4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
|
|
- Ζαχαρίας Φοῖνιξ Ζάχος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický popis závislosti jednej veličiny na inej veličine. Predtým ako zavedieme deiníciu unkcie, je potrebné zaviesť niekoľko označení a symbolov, ktoré nám zjednodušia a spresnia vyjadrovanie a ormulovanie pojmov.. Množinové symboly Budeme používať nasledovné matematické symboly: Prvok: A, A leží v A, neleží v A Podmnožina: A B, A B A je časťou B Množina vytvorená prvkami: {a,b,c} množina je vytvorená prvkami a, b, c Prázdna množina: {}= prázdna množina Zjednotenie množín: A B {; A alebo B} Prienik množín: A B {; A a B} Príklad. Nech A={; > 0} a B={; 5}. Potom platí: A B, A B=A, A B=B.. Intervaly reálnych čísel, vnútro intervalu V tejto časti uvedieme významné podmnožiny množiny reálnych čísel. Týmito množinami sú intervaly: otvorené, uzavreté, sprava otvorené zľava uzavreté, sprava uzavreté zľava otvorené, neohraničené. Ak a,b R, a<b, potom nasledujúce podmnožiny množiny R nazývame intervaly: (a,b) = {; a < < b}, a,b = {; a b}, a,b) = {; a < b}, (a,b, = {; a < b}, (a, ) = {; > a}, a, ) = {; a}, (-,b) = {; < b}, (-,b = {; b}, a nakoniec celá množina R a ľubovoľná jednobodová množina. Prvý interval sa nazýva otvorený, druhý uzavretý, ďalšie sú polootvorené, resp. neohraničené. Uzavretý interval má dva krajné body, ktoré do neho patria, otvorený má taktiež dva krajné body, ktoré do neho nepatria. Polootvorené intervaly majú iba jeden krajný bod a R nemá krajný bod. Vnútro intervalu je tento interval bez krajných bodov. Napríklad vnútro intervalu 0, je interval (0, ) a vnútro intervalu R je R. Príklad. Zapíšte nasledujúce intervaly ako množiny a potom ich graicky znázornite: -,),, ), (-,5). 6
2 -,) = {; - <},, ) = {; }, (-,5) = {; < 5}, Obr... Deinícia reálnej unkcie reálnej premennej Reálna unkcia reálnej premennej deinovaná na množine A (podmnožine reálnych čísel) je pravidlo (predpis), ktorým každému prvku z množiny A priradíme jediný prvok y z množiny R (hodnota unkcie v bode ). Zapisujeme y=(), resp. :A R. Poznámka: Funkciu môžeme považovať za nejaké zariadenie (čierna skrinka), do ktorej vchádza a vychádza (). Obr.. Príklad.. + Nech unkcia je daná predpisom =,. Potom: 5+ + ( 5) = = ( ) = = 5 5 z + + ( z) =, z ( ) =, z ( ) ( ) = = = = =,, ( 5 )( ) 5. Deiničný obor a obor hodnôt unkcie Množina A sa nazýva deiničný obor unkcie. Množina všetkých hodnôt unkcie sa nazýva obor hodnôt unkcie. Ak nie je deiničný obor daný a unkcia je daná vzorcom, tak jej deiničným oborom rozumieme prirodzený deiničný obor, t.j. množinu všetkých čísel, pre ktoré má daný vzorec zmysel. Príklad.. Nájdite deiničné obory unkcií = 5, g hodnoty týchto unkcií v bode =0. = a h + =. Nájdite aj 5 6
