Cvičenie Cvičenie.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a Mária je študentkou informatiky. Preto, je Mária študentkou informatiky alebo študentkou telekomunikácií. p = Mária je študentom informatiky q = Mária je študentom telekomunikácií p p q dôsledok adície v tab. (b Jaroslav študuje informatiku a elektrotechnológiu. Preto, Jaroslav študuje informatiku. p = Jaroslav študuje informatiku q = Jaroslav študuje elektrotechnológiu p q p dôsledok simplifikácie v tab. (c Ak prší, potom plaváreň je zatvorená. Preto, ak plaváreň je otvorená, potom neprší. p = prší q = plaváreň je zatvorená p q q p dôsledok inverzie implikácie v tab.. (d Ak dnes sneží, kino bude uzavreté. Kino dnes nie je uzavreté. Preto, dnes nesneží. p = dnes sneží q = kino je dnes uzavreté p q q p dôsledok modus tollens v tab.. (e Ak dnes pôjdem plávať, potom ráno skoro vstanem. Ak ráno skoro vstanem, potom pôjdem do obchodu kúpiť čerstvé pečivo. Preto, ak dnes pôjdem plávať, potom pôjdem do obchodu kúpiť čerstvé pečivo. p = dnes pôjdem plávať q = dnes ráno skoro vstanem r = dnes pôjdem do obchodu kúpiť čerstvé pečivo p q q r p r dôsledok hypotetického sylogizmu v tab.. z 5 (0. 6. 007 o 3:3
Cvičenie.. Aké pravidlo usudzovania bolo použité pri dôkaze záverov? (a Dnes bude teplo alebo bude smog v ovzduší. Dnes nebude teplo. Preto, dnes bude smog v ovzduší. p = dnes bude teplo q = dnes bude smog v ovzduší p q p q dôsledok disjunktívneho sylogizmu v tab.. (b Eva vynikajúco pláva. Ak Eva je vynikajúci plavec, potom môže pracovať ako plavčík. Preto, Eva môže pracovať ako plavčík. p = Eva vynikajúco pláva q = Eva môže pracovať ako plavčík p p q q dôsledok modus ponens v tab.. (c Stano bude pracovať v počítačovej firme ABC. Ak Stano dokončí štúdium na FIIT, potom nebude pracovať v počítačovej firme ABC. Preto, Stano nedokončí štúdium na FIIT. p = Stano bude pracovať v počítačovej firme ABC q = Stano dokončí štúdium na FIIT p q p p q dôsledok u prepísaný pomocou inverzie implikácie q dôsledok modus ponens na a dôsledok (d Ak budem intenzívne pracovať na projekte, potom zvládnem teóriu logických obvodov. Ak zvládnem teóriu logických obvodov, potom úspešne dokončím bakalárske štúdium. Preto, ak budem intenzívne pracovať na projekte, potom úspešne dokončím bakalárske štúdium. p = budem intenzívne pracovať na projekte q = zvládnem teóriu logických obvodov r = úspešne dokončím bakalárske štúdium p q q r p r dôsledok hypotetického sylogizmu Cvičenie.3. Aké závery vyplývajú z množiny výrokov? (a Ak jem korenenú stravu, potom mám hrozné sny, ak hrmí keď spím, potom mám hrozné sny, nemám hrozné sny. p = jem korenenú stravu q = mám hrozné sny r = spím z 5 (0. 6. 007 o 3:3
