ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΣΕ ΜΕΣΑ COLE - COLE ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΟΡΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΣΕ ΜΕΣΑ COLE - COLE ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΟΡΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ FDTD ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ Ι. Θ. ΡΕΚΑΝΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΛΙΟΣ 214

Στους γονείς μου

Περιεχόμενα Εισαγωγή 5 1 Ειδικές συναρτήσεις του κλασματικού διαφορικού λογισμού 7 1.1 Συνάρτηση Γάμμα......................... 7 1.1.1 Ορισμός της συνάρτησης Γάμμα.............. 7 1.1.2 Μερικές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα......... 8 1.1.3 Ορισμός της συνάρτησης Γάμμα ως ορίου......... 1 1.2 Συνάρτηση Βήτα.......................... 11 1.3 Συνάρτηση Miag-Leffler..................... 13 1.3.1 Μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Miag-Leffler δύο παραμέτρων...................... 15 1.4 Συνάρτηση Wrigh......................... 16 1.5 Ολοκλήρωμα του Cauchy...................... 16 1.6 Κανόνας του Leibniz........................ 17 2 Διαφορικοί τελεστές μη ακέραιας τάξης 18 2.1 Ενοποίηση των διαφορικών με τους ολοκληρωτικούς τελεστές.. 18 2.2 Γενίκευση για μη ακέραιας τάξης διαφόριση - Κλασματική παράγωγος κατά Grünwald-Lenikov.................. 2 2.2.1 Κλασματική παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης... 23 2.2.2 Σύνθεση με διαφορικούς τελεστές ακέραιας τάξης.... 24 2.2.3 Σύνθεση με διαφορικούς τελεστές μη ακέραιας τάξης... 24 2.3 Κλασματική παράγωγος κατά Riemann - Liouville........ 26 2.3.1 Σύνθεση ολοκληρωμάτων με παραγώγους......... 27 2.3.2 Σύνθεση παραγώγων με παραγώγους........... 29 2.4 Κλασματική παράγωγος κατά Capuo............... 3 2.5 Προσέγγιση με γενικευμένες συναρτήσεις............. 31 2.6 Διαδοχικές κλασματικές παράγωγοι................ 33 2.7 Ιδιότητες των κλασματικών παραγώγων.............. 34 2.8 Μετασχηματισμός Laplace των κλασματικών διαφορικών τελεστών 35 2.8.1 Μετασχηματισμός Laplace της κλασματικής παραγώγου κατά Riemann - Liouville................. 36 2.8.2 Μετασχηματισμός Laplace της κλασματικής παραγώγου κατά Capuo........................ 37 2.8.3 Μετασχηματισμός Laplace διαδοχικών κλασματικών παραγώγων κατά Miller-Ross................. 38 2.9 Μετασχηματισμός Fourier των κλασματικών διαφορικών τελεστών 39 1

3 Διαφορικές εξισώσεις μη ακέραιης τάξης 4 3.1 Απλές γραμμικές κλασματικές διαφορικές εξισώσεις....... 4 3.2 Μερικές γραμμικές κλασματικές διαφορικές εξισώσεις...... 44 3.3 Επίλυση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους................................ 46 3.3.1 Αριθμητική προσέγγιση των κλασματικών παραγώγων.. 46 3.3.2 Η αρχή της "Βραχείας Μνήμης".............. 47 3.3.3 Εφαρμογή της προσέγγισης σε εξισώσεις......... 47 4 Διάδοση Η/Μ κύματος σε υλικό Cole-Cole 5 4.1 Εξισώσεις Maxwell - Πόλωση διηλεκτρικού............ 5 4.2 Περιγραφή του υλικού Cole - Cole................. 51 4.3 Ανάλυση για απλό υλικό Cole - Cole................ 54 4.4 Ανάλυση για υλικό Cole - Cole πολλαπλών όρων......... 61 4.5 Ανάλυση για υλικό Cole - Cole πολλαπλών όρων με αγωγιμότητα 64 5 Παρουσίαση των αποτελεσμάτων 65 5.1 Απλό υλικό Cole-Cole....................... 65 5.2 Υλικό Cole-Cole με δύο όρους................... 68 5.3 Υλικό Cole-Cole με δύο όρους και αγωγιμότητα.......... 69 2

Εισαγωγή Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση της βασικής θεωρίας των διαφορικών τελεστών μη ακέραιης τάξης και η εφαρμογή τους στο πρόβλημα της διάδοσης Ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε υλικά Cole-Cole. Η εργασία αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στη θεωρία κάποιων ειδικών συναρτήσεων, συγκεκριμένα των Γάμμα, Βήτα, Miag-Leffler και Wrigh. Οι συναρτήσεις αυτές παίζουν τον πιο σημαντικό ρόλο στη θεμελίωση της θεωρίας των κλασματικών διαφορικών τελεστών. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η διαδικασία ενοποίησης των τελεστών διαφόρισης και ολοκλήρωσης ακέραιας τάξης καθώς και της γενίκευσής τους, ώστε να περιλαμβάνουν πραγματικές τιμές. Παρουσιάζονται μερικοί βασικοί ορισμοί των κλασματικών διαφορικών τελεστών, αυτοί των Grünwald Lenikov, Riemann Liouville και του Capuo, ενώ γίνεται αναφορά και στον ορισμό των διαδοχικών κλασματικών παραγώγων των Kenneh S. Miller και Berram Ross. Μελετώνται τέλος οι ιδιότητες των ορισμών που αναφέρθηκαν, συμπεριλαμβανομένων των κανόνων σύνθεσης τελεστών μεταξύ τους και των μετασχηματισμών αυτών κατά Laplace και Fourier. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μέσω παραδειγμάτων η επίλυση ορισμένων κλασματικών διαφορικών εξισώσεων, απλών και μερικών, με χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Laplace. Στην περίπτωση που οι διαφορικές εξισώσεις περιέχουν μερικές παραγώγους γίνεται επιπλέον χρήση και του μετασχηματισμού Fourier.Στο τέλος του κεφαλαίου περιγράφονται οι αριθμητικές μέθοδοι προσέγγισης των κλασματικών παραγώγων και επίλυσης αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, ενώ γίνεται αναφορά και στην αρχή της βραχείας μνήμης, η οποία επιτρέπει ταχύτερο υπολογισμό κλασματικών παραγώγων και ταχύτερη επίλυση προβλημάτων στα οποία χρησιμοποιούνται υπολογιστικές μέθοδοι. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται περιγραφή του προβλήματος της διάδοσης Ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε υλικά Cole - Cole, απλά ή πολλαπλών όρων. Αρχικά παρουσιάζεται η θεωρία που οδηγεί στη διαμόρφωση του προβλήματος αυτού με τρόπο ώστε να εισάγονται οι διαφορικοί τελεστές μη ακέραιης τάξης. Έπειτα, οι εξισώσεις που τα περιγράφουν διακριτοποιούνται όπως προβλέπεται από την αριθμητική προσέγγιση κλασματικών παραγώγων, και από τη μέθοδο FDTD η οποία συσχετίζει μεταξύ τους, τις διακριτοποιημένες εντάσεις Ηλεκτρικού και Μαγνητικού πεδίου. Η όλη διαδικασία γίνεται με τη βοήθεια της προσέγγισης με μειούμενα εκθετικά, μία μέθοδο που όπως θα δούμε, για τις ιδιαίτερα αυξημένες απαιτήσεις της FDTD σε υπολογιστική ισχύ όταν συνδυάζεται με αριθμητικές μεθόδους προσέγγισης κλασματικών διαφορικών τελεστών, καταφέρνει να μειώσει σημαντικά τον υπολογιστικό φόρτο. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο εκτίθενται, για εύρος συχνοτήτων από,1 έως 3

1 GHz, τα αποτελέσματα της υπολογιστικής μεθόδου για το συντελεστή ανάκλασης του κύματος στη διαχωριστική επιφάνεια του μέσου, θεωρώντας ότι το άλλο μέσο είναι ο αέρας, καθώς και για την απόσβεση που υφίσταται το κύμα όταν διαδίδεται ανάμεσα σε δύο σημεία σταθερής απόστασης εσωτερικά του υλικού. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα που θα προέκυπταν από τη θεωρητική ανάλυση του προβλήματος, προκειμένου να εξακριβωθεί η ορθότητα της μεθόδου που προτείνεται. Σε αυτό το σημείο οφείλω να ευχαριστήσω τον Αναπλ. Καθηγητή κύριο Ιωάννη Ρέκανο για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε αναθέτοντάς μου την εργασία αυτή, καθώς και για την πολύτιμη βοήθειά του, χωρίς την οποία το αποτέλεσμα θα ήταν σίγουρα κατώτερο του παρόντος, όπως επίσης και όλους όσους μου συμπαραστάθηκαν κατά τη διάρκεια εκπόνησής της. 4

1 Ειδικές συναρτήσεις του κλασματικού διαφορικού λογισμού Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται η βασική θεωρία που χρειάζεται για τα επόμενα κεφάλαια. Συγκεκριμένα παρουσιάζονται κάποιες ειδικές συναρτήσεις, απαραίτητες για τη θεμελίωση της θεωρίας των κλασματικών διαφορικών τελεστών καθώς και για την επίλυση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων. Στο τέλος της ενότητας δίνεται επίσης και ο κανόνας του Leibniz, ο οποίος χρειάζεται σε έναν από τους ορισμούς των κλασματικών παραγώγων, αυτού των Riemann-Liouville. 1.1 Συνάρτηση Γάμμα Η συνάρτηση Γάμμα του Euler - Γ(z) είναι μία από τις σημαντικότερες συναρτήσεις για τον κλασματικό διαφορικό λογισμό. Γενικεύει την έννοια του παραγοντικού n! και επιτρέπει στο n εκτός από πραγματικές να πάρει και μιγαδικές τιμές. 1.1.1 Ορισμός της συνάρτησης Γάμμα Η συνάρτηση Γάμμα ορίζεται μέσω του ολοκληρωτικού τύπου Γ(z) = e z 1 d (1.1) ο οποίος συγκλίνει για Re(z) >, στο μισό δηλαδή μιγαδικό επίπεδο. Πράγματι έχουμε Γ(x + iy) = = e x 1+iy d = e x 1 e iy log() d e x 1 [cos (y log()) + i sin (y log())] d Η έκφραση στις αγκύλες είναι φραγμένη για κάθε. Η σύγκλιση στο άπειρο εξασφαλίζεται λόγω της e η οποία τείνει στο ταχύτερα από οποιαδήποτε πολυωνυμική δύναμη, ενώ η σύγκλιση στο εξασφαλίζεται για x = Re(z) >. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το ολοκλήρωμα (1.1) συγκλίνει ομοιόμορφα για Re(z) >, επομένως η Γ(z) είναι ακέραια και αναλυτική. Εδώ πρέπει να τονιστεί ξανά ότι το ολοκλήρωμα (1.1) συγκλίνει στη συνάρτηση Γάμμα μόνο στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, ενώ στο αριστερό αποκλίνει στο. 5

