Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΜΕΝΑΚΗ ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ. ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: κ.

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΜΕΝΑΚΗ ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: κ. ΧΑΛΙΔΙΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Σάμος, Σεπτέμβριος 2017

2 Ευχαριστίες Αισθάνομαι την ανάγκη να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέπων καθηγητή κύριο Χαλιδιά Νικόλαο για τη μεγάλη προθυμία, καθώς επίσης και για την υποδειγματική του καθοδήγηση στην εκπόνηση της παρούσας πτυχιακής εργασίας. Τον ευχαριστώ ακόμα για την υπομονή και την υποστήριξη που μου έδειξε κατά τη διάρκεια της άκρως εποικοδομητικής συνεργασίας μας. Επίσης, τον ευχαριστώ όχι μόνο για τις γνώσεις που μου μετέφερε ως διδάσκων, αλλά και γιατί ήταν πρόθυμος να με βοηθήσει καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος ευχαριστώ την οικογένεια μου για την αγάπη και τη συμπαράσταση που μου προσφέρουν για να γίνουν τα όνειρα μου πραγματικότητα

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 1 Ολοκληρωτικός λογισμός 1.1 Αόριστο ολοκλήρωμα Παράγουσα (ή αρχική) συνάρτηση Βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος 1.2 Ορισμένο ολοκλήρωμα Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος Διαφορετική έκφραση του αόριστου ολοκληρώματος Το ορισμένο ολοκλήρωμα ως συνάρτηση Κεφάλαιο 2 2 Ειδικές συναρτήσεις του κλασματικού διαφορικού λογισμού 2.1 Η συνάρτηση Γάμμα Ορισμός της συνάρτησης Γάμμα Μερικές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα 2.2 Η συνάρτηση Βήτα 2.3 Η συνάρτηση Mittag-Leffler Κεφάλαιο 3 3 Κλασματική Παράγωγος 3.1 Ορισμοί διαφοράς 3.2 Ακέραια τάξη παραγώγων 3.3 Ορισμός της κλασματικής παραγώγου 3.4 Δομή του κλάδου της κλασματικής παραγώγου Προσθετικότητα και αντιμεταθετικότητα των τάξεων

4 3.5 Απλά παραδείγματα Η εκθετική Η σταθερή συνάρτηση Η LT της κλασματικής παραγώγου Η συνάρτηση αιτιολογικής δύναμης 3.6 Πίνακας: Ορισμοί κλασματικών ολοκληρωμάτων Κεφάλαιο 4 4 Κλασματικό ολοκλήρωμα 4.1 Πίνακας: Ορισμοί κλασματικών ολοκληρωμάτων Κεφάλαιο 5 5 Αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων 5.1 Εισαγωγή 5.2 Αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων για τις διαφορές Θετικές ακέραιες τάξεις Κλασματική τάξη Δύο ιδιότητες Επαναλαμβανόμενη διαφοροποίηση Αντιμετάθεση 5.3 Απόκτηση του γενικευμένου τύπου Cauchy 5.4 Ανάλυση του τύπου Cauchy Γενική διατύπωση 5.5 Παραδείγματα Η Εκθετική συνάρτηση Η συνάρτηση δύναμης Παράγωγοι πραγματικών συναρτήσεων θ=0:προς τα εμπρός παράγωγος θ=π: Προς τα πίσω παράγωγος

5 5.5.4 Παράγωγοι μερικών αιτιολογικών συναρτήσεων 5.6 Παράγωγοι συναρτήσεων με μετασχηματισμό Laplace 5.7 Γενικευμένες παράγωγοι Caputo και Riemann-Liouville για αναλυτικές συναρτήσεις Παράγωγοι RL και C στο μιγαδικό επίπεδο Παράγωγοι μισού επιπέδου 5.8 Συμπεράσματα Βιβλιογραφικές αναφορές

6 Εισαγωγή Ο κλασματικός λογισμός, όπως και πολλοί άλλοι μαθηματικοί κλάδοι και ιδέες, έχει την προέλευσή του στην προσπάθεια για επέκταση του νοήματος. Πολύ καλά γνωστά παραδείγματα είναι οι επεκτάσεις των ακεραίων στους λογικούς αριθμούς, των πραγματικών αριθμών στους μιγαδικούς αριθμούς, των κλασματικών των ακεραίων στην έννοια της Γ-συνάρτησης. Στον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό το ερώτημα της προέκτασης του νοήματος είναι: Μπορούν οι παράγωγοι της ακέραιας τάξης n> 0, αντίστοιχα των n-πτυχών ολοκληρωμάτων, να επεκταθούν όταν το n είναι οποιοδήποτε αριθμητικό, κλασματικό, άρρητο ή μιγαδικό; Η καταφατική απάντηση οδήγησε στον λεγόμενο κλασματικό λογισμό, μια εσφαλμένη ονομασία για τη θεωρία των τελεστών ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης της αυθαίρετης (κλασματικής) τάξης και των εφαρμογών τους. Ο κλασματικός λογισμός είναι ο κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά παραγώγους και ολοκληρώματα κλασματικής τάξης. Το πρώτο κεφάλαιο αναφέρεται στις βασικές έννοιες των αόριστων και ορισμένων ολοκληρωμάτων. Το δεύτερο κεφάλαιο περιέχει μια ανασκόπηση των βασικότερων στοιχείων της θεωρίας της κλασματικής ανάλυσης που θα χρησιμοποιήσουμε, όπως: η συνάρτηση Γάμμα, η συνάρτηση Βήτα και η συνάρτηση Mittag-Leffler. Στο τρίτο κεφάλαιο θα ορίσουμε την κλασματική παράγωγο. Αρχικά θα παρουσιάσουμε την παράγωγο Grünwald-Letnikov και την ακέραια τάξη παραγώγων. Στη συνέχεια θα αναφερθούμε στη δομή του κλάδου της κλασματικής παραγώγου και τέλος θα δώσουμε κάποια παραδείγματα. Στο τέταρτο κεφάλαιο θα γίνει αναφορά στο κλασματικό ολοκλήρωμα. Στο πέμπτο κεφάλαιο θα αναφερθούμε στις αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων. Θα γίνει μια εισαγωγή κι έπειτα θα μελετηθούν οι αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων για τις διαφορές όπου θα δοθούν και δύο ιδιότητες: η επαναλαμβανόμενη διαφοροποίηση και η αντιμετάθεση. Επίσης θα αναλύσουμε τον τύπο του Cauchy και θα δώσουμε παραδείγματα. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τις παραγώγους συναρτήσεων με μετασχηματισμό Laplace.Επιπλέον θα γίνει αναφορά στις γενικευμένες παραγώγους Caputo και Riemann-Liouville για αναλυτικές συναρτήσεις. Τέλος θα γίνει παρουσίαση των συμπερασμάτων που προκύπτουν.

7 Κεφάλαιο 1 1 Ολοκληρωτικός λογισμός Το κεφάλαιο του Ολοκληρωτικού Λογισμού περιλαμβάνει δύο μεγάλες ενότητες. Η πρώτη περιέχει την Αόριστη Ολοκλήρωση, ενώ η δεύτερη την Ορισμένη Ολοκλήρωση. 1.1 Αόριστο ολοκλήρωμα Παράγουσα ( ή αρχική) συνάρτηση Ορισμός: Η συνάρτηση F λέγεται παράγουσα της f που ορίζεται στο διάστημα Δ όταν : για κάθε x Δ Θεώρημα: Έστω η F είναι μία παράγουσα της f στο διάστημα Δ. Τότε: O y=f(x)

8 H συνάρτηση, με c πραγματική σταθερά, είναι παράγουσα της f στο Δ Κάθε παράγουσα G της f στο Δ, έχει μορφή, με c πραγματική σταθερά y=f(x Απόδειξη: y=f(x Κάθε συνάρτηση της μορφής, όπου είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού για κάθε. O y=f(x y=f(x Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε ισχύουν και οπότε για κάθε Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε, για. Παρατήρηση: Η παράγουσα μιας συνάρτησης μοναδική. αν υπάρχει), δεν είναι Ορισμός : Αόριστο ολοκλήρωμα (ή ολοκλήρωμα) της f στο διάστημα Δ λέγεται τo σύνολο όλων των παραγουσών της f στο Δ. Συμβολίζεται f(x)dx και διαβάζεται «ολοκλήρωμα f του x ντε x»

9 Το x λέγεται μεταβλητή ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωση λέγεται η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε το αόριστο ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης. Γενικά η ολοκλήρωση είναι πιο επίπονη από την παραγώγιση και ποικίλει ανάλογα με την μορφή της συνάρτησης. Εξάλλου υπάρχουν συναρτήσεις που τα αόριστα ολοκληρώματά τους δεν υπολογίζονται στοιχειωδώς (δηλαδή να εκφράζονται με την βοήθεια γνωστών συναρτήσεων ). Στην περίπτωση αυτών των συναρτήσεων τα ολοκληρώματα τους εκφράζονται με την βοήθεια δυναμοσειρών (δηλαδή απείρων αθροισμάτων δυνάμεων του x) Βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος 1. Αν F παράγουσα της f στο διάστημα Δ, τότε F (x) f(x) για κάθε x 2. Αν F, G παράγουσες της f τότε και, για κάθε x Δ. 3. Αν F παράγουσα της f στο διάστημα Δ τότε f(x)dx F(x) c, 4. f (x)dx f(x) c, όπου f παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ. 5. f(x)dx f(x) 6. Γραμμικότητα του ολοκληρώματος β) α) λf(x)dx=λ f(x)dx και γενικά f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx

10 1.1.3 Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος Εφαρμόζουμε τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος και κυρίως την ιδιότητα της γραμμικότητας σε συνδυασμό με τα ολοκληρώματα των βασικών συναρτήσεων που αναφέρονται στον ΠΙΝΑΚΑ I Ειδικά: 1) Εάν η συνάρτηση είναι ή μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός βασικών συναρτήσεων κάνουμε χρήση του πίνακα αορίστων ολοκληρωμάτων (ΠΙΝΑΚΑΣ I ) 2) Εάν στη θέση της μεταβλητής x του βασικού ΠΙΝΑΚΑ I έχουμε συνάρτηση τότε: εμφανίζουμε την ( αν δεν υπάρχει) Με διορθωτικές πράξεις φέρουμε το ολοκλήρωμα στη μορφή g (f (x))f (x)dx (δηλ. έχουμε παράγωγο σύνθετης συνάρτησης) Τότε το ολοκλήρωμα ισούται με (δηλ. ο (ΠΙΝΑΚΑΣ I) με το στην θέση του x ) g(f(x)) dx = g(f(x))+c (ΠΙΝΑΚΑΣ II )

11 ΠΙΝΑΚΑΣ I ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ II ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ) 0dx c 1dx x c f (x)dx f (x) c λdx λx+c λf (x)dx f (x) c 2 x 2 xdx c 2 f (x)f (x)dx 1 f (x) c 2 α x dx α+1 x = +c α+1 α f (x)f (x)dx 1 = f (x)+c α+1 α+1 1 dx x 2 x c f (x) f (x) dx 2 f (x) c ημxdx -συνx+c ημf (x) f (x)dx=-συνf(x)+c συνxdx =ημx+c συνf(x) f (x)dx=ημf(x)+c 1 2 συν x dx 2 (1+εφ x)dx=εφx 2 1 συν f(x) f (x)dx 2 1+εφ f(x) f (x) dx ε 1 2 ημ x dx 2 (1+σφ x)dx=-σφx 2 1 ημ f(x) f (x)dx 2 1+σφ f(x) f (x) dx -σ x e x dx e c f (x) e f (x) f (x)dx e c 1 dx x ln x c f (x) f (x) dx ln f (x) c

12 1 ν dx x -ν+1 x 1 +c ν -ν+1 f (x) 1 -ν+1 -ν+1 f (x)dx= f (x)+c ν x μ dx μ x ν μ 1 x ν dx +c μ +1 ν ν f μ (x) f (x)dx= μ ν f (x) μ 1 ν f (x) f (x)dx= +c μ +1 ν x α x α dx +c lnα f(x) α f(x) α f (x)dx= +c lnα lnxdx xlnx x c ln f (x) f (x)dx f (x)lnf(x) f(x) c 1 dx log x c xln10 1 f (x)ln10 f (x)dx logf (x) c 3) Γράφουμε την προς ολοκλήρωση συνάρτηση με μορφή παραγώγου κάποιας συνάρτησης οπότε με την ιδιότητα g (x)dx g(x) c το ολοκλήρωμα υπολογίζεται (ΠΙΝΑΚΑΣ III) ΠΙΝΑΚΑΣ III ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΜΟΡΦΗ G (x)dx f (x)g(x) f(x)g (x) dx= [f(x)g(x)] dx=[f(x)g(x)] +c f (x)g(x) - f(x)g (x) 2 g (x) dx f(x) g(x) f(x) dx c g(x) gf(x) g(f(x)) f (x)dx dx g(f(x)) c Ειδικά όταν f(x)=αx+β : g(αx+β)dx= 1 g(αx+β) 1 α dx g(αx+β) c α με άμεσες εφαρμογές στα ολοκληρώματα:

13 1 αx+β 1 dx= ln αx+β +c α αx+β 1 αx+β e dx = e +c α αx+β ν αx+β 1 1 dx= α ν+1 +c, 1 ν (αx+β) 1 1 αx+β dx= +c, 2 α -ν+1 αx+β dx αx+β 1 2 αx+β dx α 3 +c 2 1 x β dx x x dx 1 2 ημ(αx+β)dx=- 1 α συν(αx+β)+c συν(αx+β)dx= 1 α ημ(αx+β)+c 1.2 Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος Γνωρίζουμε ότι τα αόριστα ολοκληρώματα είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής και έτσι δεν έχουν ορισμένες τιμές. Όμως, για ένα δεδομένο αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης μπορούμε να θέσουμε δύο τιμές a και b (a < b), να τις αντικαταστήσουμε πάνω στην συνάρτηση και να πάρουμε την εξής διαφορά η οποία έχει μία σταθερή αριθμητική τιμή ανεξάρτητη από την μεταβλητή x και από την σταθερά c. Η τιμή αυτή ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της από το a (κατώτερο όριο) στο b (ανώτερο όριο) και υπολογίζεται ως εξής:

14 Παράδειγμα 1: Υπολογίστε το. Το αόριστο ολοκλήρωμα του είναι: x 3 + c άρα το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι: Παράδειγμα 2: Υπολογίστε το. Παράδειγμα 3: Υπολογίστε το, Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι : 1 + x + x 2 + c. εφόσον

15 1.2.2 Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος Τα ορισμένα ολοκληρώματα έχουν τις εξής ιδιότητες: Ιδιότητα 1 Η εναλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης αλλάζει το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος Απόδειξη Παράδειγμα: Ιδιότητα 2 Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το 0 όταν τα δύο όρια είναι όμοια. Αυτό υποδηλώνει πως το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και των αξόνων είναι μηδέν σε κάθε σημείο. Αυτό συμβαίνει γιατί το επίπεδο είναι μονοδιάστατο και όχι δισδιάστατο και δεν μπορούν να χαραχτούν πάνω από μια γραμμές.

16 Ιδιότητα 3 Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα πεπερασμένου αριθμού υπό ολοκληρωμάτων. Η ιδιότητα αυτή που αναφέρεται και σαν προσθετική μας βοηθάει να ολοκληρώνουμε τις ασυνεχείς συναρτήσεις σε σημεία κατά Riemann. Ακόμα βοηθά στον ευκολότερο υπολογισμό του εμβαδού. Σημείωση: Αν και θεωρούμε μόνο κλειστά διαστήματα τα οριακά σημεία b και c αυτά δεν συμπεριλαμβάνονται δύο φορές στον υπολογισμό του εμβαδού όπως θα έπρεπε να γίνει αφού η Ιδιότητα 2 μας λέει ότι η επιφάνεια πάνω από ένα σημείο είναι μηδέν έτσι ώστε ο διπλός υπολογισμός δεν έχει καμία επίδραση στις πράξεις μας. Στην περίπτωση που έχουμε ασυνεχείς συναρτήσεις τότε μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του τμήματος που μας ενδιαφέρει ή των τμημάτων, απλά προσθέτοντας τα ορισμένα ολοκληρώματα. Ιδιότητα 4 Ιδιότητα 5 Παράδειγμα: ( k= σταθερός αριθμός) Ιδιότητα 6

17 Παράδειγμα: Ιδιότητα 7 Το ολοκλήρωμα κάθε περιττή συνάρτησης f(x) (f(-x)=-f(x)) με αντίθετα άκρα ολοκλήρωσης είναι μηδέν Ιδιότητα 8 =0 Το ολοκλήρωμα κάθε άρτιας συνάρτησης ολοκλήρωσης είναι ίσο με με αντίθετα άκρα = Διαφορετική έκφραση του αόριστου ολοκληρώματος Αν στο ορισμένο ολοκλήρωμα θεωρήσουμε το ένα άκρο ελεύθερο ως προς μεταβλητή x, έχουμε:. Το ολοκλήρωμα μπορεί να πάρει τη μορφή Αν τώρα θέσουμε c = F(a), τότε το παραπάνω ολοκλήρωμα γίνεται ακριβώς το αόριστο ολοκλήρωμα Το ορισμένο ολοκλήρωμα ως συνάρτηση Το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε συνεχούς συνάρτησης ως: ορίζεται

18 και είναι συνάρτηση του άνω άκρου x της ολοκλήρωσης (όπου a είναι σταθερά και x μια μεταβλητή). Η συνάρτηση F(x) έχει την ιδιότητα δηλαδή: που σημαίνει ότι: κάθε συνεχής συνάρτηση έχει ένα αόριστο ολοκλήρωμα. Κεφάλαιο 2 Ειδικές συναρτήσεις του κλασματικού διαφορικού λογισμού Θα συζητήσουμε πρώτα μερικούς χρήσιμους μαθηματικούς ορισμούς που είναι εγγενώς συνδεδεμένοι με τον κλασματικό λογισμό και θα συναντηθούν συνήθως. Αυτοί περιλαμβάνουν τη συνάρτηση Γάμμα, τη συνάρτηση Βήτα και τη συνάρτηση Mittag-Leffler. 2.1 Η συνάρτηση Γάμμα Η συνάρτηση Γάμμα του Euler είναι μία από τις σημαντικότερες συναρτήσεις για τον κλασματικό διαφορικό λογισμό. Γενικεύει την έννοια του παραγοντικού n! και επιτρέπει στο n να πάρει και μιγαδικές τιμές εκτός από πραγματικές Ορισμός της συνάρτησης Γάμμα Η συνάρτηση Γάμμα ορίζεται μέσω του τύπου ολοκληρώματος Που συγκλίνει για Re(z) > 0.. Πράγματι έχουμε