s = hrmí p q ( r s q q 3 ( r s ( r s modus tollens na a 3 p modus tollens na a 3 záver : spím a nehrmí záver : nejem korenenú stravu (b Ja som chytrý alebo mám šťastie, nemám šťastie, ak mám šťastie, potom zvíťazím v lotérii. p = som chytrý q = mám šťastie r = zvíťazím v lotérii p q q q r 3 p dôsledok disjunkt. sylogizmu aplik. na a záver: som chytrý (c Každý študent informatiky vlastní notebook, Rudo nevlastní notebook, Anna vlastní notebook. SI(x = x študuje informatiku V N(x = x vlastní notebook Univerzum = {študenti} ( x ( SI ( x VN ( x VN ( Rudo VN ( Anna 3 ( SI ( Rudo VN ( Rudo konkretizácia u ( SI ( Anna VN ( Anna konkretizácia u SI ( Rudo modus tollens na konkretizáciu a predpopklad záver: Rudo neštuduje informatiku (d Ak je to dobré pre našu firmu, potom je to dobré aj pre Slovensko, ak je to dobré pre Slovensko, je to dobré aj pre teba, ak si nemôžeš kúpiť auto, potom to nie je pre teba dobré. p = je to dobré pre našu firmu 3 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
q = je to dobré aj pre Slovensko r = je to dobré aj pre teba s = môžeš si kúpiť auto p q q r s r 3 p r dôsledok : hypotetický sylogizmus na a r s dôsledok : inverzia implikácie na 3 p s záver: hypotetický sylogizmus na dôsledok a dôsledok záver: ak je to dobré pre našu firmu, potom si môžeš kúpiť auto (e Všetky hlodavce hryzú potravu, myš je hlodavec, pes nehryzie potravu, netopier nie je hlodavec. H(x = x je hlodavec HP(x = x hryzie potravu M(x = x je myš x( H( x HP( x H( myš HP( pes 3 H ( netopier H ( myš HP( myš dôsledok : konkretizácia u H( pes HP( pes dôsledok : konkretizácia u HP( myš dôsledok 3 : modus ponens na a dôsledok H( pes dôsledok : modus tollens na 3 a dôsledok záver : myš hryzie potravu záver : pes nie je hlodavec Cvičenie.. Vysvetlite, ktorá schéma usudzovania bola použitá v ktorom kroku. (a Eva je študentka nášho krúžku a vlastní červené auto, každý, kto vlastní červené auto dostal aspoň jednu pokutu za prekročenie rýchlosti, preto, niekto z nášho krúžku dostal pokutu za prekročenie rýchlosti. SNK(x = x je študentom nášho krúžku VCA(x = x vlastní červené auto DPPR(x = x dostal pokutu za prekročenie rýchlosti z 5 (0. 6. 007 o 3:3
SNK(Eva VCA(Eva x VCA x DPPR x ( ( ( ( ( DPPR( x x SNK x. SNK(Eva VCA(Eva x VCA x DPPR x. ( ( ( 3. SNK(Eva konkretizácia u. VCA(Eva konkretizácia u VCA Eva DPPR Eva konkretizácia u 5. ( ( 6. DPPR(Eva modus ponens na a 5 7. SNK(Eva DPPR(Eva konjunkcia 3 a 6 x SNK x DPPR x zovšeobecnenie 7 8. ( ( ( (b Všetci moji priatelia, Mária, Adolf, Rudolf, Viera a Karol, si zapísali do indexu prednášku z diskrétnej matematiky, každý študent, ktorý si zapísal do indexu prednášku z diskrétnej matematiky, môže si nasledujúci akademický rok zapísať aj prednášku z algoritmov, preto, všetci moji priatelia Mária, Adolf, Rudolf, Viera a Karol, môžu si nasledujúci akademický rok zapísať do indexu prednášku z algoritmov. ZIPDM(x = x si zapísal do indexu prednášku z diskrétnej matematiky NARZPA(x = x si nasledujúci akademický rok môže zapísať prednášku z algoritmov U = množina všetkých študentov U = podmnožina U, obsahuje Máriu, Adolfa, Rudolfa, Vieru a Karola ( x U ( ZIPDM ( x ( x U ( ZIPDM ( x NARZPA( x ( x U ( NARZPA( x záver. ( x U ( ZIPDM ( x. ( x U ( ZIPDM ( x NARZPA( x 3. ZIPDM ( x pre x U, konkretizácia. ZIPDM ( x NARZPA( x pre x U, konkretizácia 5. NARZPA( x pre x U, modus ponens na 3 a 6. ( x U NARZPA( x zovšeobecnenie 5 pre U 5 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
