( Υ Χˆ β ) S ββ ( Χ Χ), όπου ( ) T. Ένς εκτιμητής της μέσης τιμής της AR( ) διδικσίς δίνετι πό τη σχέση: ˆ μ ˆ ˆ ˆ ˆ. II. Υποδείγμτ κινητού μέσου ΜΑ(q) Η γενική μορφή ενός υποδείγμτος κινητού μέσου τάξης q ή MA( q ) είνι: μ ε θ ε θ ε θ ε q q Η τάξη q νφέρετι στο μήκος της υστέρησης της μετβλητής, γι την οποί υποθέτουμε ότι είνι λευκός θόρυβος. Ο όρος κινητός μέσος νφέρετι στο γεγονός ότι η εμφνίζετι ως έν στθμισμένο άθροισμ των τιμών της ε. Στη συνέχει θ εξετάσουμε πιο νλυτικά τη γενική μορφή κι τις ιδιότητες μις MA() διδικσίς, δηλδή μις διδικσίς κινητού μέσου πρώτης τάξης. Η γενική μορφή μις MA() είνι: μ ε θ ε

Γι το υπόδειγμ MA() ισχύουν επίσης τ εξής:. E ( ) μ. ( ) ( ) γ θ V σ ( ) 3. γ Cov, θ σ γι γι > θ 4. ρ γι θ γι > Οι ποδείξεις των πρκάτω σχέσεων προυσιάζοντι στη συνέχει:. E ( ) E( μ ε θε ) μ E( ε ) θ E( ε ) μ μ. V ( ) E( ) E( ) γ μ ε θε ( ) Eε θ E ε ε θ Eε σ θ θσ σ θσ ( ) θ σ 3. γ Cov(, ) E ( μ)( μ) ( )( E ε θε ε θε ) ( εε ) θ ( εε ) θ ( ε ) θ ( ε ε ) E E E E ( ) θ E ε θσ γι 4. γ θ σ θ ρ γ γι σ θ ( θ ) Πρτηρούμε ότι όλες οι υτοδικυμάνσεις κι συνεπώς κι οι υτοσυσχετίσεις είνι μηδέν εκτός πό την πρώτη. Αυτό σημίνει ότι μι οποιδήποτε πρτήρηση

5 4 6 της, γι πράδειγμ η, συσχετίζετι με την προηγούμενη ή την επόμενη λλά δεν συσχετίζετι με κμί άλλη. Μι MA() διδικσί είνι ντιστρέψιμη ή χρκτηρίζετι πό ντιστρεψιμότητ ν μπορεί ν διτυπωθεί ως μί υτοπλίνδρομη διδικσί με άπειρους όρους. Οπότε, τότε η MA() μεττρέπετι σε AR ( ). Ανάλογ, η γενική μορφή ενός υποδείγμτος κινητού μέσου τάξεως, δηλδή μις MA() διδικσίς, θ είνι: μ ε θ ε θ ε Οι σχέσεις που ισχύουν γι το MA() είνι:. E ( ) μ. ( ) ( ) γ V θ θ σ γ θ θθ σ 3. ( ) 4. γ θ σ 5. γ γι > θ θθ 6. ρ θ θ θ 7. ρ θ θ 8. ρ γι > Οι ποδείξεις τους νφέροντι στη συνέχει:. E ( ) Eμ ( ε θε θ θ ) μ Eε θ Eε θ Eε μ. γ V ( ) E( μ) E( ε θε θ ) ε ( )( ) Eε θ Eε ε θ Eε E ε θε θ ε θ Eε

( ) σ θ σ θ σ θ θ σ 3. γ E ( μ)( μ) E( ε θε θ ε )( ε θε θ ε ) ( ) θ σ θθ σ θ θθ σ 4. γ E ( μ)( μ) E( ε θε θ ε )( ε θε θ ε ) 3 4 θ σ 5. Γι > προφνώς θ ισχύει: γ 6. 7. ρ ρ ( ) θ θθ σ γ θ θθ γ θ θ θ σ θ ( ) γ θ σ θ γ θ θ θ σ θ ( ) 8. Γι > προφνώς θ ισχύει: ρ Τέλος, θ σχοληθούμε με το υπόδειγμ κινητού μέσου τάξης q, δηλδή το MA( q ). Η γενική του μορφή κι οι σχέσεις που ισχύουν κολουθούν στη συνέχει. E ( ) μ μ ε θ ε θ ε θ ε q q ( ) ( θ θ θq ) σ σ γ V θ,όπου θ q (, ) ( θ θ θ θ θ θ θ ) σ γ Cov γι,,, q γι > q q q θ θ ρ θ θ θ θ θ q θ θ θq q γι,,, q γι > q Γενικά, οι υτοσυνδικυμάνσεις κι συνεπώς η συνάρτηση υτοσυσχέτισης είνι μηδέν μετά πό q υστερήσεις, δηλδή ότν > q. 3

Θ νφέρουμε στη συνέχει κάποιες διφορές νάμεσ σε μι AR( ) διδικσί κι σε μι MA( q ). Η συνάρτηση υτοσυσχέτισης μις AR( ) διδικσίς μπορεί ν εκτείνετι στο άπειρο, ενώ η συνάρτηση υτοσυσχέτισης μις MA( q ) διδικσίς μηδενίζετι μετά πό q υστερήσεις. Αντίθετ, η συνάρτηση μερικής υτοσυσχέτισης μις AR( ) διδικσίς τερμτίζετι μετά πό υστερήσεις, ενώ η συνάρτηση μερικής υτοσυσχέτισης μις MA( q ) διδικσίς εκτείνετι στο άπειρο. Η τάξη q του υποδείγμτος μπορεί ν προσδιοριστεί πό τη συμπεριφορά της δειγμτικής συνάρτησης υτοσυσχέτισης, όπως κι στις υτοπλίνδρομες διδικσίες. Είδμε ότι η συνάρτηση υτοσυσχέτισης μις MA( q ) διδικσίς μηδενίζετι μετά πό q υστερήσεις, οπότε υτό σημίνει ότι οι υτοσυσχετίσεις θ είνι σημντικές γι q, ενώ γι > q δε θ είνι σημντικές. Ότν θ έχει κθοριστεί η τάξη της διδικσίς, οι πράμετροι του υποδείγμτος μπορούν ν εκτιμηθούν με τον ίδιο τρόπο που εκτιμήθηκν κι οι πράμετροι μις AR( ) διδικσίς, δηλδή πό τη σχέση A Π R, ντικθιστώντς τις υτοσυσχετίσεις ρ με τις εκτιμήσεις ˆ ρ πό το δείγμ, φού τις έχουμε υπολογίσει πό τη σχέση : ˆ ρ T ( ) ( ) T ( ). Η μέθοδος των ελχίστων τετργώνων δεν μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι την εκτίμηση των πρμέτρων ενός υποδείγμτος κινητού μέσου, όπως στην περίπτωση των υτοπλίνδρομων υποδειγμάτων, γιτί η προς ελχιστοποίηση συνάρτηση: T T ( ε μ θ ε θ ε θ ε ) δεν είνι γρμμική ως προς τις q q πρμέτρους. Γι την εκτίμηση των πρμέτρων πιτείτι η χρήση διφόρων μη γρμμικών μεθόδων, τις οποίες δε θ νλύσουμε υτή τη στιγμή. III. Μεικτά υτοπλίνδρομ-κινητού μέσου υποδείγμτ ARMA(,q) 4

Η γενική μορφή ενός υποδείγμτος ARMA (, q) είνι το υπόδειγμ: ε θε θ ε θqε q ) Το υπόδειγμ ARMA (, q είνι συνδυσμός υτοπλίνδρομων όρων κι όρων κινητού μέσου. Είνι προφνές ότι έν κθρά υτοπλίνδρομο υπόδειγμ ή έν κθρό υπόδειγμ κινητού μέσου μπορούν ν θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις μις ARMA διδικσίς. Δηλδή, θ ισχύουν τ εξής: AR ( ) ARMA (,) κι MA ( q ) ARMA (,q) q Η πλούστερη μορφή μις ARMA (, q) διδικσίς είνι το υπόδειγμ ARMA(,). Η μορφή υτού του υποδείγμτος προφνώς, θ είνι: ε θε () ή λλιώς: y y ε θε () Αυτό το υπόδειγμ μπορεί ν γρφεί ως μι κθρά MA διδικσί, λλά κι ως μι υτοπλίνδρομη διδικσί με άπειρους όρους AR ( ). Ας δούμε πρώτ πώς μπορεί ν μετμορφωθεί σε μι διδικσί κινητού μέσου. Υστερούμε διδοχικά τη μορφή της () κι ντικθιστώντς γι κτλήγουμε στη μορφή: i i ε ( θ) ε i i i,, 3, Γι ν είνι στάσιμη υτή η σειρά, θ πρέπει το άθροισμ i i ( θ ) ν συγκλίνει, οπότε υτό σημίνει ότι πρέπει το <. Ότν ισχύει υτό, κι επομένως η σειρά είνι στάσιμη, τότε η μορφή του υποδείγμτος θ είνι η: i ( ) i ε θ ε i 5

Αυτή η μορφή δημιουργήθηκε ντικθιστώντς τη σειρά i i πό τη στιγμή που είνι άθροισμ όρων φθίνουσς γεωμετρικής προόδου. Η μορφή υτή είνι μι MA διδικσί με άπειρους όρους, που θ μπορούσε ν προσεγγιστεί με ένν περιορισμένο ριθμό όρων, δεδομένου ότι η σημσί των συντελεστών όλο κι μικρίνει. Αυτό σημίνει ότι πό κάποιο σημείο θ μπορούσν ν πρλειφθούν οι επόμενοι όροι. Μπορούμε εύκολ ν κτλάβουμε ότι πιτείτι υψηλής τάξεως MA διδικσί προκειμένου ν προσεγγιστεί η ντίστοιχη ARMA(,) διδικσί. Επομένως, είνι προφνής η οικονομί που επιτυγχάνετι με τη χρήση των μεικτών υποδειγμάτων, φού το ARMA(,) υπόδειγμ έχει μόνο δύο συντελεστές. AR Στη συνέχει, θ δούμε πώς το υπόδειγμ () μπορεί ν διτυπωθεί κι ως ( ). Με διδοχικές ντικτστάσεις γι προκύπτει η κόλουθη σχέση: ε ε, ε, στη σχέση (),, 3 i ε θ ( θ) i θ i Γι ν είνι η σειρά ντιστρέψιμη θ πρέπει θ <. Κι σε υτή την περίπτωση επιτυγχάνετι οικονομί στους συντελεστές με τη χρήση της διδικσίς. ARMA(,) Γι το μεικτό υπόδειγμ ARMA(,) ποδεικνύοντι εύκολ ότι ισχύουν οι σχέσεις: μ I. ( ) E II. γ θ θ σ III. γ γ θσ IV. γ γ γι > V. θ ρ σ γ ( θ )( θ ) θ θ VI. ρ ρ γι > 6

Οι ποδείξεις υτών των σχέσεων δίδοντι στη συνέχει: I. Στη σχέση () πίρνουμε τις μέσες τιμές κι στ δύο μέλη, οπότε είνι: ( ) ( ) E E Eε θε μ μ ( ) μ μ II. Υψώνουμε τη σχέση () στο τετράγωνο κι πίρνουμε τις μέσες τιμές: ( ) ( ) ε θε E y E y γ γ σ θσ θσ ( ) γ γ θ θσ ( ) ( γ θ θ ) σ γ ( θ θ) ( ) σ III. Από τη σχέση () έχουμε ότι: (, ) ( )( ) γ Cov y y E y μ y μ ( ε θε ) E y y ( ) ( ε ) ( θε ) E y E y E y γ θσ γ IV. Με τη χρήση της σχέσης () πάλι, έχουμε ότι: Cov( y, y ) E ( y μ)( y μ) ( )( E y ε θε y ε θε ) 7

( ) γ θσ γ θσ γ, γι > V. γ γ θσ σ ή γ γ γ ρ θ θ θσ ρ σ σ γ θ θ ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( )( θ θ θ θ ) γ γ γ, γι >. VI. ρ ρ γ γ γ Πρτηρούμε ότι στη συνάρτηση υτοσυσχέτισης υπεισέρχετι ο συντελεστής πό την MA() διδικσί, λλά μόνο γι την υτοσυσχέτιση πρώτης τάξης ρ. Οι υπόλοιπες υτοσυσχετίσεις εξρτώντι μόνο πό το υτοπλίνδρομο μέρος. Η συνάρτηση υτοσυσχέτισης γι την ARMA(,) διδικσί φθίνει γεωμετρικά με την ύξηση του. Η μείωση όμως, σε ντίθεση με την AR(), ρχίζει πό το ρ κι όχι πό το ρ. Η συνάρτηση μερικής υτοσυσχέτισης γι την ARMA(,) διδικσί φθίνει γεωμετρικά όπως στην περίπτωση της MA() διδικσίς. Στη συνέχει θ σχοληθούμε με το γενικό μεικτό υπόδειγμ ARMA (,q). Η γενική του μορφή, όπως είδμε προηγουμένως είνι: δ θ ε ε θε θε q q 8

