ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε ότι : P Ρ... Ρ - -...
... - -... Ρ ΘΕΜΑ 3 κριτήριο πρεµβολής Έστω οι συρτήσεις,,. Α κοτά στο ο κι β l, τότε l p ΘΕΜΑ 4 θεώρηµ Bln Έστω µι συάρτηση, ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, β ]. Α : η είι συεχής στο [, β ] κι επιπλέο ισχύει β < τότε υπάρχει έ τουλάχιστο, ο, β τέτοιο, ώστε. ηλδή, υπάρχει µι τουλάχιστο ρίζ της εξίσωσης, στο οικτό διάστηµ, β.
ΘΕΜΑ 5 θεώρηµ εδιµέσω τιµώ Α µι συάρτηση, είι συεχής στο κλειστό [, β ] κι β β τότε γι κάθε ριθµό k µετξύ τω κι β υπάρχει τουλάχιστο ές ξ, β τέτοιος ώστε ισχύει ξ κ σχ. Ι Ας υποθέσουµε ότι < β. Τότε θ ισχύει < k < β Σχ. Ι. Θεωρούµε τη συάρτηση -κ, [, β ]. Πρτηρούµε ότι : η είι συεχής στο [, β ] κι β <, φού k < β β -κ> Εποµέως σύµφω µε το θεώρηµ Bln υπάρχει ξ, β τέτοιο, ώστε ξ ξ -κ, οπότε ξ κ. ΘΕΜΑ 5 3
ΘΕΜΑ 6 Α µι συάρτηση είι πργωγίσιµη σεέ σηµείο ο, τότε είι κι συεχής στο σηµείο υτό. Γι δείξουµε ότι η είι συεχής στο ο, ρκεί δείξουµε ότι ή [ ] Γι, έχουµε - -, οπότε - - [ - ] - - - -, φού η είι πργωγίσιµη στο Εποµέως,. ηλδή η είι συεχής στο. ΘΕΜΑ, 3 ΣΧΟΛΙΟ : Α µι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σηµείο ο, τότε δε µπορεί είι ούτε πργωγίσιµη στο. 4
ΘΕΜΑ 7 Έστω η στθερή συάρτηση c, c R. Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει, δηλδή c Α c κι είι έ σηµείο του R, τότε γι ισχύει : c c. Εποµέως. Άρ c. ΘΕΜΑ 8 Έστω η συάρτηση. Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει, δηλδή. Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι ισχύει :. Εποµέως, δηλδή. 5
6 ΘΕΜΑ 9 Εστω η συάρτηση, Ν {, }. Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει -, δηλδή -. Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι ισχύει :...... Εποµέως,...... δηλδή - ΘΕΜΑ Έστω η συάρτηση. Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο, κι ισχύει, δηλδή. Πράγµτι, είι έ σηµείο του,, τότε γι ισχύει : Εποµέως,, δηλδή '
ΘΕΜΑ Έστω η συάρτηση ηµ. Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει συ, δηλδή ηµ συ. Α ο είι έ σηµείο του R, τότε γι κάθε R κι ισχύει : ηµ ηµ ηµ συ συηµ -ηµ ηµσυ -ηµ συηµ ηµ συ - συηµ ηµ συ - συηµ συ - ηµ ηµ συ Εποµέως, ηµ συ - ηµ συ ηµ συ συ συ - ηµ ηµ συ συ - ηµ ηµ συ ΘΕΜΑ 7
8 ΘΕΜΑ Έστω η συάρτηση συ. Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει ηµ -, δηλδή ηµ - συ. ΘΕΜΑ 3 Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο, κι ισχύει Γι κάθε ισχύει : Επειδή οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες στο, έχουµε ότι :
ΘΕΜΑ 4 Έστω η συάρτηση εφ. Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R R - { / συ } κι ισχύει συ Γι κάθε R R - { συ } / ισχύει : ηµ συ -ηµ συ συσυ -ηµ ηµ ηµ εφ συ συ συ συ ηµ συ συ ΘΕΜΑ 5 Η συάρτηση ισχύει, R Z είι πργωγίσιµη στο, κι - Γι κάθε, κι R Z, είι ln e Α θέσουµε y κι u ln, τότε u y e. u ln ln Εποµέως, e e e ln e y u u 9
ΘΕΜΑ 6 Η συάρτηση ln, > είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει : Γι κάθε > είι e ln Α θέσουµε e ln y κι ln u, τότε u y e u u ln Εποµέως y e e u e ln ln ΘΕΜΑ 7 Η συάρτηση ln, R * είι πργωγίσιµη στο R * κι ισχύει