Ωστόσο, όπως θα δείξουμε παρακάτω, από την ολοκληρωτική αυτή έκφραση εξάγονται πολύ σημαντικά συμπεράσματα τα οποία μέσω του θεωρήματος αναλυτικής επέκτασης γενικεύονται για τη συνάρτηση Γάμμα σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. 1.1.2 Μερικές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα Μία από τις πιο σημαντικές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα είναι η εξής: Γ(z + 1) = z Γ(z) (1.2) Πράγματι, ολοκληρώνοντας κατά μέλη την (1.1) έχουμε Γ(z + 1) = e z d = [ e z] + z e z 1 d = z Γ(z) Και αυτός ο τύπος, ως τώρα ισχύει για Re(z) >, ωστόσο θα γενικευτεί αργότερα. Από τον (1.2) εύκολα προκύπτει η γενίκευση του παραγοντικού με τον εξής τρόπο: Γ(1) = Γ(2) = 1 Γ(1) = 1! e d = [ e ] = 1 Γ(3) = 2 Γ(2) = 2 1! = 2! Γ(4) = 3 Γ(3) = 3 2! = 3!. Γ(n + 1) = n Γ(n) = n (n 1)! = n! Αναλυτική επέκταση της συνάρτησης Γάμμα. Η συνάρτηση Γ(z), ορισμένη από τον τύπο (1.1) μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το μιγαδικό επίπεδο και ταυτόχρονα να αποδειχθεί ότι έχει άπειρους μεμονομένους απλούς πόλους στα σημεία (, 1, 2,...) με τον εξής τρόπο. Έστω συνάρτηση F (z) που ορίζεται ως Γ(z + n) F (z) = z(z + 1)... (z + n 1) όπου η Γ(z) προκύπτει από τον τύπο (1.1). Τότε, η F (z) ορίζεται για Re(z) > n και στο πεδίο ορισμού της είναι μερόμορφη. Δηλαδή, προκύπτει ως πηλίκο ακέραιων και αναλυτικών συναρτήσεων 6

και έχει μεμονωμένα σημεία μη ουσιώδους ανωμαλίας. Αν λοιπόν βρούμε τον τύπο της F (z) σε κάποιο χωρίο εντός του πεδίου ορισμού της, τότε αυτός ο τύπος θα ισχύει σε όλο το πεδίο ορισμού. Για Re(z) > έχουμε ότι Επομένως : Γ(z + n) = Γ(z) z(z + 1)... (z + n 1) F (z) = Γ(z) z(z + 1)... (z + n 1) z(z + 1)... (z + n 1) F (z) = Γ(z) Βλέπουμε δηλαδή ότι η F (z) ταυτίζεται με τη Γ(z). Καθώς το n μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, αποδεικνύεται με αυτό τον τρόπο ότι σε όλο το μιγαδικό επίπεδο, ο τύπος για την Γ(z) είναι : Γ(z) = Γ(z + n), όπου Re(z + n) > (1.3) z(z + 1)... (z + n 1) Παρακάτω φαίνεται το γράφημα της συνάρτησης Γάμμα για πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή για Im{z} =. Σχήμα 1.1 Συνάρτηση Γάμμα στον πραγματικό άξονα 7

1.1.3 Ορισμός της συνάρτησης Γάμμα ως ορίου Η συνάρτηση Γάμμα μπορεί να παρασταθεί και ως όριο n! n z Γ(z) = lim n z(z + 1)... (z + n) (1.4) όπου αρχικά υποθέτουμε ότι Re(z) >. Για να αποδείξουμε την (1.4) εισάγουμε τη βοηθητική συνάρτηση n ( f n (z) = 1 n) n z 1 d (1.5) Με την αντικατάσταση τ = n έχουμε: και επαναλαμβάνοντας ολοκλήρωση κατά μέλη, 1 f n (z) = n z (1 τ) n τ z 1 dτ = nz z n. 1 (1 τ) n 1 τ z dτ 1 n z n! = τ z+n 1 dτ z(z + 1)... (z + n 1) n z n! = z(z + 1)... (z + n 1)(z + n) (1.6) Χρησιμοποιώντας το γνωστό όριο γίνεται κατανοητό ότι lim f n(z) = lim n n lim n n ( 1 n ) n = e ( 1 n) n z 1 d = e z 1 d (1.7) εάν η ανταλλαγή του ορίου με το ολοκλήρωμα στην (1.7) είναι δικαιολογημένη. Για να ισχύει αυτό πρέπει για οποιοδήποτε ε > να υπάρχει N τέτοιο ώστε για n N, η διαφορά 8

= e z 1 d f n (z) να είναι μικρότερη από ε. Το παραπάνω αποδεικνύεται [1, pg. 5-6] επομένως ο τύπος (1.4) ισχύει για Re(z) >. Για m < Re(z) m + 1, όπου m θετικός ακέραιος έχουμε : Γ(z + m) Γ(z) = z(z + 1)... (z + m 1) 1 = z(z + 1)... (z + m 1) lim n z+m n! n (z + m)... (z + m + n) 1 = z(z + 1)... (z + m 1) lim (n m) z+m (n m)! n (z + m)... (z + n) n z n! = lim n z(z + 1)... (z + n) Επομένως ο τύπος (1.4) ισχύει για κάθε z εκτός από z =, 1, 2,... 1.2 Συνάρτηση Βήτα Η συνάρτηση Βήτα είναι επίσης πολύ χρήσιμη στη θεωρία των κλασματικών διαφορικών τελεστών καθώς χρησιμοποιείται σε αρκετές αποδείξεις, όπως θα φανεί αργότερα. Ορίζεται ως εξής : B(z, w) = 1 τ z 1 (1 τ) w 1 dτ, ( Re(z) >, Re(w) > ) (1.8) Για να βρούμε τη σχέση που συνδέει τη συνάρτηση Βήτα με τη συνάρτηση Γάμμα χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Laplace. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο ολοκλήρωμα h z,w () = τ z 1 ( τ) w 1 dτ (1.9) Προφανώς η (1.9) είναι η συνέλιξη των συναρτήσεων z 1 και w 1, και h z,w (1) = B(z, w). Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στη σχέση (1.9) και χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητά του για τη συνέλιξη συναρτήσεων έχουμε 9

H z,w (s) = LT {h z,w ()} = LT { z 1} LT { w 1} = Γ(z) s z Γ(w) s w = Γ(z)Γ(w) s z+w (1.1) Εφαρμόζοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace στην (1.1) έχουμε h z,w () = ILT {H z,w (s)} = Γ(z)Γ(w) z+w 1 Γ(z + w) Παίρνοντας τώρα = 1 προκύπτει : B(z, w) = Γ(z)Γ(w) Γ(z + w) (1.11) (1.12) Καθώς ο τύπος (1.12) συσχετίζει τη συνάρτηση Βήτα με τη Γάμμα, η οποία μπορεί όπως δείξαμε να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το επίπεδο z εκτός από το και τους αρνητικούς ακέραιους, το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση Βήτα η οποία μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά παντού, εκτός από τα σημεία στα οποία είτε το z είτε το w είναι μηδενικά ή αρνητικοί ακέραιοι. Χρησιμοποιώντας τώρα τον τύπο (1.12) μπορούν να αποδειχθούν [1, pg. 8-1] δύο ακόμη, πολύ σημαντικές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα. Η πρώτη είναι η εξής: Γ(z)Γ(1 z) = από την οποία προκύπτει και ότι Η δεύτερη είναι η παρακάτω π, (z, ±1, ±2,...) (1.13) sin(πz) Γ( 1 2 ) = π (1.14) Γ(z)Γ(z + 1 2 ) = π 2 1 2z Γ(2z), (2z, 1, 2,...) (1.15) από την οποία για z = n + 1 προκύπτει 2 ( Γ n + 1 ) π Γ(2n + 1) π (2n)! = 2 2 2n Γ(n + 1) = 2 2n n! η οποία περιλαμβάνει και την (1.14). (1.16) 1

1.3 Συνάρτηση Miag-Leffler Η συνάρτηση Miag-Leffler είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων και ορίζεται μέσω ενός απειραθροίσματος. Η Miag-Leffler μίας παραμέτρου, αποτελεί γενίκευση της e z, στη μορφή που έχει ως ανάπτυγμα Taylor γύρω από το. Ορίζεται με τον εξής τρόπο E α (z) = z k Γ(αk + 1) (1.17) Εμείς θα ασχοληθούμε με τη συνάρτηση Miag-Leffler δύο παραμέτρων η οποία γράφεται ως E α,β (z) = z k, (α >, β > ) (1.18) Γ(αk + β) Η συνάρτηση αυτή καλύπτει ένα πολύ ευρύ φάσμα συναρτήσεων [1, pg. 17-8] κάποιες από τις οποίες είναι οι εξής : E 1,1 (z) = z k Γ(k + 1) = z k k! = ez (1.19) E 1,2 (z) = z k Γ(k + 2) = z k (k + 1)! = 1 z z k+1 (k + 1)! = ez 1 z (1.2) E 1,3 (z) = και στη γενικότερη περίπτωση z k (k + 2)! = 1 z 2 E 1,m (z) = 1 z m 1 ( e z Επίσης, το υπερβολικό ημίτονο και συνημίτονο E 2,1 (z 2 ) = E 2,2 (z 2 ) = z k+2 (k + 2)! = ez 1 z z 2 (1.21) m 2 ) z k k! z 2k Γ(2k + 1) = z 2k (2k)! z 2k Γ(2k + 2) = 1 z (1.22) = cosh(z) (1.23) z 2k+1 (2k + 1)! = sinh(z) z (1.24) 11

