ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Ο.Ε.Δ.Β. σελ. 53 Α. Ο.Ε.Δ.Β. σελ. 9 Α3. Ο.Ε.Δ.Β. σελ. 58 Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Ισχύει z z = 4 () Έχουμε από την (): z z z z = 4 zz z z zz z z = 4 zz = 4 zz = zz = z = z = z ( i =, άρα ο γ. τόπος των εικόνων του z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(ο,ο) κ ακτίνα p =. Η εξίσωση του είναι y = Β. Επειδή z, z είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z θα ισχύει z =, z = άρα z = και z =. Έχουμε: z z ( zz zz) = z z = ( z z )( z z ) = z z z z z z z z = z z = z z = z z z z = z z z z z z z z = zz zz = zz zz= z z z z z z αφού δείξαμε προηγουμένως ότι zz zz = Άρα z z = z z = = =
Β3. Ισχύει w 5w = () Έστω w= yi οπότε από την () Έχουμε: ΑΘΗΝΑ - ΑΓΙΑ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ - ΓΛΥΚΑ ΝΕΡΑ - ΠΑΛΛΗΝΗ yi 5( yi) = yi s 5yi = 4 6yi = 4 6y = 6 36y = 6 36y = 44 6 36y y (Διαιρούμε με 44) = = η όποια είναι η εξίσωση έλλειψης 44 44 9 4 Η παραπάνω έλλειψη γράφεται: y = άρα έχει τις εστίες της στο άξονα με μήκος μεγάλου άξονα a = 3= 6 και 3 μήκος μικρού άξονα β = = 4 όπου α = 3 ή β = Επομένως ( ΟΑ ) = w ma = α = 3 και ( ΟΒ) = wmin= β = γιατί w = w ( o oi) = ( ΟΜ ) Όπου Μ η εικόνα του w. Β4. α τρόπος: Ο γ. τόπος την εικόνα του Ζ είναι ο μοναδικός κύκλος y και η έλλειψη με εξίσωση: = 9 4 Σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα έχουμε: z w ma = ΑΔ =ΟΑΟΔ = 3 = 4 z w min =ΒΓ=ΟΒΟΓ= = Άρα zw 4. y = και ο γ. τόπος των εικόνων του w Α ( 3,) Δ (-,) y Β (,) Γ (,) Α(3, ) Β (, )
β τρόπος: Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w zw z w w zw w () άρα w = w Επειδή w 3 w 3 w Επειδή w 3 w 3 3 w 4 ( 3) Από τις (), (), (3) έχουμε: zw 4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Ισχύει = ln, > Παραγωγίζοντας έχουμε: = ( )ln ( )(ln ) = ln, > Βρίσκουμε την ( ), άρα έχουμε: = (ln ) = = > για κάθε >. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Για = () = ln = Για < < < () <. Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ = (,]. Για > > () >. Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ = [, ). Έχουμε τον ακόλουθο πίνακα Δ = (,] ) ( Δ ) = (,] = (),lim = [, ) διότι: [ ] lim = lim ln = ( ) = Δ = [, ) ) ( Δ ) = [, ) = (), lim = [, ) Επομένως ( Δ ) = ( Δ) ( Δ ) = [, ) διότι: [ ] = lim ln = ( ) ( ) = ( )
3 Γ. 3 = ln( ) = ln ( ) ln = 3 ln = = Επειδή lim = υπάρχει ξ κοντά στο τέτοιο ώστε ( ξ ) > πάρα πολύ μεγάλο. Έχουμε: συνεχής στο [ ξ,] < < ( ξ), δηλαδή () < < ( ξ) άρα από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει τουλάχιστον ένα Χ ( ξ,) (,), τέτοιο ώστε ( ) = μοναδικό, γιατί στο (,]. Επειδή lim = υπάρχει ξ πάρα πολύ μεγάλο ώστε ( ξ ) > πάρα πολύ μεγάλο. Έχουμε: συνεχής στο [, ξ ] < < ( ξ), δηλάδη () < < ( ξ) άρα από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ξ) (, ) τέτοιο ώστε ( ) = μοναδικό, γιατί στο [, ). 3 Άρα η εξίσωση = έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ3. Ανάλυση της σχέσης: o o o = = o o o o ( ) ( ) o o o o o o o o o o o = = = Θεωρούμε τη συνάρτηση h = με [, ]. Έχουμε: h συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. h παραγωγίσιμη στο (, ) h = = = h = = = Άρα h = h = Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Roll υπάρχει τουλάχιστον ένα o (, ) o o o h ( ) = ( ) ( ) o = ( ) ( ) = ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. o o o o o τέτοιο ώστε
Γ4. Έχουμε g =, > Βρίσκουμε τα σημεία τομής της g με τον, λύνοντας την εξίσωση: g = = ln = ln ( ) = = Έχουμε g = άρα ΑΘΗΝΑ - ΑΓΙΑ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ - ΓΛΥΚΑ ΝΕΡΑ - ΠΑΛΛΗΝΗ g g ΟΕ Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το g = Άρα g για. Επομένως έχουμε: E( Ω ) g d = ln d ln d = ln d ln d = = ln d [ ln ] d ln d ( ln [ ] ) = = 3 3 = = = = 4 4 4 ΘΕΜΑ Δ Δ. Έχουμε συνεχής στο (, ) και για κάθε >, άρα η διατηρεί πρόσημο. t dt Θεωρούμε τη συνάρτηση g Έχουμε g () = και της g στο (, ) = με > g g για κάθε > άρα g () ολικό ελάχιστο g για κάθε > άρα Επειδή g παραγωγίσιμη (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων), σύμφωνα με το θεώρημα Frmat g = () g t dt g = = = < = = = ( ) ( ) = ( ) ( ) άρα () () () () άρα ( ) <, άρα
ln tt ln tt Έχουμε τη σχέση: ln = dt ln = dt () t () t h = με > Θεωρούμε την ln h = = h άρα h h > Ο.Μ. > Η h παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο = το h = ln = = < για κάθε > άρα λόγω της () ln t t ln dt = () t ln t t dt t Επειδή h h άρα και άρα Έχουμε ότι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. () () ln t t dt ( ) () t ln ln tt ln ln tt = dt παραγωγίζουμε: dt () t = () t ln ln ln ln ln άρα = άρα = άρα = c για = έχουμε ln () c c c ln = = = άρα ( ) = = ( ln ) με > Δ. Υπολογίζουμε το lim lim ( ln ) Υπολογίζουμε το lim Θέτουμε u = Έχουμε lim u lim Έχουμε = = lim = lim = u u = =
Στο αρχικό όριο ( ) Θέτουμε y = Έχουμε ημ = lim * lim y = lim = ( ημ y y) ημ y y συν y συν y * = lim ημ y lim lim lim lim y = = = = = = y y y y y y y y ( y ) Δ3. F = ( t) dt, > a ( ) a F = t dt = F = = ( ln ) = ln ln = ln = = ln = ( ln ) Έχουμε ln ln > άρα < άρα ( ln ) <, άρα F ( ) > για > άρα F κυρτή στο Έχουμε: F συνεχής στα [, ], [,3 ] F παραγωγίσιμη στα (, ), (,3 ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχουν ξ (,) και ξ (,3), ώστε F F F F F( 3) F F( 3) F F ( ξ ) = άρα F ( ξ ) = και F ( ξ ) = = Έχουμε ξ ξ άρα 3 ξ < F ξ < και επειδή F κυρτή, άρα F γνησίως αύξουσα έπεται F ( ) ( 3 ) ( ) > < F F < F( 3) F F < F( 3) F F F F F
Δ4. Έχουμε F( β ) F( 3β) > F( β), επειδή β >. Θεωρώ την g = F F( β ) F( 3β ) με [ β,β] g συνεχής στο [ β, ] g( β ) = F( β) F( β) F( 3β) = F( β) F( 3β) g( β) = F( β) F( β) F( 3β) < h Έχουμε F = = ( ln ) = < για > β ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. άρα F στο (, ) Συνεπώς για β < 3β F( β) > F( 3β) άρα F( β) F( 3β) > άρα g ( β ) > Συνεπώς g( β) g( β) < άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( β,β) τέτοιο ώστε: g( ξ ) = F( β) F( 3β) = F( ξ) Έχουμε ότι: g = F <, άρα g στο [ β,β], άρα ξ μοναδική ρίζα της άρα και της ισοδύναμης F( β) F( 3β) = g =, Επιμέλεια: Δούνιας Δημήτρης Μώρος Επαμεινώνδας Μαργαρίτης Κώστας