MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
|
|
- Ἐλισάβετ Παχής
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n je deliteľom čísla a i (a i+ ) pre i =,..., k. Dokážte, že n nie je deliteľom čísla a k (a ). (Austrália) Riešenie. (Podľa Michala Hagaru.) Podmienku n a i (a i+ ) prepíšeme v tvare kongruencie a upravíme: a i (a i+ ) 0 (mod n), a i a i+ a i 0 (mod n), a i a i+ a i (mod n), i =, 2,..., k. () Využitím () postupne pre i =, 2,..., k dostávame a a a 2 a a 2 a 3 a a 2 a 3 a 4 a a 2... a k (mod n). (2) Predpokladajme sporom, že n a k (a ), teda že a k a a k (mod n). Potom a a 2... a k = a 2... a k a a 2... a k (mod n), čo v spojení s (2) dáva a a 2... a k (mod n). (3) Rovnako ako pri (2), využitím () postupne pre i = 2,..., k máme a 2 a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 a 2... a k (mod n). Spolu s (3) odtiaľ a a 2... a k a 2 (mod n), teda a a a 2 dávajú rovnaký zvyšok po delení n, čo je v spore s predpokladom, že sú to navzájom rôzne čísla z množiny {,..., n}. 2. Daný je trojuholník AC so stredom opísanej kružnice O. Nech P resp. Q je vnútorný bod strany CA resp. A. Označme postupne, L, M stredy úsečiek P, CQ, P Q a Γ kružnicu prechádzajúcu bodmi, L, M. Predpokladajme, že priamka P Q sa dotýka kružnice Γ. Dokážte, že OP = OQ. (Rusko) Riešenie. (Podľa Michala Hagaru.) Úsečka M je strednou priečkou trojuholníka QP, preto M = Q a A M. 2 Zo striedavých uhlov potom AQP = MQ. eďže P Q je dotyčnicou kružnice Γ, z rovnosti úsekového a obvodového uhla prislúchajúceho tetive M máme M Q = = LM. Spolu teda AQP = LM. Analogicky dostaneme (obr. ) LM = P C a AP Q = LMP = LM. 2
2 C P M L O Γ A Q Obr. Z uvedených rovností uhlov vyplýva podobnosť trojuholníkov QAP a LM (majú rovnaké veľkosti prislúchajúcich vnútorných uhlov). Z pomerov strán postupne (po dosadení vyjadrených dĺžok M a LM ) dostávame QA LM QA = P A M, P A = 2 P C 2 Q, QA Q = P A P C. Posledná rovnosť znamená, že body Q a P majú rovnakú mocnosť ku kružnici opísanej trojuholníku AC (zrejme oba body ležia vnútri tejto kružnice). Ak označíme r jej polomer, zhodnú mocnosť možno zapísať v tvare odkiaľ už triviálne OP = OQ. OQ 2 r 2 = OP 2 r 2, 3. Predpokladajme, že s, s 2, s 3,... je rastúca postupnosť kladných celých čísel taká, že obe jej podpostupnosti s s, s s2, s s3,... a s s +, s s2 +, s s3 +,... sú aritmetické. Dokážte, že potom aj postupnosť s, s 2, s 3,... je aritmetická. (USA) Riešenie. Označme D diferenciu aritmetickej postupnosti s s, s s2, s s3,... a pre každé n =, 2,... označme d n = s n+ s n. Naším cieľom je dokázať, že hodnota d n je pre všetky n rovnaká. Najskôr ukážeme, že množina hodnôt d n je ohraničená. eďže zadaná postupnosť je rastúca, pre každé n je d n. Preto d n = s n+ s n = d }{{} sn + d sn d sn+ = D. (s n+ s n )-krát Ohraničenosť hodnôt d n sa dá zdôvodniť aj menej formálne: aždé dva po sebe idúce členy postupnosti (s n ) n N možno zrejme vložiť medzi niektoré dva členy postupnosti, s s, s s2, s s3,..., ktorá je od druhého člena aritmetická. Preto triviálne s n+ s n max{d, s s }. 2