όπως και αρκετές γενικεύσεις των τριγωνομετρικών και των υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορούν να γραφούν ως ειδικές περιπτώσεις της συνάρτησης Miag-Leffler δύο παραμέτρων. Αποδεικνύεται επίσης ότι όπου E 1 2,1(z) = Γ( k 2 z k = ez2 erfc( z) (1.25) + 1) erfc(z) = 2 e 2 d π Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται ενδεικτικά μερικές περιπτώσεις της συνάρτησης Miag-Leffler δύο παραμέτρων για την πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου αλλάζει το α ενώ το β έχει την τιμή 1. z Σχήμα 1.2 Συνάρτηση Miag-Leffler για ορισμένες τιμές του α και β = 1 12

1.3.1 Μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Miag-Leffler δύο παραμέτρων Σε αυτή την ενότητα υπολογίζεται ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Miag-Leffler με τη βοήθεια της αναλογίας ανάμεσα σε αυτή και τη συνάρτηση e z. Για το σκοπό αυτό κάνουμε τα εξής βήματα. Αρχικά βρίσκουμε το μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης k e ±z ως εξής: Αποδεικνύουμε ότι Πράγματι: e s e ±z d = 1, Re(s) > z (1.26) s z e ( s±z) d = 1 [ ] e ( s±z) s ± z = 1 s ± z = 1 s z Έπειτα διαφορίζουμε k φορές ως προς z τις δύο πλευρές της σχέσης (1.26) οπότε παίρνουμε e s k e ±z d = Προκύπτει πλέον εύκολα ότι : k!, Re(s) > z (1.27) (s z) k+1 e β 1 E α,β (z α ) d ( ) = e β 1 (z α ) k d Γ(αk + β) ( ) = e β 1 z k αk Γ(αk + β) d = z k 1 e αk+β 1 d Γ(αk + β) = z k 1 Γ(αk + β) (αk + β 1)! = z k = 1 1 z ( z < 1) (1.28) Από τις (1.28) και (1.27) βρίσκουμε ένα ζευγάρι μετασχηματισμού Laplace για τη συνάρτηση αk+β 1 E (k) α,β (±z α ) 13

e s αk+β 1 E (k) α,β (±zα ) d = Η ειδική περίπτωση της (1.29), όπου α = β = 1 2 είναι : k! sα β (s α z), (Re(s) > z 1 k+1 α ) (1.29) e s k+1 2 E (k) 1 (±z ) d = 2, 1 2 k! ( s z) k+1, (Re(s) > z 2 ) (1.3) 1.4 Συνάρτηση Wrigh Η συνάρτηση Wrigh παίζει σημαντικό ρόλο στην επίλυση γραμμικών κλασματικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, όπως στην κλασματική εξίσωση διάχυσης. Ορίζεται ως εξής W (z; α, β) = z k k! Γ(αk + β) (1.31) 1.5 Ολοκλήρωμα του Cauchy Ένας επίσης πολύ σημαντικός τύπος για τη θεωρία που αναπτύσσουμε είναι ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy για τα πολλαπλά ολοκληρώματα. Ο τύπος αυτός δίνει το πολλαπλό ολοκλήρωμα ακέραιας τάξης n μίας συνάρτησης, ως ένα απλό συνελικτικό ολοκλήρωμα, όπως φαίνεται παρακάτω a d 1 1 a n 2 n 1 d 2 d n 1 f( n )d n = a a 1 (n 1)! Η απόδειξη αυτού του τύπου γίνεται με τον εξής τρόπο: Για n=1 αυτόματα γίνεται επαλήθευση. Για n=2 έχουμε: a τ1 dτ 1 f(τ)dτ = a a f(τ)dτ 14 τ dτ 1 = a a ( τ) n 1 f(τ)dτ (1.32) ( τ)f(τ)dτ (1.33)

Η αλλαγή ορίων ολοκλήρωσης που έγινε επεξηγείται από το παρακάτω σχήμα. Σχήμα 1.3 Επαναλαμβάνοντας με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ο τύπος (1.32) 1.6 Κανόνας του Leibniz Ο κανόνας του Leibniz για την παραγώγιση ολοκληρωμάτων των οποίων τα όρια εξαρτώνται από τη μεταβλητή παραγώγισης, στη γενικότερη μορφή του γράφεται ως εξής : d d Φ2 () Φ 1 () F (x, ) dx = Φ2 () Φ 1 () F dx + F ( Φ 2 (), ) dφ 2 d F ( Φ 1 (), ) dφ 1 d (1.34) Για τη θεωρία που θα παρουσιαστεί, χρησιμοποιείται μια πιο ειδική περίπτωση του παραπάνω τύπου, η εξής: d d a F (, τ) dτ = a F (, τ) dτ + F (, ) (1.35) 15

2 Διαφορικοί τελεστές μη ακέραιας τάξης 2.1 Ενοποίηση των διαφορικών με τους ολοκληρωτικούς τελεστές Σε αυτή την ενότητα γίνεται προσπάθεια εύρεσης ενός κοινού σημείου αναφοράς για την παραγώγηση και ολοκλήρωση ακέραιας τάξης, ώστε να φανεί πως οι δύο αυτοί τελεστές βρίσκονται εγγύτερα από ό,τι κάποιος θα υπέθετε. Έστω συνεχής συνάρτηση y = f(). Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της παραγώγου έχουμε για την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης: f () = df d = lim f() f( h) h h Εφαρμόζοντας αυτόν τον ορισμό δύο φορές παίρνουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f () = d2 f d 2 Στη γενικότερη περίπτωση έχουμε [ f (n) () = dn f d = lim 1 n h h n = lim f () f ( h) h h f() 2f( h) + f( 2h) = lim h h 2 n ( ) ] n ( 1) r f( rh) r r= (2.1) όπου ( ) n = r n! (n r)! r! = n(n 1)(n 2) (n r + 1) r! είναι το διωνυμικό ανάπτυγμα του Νεύτωνα. Παρατηρώντας την παραπάνω σχέση οδηγούμαστε στο συμπέρασμα πως ο τελεστής παραγώγισης είναι ένας τοπικός τελεστής καθώς το h τείνει στο και το n είναι πεπερασμένο, σε αντίθεση με τον ολοκληρωτικό τελεστή, ο οποίος δίνει πληροφορία για ένα ολόκληρο διάστημα στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση. Ωστόσο, με μια προσεκτικότερη ματιά μπορούμε να δούμε πως ο τελεστής παραγώγισης δεν είναι εν γένει τοπικός αλλά αυτό τυγχάνει να ισχύει μόνο όταν το n (η τάξη παραγώγισης) είναι θετικός ακέραιος! Ας θεωρήσουμε έναν τελεστή σ h με την εξής ιδιότητα: σ h f() = f( h). Δηλαδή 16

με την ιδιότητα όταν εφαρμόζεται σε μία συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο της να επιστρέφει την τιμή της σε ένα προηγούμενο σημείο μετατοπισμένο κατά h. Τότε έχουμε ότι [ ] 1 D n [f()] = lim h h (1 σ h) n f() n Στη γενικότερη λοιπόν περίπτωση αυτό που πρέπει να κάνουμε για να προχωρήσουμε από εδώ είναι να αναπτύξουμε τον όρο (1 σ h ) n σε σειρά Taylor ως προς σ h. Για την περίπτωση που το n είναι θετικός ακέραιος έχουμε (1 σ h ) n = 1 + [ ((1 σ h ) n ) ] (σ h ) + 1 [ ((1 σh ) n ) ] 2! (σ h ) 2 + n(n 1) = 1 n σ h + σ 2 n(n 1) 2 1 h ± σh n 2! n! = n! n!! n! (n 1)! 1! σ n! h + (n 2)! 2! σ2 h ± n! 1! n! σn h = n r= ( 1) r n! (n r)! r! σr h = n ( n ( 1) r r r= ) σ r h Η σειρά φτάνει μέχρι το n διότι το πολυώνυμο είναι τάξης n συνεπώς όλες οι παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης μηδενίζονται. Για την περίπτωση που το n είναι αρνητικός ακέραιος έχουμε: Για n = 1: Όμως D 1 f() = lim h ( 1 σh h ) 1 ( ) 1 f() = lim h f() h 1 σ h Άρα: 1 1 σ h = 1 + σ h + σ 2 h + σ 3 h + D 1 f() = lim h [f() + f( h) + f( 2h) + + f(a)] = h ( ) = lim h h nh= a n= f(a + nh) = a f( 1 ) d 1 17

Για n = 2: [ ( ) 2 1 D 2 f() = lim h f()] 2 h 1 σ h (2 ) = f( 1 ) d 1 d 2 a a = lim h [ h ( 1 ) ] f( 1 ) d 1 = 1 σ h a Φαίνεται, επομένως, πως χρησιμοποιώντας αυτή την προσέγγιση καταλήγουμε σε ένα μοντέλο το οποίο ενοποιεί τους τελεστές διαφόρισης και ολοκλήρωσης ακέραιας τάξης. 2.2 Γενίκευση για μη ακέραιας τάξης διαφόριση - Κλασματική παράγωγος κατά Grünwald-Lenikov Θεωρώντας τώρα πως η τάξη διαφόρισης μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, έστω p, έχουμε το εξής αποτέλεσμα Όμως D p f() = lim h ( 1 σh h ) p 1 f() = lim h h (1 σ h) p f() p (1 σ h ) p = 1 + [ ((1 σ h ) p ) ] [ ((1 (σ σh ) p ) ] h ) + (σ h ) 2 + 2! = 1 p [ (1 σ h ) p 1] σ h + p(p 1) [(1 σ h) p 2 ] σh 2 2! p(p 1) = 1 p σ h + σ 2 p(p 1)(p 2) ( ) p h σh 3 + = ( 1) r 2! 3! r r= σ r h Επομένως: όπου πλέον D p 1 f() = lim h h p ( ) p = r ( ) p ( 1) r f( rh) (2.2) r r= Γ(p + 1) Γ(p r + 1) Γ(r + 1) 18

