Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται µε τη θέση της... «φούσκας» d = d D! h = Q " dt dt D! dh dt = Q = k! l # h D k dt + h = l! dh " Εξίσωση κυκλώµατος Εφαρµόζουµε τον νόµο τάσεων του Kirchoff A!" i = R!i +" # 0 i = C! d" % ' 0 % dt & ( RC)! d" 0 +" dt 0 = A!" i 2

Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων συνεχ. Όπως προηγουµένως, ένας σηµαντικός αριθµός φυσικών συστηµάτων περιγράφεται µε ανάλογες διαφορικές εξισώσεις, γενικής µορφής a n! d n y( t) dυ0 + a ( RC) + υ0 = A υi n"1! d n"1 y t +!+ a "1 dt 2! d 2 y t dt 2 όπου y(t) η απόκριση του δυναµικού συστήµατος υπό την επίδραση της επιδρώσας, στο σύστηµα, εισόδου f(t). + a 1! dy ( t ) dt + a 0! y( t) = f ( t) Αναζητούµε κατάλληλη µεθοδολογία ανάλυσης και προσοµοίωσης της απόκρισης του δυναµικού συστήµατος. Ένα τέτοιο εργαλείο είναι ο Μετασχηµατισµός Laplace. 3

Ο Μετασχηµατισµός Laplace Control Systems Laboratory Γιά µια συνάρτηση f(t) µετασχηµατισµός Laplace ορίζεται ως = L! f ( t) F s " #! e%st 0 Αντίστροφα, µέσω του αντίστροφου τελεστή, είναι δυνατή η εύρεση της συνάρτησης του χρόνου από την συνάρτηση Laplace f t & ' = L!1 " F ( s) # f ( t)( dt % 4

Control Systems Laboratory Ο Μετασχηµατισµός Laplace συνεχ. Ο αναλυτικός (µέσω του ορισµού) προσδιορισµός του µετασχη- µατισµού Laplace είναι επίπονος. Όµως υπάρχουν πίνακες µετασχηµατισµών Laplace για µεγάλο αριθµό συναρτήσεων π.χ. L " u( t! T ) # % = e!st L " s # t n % = n! & L s sin&t n+1 % = s 2 + & 2 Πιο πολυσύνθετες συναρτήσεις ευρίσκονται µε χρήση ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace όπως π.χ. m m # & L %" c i! f ( i t) ( = " c i! L # f ( i t) & ' c i = const. i=1 ' i=1 at L e f ( t) = F( s a) όπου F( s) = L f ( t)! L d n f t # & Παράδειγµα: = s n ' F ( s) ( s n(1 ' f ( 0) ( s n(2 ' f! ( ( 0) ( ( s' f n(2 ) L # 2 + e!2t t 3 + 5"cos 4t % & = 2" L # u t ( ( 0) ( f n(1 ) 5 = 2 s % & + L # e!2t t 3 % & + 5" 1 # d sin 4t " L ' 4 ' dt 6 + s + 2 s 2 +16 4 + 5s ( 0) % ( = &(

Control Systems Laboratory Ανάλυση Συστήµατος µε Laplace Με βάση τα προηγούµενα, στο σύστηµα που περιγράφεται από την Δ.Ε., a n! d n y( t) + a n"1! d n"1 y( t) "1 +!+ a 2! d 2 y( t) dt 2 µπορούµε να εφαρµόσουµε τον Laplace! d n y t L # a n! d n y t L # a n dy t +!+ a 1 dt! dy t & +!+ L # a 1 dt + a 0 y t + a 1! dy ( t ) dt + a 0! y( t) = f ( t) 6 & = L! " f t & + L! " a 0 y t % " F s % = F s '

Control Systems Laboratory Ανάλυση Συστήµατος µε Laplace συνεχ. Από προηγουµένως! d n y( t)! dy( t) L # a n & +!+ L # a 1 & + L! a dt 0 y( t) " % = F s! a n ( L d n y( t)! # & +!+ a 1 ( L dy ( t ) # & + a dt 0 ( L! y( t) " % = F s και επειδή, µε βάση τις ιδιότητες, υπενθυµίζουµε:! L d n y( t) # & = s n 'Y ( s) ( s n(1 ' y( 0) ( s n(2 '!y ( 0) ( ( s' y n(2 αν θεωρήσουµε ότι Τότε! L d n y t # & ' οπότε ο Laplace της Δ.Ε. γίνεται 7 0 0 0 0 0 0 ( y( 0) =!y ( 0) = = y n!2 ) = s n 'Y ( s) ( ( 0) = y n!1 ) +!+ a 1!s!Y ( s) + a 0!Y ( s) = F ( s) " = F ( s) a n!s n!y s #a n!s n +!+ a 1!s + a 0 % &!Y s ( y n(1 ( 0) = 0

Control Systems Laboratory Ανάλυση Συστήµατος µε Laplace συνεχ. Από προηγουµένως "a n!s n +!+ a 1!s + a 0 # %!Y ( s ) = F s & Y ( s ) F ( s) = G ( s ) = & Y ( s) = G( s)! F ( s) 1 a n!s n +!+ a 1!s + a 0 F s : η συνάρτηση Laplace της εισόδου, Y ( s) : η συνάρτηση Laplace της εξόδου, και G s : η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήµατος. 8