19 Η έκφραση στις αγκύλες είναι φραγμένη για κάθε t.η σύγκλιση στο άπειρο εξασφαλίζεται λόγω της που τείνει στο 0 ταχύτερα από οποιαδήποτε πολυωνυμική δύναμη, ενώ η σύγκλιση στο 0 εξασφαλίζεται για x=re(z) > 0.Μπορεί να αποδειχθεί ότι το ολοκλήρωμα (2.1) συγκλίνει ομοιόμορφα για,επομένως η είναι ακέραια. Πρέπει να τονιστεί ξανά ότι το ολοκλήρωμα (2.1) συγκλίνει στη συνάρτηση Γάμμα μόνο στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, ενώ στο αριστερό αποκλίνει στο Μερικές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα Μία από τις πιο γνωστές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα είναι η εξής: Από τον (2.2) εύκολα προκύπτει η γενίκευση του παραγοντικού με τον εξής τρόπο:

20 Eπέκταση της συνάρτησης Γάμμα. Έστω συνάρτηση που ορίζεται ως Όπου η προκύπτει από τον τύπο (2.1) Τότε η ορίζεται για.δηλαδή, προκύπτει ως πηλίκο ακέραιων συναρτήσεων. Αν λοιπόν βρούμε τον τύπο της σε κάποιο χωρίο εντός του πεδίου ορισμού της, τότε αyτός ο τύπος θα ισχύει σε όλο το πεδίο ορισμού. Για έχουμε ότι Επομένως: Βλέπουμε, δηλαδή ότι η ταυτίζεται με τη Καθώς το n μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή,ο τύπος για την σε όλο το μιγαδικό επίπεδο είναι: Παρακάτω φαίνεται το γράφημα της συνάρτησης Γάμμα για πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή για

21 2.2 Η συνάρτηση Βήτα Η συνάρτηση Βήτα είναι επίσης πολύ χρήσιμη στη θεωρία των κλασματικών διαφορικών τελεστών καθώς χρησιμοποιείται σε αρκετές αποδείξεις. Ορίζεται ως εξής: Για να βρούμε τη σχέση που συνδέει τη συνάρτηση Βήτα με τη συνάρτηση Γάμμα χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Laplace. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο ολοκλήρωμα Προφανώς η (2.5) είναι η συνέλιξη των συναρτήσεων και,και

22 Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στη σχέση (2.5) και χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητά του για τη συνέλιξη συναρτήσεων έχουμε Εφαρμόζοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace στην (2.5) έχουμε Παίρνοντας τώρα προκύπτει: Καθώς ο τύπος (2.7) συσχετίζει τη συνάρτηση Βήτα με τη Γάμμα. Χρησιμοποιώντας τώρα τον τύπο (2.7) μπορούν να αποδειχθούν δύο ακόμη, πολύ σημαντικές ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα. Η πρώτη είναι η εξής : Από την οποία προκύπτει και ότι

23 Η δεύτερη είναι η παρακάτω Από την οποία για προκύπτει Η οποία περιλαμβάνει και την (2.9). 2.3 Η συνάρτηση Mittag-Leffler Η συνάρτηση Mittag-Leffler είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση κλασματικών διαφορικών εξισώσεων. Η Mittag-Leffler μιας παραμέτρου, αποτελεί γενίκευση της. Ορίζεται με τον εξής τρόπο Η συνάρτηση Mittag-Leffler δύο παραμέτρων η οποία γράφεται ως Η συνάρτηση αυτή καλύπτει ένα πολύ ευρύ φάσμα συναρτήσεων κάποιες από τις οποίες είναι οι εξής:

24 Και στη γενικότερη περίπτωση Επίσης, το υπερβολικό ημίτονο και συνημίτονο

25 Όπως και αρκετές γενικεύσεις των τριγωνομετρικών και των υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορούν να γραφούν ως ειδικές περιπτώσεις της συνάρτησης Mittag-Leffler δύο παραμέτρων. Αποδεικνύεται επίσης ότι Όπου Κεφάλαιο 3 3 Κλασματική παράγωγος Το κύριο σημείο είναι η χρήση του ίδιου τύπου για την περίπτωση παραγώγου(θετικές τάξεις) και την περίπτωση ολοκληρώματος (αρνητικές τάξεις). Στην περίπτωση αυτή, δεν πρέπει να μας ενδιαφέρει ούτε για οποιαδήποτε σταθερά ολοκλήρωσης ούτε για τις αρχικές συνθήκες. 3.1 Ορισμοί διαφοράς Έστω ότι είναι μια σύνθετη μεταβλητή συνάρτηση και εισάγουμε και ως πεπερασμένες '' άμεσες '' και '' αντίστροφες '' διαφορές που ορίζονται από: Και (3.9) (3.10)

26 με h και υποθέτουμε ότι ή με. Η επαναλαμβανόμενη χρήση των παραπάνω ορισμών οδηγεί στο: Όπου είναι οι διωνυμικοί συντελεστές. Οι ορισμοί αυτοί επεκτείνονται εύκολα στην κλασματική περίπτωση [16]: (3.13) (3.14) Όπου υποθέτουμε.αυτό το ανάπτυγμα παραμένει έγκυρο στην αρνητική ακέραια περίπτωση. Έστω ( Τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση, εάν ΖΤ == για (3.15) Όπου

27 Παρουσιάζοντας το σύμβολο Pochhammer, και βάζοντας, αποκτούμε: = (3.16) Από το (3.16) οδηγούμαστε στο: (3.17) Για την αντίστροφη περίπτωση, έχουμε: = (3.18) όπως και (3.19) Και = (3.20)

28 Έχουμε: (3.21) Έτσι, μπορούμε να γράψουμε: (3.22) Για την anti-causal (αντι-αιτιακή) περίπτωση, έχουμε: (3.23) Όπως μπορεί να φανεί, αυτές οι εκφράσεις είναι εκείνες που αποκτάμε βάζοντας στο (3.13) και (3.14) που εμφανίζονται εδώ ως παραστάσεις για τις διαφορές οποιασδήποτε τάξης. 3.2 Ακέραια τάξη παραγώγων Ο κανονικός τρόπος εισαγωγής της παραγώγου μιας συνεχούς συνάρτησης είναι μέσω των ορίων της αυξητικής αναλογίας: Και (3.24) (3.25)

29 Είναι γνωστό ότι το πρώτο είναι καλύτερο από το δεύτερο λόγω των θεμάτων σταθερότητας. Η χρήση του LT στους παραπάνω ορισμούς μας επιτρέπει να αποκτήσουμε τις συναρτήσεις: s= = (3.26) Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι παραπάνω παράγωγοι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, όποτε υπάρχουν και το είναι συνεχής συνάρτηση. Πρέπει επίσης να τονίσουμε. Για να υπολογίσουμε τις παραγώγους υψηλής τάξης πρέπει να προχωρήσουμε διαδοχικά επαναλαμβάνοντας την εφαρμογή των τύπων (3.24) ή (3.25). Αυτό σημαίνει ότι, αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της τέταρτης τάξης, πρέπει να υπολογίσουμε.ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο δεύτερης τάξης από το πρώτο. Έχουμε = = = (3.27) Όπως είδαμε, αποκτήσαμε μια έκφραση που μας επιτρέπει να λάβουμε την παράγωγο δεύτερης τάξης απευθείας από τη συνάρτηση. Μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία για τη διαδοχική αύξηση των τάξεων ώστε να αποκτήσουμε μια γενική έκφραση: (3.28)

30 Που μας επιτρέπει να αποκτήσουμε την παράγωγο νιοστής- τάξης (n-τάξης) άμεσα χωρίς να «περάσουμε» από τις ενδιάμεσες παραγώγους. Για να δούμε ότι αυτό είναι σωστό, υποθέτουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της τάξης του από την παράγωγο πρώτης τάξης του (3.28). Έχουμε: (z)= = = (3.29) = = Καθώς, και καταλήγουμε εύκολα ότι Το οποίο μαζί με (3.29) επιβεβαιώνει την ισχύ της σχέσης (3.28). Συνεχίζοντας όμοια με το (3.25) λαμβάνουμε (3.30)

31 Οι εκφράσεις (3.28) και (3.30) μας επιτρέπουν να κάνουμε έναν άμεσο υπολογισμό της παραγώγου n-τάξης μιας δεδομένης συνάρτησης. Λαμβάνοντας υπόψη (3.11) και (3.12) βλέπουμε ότι οι παραπάνω παράγωγοι είναι όρια αυξητικής αναλογίας. Όπως και πριν, είναι απλό να χρησιμοποιήσουμε το LT για να αποκτήσουμε τη συνάρτηση H(s) = Ισχύει για το. 3.3 Ορισμός της κλασματικής παραγώγου Για να γενικεύσουμε τη γνωστή έννοια των κλασματικών παραγώγων ξεκινάμε από τις παραπάνω παραγώγους να εισαγάγουμε τη γενική διατύπωση της αυξανόμενης αναλογίας που ισχύει για οποιαδήποτε σειρά, πραγματική ή μιγαδική, που λαμβάνεται από τις κλασματικές διαφορές των τάξεων (3.13) και (3.14). Ορισμός : Ορίζουμε την κλασματική παράγωγο του κλασματικής αυξητικής αναλογίας με το όριο της (3.32) όπου είναι ένας μιγαδικός αριθμός, με Αυτή η παράγωγος είναι μία παράγωγος βασισμένη στη γενική αύξηση της αναλογίας που επεκτείνεται σε όλο το μιγαδικό επίπεδο των κλασικών παραγώγων.