3 =... nakoľko pod odmocninou nesmie byť záporné číslo, deiničný obor unkcie 5 získame riešením nerovnice D( ) = 5; ) g =... nakoľko pod odmocninou nesmie byť záporné číslo a v menovateli nesmie 0 byť nula, deiničný obor unkcie g získame riešením sústavy nerovníc 0 Z prvej nerovnice vyplýva. Teraz vyriešime druhú nerovnicu. 0 ( 0) ( > 0) ( 0) ( < 0) ( 0) ( > ) ( 0) ( < ) ( > ) ( 0) ;0 ; Z riešenia oboch nerovníc vyplýva, že D( g ) = ;0 ( ; ) h + = 5... nakoľko hodnota menovateľa nesmie byť nulová, deiničný obor unkcie h získame riešením nerovnosti 5 0 ( 5 ) D( h) = R { 0;5}.5 Gra unkcie Gra unkcie y = je množina bodov [, y ] (roviny), pre ktoré platí y Príklad.5. Dané sú unkcie a. = +, deinovaná na intervale (-,, b. F =. = +, deinovaná na intervale (-,. Nakreslite ich gray a určte obor hodnôt. Pretože obe unkcie majú tvar = a+ b, sú tieto unkcie lineárne a preto je ich graom priamka alebo jej časť. y = + Gra lineárnej unkcie zostrojíme tak, že určíme hodnotu unkcie v dvoch rôznych bodoch. F ( ) - ( ) = ( ) + = = + = 7 F = + = F = + = y = + Z graov unkcií vidíme, že obory hodnôt sú H( ) = (;7, ;) H F =. Obr.. 6
4 Príklad.6. Daná je unkcia y = ( 6), kde deiničný obor je interval (0,6). Nakreslite gra tejto unkcie. Určte obor hodnôt tejto unkcie. Funkciu najskôr upravíme: y = ( 6) = 6. Pretože unkcia má tvar y = a + b+ c, kde a=, b= 6, c= 0, je táto unkcia kvadratická a jej graom je parabola. b b Vrchol paraboly má súradnice V ; a a, ( 6) ( 6) teda V ; = ; = ; 6 = [ ; 9]. Nakoľko a > 0, parabola je otvorená smerom nahor. Priesečníky paraboly s osou získame riešením rovnice ( ) = 0, teda 6= 0. D b ac = = 6 0= 6 D = 6 = 6 b+ D ( 6) + 6 = = = 6 a b D ( 6) 6 = = = 0 a Teda priesečníky s osou sú [ 6;0 ] a [ ] Priesečník s osou y je [ 0;c ], teda [ 0;0 ]. 0;0. Z grau unkcie vidíme, že obor hodnôt je H = 9;0. Obr.. ) ( 6) y =.6 Ohraničená unkcia (zdola, zhora) Hovoríme, že unkcia ( ) je zdola ohraničená na množine A, ak eistuje číslo a, že pre každé A platí a (). Hovoríme, že unkcia ( ) je zhora ohraničená na množine A, ak eistuje číslo b, že pre každé A platí () b. Funkcia je ohraničená ak je ohraničená aj zdola aj zhora. y = Príklad.7. Funkcia y = na intervale nie zhora a na intervale 0; je ohraničená zdola, ale ;, resp. ; ) je ohraničená. Obr..5 65
5 Príklad.8. Dokážte, že unkcia y = je na celom + y = svojom deiničnom obore ohraničená. + Zrejme deiničným oborom unkcie je množina všetkých reálnych čísel, nakoľko výraz + nadobúda pre všetky reálne čísla kladné (a teda nenulové) hodnoty. Obr..6 Dokážeme, že výraz nadobúda iba hodnoty z intervalu (0;. + Zrejme < 0 + < +. Pretože výraz nadobúda iba hodnoty z intervalu (0;, daná unkcia je ohraničená na + celom svojom deiničnom obore..7 Monotónne unkcie Hovoríme, že unkcia deinovaná na množine A je: a. rastúca na A pre každé, A, < je ( ) < ( ); b. klesajúca na A pre každé, A, < je ( ) > ( ); c. nerastúca na A pre každé, A, < je ( ) ( ); d. neklesajúca na A pre každé, A, < je ( ) ( ). Poznámka: Rastúca a klesajúca unkcia sa nazývajú rýdzomonotónne unkcie. Príklad.9. Rastúce unkcie: y = e y = + Obr..7a Obr..7b 66
6 y= Obr..7c Klesajúce unkcie: y = e y = + Obr..8a Obr..8b Príklad.0. Vyšetrite monotónnosť unkcie y = 5 na celom jej deiničnom obore. Vieme, že deiničným oborom tejto unkcie je interval ; ). Nech < sú ľubovoľné čísla z intervalu ; ). Potom dostávame: y = 5 0 < < 5 > 5 >. Obr..9 Tým sme ukázali, že pre všetky < z intervalu,+ ) platí >, čo v zmysle deinície dokazuje, že unkcia y = 5 je na celom deiničnom obore klesajúca. 67
