Marko Razpet Matematika in umetnost Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 14. marec 2014
Vsebina Kaj je loksodroma? Loksodroma na sferi ali obli Loksodroma na torusu ali svitku GeoGebra in trirazsežne slike
Loksodroma in izvor besede Loksodroma je na dovolj gladki rotacijski ploskvi krivulja, ki seka poldnevnike ploskve pod stalnim ostrim kotom. Z običajno parametrizacijo oble in svitka se da zanju poiskati enačbe loksodrom v eksaktni obliki. Posebej nas bo pri loksodromi svitka zanimalo, kdaj je to sklenjena krivulja in kdaj je na svitku mogoče najti med seboj pravokotne sklenjene loksodrome. V grščini λοξός pomeni poševen, poprečen, proč obrnjen, nevoščljiv, zaviden, δρόμος pa tek, dirka, dirkališče.
Loksodroma na obli in koordinatni sistem Loksodroma na obli je krivulja, ki seka vse óbelne poldnevnike pod stalnim kotom α, 0 < α < π/2. Oblo s polmerom a postavimo v koordinatni sistem Oxyz tako, da ima središče v izhodišču O. Njena enačba je x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Točko N(0, 0, a) imenujemo severni pol ali severni tečaj, točko S(0, 0, a) pa južni pol ali južni tečaj oble.
Koordinatni sistem na obli Vsako točko T (x, y, z) na obli določa njen krajevni vektor r. Razen obeh polov pa jo določata tudi zemljepisna dolžina ali longituda u in zemljepisna širina ali latituda v. Vzamemo π < u π, π/2 < v π/2. V polih je v = ±π/2, u pa ni določen. Ekvator je krožnica, ki je presek oble in ravnine z = 0, na njem je v = 0.
Parametrizacija oble Krajevni vektor katerekoli točke na obli lahko zapišemo v obliki r = r (u, v) = a(cos u cos v, sin u cos v, sin v). S tem smo pravzaprav zapisali oblo v parametrični obliki, z vektorsko funkcijo dveh parametrov.
Koordinatne krivulje na obli Če po en parameter vzamemo konstanten, dobimo v tej parametrizaciji koordinatne krivulje na obli. Krivulje r (u) = r (u, v 0 ) = a(cos u cos v 0, sin u cos v 0, sin v 0 ) so za vsak konstanten v 0 vzporedniki, krivulje r (v) = r (u 0, v) = a(cos u 0 cos v, sin u 0 cos v, sin v) pa za vsak konstanten u 0 poldnevniki na obli. Tako dobimo koordinatno mrežo na obli.
Problem loksodrome na obli Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v, ki definira na obli krivuljo, ki seka óbelne poldnevnike pod stalnim kotom α. Kot α med krivuljama je kot med tangentama v presečišču teh krivulj. Ker ima diferencial d r krivulje isto smer kot njena tangenta, lahko kot med njima hitro izrazimo. Diferencial v zvezi s prvo krivuljo označimo z d, v zvezi z drugo pa z δ. Torej lahko izrazimo cos α = d r δ r d r δ r = d r δ r ds δs. Pri tem s označuje ločno dolžino krivulje.
Izračun koeficientov prve osnovne forme Na ploskvi r = r (u, v) je in d r = r r du + u v dv d r 2 = ds 2 = E du 2 + 2F dudv + Gdv 2, pri čemer so Gaußovi koeficienti E, F, G definirani takole: E = r u r u, F = r u r v, G = r v r v.
Metrika na obli Preprost račun pokaže za oblo: r u r v Nazadnje dobimo = a( sin u cos v, cos u cos v, 0), = a( cos u sin v, sin u sin v, cos v). E = a 2 cos 2 v, F = 0, G = a 2. in ds 2 = a 2 (cos 2 v du 2 + dv 2 ).
Kot med krivuljama na obli Sedaj ni težko izraziti produkt d r δ r = ( r r r r du + dv) ( δu + u v u v δv). Z Gaußovimi koeficienti dobimo: d r δ r = E duδu + F (duδv + δudv) + G dvδv. Posebej je za oblo d r δ r = a 2 (cos 2 v duδu + dvδv). Za krivulji na obli je nazadnje: cos α = cos 2 v duδu + dvδv cos 2 v du 2 + dv 2 cos 2 v δu 2 + δv 2.