ΘΕΜΑ 8 Θεώρηµ Rlle Α µι συάρτηση είι : συεχής στο κλειστό διάστηµ [, β ] β πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ, β κι γ β τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ, β τέτοιο, ώστε ξ Γεωµετρικά, το πρπάω θεώρηµ σηµίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη τ C στο Μ ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο. ηλ. ΘΕΜΑ 9 Θεώρηµ Μέσης Τιµής ιφορικού Λογισµού Α µι συάρτηση είι : συεχής στο κλειστό διάστηµ [, β ] β πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ, β τότε υπάρχει έ τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο ώστε ξ β β
Γεωµετρικά, το πρπάω θεώρηµ σηµίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ, β τέτοιο ώστε, η εφπτοµέη τ γρφικής πράστσης τ στο σηµείο Μ ξ, ξ είι πράλληλη τ ευθείς ΑΒ. ηλ. ΘΕΜΑ Α µι συάρτηση, είι συεχής σε έ διάστηµ κι β γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστηµ. Αρκεί ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε, ισχύει Πράγµτι, Α, τότε προφώς Α <, τότε στο διάστηµ [, ] η είι : συεχής στο [, ] β πγωγίσιµη στο, Εποµέως, σύµφω µε το θεώρηµ µέσης τιµής, υπάρχει σηµείο ξ, τέτοιο, ώστε :
ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει ξ, οπότε λόγω τ. Αρ η είι στθερή στο. Οµοίως >. ΘΕΜΑ Α δυο συρτήσεις, Είι συεχείς σε έ διάστηµ κι β γι κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει c Θεωρούµε τη συάρτηση, που είι συεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει : [ - ] - Εποµέως σύµφω µε γωστό θεώρηµ, η συάρτηση δηλδή γι κάθε ισχύει : είι στθερή στο, c ή c 3
ΘΕΜΑ Έστω µι συάρτηση συεχής σε έ διάστηµ. Α > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το. β Α < γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το. Εργζόµστε στη περίπτωση που > Έστω, µε <. Θ δείξουµε ότι <. Πράγµτι, στο διάστηµ [, ] η ικοποιεί τ προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ, εποµέως υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε : ξ ξ. Επειδή ξ > κι > έχουµε >, δηλδή >. β Στη περίπτωση που < εργζόµστε άλογ. 4
ΘΕΜΑ 3 Fermt Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ κι έ εσωτερικό σηµείο του. Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε ΘΕΜΑ 4 5
ΘΕΜΑ 4 Α υπάρχει µι ρχική συάρτηση F της σε έ διάστηµ, τότε υπάρχου άπειρες κι µάλιστ είι όλες της µορφής G F c, c R κι µόο υτές. Η συάρτηση G F c, c R, είι µι ρχική συάρτηση της, φού G F c F γι κάθε. Ατιστρόφως Α G είι µι άλλη ρχική συάρτηση της στο, τότε γι κάθε ισχύου : F κι G, οπότε G F γι κάθε. Άρ σύµφω µε γωστό πόρισµ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε. ΘΕΜΑ 5 Έστω µι συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ [, β ]. Α G είι µι πράγουσ της στο [, β ], τότε : β t dt G β - G H συάρτηση F t dt είι µι πράγουσ της στο [, β ] Επειδή κι η G είι µι πράγουσ της στο [, β ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε : G F c 6
Από τη γι, έχουµε : άρ c G. G F c t dt c c, Εποµέως πό G F G Στη γι β έχουµε : Τελικά β t dt Gβ - G. G β Fβ G G β tdt G. β 7