Αν, όπως και με το ολοκλήρωμα, θεωρήσουμε ότι το r φτάνει μέχρι το άπειρο, με τρόπο ώστε η συνάρτηση f() να φτάνει μέχρι ένα κάτω όριο, έστω a, τότε έχουμε ότι lim rh = a. Χρησιμοποιώντας έναν λίγο διαφορετικό συμβολισμό για το r πάνω όριο του αθροίσματος, από εδώ και στο εξής θα γράφουμε ότι το r τείνει σε έναν αριθμό n τέτοιον ώστε όταν το h τείνει στο, το nh να τείνει στο a. Επομένως: ad p f() = lim h nh= a 1 h p n ( ) p ( 1) r f( rh) (2.3) r r= Στην περίπτωση που ο p πάρει αρνητική τιμή, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφεί λίγο απλούστερα με τον εξής τρόπο [ ] p p(p + 1) (p + r 1) Έστω ο συμβολισμός: = όπου p θετικός. Τότε r r! Επομένως όπου p θετικός ( ) p = r p( p 1) ( p r + 1) r! ad p f() = lim h p h nh= a n r= Για p = 1 : [ ] 1 = 1 2 r r r! Άρα: ad 1 f() = lim h h nh= a = ( 1) r [ p r [ ] p f( rh) (2.4) r = 1 n f( rh) = r= a f(τ) dτ ] Για p = 2 : [ ] 2 = r Άρα: 2 3 (r + 1) r! = r + 1 ad 2 f() = lim h h nh= a n (rh)f( rh) = r= a z f( z) dz 19

Με την αλλαγή μεταβλητής: z = τ τελικά έχουμε a z f( z) dz = a ( τ) f(τ) ( dτ) a D 2 f() = Με παρόμοιο τρόπο, για p = 3 αποδεικνύεται ότι ad 3 f() = 1 2! a ( τ) 2 f(τ) dτ a ( τ) f(τ) dτ και στη γενικότερη περίπτωση, για ολοκλήρωση ακέραιης τάξης n, ισχύει ο τύπος ad n f() = 1 (n 1)! a ( τ) n 1 f(τ) dτ (2.5) Ο παραπάνω τύπος όμως όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy και ισοδυναμεί με το n-οστό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(): 1 n 2 n 1 f() = d 1 d 2 d n 1 f( n ) d n a a a Επιτρέποντας τώρα στο p να πάρει οποιαδήποτε αρνητική τιμή, αποδεικνύεται [1, pg. 49-51] ότι ad p f() = lim h p h nh= a n r= [ ] p f( rh) = 1 r Γ(p) a a ( τ) p 1 f(τ) dτ (2.6) Αν η συνάρτηση f() έχει m + 1 συνεχείς παραγώγους στο διάστημα ολοκλήρωσης, τότε εφαρμόζοντας κατά μέλη ολοκλήρωση του παραπάνω τύπου έχουμε ad p f() = 1 Γ(p) = 1 Γ(p) = a 1 p ( ) ( τ) p f(τ) dτ = p [ ] ( τ) p f(τ) 1 a Γ(p) 1 Γ(p + 1) ( a)p f(a) + 1 Γ(p + 1) a a ( τ) p f (τ) dτ = p ( τ) p f (τ) dτ = a D p f() = m f (k) (a) ( a) p+k Γ(p + k + 1) + 1 Γ(p + m + 1) a ( τ) p+m f (m+1) (τ) dτ (2.7) 2

Τέλος επιτρέποντας στο p να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή, αποδεικνύεται ο τύπος για το διαφορικό τελεστή μη ακέραιης τάξης [1, pg. 52-55] : ad p f() = m f (k) (a) ( a) p+k Γ( p + k + 1) + 1 Γ( p + m + 1) a ( τ) m p f (m+1) (τ) dτ (2.8) ο οποίος ισχύει με την προϋπόθεση ότι η f() είναι τουλάχιστον m + 1 φορές συνεχώς παραγωγίσιμη και ότι m < p < m + 1. Ο τύπος (2.8) εκφράζει την κλασματική παράγωγο κατά Grünwald-Lenikov. Οι τύποι (2.7) και (2.8) επαληθεύονται εύκολα για p ακέραιο, ωστόσο, για μη ακέραιο αριθμό ο τύπος (2.8) δίνει ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα: Καθώς m < p, ο όρος ( a) k p m δίνει συνάρτηση η οποία απειρίζεται όταν το τείνει στο κάτω όριο, δηλαδή στο a. Ο μόνος τρόπος για να μην υπάρχει αυτός ο απειρισμός είναι η τιμή της συνάρτησης f() καθώς και όλων των ακέραιων παραγώγων της μέχρι m-τάξης να μηδενίζονται στο σημείο a, ή το σημείο a να επιλεχθεί στο ( 1 p k a, ώστε η επίδραση της συνάρτησης να εξαφανίζεται. Θα a) επιστρέψουμε σε αυτό το αποτέλεσμα λίγο αργότερα, στην προσέγγιση με γενικευμένες συναρτήσεις. 2.2.1 Κλασματική παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης Έστω η συνάρτηση ( a) n, όπου n πραγματικός αριθμός. Για p < : ad p ( a) n = 1 ( τ) p 1 (τ a) n dτ Γ( p) a Υποθέτοντας ότι n > 1 ώστε το ολοκλήρωμα να συγκλίνει, κάνοντας την αντικατάσταση τ = a + ξ( a) και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης Βήτα έχουμε ad p ( a) n = 1 ( a)n p Γ( p) 1 ξ n (1 ξ) p 1 dξ = 1 Γ( p) B( p, n + 1) ( a)n p 21

a D p ( a) n = Γ(n + 1) Γ(n p + 1) ( a)n p, p <, n > 1 (2.9) Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται [1, pg. 56] ότι ο τύπος (2.9) ισχύει και για m p < m + 1, με την προϋπόθεση ότι n > m. 2.2.2 Σύνθεση με διαφορικούς τελεστές ακέραιας τάξης Αποδεικνύεται [1, pg. 57-58] ότι για < m < p < m + 1, n > ισχύουν οι τύποι : d n ( ad p d n f() ) = a D p d n ( ad p d n f() ) = a D n+p f() (2.1) ( ) d n f() + d n n 1 f (k) (a) ( a) p n+k Γ( p n + k + 1) (2.11) επομένως για να μπορούν οι δύο τελεστές να αντιμετατεθούν, δηλαδή να ισχύει d n ( ad p d n f() ) ( ) d = a D p n f() = d n a D n+p f() πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες f (k) (a) =, (k =, 1, 2,..., n 1) (2.12) 2.2.3 Σύνθεση με διαφορικούς τελεστές μη ακέραιας τάξης ( Έστω η παράσταση a D q ad p f() ). Περίπτωση όπου p < : Για q < : ad q (ad p f() ) = 1 ( τ) ( q 1 ad p f(τ) ) dτ Γ( q) a 1 τ = ( τ) q 1 dτ (τ ξ) p 1 f(ξ) dξ Γ( q) Γ( p) a 22 a

Όπως υποδεικνύει η αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης που φαίνεται στο σχήμα 2.1, η παραπάνω σχέση μπορεί να πάρει τη μορφή ( ad q ad p f() ) = 1 Γ( q) Γ( p) a f(ξ) dξ ξ ( τ) q 1 (τ ξ) p 1 dτ Όμως ξ Σχήμα 2.1 1 ( τ) q 1 (τ ξ) p 1 dτ = ( ξ) p q 1 (1 z) q 1 z p 1 dz = Γ( q) Γ( p) Γ( p q) ( ξ) p q 1 (2.13) Το ολοκλήρωμα υπολογίστηκε με τη βοήθεια της αντικατάστασης τ = ξ + z( ξ) και χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Βήτα. Τελικά, από (2.12) και (2.13) προκύπτει ( ad q ad p f() ) = Για < n < q < n + 1: 1 Γ( p q) q = (n + 1) + (q n 1), όπου q n 1 < a ( ξ) p q 1 f(ξ)dξ = a D p+q f() (2.14) Οπότε χρησιμοποιώντας τους τύπους (2.1) και (2.14) προκύπτει πάλι 23

ad q (ad p f() ) = a D p+q f() Οδηγούμαστε επομένως στο συμπέρασμα ότι αν p <, για οποιοδήποτε πραγματικό q, ισχύει ότι Περίπτωση όπου p > : ad q (ad p f() ) = a D p+q f() (2.15) Αν υποθέσουμε, ως γνωστόν, ότι m < p < m + 1, αποδεικνύονται τα εξής [1, pg. 6-62] Για q < : ad q (ad p f() ) = a D p+q f(), αν f (k) (a) = (k =, 1,..., m 1) (2.16) Για n < q < n + 1: ad q (ad p f() ) = a D p+q f(), αν f (k) (a) = (k =, 1,..., m 1) (2.17) Η παραπάνω συνθήκη είναι απαραίτητη για την εφαρμογή της διαφόρισης ή ολοκλήρωσης τάξης p, διότι εάν δεν ικανοποιείται, και στις δύο περιπτώσεις εμφανίζεται αποκλίνον ολοκλήρωμα. Επιπλέον, αν m < p < m + 1 και n < q < n + 1, τότε οι κλασματικοί διαφορικοί τελεστές μπορούν να αντιμετατεθούν, έτσι ώστε να ισχύει ότι: ( ad q ad p f() ) = a D p (ad q f() ) = a D p+q f() αν όπου r = max(n, m). f (k) (a) =, (k =, 1,..., r 1) 2.3 Κλασματική παράγωγος κατά Riemann - Liouville Ο προηγούμενος ορισμός της κλασματικής παραγώγου ως το όριο μιας κλασματικής τάξης προς τα πίσω διαφοράς είναι ο ορισμός κατά Grünwald-Lenikov. Εδώ θα περιγράψουμε έναν άλλο ορισμό, αυτόν των Riemann και Liouville. 24

