ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 30 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι (c f ()) = c f (), για κάθε R Μονάδες Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες Α3. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f (o)=0, για o (α, β), και η παράγωγός της f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του o, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β) και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό. (μονάδες ) β) Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(B) P(A B) (μονάδες ) γ) Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα ( s, +s), όπου η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. (μονάδες ) δ) Αν είναι τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής X, τότε η αθροιστική συχνότητα N εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες της τιμής. (μονάδες ) ε) Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες f των τιμών της μεταβλητής. (μονάδες ) Μονάδες 0

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.30 Α. θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.3 Α3. θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.59 Α. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΘΕΜΑ Β Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ιστόγραμμα συχνοτήτων, το οποίο παριστάνει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Β. Να βρείτε το πλήθος των πωλητών της εταιρείας. Μονάδες 5 Β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων κατάλληλα συμπληρωμένο, δικαιολογώντας τη στήλη με τις σχετικές συχνότητες f, =,, 3, Κλάσεις Κεντρικές τιμές Συχνότητα Σχετική συχνότητα [, ) [, ) [, ) [, ) Σύνολο Β3. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των πωλήσεων του έτους. f Μονάδες 8 (μονάδες 6) 3

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 β) Να βρείτε το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον,5 χιλιάδων ευρώ (θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες). (μονάδες 6) Μονάδες ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β. Από το ιστόγραμμα συχνοτήτων παρατηρούμε ότι: =, =8, 3=, =6, οπότε το πλήθος των πωλητών της εταιρείας είναι : =++3+=0 Β. Κλάσεις Κεντρικές τιμές Συχνότητα Σχετική συχνότητα [, ) 3 0.3 [, 6 ) 5 8 0. [ 6, 8 ) 0.35 [8, 0) 9 6 0.5 Σύνολο 0 f= = = 0, 3 0 f= 8 = = 0, 0 f3= 3 = = 0, 35 0 f= 6 = = 0, 5 0 κ κ Β3. α) είναι: = = f Άρα = = = = f =3 0,3+5 0,+ 0,35+9 0,5=0,9++,5+,35=5, χιλιάδες ευρώ. β) ος τρόπος έχουμε: Ν== Ν=+=0 Ν3= ++3=3 Ν= ++3+=0 Κατασκευάζουμε το πολύγωνο Ν Δ Δ Παρατηρούμε ότι ABΓ AΔΕ, οπότε: ΑΓ ΒΓ 0 6,5 0,5 = = = (0 )=,5 8 ΑΕ ΔΕ 0 6 8 0 = = 8 = f

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Από το πολύγωνο Ν παρατηρούμε ότι το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις έως,5 χιλιάδες ευρώ είναι, άρα το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον,5 χιλιάδες ευρώ είναι0 =6 0 3 0 B A Γ Ε ος τρόπος Επειδή οι παρατηρήσεις σε κάθε κλάση θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες, το πλήθος των πωλητών που βρίσκονται στο διάστημα [,5, 6) είναι 3 ν=6, επομένως το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον,5 χιλιάδες ευρώ είναι 3 ν+ν3+ν=6++6=6 πωλητές. ( ή ν ν ν=6 ) ΘΕΜΑ Γ Ένα δοχείο περιέχει κόκκινες (Κ), άσπρες (Α) και πράσινες (Π) μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα. Η πιθανότητα να προκύψει κόκκινη μπάλα είναι P(Κ) =, ενώ η πιθανότητα να προκύψει άσπρη μπάλα είναι P(Α) =, όπου, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f()= 3 +, R με < 6 8 0,5 Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες P(Κ), P(A) και P(Π), όπου P(Π) η πιθανότητα να προκύψει πράσινη μπάλα. Μονάδες 0 Γ. Αν P(Κ)= και P(A)= 3, να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Γ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι κόκκινη ή άσπρη» Δ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη» Ε: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι άσπρη ή να μην είναι πράσινη». Μονάδες 9 5

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Γ3. Αν οι άσπρες μπάλες είναι κατά τέσσερις () λιγότερες από τις πράσινες μπάλες, να βρείτε πόσες μπάλες έχει το δοχείο. Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Για τη συνάρτηση f()= 3 +, που είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική για R είναι: f ()= +. Η f ()=0 +=0 Δ=9 8= οπότε έχει ρίζες, = ± 3 = 3 f () + + f() + Επειδή < έπεται πως = και =. Δηλαδή P(Κ)= και Ρ(Α)=. 3 3 Τότε επειδή Α Κ Π=Ω και τα ενδεχόμενα είναι ανά δύο ασυμβίβαστα μεταξύ τους ισχύει ότι: 3 5 Ρ(Α)+Ρ(Κ)+Ρ(Π)= Ρ(Π)= Ρ(Π)= =. 3 Γ. ος τρόπος Γ=(Α Κ): επιλέγεται άσπρη ή κόκκινη μπάλα. Δ=(Α Κ) : επιλέγεται ούτε κόκκινη ούτε άσπρη. Ε=(Α Π ): επιλέγεται άσπρη ή όχι πράσινη. Άρα P(Γ)=P(A)+P(K)= + = 3 5 P(Δ)=P[(A K) ]= P(A K)= = P(E)=P(A Π )=P(A)+P(Π ) P(A Π )=P(A)+P(Π ) P(A Π)= =P(A)+P(Π ) P(A)+P(A Π ) = P(Π)= ος τρόπος τ.µ τ.ε Γ. Επειδή Γ=Α Κ=Π είναι: Ρ(Γ)=Ρ(Α Κ)=Ρ(Π )= Δ. Επειδή Δ=(Α Κ) =Π είναι: Ρ(Δ)=Ρ[(Α Κ) ]=Ρ(Π)= 5 6

