4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι υπολογισμού του αντίστροφου ΜF, τρόποι οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι, αν η μορφή του ΜF δεν είναι απλή, οπότε ο απευθείας υπολογισμός του αντίστροφου με την εξίσωση σύνθεσης γίνεται μια δύσκολη διαδικασία. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί μια εύκολη μέθοδος εύρεσης της απόκρισης συχνότητας, της κρουστικής απόκρισης και της εξόδου ενός συστήματος, του οποίου γνωρίζουμε τη διαφορική εξίσωση που συσχετίζει τα σήματα εισόδου-εξόδου του συστήματος. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο Κεφάλαιο 3 ορίσαμε τον ΜF, ο οποίος παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. Η ιδιότητα της συνέλιξης του ΜF μετατρέπει το ολοκλήρωμα της συνέλιξης σ ένα απλό γινόμενο των αντίστοιχων μετασχηματισμών. Με τον τρόπο αυτό, υπολογίζεται πρώτα ο ΜF της εξόδου και στη συνέχεια, μ έναν αντίστροφο ΜF, προσδιορίζεται η έξοδος του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν μερικές ακόμα εφαρμογές του ΜF στη μελέτη γραμμικών συστημάτων. 4. Απόκριση Συχνότητας Συστήματος Στο Kεφάλαιο είδαμε ότι ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα περιγράφεται y, πλήρως από την κρουστική του απόκριση, h ( ), και ότι η είσοδος, x ( ), και η έξοδος, ( ) του ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης y () x( τ)( h τ) dτ ή y( x( h( (4.) Ο μετασχηματισμός Fourier H ( ω), της κρουστικής απόκρισης h (, όπως έχουμε δει στην Ενότητα.5, αποτελεί την απόκριση συχνότητας του συστήματος και δίνεται ως το πηλίκο των μετασχηματισμών Fourier εισόδου-εξόδου, ως εξής

8 Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier Κεφάλαιο 4 Y( ω) H ( ω) ή Y( ω) H( ω) X( ω) (4.) X ( ω) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση H ( ω) μπορεί να βρεθεί, είτε υπολογίζοντας το μετασχηματισμό Fourier της h (, αφού πρώτα υπολογιστεί η h ( από την (4.), είτε ως πηλίκο των μετασχηματισμών Fourier εισόδου-εξόδου. Ο δεύτερος τρόπος υπολογισμού της H ( ω) είναι σαφώς ευκολότερος του πρώτου και για το λόγο αυτό ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί ένα ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη γραμμικών συστημάτων. 4.. Η απόκριση συχνότητας για συστήματα τα οποία περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές Στο Κεφάλαιο ορίσαμε ως σύστημα την οντότητα εκείνη η οποία μετατρέπει μια φυσική x σε μια άλλη που περιγράφεται από το ποσότητα που περιγράφεται από το σήμα εισόδου ( ) σήμα εξόδου y (. Η διαδικασία αυτή μετασχηματισμού εκφράζεται με τη βοήθεια μιας διαφορικής εξίσωσης που συσχετίζει τα σήματα εισόδου-εξόδου. Όταν το σύστημα είναι γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο, όπως έχουμε στα Παραδείγματα. και., η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση είναι γραμμική με σταθερούς συντελεστές, δηλαδή έχει τη γενική μορφή N a d y( d M Στη συνέχεια θα περιγράψουμε τον τρόπο με τον οποίο προσδιορίζουμε την απόκριση συχνότητας H ( ω), από την (4.3) με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier και των ιδιοτήτων του. Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέλη της εξίσωσης (4.3) και παίρνουμε F N a d y( F d M d x( d d x( d (4.3) Λόγω της ιδιότητας της γραμμικότητας που χαρακτηρίζει το μετασχηματισμό Fourier έχουμε N M d y( d x( a F F d d λόγω τη ιδιότητας της διαφόρισης έχουμε την εξίσωση ή ισοδύναμα και λόγω της (4.) έχουμε Παρατηρούμε τα εξής N M a ( ) Y( ω) ( ) X( ω) N Y( ω ) a ( ) X( ω) ( ) M M Y( ω) ( ) H( ω ) H( ω) (4.4) N X( ω) a ( )

