ZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED

Transcript

1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013

2 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec. 549 Autori: RNDr. Kitti Vidermanová, PhD. PaedDr. Júlia Záhorská, PhD. PaedDr. Eva Barcíková Mgr. Michaela Klepancová, PhD. Recenzenti: PaedDr. Janka Drábeková, PhD. PaedDr. Janka Melušová, PhD. prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre d a Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. UKF v Nitre 2013 ISBN

3 Predslov K hlbšiemu štúdiu matematiky potrebujeme nadobudnú dostato né vedomosti z jej základov, ktoré nám umož ujú pochopi zložitejšie vz ahy a pravidlá. Preto sme v dvoch astiach Základov matematiky spracovali preh ad u iva vyššieho sekundárneho vzdelávania, ktorý sme doplnili riešenými príkladmi a zadaniami úloh v cvi eniach s výsledkami. Obsah a rozsah sme však prispôsobili zameraniu publikácie. V Základoch matematiky 1 ponúkame spracovné nasledovné kapitoly: Výroková logika, Metódy dôkazov v matematike, Množiny, Teória ísel, Výrazy a ich úpravy, Reálna funkcia reálnej premennej a Rovnice a nerovnice. Pri zostavovaní obsahu tejto publikácie sme zoh ad ovali potreby študentov U ite stva akademických predmetov v kombinácii s matematikou, pre ktorých je predovšetkým ur ená. Je vhodná však aj pre u ite ov matematiky z praxe vo vyššom sekundárnom vzdelávaní alebo záujemcov o štúdium matematiky rôznych vysokých škôl na zopakovanie a preh benie matematických poznatkov poskytovaných strednou školou. V jednotlivých témach sme spracovali nevyhnutné množstvo teoretických poznatkov, rovnako aj riešených príkladov a doplnili sme dostato ným po tom cvi ení na overenie zvládnutia danej problematiky. Milí itatelia, veríme, že Vám táto publikácia umožní postupova v štúdiu jednotlivých kapitol a podkapitol s ahkos ou a nadh adom a doplni si tak chýbajúce matematické vedomosti. Autorky

4

5 Obsah 1 Výroková logika Základné pojmy Výroková formula Výroková forma a kvantifikované výroky Riešenie slovných úloh pomocou výrokovej logiky Cvi enia Metódy dôkazov v matematike Základné prvky matematickej teórie Priamy dôkaz Nepriamy dôkaz Dôkaz sporom Nepriamy dôkaz Cvi enia Dôkaz matematickou indukciou Cvi enia Dirichletov princíp Cvi enia Množiny íselné obory Vz ahy medzi množinami Operácie s množinami Princíp inklúzie a exklúzie Karteziánsky sú in množín Cvi enia Teória ísel íselné sústavy Zápis prirodzeného a racionálneho ísla v desiatkovej sústave Delite nos prirodzených ísel v desiatkovej sústave Kritériá delite nosti prirodzených ísel Najvä ší spolo ný delite dvoch prirodzených ísel Najmenší spolo ný násobok dvoch prirodzených ísel Cvi enia

6 5 Výrazy a ich úpravy Základné pojmy Operácie s výrazmi Mocniny a odmocniny Úpravy lomených výrazov Cvi enia Reálna funkcia reálnej premennej Operácie s funkciami Vlastnosti funkcií Prostá funkcia Monotónnos funkcie Parita funkcie Ohrani enos funkcie Extrémy funkcie Periodicita funkcie Inverzná funkcia Cvi enia Elementárne funkcie Lineárna funkcia Funkcia absolútna hodnota Kvadratická funkcia Mocninová funkcia Lineárna lomená funkcia Exponenciálna funkcia Logaritmická funkcia Goniometrické funkcie Cvi enia Rovnice a nerovnice Úvod, základné pojmy Lineárne rovnice a nerovnice Lineárne rovnice Cvi enia Lineárne nerovnice Cvi enia