7 .8 Operácie s unkciami Dve unkcie a g sa rovnajú (píšeme = g ) práve vtedy, ak sa rovnajú ich deiničné obory (ako množiny) a pre každé z deiničného oboru platí = g. Nech sú dané dve unkcie a g s príslušnými deiničnými obormi D( ) a D množina D =D( ) D g. Nech g je neprázdna množina. Potom pre každé D možno deinovať nasledujúce unkcie: h = + g, h = - g, h =. g a za predpokladu, že D( ) D( g) platí g 0, aj unkciu h = g. Funkciu h nazývame súčtom unkcií a g a označujeme ju + g. Funkciu h nazývame rozdielom unkcií a g a označujeme ju - g. Funkciu h nazývame súčinom unkcií a g a označujeme ju. g. Napokon, unkciu h nazývame podielom unkcií a g a označujeme ju g. Príklad.. Zistite, či sa nasledujúce unkcie a g rovnajú: a) =, g = b) =, g = + D = D g = R 0. Naviac, pre každé a) Deiničným oborom oboch unkcií je množina { } platí =, teda = g. Preto sa unkcie a g rovnajú. D = R, zatiaľ čo deiničným oborom číslo R { 0} b) Deiničným oborom unkcie je množina { } unkcie g je množina D( g) nerovnajú sa ani unkcie a g. = R. Nakoľko deiničné obory unkcií a g sa nerovnajú,.9 Zložená unkcia Nech je na množine M deinovaná unkcia g. Nech pre každé M je hodnota g D(). Potom možno na množine M deinovať unkciu h nasledovne: M g. Funkciu h nazývame h( ) = [ ] zloženou unkciou, utvorenou z unkcií a g. Označujeme ju [ g ]. Funkciu nazývame vonkajšou zložkou a unkciu g vnútornou zložkou zloženej unkcie h. Upozorňujeme čitateľa, že zložená unkcia môže byť utvorená z viacerých ako dvoch častí. Presnejšie povedané, vonkajšia zložka alebo vnútorná zložka g môžu byť zase zložené unkcie. Obr..0 68
8 Príklad.., 0 ( ) = = = Nech ( ) =, g = +. Nájdite ( ), ( ), ( ), ( ) g g g g. ( g ) = ( + ) =, + g( ) g + = = + = ( ) g g = g + = + + = +.0 Inverzná unkcia Nech je reálna unkcia. Budeme hovoriť, že unkcia je prostá na množine M D, ak pre každú dvojicu, M, Veta.: Každá rýdzomonotónna unkcia je prostá. Nech je reálna unkcia, ktorá je prostá na M D. Označme neprázdnej množine znakom ( M ) obraz množiny M pri zobrazení unkciou (t.j. ( M ) = yy ; =, M ). { } Potom unkciu, ktorá každému y ( M) platí: ( ) ( ). priradí práve to M, ktoré unkcia zobrazila na bod y ( M), nazývame inverznou unkciou k unkcii a označujeme ju. Obr.. Poznamenajme, že výraz neznamená mocninu unkcie, ale je to iba zaužívaný symbol na označenie inverznej unkcie. Teda inverzná unkcia je vlastne spätné zobrazenie množiny ( M ) na množinu M. Nech je prostá unkcia na celom svojom deiničnom obore D( ). Nech hodnôt tejto unkcie. Priamo z deinície inverznej unkcie vidno, že platí: H je obor Veta.: Nech je prostá unkcia. Potom pre každé a D( ) platí: [ ( a) ] a každé b H( ) platí: ( b) = b. [ ] Príklad.. Dokážte, že unkcia = + je prostá a vypočítajte k nej inverznú unkciu. Zrejme deiničným oborom unkcie je množina všetkých reálnych čísel. Dokážeme, že pre každú dvojicu, R, platí:. = a pre 69