Ενότητα 4. Υπολογισμός του Αντίστροφου Μετασχηματσιμού Fourier 9 Η απόκριση συχνότητας H (ω ), ενός ΓΧΑ συστήματος είναι μία ρητή συνάρτηση δηλαδή μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύμων της μεταβλητής ( j ω). Στον υπολογισμό της απόκρισης συχνότητας του συστήματος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται το σύστημα, σε αντίθεση με τη λύση της (4.3), η οποία εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του συστήματος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο μετασχηματισμός Fourier προϋποθέτει έναρξη της διαδικασίας στο, που είναι το κάτω όριο του ολοκρηρώματος στον τύπο ορισμού του (3.73) και από σύμβαση, δεχόμαστε ότι στο οι αρχικές συνθήκες είναι πάντα μηδέν. Παράδειγμα 4. (Σύστημα πρώτης τάξεως) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος πρώτης τάξεως, το οποίο όπως είναι γνωστό περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση dy( + ay( x( a > d (4.5) Λύση Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέλη της εξίσωσης λόγω των ιδιοτήτων της γραμμικότητας και διαφόρισης, έχουμε διαδοχικά dy( { } dy( F + ay( F x( F + F{ a y() } F{ x( } d d ( j ω) Y ( ω) + ay ( ω ) X ( ω ) Y( ω) Y( ω ) H( ω) X( ω) H( ω) H( ω) (4.6) X( ω) + a Στο Παράδειγμα 3.8 έχουμε δείξει a F x e ( ) u( X( ω ). (4.7) + a Επομένως η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι a h( e u( (4.8) 4. Υπολογισμός του Αντίστροφου Μετασχηματσιμού Fourier Είναι προφανές ότι, αν γνωρίζουμε την απόκριση συχνότητας ενός συστήματος, τότε με τη βοήθεια της (3.7), η οποία περιγράφει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier, μπορούμε να υπολογίσουμε την κρουστική απόκριση του συστήματος. Αν η μορφή της H ( ω) δεν είναι απλή, τότε ο απευθείας υπολογισμός της h ( από την (3.7) μπορεί ν αποδειχθεί μια επίπονη διαδικασία. Για το λόγο αυτό, συνήθως, ακολουθούνται έμμεσοι τρόποι υπολογισμού H ω έχει απλή μορφή, όπως στο του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier. Αν η ( ) Παράδειγμα 4., είναι δυνατόν με τη βοήθεια του Πίνακα 3.3 να προσδιορίζουμε εύκολα την κρουστική απόκριση του συστήματος. Γενικότερα, αν η απόκριση συχνότητας μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα επιμέρους στοιχειωδών όρων, τότε με τη βοήθεια του Πίνακα 3.3 και των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Fourier μπορούμε να υπολογίσουμε την κρουστική

Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier Κεφάλαιο 4 απόκριση του συστήματος. Στο Παράρτημα Β περιγράφεται η διαδικασία ανάλυσης μιας ρητής συνάρτησης, σε άθροισμα απλών κλασμάτων. Παρακάτω εφαρμόζουμε τη μεθοδολογία αυτή σ ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 4. Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα δεύτερης τάξης, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, και χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση d y( dy( dx( + 4 + 3y( + x( (4.9) d d d Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. Λύση Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέλη της εξίσωσης (4.9) και με τη βοήθεια της ιδιότητας της γραμμικότητας και της διαφόρισης που έχει ο μετασχηματισμός Fourier βρίσκουμε ότι η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι ( ) + H ( ω ) (4.) ( ) + 4( ) + 3 Αναλύουμε τα πολυώνυμα του αριθμητή και του παρανομαστή σε γινόμενα πολυωνύμων πρώτου ή δεύτερου βαθμού ως προς ( j ω) και στη συνέχεια αναλύουμε την απόκριση συχνότητας σε απλά κλάσματα. Έτσι παίρνουμε + H( ω ) ( + )( + 3) Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις σταθερές και + + + 3 + [ + ) H( ω) ] + 3 ( + [ + 3) H( ω) ] 3 + 3 ( Επομένως, η απόκριση συχνότητας παίρνει τη μορφή H ( ω) + + + 3 (4.) Με τη βοήθεια της ιδιότητας της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Fourier και της (4.7) η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι 3 h( e u( + e u( (4.) Παράδειγμα 4.3 Αν η είσοδος του συστήματος στο Παράδειγμα 4. είναι να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος. x( e u( (4.3)