Η έκφραση (2.8) μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση της ολοκληροδιαφορικής έκφρασης ( [ d m+1 ad p 1 ] f() = ( τ) d) m p f(τ) d (m p < m + 1) Γ(m p + 1) a (2.18) Η έκφραση (2.8) προκύπτει από την (2.18) αν υποθέσουμε ότι η f() είναι m + 1 φορές συνεχώς παραγωγίσιμη, εφαρμόζοντας συνεχόμενα ολοκλήρωση κατά μέλη και παραγώγιση σύμφωνα με τον κανόνα του Leibniz. Ένα μεγάλο πλεονέκτημα αυτής της θεώρησης είναι ότι για να ορίζεται η κλασματική παράγωγος της f() δε χρειάζεται η f() να ικανοποιεί τόσο αυστηρές συνθήκες, όπως στον ορισμό κατά Grünwald-Lenikov. Αυτό συμβαίνει διότι με τον ορισμό που μόλις αναφέραμε, η παράγωγος μη ακέραιας τάξης ορίζεται ως μία ακέραιας τάξης παράγωγος ενός μη ακέραιας τάξης ολοκληρώματος! Συγκεκριμένα του ολοκληρώματος ad p f() = 1 Γ(p) a ( τ) p 1 f(τ)d (2.19) το οποίο ονομάζεται ολοκλήρωμα κατά Riemann - Liouville, και αποτελεί γενίκευση του ολοκληρώματος του Cauchy. Επομένως, αρκεί η συνάρτηση f(τ) να είναι ολοκληρώσιμη και τότε το ολοκλήρωμα (2.19) μπορεί να παραγωγιστεί (m+1) φορές για > a. Αποδεικνύεται [1, pg. 63-72] η δυνατότητα του ολοκληρώματος Riemann - Liouville να ενοποιηθεί με ακέραιης τάξης παραγώγους και ολοκληρώματα, όπως και με μη ακέραιης τάξης ολοκληρώματα ώστε δικαιολογημένα να αποτελεί με συνδυασμούς του τη γενίκευση των διαφορικών τελεστών ακέραιης τάξης. 2.3.1 Σύνθεση ολοκληρωμάτων με παραγώγους Οι ιδιότητες της σύνθεσης ολοκληρωμάτων με παραγώγους μη ακέραιας τάξης κατά Riemann - Liouville είναι οι εξής [1, pg. 67-72]: Για p > : ad p (ad p f() ) = f() (2.2) 25

Για < k 1 p < k : ( ad p ad p f() ) = f() k j=1 [ad p j f() ] ( a) p j =a Γ(p j + 1) (2.21) Εδώ το άθροισμα ξεκινάει από j = 1 και όχι, επομένως στην περίπτωση που < p < 1, ad p (ad p f() ) = f() [ ad p 1 f() ] ( a) p 1 =a Γ(p) Η (2.2) είναι ειδική περίπτωση της γενικότερης σχέσης ad p (ad q f() ) = a D p q f() (2.22) που ισχύει είτε q > p, οπότε το συνολικό αποτέλεσμα είναι ολοκλήρωμα, είτε p > q, οπότε το συνολικό αποτέλεσμα έιναι διαφόριση. Η (2.21) είναι ειδική περίπτωση της γενικότερης σχέσης : ad p (ad q f() ) = a D q p f() k j=1 [ad q j f() ] ( a) p j =a Γ(p j + 1) (2.23) η οποία ισχύει για k 1 q < k, είτε q p, οπότε το τελικό αποτέλεσμα είναι ολοκλήρωση, είτε q p, οπότε έιναι διαφόριση. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f() = ( a) n, όπου n πραγματικός αριθμός και k 1 p < k. Σύμφωνα με το νέο ορισμό ( ) ad p f() = dn ad (n p) d n f(), (n 1 p < n) (2.24) Αντικαθιστώντας στην (2.24) την (2.9) για το ολοκλήρωμα τάξης n p, έχουμε ότι ( ad ) p ( a) n = Γ(n + 1) Γ(n p + 1) ( a)n p (2.25) Ο τύπος (2.25) ισχύει για οποιοδήποτε p και είναι ίδιος με τον (2.9), με μοναδικό περιορισμό για την f() = ( a) n να είναι ολοκληρώσιμη, δηλαδή n > 1. 26

2.3.2 Σύνθεση παραγώγων με παραγώγους Υπάρχει επίσης και η δυνατότητα σύνδεσης παραγώγων με παραγώγους, ακέραιας ή μη τάξης και αποδεικνύονται τα εξής [1, pg. 73-75]: ad p ( d n f() d n ) d n ( ) ad p d n f() = a D n+p f() (2.26) n 1 = a D p+n f() j= f (j) (a) ( a) p n+j Γ( p n + j + 1) (2.27) Οι τύποι (2.26), (2.27) είναι ίδιοι με τους τύπους (2.1), (2.11), και επιπλέον φαίνεται ότι για να μπορούν να αντιμετατεθούν οι δύο τελεστές, πρέπει πάλι να ισχύει: f (k) (a) =, (k =, 1, 2,..., n 1). Το αποτέλεσμα της σύνθεσης κλασματικών με κλασματικές παραγώγους είναι πιο ενδιαφέρον, καθώς πλέον δε χρειάζεται f (k) (a) =, (k =, 1, 2,..., n 1) διότι οι συνθήκες είναι λιγότερο αυστηρές. Για m 1 p < m και n 1 q < n αποδεικνύονται: ad p ad q (ad q f() ) = a D p+q f() (ad p f() ) = a D p+q f() n j=1 m j=1 [ad q j f() ] ( a) p j =a Γ(1 p j) [ad p j f() ] ( a) q j =a Γ(1 q j) (2.28) (2.29) Οι τελεστές a D p και a D q μπορούν να αντιμετατεθούν (σε περίπτωση που είναι άνισοι) μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες : [ad p j f() ] = (j = 1, 2,..., m) (2.3) =a [ad q j f() ] = (j = 1, 2,..., n) (2.31) =a Οι συνθήκες (2.3), (2.31) ωστόσο, είναι ισοδύναμες αντίστοιχα με τις παρακάτω [1, secion 2.3.7] f (j) (a) =, (j =, 1, 2,..., m 1) (2.32) f (j) (a) =, (j =, 1, 2,..., n 1) (2.33) 27

Επομένως οι τελεστές αντιμετατίθενται αν f (j) (a) = (j =, 1,..., r 1), όπου r = max(n, m). Η ισοδυναμία των συνθηκών (2.3), (2.31) με τις (2.32), (2.33) η οποία αποδεικνύεται εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.8) οδηγεί στο εξής χρήσιμο συμπέρασμα: Αν [ ad p f() ] =, για κάποιο p >, τότε για οποιοδήποτε q, ( < q < p) =a ισχύει ότι [ ad q f() ] =. =a Η πιο ασθενής συνθήκη, κάτω από την οποία οι ορισμοί των Grünwald-Lenikov και Riemann - Liouville ταυτίζονται είναι οι εξής: Η συνάρτηση f() πρέπει να είναι (n 1) φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα [a, T ], και η f (n) () πρέπει να είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [a, T ]. ( n 1 p < n) 2.4 Κλασματική παράγωγος κατά Capuo Έστω n 1 < p < n. Ο ορισμός της κλασματικής παραγώγου κατά Capuo είναι ο παρακάτω: C a D p f() = 1 Γ(n p) a f (n) (τ) dτ (2.34) ( τ) p n+1 Πρόκειται ουσιαστικά για το δεύτερο μόνο μέλος του δεξιού μέρους της ισότητας στον τύπο (2.8). Δηλαδή, για την παράγωγο κατά Grünwald-Lenikov απαλλαγμένη από τη συνάρτηση που προκύπτει από τις αρχικές συνθήκες της f και των παραγώγων της στο κάτω όριο του πεδίου ορισμού της. Όπως αναφέρθηκε ήδη στον ορισμό κατά Grünwald-Lenikov αυτό το κομμάτι του τύπου μπορεί να αγνοηθεί, αν ως κάτω όριο ορισμού της παραγώγου γίνει το. Τότε, για οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό η συνάρτηση m f (k) (a) ( a) p+k Γ( p + k + 1) θα έχει αποσβέσει εντελώς. Η φυσική σημασία αυτού του γεγονότος είναι ότι ο χρόνος εκκίνησης της διαδικασίας που μελετάται είναι το. Δηλαδή, στον πεπερασμένο χρόνο για τον οποίο ενδιαφερόμαστε, όλα τα μεταβατικά φαινόμενα έχουν αποσβέσει εντελώς. Επομένως, αν ενδιαφερόμαστε για τη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας ενός συστήματος, η παράγωγοι κατά Grünwald-Lenikov και κατά Capuo πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Μία διαφορά ανάμεσα σε αυτούς τους δύο ορισμούς είναι ότι ενώ η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης κατά Grünwald-Lenikov δεν είναι, αλλά χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.8) φαίνεται ότι: a D p (c) = c p, η παράγωγος κατά Γ(1 p) 28

Capuo είναι! Η κυριότερη ωστόσο διαφορά τους, που κάνει την κατά Capuo παράγωγο να χρησιμοποιείται περισσότερο σε φυσικά προβλήματα που περιγράφονται από κλασματικές διαφορικές εξισώσεις, είναι ότι μέσω του μετασχηματισμού Laplace της, δίνει αρχικές συνθήκες που εξαρτώνται από ακέραιας τάξης παραγώγους, σε αντίθεση με τους άλλους ορισμούς που δίνουν αρχικές συνθήκες της μορφής lim a a D a 1 f() = b 1, lim a ad a 2 f() = b 2,..., lim a ad a n f() = b n 2.5 Προσέγγιση με γενικευμένες συναρτήσεις Ο ολοκληρωτικός τύπος f ( p) () = 1 Γ(p) a ( τ) p 1 f(τ) dτ μπορεί να γραφεί ως συνέλιξη της f() με τη συνάρτηση p 1 Γ(p). Επομένως: f ( p) () = f() p 1 Γ(p) (2.35) όπου οι δύο συναρτήσεις αντικαθίστανται με για < a και < αντίστοιχα. Ο αστερίσκος δηλώνει τον εξής τύπο συνέλιξης (που ισχύει για αιτιατές συναρτήσεις) : f() g() = f(τ) g( τ) dτ Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση Φ p () η οποία ορίζεται ως εξής : p 1, > Γ(p) Φ p () =, Οπότε : (2.36) f ( p) () = f() Φ p () (2.37) Για να διαχειριστούμε και τις ακέραιες αρνητικές τιμές του p (που οδηγούν σε παραγώγιση) πρέπει να θεωρήσουμε την Φ p () ως γενικευμένη συνάρτηση. Οι ιδιότητές της είναι γνωστές (I.M. Gelfand and G.E. Shilov, Generalized Funcions, Vol.1), και για το σκοπό μας χρειάζεται η παρακάτω: 29