32 Για να κατανοήσουμε και να δώσουμε μια ερμηνεία στον παραπάνω τύπο, υποθέτουμε ότι το είναι χρόνος και ότι είναι πραγματικό Αν κοιτάξουμε το (3.32) ως γραμμικό σύστημα, η πρώτη περίπτωση είναι causal (αιτιακή), ενώ η δεύτερη είναι anti-causal (αντι- [17,18]. Γενικά, καλούμε (3.32) την προς τα εμπρός παράγωγο Grünwald- (3.33) Αν, βάζουμε για να αποκτήσουμε την προς τα πίσω παράγωγο Grünwald-Letnikov (3.34) Ο εκθετικός παράγοντας σε αυτόν τον τύπο την κάνει διαφορετική από τη λεγόμενη δεξιά GL παράγωγο. Οι όροι προς τα εμπρός και προς τα πίσω χρησιμοποιούνται εδώ σε συμφωνία με τον τρόπο που ρέει ο χρόνος, από το παρελθόν στο μέλλον ή το αντίστροφο.

33 3.4 Δομή του κλάδου της κλασματικής παραγώγου Προσθετικότητα και αντιμεταθετικότητα των τάξεων Προσθετικότητα: Θα εφαρμόσουμε το (3.32) δύο φορές για δύο τάξεις. Έχουμε (3.35) Για να το αποδείξουμε αρχίζουμε από το (3.32) και γράφουμε: Για κάθε α, β

34 Προσεταιριστικότητα: Αυτή η ιδιότητα προκύπτει εύκολα από τα παραπάνω αποτελέσματα. Στην πραγματικότητα, είναι εύκολο να το δείξουμε Ουδέτερο στοιχείο: Αν βάλουμε στο (3.35) λαμβάνουμε: (3.38) Ή χρησιμοποιώντας το ξανά (3.39) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, διότι δηλώνει την ύπαρξη αντίστροφων. Αντίστροφο στοιχείο : Από το τελευταίο αποτέλεσμα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει πάντα ένα αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε α τάξη παραγώγου, υπάρχει πάντα α τάξη παραγώγου. Για να κατανοήσουμε την κατάσταση πρέπει να αναφέρουμε ότι το αντίστροφο δίνεται από το (3.32) και δεν δίνει καμία σταθερότητα αρχικοποίησης. Έτσι, όταν το α είναι θετικό θα μιλάμε για παράγωγο. Όταν το α είναι αρνητικό, θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο αόριστο ολοκλήρωμα/αντιπαράγωγο. Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα: αντιστρέφουμε τους κανόνες παραγώγισης.

35 3.5 Απλά Παραδείγματα Η Εκθετική Ας εφαρμόσουμε τους παραπάνω ορισμούς στη συνάρτηση. Η σύγκλιση του (3.33) εξαρτάται από τα s και h. Έστω, η σειρά στο (3.33) γίνεται Όπως είναι γνωστό, η διωνυμική σειρά είναι συγκλίνων με τον κύριο κλάδο της Με την προϋπόθεση ότι, δηλαδή εάν. Τότε

36 Αν που αντιστοιχεί στο να δουλέψουμε με τον κύριο κλάδο της συνάρτησης δύναμης,. Παρατηρούμε τη σειρά στο (3.34) με έχουμε μια άλλη διωνυμική σειρά: Συνεχίζοντας όπως παραπάνω, που είναι συγκλίνων με τον κύριο κλάδο της με την προϋπόθεση ότι.θα υποθέσουμε ότι δουλεύουμε στον κύριο κλάδο και ότι η είναι συνεχής από πάνω. Λαμβάνουμε άμεσα: Με, και Ισχύει αν θ. Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί κατά τη χρήση των παραπάνω αποτελεσμάτων. Στην πραγματικότητα, με μια πρώτη ματιά, θα μπορούσαμε να οδηγηθούμε να το χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων των συναρτήσεων όπως. Αλλά εάν έχουμε κατά νου το σκεπτικό μας, μπορούμε να συμπεράνουμε αμέσως ότι αυτές οι συναρτήσεις δεν έχουν πεπερασμένες παραγώγους αν z Στην πραγματικότητα χρησιμοποιούν ταυτόχρονα τα εκθετικά και των οποίων οι παράγωγοι δεν μπορούν να υπάρχουν ταυτόχρονα.

37 3.5.2 Η σταθερή συνάρτηση Αρχίζουμε με τον υπολογισμό της κλασματικής παραγώγου της σταθερής συνάρτησης. Έστω ότι για κάθε και Από το (3.32) έχουμε: Για να το αποδείξουμε, θα εξετάσουμε το μερικό άθροισμα της σειράς Καθώς περιοριστική το πηλίκο των δύο γάμμα συναρτήσεων έχει μια γνωστή που μας επιτρέπει να δείξουμε οδηγώντας στα όρια που φαίνονται στο (3.41).Έτσι η α τάξη κλασματικής παραγώγου της μονάδας είναι η μηδενική συνάρτηση. Εάν, το όριο είναι άπειρο. Έτσι, δεν υπάρχει το κλασματικό '' αρχικό μιας συνεχούς. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει εάν το α είναι ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα, εξετάζουμε την περίπτωση. Από το (3.32), έχουμε: Όπου L είναι το ακέραιο μέρος του. Έχουμε

38 Πρέπει να τονιστεί ότι η '' σταθερά παραγώγισης '' δεν εμφανίζεται όπως αναμένεται. Αυτό σημαίνει ότι όταν εργαζόμαστε στο πλαίσιο που ορίζεται από το (3.32), δύο συναρτήσεις με την ίδια κλασματική παράγωγο είναι ίσες. Το παράδειγμα που μόλις αντιμετωπίσαμε μας επιτρέπει να έχουμε ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα: Δεν υπάρχουν κλασματικές παράγωγοι της συνάρτησης δύναμης που ορίζεται στο R (ή C). Στην πραγματικότητα, υποθέσαμε ότι υπάρχει μια κλασματική παράγωγος του, Πρέπει να έχουμε: Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να είμαστε προσεκτικοί όταν προσπαθούμε να γενικεύσουμε τη σειρά Taylor. Συμπεραίνουμε επίσης ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την κλασματική παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας απευθείας την επέκταση του Taylor. Το ίδιο αποτέλεσμα θα μπορούσε να ληφθεί απευθείας από το (3.32). Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι μια συνάρτηση δύναμης τείνει στο άπειρο όταν η παράμετρος τείνει στο -.Οι επεκτάσεις του Taylor μπορούν να χρησιμοποιηθούν υπό την προϋπόθεση ότι εξετάζουμε μόνο τα causal αιτιώδη (δεξιά) ή anti-causal αντι-αιτιατά (αριστερά) μέρη Η LT της κλασματικής παραγώγου Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη γενίκευση μιας πολύ γνωστής ιδιότητας του μετασχηματισμού Laplace. Αν επιστρέψουμε στην εξίσωση (3.33) και εφαρμόσουμε τον διμερή μετασχηματισμό Laplace

39 και στις δύο πλευρές και χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα στο (3.40). Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: όπου με θεωρούμε την κύρια διακλάδωση και μια τομή γραμμής στο αριστερό μισό επίπεδο. Με την Εξίσωση (3.34) λαμβάνουμε: όπου τώρα η branch cut line βρίσκεται στο δεξιό μισό επίπεδο. Αυτά τα αποτελέσματα έχουν μια ερμηνεία του συστήματος: Υπάρχουν δύο συστήματα (διαφοροποιητές) με την ίδια έκφραση για τη συνάρτηση μεταφοράς, αλλά με διαφορετικές περιοχές σύγκλισης: το ένα είναι causal (αιτιώδες), το άλλο είναι anti-causal (αντι-αιτιατό). Επεξήγηση branch cut line: είναι μια καμπύλη (με άκρα πιθανόν ανοιχτά, κλειστά ή μισάνοιχτα) στο μιγαδικό επίπεδο κατά το οποίο μια αναλυτική συνάρτηση πολλαπλών τιμών είναι ασυνεχής. Για ευκολία, οι περικοπές κλάδων λαμβάνονται συχνά ως γραμμές ή τμήματα γραμμής. Οι περικοπές κλάδων (ακόμη και εκείνες που αποτελούνται από καμπύλες) είναι επίσης γνωστές ως γραμμές κοπής, σχισμές Η συνάρτηση Αιτιολογικής Δύναμης Μπορούμε να πάρουμε την παράγωγο οποιασδήποτε τάξης της συνάρτησης. Είναι μια συνεχής συνάρτηση, με άπειρες (ακέραιας τάξης)παραγώγους.για να υπολογίσουμε την κλασματική παράγωγο του ο εύκολος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε το μετασχηματισμό Laplace (LT). Όπως είναι γνωστό, το LT του είναι, για. Ο μετασχηματισμός της κλασματικής παραγώγου της τάξης. Έτσι, δίνεται από: που γενικεύει τον τύπο ακέραιας τάξης για