Ενότητα 4.3 Διαγράμματα Bode Λύση Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος εισόδου x( e u( είναι X ( ω) ( + ). Με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης, ο μετασχηματισμός Fourier της εξόδου είναι + + Y ( ω ) H( ω ) X ( ω ) ( )( 3) + + + ( + ) ( + 3) Στην περίπτωση αυτή η ανάλυση σε απλά κλάσματα του Y (ω ) έχει τη μορφή Y ( ω ) + + ( + ) + + 3 Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις σταθερές, και d d + [( + ) Y( ω) ] ( )! d( ) d( ) 3 + [ + ) Y( ω )] + + 3 ( + [ + 3) Y( ω )] 3 ( + ) 3 ( Επομένως ο μετασχηματισμός Fourier της εξόδου παίρνει τη μορφή 4 Y( ω) + + 4 ( + ) + 3 4 4 (4.4) Αν εφαρμόσουμε την ιδιότητα της διαφόρισης στην (4.7), στο πεδίο συχνοτήτων, έχουμε F dx ( ω) a F j x( j e u( j (4.5) dω ( + a) ( + a) Με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, της ιδιότητας της γραμμικότητας, της (4.7) και της (4.5) βρίσκουμε ότι η έξοδος του συστήματος είναι y( e 4 + e e 4 3 u( (4.6) Πρέπει να τονιστεί στα Παραδείγματα 4. και 4. ότι, αν ζητείται μόνο η y ( και όχι η Y (ω), τότε ο ευκολότερος τρόπος εύρεσής της είναι η απευθείας επίλυση της διαφορικής εξίσωσης. 4.3 Διαγράμματα Bode Από το θεώρημα της συνέλιξης γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier της εισόδου (ω) Y ω, ενός γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος το οποίο έχει X και της εξόδου ( ) απόκριση συχνότητας H ( ω ), συνδέονται με τη σχέση Y( ω) H( ω) X ( ω) (4.7) Παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier της εξόδου προκύπτει ως γινόμενο του μετασχηματισμού Fourier της εισόδου με την απόκριση συχνότητας. Σε πολικές

Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier Κεφάλαιο 4 συντεταγμένες η (4.7) γράφεται Y( ω) H( ω) X ( ω ) και arg Y( ω ) arg H( ω ) + arg X ( ω) (4.8) Η αθροιστική μορφή της δεύτερης εξίσωσης επιτρέπει τη γραφική παράσταση της φάσης εξόδου με απλή πρόσθεση των γραφημάτων της φάσης εισόδου με τη φάση της απόκρισης συχνότητας. Για να πετύχουμε ανάλογη συμπεριφορά για το μέτρο, λογαριθμίζουμε την πρώτη εξίσωση και έχουμε log Y( ω) log H( ω ) + log X ( ω ) (4.9) Συχνά, για τη γραφική αναπαράσταση του μέτρου, χρησιμοποιούμε λογαριθμική κλίμακα για τη συχνότητα, και ως μονάδα μέτρου το deciel (db). Η κλίμακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία db log H ( ω) (4.) Ενδεικτικά έχουμε τις ακόλουθες τιμές db αντιστοιχεί σε H ( ω), db αντιστοιχούν σε H ( ω), και db αντιστοιχούν σε H ( ω), 4dB αντιστοιχούν σε H ( ω),. 4 db αντιστοιχούν σε H ( ω), Παρατηρούμε ακόμα ότι db αντιστοιχεί περίπου σε H ( ω), και 6 db αντιστοιχούν περίπου σε H ( ω). Διαγράμματα που απεικονίζουν τη φάση και το μέτρο σε db σε συνάρτηση με τη συχνότητα ονομάζονται διαγράμματα Bode. Επειδή ο λογάριθμος εκτείνει την κλίμακα, η χρησιμοποίηση λογαριθμικής κλίμακας εξασφαλίζει καλύτερη ευκρίνεια όταν το εύρος των συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει είναι μεγάλο, ή περιορίζεται σε μικρές τιμές κοντά στο μηδέν. Εφαρμόζουμε τα παραπάνω στο Παράδειγμα 4.4. Παράδειγμα 4.4 Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος πρώτης τάξεως όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος. Λύση Ο μετασχηματισμός Fourier του μοναδιαίου βήματος είναι (βλέπε Πίνακα 3.3) U ( ω ) + πδ ( ω) (4.) Από το θεώρημα της συνέλιξης προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός Fourier της εξόδου είναι για ω, δ ( ω) έχουμε Y( ω ) Η( ω ) U( ω ) + πδ ( ω) + α a a Y ( ω) + ( + α) ( + a) Με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, της ιδιότητας της γραμμικότητας, της (4.7) και του μετασχηματισμού Fourier του μοναδιαίου βήματος υπολογίζουμε την έξοδο

Ενότητα 4.3 Διαγράμματα Bode 3 του συστήματος y( a e u( a a (4.) Η κρουστική απόκριση του συστήματος πρώτης τάξεως και η απόκρισή του στο μοναδιαίο βήμα παριστάνονται γραφικά στο Σχήμα 4.. h () e y( a a( e) τ (α) τ (β) Σχήμα 4. Αποκρίσεις συστήματος πρώτης τάξεως, (α) κρουστική απόκριση και (β) απόκριση στο μοναδιαίο βήμα. Η ασυμπτωτική κατάσταση της απόκρισης στο μοναδιαίο βήμα είναι a. Η παράμετρος τ a ονομάζεται χρονική σταθερά και σηματοδοτεί το ρυθμό με τον οποίο το σύστημα αποκρίνεται. Τη χρονική στιγμή τ, η κρουστική απόκριση μειώνει την τιμή που είχε αρχικά e φορές, ενώ η απόκριση στο μοναδιαίο βήμα απέχει e φορές από την τελική της τιμή (Σχήμα 4.). Παρατηρούμε ότι, καθώς a +, η χρονική σταθερά μικραίνει και η πτωτική τάση της κρουστικής απόκρισης γίνεται πιο απότομη. Η απόκριση συχνότητας, η κρουστική απόκριση και η απόκριση στο μοναδιαίο βήμα, του συστήματος πρώτης τάξης, όταν a, είναι H ( ω ), h( e τ u( και y( e τ u( (4.3) j ωτ + τ Το μέτρο της απόκρισης συχνότητας είναι και σε db H ( ω ) τ + τ + (4.4) + τ ω ( ω ) log [ + ( ] log H τω (4.5) ) Παρατηρούμε ότι, αν ωτ <<, ισχύει log [ + ( τω ) ] log. Συνεπώς, στις χαμηλές συχνότητες το μέτρο σε db της απόκρισης συχνότητας είναι περίπου μηδέν, εφόσον log H ( ω ) για ω << τ. Αν ωτ >>, ισχύει log [ + ( τω) ] log ( τω ) log τ + log ω. Συνεπώς, στις υψηλές συχνότητες το μέτρο σε db προσεγγίζεται από γραμμική συνάρτηση του log ( ω), η οποία έχει κλίση -.

4 Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier Κεφάλαιο 4 log H(ω) - -4 3dB -6 log (, τ ) log ( τ ) log ( τ) ( ) log ω argh(ω) π 4 π log (, τ ) ( ) log τ log ( / ) τ ( ) log ω Σχήμα 4. Τα διαγράμματα Bode συστήματος πρώτης τάξεως. log H ( ω ) log τ log ω για ω >> τ Στο Σχήμα 4. φαίνονται τα διαγράμματα Bode συστήματος πρώτης τάξεως. Για το σημείο τομής των ασύμπτωτων ευθειών που προσεγγίζουν το μέτρο στις χαμηλές και υψηλές συχνότητες ισχύει log ( ω) log ( τ ) και αντιστοιχεί στη συχνότητα ω τ. Στη συχνότητα αυτή η πραγματική τιμή του μέτρου σε db είναι log H log τ + log () 3dB τ τ Για το λόγο αυτό, η συχνότητα ω τ ονομάζεται σημείο 3 db. Σε ανάλογα συμπεράσματα καταλήγουμε για τη φάση, όπου στην περίπτωση αυτή υπάρχουν τρεις ασύμπτωτες ευθείες, Σχήμα 4.. 4.4 Ιδανικό Φίλτρο Βασικής Ζώνης Κατωπερατό Φίλτρο Ένα σύστημα το οποίο ενισχύει ή αποδυναμώνει το μέτρο της απόκρισης συχνότητας ανάλογα με την τιμή ή το διάστημα τιμών της συχνότητας ω, ονομάζεται φίλτρο. Ιδανικό κατωπερατό φίλτρο ή Ιδανικό φίλτρο βασικής ζώνης ονομάζεται το ΓΧΑ σύστημα το οποίο έχει απόκριση συχνότητας e H( ω), ω < ω ω > ω όπου είναι σταθερή ποσότητα. Η σταθερή συχνότητα c, c c (4.6) ω χαρακτηρίζεται ως συχνότητα

Ενότητα 4.4 Ιδανικό Φίλτρο Βασικής Ζώνης Κατωπερατό Φίλτρο 5 αποκοπής του φίλτρου. Στο Σχήμα 4.3 δίνεται η γραφική παράσταση του μέτρου και της φάσης του ιδανικού φίλτρου βασικής ζώνης. Το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του κατωπερατού φίλτρου είναι ίσο με για ω < ω <. Δεδομένου ότι Y ( ω) H ( ω) X ( ω), είναι προφανές ότι οι συχνότητες του c ω c σήματος εισόδου που βρίσκονται σε αυτό το διάστημα, διέρχονται από το φίλτρο με αμετάβλητο πλάτος. Για το λόγο αυτό το διάστημα αυτό καλείται και ζώνη διέλευσης του φίλτρου. Επίσης, επειδή το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του κατωπερατού φίλτρου είναι ίσο με για ω c < ω και ω < ω c είναι προφανές ότι το κατωπερατό φίλτρο απορροφά τις συχνότητες εκείνες του φάσματος του σήματος εισόδου που είναι μεγαλύτερες από τη συχνότητα αποκοπής. Ας υποθέσουμε τώρα, ότι στην είσοδο του κατωπερατού φίλτρου το σήμα αποτελείται από δύο συνιστώσες την x επ ( που είναι η επιθύμητη συνιστώσα του σήματος και την x αν ( που είναι η ανεπιθύμητη συνιστώσα, π.χ., ένα σήμα παρεμβολής ή θόρυβος. Έστω δε ότι X επ ( ω) για ω >ω c σε αντίθεση με την ανεπιθύμητη συνιστώσα, της οποίας ο μετασχηματισμός Fourier δεν ικανοποιεί αντίστοιχη σχέση. Για μια τέτοια εξιδανικευμένη περίπτωση, το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο θ αφήνει την επιθυμητή συνιστώσα να διέρχεται ενώ θ απορροφήσει το τμήμα της ανεπιθύμητης συνιστώσας το οποίο περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες από τη συχνότητα αποκοπής. ( ) H ω ( ) arg H ω ω ω c (α) ω c ω (β) Σχήμα 4.3 (α) Το μέτρο και (β) η φάση του ιδανικού φίλτρου βασικής ζώνης. Η κλίση της ευθείας προσδιορίζεται από το. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το μη μηδενικό μέρος του μετασχηματισμός Fourier, X ( ω), του σήματος εισόδου, x (, εντοπίζεται στη ζώνη διέλευσης. Τότε ο μετασχηματισμός Fourier της εξόδου του συστήματος είναι ή στο πεδίο του χρόνου Y o ( ω ) X ( ω ) H( ω ) X ( ω ) e y( x( ) (4.7) Με άλλα λόγια, το γεγονός ότι η φάση της απόκρισης συχνότητας είναι γραμμική συνάρτηση της συχνότητας, η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήμα εισόδου, με φασματικό περιεχόμενο εντοπισμένο στη ζώνη διέλευσης, είναι μία χρονική καθυστέρηση. Από το μετασχηματισμό Fourier του τετραγωνικού παλμού και με τη βοήθεια της ιδιότητας της χρονικής μετατόπισης υπολογίζεται η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φιλτρού

6 Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier Κεφάλαιο 4 h () sin [ c ( ) ] π( ) ω π ω sin c ( ) ω c c Η γραφική παράσταση της κρουστικής απόκρισης είναι στο Σχήμα 4.4. π (4.8) h () ωc π π ω c + π ω c T c π ω c Σχήμα 4.4 Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου. Παρατηρήσεις Όσο μικρότερη είναι η συχνότητα αποκοπής, τόσο μεγαλύτερη είναι η διάρκεια της κρουστικής απόκρισης. Το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο είναι μη αιτιατό, εφόσον η κρουστική απόκρισή του είναι μη μηδενική για αρνητικές τιμές του χρόνου και, επομένως, είναι μη πραγματοποιήσιμο. Αν η τιμή της σταθεράς είναι αρκετά μεγάλη οι τιμές της κρουστικής απόκρισης τις αρνητικές χρονικές στιγμές μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες και να προσεγγίσουμε το φίλτρο μ ένα αιτιατό σύστημα. Όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα αποκοπής τόσο ταχύτερα το φίλτρο έχει τη δυνατότητα να παρακολουθεί απότομες μεταβολές του σήματος εισόδου. Αυτό είναι λογικό αφού γρήγορες χρονικές μεταβολές αντιστοιχούν στις υψηλές συχνότητες, οι οποίες διέρχονται από το φίλτρο αν επιλέξουμε μεγάλη συχνότητα αποκοπής. Σύνοψη Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό υπολογίσαμε την απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος από τη διαφορική εξίσωση που συσχετίζει τα σήματα εισόδου-εξόδου, εκμεταλλευόμενοι τις ιδιότητες της γραμμικότητας, της διαφόρισης και το θεώρημα της συνέλιξης. Όταν η απόκριση συχνότητας έχει απλή μορφή, τότε είναι δυνατό με τη βοήθεια των γνωστών ζευγών ΜF, που αναφέρονται στον Πίνακα 3.3, να υπολογίσουμε την κρουστική απόκριση του συστήματος. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν έμμεσοι τρόποι υπολογισμού του αντίστροφου ΜF, οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι, όταν ο ΜF δεν έχει απλή μορφή. Ειδικότερα, στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, ο ΜF είναι μια ρητή συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή αναλύουμε τη συνάρτηση σε άθροισμα απλών κλασμάτων και με τη βοήθεια του Πίνακα 3.3 υπολογίζουμε τον αντίστροφο ΜF. Η παραπάνω μεθοδολογία εφαρμόζεται και για τον υπολογισμό της εξόδου, στο πεδίο του χρόνου, ενός ΓΧΑ συστήματος, εάν έχουμε υπολογίσει πρώτα τον ΜF της εξόδου με την βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης.

Ενότητα 4.5 Ασκήσεις 7 Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν τα διαγράμματα Bode. Τα διαγράμματα Bode, επειδή ο λογάριθμος εκτείνει την κλίμακα, εξασφαλίζουν περισσότερη ευκρίνεια αν το εύρος των συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει είναι μεγάλο ή επίσης, αν περιορίζεται σε μικρές τιμές κοντά στο μηδέν. Τέλος, στο κεφάλαιο αυτό μελετήσαμε τα ιδανικά κατωπερατά φίλτρα. 4.5 Ασκήσεις 4. Δίνεται το κύκλωμα που αποτελείται από αντίσταση R KΩ, πηνίο L, H και πυκνωτή µ F σε σειρά το οποίο περιγράφεται στο Σχήμα 4.5. Αν η είσοδος του συστήματος είναι η εφαρμοζομένη τάση υ ( και έξοδος η ένταση του ρεύματος i (, να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος. A ( ) υ R ( ) i B L Γ Σχήμα 4.5 Το κύκλωμα της Άσκησης 4.. 4. Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα του Σχήματος 4.5 όταν η τάση εισόδου είναι () π υ cos + (4.9) 3 4.3 Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα το οποίο έχει κρουστική απόκριση sin( 4π h() π Με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης να προσδιοριστεί η έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος του συστήματος είναι το σήμα x( cos ( π + sin( 6π (4.3) 4.4 Η διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήματος είναι dy( + y() x() (4.3) d α) Να προσδιοριστεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος και να γίνουν τα διαγράμματα Bode. β) Αν η είσοδος του συστήματος είναι το σήμα x( e u( να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier Y ( ω ) της εξόδου. γ) Αφού αναλυθεί σε απλά κλάσματα η Y ( ω ) να υπολογιστεί η έξοδος y ( του συστήματος,

8 Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier Κεφάλαιο 4 όταν η είσοδος είναι το σήμα x (. 4.5 Αν η πηγή τάσης, της μορφής του Σχήματος 4.6 εφαρμόζεται στην είσοδο ενός ιδανικού κατωπερατού φίλτρου, με απόκριση συχνότητας Να υπολογιστεί η έξοδος του φίλτρου. e, ω < 4 H ( ω) (4.3), ω > 4 4.6 Έστω ότι η πηγή τάσης της μορφής του Σχήματος 4.6 εφαρμόζεται στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος πρώτης τάξης, το οποίο χαρακτηρίζεται από την εξίσωση Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος. ( ) υ dy( + y( x( (4.33) d L V π π π π L Σχήμα 4.6. 4.7 Το αιτιατό εκθετικό σήμα του Σχήματος 4.7α εφαρμόζεται στην είσοδο του ιδανικού φίλτρου βασικής ζώνης του Σχήματος 4.7β. Να υπολογιστεί η συχνότητα αποκοπής ω, έτσι ώστε το φίλτρο να επιτρέπει τη διέλευση της μισής ενέργειας του σήματος εισόδου. c ( ) x () x e 5 ( ) x H ( ω ) ( ) y (α) ω c (β) ω c ω Σχήμα 4.7 (α) Το σήμα εισόδου και (β) το ιδανικό φίλτρο της Άσκησης 4.7. Δίνεται το αόριστο ολοκλήρωμα a dx x an + x a a