lim Φ p() = Φ k () = δ (k) (), (k =, 1, 2,...) (2.38) p k Όπου με δ (k) (), k =, 1, 2,... συμβολίζονται οι k-τάξης παράγωγοι της συνάρτησης δέλτα του Dirac. Τώρα, η συνέλιξη για p k δίνει : pg. 83-85] ότι κάτω από αυτή τη θεώρηση ισχύουν τα ακό- Αποδεικνύεται [1, λουθα : f(τ) δ (k) ( τ) dτ = f (k) () (2.39) όπου ad p Φ n+1 () = ( ) ( a) n = Γ(n + 1) n + Γ(n + 1) = ( a)n p Γ(1 + n p) n Γ(n + 1), >, (2.4) Από τον τύπο (2.4), για n = παίρνουμε την κλασματική παράγωγο της συνάρτησης Heaviside: ad p H( a) = ( a) p Γ(1 p) Για αρνητικό n, από τον (2.4) έχουμε επίσης ad p δ (n) ( a) = ( a) n p 1 Γ( n p), ( > a) (2.41), ( > a) (2.42) Τέλος από τον (4) προκύπτει ότι ( ) ( a) ad p p n 1 = δ (n) ( a), Γ(p n) ( > a, n > ) (2.43) Χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη συνάρτηση Φ p () μπορούμε πλέον να γράψουμε n 1 ad p f() = C a D p f() + Φ k p+1 ( a) f (k) (a) (2.44) Καθώς p n, όπου n θετικός ακέραιος, και χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.38) παρατηρούμε 3

n 1 ad n f() = C a D n f() + δ (n k 1) ( a) f (k) (a) (2.45) Συγκρίνοντας αυτή τη σχέση με τη σχέση που συνδέει την κλασική παράγωγο με τη γενικευμένη παράγωγο ακέραιας τάξης n 1 f (n) () = f c (n) () + δ (n k 1) ( a) f (k) (a) (2.46) μπορούμε να πούμε πως ο ορισμός κατά Riemann - Liouville είναι μία γενίκευση της παραγώγου στη γενικευμένη της μορφή, ενώ ο ορισμός κατά Capuo αποτελεί γενίκευση της παραγώγου στη κλασική της μορφή. Τώρα πλέον είναι ξεκάθαρη η σημασία του αθροίσματος στον τύπο (2.8). Καθώς οι κλασματικές παράγωγοι έχουν ένα κάτω όριο ορισμού, "βλέπουν" τη συνάρτηση να ξεκινά απότομα από εκείνο το σημείο και έτσι εισάγεται μία ανωμαλία στο σημείο αυτό με τη μορφή της συνάρτησης Φ p (), δηλαδή της γενικευμένης συνάρτησης δέλτα του Dirac. Ο μόνος τρόπος να μην εισαχθεί αυτή η ανωμαλία με το κάτω όριο να μη λαμβάνεται στο, αλλά σε κάποιο πεπερασμένο σημείο, έστω a, είναι η συνάρτηση f() να είναι πολύ "λεία" στο σημείο a, και συγκεκριμένα να ισχύει: f (k) (a) =, (k =, 1, 2,..., n), όπου n < p < n+1. 2.6 Διαδοχικές κλασματικές παράγωγοι Σε πολλές φυσικές εφαρμογές, οι κλασματικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα γράφονται χρησιμοποιώντας τη μορφή των διαδοχικών κλασματικών παραγώγων. Αυτό συμβαίνει διότι σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται μία εξίσωση που περιέχει κλασματικές παραγώγους να αντικατασταθεί σε μία άλλη η οποία περιέχει επίσης, επομένως το τελικό αποτέλεσμα περιέχει διαδοχικές. Η γραφή αυτή που πρωτοεισήχθη από τους K.S. Miller και B. Ross είναι η εξής: D a f() = D a 1 D a 2 D a3 D a n f(), όπου a = a 1 + a 2 + a 3 + + a n (2.47) Υπό αυτή τη σκοπιά η κλασματική παράγωγος κατά Riemann - Liouville και κατά Capuo αποτελούν δύο ειδικές περιπτώσεις της διαδοχικής κλασματικής παραγώγου. Συγκεκριμένα, η παράγωγος κατά Riemann - Liouville γράφεται ως ad p f() = d d d d d }{{ d } n ad (n p) f(), (n 1 p < n) (2.48) 31

ενώ η παράγωγος κατά Capuo γράφεται ως C a D p f() = a D (n p) d d d d d }{{ d } n f(), (n 1 < p n) (2.49) Οι ιδιότητές τους προφανώς είναι διαφορετικές, λόγω της διαφορετικής διαδοχής των διαφορικών τελεστών d d και ad (n p). 2.7 Ιδιότητες των κλασματικών παραγώγων Αποδεικνύεται [1, pg. 9-99] ότι οι κλασματικές παράγωγοι έχουν τις εξής ιδιότητες: Γραμμικότητα D p( λf() + µg() ) = λ D p f() + µ D p g() (2.5) όπου ο τελεστής D p δηλώνει οποιαδήποτε παραλλαγή της κλασματικής παραγώγου που έχουμε ορίσει ως τώρα. Παραγώγιση γινομένου ad p ( ϕ() f() ) = n Ο τύπος (2.51) ισχύει και για p και για p <. Γενίκευση του κανόνα του Leibniz ( ) p ϕ (k) () a D p k f() (2.51) k Σε αναλογία με τον κανόνα του Leibniz για παραγώγιση παραμετρικού ολοκληρώματος, του οποίου το πάνω όριο εξαρτάται από τη μεταβλητή παραγώγισης d d έχουμε τον παρακάτω τύπο F (, τ) dτ = F (, τ) dτ + F (, ) (2.52) D a F (, τ) dτ = τd a F (, τ) dτ + lim τ τ D a 1 F (, τ), ( < a < 1) (2.53) 32

2.8 Μετασχηματισμός Laplace των κλασματικών διαφορικών τελεστών Ως γνωστόν, ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f() ορίζεται ως F (s) = LT {f()} = e s f() d (2.54) Φυσικά, για να υπάρχει το ολοκλήρωμα στο δεύτερο μέλος, η συνάρτηση πρέπει να είναι εκθετικής τάξης a, δηλαδή για θετικές σταθερές M και T, να ισχύει e a f() M, για > T Η αρχική f() μπορεί να ανακτηθεί χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, ο οποίος έχει τον παρακάτω τύπο f() = ILT {F (s)} = c+i c i e s F (s) ds, c = Re(s) > c (2.55) όπου το c βρίσκεται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, που το ολοκλήρωμα (2.54) συγκλίνει απόλυτα. Δύο σημαντικές σχέσεις του μετασχηματισμού Laplace που θα μας απασχολήσουν στο εξής, είναι: Ο μετασχηματισμός Laplace της συνέλιξης f() g() = f( τ) g(τ) dτ = f(τ) g( τ) dτ όπου f() και g() αιτιατές συναρτήσεις (f(), g() =, < ) ισούται με το γινόμενο των μετασχηματισμών Laplace των f() και g(). Δηλαδή LT {f() g()} = F (s) G(s) (2.56) υπό την προϋπόθεση ότι οι F (s) και G(s) υπάρχουν. Ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου ακέραιας τάξης n, δίνεται από τον τύπο LT { f (n) () } n 1 n 1 = s n F (s) s n k 1 f (k) () = s n F (s) s k f (n k 1) () (2.57) Στο εξής, για το μετασχηματισμό Laplace, ως κάτω όριο του πεδίου ορισμού των παραγώγων θέωρούμε το. 33

2.8.1 Μετασχηματισμός Laplace της κλασματικής παραγώγου κατά Riemann - Liouville Για p > : D p f() = 1 Γ(p) ( τ) p 1 f(τ) dτ = p 1 Γ(p) f() O μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης p 1 είναι (A. Erdelyi, Tables of Inegral Transforms) Επομένως G(s) = LT { p 1} = Γ(p) s p (2.58) LT { D p f() } = s p F (s) (2.59) Για n 1 p < n: g() = D p n f() = D p f() = g (n) () (2.6) 1 Γ(k p) ( τ) n p 1 f(τ) dτ (2.61) Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της σχέσης (2.6) έχουμε n 1 LT { D p f()} = s n G(s) s k g (n k 1) () (2.62) Ο μετασχηματισμός της g(), χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.59) είναι Επιπλέον G(s) = s p n F (s) (2.63) g (n k 1) () = dn k 1 d n k 1 D p n f() = D p k 1 f() (2.64) Από τις σχέσεις (2.62), (2.63) και (2.64) προκύπτει τελικά n 1 [ LT { D p f()} = s p F (s) s k D p k 1 ] f() =, n 1 p < n (2.65) 34

Η εφαρμογή αυτού του τύπου σε πρακτικά προβλήματα είναι πολύ περιορισμένη λόγω της ύπαρξης αρχικών συνθηκών για τις κλασματικές παραγώγους της συνάρτησης f() στο κάτω όριο του πεδίου ορισμού τους. 2.8.2 Μετασχηματισμός Laplace της κλασματικής παραγώγου κατά Capuo Η παράγωγος κατά Capuo γράφεται στη μορφή C D p f() = D p n g(), g() = f (n) (), (n 1 < p n) (2.66) Επομένως εδώ πρώτα χρησιμοποιούμε τη σχέση (2.59) για το μετασχηματισμό του ολοκληρώματος κατά Riemann - Liouville και έπειτα τη σχέση (2.57) για το μετασχηματισμό των ακέραιης τάξης παραγώγων. LT { C D p f() } = s p n G(s) (2.67) n 1 n 1 G(s) = s n F (s) s n k 1 f (k) () = s n F (s) s k f (n k 1) () (2.68) Από τις (2.67) και (2.68) παίρνουμε : LT { C D p f() } n 1 = s p F (s) s p k 1 f (k) (), n 1 < p n (2.69) Όπως φαίνεται, χρησιμοποιώντας την παράγωγο κατά Capuo οι οριακές συνθήκες που εισάγονται αφορούν ακέραιας τάξης παραγώγους της συνάρτησης f(), συνεπώς έχουν φυσικό νόημα! Για το λόγο αυτό στις περισσότερες φυσικές εφαρμογές χρησιμοποιείται η παράγωγος κατά Capuo. Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να φαίνεται ιδιαίτερο, ωστόσο, όπως θα φανεί από το μετασχηματισμό Laplace των διαδοχικών παραγώγων, έχει κάποια λογική εξήγηση. 35

