Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας σύτομα τις απατήσεις σας. 009. Α f, τότε f 009. Κώστα Βακαλόπουλου. ε ποια περίπτωση είμαστε βέβαιοι ότι η διάμεσος τω παρατηρήσεω συμπίπτει με μια τιμή της μεταβλητής Χ;. Πόσο είαι το άθροισμα όλω τω συχοτήτω μιας μεταβλητής; Ομοίως πόσο το ά- θροισμα όλω τω σχετικώ συχοτήτω;. Α f και f α οπωσδήποτε α. τότε ισχύει 4. Α η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο Α με f 0 για κάθε A τότε ισχύει: f f f. 4. Α η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο τότε ισχύει για κάθε, f ημ f ημ ημ. 5. Α h f g f g g h 4., και τότε ισχύει: Β) Να δώσετε σύτομες απατήσεις στις παρακάτω ερωτήσεις:. Α η μέση τιμή τω τιμώ μιας μεταβλητής Χ είαι τότε ποια είαι η μέση τιμή τω τιμώ της μεταβλητής Y X και τη W X. 4. Α το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής συμπίπτει με το μέγεθος του δείγματος τότε τι συμπεραίουμε για τις συχότητες τω τιμώ αυτώ; 5. Να δειχθεί ότι α η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω t i μιας μεταβλητής X, i,..., είαι μηδέ τότε είαι: t t t... t, όπου η μέση τιμή τους. Γ) Έστω τα αριθμητικά δεδομέα: α,α, β,β,β,β, γ,γ,γ,γ,γ,γ, δ,δ,δ,δ,δ, ε,ε,ε με α<β<γ<δ<ε. Με βάση τα δεδομέα αυτά απατήστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είαι λάθος αιτιολογώτας τη απάτησή σας.. Η σχετική συχότητα του β είαι 0,.. Η αθροιστική συχότητα του γ είαι.. Η σχετική αθροιστική συχότητα του β είαι 0,. 4. Η σχετική αθροιστική συχότητα επί τοις εκατό του γ είαι 60. 5. Η σχετική συχότητα επί τοις εκατό του δ είαι 60. Κώστα Βακαλόπουλου
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) Δ) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης και A,B Ω εδεχόμεα του δ.χ. Ω. ημειώστε το () α είαι σωστή ή το () α είαι λάθος καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, αιτιολογώτας σύτομα τις απατήσεις σας.. Α PA και PB είαι ασυμβίβαστα.. Α PA και PB τότε τα Α, Β τότε η μεγα- λύτερη τιμή που μπορεί η πιθαότητα της τομής: A B είαι.. Α PA και PB τότε η μικρό- τερη τιμή που μπορεί α πάρει η πιθαότητα της έωσης: A B είαι. 4. Ισχύει: PA B PA B. 5. Η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί α πάρει η πιθαότητα της έωσης A B είαι ο αριθμός: P A P B. 6. Η μικρότερη τιμή που μπορεί α πάρει η πιθαότητα της τομής A B είαι ο αριθμός: P A P B. ΑΠΑΝΤΗΕΙ 008 Α) Για κάθε, f 009. Για, f 009 () *. Για κάθε, f.για α ΑΡΑ: α 4 α ή : 4 α () f f f. : () f f f 4. f ημ f ημ ημ f ημ συ : () 5. h f g f g g για κάθε. Για, h f g g f 4: () Β). y 0, w. Ότα το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι περιττό. κ. i Το άθροισμα συχοτήτω ι- i σούται με το μέγεθος του δείγματος, κ fi Το άθροισμα τω σχετικώ συχο- i τήτω ισούται με. 4. Οι συχότητες τω τιμώ είαι όλες ίσες με. s 0 t 0 5. i i t t... t 0 t 0 και t 0 και t 0 t t... t Γ) i i f i f i % N i F i F i % α 0,0 0 0,0 0 β 4 0,0 0 6 0,0 0 γ 6 0,0 0 0,60 60 δ 5 0,5 5 7 0,85 85 ε 0,5 5 0,00 00 0,00 00 Κώστα Βακαλόπουλου
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ύμφωα με το πίακα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω έχουμε:. f 0, (ωστή). N (ωστή). F 0,0 (ωστή) 4. F % 60 (ωστή) 5. f 4% 5 (άθος) Δ). Α τα Α, Β ήτα ασυμβίβαστα θα ίσχυε: 7 PA B PA P B άτο- 6 πο! Άρα τα Α, Β δε είαι ασυμβίβαστα. (). Ισχύει: A B A PA B P A και A B B PA B P B P A B min P A,P B Άρα: min, () A A B P A P A B. Ισχύει: PA B PA και B A B P B P A B PA B P B. Άρα: PA B map A, PB () 4. Ισχύει: A B A B P A B P A B () 5. PA B min, PA PB () 6. PA B PA PB PA B PA PB PA B PA B PA PB Όμως: PA B 0 άρα P A B ma 0, P A P B () ΑΚΗΕΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Να υπολογιστεί ο αριθμός α ώστε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης f στο σημείο α A,f α είαι παράλληλη στη ευθεία y 009. Ποια είαι η εξίσωση της 5 ευθείας αυτής. ύση Η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο α f α. Για, f α 6α α 00 50 α Πρέπει: α 6 α. 50 5 Για α, f και f 0 5 Οπότε: η εξίσωση της εφαπτομέης της μορφής: y β. 5 Η ευθεία όμως αυτή διέρχεται από το σημείο A,, οπότε οι συτεταγμέες του επαλη- 5 θεύου τη εξίσωσή της, άρα: 9 4 β β β 5 5 5 5 5 Άρα η ευθεία έχει εξίσωση: 4 y 5 5 με. ε καρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω θεωρούμε τα σημεία: A, B, Δ, 6,, Γ, 6 με 0 και. και Να εκφράσετε το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΓΔ που σχηματίζεται, ως συάρτηση Κώστα Βακαλόπουλου
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) του και α προσδιορίσετε τη τιμή του για τη οποία το εμβαδό γίεται μέγιστο. ύση Το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΓΔ δίεται από τη συάρτηση: E 6, 0 E 4 4 8 Για 0, E 8 8 E 0 8 8 0 E 0 8 8 0 E 0 8 8 0 Άρα: Η συάρτηση (εμβαδό) παίρει τη μέγιστη τιμή της για. (Το μέγιστο εμβαδό είαι: E 4τ.μ. ).. Δίεται η συάρτηση f με 4 8 f. Α Α, Β είαι δύο εδε- 4 χόμεα του δειγματικού χώρου Ω εός πει- P A B 0, 6, ράματος τύχης με P A lim f α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συάρτησης f β) Να βρεθεί η πιθαότητα του εδεχομέου α πραγματοποιηθεί μόο το εδεχόμεο Β. 7 γ) Να δειχθεί ότι PB. 0 ύση α) Το πεδίο ορισμού της συάρτησης f είαι το σύολο A (, ) (, ) 4 8 α) Για κάθε, lim 4 4 lim 4 lim Ζητείται η πιθαότητα του εδεχομέου Β Α. P B A P B P A B () Όμως: και PA B PA PB PA B () Άρα: PB A PB PA B 7 PA B PA 0,6 4 0 β) [ A B B P(A B) P(B) 7 Οπότε: P(B) ] 0 4. έα ακριτικό ησί από τους καθηγητές που υπηρετούσα πέρυσι στο Γυμάσιο και το ύκειο απ αυτούς είχα χρόο προϋπηρεσία, χρόια, χρόια, 4 4 χρόια και 5 5 χρόια. τη συέχεια ήρθα 5 ακόμα καθηγητές επιπλέο, έας σε κάθε 4 μία από τις προηγούμεες κατηγορίες. Α αρχικά η μέση τιμή τω χρόω προϋπηρεσίας τω καθηγητώ ήτα χρόια, α δείξετε ότι στη συέχεια η μέση τιμή δε άλλαξε. ύση Τη προηγούμεη χροιά η μέση τιμή ήτα 44 55 4 5... 55 5 i Τη φετιή χροιά η μέση τιμή είαι:... 5(5 ) y... 5 y i 5... 55 4 5... 5 5 5 5 y 5 5 4 Κώστα Βακαλόπουλου
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) 5. Έστω t, t,, t οι παρατηρήσεις (τιμές) μιας μεταβλητής Χ σε δείγμα μεγέθους που ακολουθού τη καοική καταομή και η συάρτηση f με f t t... t 009 Α η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω της μεταβλητής Χ είαι 0,6 και η συάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο 8, α) Να βρείτε τη μέση τιμή και α δείξετε ότι το δείγμα δε είαι ομοιογεές. β) Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή c που πρέπει α αυξηθού όλες οι παρατηρήσεις, ώ- στε το δείγμα α γίει ομοιογεές. γ) Α 0 παρατηρήσεις είαι μεγαλύτερες από 5, α βρείτε το μέγεθος του δείγματος. ύση f t t... t, α) f 0 t t... t f 0 t... t f 0 t... t και Άρα η συάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο t... t Επομέως: t... t 8 t... t 4. Έτσι για τη μέση τιμή έχουμε: ti i t... t 4 4. Ο συτελε- στής μεταβολής είαι: s 0,6 CV 0,5 5% 4 Άρα: Το δείγμα δε είαι ομοιογεές. β) Έστω c η ζητούμεη τιμή και yi ti c, i,,..., οι έες τιμές της μεταβλητής Χ. Ως γωστό y c 4 c εώ η