Control Systems Laboratory Μεταβολή Στάθµης Δοχείου Αν το δοχείο είναι αρχικά άδειο h(t=0)=0, οπότε L! h! ( D )! dh ( k )!s! H s D k H s όπου Αν Παραδείγµατα Ανάλυσης Συστηµάτων dt + h = l " + H ( s) = L( s) " = G ( H s)! L( s) ( s) = G H 1! H "s +1,! H = D k l( t) = l 0! L( s) = l 0 s H ( s) = οπότε l 0 s (! H "s +1) = l 0 s # l 0 s + 1! H Και µε τον αντίστροφο Laplace = L!1 " H ( s) h t # " # = s% H s & h( 0 0) * % = l & " 1 0 L!1 ' "., # s % (! ' 1 (, 1 + L!1 ' ' s + 1 (/ = l 0 1! e! 3, # ) (, 2 - H % 0 Απόκριση Κυκλώµατος RC Αν ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος υ t = =, οπότε ( RC)! d" 0 0 0 0 +" dt 0 = A!" i # ( RC)!s! ( 0 s) + 0 s ( s) = G ( s)! ( i s) όπου = A! ( i s) # Αν! i t οπότε συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο ή... Παρατηρείστε ότι όσο το k µεγαλώνει το τ Η µικραινει και το 1/ τ Η µεγαλώνει οπότε το h(t) τείνει πιο γρήγορα στη επιθυµητή στάθµη l 0 9 0 t ) H 4 6 5 G ( s) = A! "s +1,! = RC = a "sin#t i ( s) = a# s 2 + # 2

Προσοµοίωση Συστηµάτων Control Systems Laboratory...προσοµοιώνουµε το σύστηµα µε MATLAB-SIMULINK (π.χ. Για Α=10, τ v =4): A G ( s) =! "s +1 = 10 10 4"s +1 = 4 2.5 s + 1 = s + 0.25 4 και παίρνουµε Εξοδος Είσοδος Δηλαδή τόσο σε αυτό όσο και στο προηγούµενο παράδειγµα η έξοδος παρουσιάζει διαφορά στη φάση και στο εύρος σε σχέση µε την είσοδο 10

Control Systems Laboratory Απόκριση Συχνότητας Γενικά, µία ηµιτονοειδής συνάρτηση o παρίσταται από ένα διάνυσµα X στο µιγαδικό πεδίο, το φάσορά o της, του οποίου ενδεικτικές o παράµετροι είναι το µέτρο X = x 0 και η φάση του!x = " Για ένα σύστηµα µε σχέση εισόδου-εξόδου = G s Y s! F s Κατά συνέπεια για τον µιγαδικό G! : G (! ) το µέτρο δίνει την αυξοµείωση (κέρδος), και η γωνία!g(" ) δίνει την διαφορά o φάσης o µεταξύ των φασόρων εισόδου F (! ) και εξόδου Y(! ) που αντιστοιχούν στην συχνότητα. = x 0!sin("t +# ) x t όταν η είσοδος είναι ηµιτονοειδής, το ίδιο είναι (στη µόνιµη κατάσταση) και η έξοδος και η σχέση µεταξύ των φασόρων o o εισόδου εξόδου είναι Y X o = G( s = j! ) = G (! ) F!!X X 11

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory Δηλαδή, για το παράδειγµα ηλεκτρικού κυκλώµατος RC G ( s) A =! έχουµε "s +1 # G ( ) A = 1+ j "(! ) G (! ) A = 1+ j "(!# ) = A 1+ j "(!# ) = A = A 1 2 + (!# ) 2 1+! 2 2 #!G ( " ) =!A #!& 1+ j ("% ) ' ( ) = 0 # atan2 ( 1,"% ) = # tan #1 "% Μπορούµε να παραστήσουµε σε γραφικές παραστάσεις τις G (! ), "G (! ) ως προς τη συχνότητα ω για να δούµε το πως «περνάνε» µέσα από το σύστηµα G ( s) τα σήµατα εισόδου (διαφόρων συχνοτήτων) προς την έξοδο. 12

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory Παρατηρούµε ότι το κέρδος µικραίνει για τις υψηλές συχνότητες, δηλαδή το σύστηµα τις αποκόπτει. Η φάση παίρνει γρήγορα τη τιµή -90 ο Βλέπουµε ότι οι καµπύλες γρήγορα φτάνουν σε οριακή τιµή και είναι δυσδιάκριτες εκεί. G (! ) = A 1+! 2 " 2!G (" ) = # tan #1 (" ) 13

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory Κατά συνέπεια, για καλύτερη «οπτικοποίηση», κάνουµε δύο τροποποιήσεις : Το µέγεθος (κέρδος) να παρίσταται µε 20!log 10 G ", και ( ) Η συχνότητα να παρίσταται λογαριθµικά, δηλαδή ο οριζόντιος άξονας είναι log 10!! 20!log ( 10 G (" ) )!G (" ) = # tan #1 (" ) log 10 (! ) Αυτο είναι το «Διάγραµµα Bode» 14

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory 3dB 20!log ( 10 G (" ) )!G ( " ) = # tan #1 (" ) BW log ( 10! ) 15

Απόκριση Συχνότητας συνεχ. Control Systems Laboratory Το εύρος ζώνης (BandWidth-BW) ορίζεται ως η συχνότητα ω c για την οποία ισχύει G (! C ) G (! C ) G 0 = 2 2 " 70.7% # 20log 10 # 20log 10 G! C # 20log 10 G! C = 20log 10 2 2 # G( 0) % 20log 10 G( 0) = %3.0103dB # = 20log 10 G( 0) % 3.0103dB Για το παράδειγµα του ηλεκτρικού κυκλώµατος RC µπορούµε άµεσα να βρούµε G (! ) = A # G! 1+! 2 2 " G 0 = 1 = 2 1+! 2 2 C " 2 #! = 1 C 16 "