Pot do diferencialne enačbe loksodrome Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Na poldnevniku se parameter u ne spreminja, δu = 0, in izraz za α je: cos α = dv cos 2 v du 2 + dv 2. Sledi 1 cos 2 α = 1 + tg2 α = 1 + ( ) du 2 cos 2 v, dv iz česar dobimo preprosto diferencialno enačbo ( ) du 2 cos 2 v = tg 2 α, dv ki razpade na dve: du dv cos v = tg α, du cos v = tg α. dv
Ločitev spremenljivk Ločimo spremenljivki: du = tg α dv dv, du = tg( α) cos v cos v. Dovolj je obravnavati primer α > 0. Loksodrome tedaj potekajo v smeri severovzhoda proti severnemu polu oziroma proti jugozahodu proti južnemu. To je desnosučna loksodroma. Levosučno loksodromo dobimo, če α zamenjamo z α.
Integracija diferencialne enačbe Za enolično rešitev dobljene diferencialne enačbe moramo poznati še začetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi točko na obli, ki ustreza parametroma u 0 in v 0. Z integracijo dobimo u u 0 = tg α ali v v 0 dν cos ν = tg α (ln tg(v/2 + π/4) ln tg(v 0/2 + π/4)) u = u 0 + tg α ln tg(v/2 + π/4) tg(v 0 /2 + π/4). Za loksodromo, ki poteka skozi točko (a, 0, 0), vzamemo u 0 = v 0 = 0 in dobimo u = tg α ln tg(v/2 + π/4).
Enačba loksodrome Enačba take loksodrome v parametrični obliki je torej: r (v) = a(cos(tg α ln tg(v/2+π/4)), sin(tg α ln tg(v/2+π/4)), sin v). Pri istem α dobimo vse loksodrome z zasukom slednje okoli osi z. Ko v ±π/2, se loksodroma spiralasto ovija okoli polov. Kotu u tukaj dovolimo vse realne vrednosti, ne le tiste med π in π, da se loksodroma lepo zvezno nadaljuje v obe smeri.
Podoba loksodrome
Nastanek svitka Če krožnico s polmerom b > 0 zavrtimo za polni kot okoli premice v ravnini te krožnice, dobimo ploskev, ki ji rečemo svitek. Pri tem naj središče krožnice opiše krožnico s polmerom a > 0, središčnico svitka. Premica, okoli katere zavrtimo krožnico, je os svitka, središče središčnice pa je središče svitka. Pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxyz postavimo tako, da je središče svitka v koordinatnem izhodišču, os svitka pa os z.
Krožni svitek: a > b
Rogati svitek: a = b
Vretenasti svitek: a < b
Svitek v koordinatnem sistemu Svitek v koordinatnem sistemu Oxyz, v katerem je O središče svitka, os z pa os svitka, najenostavneje parametriziramo z r (u, v) = ((a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v), pri čemer je π < u π, π < v π. Parametrizacijo najlaže razumemo, če vzamemo točko na svitku in gledamo osni presek svitka skozi to točko ter pravokotno projekcijo na ekvatorialno ravnino svitka, to je ravnino z = 0.
Koordinate na svitku S tem imamo na voljo analitično izražavo svitka, kar omogoča udobno računanje. Območje parametrov u in v, ki sestavljajo urejene pare (u, v), je kvadrat Q = {(u, v) : π < u π, π < v π}. Parameter u je neke vrste zemljepisna dolžina na svitku, v pa zemljepisna širina. Vsaki točki na svitku ustreza natančno en par (u, v) v kvadratu Q. S parametrizacijo smo ustvarili koordinatni sistem na svitku.
Poldnevniki in vzporedniki na svitku Pri konstantnem u dobimo poldnevnike na svitku, pri konstantnem v pa vzporednike. Poldnevniki in vzporedniki na svitku se sekajo pod pravim kotom. Vzporednik, določen z v = 0, je zunanji ekvator svitka, vzporednik, določen z v = π pa notranji ekvator. Pri a = b se vsi poldnevniki dotikajo osi svitka, notranji ekvator pa je izrojen v točko, središče svitka. Od zunanjega ekvatorja merimo kot v po poldnevniku. Ekvatorja sta krožnici v ravnini Oxy s polmerom a + b in a b. Poldnevnik, določen z u = 0, je začetni poldnevnik svitka. Od tega merimo kote u.