9 Nech, R, + +. Inverznú unkciu nájdeme tak, že v rovnici y = + navzájom zameníme premenné a y a potom vyjadríme premennú y v závislosti od. Teda: = y+ = y y =. Potom =. Pozorný čitateľ si môže klásť otázku, prečo možno určiť inverznú unkciu iba k unkcii prostej. (Ak by napríklad k unkcii y = eistovala inverzná unkcia, na akú hodnotu by zobrazila bod?) Poznamenajme však, že ak nejaká unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, môže byť prostá na nejakej podmnožine tohto deiničného oboru. A na takejto podmnožine už môžeme hovoriť o inverznej unkcii. Inverznou unkciou k unkcii = + je unkcia Konkrétne unkcia y= nie je prostá na D( ) =R, ale je prostá napr. na intervale 0; ).Tu teda možno hovoriť o inverznej unkcii, ktorou, ako sa ľahko zistí, je na tomto intervale unkcia y =. Nech je unkcia, ku ktorej eistuje inverzná unkcia -. Ak bod [a,b] leží na grae unkcie (t.j. (a)=b), potom z deinície inverznej unkcie platí, že bod [b, a] leží na grae unkcie -, lebo - (b)=a. Z tohto aktu môžeme usúdiť, že gra unkcie - je zrkadlovým obrazom grau unkcie podľa priamky y =. Obr... Párne a nepárne unkcie Nech deiničný obor D( ) unkcie ( ) má nasledujúcu vlastnosť: Ak D( ), tak aj ( ) D( ). Potom hovoríme, že: a) ( ) je párna unkcia, ak pre každé D( ) platí ( ) = ( ), b) ( ) je nepárna unkcia, ak pre každé D( ) platí ( ) = Príklad. Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť nasledujúcich unkcií: + a) = b) = + c) = d) =. y = y = y= 70
10 a) + = ( ) ( ) = = = = ( ) b) = + = () ( ) = ( ) + ( ) = Pretože neplatí ani () = ( ), ani c) = je nepárna ( ) = ( ) = = d) = je párna ( ) = ( ) = = = + je nepárna =, unkcia nie je ani párna, ani nepárna. = + Obr..a Obr..b = = Obr..c Obr..d 7
11 Poznámka. Gra párnej unkcie je súmerný vzhľadom na os y, gra nepárnej unkcie je súmerný vzhľadom na začiatok súradnicovej sústavy.. Periodické unkcie Nech je unkcia s deiničným oborom D ( ) a p je kladné reálne číslo. Funkcia sa nazýva periodická s periódou p, ak. D( ) + p D( ), p D( ),. D( ) : ( + p) =. Najmenšia perióda p sa nazýva základnou periódou. Napríklad unkcie sin a cos majú periódy π,π,6π,... a ich základná perióda je π. Podobne unkcie tg a cotg majú periódy π, π,π,... a ich základná perióda je π. Obr..a Obr..b Obr..c Príklad.5 Určte základnú periódu pre unkcie a) y = sin b) y = sin a) Predpokladajme, že p je perióda. Má platiť: sin = sin ( + p), čiže α β α + β sin ( + p) sin = 0. Použijeme vzorec sinα sin β = sin cos. Potom 7
12 p 6+ p sin ( + p) sin = sin ( + p) sin = sin cos = 0. Aby tento vzťah p p platil pre ľubovoľné, musí platiť sin = 0 = k π, k Z. Pre k = dostaneme π p =. Gra unkcie je znázornený na obr p b) Predpokladajme, že p je perióda. Má platiť: sin = sin, čiže + p α β α + β sin sin = 0. Opäť použijeme vzorec sinα sin β = sin cos. Potom + p p + p sin sin = sin cos = 0. Aby tento vzťah platil pre ľubovoľné, musí 8 8 p p platiť sin = 0 = k π, k Z. Pre k = dostaneme p = 8π. Gra unkcie je znázornený 8 8 na obr..6. Obr..5 Obr..6 7
13 . Úlohy Načrtnite gra uvedenej unkcie, určte jej deiničný obor, obor hodnôt, základné vlastnosti (intervaly monotónnosti, ohraničenosť, maimum/minimum, párnosť/nepárnosť, prostosť, periodickosť). Určte rovnicu inverznej unkcie, ak eistuje (okrem goniometrických). V príkladoch - načrtnite gray inverzných unkcií.. : y = : y = ln : y = ( 5). : y = 6 + π. : y = 8 8. : y = 5. : y = sin. : y = ( ) + 5. : y = + cos 9. : y = 5. : y = 6 π 5. : y = tg 0. : y = + log : y = +. : y = 7 pre = 0 y = 7 0 = 7 pre = y = 7 = D= R; H = R klesajúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna prostá nie je periodická. : y = log ( + ) 6. : y = cotg... graom je priamka prechádzajúca bodmi [0;7] a [;] y = 7 y = : = 7 y y = 7 7 y = 7 y = 7