2.8.3 Μετασχηματισμός Laplace διαδοχικών κλασματικών παραγώγων κατά Miller-Ross Έστω σ m = ad σm ad σ m 1 = a D am ad a m 1 ad a 1 = a D a m 1 ad a m 1 ad a 1 m a j, < a j 1, (j = 1, 2,..., m) j=1 Τότε μπορεί να αποδειχθεί [1, pg. 18-19] ότι m 1 LT { D σm f()} = s σm F (s) s σm σ m k [ D σ m k 1 ] f() = (2.7) ad σ m k 1 = a D a m k 1 ad a m k 1 ad a 1, (k =, 1,..., m 1) Από τον παραπάνω τύπο φαίνεται ο γενικότερος κανόνας σε ό,τι αφορά τις αρχικές συνθήκες. Έστω μία διαφορική εξίσωση που περιέχει εκτός των άλλων την παράγωγο της συνάρτησης τάξης p. Επίσης, έστω n 1 p < n. Τότε οι αρχικές συνθήκες που εισάγονται από αυτή την παράγωγο είναι n, όσες δηλαδή θα εισήγαγε μία παράγωγος τάξης n, με την εξής διαφορά. Ενώ στις ακέραιες παραγώγους η διαδρομή για να φτάσουμε σε μία n-τάξης παράγωγο είναι μοναδική, και περιλαμβάνει όλες τις προηγούμενες ακέραιες παραγώγους, πλέον υπάρχουν άπειρες δυνατές διαδρομές. Με τον περιορισμό ότι < a j 1 υπάρχουν άπειροι δυνατοί συνδυασμοί που οδηγούν στην παράγωγο τάξης p και ο καθένας εισάγει τις δικές του αρχικές συνθήκες. Οι αρχικές συνθήκες αφορούν την κάθε προηγούμενη συνολική παράγωγο της διαδρομής πριν από την p, και την ίδια την παράγωγο p, μειωμένες κατά 1. Ο λόγος, λοιπόν, για τον οποίο η παράγωγος κατά Capuo έχει το αξιοσημείωτο αποτέλεσμα να δίνει αρχικές συνθήκες σε ακέραιες παραγώγους, είναι ότι χρησιμοποιεί ακέραιες παραγώγους της f() μέχρι να φτάσει στην f (n) () και έπειτα, με μία ολοκλήρωση τάξης μικρότερης της μονάδας φτάνει στην C D p f(). Η ολοκλήρωση βέβαια δεν εισάγει αρχικές συνθήκες. 36

2.9 Μετασχηματισμός Fourier των κλασματικών διαφορικών τελεστών Ο μετασχηματισμός Fourier ορίζεται ως F T {h()} = H(ω) = και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier ως IF T {H(ω)} = h() = 1 2π Ο μετασχηματισμός Fourier της συνέλιξης h() g() = h( τ) g(τ) dτ = e jω h() d (2.71) H(ω) e jω dω (2.72) h(τ) g( τ) dτ όπου οι h() και g() ορίζονται στο (, ), ισούται με το γινόμενο των μετασχηματισμών της κάθε μίας. F T {h() g()} = H(ω) G(ω) (2.73) Τέλος, ο μετασχηματισμός Fourier της ακέραιας τάξης παραγώγου μιας συνάρτησης h() είναι: F T { h (n) () } = ( jω) n H(ω) (2.74) Χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις αποδεικνύεται [1, pg. 11-112] ότι θέτοντας ως κάτω όριο ορισμού το, για μη ακέραιης τάξης ολοκλήρωμα ή παράγωγο τάξης p και για όλους τους ορισμούς (κατά Grünwald-Lenikov, Riemann - Liouville και Capuo) ισχύει ο ίδιος τύπος, ο εξής: F T { D p g() } = ( jω) p G(ω) (2.75) 37

3 Διαφορικές εξισώσεις μη ακέραιης τάξης Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιαστούν συνοπτικά ορισμένες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων μη ακέραιας τάξης και οι λύσεις που προκύπτουν από αυτές μέσω μίας αρκετά ισχυρής και γενικής μεθόδου επίλυσης, αυτής του μετασχηματισμού Laplace. Έχουν μελετηθεί γενικά πολλοί τρόποι επίλυσης, όμως οι περισσότεροι λύνουν συγκεκριμένες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων και είναι αρκετά πιο δύσκολοι στη χρήση. Τα αποτελέσματα που θα παρουσιασθούν αφορούν κλασματικές γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Δεδομένου ότι τέτοιου είδους εξισώσεις, μερικές ή μη, απαντώνται πολύ συχνά σε φυσικά προβλήματα, υπάρχει η ανάγκη μιας αποτελεσματικής και εύκολης στη χρήση μεθόδου επίλυσής τους, όπως αυτή που περιγράφεται. Πριν από την παρουσίασή της, αξίζει να τονιστεί ότι στο τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου του I. Podlubny [1] δίνονται αποδείξεις, χρησιμοποιώντας αναφορές και σε άλλα βιβλία μαθηματικών, για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα λύσης σε γραμμικές και μη γραμμικές κλασματικές διαφορικές εξισώσεις. Στο τέλος της ενότητας θα παρουσιαστούν και οι αριθμητικές τεχνικές προσέγγισης κλασματικών παραγώγων και επίλυσης κλασματικών διαφορικών εξισώσεων. 3.1 Απλές γραμμικές κλασματικές διαφορικές εξισώσεις Στη γενικότερη περίπτωση έχουμε το εξής πρόβλημα αρχικών τιμών: n 1 D σ n y() + p j () D σ n j y() + p n () y() = f(), ( > ) (3.1) j=1 όπου [D σ k 1 y() ] = = b k, k = 1, 2,..., n (3.2) ad σ k ad σ k 1 σ k = = a D a k = a D a k 1 k j=1 ad a k 1 ad a 1 ad a k 1 ad a 1 a j, (k = 1, 2,..., n) < a j 1, (j = 1, 2,..., n) και f() (, ) 38

Έχουμε θεωρήσει ότι ο χρόνος εκκίνησης είναι =, επομένως το κάτω όριο στις παραγωγίσεις είναι το. Παράδειγμα 3.1. D σ n y() = f() (3.3) [D σ k 1 y() ] = = b k, k = 1, 2,..., n (3.4) Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace έχουμε n 1 s σn Y (s) s σn σ n k [ D σ n k 1 ] y() = = F (s) n 1 Y (s) = s σ n F (s) + b n k s σ n k (3.5) Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace έχουμε ότι y() = 1 Γ(σ n ) ( τ) σ n 1 f(τ) dτ + n 1 b n k Γ(σ n k ) σ n k 1 (3.6) ή, με την αντικατάσταση i = n k: y() = 1 Γ(σ n ) ( τ) σ n 1 f(τ) dτ + n i=1 b i Γ(σ i ) σ i 1 (3.7) Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.25) και λαμβάνοντας υπόψη ότι παρατηρούμε ότι D σ k 1 Γ( m) ( σ i ) 1 = Γ(σ i ) =, m =, 1, 2,... σ i σ k 1, (k < i) Γ(σ i σ k ), (k i) (3.8) 39

( D σ k 1 σ i ) 1 = Γ(σ i ) σ i σ k, (k < i) Γ(1 + σ i σ k ) 1, (k = i), (k > i) (3.9) επομένως εύκολα επαληθεύεται η ισχύς της εξίσωσης (3.7). Παράδειγμα 3.2. D 1 / 2 f() + af() =, ( > ) (3.1) [ D 1 / 2 ] f() = C (3.11) = Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace παίρνουμε [ s 1 / 2 F (s) + af (s) ad 1 / 2 ] f() = F (s) = C = s 1 / 2 (3.12) + a και ο αντίστροφος μετασχηματισμός, χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.3) δίνει f() = C 1 2 E 1 2, 1 2 ( a ) (3.13) Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα σε σειρά (1.18) της E α,β (), αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση που a = 1, η λύση της εξίσωσης είναι ( 1 f() = C e erfc( ) ) (3.14) π Παράδειγμα 3.3. D Q f() + D q f() = h() (3.15) Υποθέτουμε αρχικά ότι < q < Q < 1. Ο μετασχηματισμός Laplace της (3.15) δίνει: (s Q + s q ) F (s) = C + H(s) [ C = D q 1 f() + D Q 1 ] f() = (3.16) 4

Επομένως: F (s) = C + H(s) = C + H(s) s Q + s q s q (s Q q + 1) = ( C + H(s) ) s q s Q q + 1 (3.17) Με αντιστροφή της σχέσης (3.17) και με τη βοήθεια της (1.29) λαμβάνουμε όπου και f() = C G() + [ C = D q 1 G( τ) h(τ) dτ (3.18) f() + D Q 1 ] f() = G() = Q 1 E Q q, Q ( Q q ) (3.19) Η περίπτωση < q < Q < n επιλύεται με παρόμοιο τρόπο. Παράδειγμα 3.4. [ όπου n 1 < α < n D α f() λf() = h(), ( > ) (3.2) D α k Με τον ίδιο τρόπο όπως προηγουμένως λαμβάνουμε ] f() = b k, (k = 1, 2,..., n) (3.21) = s α F (s) λ F (s) = H(s) + F (s) = H(s) n s α λ + k=1 n b k s k 1 k=1 b k s k 1 s α λ (3.22) Αντιστρέφοντας κατά Laplace και με χρήση της (1.29) έχουμε τη λύση f() = n b k α k E α,α k+1 (λ α ) + k=1 ( τ) α 1 E α,α (λ( τ) α ) h(τ) dτ (3.23) Από τα δύο παραπάνω παραδείγματα, παρατηρούμε πως στην περίπτωση που οι 41