40 3.6 Πίνακας: Ορισμοί κλασματικών παραγώγων Ονομασία Ορισμός. Αριστερό μέρος παραγώγου Riemann- Liouville φ(t) = Δεξί μέρος παραγώγου Riemann- Liouville φ(t) = Αριστερό μέρος παραγώγου Caputo φ (t) = Δεξί μέρος παραγώγου Caputo φ(t) = Παράγωγος Marchaud Γενικευμένη συνάρτηση Αριστερό (μέρος) Grünwald Letnikov Δεξί (μέρος) Grünwald Letnikov

41 Κεφάλαιο 4 4 Κλασματικό ολοκλήρωμα Έστω [α,b] (- και ο χώρος των συναρτήσεων f που είναι απολύτως συνεχείς στο [α,b], δηλαδή όπου ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α,b]). Τα κλασματικά ολοκληρώματα Riemann-Liouville και τάξεως μιας συνάρτησης ορίζονται ως (4.1) Και (4.2) αντίστοιχα, όπου είναι η συνάρτηση Γάμμα.Τα ολοκληρώματα αυτά καλούνται αριστερό και δεξιό κλασματικό ολοκλήρωμα της f(x). Στην ειδική περίπτωση που oι ορισμοί (4.1) και (4.2) παριστάνουν τις n διαδοχικές ολοκληρώσεις της συνεχούς συνάρτησης για ή αντίστοιχα. Πράγματι, αν τότε από την (4.1) παίρνουμε

42 Σημείωση : Τα κλασματικά ολοκληρώματα Riemann-Liouville (4.1) και (4.2) μπορούν να επεκταθούν αντίστοιχα στον ημιάξονα ως εξής: Και 4.1 Πίνακας : Ορισμοί κλασματικών ολοκληρωμάτων Ονομασία Ορισμός. Ολοκλήρωμα Liouville φ(t) = Ολοκλήρωμα Riemann φ(t) = Ολοκλήρωμα Hadamard Αριστερό μέρος ολοκληρώματος Riemann- Liouville φ(t) = Δεξί μέρος ολοκληρώματος Riemann- Liouville φ(t) = Αριστερό μέρος

43 ολοκληρώματος Weyl φ(t) = Δεξιά πλευρά ολοκληρώματος Weyl φ(t) = Κεφάλαιο 5 5 Αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων 5.1 Εισαγωγή Αντιμετωπίσαμε το πρόβλημα του ορισμού της κλασματικής παραγώγου και προτάθηκε η χρήση του Grünwald-Letnikov και ειδικότερα των προς τα εμπρός και προς τα πίσω παραγώγων. Αυτές οι επιλογές προκλήθηκαν από πέντε βασικούς λόγους: Να μην χρειάζονται περιττοί υπολογισμοί παραγώγων, Να μην εισάγουμε ανεπιθύμητες αρχικές συνθήκες, Να είναι πιο ευέλικτα, Να επιτρέπουν διαδοχικούς υπολογισμούς, Να είναι γενικότερες υπό την έννοια ότι επιτρέπουν την εφαρμογή τους σε μια μεγάλη κατηγορία συναρτήσεων. Υπάρχουν πολλές αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων, κυρίως όταν εργαζόμαστε σε μια μιγαδική διάταξη. Είναι πολύ γνωστό ότι το ανάπτυγμα στο μιγαδικό επίπεδο αντιπροσωπεύεται από την γενικευμένη παράγωγο Cauchy. Επομένως, χρειαζόμαστε μια συνεπή μαθηματική λογική για μια σύνδεση μεταξύ του αναπτύγματος GL και του γενικευμένου Cauchy. Αντιμετωπίζοντας αυτό το πρόβλημα, υποθέτουμε εδώ σαν αφετηρία τους ορισμούς των άμεσων και των αντίστροφων κλασματικών διαφορών και παρουσιάζουμε τις αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων τους. Από αυτές τις αναπαραστάσεις και χρησιμοποιώντας τις ασυμπτωτικές ιδιότητες της συνάρτησης

44 Γάμμα, θα αποκτήσουμε το γενικευμένο ολοκλήρωμα Cauchy ως ενοποιημένη διατύπωση για οποιοδήποτε τάξη παραγώγου στο μιγαδικό επίπεδο. Η γενικευμένη παράγωγος Cauchy των αναλυτικών συναρτήσεων είναι ίση με την κλασματική παράγωγο του Grünwald Letnikov. Όταν προσπαθούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Cauchy χρησιμοποιώντας το περίγραμμα Hankel συμπεραίνουμε ότι: Το ολοκλήρωμα έχει δύο όρους: το ένα αντιστοιχεί σε μια παράγωγο και το άλλο σε ένα αρχικό. O ακριβής υπολογισμός οδηγεί σε ένα κανονικοποιημένο ολοκλήρωμα, γενικεύοντας την γνωστή έννοια της ψευδο-συνάρτησης, αλλά χωρίς να απορρίπτει οποιοδήποτε άπειρο μέρος. Ο ορισμός συνεπάγεται αιτιότητα. Τα εμπρός και τα προς τα πίσω παράγωγα αναδύονται και πάλι ως πολύ ειδικές περιπτώσεις. Θα τα μελετήσουμε για την περίπτωση των συναρτήσεων με τους μετασχηματισμούς Laplace. 5.2 Αναπαραστάσεις ολοκληρωμάτων για τις διαφορές Στο Κεφ. 3, παρουσιάσαμε τις γενικές περιγραφές των κλασικών διαφορών. Οι κλασματικές διαφορές βασίστηκαν σε μια μελέτη από τους Diaz και Osler [1]. Πρότειναν μια διατύπωση ολοκληρώματος για τις διαφορές και εικάζουν για τη δυνατότητα χρήσης του για τον ορισμό μιας κλασματικής παραγώγου. Το πρόβλημα αυτό συζητήθηκε επίσης στο Διεθνές Συνέδριο που διεξήχθη με θέμα «Μέθοδοι μετασχηματισμού και ειδικές συναρτήσεις», Βάρνα 96, όπως δήλωσε η Kiryakova [2]. Η ισχύς τέτοιων εικασιών αποδείχθηκε [3,4] και χρησιμοποιήθηκε για να ληφθούν τα ολοκληρώματα του Cauchy από τις διαφορές και ταυτόχρονα να γενικευθεί στην κλασματική περίπτωση. Αυτές οι διατυπώσεις ολοκληρώματος για τις κλασματικές διαφορές θα παρουσιαστούν στα ακόλουθα. Θα ξεκινήσουμε από την υπόθεση ακέραιων τάξεων περιπτώσεων Θετικές Ακέραιες Τάξεις Επιστρέφουμε πίσω στην Ενότητα. 3.1 και να ανακτήσουμε τους τύπους για τις διαφορές που παρουσιάσαμε εκεί. Εξετάζουμε πρώτα την υπόθεση θετικών

45 ακέραιων τάξεων (3.11) και (3.12).Υποθέτουμε ότι το είναι αναλυτικό μέσα σε μια κλειστή διαδρομή ολοκλήρωσης που περιλαμβάνει τα σημεία στην άμεση περίπτωση και στην αντίστοιχη αντίστροφη περίπτωση, με {βλέπε σχήμα 5.1} και. Σχήμα 5.1 Διαδρομές ολοκλήρωσης και πόλοι για την αναπαράσταση ολοκληρώματος διαφορών ακέραιας τάξης. Τα αποτελέσματα (3.11) και (3.12) στην πραγματικότητα μπορούν να θεωρηθούν ως είναι οι παράμετροι στον υπολογισμό του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης με πόλους στα Όπως μπορεί να φανεί με άμεση επαλήθευση, έχουμε: (5.1)

46 Και (5.2) Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι οι διωνυμικοί συντελεστές εμφανίζονται φυσιολογικά κατά τον υπολογισμό των παραμέτρων. Αυτές οι διατυπώσεις είναι πιο γενικές από εκείνες που προτείνονται από τους Diaz και Osler, επειδή έλαβαν υπόψη μόνο την περίπτωση Το γινόμενο στον παρονομαστή στους παραπάνω τύπους καλείται μεταβλητός παράγοντας και αντιπροσωπεύεται συνήθως από το σύμβολο Pochhammer. Με αυτό μπορούμε να εκφράσουμε τις διαφορές στις ακόλουθες διατυπώσεις ολοκληρώματος: (5.3) Και (5.4) Παρακολουθώντας τη σχέση μεταξύ του συμβόλου Pochhammer και της συνάρτησης Γάμμα: (5.5) Μπορούμε να γράψουμε:

47 (5.6) Και (5.7) Αυτό είναι σωστό και είναι συνεπές με τους ορισμούς της διαφοράς, επειδή η συνάρτηση Γάμμα έχει πόλους στους αρνητικούς ακεραίους Οι αντίστοιχες παράμετροι είναι ίσες με Πρέπει επίσης να παρατηρήσουμε ότι οι άμεσες και οι αντίστροφες διαφορές δεν είναι ίσες Κλασματική τάξη Εξετάσαμε τις κλασματικές διαφορές των τάξεων που ορίζονται στα (3.13) και (3.14).Δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε ότι αντιμετωπίζουμε μια κατάσταση παρόμοια με την θετική ακέραια περίπτωση, εκτός από το γεγονός ότι έχουμε άπειρους πόλους. Πρέπει λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε μια διαδρομή ολοκλήρωσης που περικλείει όλους τους πόλους. Αυτό μπορεί να γίνει με ένα περίγραμμα σχήματος όπως αυτά που φαίνονται στο σχήμα 5.2. Σχήμα 5.2 Διαδρομές ολοκλήρωσης και πόλοι για την αναπαράσταση ολοκληρώματος των διαφορών κλασματικής τάξης.

48 Χρησιμοποιούμε τις (5.6) και (5.7) με τις κατάλληλες τροποποιήσεις, λαμβάνουμε: (5.8) Και (5.9) Παρατηρούμε ότι το ένα μετατρέπεται στο άλλο με την αντικατάσταση Δύο ιδιότητες

49 Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με την περίπτωση κλασματική τάξης. Θα εξετάσουμε την άμεση υπόθεση. Το άλλο είναι παρόμοιο Επαναλαμβανόμενη διαφοροποίηση Πρόκειται να μελετήσουμε την επίδραση μιας διαδοχικής εφαρμογής του τελεστή διαφοράς Δ. Έχουμε (5.10) Παραμερίζοντας τις ολοκληρώσεις, αποκτάμε (5.11) Από το θεώρημα των παραμέτρων = = = (5.12)

50 Όπου είναι η υπεργεωμετρική συνάρτηση Gauss. Αν α+β+1>0, έχουμε: = (5.13) Οδηγώντας στο συμπέρασμα ότι: (5.14) Και υπό την προϋπόθεση ότι. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η παραπάνω συνάρτηση είναι μεταθετική. Η συνθήκη είναι περιοριστική, αφού μπορεί να συμβεί όταν δεν μπορούμε να έχουμε β. Ωστόσο, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι τα (5.8) και (5.9) ισχύουν για κάθε. Το ίδιο συμβαίνει με στο (5.15). Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το (5.15) με κάθε ζεύγος. Πρέπει να τονίσουμε ότι δεν πρέπει να αναμειγνύουμε τις δύο διαφορές, επειδή χρησιμοποιούν διαφορετικές διαδρομές ολοκλήρωσης. Εάν με οποιονδήποτε τρόπο αποφασίσουμε να το κάνουμε, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια διπλή ανοιχτή διαδρομή ολοκλήρωσης Αντιμετάθεση Βάζοντας στο (5.15), λαμβάνουμε:

51 Έτσι η συνάρτηση της διαφοροποίησης είναι αντιστρέψιμη. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε: στην άμεση περίπτωση. Στην αντίστροφη περίπτωση, θα έχουμε: σύμφωνα με το (5.9). 5.3 Απόκτηση του γενικευμένου τύπου Cauchy Η αναλογία των δύο Γάμμα συναρτήσεων έχει μια ενδιαφέρουσα επέκταση [5] : = καθώς Οι συντελεστές της σειράς μπορούν να εκφράζονται με όρους πολυωνύμων Bernoulli.

52 Εξετάζουμε ξανά το (5.8) και το (5.9). Έστω αριθμός. Αυτό μας επιτρέπει να γράψουμε:, όπου ε είναι μικρός (5.20) Και (5.21) Όπου και είναι τα περιγράμματα που παρουσιάζονται στο σχήμα 5.2. Οι όροι και είναι ανάλογοι με το. Έτσι, ο κλασματικός βαθμός αύξησης δίνεται από: (5.22) Και (5.23) επιτρέποντας λαμβάνουμε τις άμεσα και αντίστροφα γενικευμένες παραγώγους Cauchy:

53 (5.24) Και (5.25) Εάν και οι δύο παράγωγοι είναι ίσες και συμπίπτουν με τον συνήθη ορισμό Cauchy. Στην κλασματική περίπτωση έχουμε διαφορετικές λύσεις, αφού χρησιμοποιούμε διαφορετική διαδρομή ολοκλήρωσης. Παρατηρούμε ότι τα (5.24) και (5.25) είναι τυπικά τα ίδια. Διαφέρουν μόνο στη διαδρομή ολοκλήρωσης Ορισμός Ορίζουμε τη γενικευμένη παράγωγο Cauchy από (5.26) Όπου είναι οποιαδήποτε διαδρομή σχήματος και σχηματίζει μια γωνία με τον πραγματικό θετικό ημιάξονα. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, οι συγκεκριμένες περιπτώσεις οδηγούν σε νέες μορφές αναπαράστασης των εμπρός και των προς τα πίσω παραγώγων.

54 5.4 Ανάλυση του τύπου Cauchy Γενική διατύπωση Εξετάζουμε το γενικευμένο τύπο Cauchy (5.26) και το ξαναγράφουμε με πιο βολικό τρόπο που λαμβάνεται με απλή μετάφραση: (5.27) Εδώ θα επιλέξουμε το C ως μια ειδική διαδρομή ολοκλήρωσης: το περίγραμμα Hankel που παρουσιάζεται στο σχήμα 5.3. Αποτελείται από δύο ευθείες γραμμές και ένα μικρό κύκλο. Υποθέτουμε ότι περιβάλλει την επιλεγμένη branch cut line. Αυτό περιγράφεται από το με και Ο κύκλος έχει ακτίνα ίση με Εάν α είναι ένα αρνητικός ακέραιος, το ολοκλήρωμα κατά μήκος του κύκλου είναι μηδέν και οδηγούμαστε στον γνωστό επαναλαμβανόμενο τύπο ολοκλήρωσης [6-8]. Ας αναλύσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας το περίγραμμα Hankel. Για να μειώσουμε τα βήματα, θα υποθέσουμε ήδη ότι οι ευθείες γραμμές είναι απείρως κοντά. Έχουμε λοιπόν: (5.28) Πάνω από το έχουμε, ενώ πάνω από το έχουμε, με, πάνω από το έχουμε,με.μπορούμε να γράψουμε, τελικά:

55 Σχήμα 5.3 Το περίγραμμα Hankel που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της παραγώγου που ορίζεται στην Εξ Για τον πρώτο όρο, έχουμε: = = = (5.30) Όπου υποθέσαμε ότι είναι αναλυτικό δηλαδή δίνεται από μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά., επειδή το Για τον δεύτερο όρο, ξεκινάμε σημειώνοντας ότι η αναλυτικότητα της συνάρτησης μας επιτρέπει να γράψουμε: (5.31)

56 Για Έχουμε τότε: j j Πραγματοποιώντας την ολοκλήρωση, έχουμε: j -j =2j (5.33) Αλλά το άθροισμα στην τελευταία έκφραση μπορεί να γραφτεί σε μια άλλη ενδιαφέρουσα μορφή: = όπου Αν το αντικαταστήσουμε στο (5.33) και συνδέοντας με το (5.30) μπορούμε να γράψουμε: K - : σημαίνει το μικρότερο ακέραιο μικρότερο ή ίσο με το α ''.

57 (5.34) Αν, κάνουμε το εσωτερικό άθροισμα ίσο με το μηδέν. Χρησιμοποιώντας τον τύπο λογισμού της συνάρτησης Γάμμα παίρνουμε για το Κ (5.35) Τώρα αφήνουμε το να μηδενιστεί στο (5.34). Ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά πηγαίνει στο μηδέν και λαμβάνουμε: που ισχύει για οποιοδήποτε Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι το (5.36) δεν είναι τίποτα άλλο από μια γενίκευση της έννοιας ψευδο συνάρτησης [9, 10]. Η σχέση (5.36) αντιπροσωπεύει μια κανονικοποιημένη κλασματική παράγωγο που έχει κάποιες ομοιότητες με την παράγωγο Marchaud [5]: για 0 < α < 1, είναι ίσες. Αν κάποιος βάλει, μπορούμε να γράψουμε:

58 Όπου είναι μια μισή ευθεία που ξεκινά από το και σχηματίζει μια γωνία θ με τον θετικό πραγματικό άξονα. Όπως μπορούμε να συμπεράνουμε υπάρχουν άπειροι τρόποι υπολογισμού της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι έχουμε άπειρες διαφορετικές παραγώγους. 5.5 Παραδείγματα Η Εκθετική Συνάρτηση Για να επεξηγήσουμε τους προηγούμενους ισχυρισμούς πρόκειται να εξετάσουμε την περίπτωση της εκθετικής συνάρτησης. Έστω, με. Εισάγοντας το στο (5.36), έχουμε: Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω εξίσωση δίνει: Όπου η διαδρομή ολοκλήρωσης είναι ημιευθεία γραμμή που σχηματίζει γωνία ίση με θ με τον θετικό πραγματικό άξονα, σε συμφωνία με (5.36). Το ολοκλήρωμα στο (5.38) είναι σχεδόν ο γενικευμένος ορισμός της συνάρτησης Γάμμα [11,12] και είναι μια γενίκευση της αναπαράστασης ολοκληρώματος του Euler για τη συνάρτηση Γάμμα. Αλλά αυτό απαιτεί ολοκλήρωση κατά μήκος του θετικού πραγματικού άξονα. Ωστόσο, η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει κατά μήκος οποιασδήποτε ακτίνας με γωνία στο διάστημα [13]. Για να επιτευχθεί η σύγκλιση αυτού του ολοκληρώματος πρέπει να έχουμε απαραίτητα να είναι θετικό.. Αυτό σημαίνει ότι το α πρέπει

59 Η προς τα εμπρός παράγωγος μιας εκθετικής υπάρχει μόνο εάν η συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως η '' δεξιά '' συνάρτηση που θα μηδενιστεί όταν το πηγαίνει στο Επιστρέφοντας στο παραπάνω ολοκλήρωμα μπορούμε να γράψουμε: Το ολοκλήρωμα ορίζει την τιμή της συνάρτησης Γάμμα πραγματικότητα [11,12] έχουμε Στην (5.40) Εάν διατηρήσουμε τη συνθήκη που έγινε πριν: όταν μηδέν. Λαμβάνουμε τότε: το άθροισμα είναι Στη συγκεκριμένη περιοριστική περίπτωση, λαμβάνουμε υπό την προϋπόθεση ότι. Εάν το όριο είναι άπειρο. Τώρα, εξετάζουμε την περίπτωση όπου. Για να έχουμε σύγκλιση στο (5.38) πρέπει να έχουμε Αυτό σημαίνει ότι το εκθετικό πρέπει να πηγαίνει στο μηδέν όταν το πηγαίνει. Η παράγωγος εκφράζεται επίσης από το (5.41).Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το (5.41) είναι το αποτέλεσμα που δίνεται από την προς τα εμπρός παράγωγο εάν α > 0 και αυτό που δίνεται από την προς τα πίσω παράγωγο αν Αυτό έχει πολύ σημαντικές συνέπειες. Στην πραγματικότητα, θα μπορούσαμε να οδηγηθούμε στη χρήση του για να υπολογίσουμε τις παραγώγους των συναρτήσεων όπως, Aλλά εάν έχουμε κατά νου το σκεπτικό μας μπορούμε να συμπεράνουμε αμέσως ότι αυτές οι συναρτήσεις δεν έχουν πεπερασμένες παραγώγους εάν. Στην πραγματικότητα χρησιμοποιούν ταυτόχρονα τα εκθετικά και όπου οι παράγωγοι δεν μπορούν να υπάρχουν ταυτόχρονα, όπως μόλις είδαμε. Ωστόσο,

60 μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι συναρτήσεις που εκφράζονται από τη σειρά Dirichlet με όλα τα θετικά ή όλα αρνητικά έχουν πεπερασμένες παραγώγους που δίδονται από. Συγκεκριμένα οι συναρτήσεις με το μετασχηματισμό Laplace με την περιοχή σύγκλισης στα δεξιά ή αριστερά μισά επίπεδα έχουν κλασματικές παραγώγους. Μια άλλη ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι η cisoid Εισάγοντάς το ξανά στο (5.36), έχουμε: Με και έχουμε: Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το (5.42) παραμένει έγκυρο αν βάλουμε μόνο Πρέπει να Μπορούμε να συμπεράνουμε τότε ότι: (5.43) Αυτή η διαδικασία αντιστοιχεί στην επέκταση της εγκυρότητας της προς τα εμπρός παραγώγου. Για την η διαδικασία είναι παρόμοια που οδηγεί στο (5.44) Όταν, ανακτάμε τους συνήθεις τύπους.

61 5.5.2 Η συνάρτηση δύναμης Έστω, με. Αν, θα δείξουμε ότι που ορίζεται για κάθε δεν υπάρχει, εκτός αν είναι ένας θετικός ακέραιος,επειδή το ολοκλήρωμα στο (5.36) είναι αποκλίνων για κάθε Αυτό έχει μια σημαντική συνέπεια: δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας δεδομένης συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη σειρά Taylor και να υπολογίσουμε την παράγωγο όρο με βάση τον όρο. Ας δούμε τι συμβαίνει για τις μη ακέραιες τιμές του α. Απαιτείται η γραμμή τομής κλάδου να βρίσκεται εκτός της περιοχής ολοκλήρωσης. Αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι δύο γραμμές τομής κλάδου δεν μπορούν να διασταυρωθούν. Για να χρησιμοποιήσουμε το (5.36) υπολογίζουμε τις διαδοχικές παράγωγοι ακέραιας τάξης αυτής της συνάρτησης που δίδονται από: (5.45) Τώρα έχουμε: Με μια αντικατάσταση λαμβάνουμε:

62 Για να γίνει απλούστερη η ανάλυση, ας υποθέσουμε ότι Λαμβάνουμε: Ας αναλύσουμε το ολοκλήρωμα Όπως φαίνεται στο Ortigueira [14], το πρώτο ολοκλήρωμα είναι μια γενικευμένη εκδοχή της συνάρτησης Βήτα που ισχύει. Αλλά το δεύτερο είναι αποκλίνων. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση δύναμης που ορίζεται στο C δεν έχει κλασματικές παραγώγους Παράγωγοι πραγματικών συναρτήσεων Επειδή ενδιαφερόμαστε κυρίως για τις πραγματικές μεταβλητές συναρτήσεις, θα αποκτήσουμε τους κατάλληλους τύπους για αυτήν την περίπτωση. Τώρα, έχουμε μόνο δύο υποθέσεις:

63 θ=0: Προς τα εμπρός παράγωγος Αυτό αντιστοιχεί στην επιλογή του πραγματικού αρνητικού μισού άξονα ως γραμμή τομής κλάδου. Αν αντικαταστήσουμε στο (5.36), έχουμε: Δεδομένου ότι αυτό το ολοκλήρωμα χρησιμοποιεί τις αριστερές τιμές της συνάρτησης, θα το ονομάσουμε προς τα εμπρός ή άμεση παράγωγος θ= π: Αντίστροφη/προς τα πίσω παράγωγος Αυτό αντιστοιχεί στην επιλογή του πραγματικού θετικού μισού άξονα ως γραμμή τομής κλάδου. Αντικαθιστώντας το στο (5.36) και πραγματοποιώντας την αλλαγή έχουμε: Καθώς το ολοκλήρωμα αυτό χρησιμοποιεί τις τιμές της δεξιάς πλευράς της συνάρτησης, θα το ονομάσουμε προς τα πίσω ή αντίστροφη παράγωγος Παράγωγοι Μερικών Αιτιολογικών Συναρτήσεων Πρόκειται να μελετήσουμε τη causal power function (συνάρτηση αιτιακής δύναμης) και την εκθετική. Αν και θα μπορούσαμε να το κάνουμε χρησιμοποιώντας το LT, θα το κάνουμε εδώ χρησιμοποιώντας τη σχέση (5.49). Έστω φαίνεται παραπάνω: Όπως

64 που εισάγεται στο (5.49) δίνει που μετατρέπεται στην επόμενη έκφραση μέσω της αντικατάστασης Το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι μια αναπαράσταση της συνάρτησης Βήτα, για {βλ. [14]}. Αλλά Και τότε (5.51)

65 Τώρα ας δοκιμάσουμε την εκθετική συνάρτηση (5.49),λαμβάνουμε Εισάγοντάς το στο Υποθέτοντας ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα, παίρνουμε 5.6 Παράγωγοι συναρτήσεων με μετασχηματισμό Laplace Σκεφτόμαστε τώρα την ειδική κατηγορία συναρτήσεων με το μετασχηματισμό Laplace. Έστω ότι είναι μια τέτοια συνάρτηση και του LT, με μια κατάλληλη περιοχή σύγκλισης, Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε (5.53) Όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός μέσα στην περιοχή σύγκλισης. Εισάγοντας το (5.53) στο εσωτερικό του (5.49) και μεταθέτοντας τα σύμβολα ολοκλήρωσης, αποκτάμε: = Τώρα πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται παραπάνω στην Ενότητα 5.5. Αν, το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι ίσο με, αν είναι αποκλίνων. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: = για

66 Τώρα, εισάγουμε το (5.53) μέσα στο (5.50) και επαναλαμβάνουμε τα σύμβολα ολοκλήρωσης για να λάβουμε = Εάν και λαμβάνοντας υπόψη το αποτέλεσμα που λαμβάνεται στην Ενότητα 5.5 το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι ίσο με αν είναι αποκλίνων. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: = για Ο παράγοντας δεξιά παράγωγος. έχει αφαιρεθεί και η προκύπτουσα παράγωγος ονομάζεται 5.7 Γενικευμένες παράγωγοι Caputo και Riemann-Liouville για αναλυτικές συναρτήσεις Οι πιο γνωστές κλασματικές παράγωγοι είναι σχεδόν σίγουρα οι παράγωγοι Riemann-Liouville (RL) και Caputo (C) [5,8,15]. Χωρίς να ληφθούν υπόψη αυτά που τέθηκαν πριν [14], θα αντιμετωπίσουμε δύο συναφή ερωτήματα: Μπορούμε να διατυπώσουμε αυτές τις παραγώγους στο μιγαδικό επίπεδο; Υπάρχει συνεπής σχέση μεταξύ αυτών των παραγώγων και της βαθμιαίας αναλογίας που βασίζεται στο Grünwald-Letnikov (GL); Οι απαντήσεις για αυτές τις ερωτήσεις είναι θετικές. Συνεχίζουμε με την κατασκευή διατυπώσεων στο μιγαδικό επίπεδο που λαμβάνουμε από το GL όπως κάναμε στην Ενότητα 5.5.

67 5.7.1 Παράγωγοι RL και C στο μιγαδικό επίπεδο Η γενικευμένη παράγωγος GL επιβεβαιώνει = με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν και οι δύο παράγωγοι (των τάξεων α και β). Συγκεκριμένα μπορούμε να βάλουμε και και οδηγούμαστε στις ακόλουθες εκφράσεις Και Τα οποία μπορούμε να καλέσουμε μείγματα GL-RL και GL-C. Σύμφωνα με αυτό που παρουσιάσαμε στην Ενότητα 5.3 η παράγωγος GL οδηγεί στη γενικευμένη Cauchy για αναλυτικές συναρτήσεις. Έτσι, μπορούμε να γράψουμε:

68 Ας επιλέξουμε ξανά και.έχουμε: Ή που μπορεί να θεωρηθεί ως μια παράγωγος Caputo-Cauchy, υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα υπάρχει. Οι διαδρομές ολοκλήρωσης C και είναι γραμμές σχήματος U όπως φαίνεται στο σχήμα 5.2. Η αναπαράσταση (5.60) είναι έγκυρη επειδή το είναι αναλυτικό και υποθέσαμε ότι υπάρχει η παράγωγος GL. Έτσι τα (5.61) και (5.62) επίσης. Εξετάζουμε ξανά τη διαδρομή ολοκλήρωσης στο Σχήμα 5.3. Όπως πριν, μπορούμε να αναλύσουμε το (5.61) σε τρία ολοκληρώματα κατά μήκος των δύο μισών ευθείων γραμμών και του κύκλου. Έχουμε λοιπόν: Δεν χρειάζεται να συνεχίσουμε επειδή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το (5.36). Αυτό είναι έγκυρο επειδή η είναι αναλυτική της οποίας η παράγωγος της n- τάξης της είναι επίσης. Πάνω από το έχουμε, ενώ πάνω από το έχουμε με, πάνω από έχουμε με

69 Μπορούμε να γράψουμε, τελικά: + + Για τον πρώτο και τον δεύτερο όρο, έχουμε: + = Για τον τρίτο όρο, ξεκινάμε σημειώνοντας ότι η αναλυτικότητα της συνάρτησης μας επιτρέπει να γράψουμε:

70 Για.Έχουμε τότε j Πραγματοποιώντας την ολοκλήρωση, έχουμε: = 2j Καθώς το μειώνεται στο μηδέν, το άθροισμα στην τελευταία έκφραση πηγαίνει στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι όταν (5.65) Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως γενικευμένη παράγωγος Caputo. Στην πραγματικότητα, με, λαμβάνουμε: (5.66) που είναι η προς τα εμπρός παράγωγος Caputo στο R.

71 Τώρα, επιστρέφουμε στο (5.61) και βάζουμε, και πάλι: Αλλά Λαμβάνουμε, μετατρέποντας τις συναρτήσεις της παραγώγου και της ολοκλήρωσης Ο τύπος (5.69) είναι η μιγαδική εκδοχή της παραγώγου Riemann-Liouville που μπορούμε να γράψουμε με τη μορφή

72 Χρησιμοποιώντας ξανά τη διαδρομή ολοκλήρωσης Hankel, αποκτούμε: που είναι μια γενικευμένη παράγωγος RL. Με, μπορούμε να πάρουμε τη συνηθισμένη '' αριστερή '' διατύπωση του RL στο R. Με, παίρνουμε έναν παράγοντα τη δεξιά RL παράγωγο Παράγωγοι μισού επιπέδου Ας υποθέσουμε ότι. Σε αυτή την περίπτωση, το άθροισμα στο (3.32) {βλέπε (5.59) και (5.60)} πηγαίνει μόνο στο και η διαδρομή ολοκλήρωσης στο (5.27) είναι πεπερασμένη, κλειστή και εντελώς στο δεξί μισό μιγαδικό επίπεδο. Στο Σχήμα 5.4 υποθέσαμε ότι τα και είναι πραγματικά. Σχήμα 5.4 : Το περίγραμμα που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των παραγώγων ημιεπίπεδου Θεωρούμε μια ακολουθία (n = 1, 2, 3,...) που πηγαίνει στο μηδέν. Ο αριθμός των πόλων στο εσωτερικό της διαδρομής ολοκλήρωσης είναι K, αλλά στο όριο, το πηλίκο των δύο γάμμα συναρτήσεων θα οδηγήσει σε μια πολύπλευρη έκφραση που μας αναγκάζει να εισαγάγουμε μια γραμμής τομής κλάδου που ξεκινάει από το z και τελειώνει στο Πάνω από αυτή τη γραμμή το ολοκληρωτέο (intergrand) δεν είναι συνεχές.

73 Έτσι, έχουμε: Όπου C είναι ένα ανοιχτό περίγραμμα που περικυκλώνει τη γραμμή τομής κλάδου και γ είναι μια μικρή γραμμή που διέρχεται στο του οποίου το μήκος θα μειωθεί στο μηδέν {βλ. Σχήμα 5.5}. Το περίγραμμα γ είναι μια μικρή ευθεία γραμμή πάνω στον φανταστικό άξονα. Αν και το ολοκληρωτέο δεν είναι συνεχές, έχει μια ξαφνική άνοδο το δεύτερο ολοκλήρωμα παραπάνω είναι μηδέν. Θα υποθέσουμε ήδη ότι οι ευθείες γραμμές είναι απεριόριστα πλησιέστερες μεταξύ τους. Έχουμε λοιπόν: Σχήμα 5.5 :Το περίγραμμα Hankel που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της παραγώγου που ορίζεται στην εξίσωση 5.73

74 Πάνω από το έχουμε ενώ πάνω από το έχουμε με πάνω από έχουμε, Έστω Μπορούμε να γράψουμε,τελικά: + + Για τον πρώτο όρο έχουμε: =

75 Για τον δεύτερο όρο έχουμε Πραγματοποιώντας την ολοκλήρωση, έχουμε: Όπως και πριν: Αν το αντικαταστήσουμε στο (5.77) και ενώνοντας στο (5.75) μπορούμε να γράψουμε: (5.78)

76 με Αν ένα, κάνουμε τα τρία αθροίσματα ίσα με το μηδέν. Χρησιμοποιώντας τον τύπο λογισμού της συνάρτησης Γάμμα λαμβάνουμε για το Κ Τώρα έστω ότι το πάει στο μηδέν. Ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά στο (5.78) πηγαίνει στο μηδέν και λαμβάνουμε: Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει ότι σε αυτή την περίπτωση και με έχουμε ένα κανονικοποιημένο ολοκλήρωμα και έναν πρόσθετο όρο. Αυτό σημαίνει ότι είναι κάπως δύσκολο να υπολογιστεί η κλασματική παράγωγος χρησιμοποιώντας το (5.80): μια απλή έκφραση που λαμβάνεται από τη γενική παράγωγο GL οδηγεί σε έναν κάπως περίπλοκο σχηματισμό στο (5.80). Ωστόσο, εάν έχουμε

77 Έτσι, πρέπει να αποφύγουμε το (5.80). Για να το κάνουμε, παρατηρούμε πρώτα ότι από το (5.58) έχουμε: Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο α τάξης σε δύο βήματα. Ως ένα βήμα είναι μια κλασματική αντι-παράγωγος, αποφεύγουμε το (5.80) και χρησιμοποιούμε το (5.82). Η σειρά των βημάτων: υπολογισμός της παραγώγου ακέραιας τάξης πριν ή μετά από την αντιπαράγωγο οδηγεί σε Και που είναι οι τύποι C και RL στο μιγαδικό επίπεδο. Ωστόσο, από το (5.83) μπορούμε να γράψουμε επίσης: Και

78 Αυτά τα αποτελέσματα σημαίνουν ότι: μπορούμε εύκολα να ορίσουμε τις παραγώγους C-GL στο (5.86) και RL-GL στο (5.87). Παρακολουθώντας τον τρόπο που ακολουθήσαμε για τη μετάβαση από το GL στο C και το RL, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι, στην περίπτωση των αναλυτικών συναρτήσεων, η ύπαρξη παραγώγων RL ή C εξασφαλίζει την ύπαρξη του αντίστοιχου GL. Το αντίστροφο μπορεί να μην είναι σωστό, αφού η εναλλαγή του ορίου και η ολοκλήρωση στα (5.22) και (5.23) μπορεί να μην είναι έγκυρη. Είναι απλό να επιτύχουμε άλλες αναλύσεις ενός α, οδηγώντας σε έγκυρους ορισμούς. Μια πιθανότητα είναι η διαδοχική διαφοροποίηση Miller-Ross [7] : με. Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση πολλαπλών βημάτων που προτάθηκε από τους Samko [5] και με βάση τον ορισμό του Riemann-Liouville: με Αυτοί οι ορισμοί μας υποδεικνύουν ότι, για να υπολογίσουμε μια παράγωγο α, έχουμε άπειρους τρόπους, ανάλογα με τα βήματα που ακολουθούμε για να μεταβούμε από το (ή ) στο α, δηλαδή εκφράζουμε το α ως ένα άθροισμα των N πραγματικών ( ), με το όχι απαραίτητα μικρότερο ή ίσο με ένα.