7 7.3 Kvadratické rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice Cvi enia Kvadratické nerovnice Cvi enia Rovnice a nerovnice s parametrom Rovnice s parametrom Cvi enia Nerovnice s parametrom Cvi enia Rovnice a nerovnice s absolútnymi hodnotami Rovnice s absolútnymi hodnotami Cvi enia Nerovnice s absolútnymi hodnotami Cvi enia Iracionálne rovnice a nerovnice Iracionálne rovnice Cvi enia Iracionálne nerovnice Cvi enia Exponenciálne rovnice a nerovnice Exponenciálne rovnice Cvi enia Exponenciálne nerovnice Cvi enia Logaritmické rovnice a nerovnice Logaritmické rovnice Cvi enia Logaritmické nerovnice Cvi enia Goniometrické rovnice a nerovnice Goniometrické rovnice Cvi enia

8 7.9.3 Goniometrické nerovnice Cvi enia Sústavy rovníc a nerovníc Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi Cvi enia Sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi Cvi enia Sústavy dvoch lineárnych nerovníc s jednou neznámou Cvi enia alšie sústavy rovníc a nerovníc Cvi enia

9 1 Výroková logika 1.1 Základné pojmy Základným pojmom výrokovej logiky je pojem výrok. Výrokom je každá oznamovacia veta, o ktorej má zmysel hovori, i je pravdivá alebo nepravdivá. Jednoduché (elementárne) výroky sú výroky vyjadrené jednoduchými oznamovacími vetami. Výrok môže by zapísaný slovne alebo symbolicky. Napr.: íslo 12 je delite né íslom V matematike výroky naj astejšie obsahujú tvrdenie, že nejaký objekt (alebo množina objektov) má, resp. nemá, istú vlastnos alebo vlastnosti. Výroky, ktorých pravdivostnú hodnotu nevieme ur i, nazývame hypotézy. Výrok Na Marse existuje život. je hypotéza, pretože nevieme s istotou potvrdi ani vyvráti toto tvrdenie. Tvrdenie x < 3 nie je výrok, ale stane sa výrokom po dosadení nejakej íselnej hodnoty za x. Výrokom nie sú ani opytovacie a rozkazovacie vety ( Ko ko je hodín?, Posa te sa! a pod.). Jednoduché výroky budeme ozna ova pomocou výrokových premenných (malými písmenami abecedy), napr. pqr,,, p1, p2,. Výrokom možno priradi ich pravdivostnú hodnotu. Ak je výrok pravdivý, jeho pravdivostná hodnota je 1 (výrok platí), ak je nepravdivý, jeho pravdivostná hodnota je 0 (výrok neplatí). Poznámka V literatúre sa stretávame s ozna ením pravdivostnej hodnoty pravdivého výroku p a nepravdivého výroku n, prípadne aj s alšími ozna eniami. Príklad Ktoré z nasledujúcich viet možno považova za výroky? Výrokom prira te ich pravdivostnú hodnotu. a) Uhloprie ky kosoštvorca sú navzájom kolmé. b) Pytagorova veta. c) Narysuj ubovo ný štvoruholník! d) Potraviny. e) Prší? f) 9x + 3= 0. g) Sú et vnútorných uhlov každého trojuholníka je menší ako 180. h) Dobrý de! 9

