ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, < <, > <, <, <, > >, Είδος κίνησης Φορά κίνησης Φορά δινύσµτος >, > >, < <, > <, <, <, > >, Είδος κίνησης Εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη Εθύγρµµη οµλά επιβρδνόµενη Εθύγρµµη οµλά επιβρδνόµενη Εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη Εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη Εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη Εθύγρµµη οµλή κίνηση Φορά κίνησης Θετική Θετική ρνητική ρνητική ρνητική Θετική Φορά δινύσµτος Θετική - -
ΣΚΗΣΗ Έν κινητό κινείτι πάνω σε µι εθεί γρµµή εκτελώντς τις κινήσεις το πρκάτω σχήµτος. 3 θ Ε Ε θ 4 3 4 5 5 3. Ν βρείτε τ είδη των κινήσεων.. Ν σγκρίνετε τις µεττοπίσεις το τ χρονικά διστήµτ - κι - 3. Γ. Ν γίνον ποιοτικά τ διγράµµτ - κι x - (δίνετι x ).. πό - sec: το κινητό εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη κίνηση µε ρχική τχύτητ διότι η τχύτητ ξάνετι γρµµικά µε το χρόνο πό - sec: το κινητό εκτελεί εθύγρµµη οµλή κίνηση διότι η τχύτητά το πρµένει στθερή πό - 3 sec: το κινητό εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη κίνηση µε ρχική τχύτητ διότι η τχύτητ ξάνετι γρµµικά µε το χρόνο. πό 3-4 sec: το κινητό εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιβρδνόµενη κίνηση διότι η τχύτητ µειώνετι γρµµικά µε το χρόνο. πό 4-5 sec: το κινητό εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη κίνηση προς τ ρνητικά µε την ρχική τχύτητ.. Γνωρίζοµε ότι η µεττόπιση σε διάγρµµ - ισούτι µε το εµβδόν πο περικλείετι µετξύ της γρµµικής πράστσης το άξον των χρόνων. Πρτηρούµε ότι Ε < Ε άρ x < x. Γ. < διότι γι τις κλίσεις των εθειών, 3 ισχύει θ < θ. Οµοίως κι γι τις 4, 3 4 3 4 5 3 - -
Ο σχεδισµός το διγράµµτος x - έγινε µε βάση τ εµβδά γι κάθε κίνηση. x 3 4 5-3 -
ΣΚΗΣΗ 3 Ποιες πό τις πρκάτω προτάσεις πο φορούν το διπλνό σχήµ είνι σωστές; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. ) T µ m g β) Ν Fy - B γ) T µ (B - Fy) δ) F - T m Τ Ν F νλύοµε την F η οποί σχηµτίζει γωνί µε τον άξον x x (διεύθνση κίνησης) Τ Fy Ν F Fx Ισχύον ΣFx m κι ΣFy Fx - T m Ν + Fy B πό την κτλβίνοµε ότι η πάντηση (δ) είνι λάθος. πό την N B - Fy. Άρ κι η πάντηση (β) είνι λάθος. () Η τριβή δίνετι πό τον τύπο Τ µ Ν Τ µ( - Fy). Άρ η πάντηση (γ) είνι σωστή κι η () είνι λνθσµένη. - 4 -
ΣΚΗΣΗ 4 ύο σώµτ Σ, Σ εκτελούν οµλή κκλική κίνηση µε την ίδι σχνότητ f. ν γι τις κτίνες της τροχιάς τος ισχύει R > R ν σγκρίνετε:. Τις γρµµικές τος τχύτητες.. Τις γωνικές τος τχύτητες. Γ. Τις κεντροµόλος τος επιτχύνσεις.. Γνωρίζοµε ότι η γρµµική τχύτητ ενός σώµτος πο εκτελεί οµλή κκλική κίνηση δίνετι πό τον τύπο: πr T Άρ κι πrf T f ιιρώντς R R πrf R > Ισχύει > πr f κτάµέλη R. Ισχύει ω πf. Άρ ω ω. (πrf ) 4π R f Γ. Ισχύει κ κ κ κ 4π Rf R R R (Φέρµε την κ στην τελική µορφή διότι στη σχέση κ είνι διφορετικά κι τ δύο µεγέθη, R.) R κ 4π R f R R > κ R Άρ: κ > κ κ 4π R κ R f - 5 -
ΣΚΗΣΗ 5 ύο ίσες µάζες m m m κινούντι οριζόντι µε τχύτητες ίσων µέτρων κι ντίθετης φοράς. Οι µάζες σγκρούοντι κι µετά την κρούση κινούντι σν έν σώµ. Ν ντιστοιχίσετε κτάλληλ τ στοιχεί των πρκάτω στηλών κι ν ιτιολογήσετε τις επιλογές σς. Στήλη. η τιµή της ορµής το σστήµτος πριν την κρούση. Η τιµή της ορµής το σστήµτος µετά την κρούση 3. Η τιµή της µετβολής της ορµής το σστήµτος κτά την κρούση 4. Η τιµή της µετβολής της ορµής της µάζς m κτά την κρούση Στήλη. - m. µηδέν Γ. m. m. Η τιµή της ορµής το σστήµτος πριν την κρούση είνι: r r r (+) P P + P m m Άρ - () P P P πριν πριν πριν πριν m m m m. Γι την τιµή της ορµής το σστήµτος µετά την κρούση, εφόσον το σύστηµ µς είνι µονωµένο, ισχύει η ρχή διτήρησης της ορµής. r r r r P P P Ρ Εποµένως - () πριν µετά µετά µετά 3. Η τιµή της µετβολής της ορµής το σστήµτος είνι: r r r Ρ Ρ Ρ. Άρ 3 - () πριν µετά 4. Η τιµή της µετβολής της ορµής της µάζς m είνι: r r r Ρ Ρ Ρ ( m ) m m. () µετά () πριν Άρ 4 - ( ) - 6 -
ΣΚΗΣΗ 6 ύο σώµτ µε µάζες m, m µε m m κινούντι µε τχύτητες, όπο. ν στ δύο σώµτ σκείτι ίδι δύνµη, ντίθετη µε τη φορά κίνησης, ν σγκρίνετε τις ποστάσεις πο θ δινύσον µέχρι ν στµτήσον. F F πό το θεώρηµ της κινητικής ενέργεις έχοµε: ο σώµ: K τελ Κ ο σώµ: K τελ Κ ρχ ρχ W F W F K K F X F Χ K K F X F Χ m m + F X + F Χ ιιρώντς κτά µέλη τις, έχοµε: m F Χ m x m F Χ m x m m () 4 Χ Χ Χ 4 Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ - 7 -
ΣΚΗΣΗ 7 Τρεις όµοιες σφίρες εκτελούν τις κινήσεις το σχήµτος. Ποι θ φθάσει στο έδφος µε µεγλύτερη τχύτητ; (οι ντιστάσεις το έρ πρλείποντι) β γ h U Ρ Επειδή κι στις τρεις περιπτώσεις η µόνη δύνµη πο σκείτι στις σφίρες είνι το βάρος, η οποί είνι σντηρητική δύνµη, ισχύει η ρχή διτήρησης της µηχνικής ενέργεις. E Ε Κ U Κ + U MHX (ΡΧ) ΜΗΧ (ΤΕΛ) m ρχ + ρχ τελ τελ m m + mgh m + mgh + gh + + gh Άρ κι οι τρεις σφίρες θ φτάσον στο έδφος µε την ίδι τχύτητ. - 8 -
. ΠΡΟΛΗΜΤ ΣΚΗΣΗ Ο οδηγός ενός τοκινήτο πο κινείτι εθύγρµµ διέρχετι πό έν σηµείο κι επιβρδύνει µε στθερή επιβράδνση 5 m/s. ν η µεττόπιση το τοκινήτο πό τη στιγµή πο άρχισε η επιβρδνόµενη κίνηση µέχρι τη στιγµή πο η τχύτητά το µηδενίζετι είνι 4 m ν βρείτε:. Την τιµή της τχύτητς το τοκινήτο στο σηµείο.. Την τχύτητά το ότν διέρχετι πό έν σηµείο το οποίο πέχει m πό το. Γ. Την µεττόπισή το ότν η τχύτητά το στο σηµείο ποδιπλσιστεί.. Την τιµή της µεττόπισης το κινητού κτά το δεύτερο δετερόλεπτο της κίνησής το.. Το τοκίνητο εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιβρδνόµενη κίνηση. Ισχύον οι σχέσεις: - κι Χ - Σε Χ 4 m. πό την έχοµε - ντικθιστώντς στη έχοµε: X X X X Οπότε: X X 5 4 4 m / s Άρ η τχύτητ το τοκινήτο στο σηµείο είνι m/s.. Ισχύον - κι Χ - Λύνοµε την ως προς : ντικθιστούµε στην : X X X + X + X X ( ) x + 4 m / s - 9 -