τυπική απόκλιση δε μεταβάλλεται. Α CV ο έος συτελεστής μεταβολής θα έχουμε 0,6 CVy 4 c. Πρέπει: 0,6 0% 0, 6 0, 4 c 4 c 6 4 c c. Άρα για α γίει το δείγμα ομοιογεές, πρέπει οι τιμές α αυξηθού τουλάχιστο κατά μοάδες. γ) Επειδή η καταομή είαι καοική έχουμε:,5% 0 0,05 0 0 400 0,05 6. το παρακάτω σχήμα φαίεται το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω (f i ) της βαθμολογίας τω μαθητώ της εκπαιδευτικής περιφέρειας της επαρχίας Κυουρίας του ομού Αρκαδίας. Από το ιστόγραμμα λείπου: οι ιστοί (ορθογώια) της 4 ης και 5 ης κλάσης. Α γωρίζουμε ότι η μέση βαθμολογία τω μαθητώ είαι 5, τότε: α) Να βρείτε τις συχότητες που λείπου και α συμπληρώσετε το ιστόγραμμα. y 5 Κώστα Βακαλόπουλου
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) β) Ο σύλλογος τω Κυουραίω της Αμερικής προτίθεται α βραβεύσει με χρηματικό έπαθλο όσους έχου βαθμολογία πάω από 7. Τι ποσοστό μαθητώ ατιστοιχεί στους μαθητές που θα βραβευτού; γ) Α οι μαθητές με βαθμολογία από 5 έως 7 είαι 50 πόσοι μαθητές θα βραβευτού; ύση α) Έστω κ, λ οι σχετικές συχότητες που λείπου. Προφαώς: 0,0 0, 0 0,0 κ λ κ λ 0,4 Επίσης: 5 f 5, 0,0 i i i 0,0 0,0 5 κ7 λ9 5,,,6 4,5 7κ 9λ 7κ 9λ 7 Επιλύουμε το σύστημα: κ λ 0, 4 7κ 9λ 6,8 7κ 9λ 7 7κ 9λ 7 λ 0, λ 0, κ λ 0, 4 κ 0, Έτσι έχουμε το παρακάτω πίακα σχετικώ συχοτήτω: Κλάσεις i f i f i % F i % 0- -4 4-6 6-8 8-0 5 7 9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0 0 0 0 00 0 0 60 90 00 β) τη συέχεια σχεδιάζουμε το ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω επί τοις εκατό και το ατίστοιχο πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω επί τοις εκατό απ όπου παρατηρούμε: Πάω από 7 είαι το 5% τω μαθητώ ((00-75)%) γ) Με βαθμολογία από 5 έως 7 είαι το 0% τω μαθητώ ((75-45)%) Επειδή το 0% τω μαθητώ είαι 50 θα έ- χουμε συολικά 50:0% = 500 μαθητές. Ο- πότε θα βραβευτού το 5% τω 500 μαθητώ δηλαδή 5 μαθητές. 7. Έστω πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω {α,β,γ,δ,ε}, α,β,γ,δ,ε. Α Ρ(α), Ρ(β), Ρ(γ), Ρ(δ) και Ρ(ε) οι πιθαότητες τω απλώ εδεχομέω του Ω και: Ρα lim, 0 Ρ(β) ισούται με το συτελεστή διεύθυσης της ευθείας που είαι κάθετη στη εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της f στο Α(, f()), Ρ(γ) ίση με το συτελεστή μεταβολής τω μισθώ τω υπαλλήλω μιας εταιρείας που ακολουθού καοική καταομή και το 50% είαι πάω από 000 εώ το,5% πάω από 00, 6 Κώστα Βακαλόπουλου
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) Ρ(δ) το μέγιστο της συάρτησης π π g συ στο, Α) Να βρεθού οι πιθαότητες τω α, β, γ, δ και ε. Β) Α A {α,β, γ} και Β {γ,δ,ε} α βρεθού οι πιθαότητες τω εδεχομέω: i) Γ: Να συμβαίει μόο το Α ii) Δ: Να συμβαίει μόο έα εκ τω Α,Β iii) Ε: Να μη συμβαίου τα Α και Β συγχρόως iv) Ζ: Να μη συμβαίει καέα από τα Α,Β ύση Α) 0 P α lim lim 0 lim 0 lim 0 0 0 4 Έχουμε: f 6.Για, f 6. Α λ ο συτελεστής διεύθυσης της ζητούμεης ευθείας τότε: λ 6 λ. 6 Άρα: Pβ 6 Α και δ η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση τω μισθώ τω υπαλλήλω της εταιρείας που ακολουθού καοική καταομή θα ισχύει: 000 και s 00 Άρα: s 00. Οπότε: Άρα: P γ 0 00 CV 0% 000 π π Για κάθε, g συ ημ ημ g 0 ημ 0 0, π g 0 ημ 0 0, π g 0 ημ 0 0 π π 0 g () + g() Άρα, στο 0 η συάρτηση παρουσιάζει μέγιστο το f0 συ 0 Άρα: P(δ) Όμως: P α P β P γ P δ Ρ ε P ε Ρ α Ρ β Ρ γ Ρ δ Ρε 4 6 0 5 0 6 0 9 0 60 0 β) i) Γ Α Β {α,β}, P(Γ) Ρα Ρβ 5 4 6 Δ Α Β Β Α ii) {α,β} {δ,ε} {α,β,γ,δ,ε}, 9 ΡΔ Ργ 0 0 Ε Α Β {α,β, γ,δ,ε} Δ. iii) ΑΡΑ: ΡΕ 9. 0 iv) Ζ Α Β. Οπότε: ΡΖ 0. 7 Κώστα Βακαλόπουλου