διαφορικές εξισώσεις είναι μη ομογενείς, η λύση περιέχει και τη συνέλιξη του μη ομογενούς όρου με μία συνάρτηση G() που εξαρτάται από τις παραγώγους που εμπλέκονται στην εξίσωση. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται κλασματική συνάρτηση του Green και μελετάται πιο αναλυτικά στο κεφάλαιο 5 του βιβλίου του I. Podlubny [1]. 3.2 Μερικές γραμμικές κλασματικές διαφορικές εξισώσεις Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πώς η μέθοδος του μετασχηματισμού Laplace μπορεί να εφαρμοσθεί και για την επίλυση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Παράδειγμα 3.5. Κλασματική εξίσωση διάχυσης του Nigmaullin Έστω η παρακάτω εξίσωση, η οποία αποτελεί γενίκευση της γνωστής εξίσωσης διάχυσης: D α u(x, ) = λ 2 2 u(x, ) x 2, ( >, < x < ) (3.24) [ lim u(x, ) =, D α 1 u(x, ) x ± ] = = φ(x) (3.25) Υποθέτουμε επίσης ότι < α < 1. Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier ως προς την παράμετρο x και λαμβάνοντας υπόψη τις οριακές συνθήκες (3.25) έχουμε D α ū(ω, ) + λ 2 ω 2 ū(ω, ) = (3.26) [ ] D α 1 ū(ω, ) = ϕ(ω) (3.27) = Εφαρμόζοντας τώρα μετασχηματισμό Laplace ως προς την παράμετρο έχουμε s 2 Ū(ω, s) + λ 2 ω 2 Ū(ω, s) ϕ(ω) = Ū(ω, s) = ϕ(ω) s α + λ 2 ω 2 (3.28) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιώντας την (1.29) δίνει ū(ω, ) = ϕ(ω) α 1 E α,α ( λ 2 ω 2 α ) (3.29) Για να βρούμε τώρα την τελική λύση πρέπει να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της (3.29). Η λύση γράφεται στην παρακάτω μορφή 42

G(x, ) = 1 π u(x, ) = G(x ξ, ) φ(ξ) dξ (3.3) α 1 E α,α ( λ 2 ω 2 α ) cos(ωx) dω (3.31) Το ολοκλήρωμα (3.31) μπορεί με κάποιες τεχνικές [1, pg. 141-142] να υπολογιστεί G(x, ) = 1 / 2 1 2λ α W ( z, α 2, α 2 ), z = x λ α / 2 (3.32) όπου W (z, λ, µ) είναι η συνάρτηση Wrigh (1.31). Παράδειγμα 3.6. Κλασματική εξίσωση διάχυσης των Schneider - Wyss Η παρακάτω εξίσωση δίνεται σε ολοκληρωτική μορφή. u(x, ) = φ(x) + λ 2 D α 2 u(x, ) x 2 (3.33) Με παρόμοιο τρόπο, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα παίρνουμε Ū(ω, s) = Οπότε η λύση γράφεται πάλι στη μορφή της (3.3), με G(x, ) = 1 π ϕ(ω) sα 1 s α + λ 2 ω 2 (3.34) E α,1 ( λ 2 ω 2 α ) cos(ωx) dω (3.35) Το ολοκλήρωμα (3.35) υπολογίζεται και πάλι με ίδιες τεχνικές [1, pg. 143] G(x, ) = 1 2λ α / 2 M(z, α 2 ), z = x λ α / 2 (3.36) Όπου M(z, ρ) = W ( z, ρ, 1 ρ) είναι η συνάρτηση Mainardi. 43

3.3 Επίλυση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους 3.3.1 Αριθμητική προσέγγιση των κλασματικών παραγώγων Καθώς στις περισσότερες φυσικές εφαρμογές ικανοποιούνται οι κατάλληλες συνθήκες ώστε οι παράγωγοι κατά Riemann-Liouville να ταυτίζονται με αυτές κατά Grünwald-Lenikov, ο τύπος (2.3) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αριθμητική προσέγγιση των κλασματικών παραγώγων. Έτσι έχουμε ότι: ή, θεωρώντας τους όρους ad p f() a p f() = 1 h p w (p) k h ( ) p ( 1) r f( kh) (3.37) k a = 1 k ( p k ) (3.38) ad p f() 1 h p h a w (p) k f( kh) (3.39) Ένας εύκολος τρόπος υπολογισμού των όρων w (p) k w (p) = 1, w (p) k = είναι με την αναδρομική σχέση ( 1 p + 1 ) w (p) k 1, k = 1, 2, 3,... (3.4) k η οποία επαληθεύεται εύκολα με σχηματισμό του πηλίκου w(p) k. w (p) k 1 Ωστόσο, σε κάποιες εφαρμογές χρειάζεται να βρεθεί μια βέλτιστη τιμή της τάξης παραγώγισης p για την καλύτερη περιγραφή του προβλήματος. Αυτό σημαίνει ότι πολλές τιμές του p πρέπει να δοκιμασθούν και οι συντελεστές w (p) k πρέπει για κάθε μία να υπολογισθούν ξεχωριστά. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει πιο βολικός τρόπος από την επαναληπτική σχέση (3.4). Οι συντελεστές w (p) k μπορούν να θεωρηθούν ως αυτοί του αναπτύγματος σε σειρά Taylor της συνάρτησης (1 z) p (1 z) p = ( ) p ( 1) k z k = k Αντικαθιστώντας z = e iφ έχουμε (1 e iφ ) p = 44 w (p) k zk w (p) k e ikφ (3.41)

και οι συντελεστές w (p) k εκφράζονται ως όροι του μετασχηματισμού Fourier w (p) k = 1 2π f p (φ) e ikφ dφ, 2π 3.3.2 Η αρχή της "Βραχείας Μνήμης" f p (φ) = ( 1 e iφ) p (3.42) Όταν ο χρόνος γίνει πολύ μεγάλος σε σχέση με την αρχή, τότε οι όροι w (p) k γίνονται πάρα πολλοί και εμφανίζονται προβλήματα μνήμης και χρόνου εκτέλεσης. Ωστόσο, όπως φαίνεται από την έκφραση των συντελεστών w (p) k στον τύπο (2.3), αλλά και από τον ισοδύναμο τύπο (2.8), το "παρελθόν" της συνάρτησης κοντά στο κάτω όριο παραγώγισης δεν επιδρά πολύ για μεγάλο και συνεπώς μπορεί να αγνοηθεί! Αυτό οδηγεί στην αρχή της "βραχείας μνήμης" που σημαίνει ότι στην προσέγγιση των κλασματικών παραγώγων αρκεί να λάβουμε υπ' όψη μας τη συνάρτηση f() μόνο στο κοντινό παρελθόν της, για παράδειγμα στο διάστημα [ L, ] αντί για το [a, ] όπου L ονομάζεται το "βάθος" μνήμης. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το σφάλμα που εισάγεται λόγω αυτής της προσέγγισης γράφεται ως εξής () = a D p f() L D p f() M L p Γ(1 p) (3.43) όπου f() M για a b το οποίο συνήθως ισχύει σε εφαρμογές. Επομένως, αν θέλουμε ακρίβεια ώστε () ε, τότε από τον (3.43) προκύπτει ότι το L πρέπει να ικανοποιεί την παρακάτω σχέση 3.3.3 Εφαρμογή της προσέγγισης σε εξισώσεις ( ) 1/p M L (3.44) ε Γ(1 p) Παρακάτω δίνονται δύο παραδείγματα εφαρμογής της αριθμητικής μεθόδου για την επίλυση κάποιων διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν σε εφαρμογές. Παράδειγμα 3.7. Έστω η εξίσωση D p y() + A y() = f(), ( > ) (3.45) y (k) () =, (k =, 1,..., n 1) 45

όπου n 1 < p n. Για < a 2 η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση χαλάρωσης - ταλάντωσης και είναι από τις πιο απλές εξισώσεις που εμφανίζονται σε φυσικά προβλήματα. Έστω ότι: m = mh, y m = y( m ), f m = f( m ), (m =, 1, 2,...) ( ) w (p) p k = ( 1) k k Τότε, η προσέγγιση πρώτης τάξης του προβλήματος (3.45) είναι h p m w (p) k y m k + A y m = f m, (m = 1, 2,...), y = (3.46) Εφόσον όμως y (k) () =, (k =, 1, 2,..., n 1) ο τύπος (3.46) γίνεται h p y m + h p m k=1 w (p) k y m k + A y m = f m, (m = n, n + 1,...) (3.47) y k =, (k = 1, 2,..., n 1) Από τον (3.47) προκύπτει άμεσα η λύση για την y m, ωστόσο αποδεικνύεται ότι ο τύπος (3.47) συγκλίνει καλύτερα αν αντί για τον όρο A y m της συνάρτησης y() χρησιμοποιηθεί ο όρος A y m 1. Επομένως, μετά από αυτή την αλλαγή, η λύση δίνεται ως εξής: y m = A h p y m 1 m k=1 w (p) k y m k + h p f m, (m = n, n + 1,...) (3.48) y k =, (k = 1, 2,..., n 1) Παράδειγμα 3.8. Έστω η εξίσωση A y () + B D 3 / 2 y() + C y() = f(), ( > ) (3.49) y() =, y () = Η εξίσωση αυτή ονομάζεται μη ομογενής εξίσωση των Bagley-Torvik και προκύπτει [1, pg. 225-229] σε ένα πρόβλημα υδροδυναμικής. Συγκεκριμένα, η συνάρτηση y() εκφράζει την αναταραχή στην επιφάνεια (μετατόπιση της επιφάνειας) 46

ενός ρευστού, στο οποίο υπάρχει μια εμβυθισμένη πλάκα, η οποία κινείται κάθετα στην επιφάνεια κάτω από την επίδραση μίας δύναμης f(). Η πλάκα έχει μάζα M, επιφάνεια S και είναι συνδεδεμένη με ένα ελατήριο σταθεράς k, το οποίο βρίσκεται πάνω από το ρευστό, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.1. Σχήμα 3.1 Για την εξίσωση ισχύει ότι A = M, B = 2 S µρ, C = K, όπου επίσης ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού και µ το ιξώδες του. Με παρόμοιο όπως και πριν τρόπο εξάγεται η παρακάτω προσεγγιστική εξίσωση A h 2 (y m 2y m 1 + y m 2 ) + B h 3 / 2 m w (3/2) k y m k + C y m = f m, (m = 2, 3,...) (3.5) y 1 y y =, = y 1 = h Και εδώ αποδεικνύεται ότι καλύτερη σύγκλιση επιτυγχάνεται αν όπου Cy m αντικατασταθεί ο όρος Cy m 1. Τελικά, η λύση είναι: h 2 (f m Cy m 1 ) + A(2y m 1 y m 2 ) B h m w (3 / 2 ) k y m k k=1 y m = A + B (3.51) h για (m = 2, 3,...) Τα αποτελέσματα της μεθόδου βρίσκονται σε συμφωνία με την αναλυτική λύση [1, pg. 23-231] 47