Γ. Ισχύον - κι x - sec ντικθιστούµε στην X 5 X 4 X 3 m. Το δεύτερο δετερόλεπτο της κίνησης το τοκινήτο είνι πό sec έως sec. Οπότε: X X 5 X,5 7,5 m Άρ X X 5 X 4 X X X 37, 5 X,5 m 3 m - -
ΣΚΗΣΗ ύο τοκίνητ κι διέρχοντι ττόχρον τη χρονική στιγµή πό το ίδιο σηµείο Σ µε τχύτητες µέτρων m/s κι m/s, ίδις κτεύθνσης. Το τοκίνητο επιτχύνετι µε επιτάχνση 3 m/s, ενώ το επιβρδύνετι µε επιβράδνση m/s.. Ν βρείτε τη χρονική στιγµή πο τ δύο τοκίνητ σνντιούντι.. Ν πολογίσετε τη µεττόπιση κθενός τοκινήτο πό το σηµείο Σ µέχρι το σηµείο σνάντησής τος. Γ. Ν κάνετε σε κοινό διάγρµµ τις γρφικές πρστάσεις τχύτητς χρόνο κι µεττόπισης χρόνο.. Ν βρείτε την χρονική στιγµή κτά την οποί η τχύτητ το τοκινήτο είνι διπλάσι της. Το σώµ εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη κίνηση οπότε ισχύον: + κι X A +. Το σώµ εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιβρδνόµενη κίνηση οπότε ισχύον: κι X +.. Έστω ότι σνντιούντι τη χρονική στιγµή στο σηµείο Μ. Μ Ισχύει: X A X + 3 B + + 3 + 3 4+ 4 4( 5) (ρχική χρονική στιγµή) ή 5 sec. X A X B + X A 5+ 3 5 5+,5 5 X A 87,5 m B 4 Γ. Γι 5 sec έχοµε: + + 3 5 5 5 x(m) 87,5 5 m / s m / s (m/s) 4 3 5 (s) 5 (s) - -
- -. + ) ( + + + + + 3 4 ) ( 5 3 sec 6
ΣΚΗΣΗ 3 Στο πρκάτω διάγρµµ πριστάνετι η τχύτητ ενός σώµτος σε σνάρτηση µε το χρόνο. (m/s) 3 4. Ν βρείτε τ είδη των κινήσεων κι ν δικιολογήσετε την πάντησή σς.. Ν πολογίσετε την επιτάχνση το σώµτος γι sec. Γ. Ν γίνει το διάγρµµ επιτάχνσης - χρόνο.. Ν βρείτε τη σνολική µεττόπιση κι ν πρστήσετε γρφικά τη µεττόπιση το σώµτος σε κάθε χρονικό διάστηµ. Ε. Ν πολογίσετε τη µέση τχύτητ το σώµτος. Στ. Σε ποι θέση θ βρίσκετι το κινητό γι sec, εάν γι βρίσκετι στη θέση -5 m;. πό - sec, το σώµ εκτελεί εθύγρµµη οµλή κίνηση, επειδή η τχύτητά το πρµένει στθερή µε το χρόνο. πό - sec εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη κίνηση, επειδή η τχύτητά το ξάνετι µε στθερό ρθµό. πό - 4 sec, το σώµ εκτελεί εθύγρµµη οµλά επιβρδνόµενη κίνηση, επειδή η τχύτητά το µειώνετι µε στθερό ρθµό. (s). Η χρονική στιγµή sec νήκει στο χρονικό διάστηµ πό έως sec όπο στθ. τελ ρχ Εποµένως: τελ 3 ρχ m / s Γ. πό - sec έχοµε εθύγρµµη οµλή κίνηση. πό - sec, όπως κι στο () ερώτηµ m/s. πό - 4 sec έχοµε: Τ T 3 3 4,5 m / s. πό - sec: X E άση ύψος πό - sec: m Χ (m) 6 3 (m/s ),5 4 4 (s) - 3 - (s)
B+ β 3+ X E m πό - 4 sec: 3 X3 E3 3 m X ολ X ολ X+ X + X3 + + 3 X ολ 6 m Sολ 6 E. µ µ µ 5 m / s 4 ολ S (δεν λλάζει η φορά κίνησης) ολ X ολ Στ. X E+ E X + X x x x x x T T T T X+ x A A 3 5 5 m 3 m - 4 -