(c Všetky filmy s Charlie Chaplinom sú vynikajúce, Charlie Chaplin hral v nemých filmoch, preto, niektoré vynikajúce filmy sú nemé. FCC(x = x je film kde hral Charlie Chaplin VF(x = x je vynikajúci film NF(x = x je nemý film ( ( VF ( x ( ( NF ( x x FCC x x FCC x ( ( NF ( x x VF x. x ( FCC ( x VF ( x. x( FCC ( x NF ( x 3. FCC ( c NF ( c. FCC ( c simplifikácia 3 5. NF ( c simplifikácia 3 6. FCC ( c VF ( c konkretizácia 7. VF ( c modus ponens na a 6 8. VF ( c NF ( c konjunkcia 5 a 7 9. x ( VF ( x NF ( x zovšeobecnenie 8 konkretizácia, c je film s CC a je nemý Cvičenie.5. Vysvetlite prečo uvedené závery sú korektné alebo nekorektné. (a Všetci študenti v tomto krúžku ovládajú logiku, Jano je študentom tohto krúžku, preto, Jano ovláda logiku. tk(x = x je študent v tomto krúžku ol(x = x ovláda logiku x ( tk ( x ol ( x tk ( Jano ol ( Jano. x( tk ( x ol ( x. tk ( Jano 3. tk ( Jano ol ( Jano. ol ( Jano Záver je korektný konkretizácia modus ponens na a 3, záver 6 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
(b Každý študent informatiky má zapísanú v indexe prednášku z diskrétnej matematiky, Viera má zapísanú prednášku z diskrétnej matematiky, preto, Viera je študentom informatiky. si(x = x je študent informatiky zpdm(x = x má zapísanú v indexe prednášku z diskrétnej matematiky x ( si ( x zpdm( x zpdm( Viera si( Viera. x( si ( x zpdm( x. zpdm( Viera 3. si ( Viera zpdm( Viera. si( Viera Záver je nekorektný konkretizácia použitie chybného pravidla potvrdenie dôsledku (c Každý kôň má rád ovocie, môj pes nie je kôň, preto, môj pes nemá rád ovocie. k(x = x je kôň ro(x = x má rád ovocie x ( k( x ro( x k( moj_ pes ro( moj _ pes. x ( k( x ro( x. k( moj_ pes 3. k ( moj _ pes ro( moj _ pes konkretizácia. ro( moj _ pes použitie chybného pravidla popretie u Záver je nekorektný (d Každý, kto má rád ovsené vločky je zdravý, Lenka nie je zdravá, preto, Lenka nemá rada ovsené vločky. rov(x = x má rád ovsené vločky z(x = x je zdravý ( ( z ( x x rov x z ( Lenka rov( Lenka 7 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
. x ( rov( x z ( x. z( Lenka 3. rov ( Lenka z ( Lenka konkretizácia. rov( Lenka modus tollens na a 3 Záver je korektný Cvičenie.6. Určite, ktorá veta je pravdivá. Ak je uvedený záver korektný, určite ktorá schéma usudzovania bola použitá pri jeho dôkaze. (a Ak x je reálne číslo také, že x >, potom ( y R( y y > > x > x >. ( y R( y y x >. Predpokladajte, že x >, potom > >. x > 3. x> x > konkretizácia. x > použitie chybného pravidla potvrdenie dôsledku Záver je nekorektný x >. (b Číslo log 3 je iracionálne vtedy, ak sa nedá vyjadriť ako podiel dvoch celých nesúdeliteľných čísel. Pretože číslo log 3 nie je vyjadriteľné ako p q, kde p a q sú celé nesúdeliteľné čísla, potom je číslo log 3 iracionálne. rac(x = x je racionálne číslo pod(x = x sa dá vyjadriť ako podiel dvoch celých nesúdeliteľných čísel pod ( log3 rac( log3 pod ( log 3 irac( log 3 ( pod ( log3 rac( log3. ( rac( log3 pod ( log3. pod ( 3. pod ( log3 rac( log3. rac ( 5. ( simplifikácia modus ponens na 3 a irac log ekvivalentné s 3 8 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
Záver je korektný (c Ak x je reálne číslo, ktoré spĺňa podmienku x > 3, potom x > 9. Nech x 3. y R y > 3 y > 9 ( ( x 9 x 3. ( y R( y 3 y 9. 3. > > x 9 x> 3 x > 9 konkretizácia x > 9 ekvivalentné s x > 3 aplikácia modus tollens na 3 a. ( 5. ( 6. x 3 ekvivalentné s 5 Záver je korektný x 9, potom (d Ak x je reálne číslo, ktoré spĺňa podmienku x >, potom x >. Nech x, potom x. ( y R( y y > > x x. ( y R( y y > >. x 3. x> x > konkretizácia x > ekvivalentný prepis x > použitie chybného pravidla popretie u x ekvivalentný prepis 5. ( 5. ( 6. Záver je nekorektný Cvičenie.7. Určite, či uvedené výroky sú korektné, ak nie, prečo? (a Ak x je iracionálne, potom x je iracionálne. Preto, ak x je iracionálne, potom x je iracionálne. ir(x = x je iracionálne číslo r(x = x je racionálne číslo ( ir ( x ir ( x ir ( x ir ( x ( výrok je nekorektný, pri inverzii implikácie musia byť negované jej zložky. Korektný výrok má tvar 9 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
( ir( x ir( x r( x r( x ( (b Ak x je iracionálne, potom x je iracionálne. Číslo je iracionálne. x ( ir ( x ir ( x ir ( π ir ( π (. y ir( y ir( y. ir ( π 3. ir ( ir ( π π konkretizácia pre y = π. ir ( π aplikácia modus ponens pre a 3 výrok je korektný Cvičenie.8. Prečo tieto výroky sú nekorektné? x = π je iracionálne. Preto, číslo x = π (a Nech H(x je predikát s významom x je šťastný. Nech platí x H( x. Preto, Eva je šťastná. x H( x H(Eva Táto konkretizácia existenčného kvantifikátora nie je korektná, z existencie niekoho, kto je šťastný, nemusí vyplývať, že práve Eva je šťastná (napr. Zuza je šťastná. (b Nech S(x,y je predikát s významom x je menší ako y. Nech platí implikácia s S s,max S Max,Max, kde Max je maximálne číslo z domény U. ( ( Potom, použitím schémy zovšeobecnenia pomocou existenčného kvantifikátora (zákon A c x A x x S x,x, t. j. niekto je kratší predikátovej logiky ( (, dostaneme, že platí ( ako on sám. Nekorektná je implikácia u s S ( s,max S ( Max,Max, ľavá strana je pravdivá, zatiaľ čo pravá strana je nepravdivá, čiže celá implikácia je nepravdivá. Cvičenie.9. Dokážte, keď sa dajú dokázať, tieto výroky: (a Dokážte výrok P(0, kde P(n je výrok ak n je kladné celé číslo väčšie ako, potom n > n. Ktorú schému usudzovania sme použili? 0 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
Výrok P(0 je pravdivý, pretože sa pokúšame dokázať výrok ak 0 je kladné celé číslo väčšie ako, potom 0 >0. Pretože je nepravdivý, implikácia je automaticky pravdivá. Priamy dôkaz. (b Dokáže výrok P(, kde P(n je výrok Ak n je kladné celé číslo, potom n > n. Ktorú schému usudzovania sme použili? Výrok P( je nepravdivý ( >. Priamy dôkaz. (c Nech P(n je výrok ak a a b sú kladné reálne čísla, potom ( n n n a+ b a + b. Dokážte, že P( je pravdivý výrok. Akú schému usudzovanie sme použili? P( je pravdivý výrok, ( a+ b a + b, priamy dôkaz (d Dokážte, že kvadrát párneho čísla je párne číslo použitím priameho dôkazu. pc i pc i k = k Priamy dôkaz: ( (,( ( (e Dokážte, že ak n je celé číslo a n 3 + 5 je nepárne číslo, potom n je párne číslo použitím nepriameho dôkazu. 3 np n + 5 p n, inverziou tejto implikácie dostaneme Máme dokázať implikáciu ( ( 3 np( n p( n + 5. Nech n= k+, potom n 3 ( k 3 ( k 3 k k 3 3 n + 5= ( k + 6k + 3k+ 3. (f Dokážte, že suma dvoch nepárnych čísel je párne číslo. np( a np( b p( a + b. Ak a = k+ a b l nezáporné celé čísla. (g Dokážte, že súčin dvoch nepárnych čísel je nepárne číslo. np a np b np a b. Ak a = k+ a b l ( ( ( l sú nezáporné celé čísla. = + = + 6 + 3 +, potom = +, potom a b ( k l + = + +, kde k, l sú = +, potom ab ( kl k l = + + +, kde k, (h Dokážte, že ak x je iracionálne nenulové číslo, potom x je iracionálne číslo. ( (, inverziou tejto implikácie dostaneme r( x r( x ir x ir x. Predpokladajme, že x =α β, kde α,β sú celé nesúdeliteľné čísla, potom aj x = βα, čiže x je rac. číslo Cvičenie.0. Dokážte metódou vymenovaním prípadov tieto vlastnosti: (a max{ x,y} + min{ x,y} = x+ y, kde x, y sú reálne čísla. ( x y, max{ x,y} + min{ x,y} = x+ y ( y x y <, { } { } max x,y + min x,y = x+ y x (b min{ a,min{ b,c} } min{ min{ a,b },c} x y =, kde a, b, c sú navzájom rôzne čísla. z 5 (0. 6. 007 o 3:3
( a b c min a,min b,c min min a,b,c b a < <, { } = { } ( a c b a min a,min b,c min min a,b,c c a < <, { } = { } (3 b a c a min a,min b,c min min a,b,c b b < <, { } = { } b... a a b (c Kvadráty celých čísel sú reprezentované dekadickými číslicami, ktoré končia 0,,, 5, 6, alebo 9. n...0 n =...0, ( číslo = (, potom ( ( číslo n = (..., potom n = (..., (3 číslo n = (..., potom n = (..., ( číslo n = (...3, potom n = (...9, (5 číslo n = (..., potom n = (...6, (6 číslo n = (...5, potom n = (...5, (7 číslo n = (...6, potom n = (...6, (8 číslo n = (...7, potom n = (...9, (9 číslo n = (...8, potom n = (..., (0 číslo n = (...9, potom n (... =. (d Štvrté mocniny celých čísel sú reprezentované dekadickými číslami, ktoré končia 0,, 5, alebo 6. Použijeme predchádzajúce výsledky, potom n...0 n =...0, ( číslo = (, potom ( ( číslo n = (..., potom n (... (3 číslo n = (..., potom n (...6 ( číslo n = (...5, potom n (...5 (5 číslo n = (...6, potom n (...6 (6 číslo n = (...9, potom n (... =, =, =, =, =. Cvičenie.. Dokážte tieto vlastnosti: (a Ak n je kladné celé číslo, potom n je párne vtedy a len vtedy, ak 7n+ je párne. p n p 7n n= k 7n+ = k+ = 7k+ ( ( ( +, ( z 5 (0. 6. 007 o 3:3
( p ( 7n+ p( n, ( 7n+ = 7k+ n= k (b Ak n je kladné celé číslo, potom n je nepárne vtedy a len vtedy, ak 5n+6 je nepárne. np n np 5n 6 n= k+ 5n+ 6 = 0k+ = 5k+ 5 +, ( ( ( +, ( ( np( 5n + 6 np( n, 5n+ 6= ( 5k+ 5 + n= k+. (c m = n platí vtedy a len vtedy, ak m = n, alebo m = -n. ( ( m= n ( m= n m = n, ( m n m n ( m n ( m n = = = =. (d Dokážte, že tieto tri výroky sú ekvivalentné: ( a< b, ( priemer a a b je väčší ako a, a+ b > a, (3 priemer a a b je menší ako b, ( a+ b < b. ( a< b a< b a+ b< b a+ b < b (a ( a< b a< b a a< b a< ( a+ b (b ( Cvičenie.. Pomocou matematickej indukcie dokážte: (a Suma prvých n prirodzených čísel je n( n+ + +... + n = n( n+ n( n+ n P( n = P( n+ = P( n + ( n+ = + ( n+ = ( n+ + ( n+ ( n+ = (b Dokážte formulu n n+ 3+ 3 5+ 3 5 +... + 3 5 = 3( 5 n n n n P( n = 35 ( + P( n+ = P( n + 35 + = 35 ( + + 35 + n+ 3 n+ 5 3 3 n+ = 35 + = 35 = ( 5 (c Dokážte formulu ( ( + + 3 +... + n = n n + n + 6 P n = n n+ n+ P n+ = P n + n+ = n n+ n+ + n+ 6 6 = ( n+ n( n+ + 6( n+ = n+ n+ n+ 3 6 6 (d Dokážte formulu 3 3 3 3 + + 3 +... + n = n ( n + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 z 5 (0. 6. 007 o 3:3
P n n n P n P n n n n n = ( n+ ( n + ( n+ = ( n+ ( n+ ( = ( + ( + = ( + ( + = ( + + ( + (e Dokážte formulu n!< n n, pre n >. P(n = ( n!< n n, P( =! < 3 3 n+ n ( + = ( +!<( n+ (!( + < ( n+ ( + = ( P n n n n n P n = n n (f Dokážte formulu pre prvú deriváciu funkcie f ( x = x, f ( x nx n n ( = ( =, P( ( x = =, ( ( ( ( P n x nx n n n n + = = + = +. P n x x nx x x n x (g Dokážte zovšeobecnené distributívne formuly z výrokovej logiky ( p p... pn q ( p q ( p q... ( pn q P ( n = ( p p... pn q ( p q ( p q... ( pn q P ( = ( p p q ( p q ( p q distribut. zákon ( (( (( ( ( n+ Pn ( ( P n + = p p... pn pn+ q p p... pn q pn+ q P n p q ( ( p p... p q ( p q ( p q... ( p q n Dôkaz sa vykoná analog. spôsobom. (h Dokáže zovšeobecnené De Morganove formuly ( ( p p... pn ( p p... pn ( ( p p... pn ( p p... pn Pôvodný tvar De Morganových formúl pre n = je ( p p ( p p a ( p p ( p p Pre jednoduchosť vykonáme dôkaz pre n = 3, pričom použijeme De Moganovu formulu pre n = ( p p p3 (( p p p3 ( p p p3 ( p p p3 p p p3 Tento dôkaz môžeme jednoducho zovšeobecniť pre každé prirodzené n, ak poznáme formulu pre n. Analogickým spôsobom sa dokáže aj ( De Morganova formula. Cvičenie.3. Pomocou rozkladu na parciálne zlomky nájdite formulu pre + + +... + 3 3 n n+ n ( z 5 (0. 6. 007 o 3:3
Použijeme algebraickú identitu (niekedy nazývaná rozklad na parciálne zlomky = i( i+ i i+ Potom študovaný rad môžeme prepísať takto n + + +... + = = 3 3 n n+ n+ n+ 5 z 5 (0. 6. 007 o 3:3