3 Označme m najmenšiu a M najväčšiu z hodnôt d n (z ohraničenosti vyplýva existencia minima aj maxima). Stačí dokázať, že m = M. Predpokladajme sporom, že m < M. Nech k je ľubovoľný taký index, že d k = m. Teda s k+ s k = m, odkiaľ D = s sk+ s sk = s sk +m s sk = = d sk + d sk d sk +m M + M + + M = mm. () }{{} m-krát Podobne ak je ľubovoľný taký index, že d = M, tak s + s = M, teda D = s s+ s s = s s +M s s = = d s + d s d s +M m + m + + m = Mm. (2) }{{} M-krát Z () a (2) vyplýva, že D = Mm, a aby platila rovnosť, nutne d sk = d sk + =... = = d sk +m = M a d s = d s + =... = d s +M = m. Špeciálne máme d sk = M a d s = m. (3) Z rastúcosti postupnosti (s n ) n N vyplýva s k k. Navyše dokonca s k > k, lebo ak by sme mali s k = k, tak podľa (3) by bolo m = d k = d sk = M, čo je v spore s m < M. Rovnako možno ukázať, že s >. Položme n = k. Teda d n = m a podľa (3) platí d sn = M. Ďalej zvoľme n 2 = = s n > n. eďže d n2 = M, môže n 2 vystupovať v pozícii a teda podľa (3) máme d sn2 = m a taktiež s n2 > n 2. Následne preto môžeme zvoliť n 3 = s n2 a z (3) (keďže n 3 môže vystupovať v pozícii k) opäť d sn3 = M, atď. Predpisom n i+ = s ni takto skonštruujeme rastúcu postupnosť n, n 2, n 3,... takú, že d sn = M, d sn2 = m, d sn3 = M, d sn4 = m,... (4) Pritom postupnosť d sn, d sn2,... je podpostupnosťou postupnosti d s, d s2,... Tá má členy, ktoré sú rozdielmi členov aritmetických postupností s s +, s s2 +,... a s s, s s2,..., teda aj sama je aritmetickou postupnosťou. eďže podľa (4) sa v nej nekonečne veľakrát opakuje hodnota m (aj M), nutne to musí byť konštantná aritmetická postupnosť a m = M. 4. Daný je trojuholník AC, pričom A = AC. Osi uhlov CA a AC pretínajú strany C a CA postupne v bodoch D a E. Nech je stred kružnice vpísanej do trojuholníka ADC. Predpokladajme, že E =. Nájdite všetky možné veľkosti uhla CA. (elgicko) Riešenie. (Podľa Martina achratého.) Označme I stred kružnice vpísanej do trojuholníka AC (je to priesečník priamok AD, E, C). Uvažujme kružnice k, k 2 opísané trojuholníkom IE, ID (obr. 2). Obe majú nad spoločnou tetivou I obvodový uhol veľkosti, lebo leží na osi pravého uhla ADC. Preto sú obe kružnice zhodné a teda osovo súmerné podľa priamky CI. Podľa tejto priamky sú však osovo súmerné 3
4 aj priamky AC, C. Takže v osovej súmernosti podľa priamky CI sa priesečníky kružnice k so stranou AC zobrazia na priesečníky kružnice k 2 so stranou C. A k E I k 2 D Obr. 2 C eďže jeden zo spoločných bodov kružnice k a priamky AC je bod E a jeden zo spoločných bodov kružnice k 2 a priamky C je bod D, môžu nastať dva prípady. Prípad. od D je obrazom bodu E v osovej súmernosti podľa CI (Tento prípad zahŕňa aj možnosť, že kružnice k, k 2 sa dotýkajú priamok AC, C vtedy sú E a D jediné priesečníky kružníc s priamkami a nutne musia byť navzájom súmerné). Potom sú osovo súmerné podľa CI celé trojuholníky CID a CIE, z ktorých prvý je pravouhlý. Nutne teda aj uhol CEI je pravý, čo znamená, že v trojuholníku AC je os uhla pri vrchole totožná s výškou na stranu AC. To je zrejme možné jedine v prípade, že trojuholník AC je rovnoramenný so základňou AC. Avšak podľa zadania je rovnoramenným so základňou A. Takže musí byť rovnostranný, z čoho CA = = 60. Prípad 2. ružnica k 2 pretína priamku C v dvoch rôznych bodoch D a E, pričom E a E sú súmerné podľa priamky CI. eďže E leží na C, uhol IDE je pravý a teda IE je priemerom Tálesovej kružnice prechádzajúcej bodom D. Táto kružnica je evidentne totožná s k 2, preto aj uhol IE je pravý (obr. 3). Vzhľadom na spomenutú E I k 2 2 β 2 β D Obr. 3 E C súmernosť je potom pravý aj uhol IE a tretí uhol v trojuholníku IE musí mať veľkosť EI = 80 IE IE = =. 4