Implicitna enačba svitka Enačbo svitka brez težav zapišemo v implicitni obliki: Ko odpravimo koren, dobimo: ( x 2 + y 2 a) 2 = b 2 z 2. (x 2 + y 2 + z 2 + a 2 b 2 ) 2 = 4a 2 (x 2 + y 2 ). Svitek je torej algebrska ploskev četrte stopnje, njena oblika pa je odvisna od polmerov a in b. Latinska beseda za svitek je torus. Sama beseda ima več pomenov, med drugim tudi vozel, pentlja, trak pri vencu, pomanjševalnica torulus pa svitek las. Tako je še najlepša domača beseda za torus pravzaprav svitek. V starih časih so dekleta in žene nosile na glavah škafe in vedra. Na glave pa so si pred tem za ublažitev pritiska namestile ravno prav trde svitke iz blaga. Tak svitek je omogočal, da so najbolj spretne nosile polno posodo ne da bi jo držale z rokami.
Loksodroma na svitku Če je K krivulja v kvadratu Q, se bo le-ta s funkcijo (u, v) r (u, v) preslikala v krivuljo na svitku. Sedaj bomo poiskali loksodromo na svitku, to je tisto krivuljo na njem, ki njegove poldnevnike seka pod enakim kotom α. Za ta kot bomo vzeli, da je po absolutni vrednosti pozitiven in manjši kot π/2. Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v, ki definira krivuljo na svitku, ki seka njegove poldnevnike pod stalnim kotom α.
Koeficienti prve osnovne forme na svitku Preprost račun pokaže, da sta za svitek: r u r v = ( (a + b cos v) sin u, (a + b cos v) cos u, 0), = ( b cos u sin v, b sin u sin v, b cos v). Nazadnje dobimo za svitek E = (a + b cos v) 2, F = 0, G = b 2 in ds 2 = (a + b cos v) 2 du 2 + b 2 dv 2.
Kot med krivuljama na svitku Za kot med krivuljama na svitku je: cos α = (a + b cos v) 2 duδu + b 2 dvδv (a + b cos v) 2 du 2 + b 2 dv 2 (a + b cos v) 2 δu 2 + b 2 δv 2. Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Na poldnevniku se parameter u ne spreminja, zato je δu = 0 in izraz za kot α se poenostavi: cos α = bdv (a + b cos v) 2 du 2 + b 2 dv 2.
Diferencialna enačba loksodrome na svitku Dobljeno diferencialno enačbo preoblikujemo, tako da najprej zapišemo 1 cos 2 α = 1 + tg2 α = 1 + 1 b 2 iz česar dobimo preprosto diferencialno enačbo ki razpade na dve: ( ) du 2 (a + b cos v) 2, dv ( ) du 2 (a + b cos v) 2 = b 2 tg 2 α, dv du dv (a + b cos v) = b tg α, du (a + b cos v) = b tg α. dv
Ločitev spremenljivk Ločimo spremenljivki: du = b tg α dv dv, du = b tg( α) a + b cos v a + b cos v. Obravnavali bomo primer α > 0, saj sta si sliki za α > 0 in α < 0 zrcalni, če zrcalno ravnino postavimo skozi os z in jo zavrtimo okoli nje za primeren kot. Brez težav lahko zapišemo za dobljeno loksodromo diferencial loka: ds = b dv cos α.
Rešitev diferencialne enačbe Za enolično rešitev dobljene diferencialne enačbe moramo poznati še začetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi točko na svitku, ki ustreza parametroma u 0 in v 0. Z integracijo dobimo u u 0 = b tg α v v 0 dν a + b cos ν. Sedaj bi morali obravnavati loksodromo posebej za krožni, rogati in vretenasti svitek. Slednjemu bi se najraje izognili zaradi gneče, ki nastane okoli svitkovega vretena, in s tem bolj ali manj zapletene slike.
Loksodroma na rogatem svitku Za rogati svitek, ko je a = b, dobimo rešitev v = tg α v 0 u u 0 = tg α v v 0 dν 1 + cos ν = dν 2 cos 2 (ν/2) = tg α(tg(v/2) tg(v 0/2)). Za loksodromo, ki poteka skozi točko (a + b, 0, 0), vzamemo u 0 = v 0 = 0 in dobimo u = tg α tg(v/2). Enačba take loksodrome v parametrični obliki je torej: r (v) = = a(2 cos 2 (v/2) cos(tg α tg(v/2)), 2 cos 2 (v/2) sin(tg α tg(v/2)), sin v). Loksodroma se spiralasto ovija okoli rožičkov.
Pogled od strani
Pogled v notranjost
Loksodroma na krožnem svitku Za krožni svitek je a > b > 0 in pri začetnem pogoju u 0 = 0, v 0 = 0 je kjer je Funkcija u = b tg α v 0 dν a + b cos ν = 2b tg α c c = a 2 b 2, µ = f : v f (v) = 2b tg α c arc tg(µ tg(v/2)), a b a + b. arc tg(µ tg(v/2)), definirana na intervalu [ π, π], za katero v krajiščih vzamemo za njeni vrednosti ustrezni stranski limiti, vpliva na obliko loksodrome na svitku. Ta je odvisna od tega, v kakšni medsebojni relaciji so a, b in α.
Villarceaujeve krožnice na svitku Zanimiv je primer, ko grafa funkcij f in f 1 potekata skozi oglišči ( π, π) in (π, π) kvadrata Q. To se zgodi pri pogoju tg α = c/b. Tedaj je u = f (v) = 2 arc tg(µ tg(v/2)), v = f 1 (u) = 2 arc tg(tg(u/2)/µ). Graf funkcije f 1, katerega oblika je odvisna od µ oziroma od razmerja a/b, kaže slika na desni.
Koplanarni Villarceaujevi krožnici na svitku Izrazimo: cos u = cos(2 arc tg(µ tg(v/2))) = b + a cos v a + b cos v, sin u = sin(2 arc tg(µ tg(v/2))) = Torej lahko zapišemo: r (v) = (b+a cos v, c sin v, b sin v). Krivulja leži na ravnini cz = by, ki je vzporedna z osjo x in oklepa z ravnino z = 0 kot ϕ, tg ϕ = b/c oziroma sin ϕ = b/a. Ravnina cz = by seka svitek še enkrat v prav taki krivulji. c sin v a + b cos v.
Središče Villarceaujeve krožnice Da je krivulja krožnica, se prepričamo takole. Vzemimo točko S(b, 0, 0), ki ji pripada krajevni vektor b i, in izračunajmo r (v) b i = (a cos v, c sin v, b sin v). Preprost račun pokaže r (v) b i = a. Torej je iskana krivulja krožnica s središčem v točki S in polmerom a. Krožnici rečemo Villarceaujeva krožnica na svitku. Antoine-Joseph Yvon Villarceau (1813 1883), po katerem se krožnica imenuje, je bil francoski astronom, matematik in inženir. Villarceaujeva krožnica je skladna s središčnico svitka. Vse Villarceaujeve krožnice na svitku dobimo z zasuki okoli njegove osi dveh Villarceaujevih osnovnih krožnic skozi točko (a + b, 0, 0): ena oklepa v tej točki z zunanjim ekvatorjem kot ϕ, druga, konjugirana prvi, pa ϕ. Slednja ima enačbo r (v) = (b + a cos v, c sin v, b sin v).
Konjugirani Villarceaujevi krožnici Vse Villarceaujeve krožnice dobimo iz osnovne in njej konjugirane krožnice z zasuki okoli osi svitka. Če osnovno in njej konjugirano krožnico zasukamo za kot ϑ, ima dobljena krožnica enačbo r (v) = ((b+a cos v) cos ϑ c sin v sin ϑ, (b+a cos v) sin ϑ±c sin v cos ϑ, b sin v).
Družina Villarceaujevih krožnic Slika kaže družino Villarceaujevih krožnic z razmikom ϑ = π/10.
Štiri vrste krožnic na svitku Skozi vsako točko na svitku potekajo štiri krožnice, ki ležijo na njem: poldnevnik, vzporednik in dve Villarceaujevi krožnici.
Stranski pogled Naklonski kot ϕ ravnine, ki seka svitek v obeh Villarceaujevih krožnicah, proti ekvatorialni ravnini svitka, dobimo, če postavimo tangento skozi njegovo središče na katerikoli njegov poldnevnik. Razdalja od središča do dotikališča je c = a 2 b 2, očitno pa je sin ϕ = b/a.
Drug pristop Drugačen pristop do Villarceaujevih krožnic na svitku poteka s preseki svitka z ravninami. Izkaže se, da so preseki lahko krožnice samo v primeru, ko ravnina poteka skozi središče svitka ali pa je vzporedna z njegovo ekvatorialno ravnino. V slednjem primeru dobimo vzporednike na svitku. Če presečna ravnina vsebuje os svitka, so preseki njegovi poldnevniki. V primeru, ko ravnina poteka skozi njegovo središče in oklepa z ekvatorialno ravnino kot ϕ = ± arc sin(b/a), pa so preseki Villarceaujeve krožnice.
Bolj zavozlane loksodrome na svitku Villarceaujeve krožnice so najbolj preproste loksodrome, ki enkrat samkrat obkrožijo os svitka in enkrat njegovo središčnico. Od obeh polmerov, a in b, ter kota α pa je odvisno, ali je loksodroma sklenjena krivulja ali ne in kolikokrat obkroži os svitka in kolikokrat njegovo središčnico. V ta namen si ponovno oglejmo funkcijo f : v u = f (v) = 2b tg α c arc tg(µ tg(v/2)), ki povezuje parametra u in v. Parameter v teče od π do π, za parameter u pa bomo morali sedaj dovoliti poljubno realno vrednost. S tem dopuščamo možnost, da se loksodroma večkrat ovije okoli osi svitka.
Osnovni pravokotnik Krivulja u = f (v) poteka skozi točki (±πb tg α/c, ±π) v ravnini parametrov (u, v). Ti dve točki določata osnovni pravokotnik R. Stranica v smeri osi u je dolga 2πb tg α/c, v smeri osi v pa 2π. Pravokotnik R se ujema s kvadratom Q samo v primeru, ko je tg α = c/b. Takrat je loksodroma Villarceaujeva krožnica.
Nezaključena loksodroma Če je tg α c/b, loksodroma ni zaključena krivulja. Krivulja se začne in konča v različnih točkah na notranjem ekvatorju svitka. Da ohranimo sekanje poldnevnikov pod kotom α še naprej, zlepimo n osnovnih pravokotnikov s krivuljo u = f (v) vred v trak vzdolž osi u in to naredimo tolikokrat, da je trak dolg nekemu celemu mnogokratniku števila 2π, denimo m 2π.
Nadaljevanje osnovnih pravokotnikov To se bo seveda posrečilo pri primerni relaciji med polmeroma a, b in kotom α. Krivulja na k-ti kopiji osnovnega pravokotnika ima seveda enačbo u = f (v, k)+k 2πb c Pri tem izberemo k = 0, 1, 2,..., n 1. tg α = 2b tg α (arc tg(µ tg(v/2))+kπ). c
Pogoj za sklenjenost loksodrome na svitku Pri opisanem lepljenju osnovnih pravokotnikov v trak vedno desno zgornje oglišče pravokotnika, na primer Y, in levo spodnje oglišče X prejšnjega pravokotnika na svitku očitno dasta isto točko M na notranjem ekvatorju. Lihost funkcije f pa poskrbi za gladkost loksodrome v točki M. Iz zahteve n 2πb c tg α = m 2π dobimo pogoj za sklenjenost loksodrome na svitku: b c tg α = m n, kjer sta m in n tuji si naravni števili. Loksodroma tedaj n-krat obkroži središčnico svitka ter m-krat njegovo os.
Prvi primer sklenjene loksodrome Vzemimo svitek s podatki: a = 5, b = 3 in konstruirajmo na njem loksodromo s kotom α = π/4. Dobimo c = 4 in b tg α/c = 3/4. Loksodroma se štirikrat ovije okoli središčnice in trikrat okoli osi svitka.
Drugi primer sklenjene loksodrome Vzemimo še svitek s podatki: a = 13, b = 5 in konstruirajmo na njem loksodromo s kotom α = π/4. Dobimo c = 12 in b tg α/c = 5/12. Loksodroma se dvanajstkrat ovije okoli središčnice in petkrat okoli osi svitka.
Tretji primer sklenjene loksodrome Vzemimo še svitek s podatki: a = 2, b = 1 in konstruirajmo na njem loksodromo s kotom α = π/6. Dobimo c = 3 in b tg α/c = 1/3. Loksodroma se trikrat ovije okoli središčnice in enkrat okoli osi svitka.
Loksodroma na vretenastem svitku Kadar imamo opravka z vretenastim svitkom, ko je b > a > 0, vpeljemo p = b a in c = b 2 a 2, povezava med parametroma u in v za loksodromo na svitku pa je u = f (v) = b tg α c Loksodroma poteka tako po zunanji strani svitka kakor tudi po njegovem vretenu v notranjosti. ln p tg(v/2) + c p tg(v/2) c.
Ortogonalne sklenjene loksodrome na svitku Dve sklenjeni loksodromi na svitku se lahko sekata. Oglejmo si, kdaj se sekata pravokotno. Če prva seka vse poldnevnike pod kotom α, kjer vzamemo 0 < α < π/2, druga, ki je nanjo pravokotna, seka poldnevnike pod kotom β = α π/2. Pri tem pa je π/2 < β < 0. Pogoja, da je druga loksodroma sklenjena, je b c tg β = b c tg(α π/2) = b c cot α = m 1 n 1. Pri tem sta m 1 in n 1 tuji si naravni števili. Velja torej relacija: b 2 c 2 = 1 (a/b) 2 1 = m n m1 n 1. Če se sklenjena loksodroma m-krat ovije okoli osi svitka in n-krat okoli njegove središčnice, pri čemer je razmerje kvadratov njegovih polmerov racionalno število in je izpolnjena zgornja relacija, potem se ortogonalna loksodroma ovije okoli osi svitka m 1 -krat in okoli njegove središčnice n 1 -krat.
Prvi primer ortogonalnih sklenjenih loksodrom na svitku V primeru a = 2, b = 1 dobimo na primer b 2 c 2 = 1 3 = 1 3 1 1. Lahko izberemo b c tg α = 1 tg α = 1 3 3, b c tg β = 1 tg β = 1 3 1, 3 α = arc tg 3 = π 6, β = arc tg 3 = π 3. Prva loksodroma se enkrat ovije okoli osi svitka in trikrat okoli njegove središčnice. Druga loksodroma je Villarceaujeva krožnica.
Drugi primer ortogonalnih sklenjenih loksodrom na svitku Ker za a = 2, b = 1 lahko zapišemo tudi b 2 c 2 = 1 3 = 3 4 4 9, najdemo drug par pravokotnih sklenjenih loksodrom za α = arc tg 3 3 4 4 3, β = arc tg 9. Razmere na svitku so kar pestre. Prva loksodroma se trikrat ovije okoli osi svitka in štirikrat okoli njegove središčnice. Druga loksodroma pa se štirikrat ovije okoli osi svitka in devetkrat okoli njegove središčnice.
Pedro Nunes Salaciense (1502 1578)
Thomas Harriot (1560 1621)
Willebrord Snel van Royen (1580 1626)
Antoine François Joseph Villarceau (1813 1883)
Arnold Emch (1871 1959)
Izvor besede anaglif Grško ἀνά na, po, nad, prek, čez. Grško γλύφω vdolbem, režem, rezljam, vgraviram, predstavim. Podobna beseda: hieroglif iz grške besede ἱερός svét, božji, vzvišen. Wilhelm Rollmann (1821 1890), nemški matematik iz Leipziga, leta 1853 izdela prve anaglife.
Očala za gledanje anaglifnih slik
Anaglifska podoba loksodrome
Izvor besede GeoGebra γῆ, ionsko γέα, poetično γαῖα zemlja; Γαία boginja zemlje Najbolj znano Al Hvarizmijevo (780 850) delo: Knjižica o računskih postopkih z dopolnjevanjem in izravnavanjem. Beseda al-jabr, zapisana kot v naslovu Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr w al-muqābala nam je dala besedo algebra. Tako smo dobili besedo GeoGebra, ki poimenuje program za dinamično geometrijo, v katerem se dopolnjujeta geometrija in algebra. Napisal ga je v glavnem Markus Hohenwarter leta 2001. Program se od takrat neprestano izboljšuje in dopolnjuje.
Strasbourg Villarceaujeve krožnice
Krožni torus z mrežo
Pogled na krožni torus z mrežo anaglif
Pogled v krožni torus z mrežo anaglif
Pogled na rogati torus z mrežo
Pogled v rogati torus z mrežo anaglif
Pogled na vretenasti torus z mrežo
Pogled v vretenasti torus z mrežo
Pogled na krožni torus anaglif
Pogled v krožni torus anaglif
Pogled v cev krožnega torusa anaglif
Pogled v rogati torus anaglif
Pogled v vretenasti torus anaglif
Sklenjena loksodroma na krožnem torusu anaglif
Loksodroma na rogatem torusu anaglif
Loksodroma na vretenastem torusu anaglif
GeoGebra 5 v akciji
Sekajoča se torusa
Trije torusi
Pet torusov
Enake sfere s središči na vijačnici
Različne sfere s središči na vijačnici
Venček sfer
Venček sfer okoli valja
Hvala za vašo pozornost!