10 Základy matematiky 1 Riešenie a) Áno; v tejto vete je konkrétne tvrdenie vyplývajúce z vlastností kosoštvorca, ktoré je pravdivé. b) Nie; pretože daná veta neobsahuje tvrdenie Pytagorovej vety, iba jej názov (nemá zmysel uvažova o pravdivosti). c) Nie; je to rozkazovacia veta. d) Nie; v tejto vete sa neoznamuje žiadne tvrdenie, o ktorom má zmysel uvažova, i je pravdivé alebo nie. e) Nie; opytovacia veta nie je výrokom. f) Nie; lineárna rovnica nie je výrok (nepoznáme hodnotu neznámej x). g) Áno, je to výrok, avšak tvrdenie v om je nepravdivé. h) Nie; v tejto vete sa neoznamuje žiadne tvrdenie, o ktorom má zmysel uvažova, i je pravdivé alebo nie. Definícia Negácia výroku je výrok opa nej pravdivostnej hodnoty ako pôvodný výrok. Negáciu výroku p ozna ujeme p. Výrok p popiera to, o tvrdí výrok p. Výroky p a p majú vždy opa nú pravdivostnú hodnotu. Príklad Vytvorte negáciu nasledujúcich výrokov. a) Spojnica dvoch rôznych bodov je priamka. b) Tri plus sedem sa nerovná deviatim. Riešenie a) Negujeme daný výrok: Nie je pravda, že spojnica dvoch rôznych bodov je priamka. Skrátene zapisujeme negáciu výroku negovaním slovesa: Spojnica dvoch rôznych bodov nie je priamka. b) Negujeme daný výrok: Nie je pravda, že tri plus sedem sa nerovná deviatim. Skrátene zapisujeme negáciu výroku negovaním slovesa: Tri plus sedem sa rovná deviatim. Tak ako v slovenskom jazyku spájame jednoduché vety pomocou spojok do súvetí, tak aj vo výrokovej logike môžeme spája jednoduché výroky do zložených. Používame na to logické spojky: konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia. Definícia Zložený výrok p a zárove q nazývame konjunkcia výrokov p a q. Zapisujeme ju formálne p q. Konjunkcia dvoch výrokov p, q je pravdivá, ak sú obidva výroky p, q sú asne pravdivé. 10

11 Výroková logika Definícia Zložený výrok p alebo q nazývame disjunkcia výrokov p a q. Zapisujeme ju formálne p q. Disjunkcia dvoch výrokov p, q je pravdivá, ak je pravdivý aspo jeden z výrokov p, q. Poznámka V niektorej literatúre možno nájs medzi logickými spojkami aj spojku bu -alebo (t.j. spojka alebo vo vylu ovacom význame). Zložený výrok p bu -alebo q nazývame ostrá disjunkcia výrokov p a q. Zapisujeme ju formálne p q. Ostrá disjunkcia výrokov p, q je pravdivá, ak je pravdivý práve jeden z výrokov p, q. Definícia Zložený výrok ak p, potom q (alebo p implikuje q ) nazývame implikácia výrokov p a q. Zapisujeme ju formálne p q. Výrok p nazývame predpokladom a výrok q záverom implikácie. Predpoklad p je posta ujúca podmienka pre záver q. Záver q je nutná podmienka pre predpoklad p. Implikácia dvoch výrokov p, q je pravdivá, ak majú obidva výroky p, q rovnakú pravdivostnú hodnotu alebo ak predpoklad p je nepravdivý a záver q je pravdivý. Implikáciu q p nazývame obmena implikácie p q. Implikácia a jej obmena majú rovnakú pravdivostnú hodnotu. Tento fakt sa využíva pri nepriamom dôkaze. Implikáciu q p nazývame obrátená implikácia k implikácii p q. Implikáciu p q vieme zapísa aj ako disjunkciu p q. Definícia Zložený výrok p vtedy a len vtedy, ke q, alebo p práve vtedy, ak q (alebo p je nutnou a dostato nou podmienkou q ) nazývame ekvivalencia výrokov p a q. Zapisujeme p q. Ekvivalenciu p q môžeme zapísa ako konjunkciu dvoch implikácií: ( p q) ( q p). Ekvivalencia dvoch výrokov p, q je pravdivá, ak majú obidva výroky p, q rovnakú pravdivostnú hodnotu. Pravdivostná hodnota zloženého výroku závisí od pravdivostných hodnôt jednoduchých výrokov, z ktorých je zložený a od použitej logickej spojky. 11

12 Základy matematiky 1 V tabu ke uvádzame pravdivostné hodnoty zložených výrokov, pri om vychádzame zo všetkých možných dvojíc pravdivostných hodnôt jednoduchých výrokov, ktoré obsahujú. p q p q p q p q p q Príklad Ur te pravdivostnú hodnotu zložených výrokov: a) íslo 2 je kladné íslo a íslo 3 je záporné íslo. b) íslo 7 je párne íslo a íslo 4 je kladné íslo. c) Nitra je hlavné mesto Slovenskej republiky alebo Bratislava je hlavné mesto Slovenskej republiky. d) íslo 5 je delite né íslom 3 alebo íslo 9 je párne íslo. e) Ak je íslo 6 delite né íslom 2, tak je íslo 6 párne íslo. f) Ak je íslo 6 delite né íslom 2, tak je íslo 6 prvo íslo. g) íslo 27 je delite né íslom 3 práve vtedy, ke je ciferný sú et ísla 27 delite ný íslom 3. Riešenie Pravdivostná hodnota zložených výrokov ur íme z predchádzajúcej tabu ky. a) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok: p : íslo 2 je kladné íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1. q : íslo 3 je záporné íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1. Pravdivostná hodnota konjunkcie dvoch pravdivých výrokov je 1 (5. riadok, 3. st pec). b) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok: p : íslo 7 je párne íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0. q : íslo 4 je kladné íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1. Pravdivostná hodnota konjunkcie pravdivého a nepravdivého výroku je 0 (3. riadok,3. st pec). c) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok: p : Nitra je hlavné mesto Slovenskej republiky. Pravdivostná hodnota je 0. q : Bratislava je hlavné mesto Slovenskej republiky. Pravdivostná hodnota je 1. Pravdivostná hodnota disjunkcie pravdivého a nepravdivého výroku je 1 (3. riadok, 4. st pec). d) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok: p : íslo 5 je delite né íslom 3. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0. 12

13 Výroková logika q : íslo 9 je párne íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0. Pravdivostná hodnota disjunkcie dvoch nepravdivých výrokov je 0 (2. riadok, 4. st pec). e) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok: p : íslo 6 je delite né íslom 2. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1. q : íslo 6 je párne íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1. Pravdivostná hodnota implikácie dvoch pravdivých výrokov je 1 (5. riadok, 5. st pec). f) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok: p : íslo 6 je delite né íslom 2. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1. q : íslo 6 je prvo íslo. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 0. Pravdivostná hodnota implikácie pravdivého a nepravdivého výroku je 0 (4. riadok, 5. st pec). g) Zapíšeme jednoduché výroky, z ktorých sa skladá daný zložený výrok: p : íslo 27 je delite né íslom 3. Pravdivostná hodnota tohto výroku je 1. q : Ciferný sú et ísla 27 je delite ný íslom 3. Pravdivostná hodnota výroku je 1. Pravdivostná hodnota ekvivalencie dvoch pravdivých výrokov je 1 (5. riadok, 6. st pec). Poznámka Zložené výroky formulujeme asto skrátene neopakujeme slová nachádzajúce sa v obidvoch spájaných výrokoch: Plné znenie: Skrátené znenie: Dušan ml í a Dušan študuje. Dušan ml í a študuje. Marek íta alebo Marek spí. Marek íta alebo spí. Ak je íslo 6 delite né dvoma, potom je Ak je íslo 6 delite né dvoma, potom je íslo 6 párne íslo. párne. Príklad Daná je implikácia Ak íslo 3 delí íslo 9, potom íslo 5 delí íslo 25. Vytvorte obmenu a obrátenú implikáciu k danej implikácii. Ur te pravdivostnú hodnotu všetkých troch zložených výrokov. Riešenie Daná implikácia sa skladá z výrokov p : íslo 3 delí íslo 9. a q : íslo 5 delí íslo 25. Oba výroky sú pravdivé, teda aj ich implikácia je pravdivá. Obmenou implikácie je implikácia q p. Negáciou výroku p je výrok p : íslo 3 nedelí íslo 9. Negáciou výroku q je výrok q : íslo 5 nedelí íslo 25. Obmenou danej implikácie je výrok Ak íslo 5 nedelí íslo 25, potom íslo 3 nedelí íslo 9. Obe negácie sú nepravdivé, implikácia dvoch nepravdivých výrokov je výrok pravdivý. Obmena implikácie je pravdivý výrok. 13

14 Základy matematiky 1 Obrátená implikácia je q p: Ak íslo 5 delí íslo 25, potom íslo 3 delí íslo 9. Oba výroky sú pravdivé, aj ich implikácia je pravdivá. Obrátená implikácia je pravdivá. Negácia zložených výrokov Pre negáciu konjunkcie a disjunkcie platia De Morganove 1 zákony: 1. Negácia konjunkcie: ( ) 2. Negácia disjunkcie: ( ) p q p q p q p q 3. Negácia implikácie: ( p q) ( p q) ( p q ). 4. Negáciu ekvivalencie vytvoríme postupne tak, že negujeme konjunkciu dvoch implikácií: ( p q) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q ) ( q p ) ( p q ) ( p q) Príklad Vytvorte negáciu daných zložených výrokov: a) Príde Peter a Ivana. c) Ak je íslo delite né íslom 2, tak je to párne íslo. b) Príde Peter alebo Pavol. d) Karol príde práve vtedy, ke príde Jozef. Riešenie a) Jednoduché výroky sú: p : Príde Peter. a q: Príde Ivana. Negácie týchto výrokov sú p : Nepríde Peter. a q : Nepríde Ivana. Negácia zloženého výroku je disjunkcia negácií: Nepríde Peter alebo nepríde Ivana. b) Jednoduché výroky sú: p : Príde Peter. a q: Príde Pavol. Negácie týchto výrokov sú p : Nepríde Peter. a q : Nepríde Pavol. Negácia zloženého výroku je konjunkcia negácií: Nepríde Peter a nepríde Pavol. c) Jednoduché výroky sú: p : íslo je delite né íslom 2. a q: íslo je párne. Negácia implikácie je konjunkcia prvého výroku a negácie druhého výroku. Negácia druhého výroku je q : íslo nie je párne. Negácia zloženého výroku: íslo je delite né íslom 2 a nie je to párne íslo. d) Jednoduché výroky sú: p : Karol príde. a q: Jozef príde. Negácie výrokov: p : Karol nepríde. a q : Jozef nepríde. Negácia ekvivalencie je disjunkcia dvoch konjunkcií: Karol príde a Jozef nepríde alebo Karol nepríde a Jozef príde. 1 August De Morgan ( ) bol škótsky matematik, ktorý sa zaoberal algebrickým vyjadrením problémov formálnej logiky. 14

15 Výroková logika 1.2 Výroková formula Definícia Výrokovou formulou nazývame výraz, ktorý obsahuje výrokové premenné, logické spojky a zátvorky tak, že po dosadení ubovo ných výrokov za výrokové premenné dostaneme výrok. Výroková formula, ktorá po dosadení ubovo ných výrokov za výrokové premenné je vždy pravdivý výrok (nadobúda vždy pravdivostnú hodnotu 1) sa nazýva tautológia. Výroková formula, ktorá po dosadení ubovo ných výrokov za výrokové premenné je vždy nepravdivý výrok (nadobúda vždy pravdivostnú hodnotu 0) sa nazýva kontradikcia. Výroková formula, ktorá nie je tautológiou ani kontradikciou je splnite ná výroková formula. Poznámka Nezamie ajte pojmy výrok a výroková formula! Výrok môže nadobúda len jednu pravdivostnú hodnotu, výroková formula môže nadobúda rôzne pravdivostné hodnoty. Zátvorky používame okrúhle: ( ), hranaté: [ ], lomené:, zložené (množinové): { }. Princíp priority logických spojok: Ak základné logické spojky usporiadame do postupnosti (),,,,, tak každá logická spojka stojaca v avo od uvažovanej viaže silnejšie. Príklad. Na základe princípu priority logických spojok vhodne dopl te zátvorky do daných výrokových formúl, pri om pqr,, sú výrokové premenné. a) p q r b) p q r p c) p r p q r Riešenie a) Vo výroku p q r najprv tvoríme negáciu výroku r, potom má prednos logická spojka konjunkcia, to znamená, že danú výrokovú formulu zapíšeme ( p q) r. b) Vo výroku p q r p má prednos spojka disjunkcia, potom implikácia a nakoniec ekvivalencia, to znamená, že danú výrokovú formulu zapíšeme p ( q r) p. c) Vo výroku p r p q r má prednos spojka konjunkcia, potom doplníme zátvorky okolo oboch disjunkcií a nakoniec po ítame ekvivalenciu, to znamená, že danú výrokovú formulu zapíšeme ( ) ( ) p r p q r. Príklad Zistite, i je daná výroková formula tautológia, kontradikcia alebo splnite ná výroková formula. a) ( p q) ( p q) p q q p p q p q b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 15

16 Základy matematiky 1 Riešenie Overíme to pomocou tabu ky pravdivostných hodnôt, pri om pre dva výroky máme 2 2 = 4 rôznych dvojíc pravdivostných hodnôt výrokových premenných. a) p q ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) V poslednom st pci vidíme, že výroková formula ( p q) ( p q) nadobúda pravdivostnú hodnotu 1 aj 0, daná výroková formula je splnite ná výroková formula. b) p q q p q q p p q q p p ( ) ( ) ( ) ( ) V poslednom st pci vidíme, že výroková formula ( p q) ( q p ) nadobúda pre všetky dvojice pravdivostných hodnôt výrokových premenných pravdivostnú hodnotu 1, daná výroková formula je tautológia. c) p q p q p q p q p q q ( ) ( ) ( ) ( ) V poslednom st pci vidíme, že výroková formula ( p q) ( p q ) nadobúda pre všetky dvojice pravdivostných hodnôt výrokových premenných pravdivostnú hodnotu 0, daná výroková formula je kontradikcia. Dôležité tautológie 1. Zákon dvojitej negácie 2. Identita ( p T) p ( ) 3. Inverzia p p T ( ) ( ) p K p T tautológia, K - kontradikcia p p K T tautológia, K - kontradikcia 16

17 Výroková logika 4. Dominácia ( p K) K ( ) 5. Komutatívny zákon p T T T tautológia, K - kontradikcia ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) 6. Asociatívny zákon ( p q) r p ( q r) ( p q) r p ( q r) 7. Distributívny zákon p ( q r) ( p q) ( p r) p ( q r) ( p q) ( p r) 8. Idempotentnos ( p p) p ( ) 9. Zákon pohltenia p p p ( p ( p q) ) p ( ( )) p p q p 10. Vyjadrenie implikácie a ekvivalencie pomocou negácie, konjunkcie a disjunkcie ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q ) ( p q) ( p q) ( p q ) Poznámka Odporú ame itate ovi overi dané tautológie pomocou tabuliek pravdivostných hodnôt. 1.3 Výroková forma a kvantifikované výroky Definícia Výrokovou formou rozumieme oznamovaciu vetu, ktorá sama nie je výrokom, obsahuje premenné a po dosadení vhodných konštánt z vopred danej množiny za premenné dostaneme výrok. Výrokové formy s jednou premennou x ozna íme A( x ), B ( x ),... 2 (Napr.: výroková forma x 1 2 sa po dosadení ísla 1 za x stane pravdivým výrokom, po dosadení ísla 2 sa stane nepravdivým výrokom.) Obor premennej výrokovej formy A( x ) je množina všetkých objektov, ktoré chceme dosadi za premennú x do výrokovej formy A( x ). Defini ný obor výrokovej formy D( A ) je množina všetkých prvkov z jej oboru premennej, ktoré po dosadení za x vytvoria z výrokovej formy A( x ) výrok. 17

18 Základy matematiky 1 Obor pravdivosti výrokovej formy P( A ) je množina všetkých prvkov z D( A ), ktoré po dosadení za x vytvoria z výrokovej formy A( x ) pravdivý výrok.. Poznámka Matematické vzorce vyzerajú ako výrokové formy, ale považujeme ich za pravdivé výroky: ( ) 2 2 x : x+ 1 = x + 2x+ 1. Príklad Je daná výroková forma. Ur te jej defini ný obor a obor pravdivosti. Riešenie Menovate zlomku nesmie by rovný nule, preto íslo 0 musíme z defini ného oboru vyradi. Riešením nerovnice zistíme obor pravdivosti. Teda D ( A ) = { 0 } a ( ) (0, 2 P A =. Definícia Výroky, v ktorých tvrdíme, že existuje objekt istých vlastností alebo že všetky objekty istej množiny majú istú vlastnos, nazývame kvantifikovanými výrokmi. Pri zápise takýchto výrokov používame kvantifikátory. Nech je výroková forma jednej premennej x, ktorá je definovaná na množine. Ak sa z nej stane pravdivý výrok po dosadení ktoréhoko vek prvku z, t.j., hovoríme, že Pre každý prvok x z defini ného oboru platí výroková forma. Túto skuto nos zapisujeme pomocou matematických symbolov. Symbol nazývame všeobecný kvantifikátor ítame pre všetky, pre ubovo né, pre každé. Zápis x : alebo x ; ítame pre všetky x z množiny reálnych ísel platí. Napr.: je výroková forma, jej defini ný obor a aj. Potom 2 platí: x : x 0. Nech je výroková forma jednej premennej x, ktorá je definovaná na množine. Ak existuje aspo jeden prvok x z, po dosadení ktorého sa z stane pravdivý výrok, t.j., hovoríme, že: Existuje prvok x z defini ného oboru, pre ktorý platí výroková forma. Túto skuto nos zapisujeme pomocou matematických symbolov. Symbol sa nazýva existen ný kvantifikátor vyjadruje skuto nos, že existuje objekt s ur itou vlastnos ou. ítame existuje. Špeciálne, symbol! znamená existuje práve jeden objekt. Zápis alebo ítame existuje x z množiny reálnych ísel, pre ktoré platí. 18

19 Výroková logika Napr.: je výroková forma. Jej defini ný obor a obor pravdivosti (riešenie nerovnice v ). Potom platí. Výroky, ktoré obsahujú len jeden kvantifikátor, nazývame jednoduché kvantifikované výroky a negujeme ich pod a nasledujúcich pravidiel ( je výroková forma): Výrok Negácia výroku Slovný popis Symbolický zápis Slovný popis Symbolický zápis existuje prvok..., ktorý je... x : V( x) pre všetky prvky... platí, že... x : V( x) pre všetky prvky... platí, že nie sú alebo žiadny prvok nie je... x : V ( x) existuje prvok..., že nie je... x : V ( x) Príklad Vytvorte negáciu daných výrokov: a) Existuje trojuholník, ktorý je pravouhlý. b) Každé die a chodí do školy. Riešenie a) Výroková forma Trojuholník je pravouhlý. sa negáciou zmení na Trojuholník nie je pravouhlý. Existen ný kvantifikátor sa v negácii zmení na všeobecný. Negáciou daného výroku potom je: Každý trojuholník nie je pravouhlý. Alebo (ke že slovenský jazyk pripúš a dva zápory) Žiadny trojuholník nie je pravouhlý. b) Výroková forma Die a chodí do školy. Jej negácia je: Die a nechodí do školy. Všeobecný kvantifikátor sa negáciou zmení na existen ný. Negáciou daného výroku potom je: Existuje die a, ktoré nechodí do školy. Navyše na vyjadrenie vlastností viacerých objektov používame aj slová: aspo, práve, najviac, žiadny. (žiadny znamená 0 a nie viac; aspo dva znamená 2 a viac; najviac tri znamená 0, 1, 2, 3 a nie viac, práve 2 znamená nie menej ako 2 a nie viac ako 2.) Výroky s údajom o po te negujeme nasledovne: Výrok Negácia výroku Každý... je... Aspo jeden... nie je... Aspo jeden... je... Každý... nie je... Aspo n... je... ( n > 1) Najviac ( n 1)... je... Najviac n... je... ( n 1) Aspo ( n + 1)... je... Práve n.. je.. Najviac ( n 1) alebo aspo ( n + 1)... je... 19

20 Základy matematiky 1 Príklad Vytvorte negácie daných výrokov: a) Bude nás najviac 5. b) Prídu aspo 3 hostia. c) Prišli práve 4 študenti. d) Neposlal žiadny list. Riešeniee a) Bude nás najviac 5 znamená, že nás bude 0, 1, 2, 3, 4, 5. Negáciou N je: bude nás 6 a viac, o slovne zapíšeme: Bude nás aspo 6. b) Prídu aspo traja hostia znamená, že príde 3, 4, 5 a viac hostí. Negáciouu bude, že prídu 2, 1 alebo žiadny, oo slovne zapíšeme Prídu najviac 2 hostia. c) Prišlii práve 4 študenti, znamená že ichh neprišlo ani menej ani viac. Negáciou bude, že ich prišlo menej ako 4 alebo viac ako 4, o slovne zapíšeme Prišli najviac 3 študenti alebo aspo 5 študenti. d) Neposlal žiadny list znamená, že ich poslal 0. Negáciou bude, že poslal 1 a viac listov, o slovne zapíšemee Poslal aspo jeden list. 1.4 Riešenie slovných úloh pomocou výrokovej logiky Riešenie slovných úloh pomocou výrokovej logiky má tri základné fázy: 1. Prechod od slovnej úlohy k úlohe o výrokoch, ktorú získame pomocou výrokovej analýzy textu. Výroková analýza textu slovnej úlohy spo íva v týchto krokoch: a) Vyzna enie všetkých jednoduchých výrokov vyskytujúcich sa v texte slovnej úlohy. b) Vyjadrenie skuto ného významu viet pomocouu zložených výrokov, ktoré vytvoríme z vyzna ených jednoduchých výrokov pomocou logických spojok. 2. Vyriešenie úlohy o výrokoch a formulácia výsledku. 3. Vyjadrenie výsledku v termínoch t slovnej úlohy. Jednotlivé fázy riešenia slovnej úlohy ukážeme na nasledujúcej úlohe: Príklad Z výstavnej siene boll ukradnutýý vzácny obraz. Vyšetrovaním sa okruh podozrivých zúžil na tri osoby: Andrej, Blažej a Cyril. Z výsluchov podozrivých a svedkov sa dajú fakty o prítomnosti podozrivých vo výstavnej sieni v kritickej dobe zhrnú do troch záverov: 1. Vo výstavnej sieni v tejj dobe nebol Blažej ale bol tam aspo jeden z dvojice Andrej, Cyril. 2. Ak nie je pravda,, že tam bol Andrej sú asne s Blažejom,, potom tamm nebol ani Cyril. 3. Podozrivý Cyril tam bol práve vtedy, ke tam nebol žiadny z dvojice Andrej, Blažej. Dá sa na základe týchto údajov jednozna ne ur i páchate? 20