5 Ak označíme β veľkosť vnútorného uhla v rovnoramennom trojuholníku AC pri vrcholoch a C, tak rovnoramenný trojuholník CI má pri základni C vnútorné uhly veľkosti 2 β a oproti základni uhol veľkosti 80 EI = 80 = 35. Z rovnosti 2 β + 2 β + 35 = 80 už triviálne dopočítame β =, čiže CA = 80 2β = 90. Teda jediné prípustné hodnoty pre veľkosť uhla CA sú 60 a 90. Pre dokončenie úlohy ešte musíme dokázať, že pre rovnoramenný trojuholník so základňou C a uhlom CA veľkosti 60 resp. 90 je veľkosť uhla E skutočne. (Zatiaľ sme dokázali len jeden smer implikácie: ak E =, tak CA {60, 90 }. Potrebujeme dokázať aj opačný smer, t. j. že hodnoty 60 a 90 sú v zadanej situácii naozaj možné veľkosti uhla CA.) aždý z oboch prípadov preveríme osobitne. Možných postupov je viacero, v daných konfiguráciách je trojuholník AC (až na veľkosť strany C) jednoznačne daný, takže sa jedná o štandardnú úlohu. Uvedieme postup bez použitia goniometrických funkcií alebo analytickej geometrie. Ak CA = 60, tak AC je rovnostranný trojuholník (obr. 4a). Zo symetrie potom E = AD = (keďže leží na osi pravého uhla ADC). A A I D Obr. 4a E C I D E 2 β 2 β 2 β Obr. 4b C Ak CA = 90 = α, tak β = a ľahko vypočítame veľkosti EI = CI + CI = 2 β + 2 β = β = 45, AEI = 80 α 2 β = ,5 = 67,5, AIE = ID = β = 90 22,5 = 67,5. Teda AIE je rovnoramenný trojuholník so základňou IE a body I, E sú súmerne združené podľa priamky A, ktorá je osou uhla CAD (obr. 4b). Odtiaľ I = E, čiže IE je rovnoramenný trojuholník a E = EI =. Iné riešenie. Označme AC = α a AC = CA = β = 90 2α. od I nech je rovnako ako v predošlom riešení stred kružnice vpísanej do trojuholníka AC. od leží na priesečníkoch osí uhlov trojuholníka ADC, preto EC = CD = 2 β = 45 4 α a CD = DA = 45. 5
6 Z trojuholníka DCI potom DIC = + 4α. Pomocou zadaného predpokladu E = následne z trojuholníkov CE a CE odvodíme EC = 80 2 β β 45 = β = (90 2 α) = 3 4 α, IE = 3 4 α α = α. A 2 α I + 2 α E 3 4 α 2 β + 4 α D 4 α C Obr. 5 Zo sínusových viet v trojuholníkoch ICE, IE, ID, IDC teda máme (obr. 5) IC IE = sin( α) sin( 4 α), I ID = sin sin(90 4 α), Vynásobením uvedených štyroch rovností dostaneme Použitím známych goniometrických identít IE I = sin( α) sin, ID IC = sin(45 4 α) sin 90. = sin( α) sin( α) sin(90 4 α). sin(90 x) = cos x a sin x sin y = (cos(x y) cos(x + y)) 2 rovnicu upravíme na 2 (cos( α) + cos 4α) = 0. cos 4 α = 2 (cos 4 α cos( α)), Použitím ďalšej identity cos x + cos y = 2 cos 2 (x + y) cos 2 (x y) napokon získame cos( α) cos(45 + 2α) = 0. To znamená (keďže 0 < α < 80 ), že buď α = 90, t. j. α = 60, alebo α = 90, t. j. α = 90. Takže jediné prípustné hodnoty pre veľkosť uhla CA sú 60 a 90. Na druhej strane, pri oboch týchto hodnotách platí E =, čo možno ukázať rovnako ako v prvom riešení. 6