Οι πρώτες q υτοσυσχετίσεις γι q, εξρτώντι τόσο πό τους συντελεστές i του υτοπλίνδρομου υποδείγμτος, όσο κι πό τους συντελεστές θ i του υποδείγμτος του κινητού μέσου. Γι τις τιμές του > q, οι υτοσυνδικυμάνσεις κι οι υτοσυσχετίσεις είνι κριβώς ίδιες με υτές μις AR επομένως θ δίνοντι κι υτές πό τους τύπους: γ γ... γ γι > q γ ( ) διδικσίς κι ρ ρ... ρ ρ γι > q Γενικά, η συνάρτηση υτοσυσχέτισης μις ARMA (, q) διδικσίς συμπεριφέρετι όπως υτή μις AR ( ) διδικσίς, ενώ η συνάρτηση μερικής υτοσυσχέτισης συμπεριφέρετι όπως υτή μις MA( q ) διδικσίς, γι > q. Γι την εκτίμηση των πρμέτρων ενός ARMA (, q) υποδείγμτος μπορούν ν εφρμοστούν οι ίδιες τεχνικές που χρησιμοποιούντι κι γι την εκτίμηση των πρμέτρων ενός MA( q ) υποδείγμτος. Δηλδή μπορούν ν χρησιμοποιηθούν οι σχέσεις που συνδέουν τις υτοσυσχετίσεις με τις πρμέτρους του υποδείγμτος, λλά επίσης μπορούν ν εφρμοστούν κάποιες μη γρμμικές μέθοδοι εκτίμησης, πό τη στιγμή που το υπόδειγμ είνι μη γρμμικό ως προς τις πρμέτρους. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Τ τρί στοχστικά υποδείγμτ που εξετάσμε μέχρι τώρ νφέροντι όλ σε στάσιμες διδικσίες που σημίνει ότι ο μέσος, η δικύμνση κι οι υτοδικυμάνσεις δεν εξρτώντι πό το χρόνο, δηλδή ο μέσος κι η δικύμνση πρμένουν στθεροί, ενώ οι υτοδικυμάνσεις εξρτώντι μόνο πό τη χρονική υστέρηση. Στη συνέχει, θ εξετάσουμε μη στάσιμες διδικσίες. Στην Οικονομετρί μς ενδιφέρει οι σειρές ν είνι στάσιμες, γιτί έτσι ποφεύγοντι πολλά προβλήμτ, όπως υτό της φινομενικής πλινδρόμησης. Δυστυχώς, οι περισσότερες ν όχι όλες οι οικονομικές χρονολογικές σειρές, όπως η κτνάλωση, η νεργί, ο δείκτης τιμών, τ κέρδη δεν έχουν τ χρκτηριστικά στάσιμων διδικσιών. Όμως, υπάρχει τρόπος μεττροπής μις μη στάσιμης σειράς σε στάσιμη κι υτό γίνετι με τη χρήση πρώτων, δεύτερων κ.τ.λ. διφορών. Ορισμός: Μι μη στάσιμη σειρά λέγετι ολοκληρωμένη d τάξεως (inegraed h d order) κι πριστάνετι ως I ( d ), ότν μεττρέπετι σε στάσιμη με τη χρήση d ριθμού διφορών. Ο όρος ολοκληρωμένη σειρά προέρχετι πό τον τρόπο με τον οποίο μι μη στάσιμη διδικσί προκύπτει πό μί στάσιμη. Αυτό γίνετι ολοκληρώνοντς φορές τη μη στάσιμη σειρά γι ν προκύψει η στάσιμη. Μι στάσιμη σειρά, όπως ο λευκός θόρυβος, θεωρείτι ολοκληρωμένη σειρά μηδενικής τάξεως, I ( ). d I. Υποδείγμτ ARIMA Γενικά, έν υπόδειγμ ARMA (,q) που εφρμόζετι σε μι ολοκληρωμένη σειρά d τάξεως, ονομάζετι υτοπλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμ κινητού μέσου τάξεως (, d, q) κι συμβολίζετι ως ARIMA (, d, q). Συγκεκριμέν, οι τρεις μορφές των πρμέτρων υτού του υποδείγμτος είνι: οι πράμετροι του υτοπλίνδρομου υποδείγμτος, ο ριθμός γίνει η σειρά στάσιμη, κι τέλος οι d των διφορών που πιτούντι γι ν q πράμετροι του υποδείγμτος κινητού μέσου. Γι πράδειγμ, έν υπόδειγμ που περιγράφετι ως ARIMA (,, ) σημίνει ότι 3

περιέχει μηδέν υτοπλίνδρομες πρμέτρους κι δύο πρμέτρους κινητού μέσου που έχουν υπολογιστεί γι την προκύπτουσ σειρά των πρώτων διφορών. Όπως είδμε προηγουμένως μι ARMA (, q) διδικσί στη γενική της μορφή γράφετι ως εξής: ε θε θ ε θqε q Μι ARIMA (, d, q) διδικσί μπορεί ν διτυπωθεί με τρεις διφορετικούς τρόπους κι ν πάρει τρεις διφορετικές μορφές:. Ως συνάρτηση των πρελθουσών τιμών της κι των τιμών του διτρκτικού όρου, τρέχουσς κι πρελθουσών. Η μορφή υτή είνι γνωστή ως εξίσωση διφοράς (difference equaion form).. Ως συνάρτηση των πρελθουσών τιμών της κι της τρέχουσς τιμής του διτρκτικού όρου. Η μορφή υτή είνι γνωστή ως η ντίστροφη μορφή (invered form). 3. Ως συνάρτηση μόνο των τιμών του διτρκτικού, τρέχουσς κι πρελθουσών. Η μορφή υτή είνι γνωστή ως τυχί διτρχή (random hock form). Η νάπτυξη κι η κτσκευή υποδειγμάτων ARIMA ως εργλεί πρόβλεψης των τιμών οικονομικών μετβλητών είνι γνωστή ως μεθοδολογί Box-Jenkin, την οποί θ νλύσουμε στη συνέχει. Μεθοδολογί Box-Jenkin Η προσέγγιση των Box-Jenkin στην νάλυση χρονοσειρών είνι μι μέθοδος εύρεσης ενός σττιστικού υποδείγμτος ARIMA ( d, q), που ν πριστάνει ικνοποιητικά τη στοχστική διδικσί πό την οποί προήλθν τ δεδομέν, δηλδή το δείγμ μς. Η μέθοδος υτή περιλμβάνει τρί στάδι, την τυτοποίηση (idenificaion), την εκτίμηση (eimaion), κι το διγνωστικό έλεγχο (diagnoic checking) κι τ οποί θ νλύσουμε στη συνέχει. Στάδιο: Τυτοποίηση 3

Σε υτό το στάδιο γίνετι η εξειδίκευση ενός ARIMA υποδείγμτος με βάση τις πληροφορίες που πίρνουμε πό το δείγμ. Αυτό σημίνει ότι κθορίζοντι οι τιμές των d, κι q. Δηλδή, κθορίζετι ο ριθμός d των διφορών που πιτούντι γι ν μεττρπεί η σειρά σε στάσιμη, πό τη στιγμή βέβι που δεν είνι, κι στη συνέχει κθορίζετι η τάξη της υτοπλίνδρομης διδικσίς κι η τάξη q της διδικσίς κινητού μέσου. Γι ν διπιστωθεί ν η σειρά είνι στάσιμη ή όχι, θ εξετστεί η συμπεριφορά της δειγμτικής συνάρτησης υτοσυσχέτισης. Αν οι υτοσυσχετίσεις συγκλίνουν τχύττ προς το μηδέν σημίνει ότι η σειρά μάλλον είνι στάσιμη. Αντίθετ, ν οι υτοσυσχετίσεις φθίνουν με ργό ρυθμό, είνι σοβρή ένδειξη ότι η σειρά είνι μη στάσιμη, οπότε πρέπει ν γίνει στάσιμη. Σε υτή την περίπτωση θ χρησιμοποιήσουμε τις πρώτες ή τις δεύτερες ή κ.τ.λ. διφορές γι ν μεττρπεί η σειρά σε στάσιμη. Αφού η σειρά έχει γίνει στάσιμη, προσδιορίζετι στη συνέχει η τάξη του υποδείγμτος ARIMA, δηλδή προσδιορίζοντι οι τιμές του κι του q. Ο προσδιορισμός τους βσίζετι στις δειγμτικές πλές κι μερικές, υτοσυσχετίσεις. Στάδιο: Εκτίμηση Μετά την εξειδίκευση του υποδείγμτος κι την εύρεση της τάξης του κολουθεί η εκτίμηση των πρμέτρων,,, της υτοπλίνδρομης διδικσίς κι των q πρμέτρων θ, θ,, θ της διδικσίς κινητού μέσου. Αν η σειρά που q εξετάζουμε είνι μόνο υτοπλίνδρομη, οι πράμετροί της, όπως είδμε προηγουμένως, μπορούν ν εκτιμηθούν με τη μέθοδο των ελχίστων τετργώνων. Αν όμως, η σειρά περιέχει κι όρους κινητού μέσου τότε γι την εκτίμηση των πρμέτρων του κινητού μέσου θ χρησιμοποιηθούν μη γρμμικές μέθοδοι εκτίμησης. 3 Στάδιο: Διγνωστικός έλεγχος Στο στάδιο υτό γίνετι έλεγχος κλής προσρμογής του υποδείγμτος. Αυτό σημίνει ότι ελέγχετι το πόσο κλά τιριάζει το εκτιμώμενο υπόδειγμ με τ δεδομέν, γιτί είνι πιθνό κάποιο άλλο υπόδειγμ ARIMA ν προσρμόζετι κλύτερ. Θ εφρμόσουμε κάποιους σττιστικούς ελέγχους γι τη σημντικότητ των πρμέτρων, τη συμπεριφορά των κτλοίπων κι την τάξη του υποδείγμτος. 3

Θ σχοληθούμε πρώτ με τον έλεγχο των κτλοίπων. Αν το εκτιμώμενο υπόδειγμ είνι το πιο κτάλληλο γι τ δεδομέν μς, ν δηλδή εκφράζει ικνοποιητικά τη διδικσί πό την οποί προέρχοντι τ δεδομέν, τότε τ κτάλοιπ θ πρέπει ν συμπεριφέροντι ως μι διδικσί λευκού θορύβου. Αυτό σημίνει ότι τ κτάλοιπ δε πρέπει ν υτοσυσχετίζοντι. Αυτός ο έλεγχος γι τ κτάλοιπ γίνετι με τη σττιστική Q των Box-Pierce, με την οποί ελέγχετι πό κοινού η σημντικότητ ενός ριθμού συντελεστών υτοσυσχέτισης, έστω m. Η μηδενική υπόθεση τότε, θ είνι: H ρ ρ ρ, : m όπου ρ i, i,,, m είνι οι συντελεστές συσχέτισης των κτλοίπων. Η σττιστική Q των Box-Pierce ορίζετι ως: m ˆ BP, όπου ˆ Q T ρ κι ρ είνι οι δειγμτικές υτοσυσχετίσεις των κτλοίπων T ο ριθμός των πρτηρήσεων. Συνήθως, ο ριθμός των υτοσυσχετίσεων των κτλοίπων ισούτι με την τετργωνική ρίζ του ριθμού των πρτηρήσεων, δηλδή ισχύει m T. Η σττιστική Q BP κολουθεί την X κτνομή με m q βθμούς ελευθερίς. Η μηδενική υπόθεση πορρίπτετι ν η τιμή της QBP είνι μεγλύτερη πό την κρίσιμη τιμή της κτνομής σημντικότητς. Με λίγ λόγι ισχύουν τ εξής: X, γι δεδομένο επίπεδο Απόρριψη Αποδοχή, ν H, ν H Q BP > X Q BP X Μι τροποποιημένη μορφή της σττιστικής των Box-Pierce είνι η σττιστική των Ljung κι Box, η οποί ορίζετι ως: Q LB ( ) T T m ˆ ρ T Κι υτή η σττιστική κολουθεί προσεγγιστικά την X κτνομή με m q βθμούς ελευθερίς. Κι εδώ πορρίπτετι η μηδενική υπόθεση ότν Q LB > X γι δεδομένο επίπεδο σημντικότητς. Η σττιστική Q LB θεωρείτι περισσότερο 33

κτάλληλη γι μικρά δείγμτ. Γι μεγάλ δείγμτ δεν υπάρχει διφορά νάμεσ στις δύο σττιστικές. Στη συνέχει θ σχοληθούμε με τον έλεγχο της τάξης του υποδείγμτος. Αυτός ο έλεγχος γίνετι με μι διδικσί που ονομάζετι υπερπροσρμογή (overfiing). Σύμφων με υτή τη διδικσί ο έλεγχος της κτλληλότητς του εκτιμημένου υποδείγμτος γίνετι συγκρίνοντάς το με έν άλλο υπόδειγμ μεγλύτερης τάξης. Με λίγ λόγι το εκτιμημένο υπόδειγμ ARMA (, q) θ συγκριθεί με τ υποδείγμτ ARMA (, q κι ARMA ) (, q ) της μέσως επόμενης τάξης. Αν το εκτιμημένο υπόδειγμ είνι τελικά το κτλληλότερο γι τ δεδομέν μς, δηλδή ν περιγράφει τη διδικσί πό την οποί πράχθηκν τ δεδομέν, θ πρέπει οι επιπλέον συντελεστές στ μεγλύτερ υποδείγμτ ν μην είνι σττιστικά διφορετικοί πό το μηδέν. Αν υτοί οι συντελεστές δεν είνι μηδέν, τότε θ υπάρχει κάποιο άλλο υπόδειγμ που ν είνι πιο κτάλληλο γι τ δεδομέν μς, π ότι το εκτιμημένο. Τέλος, θ νφέρουμε κάποι κριτήρι που μς βοηθούν ν επιλέξουμε το κτάλληλο υπόδειγμ. Είνι προφνές ότι ν υξήσουμε την τάξη του υποδείγμτος προσθέτοντς υστερήσεις είτε γι το υτοπλίνδρομο τμήμ είτε γι το τμήμ κινητού μέσου, θ μειώνετι το άθροισμ των τετργώνων των κτλοίπων, λλά τυτόχρον θ μειώνοντι κι οι βθμοί ελευθερίς φού εκτιμώντι περισσότερες πράμετροι. Δυο κριτήρι που χρησιμοποιούντι ευρέως στην νάλυση χρονολογικών σειρών είνι το κριτήριο πληροφοριών Akaike (Akaike Informaion Crierion) ή λλιώς AIC κι το Μπϊεσινό κριτήριο Schwarz (Schwarz Bayeian Crierion) ή λλιώς SBC. Τ κριτήρι υτά ορίζοντι ως εξής: ˆ ε AIC ln T k T ˆ ε k SBC ln lnt T T όπου ˆ ε T : το άθροισμ των τετργώνων των κτλοίπων : ο ριθμός των πρτηρήσεων κι k : ο ριθμός των πρμέτρων που εκτιμούντι ( q ) 34

Κι τ δύο κριτήρι επιβάλλουν κάποι ποινή γι τη μείωση του θροίσμτος των τετργώνων των κτλοίπων ˆ ε που επιτυγχάνετι με την προσθήκη υστερήσεων. Η ποινή υξάνει με τον ριθμό των πλινδρομητών μεγλύτερη ποινή πό το κριτήριο AIC γι κι επομένως k. Το κριτήριο SBC επιβάλλει T 7, πό τη στιγμή που πάντ ln T > k k < lnt. Τελικά, σν συμπέρσμ, με βάση υτά τ δύο κριτήρι, T T βγίνει ότι θ επιλέγετι το υπόδειγμ με τη μικρότερη τιμή. Ο κύριος σκοπός της εξειδίκευσης κι εκτίμησης ενός υποδείγμτος ARIMA που νφέρμε προηγουμένως πώς γίνετι, είνι ν μπορούμε ν κάνουμε βρχυχρόνιες προβλέψεις. Δηλδή, με βάση το εκτιμημένο υπόδειγμ κι τις υπάρχουσες πληροφορίες μέχρι τη χρονική περίοδο T, ν γίνει η πρόβλεψη της τιμής της γι κάποι μελλοντική τιμή της, γι πράδειγμ τη χρονική περίοδο T, T, κ.τ.λ. κι γενικότερ ν γίνει πρόβλεψη στην περίοδο Th. Στη συνέχει, θ δούμε πώς μπορούμε ν κάνουμε προβλέψεις κι στ τέσσερ είδη υποδειγμάτων που νφέρμε, δηλδή τ υτοπλίνδρομ, τ υποδείγμτ κινητού μέσου, τ μεικτά υποδείγμτ, κθώς κι στ ARIMA. Έστω το υπόδειγμ AR () : Γι ε T το υπόδειγμ γίνετι: ε T Αν οι πράμετροι κι είνι γνωστές, τότε με βάση τις πληροφορίες που έχουμε μέχρι την περίοδο T, μι πρόβλεψη γι την περίοδο T θ είνι η υπό συνθήκη προσδοκώμενη τιμή της. Αν θέσουμε ως ˆT την πρόβλεψη, τότε: ( ) κι γι ν γενικεύσουμε, θ ισχύει: E ( ) E ˆT T T μι πρόβλεψη h ˆT h T T h που θ ποτελεί περιόδους μπροστά με βάση τις πληροφορίες που έχουμε μέχρι την περίοδο T. Αυτή η πρόβλεψη που ελχιστοποιεί την ποσότητ E ˆ, δηλδή ελχιστοποιεί το μέσο του τετργώνου του σφάλμτος (Mean Square Error), θεωρείτι άριστη πρόβλεψη (oimal foreca). Γενικά, γι τις προβλέψεις που γίνοντι h ( ) T T h T h περιόδους μπροστά ισχύουν τ εξής: 35

ˆ ˆ T h T h ( ) ˆ ( h ) ( ) 4 V εt h σ Από την τελευτί σχέση είνι φνερό ότι η δικύμνση του σφάλμτος πρόβλεψης υξάνει μη γρμμικά, κθώς υξάνει η περίοδος πρόβλεψης. Έστω το υπόδειγμ MA ( ) : μ ε θ ε Η πρόβλεψη γι την περίοδο T, όπως κι προηγουμένως θ είνι: E ( ) ˆT T T Γενικά, γι προβλέψεις ˆT h μ ( ˆ ) ( T h ) V ε σ θ h > περιόδους μπροστά ισχύει: Από την τελευτί σχέση είνι φνερό ότι έν υπόδειγμ κινητού μέσου πρώτης τάξης είνι κτάλληλο γι προβλέψεις μόνο μι περίοδο μπροστά, φού γι πρόβλεψη θ είνι πάντοτε ο μέσος. h > η Γι Έστω το υπόδειγμ ARMA (,) : ε θε T, το υπόδειγμ γίνετι: T T εt θεt Η άριστη πρόβλεψη γι μι χρονική περίοδο μπροστά θ είνι: ( ε θε ) E ή ˆT T θε T ˆT T T T Το σφάλμ πρόβλεψης κι η δικύμνσή του θ δίνοντι πό τις κόλουθες σχέσεις: ε ˆ ε ˆT T T T V ( ε ) V( ε ) σ ˆT T Μπορούμε ν κάνουμε προβλέψεις γι Έστω το υπόδειγμ ARIMA (,, ): w w h περιόδους μπροστά ε, όπου w Δ 36

Πίρνουμε τις πρώτες διφορές οι οποίες είνι AR() γι ν γίνει στάσιμη η μη στάσιμη σειρά. Οπότε, θ γίνει πρόβλεψη γι τη διφορά w κι στη συνέχει θ γίνει πρόβλεψη της. Η άριστη πρόβλεψη γι την w w ˆT T w T είνι: Η πρόβλεψη τώρ γι την ρχική σειρά, δηλδή η πρόβλεψη γι την T θ είνι: ( ) ( ) ˆ wˆ w T T T T T T T T T T Γενικά, η πρόβλεψη γι ˆ wˆ wˆ wˆ T h T T T T h h περιόδους μπροστά θ είνι: Στη συνέχει, θ νφέρουμε το διάστημ εμπιστοσύνης που μπορεί ν διτυπωθεί γύρω πό την προβλεπόμενη τιμή με βάση τη δικύμνση του σφάλμτος πρόβλεψης. Έστω ότι συμβολίζουμε με τη δικύμνση του σφάλμτος πρόβλεψης. Τότε, το διάστημ εμπιστοσύνης γι την πργμτική τιμή, περιόδους μπροστά θ είνι: σ h ˆ z σ ˆ z σ T h h T h T h h Η δικύμνση είνι άγνωστη, οπότε θ βρούμε μι εκτίμησή της πό το άθροισμ των τετργώνων των κτλοίπων, η οποί θ είνι: ˆ T i σ ˆ ε i T q Επομένως, ν ντικτστήσουμε υτή την εκτίμηση στη θέση της δικύμνσης σ, θ έχουμε μι εκτίμηση της. σ h Αυτό το διάστημ εμπιστοσύνης που υπολογίστηκε, είνι έν κλό κριτήριο σχετικά με την κρίβει της πρόβλεψης. Δηλδή, το πόσο κοντά βρίσκοντι οι προβλεπόμενες πό το εκτιμημένο υπόδειγμ τιμές με τις πργμτικές τιμές. Μπορούμε όμως, ν συγκρίνουμε τις προβλεπόμενες με τις πργμτικές τιμές γι την περίοδο γι την οποί έχουμε στοιχεί. Γι υτή την ξιολόγηση της προβλεπτικής ικνότητς του υποδείγμτος, υπάρχουν διάφορ κριτήρι. Τ κυριότερ πό υτά είνι: Ρίζ του μέσου τετργώνου του σφάλμτος (Roo Mean Square Error): h 37

M f a Έστω η ποσότητ: RMSE ( ) M Όπου: f a είνι οι προβλεπόμενες τιμές είνι οι πρτηρούμενες τιμές M είνι ο ριθμός των χρονικών περιόδων Μέσο πόλυτο σφάλμ (Mean Abolue Error): MAE M M f a Μέσο πόλυτο ποσοστιίο σφάλμ (Mean Abolue Percenage Error): MAPE M M f a a Συντελεστής νισότητς του Theil (Theil Inequaliy Coefficien): Αυτός ο συντελεστής ορίζετι ως εξής: U M M f a ( ) M M a ( ) () Ο συντελεστής νισότητς U είνι νεξάρτητος πό τις μονάδες μέτρησης, σε ντίθεση με τ προηγούμεν κριτήρι που εξρτώντι πό τις μονάδες μέτρησης, κι επομένως θ είνι ο πιο κτάλληλος γι τη σύγκριση της προβλεπτικής ικνότητς του υποδείγμτος. Η τιμή του U είνι μηδέν, ν οι προβλεπόμενες τιμές συμπίπτουν πόλυτ με τις πργμτικές. Στην περίπτωση που το U είνι μεγλύτερο της μονάδς οι προβλέψεις τότε είνι πολύ κκές. Τέλος, ν ο συντελεστής U ισούτι με τη μονάδ όλες οι προβλέψεις θ είνι μηδέν. Η περίπτωση υτή έχει περισσότερο νόημ ότν γι τον υπολογισμό του U δε χρησιμοποιούντι οι ρχικές τιμές των f κι a, λλά οι μετβολές πό την προηγούμενη περίοδο. Σε υτή την 38

περίπτωση ν U τότε υτό θ σημίνει ότι οι προβλεπόμενες μετβολές είνι μηδέν, δηλδή θ συνεχιστεί η υπάρχουσ κτάστση. Τ πρπάνω γράφοντι σύντομ ως εξής:, οι προβλεπόμενες τιμές συμπίπτουν πόλυτ U: >, πολύ κκές προβλέψεις, οι προβλέψεις είνι μηδέν Μι πρτήρηση που μπορούμε ν κάνουμε στη συνέχει, είνι ότι ο συντελεστής νισότητς U μπορεί ν δισπστεί σε τρεις συνιστώσες, κθεμιά πό τις οποίες ν εκφράζει μι πηγή ή ιτί της νκρίβεις των προβλέψεων. Αυτό γίνετι υψώνοντς στο τετράγωνο κι τ δύο μέλη της σχέσης (), οπότε θ προκύψει η σχέση: U M M M M f a ( ) a ( ) (). Ο ριθμητής υτής της σχέσης είνι ο μέσος του τετργώνου του σφάλμτος κι προσθφιρώντς τους μέσους των f κι [( ) ( ) ( ] f f a a f a a θ προκύψει: M MSE ) ή λλιώς M f a f a f a ( ) ( σ σ ) ( ρ) σ σ MSE όπου: f είνι ο μέσος των προβλεπόμενων τιμών a είνι ο μέσος των πργμτικών τιμών f σ a σ είνι η τυπική πόκλιση των είνι η τυπική πόκλιση των f a ρ είνι ο συντελεστής συσχέτισης των f κι a Ο πρώτος όρος στη σχέση υτή, δηλδή το τετράγωνο της διφοράς των μέσων, ποτελεί έν μέτρο μεροληψίς. Ο δεύτερος όρος, δηλδή το τετράγωνο της διφοράς των δικυμάνσεων, ποτελεί έν μέτρο της άνισης μετβλητικότητς των 39

f a κι. Τέλος, ο τρίτος όρος περιέχει το συντελεστή υτοσυσχέτισης κι μπορεί ν θεωρηθεί ως έν μέτρο της τελούς συμμετβλητικότητς των f a κι. Η σχέση υτή, διιρώντς κι τ δύο μέλη της με το MSE, μπορεί ν γρφεί κι ως: f a f a ( ) ( σ σ ) ( ρ ) MSE MSE f a σ σ MSE ενώ η σχέση (), γίνετι: U f a f a ( ) ( σ σ ) ( ρ ) A A f a σ σ A M a, όπου A ( ) Ο τρίτος όρος στις πρπάνω σχέσεις πριστάνει τον τυχίο πράγοντ που δεν μπορεί ν ποφευχθεί, ενώ οι δύο πρώτοι όροι πριστάνουν συστημτικά σφάλμτ που πρέπει ν ποφεύγοντι. Το ιδνικό θ ήτν οι δύο πρώτοι όροι ν ήτν μηδέν, κι η μόνη ιτί σφάλμτος ν ήτν το μη συστημτικό (τυχίο) μέρος. M. Μέχρι τώρ εξετάσμε τις βσικές τεχνικές νάλυσης στάσιμων χρονολογικών σειρών, λλά κι μη στάσιμων που μεττρέποντι σε στάσιμες με τη χρήση των διφορών. Στη συνέχει θ σχοληθούμε με την επίλυση του προβλήμτος που προκύπτει στ υποδείγμτ πλινδρόμησης ότν χρησιμοποιούντι σειρές που δεν είνι στάσιμες. Αν οι μετβλητές της χρονολογικής σειράς δεν είνι στάσιμες, οι εκτιμητές που προκύπτουν πό τη μέθοδο των ελχίστων τετργώνων δε θ είνι συνεπείς, με ποτέλεσμ ο σττιστικός έλεγχος ν μην είνι έγκυρος. Γνωρίζουμε ότι τ ποτελέσμτ πό την εκτίμηση μις πλινδρόμησης νάμεσ σε δύο ή περισσότερες μετβλητές ξιολογούντι με βάση τ συνηθισμέν σττιστικά κριτήρι, όπως τ R,, ή F. Η ξιολόγηση υτή όμως θ είνι έγκυρη μόνο ν οι μετβλητές μς είνι στάσιμες. Επομένως, στην περίπτωση που οι μετβλητές δεν είνι στάσιμες, τ σττιστικά ποτελέσμτ που θ πάρουμε πό υτά τ κριτήρι μπορεί ν είνι πολύ ικνοποιητικά, δηλδή ν έχουμε υψηλή τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R κι σημντικές τιμές του, λλά ν μην έχουν κμί ουσιστική σημσί. Αυτό σημίνει ότι η πρτηρούμενη σττιστικά σημντική σχέση νάμεσ 4

στις μετβλητές μπορεί ν οφείλετι στην συνέπει των εκτιμητών κι ν μη συνεπάγετι νγκστικά κι την ύπρξη ιτιώδους σχέσης νάμεσ στις μετβλητές. Αυτό το ποτέλεσμ περιγράφετι με τον όρο φινομενική πλινδρόμηση (uriou regreion), σύμφων με τους Granger κι Newbold. Οι οικονομικές χρονολογικές σειρές χρκτηρίζοντι συνήθως πό τάση (rend) η οποί τις κθιστά μη στάσιμες(ολοκληρωμένες). Με τον όρο τάση εννοούμε τη συνεχή, διχρονική ύξηση ή μείωση των τιμών μις χρονολογικής σειράς. Οπότε, ν μι μετβλητή χρκτηρίζετι πό τάση, ο μέσος κι ίσως κι η δικύμνσή της θ μετβάλλοντι με το χρόνο, πράγμ που σημίνει ότι η σειρά δεν είνι στάσιμη. Αυτό συνεπάγετι ότι η πρτηρούμενη σχέση νάμεσ σε δύο μετβλητές μπορεί ν μην είνι πργμτική λλά φινομενική. Μι συνηθισμένη πρκτική γι ν ντιμετωπιστεί υτό το πρόβλημ είνι ν συμπεριλάβουμε στο υπόδειγμ το χρόνο ως μι ερμηνευτική μετβλητή, φού με την εισγωγή του χρόνου ως νεξάρτητη μετβλητή πλείφουμε την τάση πό τ δεδομέν. Αυτή η μέθοδος είνι γνωστή ως derending κι θεωρείτι έγκυρη μόνο στην περίπτωση που η χρονολογική σειρά είνι στάσιμη ως προς την τάση (rend aionary ή TSP) κι όχι στάσιμη ως προς τις διφορές (difference aionary ή DSP). Στάσιμη ως προς την τάση θεωρείτι μι σειρά ότν κθίσττι στάσιμη φιρώντς την τάση, ενώ στάσιμη ως προς τις διφορές θεωρείτι μι σειρά ότν κθίσττι στάσιμη με τη χρήση των διφορών. Θ δούμε στη συνέχει, δύο πρδείγμτ υποδειγμάτων, που το έν είνι στάσιμο ως προς την τάση, ενώ το άλλο είνι στάσιμο ως προς τις διφορές. a. Έστω το υπόδειγμ: β β u, όπου είνι λευκός θόρυβος u Η εκτιμημένη σειρά των κτλοίπων η οποί θ προκύψει πό τη μέθοδο των ελχίστων τετργώνων θ είνι η: u ˆ ˆ ˆ β β κι είνι λευκός θόρυβος, που όπως γνωρίζουμε είνι στάσιμη σειρά. Τ κτάλοιπ uˆ εκφράζουν τη μετβλητή πό την οποί έχει φιρεθεί η τάση. Επομένως, η σειρά στάσιμη ως προς την τάση. του υποδείγμτος είνι b. Έστω τώρ το υπόδειγμ: 4

u Η σειρά των πρώτων διφορών θ είνι: Δ u Όπως γνωρίζουμε, η σειρά υτή είνι στάσιμη. Οπότε, η σειρά υτού του υποδείγμτος είνι μι σειρά στάσιμη ως προς τις διφορές. Το πρόβλημ που προυσιάζετι είνι ότι στην πράξη δεν είνι εύκολος ο διχωρισμός τους, γιτί επιδεικνύουν πρόμοι συμπεριφορά. Ότν η τάση που χρκτηρίζει μι χρονολογική σειρά είνι της μορφής του πρώτου υποδείγμτος ονομάζετι προσδιοριστική (deerminiic), με την έννοι ότι είνι πόλυτ προβλέψιμη κι δεν μετβάλλετι. Αντίθετ, η τάση που χρκτηρίζει το δεύτερο υπόδειγμ ονομάζετι στοχστική (ochaic), με την έννοι ότι μετβάλλετι. Επομένως, ότν η τάση είνι προσδιοριστική κι γίνετι πλοιφή της τάσεως με την εισγωγή του χρόνου ως ερμηνευτικής μετβλητής, δεν εμφνίζετι το πρόβλημ της φινομενικής πλινδρόμησης. Η πλινδρόμηση θ είνι φινομενική ότν οι σειρές χρκτηρίζοντι πό στοχστική τάση. Σε υτή την περίπτωση θ πρέπει ν χρησιμοποιούντι οι πρώτες διφορές. Είδμε προηγουμένως πώς γίνετι έλεγχος στσιμότητς χρονολογικών σειρών με τη βοήθει της δειγμτικής συνάρτησης υτοσυσχέτισης. Ένς άλλος τρόπος που χρησιμοποιείτι ευρύττ στην νάλυση χρονολογικών σειρών είνι οι έλεγχοι μονδιίς ρίζς (uni roo e). Υπάρχουν δύο έλεγχοι μονδιίς ρίζς, κι υτοί είνι οι έλεγχοι Dickey-Fuller (Dickey-Fuller e), πό τ ονόμτ των ερευνητών που πρότεινν τους πρώτους ελέγχους υτού του είδους, κι οι έλεγχοι Philli- Perron. Στη συνέχει, θ εξετάσουμε νλυτικά τους πρπάνω ελέγχους. Έστω ότι μι δεδομένη οικονομική χρονολογική σειρά,μπορεί ν περιγρφεί με το AR() υπόδειγμ: u Η σειρά θ είνι στάσιμη ν < <. Αν, η σειρά δε θ είνι στάσιμη. Με τον έλεγχο Dickey-Fuller γίνετι έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης H : ένντι της ενλλκτικής H :. Με λίγ λόγι, γίνετι έλεγχος γι την ύπρξη μονδιίς ρίζς, που συνεπάγετι μη στσιμότητ. Ο πιο πλός τρόπος γι ν ελεγχθεί υτή η υπόθεση είνι ν εκτιμηθεί το υτοπλίνδρομο υπόδειγμ με τη 4

μέθοδο των ελχίστων τετργώνων κι στη συνέχει, ν γίνει ο συνήθης έλεγχος με την κτνομή. Όμως, το πρόβλημ εδώ είνι ότι ν ισχύει η μηδενική υπόθεση ο έλεγχος υτός δεν είνι έγκυρος, γιτί σε υτή την περίπτωση οι κτνομές του ή του F δε συμπίπτουν με τις γνωστές κτνομές ή F, κι επομένως οι κρίσιμες τιμές τους δε θ είνι κτάλληλες γι τον έλεγχο της υπόθεσής μς. Έν κόμ πρόβλημ είνι ότι, ο εκτιμητής του, ο ˆ, που θ προκύψει πό τη μέθοδο των ελχίστων τετργώνων δε θ έχει τις επιθυμητές ιδιότητες, κι συγκεκριμέν θ είνι μεροληπτικός κι συνεπής. Λύση στ πρπάνω προβλήμτ έδωσν οι Dickey κι Fuller κάνοντς επνπρμετροποίηση (rearameerizaion) του υποδείγμτος ως εξής: u Αφιρούμε την ποσότητ κι πό τ δύο μέλη, οπότε έχουμε:, ή λλιώς u Δ β, όπου β. u Αυτή η διδικσί έγινε γιτί τώρ ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης H : μεττράπηκε σε έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H : β. Ο έλεγχος υτής της μηδενικής υπόθεσης μπορεί ν γίνει με τη βοήθει των πινάκων της κτνομής που κτσκεύσν οι Dickey-Fuller. Γι διάκριση, οι κρίσιμες τιμές υτής της κτνομής συμβολίζοντι με το ελληνικό γράμμ τ. Ο έλεγχος είνι ως εξής: Αν τ >, τότε ποδεχόμστε τη μηδενική υπόθεση ότι β, οπότε κτλήγουμε στο συμπέρσμ ότι η σειρά δεν είνι στάσιμη. Διφορετικά, ν τ, τότε πορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση κι συμπερίνουμε ότι η σειρά είνι στάσιμη. Αν μετά πό υτόν τον έλεγχο κτλήξουμε στο συμπέρσμ ότι η σειρά δεν είνι στάσιμη, υτό δεν σημίνει ότι η σειρά των πρώτων διφορών πρέπει ν επνλάβουμε τον έλεγχο στη σειρά Δ θ είνι οπωσδήποτε στάσιμη. Θ Δ, κι ν ούτε υτή είνι στάσιμη θ συνεχίσουμε τον έλεγχο στις δεύτερες, τρίτες, κ.ο.κ. διφορές, μέχρις ότου ν πορριφθεί η υπόθεση της μη στσιμότητς. Έστω τώρ ότι στο ρχικό υτοπλίνδρομο υπόδειγμ πρώτης τάξης προσθέσουμε στθερό όρο, έστω δ. Τότε, το υπόδειγμ θ γίνει: 43

δ u κι το μετσχημτισμένο υπόδειγμ θ είνι: Δ δ β, όπου β. u Σε υτό το υπόδειγμ, ο έλεγχος γι την ύπρξη μονδιίς ρίζς γίνετι κριβώς με τον ίδιο τρόπο που γίνετι κι ο έλεγχος στο υπόδειγμ που δεν έχει στθερό όρο, με τη μόνη διφορά ότι σε υτή την περίπτωση οι κρίσιμες τιμές της τ είνι διφορετικές. Οι Dickey-Fuller πρέχουν επίσης, πίνκ με τροποποιημένες τιμές της κτνομής F γι τον έλεγχο της πό κοινού υπόθεσης H : δ β. Οι τιμές υτές πριστάνοντι με Φ. Αυτός ο έλεγχος της μονδιίς ρίζς των Dickey-Fuller που εφρμόσμε σε έν υτοπλίνδρομο υπόδειγμ πρώτης τάξης, μπορεί επίσης ν εφρμοστεί κι στη γενική περίπτωση μις AR ( ) διδικσίς. Ως γνωστόν, έν υτοπλίνδρομο υπόδειγμ τάξης διτυπώνετι ως εξής: δ u κι η τροποποιημένη του μορφή θ είνι: Δ δ β Δ Δ Δ u * * * όπου Δ Δ κ.τ.λ. 3 κι β ( ) επίσης, *, γι j j,,,, είνι συνρτήσεις των ρχικών συντελεστών i γι i,,,. Ο έλεγχος γι την ύπρξη μονδιίς ρίζς, γι το ν δηλδή η σειρά είνι στάσιμη ή όχι, θ γίνει με τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H : β ένντι της ενλλκτικής H : β. Γι ν γίνει υτός ο έλεγχος θ εκτιμηθεί το τροποποιημένο υπόδειγμ με τη μέθοδο των ελχίστων τετργώνων. Η πόρριψη της μηδενικής υπόθεσης συνεπάγετι ότι η σειρά είνι στάσιμη. Διφορετικά, ν την ποδεχτούμε η σειρά θ είνι μη στάσιμη. Ο έλεγχος υτός γι την ύπρξη μονδιίς ρίζς σε υτοπλίνδρομ υποδείγμτ τάξεως > είνι γνωστός ως επυξημένος έλεγχος Dickey-Fuller (Augmened Dickey-Fuller e). 44

Ο έλεγχος Dickey-Fuller μπορεί ν εφρμοστεί κι στην περίπτωση που στο υπόδειγμ περιλμβάνετι κι ο χρόνος ως ερμηνευτική μετβλητή. Δηλδή, στο υπόδειγμ της μορφής: δ β γ u Θ φιρέσουμε πό τ δύο μέλη το, όπως κι προηγουμένως, οπότε θ προκύψει η σειρά: Δ δ β γ, όπου β β u Αν β κι γ, τότε η σειρά που σχημτίστηκε χρκτηρίζετι πό στοχστική κι όχι προσδιοριστική τάση, επομένως είνι στάσιμη ως προς τις διφορές. Στη συνέχει μπορεί ν γίνει ο έλεγχος γι την ύπρξη μονδιίς ρίζς με τον τρόπο που περιγράφηκε προηγουμένως. Επίσης, η μέθοδος Dickey-Fuller μπορεί ν εφρμοστεί κι γι τον έλεγχο της πό κοινού υπόθεσης H : β γ, χρησιμοποιώντς τις τροποποιημένες τιμές της κτνομής. Τέλος, με υτή τη μέθοδο γίνετι επίσης ο έλεγχος της υπόθεσης ότι όλοι οι συντελεστές του υποδείγμτος είνι μηδέν, δηλδή ο έλεγχος F H : δ β γ. Οι τιμές της σττιστικήςτ γι τον έλεγχο της μονδιίς ρίζς σε μι χρονολογική σειρά εξρτώντι πό τη μορφή της εξίσωσης Dickey-Fuller, δηλδή ν στην πλινδρόμηση περιλμβάνετι στθερός όρος ή ο χρόνος συμπεριλμβάνετι ως πλινδρομητής. Αυτά τ δύο είνι πιθνό ν συμβίνουν τυτόχρον. Οι κρίσιμες τιμές της τ υξάνουν στην περίπτωση που προστίθετι στθερός όρος ενώ, γίνοντι κόμ μεγλύτερες ότν προστίθετι κι χρονική τάση με την είσοδο του χρόνου. Τ ποτελέσμτ του ελέγχου γι την ύπρξη μονδιίς ρίζς εξρτώντι άμεσ πό την εξειδίκευση της εξίσωσης Dickey-Fuller επομένως, ν η εξειδίκευση δεν είνι σωστή δε θ εκφράζει τη στοχστική διδικσί που πρήγγε τ δεδομέν, κι τελικά θ κτλήξουμε σε λνθσμέν συμπεράσμτ. Στη συνέχει, θ νφέρουμε τη διδικσί που πρέπει ν κολουθηθεί έτσι ώστε ν γνωρίζουμε πότε η εξίσωση πλινδρόμησης θ πρέπει ν περιλμβάνει στθερό όρο ή/ κι χρονική τάση, στην περίπτωση φυσικά που η μορφή της στοχστικής διδικσίς που πρήγγε τ δεδομέν είνι άγνωστη. Η διδικσί περιλμβάνει πέντε βήμτ τ οποί θ νπτύξουμε νλυτικά πρκάτω: 45