ΣΚΗΣΗ 4 Έν σώµ µάζς m kg ρχικά ηρεµεί στη βάση λείο κεκλιµένο επιπέδο. Τη χρονική στιγµή σκείτι στο σώµ δύνµη F 4 N πράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο, οπότε το σώµ το σώµ ρχίζει ν νεβίνει σε τό. Η δύνµη πύει ν σκείτι τη χρονική στιγµή sec.. Ν πολογίσετε την τχύτητ το σώµτος τη χρονική στιγµή sec.. Ν βρείτε το σνολικό διάστηµ πο δινύει το σώµ µέχρι ν στµτήσει. Γ. Θ επιστρέψει το σώµ στη βάση το κεκλιµένο επιπέδο; ίνοντι ο σντελεστής τριβής ολίσθησης το κεκλιµένο επιπέδο µ,, ηµφ,6, σνφ,8 κι g m/s. Γ N Bx Τ By N F sec Bx φ By Τ φ A. πό ισχύει: Σ Fx m F T Bx m Fµ Ν m g ηµφ m 4, 8,6 4,6 6 3,4 m / s Σ Fy Νy N By N m g σνφ N, 8Ν 8Ν 3,4 64,8 m / s S S 3,4 S 64,8 m. πό Γ ισχύει: Σ Fx m Τx m µ Ν m g ηµφ m, 8,6,6 6 7,6 m / s ΣFy N By N 8 N S S m ολ 64,8 S S 76,5 7,6 S + S S 64,8+ 76, 5 S ολ 34,5 m ολ N Τ Γ. Bx m g ηµφx,6 Bx 6 N T µ ΝΤ, 8Τ,6 Ν Επειδή x > Τ θ επιστρέψει στη βάση το κεκλιµένο επιπέδο. φ Bx φ By - 5 -
ΣΚΗΣΗ 5 Σφίρ µάζς m,6 kg κινείτι σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε τχύτητ µέτρο m/s κι σγκρούετι µε ρχικά κίνητη σφίρ µάζς m, kg. ν - κριβώς µετά την κρούση η σφίρ µάζς m κινείτι µε τχύτητ µέτρο m/s, ν βρείτε την τχύτητ της σφίρς µάζς m κριβώς µετά την κρούση. (+) πριν m m m m Στο σύστηµ των δύο σφιρών στην οριζόντι διεύθνση δεν σκούντι εξωτερικές δνάµεις (τ βάρη κι οι δνάµεις πό το δάπεδο είνι κτκόρφες κι έχον ΣF ), οπότε ισχύει η ρχή διτήρησης της ορµής. r r πριν µετά r r r P P m + m + m m m + m m ολ ολ m m 7,,4,6 µετά 8 m / s m m m,6,,6-6 -
ΣΚΗΣΗ 6 πό έν σηµείο Γ κεκλιµένο επιπέδο γωνίς φ 6º ρίχνετι έν σώµ µάζς m kg. Το σώµ ότν φτάνει στη βάση το κεκλιµένο επιπέδο, σγκρούετι πλστικά µε σώµ ίσης µάζς. Το σσσωµάτωµ σνεχίζει ν κινείτι στο οριζόντιο επίπεδο κι στµτά φού έχει δινύσει ίση πόστση µε τήν πο διένσε στο κεκλιµένο επίπεδο. Ν πολογίσετε:. Τον σντελεστή τριβής ολίσθησης σώµτος - επιπέδο.. Την µετβολή της ορµής το σώµτος m.. Μελετάµε ρχικά την κίνηση το σώµτος m στο κεκλιµένο επίπεδο. Άξονς y y: ΣFy N B y N Bσνφ N m gσνφ Έχοµε T Άξονς x x: µ Ν Τ µmgσνφ Ν ολ Τ φ N T x φ y Γ ΣFx m x T m mgηµφµν m g ηµφ µgσνφ Το σώµ m κάνει εθύγρµµη οµλά επιτχνόµενη κίνηση χωρίς ρχική τχύτητ. Η µεττόπιση S πο δινύει στο κεκλιµένο επίπεδο, κι η τχύτητά το είνι: S S πό τις, έχοµε: S 3 g(ηµφµσνφ) Κτά την πλστική κρούση το σώµτος m µε το σώµ m ισχύει η ρχή διτήρησης της ορµής. r r r m m Pολ στθ. Pρχ Pτελ m (m+ m )V V V m + m m V 4 Γι την κίνηση το σσσωµτώµτος πο είνι εθύγρµµη οµλά επιβρδνό- µενη ισχύον: Άξονς y y: ΣFy N (m+ m ) g ενώ T µ ΝΤ µ(m+ m ) g Άξονς x x: ΣFx (m + m ) Τ (m+ m ) (m + m )g (m + m ) µ µ g Η µεττόπιση πο δινύει το σσσωµάτωµ µέχρι ν στµτήσει είνι: - 7 -
S (4) V µg S 5 8µg πό 3, 5 έχω: 4 µ ηµφµσνφ 4µ + µσνφ ηµφµ(4+ σνφ) ηµφ ηµφ ηµ6 µ µ µ 4+ σνφ 4+ σν6 4+ 3 µ. Η µετβολή της ορµής το σώµτος µάζς m είνι: r r r Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ m V τελ ρχ τελ 3 9 µ Ρ V 3 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΘΕΜΤΩΝ: ΣΙΠΕΡ ΘΗΝ - 8 -