7 5. Určte všetky také funkcie f z množiny kladných celých čísel do množiny kladných celých čísel, že pre všetky kladné celé čísla a, b existuje nedegenerovaný trojuholník so stranami dĺžok a, f(b), f(b + f(a) ). (Trojuholník je nedegenerovaný, ak jeho vrcholy neležia na jednej priamke.) (Francúzsko) Riešenie. Trojuholníkovú nerovnosť pre trojicu čísel x, y, z budeme používať aj v tvare x y < z (táto nerovnosť zahŕňa x < y + z a zároveň y < x + z). Označme f() = m. Po dosadení a = dostávame, že čísla, f(b), f(b + m ) sú pre každé prirodzené b stranami trojuholníka, spĺňajú teda nerovnosť f(b) f(b + m ) <, čo je vzhľadom na celočíselnosť hodnôt f(b), f(b + m ) možné jedine v prípade, že f(b) = f(b + m ). Ak by bolo m >, tak f by bola periodická s periódou m. V takom prípade by (periodicky) nadobúdala iba hodnoty f(), f(2),..., f(m ). Ak označíme H najväčšiu z týchto hodnôt, po dosadení a = 2H dostávame, že čísla 2H, f(b), f(b + f(2h) ) spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť 2H < f(b) + f(b + f(2h) ) H + H = 2H, čo je očividne spor. Nutne teda m =, t. j. f() =. Dosadením b = z toho dostávame, že čísla a,, f(f(a)) sú pre ľubovoľné prirodzené číslo a stranami trojuholníka, takže a f(f(a)) < <, čo opäť vzhľadom na celočíselnosť a a f(f(a)) znamená f(f(a)) = a pre všetky prirodzené čísla a. () Označme f(2) = k. Zrejme k, lebo podľa () máme f(k) = f(f(2)) = 2, zatiaľ čo f() =. Z () dokonca vyplýva, že funkcia f je prostá, t. j. žiadnu hodnotu nenadobúda viac než raz. Ak totiž f(x) = f(y), tak nutne x = f(f(x)) = f(f(y)) = y. Tento známy fakt (že z () vyplýva prostosť f) budeme v riešení využívať. Položme a = 2, b = k. Potom 2, 2 a f(k + k ) = f(2k ) sú stranami trojuholníka, čiže f(2k ) 2 < 2, a odtiaľ f(2k ) {, 2, 3}. Avšak f už nadobúda hodnotu v bode a hodnotu 2 v bode k a zároveň 2k a 2k k. Z prostosti f teda nutne vyplýva f(2k ) = 3. Položme ďalej a = 2, b = 2k. Z toho 2, 3 a f(2k + k ) = f(3k 2) sú stranami trojuholníka a analogicky dostávame f(3k 2) 3 < 2, čiže f(3k 2) {2, 3, 4}. 7
8 eďže hodnoty 2, 3 už f nadobúda v bodoch k, 2k a zároveň 3k 2 k a 3k 2 2k, nutne f(3k 2) = 4. Matematickou indukciou (ktorej prvý krok sme pre hodnoty n =, 2, 3 práve urobili) ľahko dokážeme, že f(nk (n )) = n + pre všetky prirodzené čísla n. Ak totiž toto tvrdenie platí pre n aj pre n, po dosadení a = 2, b = nk (n ) dostávame trojicu strán 2, n + a f(nk (n ) + k ) = f((n + )k n), teda f((n + )k n) (n + ) < 2, odkiaľ f((n + )k n) {n, n +, n + 2}. Hodnoty n a n + sú však podľa indukčného predpokladu už obsadené bodmi (n )k (n 2) a nk (n ) (ktoré sú oba rôzne od (n + )k n), takže jedinou možnosťou je f((n + )k n) = n + 2 a tvrdenie platí aj pre n +. Tým je dôkaz indukciou ukončený. Špeciálne potom tvrdenie platí aj pre n = k, teda f((k )k (k 2)) = k. eďže sme už skôr ukázali, že f(2) = k, z prostosti f máme (k )k (k 2) = 2, z čoho po triviálnej úprave k(k 2) = 0. Samozrejme k 0, dostávame tak k = 2 a indukciou dokázané tvrdenie prechádza na tvar f(n + ) = n + pre všetky prirodzené čísla n. Spolu s tvrdením f() =, ktoré sme dokázali na začiatku, dostávame, že jedinou vyhovujúcou funkciou môže byť identita f(x) = x. Ľahko overíme, že táto funkcia vyhovuje, lebo trojica čísel a, b, a + b spĺňa všetky tri trojuholníkové nerovnosti triviálne (pre ľubovoľné a, b N). 6. Nech a, a 2,..., a n sú navzájom rôzne kladné celé čísla a M je množina n kladných celých čísel neobsahujúca číslo s = a + a a n. Lúčny koník skáče pozdĺž číselnej osi, pričom začína v bode 0 a urobí smerom doprava n skokov s dĺžkami a, a 2,..., a n v nejakom poradí. Dokážte, že poradie skokov sa dá zvoliť tak, aby lúčny koník nepristál na žiadnom čísle z množiny M. (Rusko) Riešenie. Na začiatku si všimnime, že zo zadaného tvrdenia vyplýva jeho zovšeobecnenie: Predpoklad, že množina M obsahuje práve n kladných celých čísel možno nahradiť podmienkou M (0, s a min n, pričom a min je najmenšie spomedzi a, a 2,..., a n. Tento fakt v dôkaze použijeme. Postupovať budeme matematickou indukciou vzhľadom na n. Prípad n = je triviálny. V druhom kroku indukcie predpokladajme, že n > a že tvrdenie je pravdivé pre všetky prirodzené čísla menšie ako n. Ďalej nech a, a 2,..., a n, s, M sú dané a spĺňajú predpoklady dokazovaného tvrdenia. ez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že a n < a n < < a 2 < a. Označme T k = k a i pre k = 0,,..., n. i= 8
9 Zrejme 0 = T 0 < T < < T n = s. Najskôr dokážeme pomocné tvrdenie. Tvrdenie. Stačí ukázať, že pre nejaké m {, 2,..., n} dokáže urobiť koník m skokov, pričom nikdy nepristane na čísle z M a navyše počas týchto m skokov preskočí spolu aspoň ponad m bodov z M. Dôkaz. eďže M = n, evidentne m n. Položme n = n m. Potom n < n. Zvyšných n skokov bez pristátia na ktoromkoľvek zo zvyšných zakázaných nanajvýš n čísel z M dokáže koník urobiť vďaka indukčnému predpokladu (stačí posunúť začiatok z čísla 0 do čísla, kde sa koník nachádza po m skokoch). Číslo k {, 2,..., n} budeme nazývať slušné, ak koník dokáže urobiť k skokov s dĺžkami a, a 2,..., a k (v nejakom poradí) tak, že s výnimkou posledného skoku nikdy nepristane na čísle z M (po k-tom skoku môže a nemusí skončiť na čísle z M). Číslo je očividne slušné. Preto existuje najväčšie číslo k také, že všetky čísla, 2,..., k sú slušné. Ak k = n, niet čo dokazovať. Zaoberajme sa ďalej len prípadom k n (teda k + nie je slušné). Dokážeme ďalšie pomocné tvrdenie. Tvrdenie 2. Platí T k M a M (0, T k ) k. Dôkaz. Ak T k / M, postupnosť skokov, vďaka ktorej je číslo k slušné, možno predĺžiť pridaním skoku dĺžky a k +, čo je v spore s tým, že k + nie je slušné. Takže nutne T k M. Ak M (0, T k ) < k, tak existuje l {, 2,..., k } také, že T k + a l / M. Potom podľa indukčného predpokladu (s hodnotou k namiesto n) dokáže koník doskákať do čísla T k + a l pomocou k skokov s dĺžkami z množiny {a, a 2,..., a k + } \ {a l }, pričom ani raz nepristane na čísle z M. Takže aj k + je slušné, čo je spor. že Podľa práve dokázaného tvrdenia existuje najmenšie číslo k {, 2,..., k } také, Tvrdenie 3. Stačí uvažovať prípad T k M a M (0, T k) k. M (0, T k k. () Dôkaz. Ak k =, tak () platí triviálne. Ďalej nech k >. Ak T k M, tak () vyplýva z minimálnosti k. Ak T k / M a platilo by M (0, T k k, zo slušnosti čísla k by sme dostali situáciu ako v Tvrdení pre m = k. V tomto prípade teda dokonca stačí uvažovať prípad M (0, T k k 2. Označme v 0 číslo, pre ktoré M (0, T k) = k + v. Nech r > r 2 > > r p sú všetky také indexy r { k +, k + 2,..., n}, že T k + a r / M. Potom n = M = M (0, T k) + + M (T k, s) k + v + + (n k p) a odtiaľ p v + 2. Platí T k +a r a < T k +a r a 2 < < T k +a r a k < T k +a r2 a k < < T k +a rv+2 a k 9
10 a všetkých k+v+ čísel porovnaných v predošlých nerovnostiach leží v intervale (0, T k). Preto existujú r { k +, k + 2,..., n} a q {, 2,..., k} také, že T k + a r / M a T k + + a r a q / M. Zoberme množinu skokových dĺžok = {a, a 2,..., a k, a r } \ {a q }. Máme x = T k + a r a q a x T k + a r a q min() = T k a q T k. Podľa (), indukčného predpokladu a zovšeobecnenia spomenutého úplne na začiatku s hodnotou k namiesto n sa koník dokáže dostať na číslo T k +a r a q pomocou k skokov s dĺžkami z množiny bez pristátia na čísle z M. Odtiaľ vie skočiť na T k + a r, čím dosiahneme situáciu ako v Tvrdení s hodnotou m = k +. Tým je tvrdenie dokázané. 0
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky
MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 2. série zimnej časti KMS 2010/2011
Vzorové riešenia 2. série zimnej časti KMS 2010/2011 Úloha č. 1: Ondrík nakreslil do roviny dva červené trojuholníky. Tieto trojuholníky vytvorili spolu jeden červený n-uholník. Zistite všetky možné hodnoty
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότεραKonštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti
Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότερα2007/ ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C
007/008 57. ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C. Určte najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré aj čísla n, n, 5 5n sú prirodzené. (Jaroslav Švrček) Riešenie. Vysvetlíme, prečo prvočíselný
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότερα2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.
Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραTézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty
Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2016 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 21. 12. 2016 pod číslom 2016-25786/49974:1-10B0
Διαβάστε περισσότεραTest. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότεραNajviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?
Náboj 01 Vzorové riešenia Úloha 1 J. Ak hranu kocky zväčšíme o 100%, tak o koľko percent sa zväčší jej objem? Výsledok. 700% Návod. Zväčšiť hranu a o 100% je to isté ako ju zdvojnásobiť na a. Objem pôvodnej
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, 830 00 Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Bratislava 2008 ÚVOD Cieľové požiadavky z matematiky sú rozdelené vo väčšine kapitol
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových
Διαβάστε περισσότεραTEÓRIA. Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín,
TEÓRIA Množiny a operácie s nimi Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, konečná a nekonečná množina,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK
MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK P.č. Tematické celky Strana 1 1.1 - Výroky 1 1.. - Množiny 4 3.1. - Výrazy 6 4 3.1. - Teória čísel 7 5 4.1. - Rovnice 9 6 4.. - Nerovnice 11 7 4.3. - Sústavy rovníc
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...
Διαβάστε περισσότερα2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.
2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότερα