ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές έοιες του μοωύμου, του πολυωύμου κι τω πράξεώ τους Θ σχοληθούμε με τη άλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω, με τυτότητες κι με ρητά λγερικά κλάσμτ Οι συτελεστές τω μοωύμω κι τω πολυωύμω θεωρούμε ότι πίρου τιμές πό το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ Αάλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω Αάλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω ή πλούστερ πργοτοποίηση είι η γρφή εός δεδομέου πολυωύμου ως γιόμεο πολυωυμικώ πργότω Οι πολυωυμικοί πράγοτες που εμφίζοτι πρέπει είι του ελάχιστου δυτού θμού Η άλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω πολλές φορές δε είι δυτή Δε υπάρχει γεικός κός γι τη πργοτοποίηση πολυωύμω Όμως, γι ειδικές μορφές πολυωύμω δίουμε μεθόδους πργοτοποίησης ( Πολυωυμικές πρστάσεις που οι όροι τους έχου κοιό πράγοτ Πρδείγμτ ( + + 5 0 + 0 5 ( + ( y 6 ( y + ( y ( y [ y ( y + ] ( y ( y y+ + ( y ( y y+ ( Χωρισμός σε ομάδες Στη περίπτωση υτή η πολυωυμική πράστση χωρίζετι σε ομάδες, σε κθεμί πό τις οποίες υπάρχει κοιός πράγοτς Η πργοτοποίηση είι δυτή, ό- τ μετά τη πργοτοποίηση τους οι ομάδες υτές εμφίζου κοιό πράγοτ

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Πρδείγμτ a + ay + b + by ( a + ay + ( b + by a ( + y + b ( + y ( + y ( a + b a + b a b ( a + b ( a + b ( a + b ( ( ( a + b (γ Διφορά τετργώω Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A B A+ B A B ( ( Πρδείγμτ 6 y ( ( y ( + y ( y 6 8 y ( (9 y ( 9 y ( + 9 y [( (y ] ( + 9y (δ Πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής : A ± AB + B Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A + AB + B A + AB + AB + B A ( A + B + B ( A + B ( A+ B, δηλδή έχουμε ( y ( + y ( + 9y A + AB+ B ( A+ B Ομοίως έχουμε A AB + B ( A B Πρδείγμτ 9 + 0y + 5y ( + 5y + (5y ( + 5y ± y + y ( ± y + ( y ( ± y ( 5 y (y 6 ( 5y+ y 6 [ 5 y (y 6 ] ( y ( 5y y + 6 ( + y (0 8y ( + y (5 y (ε Τριώυμ Τριώυμ είι πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής f ( + + γ με 0 κι,, γ

Αλγερικές πρστάσεις Ο ριθμός Δ γ οομάζετι δικρίουσ του τριωύμου f ( κι ι- σχύου τ εξής: Α Δ > 0, τότε το τριώυμο f ( λύετι σε γιόμεο πργότω της μορφής f ( ( (, όπου οι ριθμοί, δίοτι πό τους τύπους + Δ, Δ Πράγμτι, γ > 0, έχουμε γ f( + + γ γ + + a + + a Δ Δ Δ + + + + ( (, θέσουμε + Δ + Δ, Α Δ 0, τότε: f ( + Πράγμτι, Δ 0 έχουμε: γ f ( + + + γ Δ + + a + a + A Δ < 0, τότε το τριώυμο f ( δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω Πράγμτι, Δ < 0, τότε έχουμε f ( + + γ a + Δ + Δ + +, δηλδή το τριώυμο f ( είι γιόμεο του συτελεστή επί μί πράστση που είι άθροισμ τετργώω Πρδείγμτ Ν πργοτοποιήσετε το τριώυμο f ( + Αφού είι:,, γ κι Δ γ ( > 0, οπότε + Δ + Δ,

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έχουμε f ( + ( ( Ομοίως γι το τριώυμο f ( 5 0 +, έχουμε 5, 0, γ, Δ ( 0 5 00 > 0 κι ± Δ 0 ± 00 0 ± 0 ±, 5 50 5 Άρ είι + f ( 5 0 + 5 5 5 Ομοίως γι το τριώυμο f ( + +, είι,, γ, κι Δ < 0, οπότε το τριώυμο f ( + + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Ομοίως γι το τριώυμο f ( 8 + 6, είι, 8, γ 6, κι Δ ( 8 6 0, οπότε : 8 f ( 8 + 6 + ( (στ Αάλυση εός όρου σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Πολλές φορές, γι τη άλυση μις πολυωυμικής πράστσης σε γιόμεο πργότω, είι γκίο λύσουμε έ ή περισσότερους όρους σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Έτσι, δίετι η δυτότητ εφρμόσουμε μί πό τις προηγούμέες μεθόδους πργοτοποίησης, πχ με το χωρισμό σε ομάδες Πρδείγμτ Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση A + + γ + γ + γ + γ + γ Λύση A + + γ + γ + γ + γ + γ ( + γ + ( + γ + ( γ + γ + ( γ + γ ( + γ + ( + γ + γ ( + γ + γ ( + γ ( + γ ( + + γ + γ ( + γ [( + + ( γ + γ ] ( + γ [( ( + + γ ( + ] ( + γ ( + ( + γ ( + ( + γ ( γ + Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( 5 +

Αλγερικές πρστάσεις Λύση f ( 5 + + ( ( ( + ( ( ( [ ( + ] ( ( + + 7 7 ( Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( + Λύση f ( + + + ( + ( ( + [ ( ] ( + ( + ( + ( (ζ Αξιοσημείωτ πηλίκ της μορφής: ±, N* Σύμφω με τη τυτότητ της τέλεις διίρεσης κάθε πράστση της μορφής, N διιρούμεη με δίει υπόλοιπο 0 κι πηλίκο + + + + + + Έτσι έχουμε ( ( + + + + Ειδικά γι μ, μ N*, έχουμε μ μ μ μ μ μ μ μ ( ( ( ( + Γι πράδειγμ, έχουμε ( a ( + + 5 5 ( a ( + + + ( a ( + ( ( + ( + Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο 0 κι ισχύει η ισότητ: + ( + ( + + + Γι πράδειγμ, έχουμε + ( a + ( + 5 5 + ( a + ( + + 7 7 6 5 5 6 + ( a + ( + + + 5

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ειδικές περιπτώσεις Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο, οπότε η πρπάω μέθοδος δε μπορεί εφρμοστεί Αυτό όμως δε σημίει ότι η πράστση + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Στη ειδική περίπτωση που το είι άρτιο πολλπλάσιο περιττού ριθμού, έ- στω κ μ, όπου κ κι μ περιττός, τότε κμ κμ + + κ μ κ μ ( + ( κ κ κ μ κ μ κ κ μ ( + [( ( + iii + ( ] Γι πράδειγμ, έχουμε: 6 6 + ( + ( ( + [( + ( ] ( + ( + 0 0 5 5 8 6 6 8 + ( + ( ( + ( + + 8 8 + ( + ( ( + ( + κ Στη ειδική περίπτωση που είι, κ, κ > έχουμε: κ κ κ κ + + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ ( + ( + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ + + ( + Γι πράδειγμ, έχουμε: + + + ( + + ( + ( + ( 8 8 + 8 8 + + + + + ( ( ( + ( (η Συδυσμός άλλω μεθόδω Αφέρουμε τις πρκάτω χρκτηριστικές περιπτώσεις : Α + ΑΒ + Β Γ (Α + Β - Γ (Α + Β + Γ(Α + Β - Γ Α -ΑΒ + Β - Γ (Α - Β -Γ (Α - Β + Γ(Α - Β - Γ 6

Αλγερικές πρστάσεις Γι πράδειγμ έχουμε 6 + + 9 γ ( + (γ ( + + γ ( + γ 5 + γ γ (5 ( γ [( 5 + ( γ ] [ (5 ( γ ] + ( 5 + γ (5 + γ ( + ( + ( + + ( + + + + + ( + ( + + ( + ( ( + + ( + (θ Χρήση τυτοτήτω Η περίπτωση υτή θ μελετηθεί στη επόμεη εότητ τω τυτοτήτω (ι Πολυώυμ θμού > Θεωρούμε το πολυώυμο f( + + + + 0, κ 0 Σύμφω με τη θεωρί διιρετότητς πολυωύμω, γι το ριθμό ρ ι- σχύει f ( ρ 0, τότε το πολυώυμο ρ διιρεί το πολυώυμο f ( Το πηλίκο π ( της διίρεσης υτής, μπορεί ρεθεί με το σχήμ Horner Έτσι έχουμε f ( ( ρ π ( Ειδικότερ, γι είι ο κέριος ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμός ρ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 Επομέως οι πιθές κέριες ρίζες του πολυωύμου f ( είι οι διιρέτες του στθερού όρου 0 κ Επιπλέο, γι είι ο ρητός ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - λ κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμητής κ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 κι ο προμστής λ είι διιρέτης του μεγιστοάθμιου όρου Πράδειγμ Ν πργοτοποιηθεί το πολυώυμο f ( 6 + 6 Λύση Οι διιρέτες του στθερού όρου είι οι: ±, ±, ±, ± 6 Πρτηρούμε ότι f ( 0, οπότε με το σχήμ Horner λμάουμε -6-6 -5 6-5 6 0 Έτσι έχουμε f ( 6 + 6 ( ( 5 + 6 ( ( (, 7

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 φού γι το τριώυμο 5 + 6 έχουμε, 5, γ 6, Δ > 0 κι 5 5 +, Τυτότητες Τυτότητ είι η ισότητ μετξύ δύο λγερικώ πρστάσεω που ληθεύει γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που εμφίζοτι Στη εότητ υτή θ πριθμήσουμε τις σικές τυτότητες που χρησιμοποιούμε γι τη διευκόλυση του λγερικού λογισμού Στ επόμε θ σχοληθούμε με τις μεθόδους επλήθευσης τυτοτήτω ( Τετράγωο θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( + + + ( + ( Γιόμεο θροίσμτος δύο όρω επί τη διφορά τους ( + ( (γ Κύος θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( + + + + ( + (δ Άθροισμ (διφορά κύω + ( + ( + ( ( + + (ε Τετράγωο θροίσμτος όρω, ( + + γ + + γ + + γ + γ γ δ γ δ γ δ γ δ γδ ( + + + + + + + + + + + + 8

Αλγερικές πρστάσεις Γεικότερ, έχουμε + + + ( + + + ( + + + ( ( + + + + ( + + + + + ( + + + + + + + ( + + + + ( + + + + ή συοπτικά + + + + ( + + + + + + ( + + + i + i j, i i< j όπου στη τελευτί ισότητ έχουμε χρησιμοποιήσει το σύμολο του θροίσμτος γράφοτς i + + + i i j + + + + + + + i< j Έτσι έχουμε το κό: Το τετράγωο του θροίσμτος όρω, ισούτι με το άθροισμ τω τετργώω τω όρω του, υξημέο κτά το διπλάσιο του λγερικού θροίσμτος τω γιομέω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους (στ Κύος θροίσμτος τριώ όρω ( + + γ ( + + γ ( + + γ ( + + γ + + γ + γ( + + γ + + γ + + + γ + γ + γ + 6γ + + γ + ( + + γ + γ + γ + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ +, σύμφω με το Πράδειγμ της (στ περίπτωσης της πργοτοποίησης πολυωυμικώ πρστάσεω Άρ έχουμε: π όπου προκύπτει ο κός: ( + + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ + Ο κύος του θροίσμτος τριώ όρω ισούτι με το άθροισμ τω κύω τω όρω του, υξημέο κτά το τριπλάσιο του γιομέου τω λγερικώ θροισμάτω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους 9

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ έχουμε: 6 6 ( + + + + + ( + ( + ( + ( ( ( ( ( ( ( + + + + 8 7 + ( ( + ( (ζ Η τυτότητ τω κύω (Euler γ ( γ( γ γ γ + + + + + + + γ ( + + γ [( + ( γ + ( γ ] + γ Απόδειξη + + γ γ ( + ( + + γ γ ( + + γ ( + + γ [( + + γ ][( + ( + γ + γ ] ( + + γ ( + + γ [( + + γ γ γ ] ( + + γ ( + + γ γ γ Η δεύτερη μορφή προκύπτει μέσω της ισότητς + + γ γ γ ( + + γ γ γ [( a + ( γ + ( γ ] Γι πράδειγμ έχουμε: 8 6γ γ + ( + ( γ ( ( γ ( γ ( + + 6γ + 8γ + γ ( + ( ( + ( + ( + ( + ( ( ( + [ ] ( + ( + ( + ( + ( + ( + + ( + ( + ( + ( ( + + ( + + + + + + + + + ( + (η Οι τυτότητες του Lagrange (i ( + ( + ( + ( Χρησιμοποιώτς το σύμολο της ορίζουσς εός πίκ, το δεύτερο μέλος της (i γράφετι: 0

Αλγερικές πρστάσεις ( Η επλήθευση της (i γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος (ii ( + + + ( + + ( + + + ( + ( + ( (Επλήθευση εύκολη με πράξεις στο πρώτο μέλος (iii Γεικότερ γι τις -άδες,,,,,,, έχουμε ( ( ( + + + ( + + + ( + + + + + + + + + + Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι ( + ( + ( + ( Απόδειξη ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( ( Ν μεττρέψετε τη πράστση ( + ( + y + ( + y σε άθροισμ τετργώω Λύση ( + ( + y + ( + y ( + + 0 ( + y + ( + y+ 0 y + 0 + y 0 ( + y +

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (θ Η τυτότητ του De Moirve + + γ γ γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ Απόδειξη + + γ γ γ + + γ + γ γ ( + γ ( + + + ( γ ( γ [( + γ ][( γ ] ( + + γ ( + γ ( + γ ( γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ (ι Η τυτότητες του Νεύτω ( + ( + + ( + + ( ( ( + + ( + ( + ( + γ + ( + + γ + ( + γ + γ + γ ( ( ( γ ( + + γ + ( + γ + γ γ Η επλήθευση τω πρπάω τυτοτήτω γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος τους Γεικότερ, θεωρήσουμε τους πργμτικούς ριθμούς,,,, έχουμε τις τυτότητες: ( ± ( ± ( ± ± ( + + + + ( + + + + + + + + + + + + + + + ( ( + + ( ± ( + ή συτομότερ, ( + ( + ( + +Σ +Σ +Σ + +Σ +Σ, όπου γι τους ριθμούς,,,, έχουμε θέσει: Σ + + +, + + + + + + + + Σ

Αλγερικές πρστάσεις [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά δύο Υπάρχου! ( συολικά : όροι] (!! Το σύμολο! διάζετι «ι πργοτικό» κι ορίζετι ως εξής:!,,,, κι 0! Σ + + + + + + + + [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά τρεις Υπάρχου! ( συολικά : όροι]!(! Σ + + + [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά Υπάρχου όροι] Σ (ι Το διώυμο του Νεύτω Α στις τυτότητες του Νεύτω θέσουμε:, λμάουμε το άπτυγμ του διωύμου του Νεύτω: ( + Σ, + + Σ + Σ + Σ + + Σ όπου έχουμε Σ + + +,! φού, (!! Σ! ( φού,!(! Σ ( ( 6,, Σ, Σ, φού είι:! ( ( :,!(! 6

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έτσι έχουμε: ( + + + + + + Από τη πρπάω τυτότητ λμάουμε: ( ( ( ( + + + + + Χρησιμοποιώτς το σύμολο Σ του θροίσμτος κι το σύμολο τω συδυσμώ ά κ μπορούμε γράψουμε το διώυμο του Νεύτω ως εξής: κ κ κ κ + 0 ( κ κ κ κ κ 0 ( ( Γι τις μικρές τιμές του έχουμε τ πτύγμτ: ( + ± ± ( ± + ± ± 6 ( + ± + ± ± 5 5 5 5 0 0 5 ( ± + ± + ± ± 6 5 5 6 6 6 5 0 5 6 ( ± + ± ± + ± ± Πρτηρήσεις Έ πολυώυμο, ( f είι ομογεές θμού k, γι κάθε t R ισχύει η ι- σότητ, (, ( κ f t t t f Έτσι, εύκολ διπιστώουμε ότι τ πολυώυμ ( a ± είι ομογεή θμού Το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι + Οι εκθέτες του πό ριστερά προς τ δεξιά μειώοτι κτά, εώ οι εκθέτες του υξάοτι κτά

Αλγερικές πρστάσεις Όλοι οι όροι του πτύγμτος ( + a έχου θετικά πρόσημ, εώ οι όροι του ( a έχου ελλάξ θετικό-ρητικό πρόσημο! Επειδή ισχύει :, 0 κ, 0!, οι συτελεστές τω κ κ κ!( κ! όρω που ισπέχου πό τους άκρους όρους είι ίσοι Α ο είι άρτιος, το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι περιττό κι τότε μόο υπάρχει μεσίος όρος Ο συτελεστής εός όρου (χωρίς πρόσημο, μετά το πρώτο, προκύπτει πό το προηγούμεο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του θ έσητου όρου στο άπτυγμ 6 Γι πράδειγμ, στο άπτυγμ του ( + a ο συτελεστής του τρίτου όρου προκύπτει πό το δεύτερο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του 6 5 5 θ έση δεύτερου όρου Εκτός του πρπάω μημοικού κό γι τη εύρεση τω συτελεστώ του πτύγμτος ( + a γι τις διάφορες τιμές του, χρησιμοποιούμε κι το τρίγωο του Pascal (6 66 που εμφίζετι πρώτ στο έργο του Pascal «Περί ριθμητικού τριγώου» το 65 Τ κρί στοιχεί κάθε γρμμής είι, εώ τ υπόλοιπ προκύπτου με πρόσθεση δύο στοιχείω της προηγούμεης γρμμής, δηλδή του στοιχείου που ρίσκετι στη κριώς πό πάω θέση ριστερά κι του στοιχείου που ρίσκετι κριώς δεξιά του 6 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 5 5 7 Το τρίγωο του Pascal μέχρι 7 Γι πράδειγμ, το στοιχείο 0 του πίκ προκύπτει πό το άθροισμ τω στοιχείω 0 κι 0 της προηγούμεης γρμμής 5

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (ι Τυτότητες κάτω πό συθήκες Γι τους πργμτικούς ριθμούς,, γ ισχύει η ισοδυμί: + + γ 0 ή γ + + γ γ Απόδειξη Η πόδειξη είι άμεση συέπει της τυτότητς τω κύω (Euler + + γ γ ( + + γ ( + ( γ + ( γ Αλογίες [ ] Αλογί είι η ισότητ δύο λόγω, δηλδή η ισότητ γ, δ 0 δ Οι όροι,, γ, δ μις λογίς μπορεί είι ριθμοί ή γεικότερ λγερικές πρστάσεις Οι, δ είι οι άκροι όροι, εώ οι, γ είι οι μέσοι όροι της λογίς Η λογί, γ 0, γ λέγετι συεχής κι ο λέγετι μέσος άλογος τω κι γ Στη συέχει φέρουμε τις σικές ιδιότητες τω λογιώ, όπου όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές πρέπει είι διάφοροι του μηδεός γ (i δ γ δ Τ γιόμε τω άκρω κι τω μέσω όρω είι ίσ Απόδειξη γ δ γ δ γ 0 δ γ δ δ 0 γ δ γ δ (ii δ γ δ γ Με ελλγή τω άκρω ή τω μέσω όρω η λογί δε μετάλλετι Το ίδιο ισχύει κι με τιστροφή τω λόγω (iii (iv γ γ ± γ ± δ ± ± δ δ δ γ γ δ ± γ ± δ 6

Αλγερικές πρστάσεις Απόδειξη γ ( γ ± δ γ ( ± ± γ ± δ γ γ ± δ γ ± γ δ γ δ (v γ + γ + δ γ δ δ γ δ + γ + δ Απόδειξη γ δ + γ + δ (τιστροφή λόγω + γ + δ γ δ ( + ( γ δ ( ( γ + δ γ δ + γ δ γ + δ γ δ γ γ δ δ γ δ (vi Α είι, τότε + + + κ + κ + + κ, + + + κ + κ + + κ + + + ( 0 + + + + κ + + κ, 0, 0 κ Απόδειξη Α οομάσουμε λ τους ίσους λόγους, δηλδή λ Τότε θ έχουμε i λ i, γι κάθε i,,, κι + + + λ + λ + + λ λ( + + + κ + κ + + κ κ λ + κ λ + + κ λ λ( κ + κ + + κ οπότε θ είι + + + κ + κ + + κ λ + + + κ + κ + + κ Πρτήρηση Η μέθοδος πόδειξης της τελευτίς ιδιότητς χρησιμοποιείτι συχά σε σκήσεις, στις υποθέσεις τω οποίω υπάρχου μί ή περισσότερες λογίες 7

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ρητά λγερικά κλάσμτ A Ρητό λγερικό κλάσμ είι μί συάρτηση της μορφής y, όπου τ Α, Β B είι πολυώυμ μις ή περισσοτέρω μετλητώ Το πρπάω ρητό λγερικό κλάσμ έχει έοι γι εκείες τις τιμές τω μετλητώ γι τις οποίες ισχύει Β 0 Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με τη πλοποίηση ρητώ λγερικώ κλσμάτω κι με τις διάφορες πράξεις μετξύ υτώ Γι τη πλοποίηση του ρητού λγερικού κλάσμτος Α Β πργοτοποιούμε τους δύο όρους τους κι στη συέχει τους διιρούμε με το μέγιστο κοιό διιρέτη τους ΜΚΔ(Α, Β, δηλδή με το γιόμέο τω κοιώ τους όρω του μέγιστου δυτού θμού Το ρητό λγερικό κλάσμ Α δε πλοποιείτι, ότ οι όροι του είι Β πολυώυμ πρώτ μετξύ τους ή ισοδύμ ο ΜΚΔ(Α, Β είι έ στθερό πολυώυμο c 0 Με τη υπόθεση ότι όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές στ δεδομέ κλάσμτ ή στ ποτελέσμτ είι διάφοροι του μηδεός, έχουμε σχετικά με τις πράξεις μετξύ ρητώ λγερικώ κλσμάτω: Α Γ Α ± Γ ±, Β Β Β Α Γ ΑΔ±ΒΓ ± Β Δ ΒΔ Α Γ ΑΓ Β Δ ΒΔ Α Γ Α Δ ΑΔ : Β Δ Β Γ ΒΓ,, Η κλσμτική πράστση της μορφής Χ, όπου όροι Χ, Υ είι τ ρητά λγερικά κλάσμτ Χ,Y λέγετι σύθετο κλάσμ Σε έ σύθετο κλάσμ είι Υ Α Γ Β Δ δυτό ισχύει μί το πολύ πό τις ισότητες Β ή Δ Τ ρητά λγερικά κλάσμτ με Β Δ, δηλδή με Χ Α, Υ Γ, τ λέμε πλά Έ σύθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό σύμφω με το γωστό κό πολλπλσισμού άκρω κι μέσω όρω A X B A Γ A Δ Α Δ : Y Γ B Δ B Γ Β Γ Δ 8

Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν πλοποιηθεί το ρητό λγερικό κλάσμ y(a + b + ab( + y Κ y(a - b + ab( - y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος πργοτοποιείτι ως εξής: y(a + b + ab( + y ya + yb + ab + aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Ομοίως ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: y(a - b + ab( - y ya - yb + ab - aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Άρ έχουμε: (ay + b(a + by a + by K (ay + b(a - by a - by, εφόσο (ay + b(a - by 0 Ν μεττρπεί σε ρητό λγερικό κλάσμ η πράστση y+ y y + y K i : y( y y + y ( y Λύση Πργοτοποιούμε όπου είι δυτό τους όρους τω κλσμάτω Έτσι έχουμε: y( y y y + y y ( y, y ( y( + y, + y (+ y( y+ y 9

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + y ( y( + y ( y K i i ( y ( + y( y + y + y ( y + y ( y ( + y ( y + y ( y ( + y y, + y εφόσο γι τις μετλητές, y ισχύει ± y 0 Ν μεττρπεί σε πλό το σύθετο κλάσμ + y + y i y + y Σ y y + y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος γράφετι: A y y + y y i y + y y y i y + y ( y( + y Ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: οπότε έχουμε y( y + y y y ( y( y Π +, y y y ( y( + y ( y( + y ( y( + y ( y( + y y Σ : i, εφόσο γι τις μετλητές,y κι ± y 0 5 Μεθοδολογί πόδειξης τυτοτήτω Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με μεθόδους πόδειξης τυτοτήτω με συθήκες ή κι χωρίς συθήκες Τ διάφορ ποδεικτικά προλήμτ μπορού τξιομηθού στις εξής κτηγορίες: I f g Ισότητ τω λγερικώ πρστάσεω f κι g γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g 0

Αλγερικές πρστάσεις II f 0,f 0,f 0, Ν* g 0 Οι εξισώσεις fi 0,i,,,, Ν *, ποτελού τις συθήκες ή περιορισμούς του προλήμτος, τους οποίους θ χρησιμοποιήσουμε γι τη πόδειξη της ισότητς g 0 III f 0 g 0 ή g 0 ή ή 0, Η εξίσωση f 0 ποτελεί τη συθήκη ή περιορισμό του προλήμτος, τη οποί θ χρησιμοποιήσουμε γι ποδείξουμε ότι ληθεύει μί τουλάχιστο πό τις ισότητες g 0,g 0,,g 0 g IV f 0 g 0 κι g 0κι g 0 Στη συέχει, θ σχοληθούμε λυτικά με κάθε μί πό τις προηγούμεες περιπτώσεις Ι Απόδειξη τυτοτήτω: f g Σε πολλές σκήσεις ζητείτι ποδείξουμε τη λήθει μις ισότητς της μορφής f g, γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g Γι τη πόδειξη υτώ τω τυτοτήτω χρησιμοποιούμε μί πό τις πρκάτω μεθόδους: (Α Η ευθεί πόδειξη (Β Χρήση της μεττικής ιδιότητς (Γ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής (Α Ευθεί πόδειξη Ξεκιάμε πό το έ μέλος της ισότητς κι με εκτέλεση όλω τω δυτώ πράξεω κι πργοτοποιήσεω κτλήγουμε στο άλλο μέλος της ισότητς Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( y + ( + y + ( y( + y ( + y Απόδειξη ( ος τρόπος Με εκτέλεση τω πράξεω στο πρώτο μέλος λμάουμε ( y + ( + y + ( y( + y y + y y + + y + y + y + y + y ( + y

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( ος τρόπος Επειδή στο πρώτο μέλος εμφίζοτι τρεις κύοι κι το τριπλάσιο γιόμεο τω άσεω προσπθούμε εφρμόσουμε τη τυτότητ τω κύω μετά τις κτάλληλες προσρμογές Έτσι έχουμε: ( y + ( + y + ( y( + y ( y + ( + y + ( ( ( y( + y ( y+ + y [( y + (+ y + ( ( y(+ y (+ y( ( (+ y] ( y+ y + + y+ y + ( + y + y + + y+ y Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( yz + (y z + (z y ( yz(y z(z y ( + y + z yz Απόδειξη Θ εφρμόσουμε στο πρώτο μέλος τη τυτότητ του Euler + + γ -γ ( + + γ ( - +( - γ +(γ -, θεωρώτς -yz, y z, γ z y Έτσι το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A ( yz+ y z+ z y ( yz y + z + (y z z + y + (z y + yz ( y z y yz z + + ( y (+ y+ z + (y z (+ y+ z + (z (+ y+ z ( y z y yz z + + ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y+ z( + y + z y yz z ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y + z yz ( + y + z yz ( + y + z yz (Β Με χρήση της μεττικής ιδιότητς Με εκτέλεση πράξεω σε κάθε μέλος χωριστά έχουμε f f f κ g g g Στη περίπτωση που προκύψει η ισότητ fκ g : h, τότε, μέσω της μεττικής ιδιότητς, πό τις ισότητες f h κι g h προκύπτει η ισότητ f g H προηγούμεη διδικσί μπορεί εκτελεστεί με χρήση διδοχικώ ισοδυμιώ, με εκτέλεση τιστρεπτώ πράξεω κι στ δύο μέλη, μέχρις ότου προκύψει ισότητ που θ είι προφώς ληθής

Αλγερικές πρστάσεις Έχουμε δηλδή : f g f g fκ gκ, όπου η διδικσί τελειώει εφόσο η λήθει της τελευτίς ισότητς είι φερή Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( + y + z (y + yz + z ( yz + (y z + (z y Λύση ( ος τρόπος Το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A + y + z + (y + yz + z y + y z + z + yz( + y + z + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z Το δεύτερο μέλος, έστω Β, γράφετι B yz+ y z + y y z+ z + z z y+ y + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z, δηλδή προέκυψε η ίδι πράστση, όπως κι γι το Α, οπότε λόγω της μεττικής ιδιότητς έπετι ότι A B ος τρόπος Η τυτότητ υτή μπορεί ποδειχθεί κι πευθείς με χρήση της τυτότητς του Lagrange με κτάλληλη διμόρφωση του πρώτου μέλους Έχουμε σχετικά: ( + y + z (y + yz + z ( + y + z ( + y + z (y + yz + z ( + y + z (z + + y (z + y + zy y y z z + + z y y z ( yz + (y z + (z y (Γ Η μέθοδος της μθημτικής ή τέλεις επγωγής Η μέθοδος υτή χρησιμοποιείτι γι τη πόδειξη τυτοτήτω κι γεικότερ προτσικώ τύπω Ρ(, όπου η μετλητή έχει σύολο φοράς τους θετικούς κέριους Σημειώουμε ότι με το σύμολο Ρ( συμολίζουμε μί μθημτική έκφρση που περιέχει το σύμολο E κι τη οομάζουμε προτσικό τύπο της μετλητής με σύολο φοράς το σύολο Ε Α τικτστήσουμε τη μετλητή με έ στοιχείο Ε, τότε η μθημτική έκφρση Ρ( που προκύπτει οομάζετι λογική πρότση ή πλά πρότση, δηλδή είι μί μθημτική έκφρση με υτοτελές όημ η οποί χρκτηρίζετι μόο ως «ληθής», δηλδή έχει τιμή ληθείς ή μόο ως «ψευδής», δηλδή έχει τιμή - ληθείς ψ

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ, θεωρήσουμε το προτσικό τύπο P( : «ο είι περιττός ριθμός, N*», τότε η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ληθής (έχει τιμή ληθείς, εώ η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ψευδής (έχει τιμή ληθείς ψ Η μέθοδος σίζετι στη ρχή της μθημτικής επγωγής που κολουθεί Θεώρημ (Αρχή της μθημτικής επγωγής Έστω Ρ( είι ές προτσικός τύπος με N*, γι το οποίο ισχύου: ( Ρ( ληθής, ( γι κάθε κ N*, Ρκ ( ληθής, τότε κι Ρ( κ+ είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* Πρτηρήσεις (Ι Τ ήμτ στη εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής είι δύο ( ο Πρώτ ποδεικύουμε ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι ( ο Στη συέχει υποθέτουμε ότι η πρότση ληθεύει γι κ κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι γι κ+ (ΙΙ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής μπορεί χρησιμοποιηθεί γι τη πόδειξη προτσικώ τύπω Ρ( γι 0, όπου 0 είι ές θετικός κέριος μεγλύτερος του Στη περίπτωση υτή ποδεικύουμε πρώτ ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι 0 Στη συέχει υποθέτουμε ότι ληθεύει η πρότση Ρκ (, κ, κ 0, κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι η πρότση Ρκ+ ( (ΙΙΙ Υπάρχει κι δεύτερη μορφή της μθημτικής τέλεις επγωγής που κολουθεί πάλι δύο ήμτ κι σίζετι στο πρκάτω θεώρημ: Θεώρημ Έστω ές προτσικός τύπος με γι το οποίο ισχύου: ( οι προτάσεις Ρ(κι Ρ( είι ληθείς, ( οι προτάσεις Ρκ ( κι Ρ( κ+, κ με κ >, είι ληθείς, τότε κι η πρότση είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* (IV H πρτήρηση ΙΙ ισχύει κι γι τη δεύτερη μορφή της μθημτικής επγωγής

Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι γι κάθε θετικό κέριο ισχύει + ( ( + + + + + ( (+ ( + + + + 6 + ( (γ + + + + + ( ( + (δ i + i + +( + (ε + + + i i + ( + Απόδειξη i ( Γι έχουμε τη πρότση Ρ ( :, ληθής Έστω κ( κ+ ότι ληθεύει η πρότση Ρκ ( :+ + + +κ Θ ποδείξουμε ότι ληθεύει κι η πρότση ( κ + ( κ+ + ( κ+ ( κ+ Ρκ+ ( :+ + + +κ+ ( κ+ Πράγμτι, έχουμε: + + + +κ+ ( κ+ ( + + + +κ + ( κ+ κκ+ ( + ( κ+ κ ( κ+ ( κ+ ( κ+ + Άρ, σύμφω με τη ρχή της μθημτικής επγωγής, γι κάθε θετικό κέριο ισχύει ότι ( + + + + + (-ε Όλες ποδεικύοτι με τυπική εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής ΙΙ Απόδειξη τυτοτήτω κάτω πό συθήκες f 0,f 0,,f 0, g 0 (f,f,,f,g είι λγερικές πρστάσεις 5

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη περίπτωση υτή έχουμε τις υποθέσεις f 0, f 0,,f 0,, που είι μί ή περισσότερες κι οομάζοτι συθήκες ή περιορισμοί του προλήμτος Στηριζόμεοι στις πρπάω συθήκες πρέπει ποδείξου-με τη λήθει της ισότητς g 0 Οι μέθοδοι πόδειξης που χρησιμοποιούτι εξρτώτι πό τη μορφή τω συθηκώ κι μπορεί χρησιμοποιηθεί συδυσμός πό υτές Συοπτικά μπορού τξιομηθού ως εξής: A Ευθεί πόδειξη (με τικτάστση, χρήση πργοτοποίησης κι γωστώ τυτοτήτω Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Ε Μέθοδος πολυωύμω Στη συέχει θ περιγράψουμε κι θ δώσουμε πρδείγμτ γι κθεμί πό τις πρπάω μεθόδους Α Ευθεί πόδειξη Στη περίπτωση υτή γίετι τικτάστση τω μετλητώ στη ζητούμεη σχέση κι με πράξεις, πργοτοποιήσεις κι χρήση της υπόθεσης κι γωστώ τυτοτήτω στο έ μέλος, κτλήγουμε στο άλλο μέρος της ζητούμεης τυτότητς Πρδείγμτ Α γ + κι -, ποδείξετε ότι γ - - γ + - γ γ- + - Απόδειξη Με γ + κι - ο ριθμητής του πρώτου μέλους γίετι γ - - γ + ( - ( + - ( - -( + + ( - ( + - - ( + - ( + - ( - - Ομοίως ο προομστής του πρώτου μέλους γίετι: ( +( + ( - - γ γ-γ - γ - + - + 6

Αλγερικές πρστάσεις Έτσι το πρώτο μέλος γίετι γ( -+( - (γ +( - ( ( + - - γ - - γ + ( +( + ( - - γ ( + ( - - γ- + - ( + ( -( + - Α είι -, - γ y κι γ - z ποδείξετε ότι - - -γ -y γ - -z + + + - y+ - γ z+γ - Απόδειξη Α τικτστήσουμε τη μετλητή στο πρώτο όρο του πρώτου μέλους λμάουμε - - - - - + - - + - Ομοίως λμάουμε ( - - +/ ( - ( - + -/ ( - -γ -y γ - -z κι, y+ - γ z+γ - πό τις οποίες η ζητούμεη ισότητ είι φερή Α,,,y,,y 0 κι ότι y ( + ( + y (+y, ποδείξετε Απόδειξη Έχουμε ( + ( + y (+y ( + ( + y - (+y 0 0 y (πό τυτότητ Lagrange 7

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y y-0 y y, (φού,y 0 y Α είι + + γ 0 ποδείξετε ότι ( + +( + γ +(γ + -γ Απόδειξη Επειδή ισχύει ότι ( + +( + γ+(γ + ( + + γ0, έχουμε ( + +( + γ +(γ + ( + ( + γ(γ + (-γ(-(- (φού + + γ 0 γ 5 Α ισχύει + γ, ποδείξετε ότι γ + γ + - - - γ 0 Απόδειξη Με πργοτοποίηση το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: γ +γ + - - - γ ( + + γ -γ -γ - ( + + γ(- + + γ(- + γ( +- γ (τυτότητ De Moirve 0, (λόγω της υπόθεσης + γ 6 Α είι γ( + + γ 0 κι + +, ποδείξετε ότι: γ + + γ + + γ ( + + γ Απόδειξη Στη περίπτωση υτή με πράξεις κι πργοτοποιήσεις στη δοθείσ συθήκη λμάουμε μί ή περισσότερες πλούστερες συθήκες με τη οήθει τω οποίω θ ποδείξουμε τη ζητούμεη ισότητ Έχουμε + + γ + + γ ( + γ + γ( + + γ-γ 0 ( + γ+ (γ + +γ ( ++γ 0 ( + γ+γ+ + γ+ γ+γ 0 ( + γ+γ( + γ+( + γ +γ 0 ( + γ[ +γ + ( + γ] 0 8

Αλγερικές πρστάσεις ( + γ( + + γ + γ 0 ( + γ [ ( + +γ( + ] 0 ( + γ( +(γ + 0 + γ 0 ή + 0 ή γ + 0 Στη συέχει με υπόθεση κθεμί χωριστά πό τις πρπάω συθήκες θ ποδείξουμε τη λήθει της ζητούμεης ισότητς Α είι + γ 0, τότε -γ κι + + + + γ (-γ γ - + γ γ, (φού + γ 0 ( + + γ Α είι γ + 0 ή + 0, ομοίως προκύπτει η ζητούμεη ισότητ Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Στη περίπτωση υτή θεωρούμε στις εξισώσεις τω συθηκώ μί ή περισσότερες εξάρτητες μετλητές κι προσδιορίζουμε τις υπόλοιπες (εξρτημέες μετλητές συρτήσει τω εξάρτητω Στη συέχει τικθιστούμε τις εξρτημέες μετλητές στη ζητούμεη ισότητ κι εργζόμστε όπως στη περίπτωση Α Πρδείγμτ Α γι τους,, γ ισχύει ότι γ, ποδείξετε ότι + + + + γ + - + + γ + γ γ (δηλδή η πράστση του πρώτου μέλους είι εξάρτητη τω μετλητώ,, γ Απόδειξη Από τη δοθείσ συθήκη γ, θεωρώτς διδοχικά τις δύο πό τις μετλητές ως εξάρτητες λμάουμε,, γ γ γ ή ισοδύμ γ, γ, γ Έτσι το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: + + + + γ + - + + γ + γ γ 9

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( +γ +( + γ +(γ + -( +γ( + γ(γ + + + γ +6γ + γ + - γ - γ - γ - - γ- γ - γ - γ + + γ +5γ - γ( + + γ -(γ + γ +5-( + γ-, δηλδή είι εξάρτητη τω μετλητώ, κι γ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Με διδοχικές φιρέσεις κτά μέλη τω δεδομέω συθηκώ κι με κτάλληλες πλοποιήσεις κτλήγουμε σε πλούστερες σχέσεις κι τελικά στη σχέση που ζητάμε ποδείξουμε Πράδειγμ Α οι πργμτικοί ριθμοί, y, z είι διφορετικοί μετξύ τους, ισχύου οι ισότητες + y + ky y + z + kyz z + + kz, ποδείξετε ότι (i + y + z 0 (ii yz y z z y Απόδειξη Θέτουμε + y + ky A ( y + z + kyz A ( z + + kz A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: z + ky( z 0 ( + z( z + ky( z 0 ( z( + z + ky 0 + z+ ky 0, ( φού πό τη υπόθεση είι z 0 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: y z + k(y z 0 (y + z(y z + k(y z 0 (y z(y + z + k 0 y+ z+ k 0, (5 φού πό τη υπόθεση είι y z 0 Με φίρεση κτά μέλή τω ( κι (5 έχουμε: y+ k(y 0 ( y( k 0 k, k κι 0

Αλγερικές πρστάσεις φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky z y [φού k ] ( y( k 0 k, φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky ( + y y + ky ( z ( ky[φού + y+ z 0] z y [φού k ] Ομοίως λμάουμε A y z yz, οπότε τελικά έχουμε yz y z z y Πράδειγμ Οι διάφοροι μετξύ τους κι του μηδεός πργμτικοί ριθμοί, y, z ικοποιού τις σχέσεις + y + μ( + y y + z + μ(y + z z + + μ(z + Ν ποδείξετε ότι ή πράστση y y+ z z z y K + + + + z y y y z z είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Απόδειξη: Θέτουμε + y + μ( + y A ( y + z + μ(y + z A ( z + + μ(z + A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ 0 z 0 z z μ 0 + + + ( Ομοίως με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + yz+ z + μ 0 (5 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι (5 έχουμε y + z( y 0 ( y( + y + z 0 y 0 + y + z 0 (6 Μετά πό πράξεις η πράστση K γίετι y z z z z y y y z y K + + + + + + y y y z y z z z Επιπλέο έχουμε y z z z y zy+ z z + y y y y (y (y + z(y z y y (y (y + z z (y+ zz y y y z, (φού + y+ z 0 y Ομοίως προκύπτου z y + y z y z yz y y z y zy + z z z Έτσι η πράστση K γίετι z y ( + y + z K + + + + y yz z yz Όμως, είι γωστή η συεπγωγή + y + z 0 + y + z yz, οπότε μέσω υτής έχουμε ότι K 9, δηλδή είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Η μεθοδολογί που κολουθεί φέρετι στη περίπτωση που μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο τουλάχιστο γρμμικές εξισώσεις ( Α οι συθήκες του προλήμτος περιλμάου το ομογεές γρμμικό σύστημ τύπου n n

Αλγερικές πρστάσεις a + a + + an n 0 a + a + + a nn 0 AX 0, a + a + + a 0 n n nn n όπου a a an 0 a a a n 0 A, X, 0, a n a na nn n 0 τότε η συθήκη ύπρξης μη μηδεικώ λύσεω του συστήμτος οδηγεί στη σχέση a a an a a a n A 0 a a a n n nn ( Στη ειδική περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο ομογεείς γρμμικές εξισώσεις τριώ μετλητώ a + by + cz 0, ( a+ by+ cz 0 που ικοποιούτι πό τριάδες (,y,z (0,0,0, τότε με τη υπόθεση το σύστημ ( γίετι 0, τότε το σύστημ γράφετι στη ισοδύ- Ότ είι μη μορφή a b 0 a b, cz a+ by cz cz b a+ by cz a b b c 0 a b b a b b c z c b, b c κι c a c a a b } a a, y a y c c a c z c z b a b a z a b a b y z ( b c c a a b b c c a a b

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη μορφή υτή, συμολίζοτς τους ίσους λόγους με λ μπορούμε χρησιμοποιήσουμε τους, y, z στις υπόλοιπες συθήκες γι τη πόδειξη της ζητούμεης σχέσης b c Ότ είι 0 b c ή c a c a 0, τότε προκύπτει 0 y 0 κι έτσι έχουμε πιο πλές συθήκες ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 ( a + by + c 0 a b κι εφόσο ληθεύει ο περιορισμός 0, τότε τ, y ορίζοτι μοοσήμτ συρτήσει τω συτελεστώ a a b i, b i, c i, i, Έχουμε ότι c b a c c b a c, y, ( a b a b a b a b ή ισοδύμ, στη περίπτωση που οι ορίζουσες τω ριθμητώ είι μη μηδεικές έχουμε y (5 b c c a a b b c c a a b ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ τρεις γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 a + by + c 0 a + by + c 0 (6 τότε η συθήκη συμιστότητς (πλείφουσ του συστήμτος μς δίει τη σχέση a b c a b c 0 (7 a b c (5 Α μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο εξισώσεις μις μετλητής + 0 + 0 (8

Αλγερικές πρστάσεις που ληθεύου γι 0 κι είι 0, τότε, οπότε η συθήκη συμιστότητς είι 0 (9 Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες + γy + z 0 ( γ + y + γz 0 ( + y + γz 0 ( ποδείξετε ότι + + γ γ Απόδειξη Το ομογεές γρμμικό σύστημ τω εξισώσεω (, ( κι ( έχει, σύμφω με τη υπόθεση, κι μη μηδεική λύση (,y,z (0,0,0 Επομέως θ ισχύει γ γ 0 (γ γ(γ + (γ 0 γ γ γ 0 + + γ γ Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες (y + z ( y (z + ( z γ( + y ( ποδείξετε ότι: (i + γ+ γ + γ y z (ii, ( γ ( γ γ( (εφόσο γ( ( γ( γ( + ( + ( + γ 0 Λύση: (i Οι δοθείσες εξισώσεις (, ( κι ( ποτελού έ ομογεές γρμμικό σύστημ 5

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y z 0 y+ z 0, (Σ γ + γy z 0 το οποίο, πό τη υπόθεση, έχει κι μη μηδεική λύση Επομέως θ έχουμε + 0 γ + ( γ (γ + γ 0 γ γ + γ + γ + γ ος τρόπος Θεωρώτς τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήμτος (Σ ως ομογεές γρμμικό σύστημ με δύο εξισώσεις κι τρεις γώστους λμάουμε y z λ 0 ( + ( + + λ( +, y λ( +, z λ( + Τότε η τρίτη εξίσωση του (Σ γίετι λγ( + λγ( + λ( + λ(γ + γ + γ + γ + 0 + γ + γ + γ (ii Θέτοτς z γ( + y στις ( κι ( λμάουμε [y + γ( + y] ( γ y(+ γ y [γ( + y + ] (γ + y( γ Από τις οποίες με πολλπλσισμό κτά μέλη λμάουμε ( (γ + y(+ γ( γ y ( ( γ ( γ φού πό τη υπόθεση είι + γ 0 κι ( γ( γ 0 Εργζόμεοι άλογ, με τικτάστση του (y + z στις ( κι ( λμάουμε τη ισότητ y z (5 ( γ γ( Από τις ( κι (5 προκύπτου οι ζητούμεες ισότητες Ε Μέθοδος πό τη θεωρί πολυωύμω Στο πρό Κεφάλιο, θ σχοληθούμε μόο με πολυώυμ ου θμού (τριώυμ κι θ συμπληρώσουμε τις μεθόδους στο Κεφάλιο τω πολυωύμω που θ κολουθήσει Ότ μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχει πολυωυμική εξίσωση δευτέρου θμού 6

Αλγερικές πρστάσεις + + γ 0, *,,γ κι ικοποιείτι γι, τότε πρέπει Δ γ 0 Πράδειγμ Α γι,,, ληθεύει η ισότητ + + ( + + + 0, ( ( ποδείξετε ότι 0 Λύση Η εξίσωση ( είι δευτέρου θμού ως προς κι έχει πργμτικές ρίζες, ο- πότε θ είι Δ ( ( ( + + 0 ( ( ( + + + 0 ( 0, η οποί ληθεύει μόο ότ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΙΙ 0 f 0 g 0 ή g 0 ή ή g 0, * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε λύσουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε γιόμεο πργότω, μέσ στους οποίους περιέχοτι κι οι πρστάσεις g,g,,g Έτσι, προκύψει η συθήκη gg g g 0 κι εξσφλίσουμε ότι ισχύει g 0, τότε προκύπτου οι ζητούμεες σχέσεις g 0 ή g 0 ή ή g 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι (y z + y (z + z ( y 0, ποδείξετε ότι δύο τουλάχιστο πό υτούς είι ίσοι Απόδειξη Με πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της ισότητς έχουμε: (y z + y(z + z( y 0 y z+ yz y+ z( y 0 ( y y ( z y z + z ( y 0 7

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y( y z( y + z ( y 0 + + ( y(y z zy + z 0 ( y y z( y z 0 ( y [ (y z z(y z ] 0 ( y(y z( z 0 y 0 ή y z 0 ή z 0 y ή y z ή z Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι ποδείξετε ότι θ ισχύει + y + z yz + y + z 0 ή y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler έχουμε + y + z yz + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z 0 + + + + + y+ z 0 ή ( y + (y z + (z 0 + y+ z 0 ή y z, φού, ίσχυε ότι y 0 ή y z 0 ή z 0, τότε θ είχμε ( y + (y z + (z > 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι yz + y z + z y y y z z 0, ποδείξετε ότι ές τουλάχιστο πό τους,y,z είι μέσος άλογος τω δύο άλλω, δηλδή θ είι yz ή y z ή z y Απόδειξη Με άση τους πράγοτες yz, y z κι z y που πρέπει προκύψου πό τη πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της δοθείσς σχέσης έχουμε yz+ yz+ zy y yz z 0 yz z z y + y z y z + yz+ y z y 0 z(yz z zy+ y y(yz z zy+ y 0 (yz z zy+ y(z y 0 8

Αλγερικές πρστάσεις z(yz y (yz (z y 0 (yz (z y (z y 0 (yz z (zy y (z y 0 yz 0 ή yz ή z y 0 ή y z ή z zy 0 y ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ IV f 0 g 0 κι g 0 κι g 0, ( * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε μεττρέψουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε άθροισμ τετργώω της μορφής g + g + + g, οπότε πλέο πό τη ισότητ g + g + + g 0, * προκύπτου οι ισότητες g 0 κι g 0 κι g 0 Πράδειγμ Α γι τους,,γ ισχύει ότι: + + ποδείξετε ότι: γ Απόδειξη Έχουμε: γ γ γ 0 + + γ γ γ 0 + + γ γ γ 0 ( + ( γ + (γ 0 0 ή γ 0 ή γ 0 ή γ ή γ, γιτί, είι 0 ή γ 0 ή γ 0, τότε θ είι ( + ( γ + (γ > 0 Πράδειγμ Α γι τους θετικούς πργμτικούς ριθμούς, y, z ισχύει ότι + y + z yz, ποδείξετε ότι θ είι y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler λμάουμε + y + z yz 9

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z + + + + 0 ( y z, φού γι θετικούς,y,z θ είι + y+ z > 0, εώ υποθέσουμε ότι μί τουλάχιστο πό τις διφορές y, y z, z δε είι μηδέ, τότε θ έχουμε κι ( y + (y z + (z > 0, που είι άτοπο, γιτί λόγω της ( πρέπει ές τουλάχιστο πό τους πράγοτες + y+ z, δέ ( y + (y z + (z είι μη- 0

Αλγερικές πρστάσεις AΣΚΗΣΕΙΣ Ν πργοτοποιήσετε τις πρστάσεις: ( y( y + yzy ( z + zz ( ( ( y z + y ( z + z ( y ( γ ( y + ( y z + ( z ( δ + y ( ε a + a b + 9b στ ( ( a 8 + ( a+ + 6( a ζ ( + + y z z yz Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: a + b ( a + a b + b ( 6 ( + + ( + + ( 5 + a+ b a b a+ b a b a+ b a b ( γ ( + a b a b ( a b a b + ( a b 5 a b + + + a b b c c a ( a b( b c( c a ( δ + + + a+ b b+ c c+ a ( a+ b( b+ c( c+ a ( a bc b ca c ab ε + + ( a+ b ( a+ c ( b+ c ( b+ a ( c+ a ( c+ b Ν ποδείξετε τις τυτότητες: ( ( y + ( y ( + y ( ( ( ( ( a+ b+ c+ d + a+ b c d + a+ c b d + a+ d b c ( a + b + c + d ( ( ( γ a b + c d + ab bc + dc + ad ( a + b + c + d ( ab ad + bc+ dc y y + + ( δ y y + y + y ( ε (6 y + y ( + 5y 5 y + ( y + 6 y + (5 5y y Α abc,,, a b c a, ποδείξετε ότι:

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 b c c a a b + + + + ( a b( a c ( b c( b a ( c a( c b a b b c c a 5 Α οι abcd,,, είι διφορετικοί ά δύο κι k k k a b c Sk + + ( a b( a c ( b a( b c ( c a( c b, ποδείξετε ότι : ( S0 S 0 ( S ( γ S a+ b+ c ( δ S a + b + c + ab + bc + ca ( ε S a + b + c + ab+ ba+ bc+ cb+ ca+ ac+ abc 5 6 Α οι abcd είι,,, διφορετικοί ά δύο κι k k k k a b c d Tk + + + ( a b( a c( a d ( b a( b c( b d ( c a( c b( c d ( d a( d b( d c ποδείξετε ότι : ( S0 S S 0 ( S ( γ S a+ b+ c+ d 7 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις ( + + a( a b( a c b( b a( b c c( c a( c b ( + + a ( a b( a c b ( b a( b c c ( c a( c b 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι yz, ποδείξετε ότι οι πρστάσεις y z Κ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + + y+ z+ Λ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + με y + + 0, είι εξάρτητες τω, yz, 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι: ( ( a + b + c ( a + b + c ( [( a b + ( b c + ( c a ] [( a b + ( b c + ( c a ]

Αλγερικές πρστάσεις 0 Α είι ποδείξετε ότι a b b c c a, y, z a+ b b+ c c+ a a, b, c, ( a+ b( b+ c( c+ a 0, ( + ( + y( + z ( ( y( z Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι 5 5 5 5 ( a + b + c abc( a + b + c 6 5 5 5 ( ( a + b + c ( a + b + c ( a + b + c 5 7 7 7 7 5 5 5 ( γ a + b + c ( a + b + c ( a + b + c 0 nτ Α είι,, n, n κι + + + n, ποδείξετε ότι: ( τ + ( τ + ( τ + + + n n Α είι a, b με a + b, γι κάθε i,,, n κι ποδείξετε ότι: i i i i n n aibi nab ( ai a i i n na a, nb b i i i n i A είι a + by + cz 0, πλοποιήσετε τη πράστση a + by + cz Α bc( y z + ca( z + ab( y 5 Θεωρούμε τη πράστση A + By + Cy κι θέτουμε + y, y γ+ δ y, οπότε υτή γίετι A + By + Cy Ν ποδείξετε ότι B AC ( B AC( δ γ 6 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς a, a, a n ισχύει ότι

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ποδείξετε ότι : na ( + a + + a ( a+ a + + a, n n a a an 7 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι ( y + ( y z + ( z ( + y z + ( y+ z + ( z+ y ποδείξετε ότι y z 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcdμε,,, cd 0 ισχύει ότι ( a+ b+ c+ d( a b c+ d ( a b+ c d( a+ b c d ποδείξετε ότι a b c d 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με back 0 ισχύει ότι + +, a b c a + b + c ποδείξετε ότι + +, n n n n n n a b c a + b + c όπου n είι περιττός φυσικός ριθμός 0 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με abc 0 ισχύει b + c a c + a b a + b c + +, bc ca ab ποδείξετε ότι δύο πό τ τρί κλάσμτ του πρώτου μέλους είι ίσ με κι ότι το κλάσμ που πομέει είι ίσο με Α γι τους μη μηδεικούς πργμτικούς ριθμούς abcyzισχύει,,,,, ότι bz + cy c + az ay + b, ( a + by + cz y( a by + cz z( a + by cz ποδείξετε ότι y z ab ( + c a bc ( + a b ca ( + b c [ Όλοι οι προμστές υποτίθετι ότι είι διάφοροι του μηδεός ] Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yzισχύει, ότι + y+ z 0, ποδείξετε ότι: n n n n n n ( a by + ( ay bz + ( az b ( ay b + ( az by + ( a bz, γι n, κι

Αλγερικές πρστάσεις ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αγγελική Σ Βλάχου Μθημτικός, κθηγήτρι Μέσης Εκπίδευσης Εργσί Εότητ: Τυτότητες Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο ίσο του στοιχείο της στήλης Β ΣΤΗΛΗ Α Τυτότητ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ ( + ( + χ + ( + χ + Η + + γ γ Θ ( + γ ΣΤΗΛΗ Β Αάπτυγμ τυτότητς γ γ γ + + + ( + + γ + [( + ( γ + ( γ ] + + ( + ( + 5 + 6 ( ( + + 7 ( χ + ( χ + 8 ( ( + + 9 ( + ( Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: χ, τότε: χ ψ ω 0 Α + ψ + ω 0 ( ( + ( ( Το άπτυγμ της τυτότητς 5 Ο ριθμός ( + είι είι πολλπλάσιο του 8 + 5

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 6 Α είι περιττός ριθμός, τότε το είι άρτιος ριθμός 7 ( ( 8 Α ισχύει : + + 5 +, τότε: 7, 9 γ γ γ γ ( + + + + γ, τότε: γ ( + 5,, τότε: + 5 0 Α + + γ 0 Α 0 Μέρος Ν εκφράσετε ως πολυώυμο του χ τη πράστση Α ( χ χ + χ( χ Α χ + ψ 8 κι χψ ρεθού οι τιμές τω ριθμώ Α + ψ χ Κ χ +6ψ κι Λ χ + 6ψ χ ρεθού οι ριθμοί χ, ψ Α +, + 9 κι, υπολογίσετε τους : 5 Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός: 6 Α + 5 6 διιρείτι με + + γ, + + 0, ποδείξετε ότι: + + γ γ Μέρος Α + ψ + ω, ές τουλάχιστο πό τους χ χ + ψ + ω κι + ψ + ω 9 χ, ψ, ω είι μηδέ Α γι τους χ, ψ, ω ισχύει : ότι: Α χ ψ ω ( + 7 χψ χ + ψ ( ω χ, ποδείξετε ότι ω κι χ + ψ + ω 0, ποδείξετε +, τότε ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τους,; Α +, ποδείξετε ότι η πράστση είι εξάρτητη τω + χ, Α 5 Α χ +, υπολογίσετε τις πρστάσεις: 6 6 + χ + χ Α, χ + χ Β κι Γ 9χ + χ 6

Αλγερικές πρστάσεις Εργσί Εότητ: Πργοτοποίηση Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο στοιχείο της στήλης Β : Στήλη Α (Αλγερική πράστση Α χ 6 5 χ Γ χ 7 Β 6 Δ Ε ΣΤ 7χ χ χ + 6 9χ χ + 6 Ζ χ χ + Η χ + χ 5 Στήλη Β (τίστοιχο γιόμεο ( χ 7( χ + 7 ( χ + 6( χ 6 ( χ ( χ ( χ (χ (9χ + χ + 6 ( χ 7( χ + 7 ( χ ( χ + 5 5 ( χ 6 ( χ + 5( χ 5 6 7 8 9 Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: Ισχύει : ( χ + ( χ χ Ισχύει : χ χ + ( χ Το κλάσμ χ 5χ χ 5 είι ίσο με χ χ + 5 Είι : χ + ( χ + ( χ 5 Ισχύει : χ 6 χ( χ + ( χ 6 Ισχύει : ( χ + ( χ χ + χ 8 7 Ισχύει: χ( χ (χ + χ χ 8 Ισχύει: ( χ + ( χ χ,εφόσο είι χ 5 Μέρος Ν γίου γιόμεο οι πρκάτω πρστάσεις: χ 8χ (χ 9 7

Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 γ ( χ 6 δ χ 5χ ε ( + στ χ ψ + ψ ζ χ + ψ η χ + ψ χ ψ χψ χ ψ θ χ ψ 7χ + 7ψ 5 ι + μ κ μ κ κ χ χ + χ χ 6 λ ζ + 8 ψ χ ψ + ψ μ χ χ + χ ξ + χ χ 0 + + χ, με 0 Μέρος Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω ρητές πρστάσεις κι γράψετε τους πρίτητους περιορισμούς,έτσι ώστε είι δυτή η πλοποίηση: + γ + + Α, Β, ( + + γ + γ χ χ + χ ( χ ( χ χ Γ κι Δ χ χ ( χ χ( χ χ Α +, ποδείξετε ότι ή Α ( + ( +, ποδείξετε ότι οι, είι ίσοι ή τίστροφοι Α χ ψ χ 6ψ 8, ποδείξετε ότι: ψ χ ή ψ χ 5 Α χ + χ + χ + χ +, ποδείξετε ότι: 6 Ν ποδείξετε ότι + ( + 7 Α ( + γ ( + γ γ, με,, γ είι πλευρές τριγώου ποδείξετε ότι το τρίγωο είι ορθογώιο 5 8 Ν γίει γιόμεο πργότω η πράστση: χ + χ + 9 Α ισχύει : (χ + 7( χ (5 + χ 0 ποδείξετε ότι: ή χ, ή χ, ή χ 5 8