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Ε. Επειδή Α Κ Π οπότε Α Π. Συνεπώς Ε=Α Π =Π Τότε Ρ(Ε)=Ρ(Α Π )=Ρ(Π )= Γ3. Ισχύει ότι: N(A)=N(Π) () Τότε, καθώς P(A)= 3 και P(Π)= 5 (), η () διαιρούμενη με γράφεται: N(A) N(Ω) = Ν(Π) 5 = () 5 = 3 = N(Ω)=8 5 = 3 ΘΕΜΑ Θεωρούμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώνιο και ανοικτό από πάνω. Το ύψος του κουτιού είναι 5 dm. Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 0 dm και μία πλευρά της 5 dm είναι dm με 0 < < 0 dm Δ. Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του είναι E() = + 0 + 00, (0, 0) και να βρείτε για ποια τιμή του το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια. Μονάδες 8 Στη συνέχεια, θεωρούμε τα σημεία A(, y), όπου y=e(), =,,...,5 5 = < <... < < 5 = 9 Δ. Αν το δείγμα των τετμημένων, =,,...,5 των παραπάνω σημείων A(, y) δεν είναι ομοιογενές έχει μέση τιμή = 8 και τυπική απόκλιση s τέτοια, ώστε s 5s + = 0 τότε: α) να αποδείξετε ότι s = β) να βρείτε τη μέση τιμή των, με =,, 5 Δίνεται ότι: s = κ = = κ Μονάδες 8

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Δ3. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα παραπάνω σημεία A(, y), =,,...,5 Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Β = { A(, y), =,,...,5 τέτοια, ώστε y > + 9R + }, όπου R είναι το εύρος των y = E(), =,,...,5 Μονάδες 9 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. Έστω ότι οι πλευρές της βάσης του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι, ψ. Τότε η περίμετρος της βάσης είναι Π=+ψ και σύμφωνα με την υπόθεση Π=0 άρα +ψ=0 +ψ=0 ψ=0, 0<<0 (). Η επιφάνεια του κουτιού αποτελείται από τις τέσσερις παράπλευρες έδρες και την βάση διαστἀσεων dm ψ dm. Δύο από αυτές έχουν διαστάσεις 5 dm και ψ dm και οι άλλες δύο dm και 5 dm. Άρα η συνολική επιφάνεια Ε()=(5ψ)+(5)+ψ λόγω () Ε()=0(0 )+0+(0 ) E()= +0+00, (0,0) Για την εύρεση της τιμής του που έχει μέγιστη επιφάνεια μελετούμε την μονοτονία της συνάρτησης Ε()= +0+00, (0,0) που είναι παραγωγίσιμη με E ()= +0 Είναι Ε ()=0 +0=0 =5 E ()>0 +0>0 > 0 <5 άρα Ε γνήσια αύξουσα στο (0,5]. Ε ()<0 +0<0 < 0 >5 άρα Ε γνήσια φθίνουσα στο [5,0). Άρα στο =5 η επιφάνεια γίνεται μέγιστη. Δ. α) Επειδή s 5s+=0 έχουμε Δ=5 6=9 5± 3 Άρα ρίζες s, = = Επειδή το δείγμα δεν είναι ομοιογενές CV>0, οπότε s > s> επομένως δεκτή ρίζα s=. 8 0 5 s > 0 β) Η μέση τιμή των = με =,,,5 είναι μ= 5 5 5 Σύμφωνα με τον τύπο s = 5 5 = 5 = s = 5 5 5 = = 5 8

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 5 s = 5 = 5 = =s + 5 5 = =68 μ=68. 5 Δ3. Για την εύρεση του R σύμφωνα με το (Δ) έχουμε: αφού 5=< < < < 5 =9 τότε λόγω του ότι Ε γν. φθίνουσα στο [5,0) θα ισχύει Ε( )>Ε( )>...>Ε( 5 ) δηλαδή ψ > ψ > > ψ 5 Επομένως R= ψ ψ 5= Ε( ) Ε( 5 )=Ε(5) Ε(9)=5 09=6 Για το ενδεχόμενο Β πρέπει ψ > +9R+ Ε()> +9 6+ +0+00> +5 + 5>0 +5<0 () έχει Δ= 5=96 80=6 ± 9 ρίζες ρ, = = 5 οπότε η () επαληθεύεται (5,9) Άρα Β={, 3,, } άρα Ν(Β)=3 N(B) 3 Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ρ(Β)= = N(Ω) 5 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα έχουν διαμορφωθεί, στο σύνολο τους, σύμφωνα με τις απαιτήσεις του σχολικού βιβλίου. Καλύπτουν όλο το εύρος της εξεταστέας ύλης με σαφήνεια ως προς τα ζητούμενα και χωρίς μαθηματικές παγίδες. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα οι επιδόσεις των υποψηφίων να είναι σαφώς υψηλότερες σε σύγκριση με τα προηγούμενα έτη. 9