14 . : y = 6 Priesečníky s osou : 6= 0 D =.. 6 = 5 D = 5 b± D ( ) ± 5, = = a. = = Vrchol: b ( ) = = = a = 6 y 5 y = 6 = 5 5 D = R; H = ; ; zdola ohraničená číslom klesajúca na intervale ; ; rastúca na intervale ; nemá maimum; má minimum v bode 5 0 =, ymin = nie je ani párna ani nepárna; nie je prostá; nie je periodická y = 6 Pretože unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, neeistuje k nej inverzná unkcia. Ak by sme však uvažovali unkciu iba na intervale ;, potom by bola prostá a eistovala by k nej inverzná unkcia -. 5 y= + + y y : = = + = y y y = y + + = y y= y = 6. : y = 8 Priesečníky s osou : = 8 0 8= = = = Vrchol: b 0 = = = 0 a y = y = = 8 : = 8 y y y 8 = = 8 y = y = 8 75
15 D= R; H = ;8 ( rastúca na intervale ( ;0 klesajúca na intervale 0; ) zhora ohraničená číslom 8 nemá minimum má maimum v bode 0 = 0, yma = 8 je párna; nie je nepárna nie je prostá nie je periodická y = 8 y = Pretože unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, neeistuje k nej inverzná unkcia. Ak by sme však uvažovali unkciu iba na intervale 0; ), potom by bola prostá a eistovala by k nej inverzná unkcia -. y = 8. : y = 5 Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ; 5. y ( ) : = 5 D= R; H = R rastúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna prostá nie je periodická ( ) y = 5 : ( y ) = 5 ( y ) + 5= y + 5 = y 5 = + + y = 76
16 5. y : = 6 y = Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor 0; 6. y : = 6 D= R; H = 6; klesajúca na intervale ( ;0 rastúca na intervale 0; ) zdola ohraničená číslom -6 nemá maimum má minimum v bode 0 = 0, ymin = 6 je párna; nie je nepárna nie je prostá; nie je periodická ) Pretože unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, neeistuje k nej inverzná unkcia. Ak by sme však uvažovali unkciu iba na intervale 0; ), potom by bola prostá a eistovala by k nej inverzná unkcia - : = y = y y = : y = + Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ; 0). D= R { ; } H = R { 0} klesajúca na intervale ( ; ) a na intervale ( ; ) nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá; nie je periodická : y + = = y = y+ y = 6 y = y = + 77
17 7. : y = : y = = = Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ; ). { ; } { } D= R H = R rastúca na intervale ( ; ) ; a na intervale nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : 8 8 = = y+ y+ y + 8 = = y y = 8 y = + 8 y = 8. : y = 5 Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ; 5). D= R; H = ( 5; ) rastúca zdola ohraničená číslom -5 nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : = 5 y + 5 = log 5 log y y ( + ) = ( ) ( ) log + 5 = y y = log y = y = 5 78
18 9. : y = + Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ;0). D= R; H = ( 0; ) klesajúca zdola ohraničená číslom 0 nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : y+ = log/ = log/ log/ = y+ y = log / y+ 0. : y = + log5 Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y = log 5. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( 0; ). D= ( 0; ); H = R rastúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : = + log5 y log5 y = log5 y 5 = 5 y = 5 y = + y = y = + log 5 y = log 5 79
19 . : y = log ( + ) Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y = log. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ;0). D= ( ; ); H = R klesajúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická ( ) y= log + : / ( y ) = log + = = y + y = log/( y+ ) y = log. : y = ln( 5) D= 0; ; H = R rastúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická y = ln 5 : ( y) = ln 5 e e = e ( y) ln 5 = 5y e y = 5 80
20 π. : y = sin D= R; H = ; rastúca na intervaloch 0+ kππ ; + kπ ; k Z klesajúca na intervaloch π + kπ;π + kπ ; k Z zdola ohraničená číslom, zhora ohraničená číslom maimum v bodoch ma = π + kπ; k Z; yma = minimum v bodoch min = 0+ kπ ; k Z; ymin = je párna, nie je nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π. : y = + cos Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y cos =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( 0; ). D= R; H = ; rastúca na intervaloch π + kπ;π + kπ ; k Z klesajúca na intervaloch 0+ kππ ; + kπ ; k Z zdola ohraničená číslom, zhora ohraničená číslom maimum v bodoch ma = 0+ kπ ; k Z; yma = minimum v bodoch min = π + kπ ; k Z; ymin = je párna, nie je nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π y = + cos y = cos 8
21 π 5. : y = tg + π Gra unkcie : y = tg + získame z grau unkcie : y = tg posunutím o vektor π 0;. Z dôvodu prehľadnosti je znázornený iba gra unkcie. π π y = tg + D= R + kπ ; k Z ; H = R 6 π π π poznámka: - + = 6 rastúca na intervaloch π 7π + kπ; + kπ ; k Z 6 6 nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna, ani nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π 6. : y = cotg Gra unkcie : y = cotg získame z grau unkcie : y cotg = posunutím o vektor ( 0; ). Z dôvodu prehľadnosti je znázornený iba gra unkcie. D= R { 0 + kπ ; k Z} ; H = R rastúca na intervaloch ( 0 + kππ ; + kπ) ; k Z nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna, ani nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π y= cotg 8
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραRovnosť funkcií. Periodická funkcia.
VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότερα1.1. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT
.. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR OBOR HODNÔT De. : Funkciou n množine A s nýv predpis ktorým je kždému prvku množiny A prirdené práve jedno reálne číslo. Množin A s nýv deiničný obor unkcie D(. Je to
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραUčebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika
STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA Komenského 6, 08 7 Lipany Učebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika Odbor: Kozmetik a Pracovník marketingu Autorka: PaedDr. Iveta Štefančínová, Ph.D. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií tangens a kotangens
Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραČíslo a číslica. Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva.
Číslo a číslica Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva. Číslica (cifra) je grafický znak, pomocou ktorého zapisujeme
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα